4 Relaciones de energía - Arturo Lara

Vista previa del material en texto

12- 4 Relaciones de energía
En la sección anterior se mencionaba el hecho experimental de que solamente se puede mantener una corriente constante en un conductor si el sistema está recibiendo una alimentación constante de energía. Pero en una situación estacionaria, en la que todas las cosas permanecen constantes en el tiempo, no puede haber tampoco una acumulación de energía eléctrica. Por lo tanto, todo lo que entra al sistema como energía eléctrica debe ser convertido a otra forma de energía y, de hecho, se observa que la energía eléctrica consumida se manifiesta en la forma de calor en el cuerpo del conductor. A continuación se expresa este hecho en forma cuantitativa. Ya se vio en (5-45) y (5-46) que el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre una carga Ar? es A w = — A ¿y A0 donde A0 es el cambio en el potencial. De esta manera se puede obtener la razón a la que se realiza trabajo eléctrico en el sistema, como Aw/Aí =— (Ag /Aí)A0 = - I A0, de acuerdo con (12-1), ya que se tiene una corriente constante. En el caso estacionario, ésta también debe ser la razón de conversión de energía en calor. Si w es la razón de producción de calor por unidad de volumen y se utilizan las dimensiones usadas en la fi- figura 12-7, en la que el volumen es AL, se obtiene que
(Al^/Az) _/ 7W
/ i!
Dado que y E son paralelos, esto mismo también puede expresarse como
J?
yv = J,-E = <7E2=~-	(12-35)
por medio de (12-25). A la cantidad w también se le suele dar el nombre de potencia “disipada” por unidad de volumen. Ya que la unidad de potencia es 1 watt = 1 joule/segundo, ve se mide en watts/metro"L
12- 5 Punto de vista microscópico
El resultado que se acaba de obtener es perfectamente general, ya que se derivó directamente de las leyes macroscópicas de la conservación de la energía y del significado de los conceptos de corriente y diferencia de potencial. Sin embargo, su origen puede
Punto de vista microscópico
263
parecer hasta cierto punto oscuro, por lo que se impone una cierta “explicación” en
función del comportamiento microscópico promedio de las cargas en movimiento
dentro del conductor. En relación a la pregunta del “por qué” existe producción de
calor, se encuentra la de “por qué” existe resistencia, para empezar. Aunque en el apén-
dice B se tratan estas preguntas de una manera mucho más completa, es relativamente
sencillo obtener una respuesta semicuantitativa para ambas preguntas, a partir de una
imagen microscópica de la situación.
Antes que nada, si el campo eléctrico produjera la única fuerza que actuara sobre la
carga móvil, ésta tendría una aceleración constante dada por a =qE/m, siendo m
la masa del portador de la carga. Pero si esto fuera cierto, la consecuencia sería que la ve-
locidad aumentaría indefinidamente, cosa que no ocurre. Una corriente constante impli-
ca, según (12-3), una velocidad constante y por ello una aceleración cero, es decir, una
fuerza neta igual a cero. Por lo tanto, por lo menos en promedio, la fuerza eléctrica que
apunta en la dirección del movimiento de las cargas debe estar balanceada por alguna otra
fuerza en sentido contrario al del movimiento. Para encontrar el origen de esta otra fuerza
considérese el caso específico de un metal en el que las cargas libres no son sino electrones
de carga -e cada uno de ellos. Se mueven en el metal, no en un vacío completo sino entre
los iones del propio metal, los que a su vez se encuentran dispuestos conforme al arreglo
regular del cristal. Es obvio que los electrones pueden chocar con estos iones (y entre ellos
mismos también) y que en cada colisión su velocidad cambia. Entre colisión y colisión,
el electrón será acelerado por el campo eléctrico, pero durante el choque el resultado de
este proceso sufre un cambio brusco. De esta manera se puede concluir que son precisa-
mente estas colisiones las que constituyen el origen de esa otra fuerza, y lo que realmente
interesa viene a ser el efecto promedio de este fenómeno. Por analogía con los efectos
similares de la mecánica en los cuales hay “fricción”, se tratará de describir un efecto total
de los choques que dé como resultado una fuerza proporcional a la velocidad y dirigida en
sentido opuesto; así, la fuerza mecánica se puede expresar como Fq m = — £v, siendo $ un
factor de proporcionalidad adecuado. La fuerza neta debe ser la suma de las fuerzas eléc-
trica y mecánica:
F„etrma=-tE-^	(12-36)
Esta ecuación de movimiento permite la situación para la que a =0; de (12-36) se des-
prende entonces que la velocidad, \d, sería constante:
(12-37)
A esta velocidad se le suele denominar velocidad de deriva; en mecánica se le conoce co-
mo velocidad terminal, por ejemplo, en el caso de un objeto en caída vertical cerca de la
superficie de la tierra y que está sujeto a la resistencia viscosa del aire. Si n es el número
de electrones por unidad de volumen, la densidad de carga libre será Py =n(-2), y al susti-
tuir esto y (12-37) en (12-3), se puede encontrar el valor de la corriente, que no es sino
(12-38)
Esto viene a ser exactamente de la forma de la ley de Ohm en (12-25) y, por comparación, se puede observar que no sólo se ha logrado obtener su forma general a partir de este
J
i	i,-,
f~ Pj*d~ I	|E
264
Corrientes eléctricas
análisis microscópico simplificado, sino que además se ha logrado obtener una expresión para la conductividad:
2
ne
a=
(12-39)
Cualitativamente, este resultado tiene propiedades muy razonables. Es proporcional a la densidad numérica de portadores de carga e inversamente proporcional al término “fricciona!” de modo que cuanto menor sea el efecto de las colisiones, mayor será la corriente para un E dado, y viceversa. Se puede ver también que es proporcional al cuadrado de la carga, de manera que en realidad es independiente del signo de la misma. No es posible hacer más avances en el cálculo de o sin antes valorar £. Sin embargo, para ello se requiere de las teorías detalladas de la física del estado sólido y del análisis de colisiones, temas que no son competencia de este texto. Por otro lado, es posible utilizar valores medidos de o para evaluar el factor £.
Se ha visto así cómo el efecto global de las colisiones puede explicar el valor finito de la corriente. En forma cualitativa, se puede también describir cómo es que las colisiones explican también la conversión de energía eléctrica en calor, según (12-35). Una colisión no solamente cambia la dirección de la velocidad de un electrón, sino también su magnitud, quedando alteradas también la energía cinética tanto del electrón como del iun golpeado. Existe así una transferencia de energía del movimiento ordenado del electrón, provocado por el campo eléctrico, al movimiento desordenado del ion constituyente del cristal, que aumenta sus vibraciones al azar. Por medio de la termodinámica se puede saber que estos procesos son irreversibles, de manera que el efecto neto de las colisiones será incrementar la energía desordenada del cristal metálico. Pero es precisamente este aumento en el movimiento desordenado lo que se asocia con la producción de calor y, como ya se ha mencionado, es justamente esto lo que se observa, por lo que se puede concluir que esta producción de calor es también una consecuencia necesaria de los mismos procesos microscópicos que dan como resultado una conductividad finita.