Solenoide ideal infinitamente largo - Arturo Lara

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15- Solenoide ideal infinitamente largo
Dado que ya se han encontrado los valores del B producido por este sistema en (15-25) y (15-26), se les usará aquí como un ejemplo del cálculo de A por medio de (16-23). La figura 16-5 muestra el solenoide visto desde un extremo, con una corriente superficial A equivalente a la de (15-22) circulando a su alrededor; el eje del solenoide (eje z) apunta hacia afuera de la página, lo mismo que B. De acuerdo con (16-13), cada elemento de corriente Kda' aporta una contribución a A en su propia dirección, y si se consideran las contribuciones respectivas dAi y dA2 de dos elementos K^dci! y K2da2 situados simétricamente como se muestra en la figura 16-6, se puede observar que las componentes p se cancelan entre sí, por lo que solamente queda una componente Se concluye así que A solamente tiene componentes <p, es decir, que las líneas de A son círculos sobre este plano, de modo que puede escribirse que
A = ^(p)<p
(16-46)
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Potencial vectorial
Figura 16-5 Vista desde un extremo de un
solenoide ideal muy largo.
ya que A<p debe ser independiente de z para este solenoide infinitamente largo y es independiente de <p por simetría. Así, una trayectoria de integración adecuada, C, para ser usada con (16-23) es una circunferencia de radio p para la cual ds = pdw de esta manera se obtiene
(^) A-ds = (^) A • tppdtp = lirpA^ = O
así que
(16-47)
1. Dentro del solenoide. Aquí p < a, y dado que Bz es uniforme de acuerdo con (15-26), el flujo se obtiene de (16-6), (1-52) y (1-53) y es
1 <^1
Figura 16-6 El potencial vectorial resultante de dos
elementos de corriente situados simétricamente
tiene sólo una componente
Solenoide ideal infinitamente largo
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B¡z • daz = [LqIíI da = iionlirp2	(16-48)
el cual, al ser sustituido en (16-47) da
^<p) = |í«XP (P<«)	(16-49)
2. Fuera del selenoide. Aquí p > a, y dado que Bo = 0, el flujo encerrado es el valor constante que se obtuvo de (16-48) para p = a, es decir, = p0nrna2. Cuando esto se sustituye en (16-47) se obtiene
/ a2\
=	(p>fl)	(16-50)
Nótese que tanto (16-49) como (16-50) dan el mismo valor de ~ponla para p = a', esto concuerda con la propiedad de continuidad de A expresada en (16-22).
En la figura 16-7 se muestran tanto como Bz graficados en función de p para comparar su comportamiento. Este resultado interesante muestra que fuera del solenoide, donde la inducción es igual a cero, el potencial vectorial es diferente de cero. Esto deja en claro que lo que realmente importa desde este punto de vista no es el valor absoluto de A, sino la manera en que cambia, descrita por B ~ V X A. Para apreciar lo que en realidad ocurre aquí, de (1 -88) de B que no es igual a cero es Bz = 3 (pA<p)/pdp. Dentro del solenoide pA<p = ±ponlp2 según (16-49), por lo que Bzi = poní, en concordancia con (15-26). Sin embargo, fuera de él, (16-50) da pAip = ±p0nía2 = const., de modo quefiz = 0 como ya se sabía.
Resulta también interesante observar que las líneas de A circulares que sí funcionan en este caso como se comprobó anteriormente corresponden cualitativamente a las de la figura 16-2c, lo cual ya se dedujo como una posible descripción de inducción uniforme.