Métodos especiales en - Arturo Lara

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Métodos especiales en
electrostática
Hasta ahora se ha encontrado el potencial escalar por integración sobre una distribución dada de cargas fuente por medio de (5-7) y después se ha obtenido el campo eléctrico a partir de E = - 0. Como se hizo notar en el párrafo que siguió a (5-14), algunos problemas están enunciados de tal modo que este método no es factible, por lo que es conveniente contar con otros métodos alternativos. Se puede abordar el problema resolviendo la ecuación diferencia con derivadas parciales que satisface 0. Esta es la ecuación de Poisson, dada en (5-15):
donde p es la densidad total de carga. En (10-55) se vio también que puede expresarse en función exclusivamente de la densidad de carga libre para dieléctricos homogéneos isotrópicos lineales:
(n-2)
Si las densidades relevantes de carga son iguales a cero, estas dos ecuaciones se reducen a la ecuación de Laplace:
V2<> = 0	(11-3)
Debido a la relativa simplicidad de la ecuación de Laplace, el énfasis estará en resolverla. Sin embargo, se estudiará un ejemplo de cómo encontrar la solución de la ecuación de Poisson en la sección 11-16.
A través de los años se han diseñado muchos métodos para resolver estas ecuaciones. Algunos de estos métodos son muy generales y sistemáticos, mientras que otros son extremadamente especializados y de aplicación y justificación de mucho de lo que se hará aquí se centra en un teorema muy importante que se analiza a continuación.
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Métodos especiales en electrostática
10- 1 Unicidad de la solución a la ecuación de Laplace
Se desea demostrar que si se ha logrado encontrar una solución a la ecuación de Laplace que satisface las condiciones de frontera dadas (por ejemplo, que se reduce a los valores asignados de antemano para todos los puntos de la superficie que rodea la región), esta solución es única. El término “condiciones de frontera” se utiliza aquí de una manera diferente a como se hizo en el capítulo 9. Allí se refería al comportamiento de los campos en una superficie de discontinuidad entre dos medios. Aquí se supone que está tratando con una región rodeada por una superficie para la que el valor numérico del potencial se encuentra dado o conocido en todos los puntos; es decir, no se conocen los detalles de la distribución de cargas fuente fuera.de esta región, pero sí se conoce el potencial que ellas producen sobre la superficie. Por ejemplo, parte de la frontera puede ser un conductor que se mantiene a un potencial de 12 volts por medio de una batería. Así, cualquiera que sea 0 en otros puntos, debe reducirse al valor de 12 volts siempre que el punto de campo se localice en algún lugar del conductor. Algunas veces la frontera en cuestión se encuentra muy lejos, es decir, en el infinito.
Sea 0i (r) una solución de (11-3) que satisface las condiciones de frontera dadas. Supóngase también que existe otra solución diferente, 02 (r), que satisface las mismas condiciones de frontera. Se desea demostrar que 0! y 02 son en realidad idénticas entre sí. Sea 0 = 0! — 02 . Entonces 20 = ¿0¡ — 202 = 0, de acuerdo con (11-3); por lo tanto 0 es también una solución de la ecuación de Laplace. Sobre la superficie limitante S, 0i = 02 de modo que
0 = 0 en la frontera	(11-4)
Si ahora se utilizan (1-117), (1-45), (1-17) y (11-3), se encuentra que
V • (0V0) = V0- V0 + 0V20= (V0)	01-5)
lo que, cuando se usa en (1-59) conduce a
f (V0)26Zt= f V-(0V0)JT = (£(0V0)-¿Za = O	(11-6)
Jy	'V	Js
de acuerdo con (11-4). Como el integrando de la primera integral es una suma de cuadrados y, por lo tanto, intrínsecamente positivo, la integral puede ser igual a cero únicamente si el propio integrando es cero en todas partes; por lo tanto,
= 0
(11-7)
de acuerdo con (1-37). La expresión en (11-7) es otra vez una suma de cuadrados, por lo que los términos individuales deben ser cero, o sea,
00 _ 00 _ 00
0x 0y 0z
(11-8)
= 0
de manera que <p = const. Pero, ya que 0 = 0 en la frontera y es constante, se puede ver que 0 = 0 en todas partes, por lo que
Método de las imágenes
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— ^2 en todas partes	(11-9)
que es lo que se quería demostrar.
Algunas veces las condiciones de frontera se enuncian en función de las componentes del campo, es decir, en función de las derivadas del potencial, en lugar de su valor absoluto. Se pueden demostrar teoremas de unicidad análogos para la ecuación de Laplace aplicables en tales situación; un ejemplo de ello está dado en el ejercicio 11-1. De manera similar, se puede demostrar un teorema de unicidad para la ecuación de Poisson, aunque no se considera necesario hacerlo aquí.
Desde un punto de vista práctico, el significado del resultado (11-9) es que una vez que se ha encontrado una solución para la ecuación de Laplace, por el método que se desee, y que satisfaga las condiciones de frontera dadas, se sabe que es la única solución y no se requiere siquiera considerar la posibilidad de que pudiera existir alguna otra. “Por el método que se desee” puede incluir métodos sistemáticos, adivinanzas burdas, cálculos atinados o simplemente recordar un resultado previo y aplicarlo de alguna manera astuta.
Los primeros métodos que se estudian aquí para resol ver (11-3) son muy interesan tes pero muy especializados.