Utilización de resultados anteriores - Arturo Lara

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11- Utilización de resultados anteriores
Algunas veces resulta posible, con la debida interpretación, adaptar y utilizarla solución de un problema previo para resolver un nuevo problema aparentemente muy distinto. Esto quedará ilustrado por medio de dos ejemplos, ambos relacionados con un ejemplo del capítulo 5.
Ejemplo
Línea infinita de carga uniforme y plano conductor semi-infinito conectado a tierra. Considérese una carga lineal infinitamente larga con carga por unidad de longitud X constante, y que se encuentra a una distancia a y paralela a la superficie de un conductor conectado a tierra que ocupa la mitad del espacio total. Si se toma la línea paralela al eje z, la superficie del conductor como el plano yz y el eje x que pasa a través de la carga lineal, se tiene
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Métodos especiales en electrostática
la situación que se muestra en la figura 11-9 para el plano xy. La condición de frontera consiste en que el potencial sea constante e igual a cero sobre la superficie conductora, es decir, que 0 (o,y,z) = 0. Debido a la similitud entre las figuras 11-9 y 11-1, así como a lo idéntico de esta condición de frontera con la (11 -11), se puede adivinar que la carga imagen apropiada para este caso será otra carga lineal infinita de densidad -X y situada en x = ~a. Esta es justamente la distribución de cargas que se ilustra en la figura 5-7, donde se sabe que el potencial en cualquier punto está dado por (5-34), y cuyas equipotenciales y líneas de campo se muestran en la figura 5-8. (Récuérdese que las equipotenciales son, en realidad, cilindros cuyos ejes son paralelos al eje z y que, de hecho, estos ejes se encuentran sobre el plano xz.) Como se hizo notar en lo que siguió a (5-38), el plano yz (x=0) es la superficie equipotencial para 0 = 0, que no es sino la condición de frontera (11-11) que debe satisfacerse para este problema. Por lo tanto, la solución se encuentra dada ya en los resultados obtenidos anteriormente. Sin embargo, solamente puede utilizarse (5-34) en la región vacía que aparece sin sombrear en la figura 11-9, es decir, — (tz/2) < <p < tt/2 . Así, las equipotenciales y las líneas de fuerza de este problema están dadas por las curvas de la mitad derecha de la figura 5-8. En otras palabras, ya se cuenta con la solución completa de este problema.
Es posible profundizar aún más sobre el sistema completo de la figura 5-7. Supóngase que se remplazara uno de los cilindros equipotenciales con un conductor sólido que ocupara el volumen limitado por el cilindro. La superficie del conductor sería una equipotencial, según se requiere, y el potencial sería el correspondiente ala superficie que se remplazó. El campo eléctrico será normal al conductor, como es necesario, ya que las líneas de E ya son noimales al cilindro equipotencial. Existirá una carga superficial sobre el cilindro, dada por (6-4), pero, como se puede observar, la carga total por unidad de longitud sobre el cilindro seguirá siendo X (suponiendo que se trata de una superficie en la mitad derecha de la figura 5-8). Considérese una superficie Gaussiana de integración que se encuentra justo afuera del conductor. El valor de E se seguirá obteniendo a partir de (5-35) y (5-36), de manera que la integral de superficie de la ley de Gauss (4-1) será la misma que si la carga lineal se encontrara allí. Pero, ya que la ley de Gauss iguala la integral de superficie a la carga total encerrada dividida por e0, sin importar su distribución, la carga total por unidad de longitud seguirá siendo X, que viene a ser la carga total en la superficie del conductor. En otras palabras, nada ha cambiado afuera del conductor, por lo que todavía puede usarse (5-34) en todos los demás lugares. [Desde luego, las cosas sí han cambiado adentro: el campo eléctrico es ahora igual a cero y 0 es constante, según (6-1).] Se pueden hacer comentarios similares para la mitad izquierda de la figura 5-8. Ahora puede ya considerarse el siguiente ejemplo.
Figura 11-9. Línea infinita de carga uniforme perpendicular a la página y paralela a un plano conductor seminfinito conectado a tierra
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Ejemplo
Capacitancia de dos conductores cilindricos paralelos. Considérense dos cilindros conductores infinitamente largos y cuyos ejes son paralelos entre sí. Por simplicidad, supóngase que tiene el mismo radio A ; sus ejes se encuentran separados una distancia/), como se muestra en la figura 11-10. Si se identifican estos cilindros con dos equipotenciales apropiadas en la figura 5-8, poseerán cargas por unidad de longitud iguales a +Xy~X. El problema consiste en relacionar estas dimensiones con resultados previos a fin de obtener la diferencia de potencial. En (5-38) ya se encontró el radio de uno de los círculos de la figura 5-8 y era igual a ¿z/senhtj, y la localización de su centro con respecto al origen era ¿zcothp, donde 77 = 27reo0/2. Por lo tanto, si 0 es el potencial del cilindro de la derecha, de carga X, se tiene que
A =
sen h 17
— a coth r¡ = A cosh r¡
(11-49)
(11-50)
Al despejar r¡ de la última ecuación se encuentra que el potencial del cilindro es
d> = ~	cosh
277€o
(11-51)
Dado que el potencial del otro cilindro es -0, la diferencia de potencia entre ambos será igual a
A</> = 20=—cosh-'í^-)	(11-52)
77C0	\ 2A /
Puesto que la carga en una longitud L de este sistema será igual a X£, de (6-28) puede observarse que la capacitancia de una longitud L será
\L _ ttzqL cosh-'(D/2^)
(11-53)
Si A <0, como sería el caso para dos alambres delgados, se puede encontrar, a partir del desarrollo en serie cosh_1w~ln2M - (l/4u2) - ..., que (11-53) puede aproximarse por
7T€o£
^0L
C—	_
ln(Z)//í)-(/í/Z))2	ln(Z)/?l)
(11-54)
que es una expresión que se encuentra con frecuencia. [El valor dado por el término central de (11-54) concuerda también con el resultado del ejercicio 6-15 cuando se le aplica a este caso.]
Se consideran a continuación algunos métodos más sistemáticos para resolver la ecua ción de Laplace.
Figura 11-10 Vista de sección de dos conductores cilindricos paralelos.