Capítul0 4 ley de gauss - Arturo Lara

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Capítulo
4
Ley de Gauss
Si se parte la definición de divergencia dada en (1-66), se puede anticipar que el flujo de E a través de una superficie cerrada, es decir, su integral de superficie, será un tema de gran utilidad. Como se verá enseguida, la naturaleza del cuadrado inverso de la ley de Coulomb permite evaluar este flujo sobre una superficie de tamaño y forma arbitrarios.
3- 1 Derivación de la ley de Gauss
Se desea demostrar que
ÓE-da=- 2	=	(4-1)
Adentro «0	'	’
donde £>en es la carga neta contenida dentro del volumen limitado por la superficie arbitraria, S. De acuerdo con (3-2) se obtiene
(4-2)
Hay dos casos que merecen consideración especial.
1. q¡ se encuentra dentro de S (figura 4-1). Si se recuerda lo visto en relación a la figura 1-26, se observa que
R,-¿7a da eos® área ± to R,
	—	=	= a\l
R2 R2
R2
(4-3)
donde d£l = elemento de ángulo sólido subtendido en q¿ por la superficie da. Para poder evaluar la integral en (4-2) se considera una esfera, So, de radio Ro con qt en su centro. Este mismo ángulo sólido d£l intersectará la superficie da0 sobre esta esfera; como se puede observar en la figura, ¿Za0 es paralela a Rz, de manera que si se utiliza (4-3) en este
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caso, ¿7Í2 es también igual a düQlRo1. Por lo tanto, la integral de (4-2) puede también escribirse como
^2 = 1 <pao=±^¿=4„
r TS¡¡R2 R2\ R2
(4-4)
dado que Ro es constante para todos los puntos en la superficie de la esfera. Así, el ángulo sólido total subtendido por cualquier superficie cerrada con respecto a un punto dentro de ella es 4n, por lo que se puede escribir que
r R.'da
= 4?r (si rz está dentro de S)
2. q¡ está fuera de 5 (figura 4-2). Aquí se deben considerar los dos elementos de superficie, ¿tai y da2, de S que son recortados por el mismo ángulo sólido d£l pero que se encuentran en lados opuestos de S. Sus distancias a q¡ se escriben como Rzl y Rz-2. Como antes, se tiene que
RfíZaj _ ¿ZfljCOS©!
R¿~
pero ahora, ya que 02>7?72, de manera que eos 02 es negativo,
R,-¿/a2 _ ¿Za2cos02
~R¿ Ra
= -dü
y, por lo tanto,
R,-da. R,-¿Za,
V R¿
(4-6)
de manera que la contribución neta de estos dos elementos de superficie a la integral de
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(4-2) es igual a cero. Dado que todos los elementos de superficie de S se pueden aparear de esta manera, todas sus contribuciones a la integral se cancelarán mutuamente y, por lo tanto,
r R¡-da
5 R¡2
(si r¿ está dentro de S)
(4-7)
= 0
Por ello, de acuerdo con (4-2), (4-5) y (4-7),
Js 47T€0 centro JS R.2 €o d~ro €0
(4-8)
con lo que se ha demostrado la ley de Gauss tal como se enuncia en (4-1), y como ahora puede verse es consecuencia directa de la ley del cuadrado inverso que obedece la fuerza entre cargas puntuales.
Figura 4-2 La carga puntual se encuentra fuera de la superficie S.
Se pueden exponer ahora algunas implicaciones importantes de este resultado. Cualesquiera cargas que se encuentren fuera de una superficie cerrada no afectan el valor de la integral, aunque sus valores y localizaciones sí afectan el valor particular de E en cada punto de la superficie. De manera similar, la integral es función únicamente del valor total de las cargas que se encuentran dentro de la superficie y, por lo tanto, es independiente de sus localizaciones específicas dentro de dicha superficie; si las cargas cambian de posición, cabe esperar que el valor de E en un punto particular de la superficie cambie también, aun cuando el valor de la integral completa no se afecte. Dado que el resultado obtenido en (4-1) es una simple suma, se puede observar que cada una délas cargas contribuye independientemente al flujo total de E a través de S; por lo tanto, una carga puntual dada, ¿y, posee un flujo total de E igual zqleo a través de cualquier superficie cenada que la rodee.
Si ahora se asume que las cargas dentro de S están distribuidas en forma continua con densidad p , se puede utilizar (2-14) para escribir
2en= f P^
JV
donde V es el volumen total encerrado por S. Si también se aplica el teorema de la divergencia (1-59), se puede escribir (4-8) como
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V • E¿/t — — f pdr
v	eo Jv
(4-9)
Dado que este resultado se aplica para cualquier volumen V arbitrario, será también válido para uno infinitamente pequeño, por lo que se pueden igualar los integrandos para obtener
V-E= —
€o
(4-10)
Este importante resultado es una de las ecuaciones de Maxwell y es completamente equivalente a la ley de Coulomb para la fuerza entre partículas cargadas. (Más adelante se verá la importancia de recordar que la densidad de carga p incluye todas las cargas, de cualquier fuente, ya que el campo eléctrico es producido, por definición, por todas ellas.)
3- 2 Algunas aplicaciones de la ley de Gauss
Si la distribución de carga posee suficiente simetría, la ley de Gauss permite calcular de manera muy sencilla y conveniente el campo eléctrico. El problema principal es la elección de una superficie para las cuales la magnitud de E sea constante, y tales que E sea paraíso o perpendicular a ellas, tanto por facilidad en la integración como para evitar las dificultades que surgen cuando se desconoce la dependencia de E con respecto a la posición. Este procedimiento se demuestra muy claramente por medio de ejemplos, por lo que aquí se dará uno para cada una de las distribuciones continuas de carga que se han visto.
Ejemplo
Linea infinita de carga uniforme. Se supone que Á = const. y también que lalínea de carga coincide con el eje z; se utilizarán coordenadas cilindricas. Para una recta infinita, no tiene importancia en cual de sus porciones se realiza el estudio, ya que la carga se extiende hasta el infinito en ambas direcciones; por ello se concluye que E no puede ser función de z. De manera similar, no hay forma de distinguir entre dos valores de ya que la distribución de carga es la misma sin importar desde qué dirección perpendicular a z se le observe. Por lo tanto, E también debe ser independiente de y, a lo más, debe depender solamente de la distancia p a la recta; así, la conclusión es E = E(p).
Supóngase ahora que E tiene una componente paralela a la recta, es decir, que Ez{p)
0. En este ejemplo, la elección de la dirección positiva o negativa del eje z es completamente arbitraria; es decir no existe una distinción entre “arriba” y “abajo”. Pero si Ez no fuera igual a cero, este mismo hecho constituiría una distinción entre arriba y abajo; por lo tanto, debe concluirse que Ez = 0. De manera similar, no hay razón alguna para preferir un sentido para <p, por lo que E^ = 0. Por lo tanto, se llega a la conclusión de que, por la simetría de la situación, E sólo puede ser radial y se le puede expresar como E = Ep (p)p. Así, una superficie para la cual la de E es constante es un cilindro de radio p cuyo eje coincide con la línea de carga la figura 4-3 muestra una sección finita de este cilindro, cuya longitud se ha elegido igual a L, y en ella se puede observar que su normal exterior, n^, es exactamente p, por lo que también es paralela a E. Todo esto sugiere que se utilice la superficie curva de este cilindro como parte de la superficie de integración. Se puede ahora obtener una superficie cerrada si el resto de ella se hace consistir de las dos secciones circulares de radio p que se muestran, quedando así la superficie final de integración en la forma de un cilindro circular recto. Las normales exteriores de estas superficies superior e inferior se indican como h;/ y ñ/ y se puede observar que son iguales az y —z, respectivamente. Aunque Ep tiene una dependencia desconocida con respecto a p en estas
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superficies circulares, E es perpendicular a los vectores de superficie y por tanto su contribución al flujo total es nula.
Después de toda esta discusión, la evaluación misma de la integral de superficies es lo de menos importancia. Se le puede escribir como la suma de integrales sobre la super-
Figura 4-3 Cálculo del campo de una línea infinita de carga uniforme.
ficie curva y las caras superior e inferior (que aquí se designan con c, u y 1).Se recuerda también que Ep (p) es constante sobre la superficie curva, dado que p es constante. Así, en este caso (4-1) queda como
(^)E</a= f Ep(p)p-ñcda + J Epp-ñuda+ fEpp-í^da
-E,(p) Jda + 0+0=El,(p)2^pL=^=^
donde se han utilizado (1-76) y (2-16), esta última para encontrar la carga total dentro del cilindro, la cual es aquélla contenida en la recta de longitud L. Se puede observar que al despejar Ep, la longitud arbitraria!, se cancela, quedandoEp(p) = Xj'l-npeQ. de manera que
E=w*	(4-"»
lo que viene a ser exactamente el mismo resultado (3-9) que se obtuvo antes por integración directa.
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Ejemplo
Plano infinito uniformemente cargado. Aquí se supone que o = const. y, para mayor claridad, que el plano coincide con el xy. La figura 4-4 muestra una vista de perfil de la situación. Dado que tanto la elección del origen como la orientación de los ejes x y y son completamente arbitrarias en este caso, E debe ser independiente tanto de x como de y. De manera similar, no hay aquí ninguna distinción básica entre derecha e izquierda o entre una dirección hacia afuera o hacia adentro del papel, por lo que E no puede tener componentes paralelas al plano. Por tanto, E solamente puede tener una componente z que, cuando mucho, podrá ser función de z, la distancia al plano. No existe tampoco ninguna diferencia real entre arriba y abajo, por lo que E siempre debe apuntaryaseahacia el plano o alejándose de él, dependiendo del signo de o. Así, E debe ser de la forma E = ±E(z)i con el signo superior para z > 0 y el inferior para z < 0;E(z) puede ser positivo o negativo, pero la figura se dibujó para el caso en que E(z) es positivo.
Estas consideraciones sugieren que la elección de la superficie de integración sea un cilindro recto que se extiende una distancia igual, D, hacia arriba y hacia abajo del plano, con caras paralelas al mismo y de área igual a A a; en la figura, las normales exteriores se indican como ñ1( = z y ñ] = - z. E tiene la magnitud constante E(D) en estas caras. La superfice curva que conecta estas caras tiene sus lados perpendiculares al plano; una de sus normales exteriores se indica como ¡v y se puede observar que • z = 0 para todas las porciones de la superficie curvada. También puede observarse que Qen es la carga recortada en el plano por la sección del cilindro y es, por tanto, igual a oA a.
Figura 4-4 Cálculo del campo de un plano uniforme infinito.
De manera que en este caso, (4-1) se convierte en:
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= E(D)ka + E(D)A« + 0 = 2E(D)Au =	—
€0 eo
De aquí que E{D) = o/2e0, que resulta ser independiente de D; por lo tanto, el campo eléctrico para este plano cargado está dado por
E=±¿-z	(4-12)
ze0
que es exactamente el mismo resultado (3-12) que se obtuvo por integración directa.
Ejemplo
Distribución de carga esféricamente simétrica. La distribución de carga está contenida dentro de una esfera de radio a. No es necesario suponer que la densidad de carga sea constante, pero sí suponer que es independiente del ángulo, de manera que, cuando mucho, p - p(r); esto es lo que significa “esféricamente simétrica”. De esto se puede concluir que E es radial y que su magnitud es independiente del ángulo, por lo que se le puede expresar como E = Er(rjr.
Dado que la magnitud de E es constante sobre una esfera de radio r se elige tal esfera como superficie de integración; su normal exterior es también r. Por lo tanto, el miembro izquierdo de (4-1) queda, al utilizar (1 -92), como
$E-da = $ Er(r)r-rda = Er(r)$ da = 4‘nr2Er(r)	(4-13)
y, por lo tanto,
47re(/
donde
Cen= í	(4‘15)
en -E(r)
y donde V(r) es el volumen de la esfera de radio r. Hay dos casos a considerar.
1. Para puntos fuera de la esfera de carga, r > a. Aquí p(r ) = 0 si r > a, y el volumen de integración de (4-15) se reduce á E(a), es decir, el volumen total de la distribución de carga, de manera que
(?en= f P(r')dr' = Q	(4-16)
J K(a)
donde Q es la carga total contenida en la esfera. Así, (4-14) queda como
£,(r)=—2^	(r>a)	(4-17)
y el campo eléctrico afuera es el mismo que si toda la carga fuese una carga puntual situada en el centro de la esfera. Si se recuerdan (3-1) y (2-29) (en las que la carga total se escribió como Q'), se ve que e'ste es el mismo resultado obtenido por integración directa para la esfera de densidad de carga constante, pero ahora se puede apreciar que esta conclusión es en general válida para cualquier esfera de carga, siempre y cuando la distribución de carga sea esféricamente simétrica.
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2. Dentro de la esfera de carga, r < a. En este caso se puede utilizar (1-99) para escribir (4-15) en la forma
Qin= (2" f f p(r')r'2sen0'dr'dO'dtp' = 4«77 f p{r')r'2dr'	(4-18)
Jo Jo Jo	Jo
lo cual, al sustituir en (4-14) da el campo interior como
Er(r) = —U- f p(r')r'2dr'	(r<a)	(4-19)
c0r2 Jo
No se puede proseguir si no se conoce la forma explícita de p(r').
Ejemplo
Como un caso especial del ejemplo anterior, asúmase que p = const., es decir, que se tiene una esfera uniformemente cargada. En este caso la integral de (4-19) es
de manera que
(r<a)
(4-20)
Figura 4-5 Campo de una esfera de carga uniforme, de radios, en función de la distancia r al centro.
Esto puede ser expresado en función de la carga total Q por medio de (2-27); el resultado es
(r<a)	(4-21)
477€oír
lo que demuestra que el campo aumenta linealmente con la distancia a partir de su valor cero en el centro; afuera de la esfera varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro, de acuerdo con (4-17). Nótese que tanto (4-17) como (4-21) dan el mismo valor Q/4 7i€oa2 en la superficie de la esfera de carga, donde r = a; por tanto, el campo eléc
Cálculo directo de V • E
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trico es continuo a través de esta superficie. Estos resultados para la esfera uniformemente cargada se ilustran en la figura 4-5.
Otras distribuciones de carga esféricamente simétricas, p(r), dan una dependencia diferente de Er con respecto a r dentro de la esfera, pero exactamente la misma que se muestra en la figura 4-5 fuera de la esfera, cuando Er se expresa en función de la carga total contenida dentro de la esfera r = a.