Dos corrientes paralelas infinitamente largas - Arturo Lara

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12- Dos corrientes paralelas infinitamente largas
Considérense dos circuitos rectos infinitamente largos que conducen corrientes I e I’. Son paralelos entre sí y se encuentran separados por una distancia p. Por especificidad, úsense coordenadas cilindricas y tómese el eje z en coincidencia con la corriente fuente I’, como se ilustra en la figura 13-2. En ambos casos, cada corriente debe ser parte de un circuito completo; se supone que las porciones que faltan seextiendenalolargodealgunas curvas grandes en el infinito (como por ejemplo, grandes semicírculos) y que están tan lejos que sus contribuciones pueden despreciarse por la presencia de R2 en el denominador de (13-1). En la figura se puede observar que r=pp+zzy que r ’-z ’ z, de modo que R = r-r’ = pp + (z-z’)z y que R2 = p2 + (z - z')2. Dado que en el caso p y p son constantes, se observa también quet/s =zdr=dz i. y que¿&’=<ár =dz ’z.Utilizandoestosresultadosy R = R/R, se encuentra que
¿ZsX(¿Zs'XR) = dzdz'zX(zX[pp-(z-z')z]} = _ pdzdz'p
R2	R3	[p2+(z-z')2]3/2
(13-10)
por (176) y (1-26). Al sustituir esto en (13-1) se tiene
(13-H)
donde los límites de la integral cubren los circuitos C y C\ Si se hace ahora la sustitución t = z ’ — z, de manera que di -dz ’ porque z es constante durante la integración con respecto a z se obtiene que la integral con respecto a z ’ es
f00 dt = 2
-»(p2+/2)3/2 p2
de acuerdo con (3-7) y (3-8). Por lo tanto, (13-11) se reduce a
ZlTp
^C'^C ~
(13-12)
Si ahora se realizara la integración con respecto az, es decir, sobre C, se obtendría una fuerza infinita. Sin embargo, todavía es posible obtener alguna utilidad de este resultado si se observa que el integrando es independiente de z, de manera que la fuerza sobre una longitud dz del circuito estará dada por <7F =- (p0ZZ’p/27rp) dz. Así, si se introduce una fuerza por unidad de longitud, fc, se puede escribir
c dz 2irp
(
corrientes
paralelas
(13-13)
Puede observarse que la magnitud de íc es constante, que es proporcional al producto de las corrientes e inversamente proporcional a la separación p y que su dirección es perpendicular a las corrientes. En efecto, dado que el coeficiente de p (13-13) es negativo, de la
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Ley de Ampere
(13-14)
Figura 13-2 Cálculo de la fuerza entre dos corrientes paralelas infinitamente largas.
figura 13-2 se puede observar que ésta viene a ser una fuerza de atracción entre C yCdi-
rigida de C a C '■
En la figura 13-2 se supuso que Ie I'tenían la misma dirección. Si ahora se toman
I e I'en direcciones opuestas, bienr/s ó ds deberá tener signo opuesto al que tenía antes,
ya que el elemento de línea se define en la misma dirección de la corriente. En (13-10) se
puede apreciar que esto haría que el producto cruz doble tuviera signo cambiado, con lo
que (13-13) quedaría
corrientes
antiparalelas
que viene a ser de repulsión sobre C.
Se puede resumir la naturaleza cualitativa de estos resultados diciendo que corrientes
paralelas (iguales) se atraen entre sí, mientras que corrientes antiparalelas (opuestas) se re-
pelen; esto viene a ser, en cierto sentido, “opuesto” al comportamiento observado con las
fuerzas electrostáticas entre cargas.
Un caso particular de (13-14) que resulta de interés ocurre cuando las corrientes son
iguales; cuando/= /' queda
(13-15)
Esta situación se podría lograr en la práctica haciendo que los alambresrectosparalelosCy C de la figura 13-2 sean porciones del mismo circuito, conectando sus extremos en el infinito para cerrar el circuito. En este caso se tendría la certeza de contar con corrientes iguales y opuestas, de modo que se pudiera aplicar (13-15). Pero dado que q0 se encuentra definido ya en (13-2), no queda ninguna cantidad arbitraria en (13-15), de modo que es posible encontrar el valor absoluto de / en amperes al determinar las cantidades mecánicas fr y p. En otras palabras, se puede utilizar (13-15) para medir I; este viene a ser esencialmente el método que en realidad se emplea para determinar el valor del ampere. Una vez que se haya encontrado el valor de una corriente / por medio de este método, el valor I' de otra co
_ p0I2p c 2irp
Fuerza entre elementos de corriente
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tríente cualquiera puede encontrarse en principio por medio de esta configuración ,y a sea que (13-13) o (13-14) se usen para describir la fuerza medible por unidad de longitud.