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CURSO 
 
PROPEDÉUTICO 
 
PARA CÁLCULO 
 
DIFERENCIAL 
 
E INTEGRAL 
 
 
 
2 
 
ÍNDICE 
 
 Página 
 
Introducción 6 
 
I. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
1.1. Reducción de términos semejantes 7 
1.2. Evaluación de expresiones algebraicas 9 
1.3. Supresión de símbolos de agrupación 10 
1.4. Suma y resta de polinomios 11 
 1.4.1. Suma de polinomios 13 
1.5. Multiplicación de polinomios. Leyes de los signos, de los coeficientes 
 y de los exponentes 
14 
1.6. División de polinomios. Leyes de los signos, coeficientes y exponentes 17 
1.7. División sintética 19 
 
II. TEORÍA DE LOS EXPONENTES 
 
Exponente cero, negativo y fraccionario 20 
Leyes de los exponentes 21 
 
III. RADICALES 
 
3.1. Reducción de radicales 23 
3.2. Simplificación de radicales 23 
3.3. Introducción de factores en un radical 25 
3.4. Reducción de radicales al mínimo común índice 25 
3.5. Reducción de radicales semejantes 27 
3.6. Suma y resta de radicales 28 
3.7. Multiplicación, división y potenciación de radicales 29 
3.8. Racionalización 30 
 
IV. PRODUCTOS NOTABLES 
 
4.1. Cuadrado de una expresión algebraica formada por dos términos 32 
4.2. Producto de dos expresiones conjugadas 32 
4.3. Producto de dos expresiones con un término común 
 de la forma   a b a c  32 
4.4. Cuadrado de una expresión algebraica formada por tres términos 33 
4.5. Cubo de una expresión algebraica formada por dos términos 33 
 
V. FACTORIZACIÓN 
 
5.1. Máximo común divisor (M.C.D.) de varios términos 35 
5.2. Factor común 37 
5.3. Trinomio cuadrado perfecto 38 
3 
 
 Página 
 
5.4. Diferencia de cuadrados 39 
5.5. Suma y diferencia de cubos 40 
5.6. Trinomios cuadráticos de la forma 2x bx c  , con b y c enteros 
 distintos de cero 
41 
5.7. Trinomios cuadráticos de la forma 2ax bx c  , ( , ,a b c son enteros 
 distintos de cero y 1a  ) 
43 
 
VI. FRACCIONES ALGEBRAICAS 
 
6.1. Mínimo común múltiplo (M.C.M.) de varios términos 48 
6.2. Suma y resta 49 
6.3. Multiplicación y división 51 
 
VII. ECUACIONES 
 
7.1. Ecuaciones de primer grado con una variable 55 
7.2. Ecuaciones fraccionarias 58 
7.3. Ecuaciones literales y despejes 61 
 
VIII. ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO 
CON DOS Y TRES INCÓGNITAS 
 
8.1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 62 
8.2. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas 67 
8.3. Método DGO 70 
 
IX. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
9.1. Ecuaciones incompletas de la forma 2 0ax c  72 
9.2. Ecuaciones incompletas de la forma 2 0ax bx  72 
9.3. Solución de ecuaciones de segundo grado por descomposición 
 en factores 
74 
9.4. Solución por fórmula general 74 
9.5. Ecuaciones con radicales 77 
 
X. LA RECTA 
 
10.1. Ángulo de inclinación de una recta 78 
10.2. Pendiente de una recta 79 
10.3. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas 81 
10.4. Ecuación y gráfica de una recta 82 
10.4.1. Ecuación de la recta conocidos un punto cualquiera de esta 
 y su pendiente 
83 
10.4.2. Ecuación de la recta conocidos dos puntos de esta 84 
10.4.3. Ecuación de la recta conocidos su pendiente y ordenda al origen 85 
 
 
4 
 
 Página 
 
XI. LA PARÁBOLA 
 
11.1. Elementos de la parábola 86 
11.2. Ecuación y gráfica de la parábola 87 
 11.2.1. Con eje de simetría paralelo al eje “ ” 87 
 11.2.2. Con eje de simetría paralelo al eje “ ” 88 
 
XII. TRIGONOMETRÍA 
 
12.1. Fórmulas de conversión 92 
12.2. Longitud de Arco 93 
12.3. Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo  
 en un triángulo rectángulo 
93 
 12.3.1. Funciones trigonométricas de ciertos ángulos que 
 se presentan con cierta frecuencia 
94 
 12.3.2. Teorema de Pitágoras 94 
 12.3.3. Identidades pitagóricas 94 
 12.3.3.a. Suma y diferencia de ángulos 95 
 12.3.3.b. Fórmulas de ángulos dobles 95 
 12.3.3.c. Fórmulas de ángulo mitad 95 
 12.3.3.d. Fórmulas de producto-suma 96 
 12.3.3.e. Fórmulas de suma-producto 96 
 12.3.3.f. Ley de senos 96 
 12.3.3.g. Ley de cosenos 96 
 
SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS 
 
Ejercicios 1.1. 97 
Ejercicios 1.2. 98 
Ejercicios 1.3. 98 
Ejercicios 1.4.1. 99 
Ejercicios 1.5. 99 
Ejercicios 1.6. y 1.7. 100 
Ejercicios 2.1. 101 
Ejercicios 3.2. 103 
Ejercicios 3.3. y 3.4 104 
Ejercicios 3.6. y 3.7. 105 
Ejercicios 3.8. 106 
Ejercicios 4.1. al 4.5. 107 
Ejercicios 5.1. al 5.6. 109 
Ejercicios 5.7. 110 
Ejercicios 5.7.1. 111 
Ejercicios 5.7.2. 111 
Ejercicios 6.1. al 6.3. 112 
Ejercicios 7.1. 113 
Ejercicios 7.2. 115 
Ejercicios 7.3. 116 
x
y
5 
 
Ejercicios 8.1. 117 
Ejercicios 8.2. 118 
Ejercicios 8.3. 119 
Ejercicios 9.1. al 9.2. 119 
Ejercicios 9.3. y 9.4. 120 
Ejercicios 95 121 
Ejercicios 10.2. 121 
Ejercicios 10.3. 122 
Ejercicios 10.4.1. 123 
Ejercicios 10.4.2. 124 
Ejercicios 10.4.3. 125 
Ejercicios 11.2.1. al 11.2.2. 127 
Ejercicios 11.2.3. 130 
 
Bibliografía 133 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
¿Qué significa un curso Propedéutico? 
La Propedéutica (del griego  (pro), que significa “antes” y  (paideutikós) 
“referido a la enseñanza” (siendo paidós: “niño”), es el conjunto de saberes y disciplinas que 
hace falta conocer para preparar el estudio de una materia, ciencia o disciplina. Constituye 
una etapa previa a la metodología (conocimiento de los procedimientos y técnicas necesarios 
para investigar en un área científica). 
Incluir un curso Propedéutico antes de cursar la materia de Cálculo Diferencial e Integral, 
involucra también a los conceptos de preparación para recibir nuevos conceptos, es el 
estudio básico o por adelantado que se le da al alumno para llegar a una disciplina en forma 
adecuada. 
Los contenidos que se abordan en este curso Propedéutico, están vinculados con los temas 
estudiados en cuarto y quinto de preparatoria, con la intención de revisarlos una vez más, ya 
que son conceptos importantes que todo estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo 
Diferencial e Integral, aplicará en la construcción del nuevo conocimiento. 
Durante este curso Propedéutico, el estudiante se enfrentará a diversas actividades que le 
permitirán enfrentar de mejor manera el cambio de nivel y de modalidad de estudio 
facilitándole alcanzar el egreso de la educación media superior. 
La presentación de cada tema que se expone en este Propedéutico se ha compactado de tal 
manera que resulta fácil su estudio, acompañados además de una serie de ejemplos 
cuidadosamente resueltos con detalle y proponiendo también ejercicios que deberá resolver 
el alumno como reforzamiento de cada concepto y cuya solución se presenta al final del 
material, con la recomendación únicamente de que pueda comparar sus resultados. 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
 
1.1. REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES 
 
Cuando se utiliza el lenguaje algebraico para representar operaciones entre números, se generan 
expresiones como las siguientes: 
25 3x  ,   a b a b  , 
3
2
a
x
x
  , etc. 
a las cuales se les llaman EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 
 
Una expresión algebraica que consta de más de un término separados por el signo de más o 
menos es por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En la expresión algebraica 
27 5 3 8x y xy y   se puede decir que: 
 
 Tiene 4 términos: 
27x y , 5xy , 3y y -8 
 Tiene 2 variables: x y y 
 7 es el coeficiente de 
2x y , 5 es el coeficiente de xy , 3 es el coeficiente de y 
 8 es el término independiente. 
 
La expresión aritmética 7 7 7 7 7    (cinco veces el 7 ), se puede reducir a la expresión  5 7 y 
se puede considerar como una suma abreviada. 
 
En la expresión algebraica 3147416547
2222  xyyxyxxyyxxyyx puede hacerse una 
reducción equivalente, de la siguiente manera: 
 
Primero es necesario descubrirlas características comunes que deben tener los términos 
susceptibles de agruparse y reducirse a uno solo. 
 
Observa los términos 
27x y , 
25x y , 
24x y , 
27x y , debes notar que difieren únicamente en el 
coeficiente numérico y por esto se les llama TÉRMINOS SEMEJANTES. 
 
8 
 
Date cuenta que los términos 
27x y y 4xy no son términos semejantes, ya que su diferencia no 
solo es en el coeficiente numérico, sino también que el exponente 2 afecta a x en el primer término 
27x y , y no así al segundo término 4xy , por lo tanto, se puede dar la siguiente definición: 
 
 
 
Dos términos se llaman “TÉRMINOS SEMEJANTES” si: 
 
 Son idénticos. 
 O difieren únicamente en su coeficiente numérico. 
 
 
Hay que recordar que ab ba (propiedad conmutativa de la multiplicación), por lo tanto, los 
términos 3ab y 5ba son términos semejantes. 
 
Ejemplos 
 
2 37k Lp , 2 33Lk p , 3 2Lp k , 3 27 p Lk son términos semejantes. 
 
22x , 
2
3
x
, 
22
5
x también son términos semejantes. 
 
 
Al reducir términos semejantes, deben suceder dos cosas: 
 
 El resultado es un término semejante a los términos que se pretende 
reducir. 
 El coeficiente del resultado se obtiene sumando o restando los 
coeficientes de los términos semejantes que se pretenden reducir. 
 
 
 Ejemplos 
 
1)  2 4 2 4x x x    6x 
2)  7 2 7 2ab ab ab    5ab 
3)  2 2 2 2 2 2 25 3 2 5 3 2 5 3 2x y x y yx x y x y x y x y         24x y 
4)  2 2 2 2 26 3 3 6 3 3 0r r r r r       0 
5) 
2 2 1 2 12 3 6 4
2 1
2 3 2 3 6
x x x x x x
w w w w w w
     
           
   
13
6
x
w
 
 
o Si una expresión algebraica NO TIENE términos semejantes, entonces la expresión queda 
representada tal y como está, sin posibilidades de simplificación. 
 
 Ejemplo 
33 7 6 3xy x y y x    
 
9 
 
o Si todos los términos de una expresión algebraica son semejantes entre si, la expresión se 
puede reducir a un solo término. 
 
 Ejemplo 
7 3 2 7ab ab ab ab ab    
 
o Si una expresión algebraica tiene, tanto términos semejantes como otros que no lo sean, 
dicha expresión se puede simplificar reduciendo cada grupo de términos semejantes entre si, 
a un solo término hasta que la expresión no tenga términos semejantes separados. 
 
 Ejemplo 
 
8 3 2 4 2 8 2 3 4 2 6 7 2x y x y x x y y x y            
 
 Ejercicios 1.1. 
 
 Reduce las siguientes expresiones algebraicas. 
 
1. 5 11 9 20 1x y x y     2. 2 2 3 2 3a b b c a c b       
3. 
2 2 215 6 8 20 5 31a ab a ab a ab       4. 
3 4 2 3 4 2 3 371 84 50 84 45 18a b a b a b a b a b a b      
5. 
1 2 1 23 7 3 1
25 50 5 25
m m m ma b a b      6. 
1 1 3 1 3 1
2 3
2 3 4 6 4 2
a b a b a b       
7. 
2 2 23 1 12 2 2
5 10 3
m mn m mn mn m     8. 
2 2 2 2 23 1 5 1 3 1 12 2
4 2 6 3 4 6 3
a ab b a ab b b ab        
9. 
2 2 3 2 2 371 14 65 115 6m mn m mn m m m m       
10. 
1 2 3 1 2 2 3 35 3 8 5 50 4 65 90 7x x x x x x x xa b c a b b c c                 
 
 
1.2. EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
 El valor numérico de una expresión algebraica, puede calcularse cuando a cada literal de la 
expresión se le asigna un valor específico. 
 
 
Al proceso de calcular el valor numérico de una expresión se llama EVALUACIÓN, y consiste en 
sustituir el valor específico dado de cada literal usando paréntesis antes de efectuar las operaciones. 
 
 
 
 Ejemplos 
 
Evaluar las expresiones siguientes, si 3a  , 2b   , 1c , 2d   
 
1) 2 6a b c d   
        2 3 2 1 6 2 6 2 1 12          9 
 
2)  2 4 7 3d c d  
        2 2 4 7 1 3 2 4 4 7 6           48 
10 
 
 
3) 
2 3ac bd
ad

 
 
     
  
2 3 1 3 2 2 6 12 18
3 2 6 6
   
  
  
3 
4) 
2 2
2
2
a b
d
c

 
 
   
 
 
2 2
2
2
3 2 9 4
2 4 13 4
11
  
       9 
 
5) 
3 2 2
2
a c b
b d

 
 
   
 
 
 
2 2
3 3
2
3 1 2 8 2 1
1 1 1
2 4 4 22
 
       

3
2
 
 
 Ejercicios 1.2. 
 
Evalúa las siguientes expresiones si: 1a  , 2b   , 3c  , 4d  , 
1
2
m   , 
2
3
n  , 
1
4
p  , 0x  
 
1.    2 2 2b c d a m n x    2.  2 2 22 6 4mx b c d   
3. 
  2 2
2
4 m p a b
a c
 
 4. 
2 2 2c d
m
a d
 
 
  
 
5. 
2
2 1 1 1 1 1 1b
a b b c n m
    
        
    
 6.    2 22 3 4 2 4m n p c m n   
 
 
1.3. SUPRESIÓN DE SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN 
 
 Los símbolos de agrupación más empleados, son los paréntesis   , corchetes   y llaves 
  ; indican prioridad de operaciones, es decir, que indican el orden en que deben realizarse las 
operaciones. 
 
 Cuando se escribe una expresión dentro de un símbolo de agrupación, esta se considera 
como una sola cantidad; por ejemplo, si se encierra dentro de un paréntesis al binomio 2 4x y como 
 2 4x y , se considera la suma de 2x y 4 y como una sola cantidad. 
 
 Cuando hay un signo de más “ ” o un signo de menos “ ” antes de un símbolo de 
agrupación que encierra una expresión algebraica, sucede que: 
 
11 
 
o Si hay un signo  , los signos de los términos no se alteran al eliminar el símbolo de 
agrupación. 
 
o Si hay un signo  , el signo de cada uno de los términos cambia al eliminar el símbolo de 
agrupación. 
 
 
 
 
Eliminar o suprimir símbolos de agrupación, significa efectuar las operaciones indicadas por ellas y 
se empieza con el que esté situado más adentro, siguiendo el propio orden de las operaciones a 
efectuar. 
 
 
 Ejemplos 
 
 Suprimir símbolos de agrupación y reducir términos semejantes. 
 
1)    2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3x x x x x x x x                  5x 
 
2)        4 2 3 5 2 1 4 2 3 5 2 2 4 2 3 5 2 2a a a a a a a a a a a a                          
 = 4 2 2 3 5 2a a a a       a 
 
3)        3 5 2 3 5 2 3 5 2x y x y x y x y x y x y x y x y x y                   
 =3 5 2 3 2 5x y x y x y x x x y y y            6 7x y 
 
4) 
3 1 1 3 1 1
4 2 4 4 2 4
2 3 2 2 3 2
a b a b a b a b a b a b
         
                       
         
 
 = 
3 1 1 3 1 1
4 2 4 4 2 4
2 3 2 2 3 2
a b a b a b a b a b a b
 
             
 
 
 =
1 3 1 3 12 3 4 1
4 2 4 4
3 2 2 3 2 2 2
a a a
a a a b b b b b b
 
           
8
3 4
3
a
b   
 
 Ejercicios 1.3. 
 
Quita los símbolos de agrupación y reduce combinando términos semejantes. 
 
1.    4 3 3 1x y x    2.      2 3x y x y x y      
3.  1 2 3 3a b a       4.    8 3 3 3a a b a b      
5.    3 4 3x x x       6.   5 3 2 4a b b c b a a c          
7.     3 2 4 3 2xy xy x y xy x xy          8.   2 3 5 6 5a ab b a ab b a b           
 
 
1.4. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 
12 
 
 
 Hay una clase de expresiones algebraicas, llamadas POLINOMIOS que reciben especial 
atención en la matemática (es decir, que todo polinomio es una expresión algebraica, pero hay 
expresiones algebraicas que no son polinomios). 
 
 Para que una expresión algebraica en una variable reciba el nombre de POLINOMIO, sus 
términos deben tener ciertas características, en general se pueden representar como: 
01
1
1 ... axaxaxa
n
n
n
n 


 , donde los coeficientes na , 1na ,…, 1a , 0a pueden representar cualquier 
número real; los exponentes n , 1n ,…1 deben ser números enteros positivosy la variable x puede 
ser cualquier número real. 
 
 
Una expresión algebraica con un solo término recibe el nombre de MONOMIO si cumple con 
cualesquiera de las siguientes condiciones: 
 
a) Es una constante. 
b) Sus variables tienen exponentes enteros positivos y la única operación entre el coeficiente 
numérico y las variables es la multiplicación. 
 
 
 Ejemplos de términos que si son monomios: 
 
x , 
25x , 7 , 3ab , 
31
2
pq r , 
2
3
 , 
3 33
7
x yz , etc. 
 
 Ejemplos de términos que no son monomios: 
 
2
5
x
, 
2
2
2x
y
, 2 x , 
2 3
4
4 p q
r

, etc. 
 
 
Una expresión algebraica formada por dos términos no semejantes y ambos términos son 
monomios, recibe el nombre de BINOMIO. 
 
 
 
 Ejemplos de expresiones que si son binomios: 
 
x y , 2a a , 22 3b  , 3 4abc  , 1
2
x
 , 
23pq r , etc. 
 
 Ejemplos de expresiones que no son binomios: 
 
3p
x
q
 , 
22x x , 
2 15x
x
  , 
2 12y
y
 , etc. 
 
 
En general, cualquier expresión algebraica formada por un número finito de monomios, recibe el 
nombre de POLINOMIO. 
13 
 
 
 
 Una expresión algebraica que tenga al menos un término que no sea monomio, NO ES 
POLINOMIO. 
 
 Los polinomios se pueden clasificar: 
 
a) Según el número de variables que tengan 
b) Según su grado: 
 
 En polinomios con una variable, su grado es el mayor exponente de la variable. 
 En polinomios con más de una variable, su grado es el mayor de los grados de sus 
monomios (se determina sumando los exponentes de sus variables). 
 
 Ejemplos 
 
1) 
23 2 1x x  Polinomio con una variable y de grado 2 
2) 
26x y y  Polinomio con dos variables y de grado 3 
3) 
2 2 33 2 4xyz y y z   Polinomio con tres variables y de grado 5 
 
 
1.4.1. SUMA DE POLINOMIOS 
 
Se pueden sumar dos o más polinomios escribiendo uno a continuación de otro, respetando sus 
signos y reduciendo términos semejantes si los hay, o también, colocándolos uno debajo de otro 
agrupando en columnas los términos semejantes para efectuar su reducción. La resta de polinomios 
es similar a la suma, teniendo en cuenta que en el polinomio que se va a restar, cambian de signo 
todos sus términos. 
 
 Ejemplos 
 
1) Sumar los polinomios 2336,582
242  xxxxx 
 
2 4 2 4 2 22 8 5 6 3 3 2 6 2 3 8 3 5 2x x x x x x x x x x              4 26 5 3x x x   
 
 O también: 
 
 
 
2) Restar 2336
24  xxx de 582
2  xx 
 
2 4 2 2 4 22 8 5 (6 3 3 2) 2 8 5 6 3 3 2x x x x x x x x x x              4 26 5 11 7x x x    
 
 O también: 
2
4 2
4 2
2 8 5
6 3 3 2
6 5 11 7
x x
x x x
x x x
 

  
   
 
 
 Ejercicios 1.4.1. 
 
2
4 2
4 2
2 8 5
6 3 3 2
6 5 3
x x
x x x
x x x
 

  
  
14 
 
En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra primero la suma de los polinomios y segundo, 
resta el segundo del primero. 
 
 Primero Segundo 
 
 1. 7 7x y ; 3 9 6x y z  
 2. 3 6 3 4x xy yz   ; 3 7 6 13x xy yz   
 Primero Segundo 
 
 3. 
2 23a ab b  ; 
2 25ab a b   
 4. 
3 2 32 1 2
3 4 5
m mn n  ; 
2 2 31 1 3
6 8 5
m n mn n  
 5. 
3 2 32 5 1
9 6 3
a ax x  ; 
2 2 33 7 1
7 8 9
a x ax x   
 6. 
3 2 4 51 3 1
10 4 6
x y xy y  ; 
4 3 2 52 12
5 3
x y x y y  
 
 
1.5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, 
DE LOS COEFICIENTES Y DE LOS EXPONENTES 
 
a) Multiplicación de números reales: 
 
Si x y y son dos números reales cualesquiera: 
 
  x y xy    ;   x y xy    ;   x y xy    ;   x y xy    
 
b) El producto 3 5x significa tres veces cinco, es decir, 3 5 5 5 5x    (tres términos de 5 ) 
 
 de la misma manera: 4x x x x x    (cuatro veces x o cuatro términos de x ) 
 
 3ab ab ab ab   (tres veces ab o tres términos de ab ) 
 
 
En general, si “ n ” representa un número entero positivo cualquiera, se tiene que nx , significa: n -
veces x o n términos de x , o sea: 
 
n veces
nx x x x x

     
 
c) 
42 es una forma compacta de representar el producto formado por cuatro factores, todos 
iguales a 2 , es decir: 
    4
4 2
2 2 2 2 2
factores iguales a


 
 de la misma manera: 
 
     
3
3 3 3 3     ; 
5
2 2 2 2 2 2
5 5 5 5 5 5
       
       
       
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si “ x ” representa un número real y “ n ” es un entero positivo, 
entonces: 
 
 
 
 
 
 
 A partir de esta definición, se puede obtener una regla para el producto de potencias de igual 
base a una sola potencia, por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Si “ x ” representa un número real cualquiera y “ n ” y “ m ” son dos enteros positivos 
cualesquiera: 
 
 
 
 
 
 
 El producto de dos potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma que tienen 
las factores y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores (esta regla se generaliza 
al producto de más de dos potencias). 
 
 La propiedad distributiva en los números reales establece que si , ,a b c son tres números 
reales cualesquiera, entonces: 
 
 a b c ab ac   
la cual se puede extender a:  1 2 3 1 2 3n na b b b b ab ab ab ab          
 
y se aplica para multiplicar polinomios. 
 
 Ejemplos 
 
Multiplicar: 
 
1)  2 2 2 2 22 2 2a a a a a a a    4 32 2a a 
16 
 
 
2)  2 2 3 2
1 2 1 2 3 6
3 2 3 3 3 2 6
2 3 2 3 2 3
x x x x x x x x x x x
     
             
     
3 23 2 6
2
x x x  
 
3)    
4 2 6 1 4 2 6 1
12 12 12 4 4 2 6 6 1
3 2 3 2
x x x x
x x
       
          
    
 
       4 4 4 2 6 6 6 1 16 8 36 6x x x x         28 2x  
 
4)       3 1 3 3 1 3 3x x x x x x x x x            2 2 3x x  
 
 
El primer polinomio se considera como una sola cantidad y se aplica la propiedad distributiva como en 
los ejemplos anteriores. 
 
 Se obtiene el mismo resultado si se ordenan los polinomios uno arriba del otro y se multiplica 
el polinomio superior por cada uno de los términos del inferior. Los términos semejantes obtenidos en 
el producto se acomodan en una misma columna para facilitar la suma. 
 
 Ejemplo 
 
 
 
 
 
 
 
5)         2 2 2 22 3 9 2 2 3 2 9 2 3 2 3 9 2 9x x x x x x x x x x x x x x x                    
 
3 2 22 3 6 9 18x x x x x      3 25 15 18x x x   
 
O también: 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejercicios 1.5. 
 
Multiplica como se indica y reduce términos semejantes. 
 
 1.     2 2 4
2
6 3 3
3
m xa b ab a a b
 
  
 
 2.     2 3
2
2 3
7
xy y x y x
 
  
 
 
 3.  3 3xy x y 4.   3 5 6x y x y  
 5. 
21 1 2 4
2 3 3 5
x xy x y
  
   
  
 6.   21 1x x x   
17 
 
 7.   2 24 2 5c a c ac a   8.   2 27 3 5 6x x x   
 9. 2 2
1 1 1 2 3
2 3 4 3 2
x xy y x y
  
    
  
 10.   2 23 4 2 3a a a a    
 11.    1 2 3x x x  12.    2 3 2 1m m m   
 13.   2 23 2 3 4b b b   14.   2 23 2 7 8a c a ac c   
 15. 2 2
1 2 1 3
4 3 4 2
a ab b a b
  
    
  
 
 
 
1.6. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. LEYES DE LOS SIGNOS, 
COEFICIENTES Y EXPONENTES. 
 
a) División de números reales. 
 
Si x y y representan dos números reales cualesquiera y y es distinto de cero  0y  , por lo tanto, 
se tiene que: 
 
x x
y y

 

 ; 
x x
y y

 

 ; 
x x
y y

 

 ; 
x x
y y

 

 
 
b) La división 
30
12
ab
cd

 se puede efectuar como sigue: 
 
30 2 3 5
12 2 2 3
ab ab
cd cd
  
  
 
5
2
ab
cd
 (se descompuso el 30 y el 12 en sus factores primos para simplificar a 
su mínima expresión). 
 
c) La división de 
7
4
x
x
 se puede realizar de la siguiente manera: 
 
7 4 3
4 4
x x x
x x
  3x 
 
 Ejemplos 
 
Realizar la división de monomios. 
 
1) 
5 4
5 3 4 2
3 2
x y
x y
x y
  
2 2x y 2) 
3 2 4 3 2 4 3 1 2 2 4 3
2 0 1
2 3 2 3
12 2 2 3 2 2
18 2 3 3 3 3
x y z x y z x y z
x y z
xy z xy z
   
   
 
22
3
x z 
 
Realizar la división de un polinomio entre un monomio. 
 
1) 
4 3 4 312 6 18 12 6 18
6 6 6 6
x x x x x x
x x x x
 
    3 22 3x x  
18 
 
 
2) 
3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 4
2 2 2 2
x y x y xy x y x y xy
x y x y x y x y
 
   
   
2
2
2
y
x y
x
   
 
 
 
 
Realizar la división de dos polinomios. 
 
1) 
4
2
8 15 24
2 4
dividendox x
divisorx x
 
 
 
 
Primero se completa el dividendo: 
4 3 2
2
8 0 0 15 24
2 4
x x x x
x x
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
4
2
8 15 24
2 4
x x
x x
 

 
2
2
4
4 2 7
2 4
x x
x x
  
 
 
 
2) 
24 4 3
2 3
x x
x
 

 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
24 4 3
2 3
x x
x
 


2 1x 
 
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 
 
Sean  f x y  g x dos polinomios tales que  g x no es una constante. Si el polinomio  f x es 
de grado mayor o igual que el grado de  g x , entonces existen polinomios únicos  q x y  r x de 
modo que el grado de  r x es menor que el de  g x y: 
19 
 
 
 
 
 
 
 
f x r x
q x
g x g x
  ó        f x q x g x r x  
 
Si el grado de  f x es menor que el de  g x , el polinomio   0q x  y    f x r x ; por otro lado, 
el grado de  q x es igual al de  f x menos el de  g x . 
1.7. DIVISIÓN SINTÉTICA 
 
 Cuando se divide un polinomio entre otro de grado uno, de la forma ax b , se puede hacer 
uso de la división corta (o sintética) que consiste en hacer más breve dicha operación. Se 
ejemplificará esto con el ejemplo anterior dos 
24 4 3
2 3
x x
x
 

 
 
 Ejemplos 
 
1) 
24 4 3
2 3
dividendox x
divisorx
 

 
 
1º Se completa y ordena el dividendo y se factoriza el divisor como se muestra: 
 
2º Se hace el siguiente arreglo: 
 
 
 
Para obtener el cociente, se divide estos números entre 2 (factor de 
3
2
x
 
 
 
), resultando: 
, por lo tanto: 
24 4 3
2 3
x x
x
 


2 1x 
 
Si el dividendo es de segundo grado y el divisor de primer grado, entonces el cociente es de 
 2 1 1  primer grado. 
 
 Si el residuo es cero como en este caso, se dice que el dividendo 344
2  xx es divisible entre 
el divisor 32 x . 
 
 Se hace la observación 
importante, de que la división sintética, 
20 
 
solo puede aplicarse cuando el polinomio divisor es de primer grado. 
 
2) 
5 4 3 26 2 3 3 3
3 1
x x x x x
x
    

 
 
 
5 4 3 26 2 3 3 3
1
3
3
x x x x x
x
    
 
 
 
 
 
Por lo tanto: 
5 4 3 26 2 3 3 3
3 1
x x x x x
x
    


4 2 22 1
3 1
x x
x
  

 
 
 
 Ejercicios 1.7. 
 
Efectúa las divisiones indicadas. 
 
1. 
32
4
ab
ab

 2. 
2 3
2
36
6
x y
x y


 
3. 
2 315 9
3
a b ab
ab

 4. 
2 3
2
14 21
7
x x
x

 
5. 
4 3 2 4 2 2
2 2
2m n m n m n
m n
 
 6. 
29 6 3
3
x x 

 
7. 
2 7 6
1
x x
x
 

 8. 
23 24
3
x x
x
 

 
9. 
38 6
2
x x
x
 

 10. 
212 7 10
3 4
x x
x
 

 
11. 
3 2
2
10 12 27
3
x x x
x x
  
 
 
 
 
TEORÍA DE LOS EXPONENTES 
 
 Cuando un número real 0x  está elevado a un exponente n (entero positivo), esto se 
escribe: 
 
 
 
 
 
 Si el exponente es igual a cero: 
0 1x  (todo número real elevado a la cero potencia es igual a 
uno, excepto el cero), una forma de ver esto, puede ser si: 1
0   xx
x
x nn
n
n
 
 
 
6 0 3 0 3
2 0 1 0 1
3

 
21 
 
 Si el exponente es un entero negativo: 
1n
n
x
x
  
 Si el exponente es una fracción 
p
q
, donde p y q son enteros y 0q  : 
 
p
pq qpqx x x  
 Las reglas para operar con exponentes, reciben el nombre de LEYES DE LOS EXPONENTES 
y algunas de estas son: 
 
 Si x y y representan números reales distintos de cero  0, 0x y  y n y m enteros 
positivos: 
 
1. 
n m n mx x x   (si son iguales las bases, se suman los exponentes) 
 
2.  
m
n n mx x  ; 3.  
n n nxy x y ; 4. 
n n
n
x x
y y
 
 
 
 ; 5. 
n
n m
m
x
x
x
 
 
Nota: Estas leyes se pueden generalizar para cuando los exponentes son números reales también. 
 
 Ejemplos 
 
Realizar las operaciones indicadas, utilizando las leyes de los exponentes y expresando los 
resultados sin exponentes fraccionarios ni negativos. 
 
 1) 
1 1 7
2
32 73 3 3x x x x x

      
7
3 x ; 2) 
2
2 3 8 9 13
3 4 12 12
3 1
4 12
1a
a a a
a a

 
    
12
1
a
 
 
 3)  
1 41 4
4 43 333p p p p
 
 
      
4
3 p ; 4)  
 
1
3
1 1 1 3 3
3 3 3
1 1 1
xy
x yxy x y

   
3
1
xy
 
 
 5) 
11
22
1 1 1
2 2 2
1
2
1 1a b b
b aa a a
b
b

 
     
 
 
 
 
b
a
 
 
 
 Ejercicios 2.1. 
 
Desarrolla: 
 
1.  
2
24a 2.  
4
4y 3.  
3
5a 4.  
3
23xy 
 
22 
 
 5.  
3
2 32x y 6.  
3
3 47ab c 7.  
x
m na b 8.  2 3
m
a b c 
 
 9. 
2
2
x
y
 
 
 
 10. 
3
2
2a
b
 
 
 
 11. 
4
21
3
ab
 
 
 
 12. 
5
2 41
2
a b
 
 
 
 
 
 13.  
0
4 14.  
0
2xy 15.  
0
24m n 16. 
0
31
2
xy
 
 
  
 
Expresa con signo radical: 
 
1. 
3
5x 2. 
3
44a 3. 
1
2xy 4. 
4 5
5 22a b 5. 
2 4 2
7 5 73x y z 6. 5
1
5
4
2
3
zyx 
 
Expresa con exponente fraccionario: 
 
1. 
5a 2. 
3 7x 3. 
542 x 4. 
3 542 ab c 5. 2 3 955a x y z 6. 
3n xrm a b c 
 
Expresa con exponentes positivos y simplifica: 
 
1. 
1
4 2a b


 2. 
1
2 33x y


 3. 
1
4 2
3 4
3
8
m n
m n


 
 4. 
1
22
3 2 13
a x
a x y



 5. 
2 1
3 4
1
2 2
x y
x yz
 

 6. 
2
1 3
3 2 4
3a mn
a m n
 

 
 
Efectúa las operaciones indicadas: 
 
 1. 
2 3
5 53m m

 2. 
1 1
3 22 2x y x y

   
  
  
 3. 
2 1 1 2
3 3 3 3a b a b
   
  
  
 4.  
3
1 242a b ab 
 
 
 
 
 5.   3 1 2 2a b a b   6. 
1 2
2 25 3
2 1
3 7
m b m b
  
  
  
 7. 
2 1
5 5a a

 8. 
3 1
4 2m m

 9. 
2 1
5 54 2x x

 
 10. 
7
3 4a a

  11. 
2 1
3 2
x y
x y
 
 
 12. 
3
2
3a b
 
 
 
 13.  
3
2 1a b  14. 
2
2 5
1
5
8
4
x y
xy


 
 15. 
2
1
4 4x y
 
 
 
 16. 
2
11
322a b
 
 
 
 17.    
1 2
22 3 0x y x y


 18. 
2
2
2
3
7
8
3
7












yyz
x
 
 
 
RADICALES 
 
 La raíz n -ésima de un número real “ a ”, se expresa como: 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 Cuando el índice “ n ” es par, entonces el subradical “ a ” deber ser no negativo  0a  . Si el 
índice “ n ” es impar, entonces el subradical “ a ” puede ser positivo, negativo o nulo (es decir, 
cualquier número real). 
 Definición 
 
 
La raíz n -ésima de un número real “ a ” es un número “ k ” cuya potencia n -ésima es “ a ”, es decir: 
n a k ya que nk a 
 
 
 Ejemplos 
 
1) 3 8 2 ya que 
32 8 ; 2) 9 3 ya que 
23 9 ; 3) 5 32 2   ya que  
5
2 32   
4) 4 no es un número real porque el subradical es negativo y el índice “ n ” es par. 
 
 
3.1. REDUCCIÓN DE RADICALES 
 
 Recordando del capítulo anterior que los radicales pueden ser sustituidos por exponentes 
fraccionarios:  
p
pq qpqx x x  
 
 Entonces las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los 
exponentes y se llaman LEYES DE LOS RADICALES: 
 
 1. 1 1n  ; 2. 0 0n  ; 3. nn nxy x y ; 4. ; 0
n
n
n
x x
y
y y
  
 
 5. 
n mm nm nx x x  ; 6. 
n nkm mka a ; k es un entero positivo. 
 
3.2. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES 
 
Un radical n a se dice que está simplificado cuando: 
 
◊ El subradical no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice “ n ” del 
radical. 
 
◊ El índice del radical “ n ” es el menor posible. 
 
◊ El subradical no contiene fracciones. 
 
◊ No hay radicales en el denominador de ninguna fracción. 
 
 
24 
 
 Antes de ver algunos ejemplos, hay que recordar que para descomponer un número en sus 
factores primos, es conveniente aplicar algunas reglas de divisibilidad: 
 
A. Cuando un número termina en cifra CERO o PAR, dicho número es divisible entre 2. 
B. Si un número termina en cifra CERO o CINCO, dicho número es divisible entre 5. 
C. Si la suma de sus dígitos de un número es divisible entre tres, dicho número es divisible entre 
3. 
 
 Ejemplos 
 
Simplificar los siguientes radicales: 
 
1) 90 
 
 Solución 
 
El subradical se descompone en sus factores primos como sigue: 
 
 
290 3 5 2   ; por lo que 
290 3 5 2   y por la propiedad 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
524x 
 
 Solución 
 
 
 
5 2 4 2 4 424 2 2 3 2 2 3 4 6x x x x x x x          22 6x x 
 
3) 
6 53 54x y 
 
 Solución 
 
  3
23 3633 56 2354 yyxyx 2 233 2x y y 
 
4) 
6 104 64x y 
 
25 
 
 Solución 
 
Si el índice del radical “ n ” y los exponentes de todos los factores poseen un factor 
común, tanto el índice como los exponentes de los factores del subradical se dividen 
entre su factor común (propiedad 6) 
 
 
 
6 10 2 3 2 3 2 5 3 3 5 2 2 44 2 264 2 2 2 2x y x y x y x y xy     
22 2xy xy 
 
 Ejercicios 3.2. 
 
Expresa cada uno de los siguientes radicales en su forma más simple. 
 
1. 18 2. 3 48 3. 42 243 4. 3
1
128
2
 5. 
4 53 64x y 6. 
6 2 29a x 
 
7. 
2 24 25a b 8. 
2 3
3 5a
 9. 
4 88 81x y
 
 
 
3.3. INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL 
 
 
Para introducir una cantidad en un radical, se eleva dicha cantidad a la potencia que indica el índice 
del radical. 
 
 
 
 Ejemplos 
 
1)  
2 23 5 3 5 9 5a ab a ab a ab   345a b 
 
2) 
3 3 3
3 33
3
2 2 2x x x x x x
y y y y y y
 
    
 
4
3
4
8x
y
 
 
 Ejercicios 3.3. 
 
Dando al coeficiente el exponente apropiado, inclúyelo dentro del signo radical. 
1. a b 2. 
22 3b a 3. 
33 2
9
a x
x a
 4.  
a
a b
a b


 5. 
2
4
2
4
x
x
x

 6. 
2
1 1
2
4
a
a
 
 
 
3.4. REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE 
 
Radicales de distintos índice, pueden convertirse a radicales con el mismo índice obteniendo el 
mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los índices (que será el índice común) y elevando cada 
subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical. 
26 
 
 
 Antes de resolver algunos ejemplos, recuerda que: “El mínimo común múltiplo (M.C.M.) de dos 
o más números, es el menor de sus múltiplos comunes” 
 
 
 
 
 Ejemplo 
 
Los primeros diez múltiplos de los números 12 y 18 son: 
 
   12 12,24,36,48,60,72,96,108,120,132,M   
   18 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,M   
 
la intersección de estos dos conjuntos es:      12 18 36,72,108,M M   de donde 36 es el 
M.C.M. de 12 y 18 . 
 
 Una manera más sencilla de obtener el M.C.M. de dos o más números, es la siguiente: 
 
 Descomponer cada número en sus factores primos. 
 Tomar los factores comunes repetidos y no repetidos de mayor exponente. 
 El M.C.M. es el producto de estos factores del paso anterior. 
 
 Ejemplo 
 
Encontrar el M.C.M. de los números 12 y 18 . 
 
 
 
 
 
El M.C.M. de 12 y 18 es 
2 22 3 4 9    36 
 
 
 Ejemplos 
 
Reducir al mínimo común índice: 
 
1) 
22x , 23 4xy
 
 
 Solución 
 
El M.C.M. de 2 y 3 es 2 3 6  ; 6
426 22
6
3
6
23 2 16)4()4(4 yxxyxyxy  
    
6
3
2 2 26 622 2 2x x x  
6 68x 
 
2) 3ab , 
34 a b , 
10 24a 
27 
 
 
 Solución 
 
El M.C.M. de 2, 4 y 10 es 
22 5 20  ;  
20
20
23 3ab ab   
10
20 3ab 
 
20
3 34 20 4a b a b   
5
320 a b ;  
20
10 2 220 104 4a a   
2
220 4a 
 
 Ejercicios 3.4. 
 
Reduce el mínimo común índice. 
 
1. 42 , 3 2. 35 , 2 3. 
5 23 2 , 3ab a x 4. 235 , 4x x y 5. 
62 3 5 44 8 , 3a x a m 
 
6. 
5 102 34 3 , 2 , 7a b x 
 
 
3.5. REDUCCIÓN DE RADICALES SEMEJANTES 
 
 
Dos radicales son semejantes si después de que han sido simplificados, constan del mismo 
subradical y el mismo índice. 
 
 
 Ejemplos 
 
1) 6 2 y 3 2 son radicales semejantes. 
 
2) 3 8 y 128 ¿son radicales semejantes? 
 
 Solución 
 
Primero se descompone en sus factores primos cada subradical. 
 
 
 
 
 
 
 
3 2 23 8 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2       6 2 
7 6 6128 2 2 2 2 2     8 2 
 
ya que 3 8 6 2 y 128 8 2 por lo tanto si son radicales semejantes. 
 
3) 3 81 y 3 375 ¿son radicales semejantes? 
 
28 
 
 Solución 
 
 
3 3 34 3 33 381 3 3 3 3 3     33 3 
 
3 33 33 3375 5 3 5 3    35 3 si son semejantes. 
 
 
3.6. SUMA Y RESTA DE RADICALES 
 
 
La suma o resta de radicales semejantes se efectúa como la de términos semejantes. 
 
 
 Ejemplos 
 
Efectuar las siguientes operaciones con radicales. 
 
1) 54 24 150  
 
 Solución 
 
 
 
 
 
 
3 3 2 2 2 254 24 150 3 2 2 3 5 2 3 3 3 2 2 2 3 5 2 3 3 6 2 6 5 6                     
 
  54 24 150 3 2 5 6      6 6 
 
2) 
3 516 7x x x x
x
  
 Solución 
 
3 5 2 4 21 1 16 7 6 7 6 7 6 7x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
             
 
 
  3 5
1
6 7 6 7 0x x x x x x x x x
x
       0 
 
3) 
2 24 416 81 36a a a  
 
 Solución 
 
 
 
29 
 
 
La raíz 36a se convierte al mismo índice de las otras dos: 
 
     
4 22 2 2 4 4 2 24 4 44 4236 36 36 3 2 3 2 3 2a a a a a a          
Por lo tanto 
2 2 4 2 4 2 2 2 2 24 4 4 4 4 4 4 416 81 36 2 3 6 2 3 6a a a a a a a a a        
 
 
4 24 24 24 2 )632(368116 aaaaa  
 
 Ejercicios 3.6. 
 
Simplifica los radicales y reduce los que sean semejantes. 
 
1. 3 7a b a b a b  2. 3 4 5ab b a ab    3. 50 32 18  
 
4. 
1 1 3
12 18 48
2 3 4
  5. 20 2 75 4 12  6. 
2 2 2 22 9 16 4m n m n mn mn   
 
 
3.7. MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y POTENCIACIÓN DE RADICALES 
 
 
Para multiplicar o dividir radicales, es necesario que sean del mismo índice (si son de índices 
diferentes, deben convertirse al mismo índice) y después aplicar las propiedades 
3. nn nxy x y o la 4. ; 0n
n
n
x x
y
y y
  . Cuando un radical se eleva a un exponente, se aplican 
las propiedades  
p
pq qpqx x x  y  
m
n nma a 
 
 
 Ejemplos 
 
Efectuar las operaciones indicadas. 
 
1) 7 2 7 2   14 ; 2) 
22 2 2a ab a ab a b    2a b 
 
3) Cuando se multiplican expresiones con radicales con más de un término, es lo mismo que con los 
polinomios, por ejemplo: 
 
 
4) 
15 15
33
  5 ; 5) 
3 5 3 5
4
22
a b a b
ab
a ba b
   2b a 
 
30 
 
6)      
2 2 22 225 4 2 2 44 4 4 4 16x x x x x x x x x           
    
516x 
 
 
 
 Ejercicios 3.7. 
 
Efectúa las operaciones indicadas y expresa cada resultado en su forma más simple. 
 
1.    5 4 8 2.    22 7 28a a 3.   2 318 2x y xy 4.   3 23 3 4a a 
 
5.   3 33 412 9a b ab 6.   12 5x a a
a
 
 
 
 7.  4 3 2 5 3 8.  3 2x x  
 
9.  2 3 1a b  10.  2 3 7 5 5 3 11. 4 6 2 3a  12. 
2 3
10
a
a
 
 
13. 
1
3
2
3
4
xy
x
 14.  
2
2 x 15.  
3
5 2 16.  
3
b a 
 
3.8. RACIONALIZACIÓN 
 
 
Racionalizar una fracción que contiene radicales, significa remover (quitar) los radicales. 
 
 
a) Cuando se tiene un radical en el denominador de una fracción, el cual se quiere remover, se 
debe multiplicar el numerador y el denominador de dicha fracción por el radical del 
denominador elevado a un exponente tal que, cuya suma con el exponente original, sea un 
múltiplo entero del índice “ n ” del radical original. 
 
 Ejemplos 
 
Racionalizar el denominador de cada fracción. 
 
1) 
 
2
4 4 2 4 2 4 2
22 2 2 2
     2 2 ; 2) 
x
x
x
x
x
x
xx 5
3
)(5
3
)(
)(
5
3
5
3 3 2
33
3 2
23
23
33
 
 
3) 
 
2
2 2 1 2 1
1 1 1 1
x x
x x x x
 
   
   
2 1
1
x
x


 
 
 
31 
 
b) Cuando el denominador de una fracción consta de dos términos que contienen radicales de 
segundo grado, se racionaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del 
denominador (se hace uso del producto    2 2a b a b a b    ). 
 
 
 
 Ejemplos 
 
Racionalizar el denominador de cada fracción. 
 
1) 
 
 
   
 2
2
2 1 2 2 1 2 2 1 22 2 1 2
2 1 2
1 2 11 2 1 2 1 2 1 2
  
        
    
2 2 2  
 
2) 
 6 3 26 6 3 2
3 23 2 3 2 3 2

   
  
 6 3 2 
 
 
 Ejercicios 3.8. 
 
Racionaliza el denominador. 
 
1. 
1
5
 2. 
1 2
2 3
 3. 
3
5
 4. 
3
2x
 5. 
2
2
a
ax
 6. 
m
a b
 
 
7. 
6
2 3
 8. 
5 2 3
4 3


 9. 
2 5
2 5


 10. 
2
a x
a x


 11. 
1
1
x x
x x
 
 
 
 
 
Nota adicional: Cuando el denominador de una fracción consta de dos términos que contienen 
radicales de tercer grado de la forma 3 3a b , se racionaliza multiplicando numerador y 
denominador por    
2 2
3 3 3 3a a b b 
  
 respectivamente (o sea que en estos casos se usa el 
producto   2 2 3 3a b a ab b a b    ). 
 
 Ejemplo 
 
Racionalizar el denominador. 
 
1) 
   
       
2 2
3 3 3 3
3 32 23 3 3 3
3 32 23 3 3 3
3 33 3 3 3
5 5 3 3
1 1 5 5 3 3 25 15 9
5 35 3 5 3 5 35 5 3 3
  
          
    
  
 
 
32 
 
 

 
3 3
1
5 3


3 3 325 15 9
8
 
 
 
 
 
 
 
IV PRODUCTOS NOTABLES 
 
 Existen algunos productos de expresiones algebraicas que reciben especial atención debido a 
que en su obtención se sigue una regla fácil de memorizar, algunos de estos productos son los 
siguientes y reciben el nombre de productos notables. 
 
 
4.1. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
FORMADA POR DOS TÉRMINOS 
 
2 2 2( ) ( )( )a b a b a b a a a b b a b b a ab ab b                 2 22a ab b  
 
 
Por lo tanto:  
2 2 22a b a ab b    y se puede memorizar diciendo que es igual “al cuadrado del 
primero  
2
a más el doble producto del primero por el segundo  2ab más el cuadrado del segundo 
 
2
b . 
 
 
Un desarrollo análogo al de  
2
a b es el de  
2
a b : 
 
2( ) ( )( )a b a b a b a a a b b a b b             2 22a ab b  
 
 
 
4.2. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CONJUGADAS 
 
 La expresión  a b es la conjugada de  a b y viceversa. 
 
   2 2a b a b a a a b b a b b a ab ab b               2 2a b 
 
 
Por lo tanto:    2 2a b a b a b    y se puede memorizar diciendo que es igual “a una diferencia de 
cuadrados”. 
 
 Si el orden de los factores cambia, el resultado es el mismo, o sea: 
 
      2 2a b a b a b a b a b       
 
33 
 
4.3. PRODUCTO DE DOS EXPRESIONES CON UN TÉRMINO 
COMÚN DE LA FORMA   a b a c  
 
   2a b a c a a a c b a b c a c a b a b c                   2a c b a bc   
 
 
 
 
Por lo tanto     2a b a c a c b a bc      y se puede memorizar diciendo que es igual a “el 
cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los no comunes más 
el producto de los no comunes. 
 
 
 
4.4. CUADRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
FORMADA POR TRES TÉRMINOS 
 
    
2
a b c a b c a b c a a a b a c b a b b b c c a c b c c                         
 
 
2 2 2 2 2 2 2a b c a ab ac ab b bc ac bc c a b c ab ab ac ac bc bc                    
 
 
2
a b c   2 2 2 2 2 2a b c ab ac bc     
 
 
Por lo tanto  
2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc        y se puede memorizar diciendo que es igual 
a “el cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo más el cuadrado del tercero más el 
doble producto del primero por el segundo más el doble producto del primero por el tercero más el 
doble producto del segundo por el tercero. 
 
 
 
4.5. CUBO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
FORMADA POR DOS TÉRMINOS 
 
        
3 2 2 2 2 2 2 22 2 2a b a b a b a ab b a b a a a b aba abb b a b b              
 
 
3 3 2 2 2 2 32 2a b a a b a b ab ab b        3 2 2 33 3a a b ab b   
 
 
Por lo tanto  
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     se puede memorizar diciendo que es igual a “el cubo del 
primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo más tres veces el primero por el 
cuadrado del segundo más el cubo del segundo. 
 
 
 Ejemplos 
34 
 
 
Desarrollar los siguientes binomios o trinomios según sea el caso. 
 
1)  
2
3x         
2 2
2 3 3x x   6 9x x  
 
2) 
2 2 2 2 2
2 2
3 3 3 9 6
2
x y x x y y x xy y
y x y y x x y yx x
        
               
        
2 2
2 2
9
6
x y
y x
  
 
3)       
2 2
7 2 7 2 7 2y y y     249 4y  
 
4)     
2
23 1 3 1 3 1x x x     9 1x 
 
5)          
2
7 2 7 5 7 2 5 7 2 5w w w w       249 49 10w w  
 
6)         
2
2 2 3 2 3 2 3 2 4 2 3x y x y x y y x y y x y x y          
 
    2 2 3x y x y   2 4 2 3x xy y  
 
7)                 
2 2 2 2
2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3x y z x y z x y x z y z        
 
   
2
2 3x y z   2 2 24 9 4 6 12x y z xy xz yz     
 
8)           
2 2
222 2 2 22 2 2 2 2 2 2
x x x x
y z y z y z y z
y y y y
       
                
       
 
 
 
2
22
x
y z
y
 
   
 
2 2
2 4 2
2
2
4 4 4
x xz
y z x yz
y y
     
 
9)          
3 3 2 3 2
2 3 2 3
3 2
2 2 2 2 8 4 2
3 3 3 3
x x x x x x x
x x x x x x x
y y y y y y y
          
                  
          
 
 
 
3
2x
x
y
 
  
 
3 3 3
3
3 2
8 12 6x x x
x
y y y
   
 
10)            
3 3 2 2 3
4 3 4 3 4 4x x x x         3 212 48 64x x x   
 
 
 Ejercicios 4.5. 
 
35 
 
1.   x y x y  2.  
2
4r s 3.  
3
1x  4.   2 2 2 2x y x y  5.  
2
3 3a b 
 
6.   2 2 2 23 11 3 11a b a b  7.  
2
2 3x y 8.   3 1 3 1m m  9.  
2
2 24 3x y  
 
10.   3 3ab ab  11.   5 6ab ab  12.  
3
2 2a b 13.   1 5ax ax  
 
14.  
3
22 y 15.   3 4 3 4x x  16.   1 13 4m mx x   17.  
2
11x y    
 
18.   3 312 15a a  19.  
3
a b  
 
 20.   2mn y mn y  21.  
2
1 23a ax x  
 
22.   ab cd ab cd  23.  
2
2 4mn  24.  
3
1 5ax   25.   3 8x xa a  
26.   2 29 12xy xy  27.   a b c a b c    28. 
3
3 3
3 2
x y 
 
 
 29.  
2
2 2m n  
 
30. 
2 5 2 2
3 4 3 7
x x  
   
  
 31.   1 16 5x xa a   32. 
3
2
1
5
a 
 
 
 33.   x n x na b a b  
 
34. 
2 2
6
5 5 2
x x a
a
  
   
  
 35. 
2
2 3
3 4
xy
a
 
 
 
 36. 
3
2 3
5
xy z
 
 
 
 37. 
3 3
2 6
a a
b b
  
   
  
 
 
38.   1 18 9a ax x   39. )12)(12( 22  nnnn 40.   2 3 4 2 3 4x y z x y z    
 
41.   1 2 1 2x y x y    42.  
2
3x y    
 
 
V. FACTORIZACIÓN 
 
 La factorización se puede considerar como un procedimiento contrario al de la multiplicación, 
ya que mientras en ésta al conocer los factores, se obtiene el producto, en la factorización 
conociendo el producto se trata de obtener sus factores. 
 
 
La factorización es el procedimiento que consiste en representar las expresiones matemáticas como 
el producto de dos o más factores. En particular, se tratará la factorización de polinomios con 
coeficientes enteros. 
 
 
5.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) DE VARIOS TÉRMINOS 
 El máximo común divisor (M.C.D.) o máximo factor común (M.F.C.) de dos o más números 
enteros, es el producto de sus factores primos comunes de menor exponente. 
36 
 
 
 
El M.C.D. o M.F.C. de un conjunto de monomios se obtiene tomando el producto del M.F.C. de los 
coeficientes numéricos de los monomios y las literales comunes cada una elevada a su mínima 
potencia. 
 
 
 Ejemplos 
 
Obtener el M.C.D. o M.F.C. de: 
 
1) 25,50,125 
 
 Solución 
 
 
Por lo tanto, el M.C.D. de 25,50,125 es 
25 25 
 
2) 16, 24, 40 
 
 Solución 
 
 
Por lo tanto, el M.C.D. de 16, 24, 40 es 
32 8 
 
3) 
3 4 215 ,25 ,30x x x 
 
 Solución 
 
 
Por lo tanto 
3 3
4 2 4
2 2
15 3 5
25 5 . . .
30 2 3 5
x x
x x M C D
x x
 

 
   
25x 
 
4)  9 1x y  
2
3 1x  
 
 Solución 
 
37 
 
   
   
2
2 2
9 1 3 1
. . .
3 1 3 1
x x
M C D
x x
   

   
 3 1x  
 
 
 
5)  2 2x x  y  
2
2 2x x 
 
 Solución 
 
. . .M C D   2x x  
 
 
5.2. FACTOR COMÚN 
 
 Es importante saber, que la factorización de una misma expresión matemática puede 
obtenerse de diferentes maneras. 
 
 Ejemplos 
 
1)          24 3 8 2 3 4 6 4   etc. 
 
2)       2 3 3 26 2 3 3 2x y xy x y x xy  etc. 
 
3)       3 2 22 2 12 2 6 2 2 3x x x x x x x x x        etc. 
 
 Tratando de evitar esto y obtener una única respuesta, es necesario llegar hasta lo que se 
conoce por “factorización total”, “factorización completa” o “máxima factorización”, lo cual se logra 
obteniendo el M.C.D. o M.F.C. de todos los términos de una expresión matemática. 
 
 Ejemplos 
 
Obtener el factor común de las siguientes expresiones. 
 
1) 
 
2) 6 12x 3) 
2 26 4 10x y xy x  
 
 Solución Solución 
 
2
6 3 2
. . . 3 2 6
12 3 2
x x
M C D
   
  
  
 
2 2
2 2 2
6 3 2
4 2 . . .
10 2 5
x y x y
xy xy M C D
xy xy
 

 
  
2xy 
6 12x    6 2x  2 26 4 10x y xy x     2 3 2 5xy x y  
 
38 
 
4)    
2
4 3 6 3x x   
 
 Solución 
 
   
   
 
2 224 3 2 3
. . 2 3
6 3 3 2 3
x x
M C D x
x x
   
 
    
 
          
2
4 3 6 3 2 3 2 3 3 2 3 2 6 3x x x x x x                 2 3 2 3x x  
 
5)    
2
18 3 4 12 4 3x x x   
 
 Solución 
)43(6)43(23...
)43)(1(23)34(12
)43(32)43(18
2
222






xxDCM
xxxx
xx
 
          
2
18 3 4 12 4 3 6 3 4 3 3 4 2 6 3 4 9 12 2x x x x x x x x x              
 
   
2
18 3 4 12 4 3x x x      6 3 4 11 12x x 
 
 
 
5.3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 
 
 
Trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) es todo aquel que proviene del cuadrado de un binomio 
cualquiera, por ejemplo como  
2 2 22x y x xy y    , por lo tanto, 2 22x xy y  es un T.C.P. 
 
 
 A una expresión de la forma 
2x bx c  , de aquí en adelante, se llamará trinomio cuadrático 
de forma BÁSICA. 
 Si se compara el T.C.P. 
2 22x xy y  con el trinomio cuadrático de forma BÁSICA 
2x bx c  , 
se puede establecer que 2b y y que 
2c y o lo que es lo mismo: 
2
b
y o bien que 
2
2
2
b
y c
 
  
 
. 
 
 
De acuerdo con el resultado anterior, para saber si un trinomio es o no cuadrado perfecto, bastará 
considerarlo en forma BÁSICA y verificar si cumple o no la igualdad 
2
2
b
c
 
 
 
. 
 
 
 Ejemplos 
 
Determinar si son T.C.P. 
 
1) 
2 26 9x xy y  
 
39 
 
 Solución 
 
En este caso 6b y y 
29c y , aplicando la igualdad 
2
2
b
c
 
 
 
, se tiene que 
 
2
2 26 3 9
2
y
y y c
 
   
 
 
2 26 9x xy y     
2
3x y es un T.C.P. 
 
2) 
24 8 1x x  
 
 Solución 
 
24 8 1x x  en forma BÁSICA es    
2
2 4 2 1x x  de donde 4b   y 1c  entonces 
2 2
4
4
2 2
b
c
   
      
   
 
24 8 1x x   no es un T.C.P. 
 
3) 
29 12 4y y  
 
 Solución 
 
29 12 4y y  en forma BÁSICA es    
2
3 4 3 4y y  donde 4b  y 4c  entonces 
2 2
4
4
2 2
b
c
   
     
   
 
29 12 4y y     
2
3 2y  es un T.C.P. 
 
 
5.4. DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
 
Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de binomios conjugados, es decir: 
  2 2a b a b a b    . 
 
 
 Ejemplos 
 
Factorizar los siguientes binomios conjugados. 
 
1) 
2 2 249 7x x      7 7x x  2)  
22 2 24 2x y x y      2 2x y x y  
 
3)       
2
4 4 2 2 2 26 6 6 1 6 1 6 1 1x x x x x         
  
   26 1 1 1x x x   
 
4)  
228 18 3 2x y  ; 
3
2
8 2
. . . 2
18 2 3
M C D


  
 
       
22 2 22 28 18 3 2 2 4 9 3 2 2 2 3 3 2x y x y x y               
 
40 
 
     
228 18 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2x y x y x y                2 2 9 6 2 9 6x y x y    
 
5)  
2
22 9 325 5
16 4
x x
 
    
 
3 3
5 5
4 4
x x
  
   
  
 
 
6)            
3 3 22 2 23 1 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1x y x x y x x x y           
 
 
 
         
3 23 1 1 3 3 1 3 1 3 1x y x x x y x y                   3 1 3 1 3 1x x y x y     
 
 
 
5.5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 
 
 
Para factorizar binomios que constituyen sumas o diferencias de cubos, se utilizan las formas 
siguientes: 
  3 3 2 2a b a b a ab b     
  3 3 2 2a b a b a ab b     
 
 
 
 Ejemplos 
 
Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos. 
1)             
3 3 2 23 38 27 2 3 2 3 2 2 3 3x y x y x y x x y y        
    
2 22 3 4 6 9x y x xy y   
 
2)  
33 3216 6x x      26 6 36x x x   
 
3)               
3 3 2 2364 8 4 2 4 2 4 2 4 2zz z z z               
24 2 16 8 4z z z   
 
4)    4 3 3 33 81 3 27 3 3x x x x x x        23 3 3 9x x x x   
 
5) 
6 2 3 3 2 2 2 2 264 ( ) (4) ( 4)(( ) 4 (4) )x x x x x        2 4 2( 4)( 4 16)x x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
En general, para factorizar binomios que constituyen sumas o diferencias de potencias iguales de la 
forma 
n na b , se procede como sigue: 
 
 Si el exponente “n” es IMPAR: 
 
 
  1 2 3 2 4 3 1n n n n n n na b a b a a b a b a b b            
 
 Si el exponente “n” es PAR: 
 
n na b no es factorizable por este método 
  1 2 3 2 4 3 1n n n n n n na b a b a a b a b a b b            
 ó   1 2 3 2 4 3 1n n n n na b a a b a b a b b          
 
 
 
5.6. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2x bx c  , 
CON b Y c ENTEROS DISTINTOS DE CERO 
 
 Al multiplicar dos binomios con un término común     2x m x n x m n x mn      se 
obtiene un trinomio cuadrático de forma BÁSICA 
2x bx c  , en donde  b m n  y el valor de 
c m n  , esto es:     2x m x n x m n x mn      
 
2x b x c  
 
 
Por lo tanto, los trinomios cuadráticos de la forma BÁSICA 
2x bx c  pueden factorizarse como el 
producto de dos binomios de la forma   x m x n  , invirtiendo el procedimiento como sigue: 
 
Primero, los trinomios deberán expresarse en forma BÁSICA para poder identificar los valores , ,x b c 
 
Segundo, se buscan dos enteros m y n cuya suma m n b  y cuyo producto m n c  
 
 
 Ejemplos 
 
Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos. 
 
1) 
2 11 24k k  
 
 Solución 
 
42 
 
El trinomio ya está en forma BÁSICA, en donde x k , 11b   y 24c  , esto indica que el término 
común de los binomios factores es k y los términos no comunes m y n serán dos enteros negativos 
(*) porque 11b   (es negativo) y 24c  (positivo), tales que su suma sea igual a 11 y que su 
producto sea 24 , estos números son 8 y 3 ya que    8 3 11     y   8 3 24   por lo 
tanto: 
2 11 24k k     8 3k k  
 
 
(*) Cuando “ c ” es positivo, “ m y n ” llevan el signo de “b ”. 
 Cuando “ c ” es negativo, entonces el de mayor valor absoluto lleva el signo de “b ”. 
 
 
2) 
29 6 24z z  
 
 Solución 
 
1º se expresa en forma BÁSICA 
2x bx c  :    
229 6 24 3 2 3 24z z z z     
 
en donde 3x z , 2b  y 24c   , el término común de los binomios es 3z y los no comunes son 
 6 y  4 ya que    6 4 2   y   6 4 24   , por lo tanto: 
29 6 24z z     3 6 3 4z z  
 
3) 
225 45 36y y  
 
 Solución 
 
Su forma BÁSICA es    
2
5 9 5 36y y  en donde: 5x y , 9b   y 36c   ahora hay que 
encontrar dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 36 son:  12 y  3 ya que 
   12 3 9    y   12 3 36   , por lo tanto: 225 45 36y y     5 12 5 3y y  
 
4) 
29 69 24w w  
 
 Solución 
 
Su forma BÁSICA es    
2
3 23 3 24w w  en donde: 3x w , 23b  y 24c   , ahora se debe 
encontrar dos números cuya suma sea 23 y cuyo producto sea 24 , estos son:  24 y  1 ya que 
   24 1 23   y   24 1 24   , por lo tanto: 24)3(23)3(24699 22  wwww 

29 69 24w w     3 24 3 1w w  
 
 
Cuando no exista ninguna pareja de factores enteros de “ c ” cuya suma sea igual a “b ”, se asegura 
que el trinomio dado no es factorizable por este método, con las condiciones establecidas. 
 
43 
 
 
 
5) 
236 42 60M M  
 
 Solución 
 
Su forma BÁSICA es    
2
6 7 6 60M M  en donde: 6x M , 7b   y 60c  , el término común de 
los binomios es  6M y las parejas posibles de factores enteros de “ c ” son: 
                 60 1 60 2 30 3 20 4 15 5 12 6 10c                    ya que “ c ” es 
positivo y “ b ” es negativo. Como no existe ninguna pareja de factores de “ c ” cuya suma sea igual a 
7b   , por lo tanto este trinomio 
236 42 60M M  , no se puede factorizar por este método con las 
condiciones establecidas. 
 
 Ejercicios 5.6. 
 
Factoriza: 
 
 1. zxyx 22  2. )1()1(  xbxa 3. 
22 2 baba  4. 
22491 ba 5. 107
2  xx 
 
 6. 232
2  xx 7. 
31 a 8. yyy 32 23  9. 
269 xx  10. 
62100 yx 11. 2
2  xx 
 
 12. 
33 nm  13. 276
2  xx 14. )1(3)1(2  nynx 15. 
23232 11055 xnmxnm  
 
 16. 6135
2  xx 17. 209
2  yy 18. 1
3 y 19. 12125
42 yx 20. 8118
48  aa 
 
 21. 2)2(  nna 22. 
432 xxxx  23. 125
3 a 24. 245
2  cc 25. 125
3 a 
 
 26. 
864291 dcba 27. 1)1(  aax 28. 35447
2  xx 29. 
3232 2415129 abbaaba  
 
 30. )1(3)1)((  nnyx 31. 
2
2
4
bab
a
 32. 
29
4
1
a 33. 2110
2  xx 
 
 34. 12815
2  aa 35. 
63 278 ba  36. 4379
2  xx 37. aa 2120
2  38. 
2536
62 xa
 
 
 39. 
336
25
25
1 24 xx
 40. ))(1()1)(( mxxxmx  41. bxabaabba
2232 8563  
 
 42. 406
2  nn 43. 15148
2  aa 44. 
33 278 yx  45. 
22 )(4 yxx  
 
 46. 
16
216
4
236 yyxx  47. byaybxax  48. 120
2  yy 49. 365
2  xx 
 
 50. 
22)( ayx  
44 
 
 
 
5.7. TRINOMIOS CUADRÁTICOS DE LA FORMA 2ax bx c  
( , ,a b c SON ENTEROS DISTINTOS DE CERO y 1a  ) 
 
 Se darán algunos procedimientos para intentar la factorización de trinomios de este tipo: 
 
 
 Una manera, consiste en expresar el trinomio dado como el cociente de un trinomio de la 
forma BÁSICA 
2x bx c  entre un entero como se muestra en los siguientes ejemplos. 
 
 
 
 Ejemplos 
 
Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos. 
 
1) 
23 13 10y y  
 
 Solución 
 
El trinomio original se multiplica y divide por  3 , que es el coeficiente del término cuadrático: 
 
     22 2 23 3 13 10 3 13 3 303 13 3 3 10
3 3 3
y y y yy y       
  como el trinomio del numerador 
   
2
3 13 3 30y y  ya está en forma BÁSICA y en donde 3x y , 13b  y 30c   , se busca dos 
números cuya suma sea 13 y cuyo producto  30 , por lo que    15 2 13   y   15 2 30   , 
por lo tanto 
      
2
2
3 13 3 30 3 15 3 2
3 13 10
3 3
y y y y
y y
   
    dividiendo finalmente al factor 
 3 15y  entre el divisor 3 , resulta que 23 13 10y y     5 3 2y y  
 
2) 
26 5 6z z  
 
 Solución 
 
Multiplicando y dividiendo entre 6 : 
     226 6 5 6 6 5 6 36
6 6
z z z z   
 factorizando el trinomio 
   
2
6 5 6 36z z  , en el cual 6x z , 5b   y 36c   , se buscan dos números cuya suma sea 
 5 y cuyo producto  36 , estos dos números son  9 y  4 ya que    9 4 5    y 
  9 4 36   , por lo tanto: 
  2 6 9 6 46 5 6
3 2
z z
z z
 
   

  2 3 3 2z z  
 
 
 
45 
 
 
 
 Ejercicios 5.7. 
 
Factoriza: 
 
 1. 5176
2  xx 2. 5214
2  xx 3. 273
2  xx 4. 3116
2  xx 5. 15234
2  xx 
 
 6. 31710
2  xx 7. 3103
2  xx 8. 7236
2  xx 9. 8103
2  xx 10. 9192
2  xx 
 
 11. 7152
2  xx 12. 7176
2  xx 13. 7249
2  xx 14. 103936
2  xx 
 
 
 
 Otra forma de intentar la factorización de trinomios cuadráticos de la forma 
2ax bx c  , 
cuando 1a  , consiste en: 
 
1. Se efectúa el producto ac 
2. Factorización en primos del paso 1. 
3. Análisis de signos de los números que se buscan. 
4. Descomposición de factores de los pasos 2. y 3. en dos números cuya suma sea “b ”. 
5. Agrupación y factorización final. 
 
 
 
 Ejemplos 
 
Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos. 
 
1) 
24 24 35x x  
 
Solución 
 
Paso 1.   4 35 140ac  
Paso 2. 
22 7 5  
Paso 3. 0 , 0ac b  luego ambos números son negativos. 
Paso 4. 2 7 2 5   ;    14 10 24 b      
Paso 5.        2 2 24 24 35 4 10 14 35 4 10 14 35 2 2 5 7 2 5x x x x x x x x x x x              
  
24 24 35x x     2 5 2 7x x  
 
2) 
221 11 2x x  
 
 Solución 
 
Paso 1.   21 2 42ac   
Paso 2. 7 3 2 1   
46 
 
Paso 3. 0 , 0ac b  por lo que uno de los números es positivo y el otro negativo. 
Paso 4. 7 3 2 1   ;    14 3 11 b    
Paso 5.        2 2 221 11 2 21 14 3 2 21 3 14 2 3 7 1 2 7 1x x x x x x x x x x x              
  
221 11 2x x     7 1 3 2x x  
 
3) 
218 45 28x x  
 
 Solución 
 
Paso 1.   18 28 504ac   
Paso 2. 
2 22 3 7 2   
Paso 3. ac > 0 , b > 0 luego ambos números son positivos. 
Paso 4. 3 7 6 4   ;    21 24 45 b   
Paso 5.        2 2 218 45 28 18 21 24 28 18 21 24 28 3 6 7 4 6 7x x x x x x x x x x x              
  
218 45 28x x     6 7 3 4x x  
 
4) 
212 19 18x x  
 
 Solución 
 
Paso 1. 216)18)(12( ac 
Paso 2. 
2 23 2 2 3   
Paso 3. 0 , 0ac b  por lo que uno de los números es positivo y el otro negativo. 
Paso 4. 
2 23 3 2 2   ;    27 8 19 b     
Paso 5.        2 2 212 19 18 12 27 8 18 12 27 8 18 3 4 9 2 4 9x x x x x x x x x x x              
  
212 19 18x x     4 9 3 2x x 
 
 
 
 
Repasando los signos: 
 
Si 0ac  y 0b  ambos números son negativos. 
Si 0ac  y 0b  ambos números son positivos. 
Si 0ac  y 0b  uno es negativo y el otro es positivo. 
Si 0ac  y 0b  uno es positivo y el otro negativo. 
 
 
 
 Ejercicios 5.7.1. 
 
Factorizar: 
 
1. 576
2  xx 2. 576
2  xx 3. 5136
2  xx 4. 61110
2  xx 5. 456
2  xx 
47 
 
 
6. 310
2  xx 7. 310
2  xx 8. 8719
2  xx 9. 13376
2  xx 10. 561915
2  xx 
 
11. 9718
2  xx 12. 212910
2  xx 13. 11011
2  xx 14. 121918
2  xx 
 
15. 12712
2  xx 
 
 Otra manera de intentar factorizar trinomios cuadráticos de la forma cbxax 
2
, cuando 
1a  , pueden ser: 
 
 Por prueba y error 
 Por medio de la fórmula general 
a
acbb
x
2
42 
 
 
 Ejemplo 
 
Factorizar 10133
2  xx … (A) 
 
 Procedimiento por prueba y error: 10133
2  xx … (A) 
 
 
 
De acuerdo con el esquema, debajo del término 
23x , se colocan dos factores x3 y x 
Cuyo producto es 
23x y debajo del término 10 , se colocan otros dos factores cuyo producto 
sea 10, multiplicando en cruz xx 15)5)(3(  y xx 2)2)((  , se observa que, para obtener el 
término de en medio del trinomio cuadrático (A) x13 , debe tenerse que el producto )5)(3( x 
sea positivo y el producto )2)((x sea negativo, para que xxx 13215  y 10)2)(5(  y 
por lo tanto, 
23 13 10x x   (3 2)( 5)x x  
 
 Procedimiento por la fórmula general: 
 Factorizar 10133
2  xx … (A), en esta expresión se tiene que 13,3  ba y 
 10c , al sustituir estos valores en la fórmula general, se obtiene: 
 








6
28913
6
12016913
)3(2
)10)(3(4)13(13
2
4
22
a
acbb
x 
 
13 17 2
; ;
6 3
x
 
  5x   
 
 Y por el teorema fundamental del algebra, en donde una ecuación entera de grado “n” 
 De la forma 0...22
1
10 

n
nnn axaxaxa , con 00 a , tiene exactamente “n” raíces 
 nrrrr ,...,,, 321 ; puede ser expresada como: 0))...()()(( 3210  nrxrxrxrxa ; por lo tanto 
 La solución del ejemplo es:  2
2
3 13 10 3 5
3
x x x x
 
      
 
(3 2)( 5)x x  
 
 
 
48 
 
 
 Ejercicios 5.7.2. 
 
Factoriza por los dos métodos anteriores. 
 
1. 352
2  xx 2. 
2665 xx  3. rr 1772
2  4. 45915
2  xx 5. 
2
3
2
1 2  xx 
 
 
VI. FRACCIONES ALGEBRAICAS 
 
 Indican una operación de división, por ejemplo 
min
numeradora
deno adorb


 con 0b  (ya que la 
división por cero no está definida). 
 
 
6.1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) DE VARIOS TÉRMINOS 
 
 Una expresión algebraica que es divisible entre otra (con residuo cero), se llama múltiplo de 
ésta última, por ejemplo: 
2 2a b es múltiplo de a b . 
 
 Una expresión algebraica que es múltiplo de dos o más expresiones se llama múltiplo común 
de estas expresiones, por ejemplo: 
2 2a b es múltiplo común de a b y a b . 
 
 Dos o más expresiones pueden tener más de un múltiplo común. Aquel múltiplo común de dos 
o más expresiones algebraicas que tiene el menor grado posible se llama el mínimo común múltiplo 
(M.C.M.) de dichas expresiones, es decir, es igual “al producto de todos los factores diferentes de 
estas expresiones, tomando cada factor con el máximo exponente que aparezca”. 
 
 Ejemplos 
 
Hallar el M.C.M. de las siguientes expresiones algebraicas. 
 
1) 
2 2x y ; 
2 22x xy y  ; 
3 3x y 
 
 Solución 
 
Se escribe cada expresión en forma factorizada:   2 2x y x y x y    
 
22 22x xy y x y    ;   3 3 2 2x y x y x xy y     , los factores diferentes son  x y ;  x y 
y  2 2x xy y  , el mayor exponente de  x y es 2 y el de los otros factores es 1 , por lo tanto el 
M.C.M.     
2 2 2x y x y x xy y    
 
2) 
22 3 2x x  ; 
22 7 3x x  
 
 Solución 
 
49 
 
  
  
2
2
2 3 2 2 1 2
. . .
2 7 3 2 1 3
x x x x
M C M
x x x x
     

     
   2 1 2 3x x x   
 
3) 
29 4x  ; 
29 12 4x x  
 
 Solución 
 
    
    
22 2
22
9 4 3 2 3 2 3 2
. . .
9 12 4 3 2 3 2 3 2
x x x x
M C M
x x x x x
      

       
   
2
3 2 3 2x x  
 
 
6.2. SUMA Y RESTA 
 
 Las fracciones se pueden sumar o restar si sus denominadores son iguales: 
 
a b a b
m m m

  ; 0m 
 
 Si no tienen igual denominador, entonces pueden transformarse en otras fracciones 
equivalentes obteniendo su . . .M C M de los denominadores: 
 
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd

    ; 0bd  
 Ejemplos 
 
Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas. 
 
1) 
3 2
2 5
x x x
y y y
  
 
 Solución 
Primero se obtiene el M.C.M. de los denominadores:    2 . . . 2 5 10
5
y
y M C M y y
y


 


 
Ahora se escriben las fracciones equivalentes con denominador 10 y y luego se efectúan 
operaciones, como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
10 3 5 2 23 2 10 15 4 10 15 4 14 15
2 5 10 2 5 5 2 10 10 10 10 10
x x xx x x x x x x x y x x
y y y y y y y y y y y
  
          
10
x
y

 
 
2) 
2 5 6
6 4
x x
x x
 
 
 
 Solución 
50 
 
El M.C.M. de los denominadores es: 





)()2(4
))(2)(3(6
2 xx
xx
 M.C.M. 
2(3)(2) ( )x  12x 
 
Una manera más fácil de escribir las fracciones equivalentes, es dividir el M.C.M. entre cada 
denominador y el resultado se debe multiplicar por su numerador correspondiente, como sigue: 
 
 
   2 2 5 3 6 4 10 3 18
12 12
x x x x
x x
     
 
8
12
x
x

 ; ya que 
12
2
6
x
x
 y 
12
3
4
x
x
 
 
3) 
2 2
9 20 6 13
12 6
x x
x x x x
 

   
 
 
 Solución 
 
Para obtener el M.C.M. de los denominadores, es necesario presentarlos en forma factorizada: 
 
  
  
   
2
2
12 4 3
. . . 4 3 2
6 2 3
x x x x
M C M x x x
x x x x
     
   
      
 
     
     
   2 2
2 9 20 4 6 139 20 6 13 9 20 6 13
12 6 4 3 2 3 4 3 2
x x x xx x x x
x x x x x x x x x x x
       
   
         
 
 
       
2 2 2
2 2
9 20 6 13 9 18 20 40 6 24 13 52 3 13 12
12 6 4 3 2 4 3 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
          
  
         
 
 
   
2 2
3 4 39 20 6 13
12 6
x xx x
x x x x
  
 
       4 3x x   2x

   
3 4
4 2
x
x x

 
 
 
 
4) 
2
4
4 2
x x
x x

 
 
 
 Solución 
 
  
 
  
2 4 2 2
. . . 2 2
2 2
x x x
M C M x x
x x
    
  
   
 
 
    
 
        
2 2
2
4 24 4 4 2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x xx x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
     
          
 
 
 
2
24
4 2
x xx x
x x

 
     2 2x x 

2
x
x 
 
51 
 
 
6.3. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 
 
 
El producto de dos fracciones, es otra fracción cuyo numerador y denominador son respectivamente 
el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las fracciones dadas, es 
decir: 
a c ac
b d bd
  ; , 0b d  
 
 
 Ejemplos 
 
Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas. 
 
1) 
2 2
3
9 2
4
x y
y x
 
 
 Solución 
 
  
 
2 22 2
23 3
9 29 2
4 2
x yx y
y x x y
  
9
2
x
y
 
 
2) 
2 2
2 2
3 6 1
2 11 5 3 10 3
x x x x
x x x x
  

   
 
 
 Solución 
 
Primero se factorizan completamente, numeradores y denominadores: 
 
 2 3 3x x x x   ;   26 1 3 1 2 1x x x x     ;   22 11 5 2 1 5x x x x     
 
  23 10 3 3 3 1x x x x     ; por lo tanto: 
 
 2 2
2 2
33 6 1
2 11 5 3 10 3
x xx x x x
x x x x
  
 
     2 1x   
 3 1
5
x
x



 2 1x 
 3x   3 1x 

5
x
x 
 
 
 
El cociente (o división) de dos fracciones es igual al producto del dividendo por el reciproco del 
divisor, esto es: 
; , , 0
a
a c a d adb b c d
cb d b c bc
d
      
 
 
52 
 
 
 Ejemplos 
 
Realizar las operaciones indicadas y simplifícarlas. 
 
1) 
3
4 5
8 4
9 3
x x
y y
 
 
 Solución 
 
3 3 5
4 5 4
8 4 8 3
9 3 9 4
x x x y
y y y x
   
22
3
x y
 
 
2) 
3 2
2 2 2
4
3 3
x x
x xy x y

 
 
 
 Solución 
 
      
     
 
33 2 3 2 3
2 2 2 2 3
44 4 4
3 3 3 3 3
x y x y x x y x yx x x x x
x xy x y x x y x y x y x x y x x x y
   
     
      
 
 
 

 
3 2
2 2 2
4
3 3
x x
x xy x y
 
 
 4
3
x y
 
 
 
 
Fracción compleja es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su 
denominador, o en ambos y se entiende por simplificarla si se transforma a una fracción simple, 
reducida a sus términos más sencillos. 
 
 
 Ejemplos 
 
Simplificar: 
 
1) 
2
2
5 2
12
11 2
12
x x
x x
 
 
 
 
 Solución 
 
Como regla práctica, a veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicando 
numerador y denominador por el M.C.M. de todos los denominadores que intervienen en ella (lo cual 
equivale a multiplicar por uno la expresión original). 
 
53 
 
  
  
2
222
2
2
2 2
5 25 2 1212 4 1 3 212 5 2
11 2 11 2 12 11 2 4 1 3 2
12 12
x
x xx xx xx x
x x x x
x
x x x x
 
           
    
    
 
4 1
4 1
x
x


 
 
2) 
3
18
3
x
x
x



 
 
 Solución 
 
  
 
  
 
     
  2
3 3 3 3 3 3 3 33
18 18 3 18 3 18 6 3
3
3 3
x x x x x x x xx
x x x x x x
x x x
x x
       
    
      
     
3
6
x
x


 
 
 Ejercicios 6.3. 
 
Efectúa las operaciones indicadas y simplifícalas. 
 
1. 
2 3 2
4 6
x x 
 2. 
2
2 1
5 3a ab
 3. 
2 2
2 2
3 4
3 5
a b a b ab
ab a b
 
 4. 
2 4
12 15 30
x y x y y x  
  
 
5. 
3 2 3 3a b a m
ab am a
 
  6. 
1 1
1 1a a

 
 7. 
3 6
1 2 5x x

 
 8. 
x x
x y x y

 
 
 
9. 
2 2
4x y x y xy
x y x y x y
 
 
  
 10. 
2
2
3 2 2 5
2 4
x x x
x x
  
 11. 
2
2 3
3 4 3
5 3
a ab
ab a b
 
 
 
12. 
2
2 3
3 1 2 3
5 3 15
x x x
x x x
  
  13. 
1 1
1 1
x x
x x
 

 
 14. 
2
1x
xy y y


 15. 
2
1 1 1
4 4 8 8 12 12a a a
 
  
 
 
16. 
2
1 1x
a ax a x
 

 17. 
2 22 6
3 4
a b
b a
 18. 
3 2 2
3 2
2 3 5
15 7
x a x
a y xy
  19. 
2 2
2 2
2 2 3
2 2 3
x x x x
x x x
 

 
 
 
20. 
2
2
2 2 4 5
2 50 3 3
a a a
a a
  

 
 21. 
2 1
1 2
x x
x x
  
   
   
 22. 
2
2
1
ab b
a
a b a
  
   
  
 
 
23. 
2
1
x x
x
y x y
  
   
  
 24. 
2
2 3
2
3
5
a b
a b
x
 25. 
2
2 36
5
a x
a x  26. 
3 2
2
5 5
2 6 2 6
x x x x
x x x
 

 
 
 
54 
 
27. 
2 2
2 2 4
x y x y
x y x y
 

 
 28. 
2
3
4 2
8 2
x x
x x
 

 
 29. 
2 2
x y y x
a b a b
 

 
 30. 
3
1
3
1
x
x


 
 
31. 
2
1
2
1
x
x
x
x
 
 
 32. 
2
2
3 4
1
1 2
1
x x
x x
 
 
 33. 
4
4
1
2
x
x
x
x




 34. 
1 5
1
3 2
1
x x
x x




 35. 
6
1
2 3
2
2
d
c d
d
c d




 
 
 
VII. ECUACIONES 
 
Una igualdad es la relación o comparación que se establece entre dos expresiones algebraicas 
mediante el signo “” (igual a), llamándose primer miembro de la igualdad a la expresión que se 
escribe a la izquierda del signo  , y segundo miembro a la que se escribe del lado derecho. 
 
 Ejemplos 
 
 
 
 
 
 Una proposición de igualdad que contiene variables, puede ser “ecuación” o “identidad”; es 
ecuación si existe cuando menos un valor de sus variables que de lugar a una igualdad falsa y es 
identidad cuando la igualdad es verdadera para todos los valores posibles de sus variables. 
 Ejemplos 
 
4 2 2 1x x    Es ecuación, ya que sólo es verdadera para 
1
2
x  
 
2 22 4 4x x x    Es identidad, porque es verdadera para cualquier valor que se le asigne a la 
variable x . 
 
 Resolver una ecuación, consiste en determinar los valores que pueden adquirir sus variables 
para que la igualdad sea verdadera. A estos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación y 
constituyen su conjunto solución. 
 
 Algunas de las propiedades que más se aplican en la solución de ecuaciones, son: 
 
 Si a los dos miembros de una igualdad se les suma o resta una misma cantidad, la igualdad 
subsiste. 
 
Si a b entonces a c b c   ( , ,a b c son números reales). 
 
 Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide por una misma cantidad, la 
igualdad subsiste. 
55 
 
Si a b entonces ac bc y 
a b
c c
 ; 0c  
 
 
7.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE 
 
 Una ecuación es de primer grado en una sola variable, si al tener todos los términos de la 
igualdad en uno de sus miembros (aplicando las propiedades anteriores), se llega a una igualdad de 
la forma 0ax b  (llamada forma estándar) en la cual a y b son constantes y x es la variable o 
incógnita  0a  . 
 
 Para resolver una ecuación, se procede a encontrar otra ecuación más simple que la original, 
cuyo conjunto solución sea el mismo (esto se puede lograr generalmente, aplicando las propiedades 
anteriores) 
 
 Ejemplos 
 
Resolver las siguientes ecuaciones. 
 
1) 9 2 7x x  
 
 Solución 
 
Aplicando las propiedades anteriores se obtiene otra ecuación equivalente, reuniendo en un miembro 
los términos que contienen la incógnita y en el otro término, los que no la contienen: 
 
9 2 7x x  
9 7 2 7 7x x x x     sumando 7x en ambos miembros. 
16 2x  
1 1
16 2
16 16
x
   
   
   
  multiplicando por 
1
16
 ambos miembros. 
2
16
x  , simplificando 
1
8
x  
 
2)    3 2 2 2 1 12x x    
 
 Solución 
 
Primero se remueven los paréntesis efectuando los productos y simplificando. 
 
   3 2 2 2 1 12x x    4 4 4 12 4x    se