Potenciales escalar y vectorial - Arturo Lara

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Potenciales escalar y vectorial
En el capítulo anterior se resumió el electromagnetismo en función de los propios vectores de campo. Sin embargo, debe recordarse que cuando se introdujeron anteriormente los potenciales escalar y vectorial se simplificó en gran medida el trabajo, por lo que resulta natural preguntarse si acaso dichos potenciales no serían igualmente útiles al aplicarse a estas situaciones más generales. De hecho, resulta posible formular este tema de una manera análoga. Estos potenciales más generales resultan ser de extrema utilidad para discutir la producción de campos a partir de fuentes dadas, lo cual no se hará sino hasta el capítulo 27. Sin embargo, resulta conveniente en este punto estudiarlos en términos generales.
21- 1 Potenciales en general
Nótese primero que la ecuación V • B =0, que fue usada inicialmente para introducir el potencial vectorial A en (16-7), no ha cambiado de forma según se ve en (21-21). Por lo tanto, siempre se podrá satisfacer (21-21) si se escribe
B(r,0 = VxA(r,í)	(22-1)
La diferencia entre (22-1) y (16-7) es que ahora se toman tanto A como B como posibles funciones del tiempo t y de la posición r.
Si se sustituye (22-1) en (21-20) se obtiene V X E = -3(VX A)/ dt = — V X (3 A/ dt), de manera que
/ dA \
VXÍE+-^j = 0	(22-2)
Según (1-48), el término entre paréntesis se puede escribir como el gradiente de un escalar, es decir, E + (3A/ dt) = - V0, o sea,
(22-3)
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Esto, desde luego, es de la misma forma que (17-12) ya que ambas fueron derivadas de exactamente la misma manera. Aquí se debe suponer que el potencial escalar es, por lo general, una función tanto del tiempo como de la posición.
Por lo tanto, dos de las ecuaciones de Maxwell serán siempre satisfechas si E y B se expresan en la forma (22-1) y (22-3). Las otras dos deberán indicar cómo obtener A y 0 a partir de las fuentes. Si se sustituyen estas expresiones de E y de B en (21-30) y (21-33) se obtiene
V^+2v-A=-1(P/-V-P)	(22-4)
di	c0
V!A-ft)£.^-v(v-A + ft)£o|j = -^J/+VxM+^	(22-5)
por medio de (1-45) y (1-122). Si fuese posible ahora encontrar soluciones a estas ecuaciones, que satisficiesen las condiciones de frontera apropiadas, se sabría, por la forma en que se obtuvieron, que las E y B que se calculen a partir de estos A y 0 serán automáticamente soluciones de todas las ecuaciones de Maxwell.
Una dificultad con estas dos ecuaciones, es decir, que las ecuaciones no están separadas. Además, si P y M representan distribuciones de momentos dipolares permanentes que resultan afectadas por los campos, deberá asumirse que P y M son funciones de E y B y por lo tanto de A y 0. En consecuencia, a menos que se cuente con una dependencia específica dada, no es posible realizar progreso alguno con estas ecuaciones generales. Sin embargo, se ha supuesto que el conjunto de ecuaciones (22-1), (22-3), (22-4) y (22-5) es siempre verdadero
Resulta todavía posible obtener algunas conclusiones acerca de las condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad de propiedades. Los argumentos esgrimidos en relación con (16-21), basados en B = VX A. siguen siendo válidos cuando B es una función del tiempo, ya que el único requisito era que B fuera finita. Dado que (22-1) sigue siendo válida, se puede concluir que las componentes tangenciales de A son siempre continuas:
(22-6)
Pero todavía no se cuenta con una expresión específica para V • A; por lo tanto, no se puede estar seguro acerca del comportamiento de las componentes normales de A, aunque no resulta irrazonable suponer que se comportarán como en (16-20) y que serán también continuas.
En la sección 9-5 se llegó a la conclusión de que el potencial electrostático escalar era continuo. Sin embargo, ahora se debe aplicar (22-3) en lugar de simplemente E = — A0, pero a pesar de ello, al revisar los anteriores argumentos se observa que si se les agrega el requisito normal de que 3 A/ 3 i permanezca finito a medida que la capa de transición se reduce a grosor nulo, se volverá a encontrar que 0 es continuo:
= (22‘7)
Por último, como una especie de verificación de estos resultados, si se regresa al caso estático en el que todas las derivadas son iguales a cero, y se utiliza V* A =0 según consta en (16-17), se encuentra que (22-4) y (22-5) se vuelven V20 = — p/e0 y V?A= - PqJ,
Potenciales para medios isotrópicos homogéneos lineales
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que no son sino los anteriores resultados dados en (11-1), (10-38) y (16-18). Por lo tanto, los potenciales escalar y vectorial generalizados se reducen en forma apropiada a los que ya se sabían aplicables a las situaciones estáticas.