Matematicas_Basicas2023

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MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
BÁSICASBÁSICAS
Libro interactivoLibro interactivo
https://descartes.matem.unam.mx/
Matemáticas Básicas
Carlos Alberto Rojas Hincapié
Red Educativa Digital Descartes, Colombia
Fondo Editorial Pascual Bravo
Medellín
Título de la obra:
Matemáticas Básicas
Autor:
Carlos Alberto Rojas Hincapié
Actualización: Joel Espinosa Longi
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Código JavaScript para el libro: Joel Espinosa Longi, IMATE, UNAM.
Recursos interactivos: DescartesJS
Fuentes: Nunito y UbuntuMono
Fórmulas matemáticas: 
Actualización: Joel Espinosa Longi
Núcleo del libro interactivo: julio 2022
Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co
ISBN: 978-958-56476-1-9
Esta obra está bajo una licencia Creative
Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No
Comercial-Compartir Igual.
K T XA E
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https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
Tabla de contenido
iii
Introducción 6
1. Conceptos preliminares 7
1.1 El conjunto de los Números Naturales ( )N 8
1.2 El conjunto de los Números Enteros ( )Z 8
1.3 El conjunto de los Números Racionales ( )Q 9
1.4 Conjunto de Números Irracionales ( )Q∗ 11
1.5 El conjunto de Números Reales ( )R 11
1.6 Practiquemos 12
2. Potenciación 15
2.1 Propiedades de la potenciación 18
2.2 Practiquemos 20
3. Radicación 22
3.1 Propiedades de los Radicales 24
3.2 Operaciones con expresiones Radicales 25
3.3 Simplificar expresiones radicales 26
3.4 Practiquemos 27
4. Expresiones Algebraicas 29
4.1 Definiciones preliminares 30
4.1.1 Expresión algebraica 30
4.1.2 Términos en una expresión algebraica 30
4.1.3 Términos semejantes 32
4.2 Polinomios 35
iv
4.3 Suma y resta de polinomios 36
4.4 Producto de monomios entre sí 39
4.5 Producto de polinomios 40
4.6 Productos notables 42
4.6.1 Cuadrado de la suma de dos términos 42
4.6.2 Cuadrado de la diferencia de dos términos 42
4.6.3 Potencias de binomios 45
4.7 División de polinomios 47
4.7.1 División de monomios 47
4.7.2 División de un polinomio por un monomio 48
4.7.3 División de un polinomio por un polinomio 48
4.8 Practiquemos 51
5. Factorización 53
5.1 Factor común 54
5.2 Diferencia de cuadrados 56
5.3 Trinomio de la forma x +2 bx + c 59
5.4 Trinomio de la forma ax +2 bx + c 61
5.5 Suma de cubos 64
5.6 Diferencia de cubos 65
5.7 Factorización por agrupación 66
5.8 Practiquemos 67
6. Fracciones Algebraicas 68
6.1 Simplificación de fracciones aritméticas 69
6.2 Simplificación de fracciones racionales 70
6.3 Suma y diferencia de fracciones racionales 72
v
6.4 Producto de fracciones racionales 74
6.5 División de fracciones racionales 76
6.6 Practiquemos 78
7. Bibliografía 79
Introducción
De la colección iCartesiLibri surge este libro digital interactivo,
diseñado de tal forma que permita el aprendizaje significativo a
través de la intervención directa y personal del usuario, el cual se
convierte en el protagonista del libro, en tanto que podrá
interactuar con algunos objetos de aprendizaje. Estos objetos de
aprendizaje interactivos fueron diseñados con el editor
DescartesJS.
La herramienta Descartes se caracteriza por una innata interactividad,
por permitir realizar representaciones de objetos bi y
tridimensionales, por gestionar expresiones de texto y de fórmulas,
por integrar objetos multimedia como imágenes, audios y vídeos, por
tener la posibilidad de reflejar casos concretos y también potenciar la
conceptualización de tareas y procedimientos mediante la utilización
de semillas aleatorias y controles numéricos, gráficos y de texto, y con
ellos poder abordar la evaluación de manera automática, tanto la
correctiva como la formativa. Con Descartes es posible el diseño y
desarrollo de objetos educativos que promueven el aprendizaje
significativo, posibilitando esa deseada construcción del
conocimiento.1
Todos los recursos incluidos en este libro se basan en el estándar
HTML y consecuentemente son plenamente accesibles y
operativos en cualquier ordenador, tableta o smartphone sin más
que utilizar un navegador compatible con dicho estándar. Diseñar
en HTML, significa que usaremos:
1. Lenguaje HTML
2. Hojas de estilo CSS
3. Programación en JavaScript
Véase http://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/descripcion.htm.1
vi
http://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/descripcion.htm
Capítulo 1Capítulo 1
CONCEPTOSCONCEPTOS
PRELIMINARESPRELIMINARES
1. Concepto preliminares
El sistema de los Números Reales lo conforman los siguientes
conjuntos numéricos:
1.1 El conjunto de los Números Naturales ( )
Se denomina el conjunto de los Números
Naturales o enteros positivos. Están
definidas las siguientes operaciones
básicas: adición y multiplicación. El
conjunto de los Números Naturales surgió
de la necesidad de contar, lo cual se
manifiesta en el ser humano desde sus inicios. Este conjunto se
caracteriza porque tiene un número ilimitado de elementos
1.2 El conjunto de los Números Enteros ( )
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar
solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es
mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los
Números Naturales (por ejemplo: ). Debido a esto, la
recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada
punto que representa un número natural le corresponda un punto
simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel
que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el
otro a la izquierda de él). Se dividen en:
Enteros Negativos: , Enteros Positivos: y el Cero: 
N
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
5 − 20 = ¿?
Z− Z+ {0}
8
Por lo tanto, el conjunto de los Números Enteros es la unión de los
tres subconjuntos mencionados: 
1.3 El conjunto de los Números Racionales ( )
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las
limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los
Números Naturales y Números Enteros. Para solucionar esta
dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los
números de la forma . Esta fracción en la cual el numerador es y
el denominador donde , son números enteros con distinto
de cero.
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada
intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que
representen números enteros.
Z = Z ∪− {0} ∪ Z+
Q
Q = {..., −¾, −½, −¼, 0, ¼, ½, ¾, ...}
 b
a a
b a b b
9
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto1_JS/2_1/index.html
Observa la representación en la recta de fracciones propias e
impropias.
10
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto1_JS/2_1/index1.html
Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con
denominador igual al número de partes de la subdivisión. Cada
fracción es un número racional y cada número racional consta de
infinitas fracciones equivalentes.
1.4 Conjunto de Números Irracionales ( )
Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos. Este
conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no
pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a
las raíces inexactas, el número Pi ( ), etc. A él pertenecen todos los
números decimales infinitos puros, es decir aquellos númerosque
no pueden transformarse en una fracción.
No deben confundirse con los números racionales, porque éstos
son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semi
periódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
1.5 El conjunto de Números Reales ( )
El sistema de los números reales esta conformado por la unión del
conjunto de los números racionales y el conjunto de los números
irracionales: .
Representación gráfica
del conjunto de los
números reales.
Todos los conjuntos
numéricos pueden ser
representados en la
recta numérica.
Q∗
π
R
R = Q ∪ Q∗
11
1.6 Practiquemos
jercicio 1: Identifica a que conjunto numérico pertenece el
número dado. Oprime el botón correspondiente al conjunto
numérico al cual pertenece el numero dado, (Naturales), 
(Enteros), (Racional), (Irracional) o (Real) y verifica tu
respuesta.
N Z
Q Q∗ R
12
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto1_JS/1_1/interactivo1.html
jercicio 2: Clasifica cada uno de los siguientes números en el
recuadro correspondiente al conjunto numérico, ubicándolos
en el conjunto más pequeño al que pertenezcan:
13
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/Clasifica3/indexb.html
jercicio 3: Resuelve los siguientes ejercicios con su debido
procedimiento.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
1, 517 − 2, 304 + 9, 379
4, 224 − 6, 293 − 1, 611
2, 818 + 9, 006 + 7, 423
2 + π − 5
 +3
1 3, 121 − 5, 465
4, 399 × (1, 283 − 5, 915)
2, 247 × (0, 035 + 3, 247)
6, 744 × (7, 163 − 2, 872)
14
Capítulo 2Capítulo 2
POTENCIACIÓNPOTENCIACIÓN
2. Potenciación
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian tres partes, la
base, el exponente y la potencia.
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí
mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el
número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.
El exponente determina la cantidad de veces que la base se
multiplica por sí misma:
Ejemplos:
5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 37
 ×2
1
 ×2
1
 =2
1
 (2
1
)
3
(−7) ⋅ (−7) ⋅ (−7) ⋅ (−7) = (−7)4
16
xploremos
1. Ingresa la base y el exponente indicado, oprime la tecla “intro” y
verifica.
2. Verifica ingresando la base y el exponente del ejercicio
propuesto y escribe la potencia, (recuerda ), oprime la
tecla “intro” para verificar.
(B) =E P
17
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/1_1/escena3a.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/1_1/escena4.html
2.1 Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciación son válidas para todos los
conjuntos numéricos.
Todo número diferente de cero, elevado al exponente cero, es igual
a uno:
Todo número diferente de cero, elevado al exponente uno, es igual
a el mismo:
a =0 1
a =1 a
18
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/1_1/index.html
xploremos
Verifica lo aprendido en esta sección por medio de un paso a paso.
Recuerda, una potencia que tiene de base una potencia, se coloca
la misma base y se multiplican los exponentes.
19
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/1_1/escena2a.html
2.2 Practiquemos
jercicio 1: Da clic en el botón “Ejercicio”, soluciona en tu
cuaderno, escribe el exponente, la base y pulsa la tecla “intro”
y verifica tu respuesta.
20
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/1_1/index1.html
jercicio 2: Mide tus conocimientos de lo aprendido en esta
sección y responde las siguientes preguntas seleccionando la
respuesta correcta.
21
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/1_1/Seleccion_multiple7-JS/index.html
Capítulo 3Capítulo 3
RADICACIÓNRADICACIÓN
3. Radicación
Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical,
el cual es el símbolo de calcular una raíz.
En la nomenclatura de la radicación se tienen las siguientes partes:
23
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/3_1/interactivo2.html
3.1 Propiedades de los Radicales
24
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/2_1/index.html
3.2 Operaciones con expresiones Radicales
Para operar sumas o restas de expresiones radicales, deben tener
el mismo índice y el mismo radicando, o sea radicandos
semejantes.
Resuelva expresiones radicales de suma y resta. ingresa el
coeficiente numérico y el valor del radical, pulsa la tecla “intro” y
observa la solución.
25
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/3_1/interactivo1.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/3_1/index.html
3.3 Simplificar expresiones radicales
Para simplificar expresiones radicales, buscamos términos
exponenciales dentro del radical, donde usamos la factorización o
descomposición en factores primos y aplicamos las reglas de los
exponentes.
Se debe llevar a un índice común (m.c.m.) y se expresa en una sola
raíz, simplificando la expresión si es posible, por ejemplo:
 =
 2
 
3 4
 =
 
2×3 23
 
3×2 42
 =
 
6 23
 
6 42
 =
 
6 23
 
6 24
 =6 
23
24
 
6 2
26
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3.4 Practiquemos
jercicios
1. Resuelve y simplifica en tu cuaderno aplicando las propiedades
vistas en el capítulo.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
2. Resuelve y simplifica en tu cuaderno aplicando las propiedades
vistas en el capítulo.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
3 ⋅ +3 2 4 ⋅ −3 2 2 ⋅ 3 2
2 ⋅ +3 9 ⋅ ÷3 3 ⋅ 3
 −50 −72 2 ⋅ 2
 −8 3 ⋅ +2 4 ⋅ 18
 −3 3 ⋅ +12 5 ⋅ 27
 +12 5 ⋅ −3 27
 −12 +27 3
 +18 −50 ÷8 2
 ⋅45 +20 80
 
 2ab
 8a b3
 
 
3 ab
 
3 ab2
 
 2ab
 3a b2
 
 
3 a bc2
 
3 ab c2 2
 
 
3 2ab
 2ab
 
 2a
 
4 2a b2
 
 2abc2
 
3 2a b c3 4
 
 
6 2ab
 ⋅ 2ab 3 2a b2
27
3. Mide tus conocimientos de lo aprendido en esta sección y
responde las siguientes preguntas tipo ICFES:
28
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto2_JS/3_1/Seleccion_multiple7-3_JS/index.html
Capítulo 4Capítulo 4
EXPRESIONESEXPRESIONES
ALGEBRAICASALGEBRAICAS
4. Expresiones algebraicas
4.1 Definiciones preliminares
4.1.1 Expresión algebraica
Combinación de números, letras, signos de agrupación, con
operaciones indicadas. Por ejemplo:
4.1.2 Términos en una expresión algebraica
Se llama término en una expresión algebraica, a cada parte de ella
que viene a ser separada por el signo mas ( ) ó el signo menos ( ),
los términos están formados por números y letras o expresiones
combinadas multiplicadas entre sí (llamados factores). Por
ejemplo:
 Expresión de tres términos
 Expresión de dos términos
 Expresión de cuatro términos
El término puede tener factor literal y factor numérico o coeficiente
numérico o coeficiente del término.
 , x −
a + 4
3a − 5 2 5x + 2, 2b + 3, 8y − 3xy + 2x
+ −
x −2 5x + 2 ⟶
2b + 3 ⟶
8y − 3xy + 2x − 5 ⟶
30
xploremos
Observa y explora las diferentes expresiones algebraicas.
Figura 4.1. Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa
31
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/3_1/interactivo1.html
Cuando un término en apariencia no presenta coeficiente numérico,
como en laexpresión algebraica en donde es el término
que en apariencia no presenta el coeficiente numérico, se asume a
la unidad como su coeficiente numérico. Luego el término 
.
Para conocer el valor numérico de una expresión algebraica, se
sustituyen las letras por números reales y se efectúan operaciones.
Por ejemplo:
4.1.3 Términos semejantes
Aquéllas expresiones que poseen una misma parte, bien sea literal
(letras) o radical (raíces). Por ejemplo:
 Términos semejantes, poseen la misma parte literal:
 Términos semejantes, poseen la misma parte radical:
b − 4c b
(1) 1b =
b
ab − 2ab⟶
ab
 , 5 ⟶3 x 3 x
 
3 x
32
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/expresiones_algebraicas/escena3.html
Los términos semejantes pueden sumarse o restarse. Por ejemplo:
jercicio: Simplificar términos semejantes en expresiones
algebraicas cuando sea posible.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
8t + 7t =
5a b +2 13a b =2
55z −2 21z =2
21a + 14b =
25wxy + 13xyz =
23mp − 29mp =
300r −3 153r =2
76t − 37t =
66m − 36m =
104 − 104m =2
33
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/escena1b.html
xploremos
Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección:
Véase
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/
2m_b01_t02_s01_descartes-JS/index.html
34
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/2m_b01_t02_s01_descartes-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/2m_b01_t02_s01-JS/monomios_1.html
4.2 Polinomios
Son expresiones algebraicas con características especiales, así por
ejemplo un polinomio en la variable , es una expresión algebraica
de la forma:
 es un entero no negativo.
 son números reales.
 son coeficientes del polinomio.
 es el coeficiente principal.
 es el término independiente.
El mayor exponente de se denomina grado del polinomio.
x
P (x) = a x +n n a x +n−1 n−1 a x +n−2 n−2 ... + a x +1 a 0
n
a , a , a , … , a , a n n−1 n−2 1 0
a , a , a , … , a n n−1 n−2 1
a n
a 0
x
35
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/escena2.html
Algunos polinomios reciben nombres especiales de acuerdo con el
número de términos que posean:
 Monomio (un término)
 Binomio (dos términos)
 Trinomio (tres términos)
4.3 Suma y resta de polinomios
Sean los polinomios: y 
1. Se coloca el primer polinomio y a continuación se le suma o
adiciona el segundo polinomio.
2. Se eliminan signos de agrupación (paréntesis, llaves,
corchetes)
Si a un signo de agrupación (paréntesis, llaves, corchetes) lo
antecede un signo mas ( ), al eliminar el signo de agrupación,
todos los términos que haya dentro de él quedarán con los
mismos signos, para el caso, que el signo de agrupación lo
antecede un signo menos ( ), o sea una resta, al eliminar el
signo de agrupación todos los términos dentro de éste
cambian de signo.
5x ⟶2
2b + 3 ⟶
8x +2 2x − 5 ⟶
P1 = x +3 2x −2 5x + 7 P2 = 4x −3 5x +2 3
P1 + P2 = (x +3 2x −2 5x + 7) + (4x −3 5x +2 3)
P1 + P2 = x +3 2x −2 5x + 7 + 4x −3 5x +2 3
+
−
36
3. Se realizan las operaciones de sumas o restas de términos
semejantes, los que no son semejantes se dejan igual,
después de realizar las operaciones con los términos
semejantes se organizan en orden creciente o decreciente
para la variable si es el caso.
Nota: Al sumar o restar dos o más polinomios, se suman los términos
semejantes de cada polinomio.
Modifica los coeficientes de cada polinomio y observa los
resultados.
P1 + P2 = (x +3 4x ) +3 (2x −2 5x ) −2 5x + (7 + 3)
P1 + P2 = 5x −3 3x −2 5x + 10
37
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/escena5_suma.html
xploremos
Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección:
Véase
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/
2m_b01_t02_s01_descartes-JS/index.html.
38
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/2m_b01_t02_s01_descartes-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/2m_b01_t02_s01-JS/sumas_1.html
4.4 Producto de monomios entre sí
1. Se multiplican los coeficientes numéricos de los términos,
aplicando las reglas de los signos:
Signos iguales: ( ) Signos diferentes: ( )
2. Se aplica a la parte literal, el producto de potencias de igual
base:
+
(+) ⋅ (+) = (+)
(−) ⋅ (−) = (+)
−
(+) ⋅ (−) = (−)
(−) ⋅ (+) = (−)
b ⋅m b =n bm+n
39
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/escena4b.html
4.5 Producto de polinomios
Para multiplicar polinomios entre sí, se aplica la propiedad
distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por
todo el segundo polinomio, ejemplo:
Se aplica a la parte literal, el producto de potencias de igual base:
Se aplica la propiedad distributiva.
Suma de términos semejantes.
por lo tanto, tenemos que:
Se debe tener en cuenta la ley de los signos entre los términos a
multiplicar, donde los positivos son aquéllos términos que los
antecede un signo mas ( ) ó aquéllos términos que en apariencia
no poseen signo que los anteceda; y los negativos son aquéllos
términos que los antecede un signo menos ( ).
(3x + 4) ⋅ (5x − 7) = 3x ⋅ (5x − 7) + 4 ⋅ (5x − 7)
b ⋅m b =n bm+n
((3x) ⋅ (5x) − (3x) ⋅ 7) + (4 ⋅ (5x) − 4 ⋅ 7)
15x −2 21x + 20x − 28
(3x + 4) ⋅ (5x − 7) = 15x −2 1x − 28
+
−
40
xploremos
Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección:
Véase
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/
2m_b02_t02_s01_descartes-JS/index.html.
41
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/2m_b02_t02_s01_descartes-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/2m_b02_t02_s01-JS/binomios_3.html
4.6 Productos notables
Corresponden a productos especiales, destacables en operaciones
matemáticas y que tienen su base en la potenciación de
polinomios.
4.6.1 Cuadrado de la suma de dos términos
Corresponde al cuadrado del primer término, mas el doble
producto del primer término por el segundo término, mas el
cuadrado del segundo término, veamos como se genera:
 ———————— Definición de potencia
Ejemplo:
4.6.2 Cuadrado de la diferencia de dos términos
Corresponde al cuadrado del primer término, menos el doble
producto del primer término por el segundo término, mas el
cuadrado del segundo término, veamos como se genera:
 ———————— Definición de potencia
(a + b) =2 (a + b) ⋅ (a + b)
(a + b) =2 a +2 2ab + b2
(2m + 3) =2 (2m) +2 2 ⋅ (2m) ⋅ (3) + (3) =2 4m +2 12m + 9
(a − b) =2 (a − b) ⋅ (a − b)
(a − b) =2 a −2 2ab + b2
42
Ejemplo:
Si se tienen tres o más términos, se agrupan y se aplica la misma
definición:
Escribe los valores de los coeficientes y exponente, pulsa la tecla
“intro” y observa el resultado cuando tienen diferentes exponentes
dentro de los términos del binomio.
 
(y − 5x)2 = (y) − 2 ⋅ (y) ⋅ (5x) + (5x)2 2
= y − 10xy + 25x2 2
(a + b + c) =2 [(a + b) + c] =2 a +2 b +2 c +2 2ab + 2ac + 2b
43
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/index1.html
xploremos
Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección:
Véase
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/
3m_b01_t01_s01-JS/index.html.
44
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/3m_b01_t01_s01-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/3m_b01_t01_s01-JS/productos_notables_1.html
4.6.3 Potencias de binomios
Los binomios se desarrollande la siguiente forma:
Detallando el desarrollo de los binomios se tiene que:
1. El número de términos del resultado es uno más que el
exponente del binomio.
2. El exponente del primer y último término del binomio, son
iguales al exponente del binomio.
3. El exponente de disminuye de uno en uno en cada término
y en cambio aumenta de uno en uno para cada término.
4. Todos los términos del desarrollo de cada binomio son
positivos, pero sí fueran de la forma 
 los signos alternarían : 
5. Al analizar los coeficientes numéricos para cada término del
desarrollo de un binomio se observa que son simétricos.
(a + b) =0 1
(a + b) =1 a + b
(a + b) =2 a +2 2ab + b2
(a + b) =3 a +3 3a b +2 3ab +2 b3
(a + b) =4 a +4 4a b +3 6a b +2 2 4ab +3 b4
a
b
(a − b) , (a −2 b) , (a −3
b) , … ,4 (+), (−), (+), (−), …
45
Los términos simétricos tienen los mismos coeficientes, la simetría
de los términos permite disponer los coeficientes de cada binomio
en forma de un triángulo conocido como:
Triángulo de Pascal
 = —————————————————————— 1
 = ——————————————————— 1 1
 = ———————————————— 1 2 1
 = —————————————— 1 3 3 1
 = ———————————— 1 4 6 4 1
 = —————————— 1 5 10 10 5 1
 = ———————— 1 6 15 20 15 6 1
Con este triángulo se puede deducir que:
1. Los coeficientes de los términos de los extremos son iguales
a uno.
2. Sumando dos coeficientes seguidos de una fila, se obtiene un
coeficiente de la fila siguiente.
Ejemplo:
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
(a + b)6
(m − 2n) =5 (m) −5 5(m) (2n) +4 10(m) (2n) −3 2 10(m) (2n) +2 3
5(m)(2n) −4 (2n)5
(m − 2n) =5 m −5 10m n +4 40m n −3 2 80m n +2 3 80mn −4 32n5
46
4.7 División de polinomios
4.7.1 División de monomios
Para dividir dos monomios:
1. Se dividen los coeficientes, aplicando la ley de los signos.
2. En la parte literal, se le aplica la propiedad de división de
potencias de igual base:
Siendo 
;
Siendo 
;
Siendo 
;
m > n
 =
an
am am−n
m < n
 =
an
am
 
an−m
1
m = n
 =
an
am 1
47
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/escena6_division.html
4.7.2 División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término
del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la ley de signos
y las propiedades de la potencia de bases iguales, ejemplo:
4.7.3 División de un polinomio por un polinomio
1. Ordenamos los polinomios en orden decreciente.
2. Dividimos el primer término del dividendo por el primer
término del divisor, para obtener el primer término del
cociente.
3. Multiplicamos este primer término del cociente por cada uno
de los términos del divisor y el resultado lo restamos del
dividendo, así obtenemos un dividendo parcial.
4. Continuamos a partir de este dividendo parcial, conforme lo
indicamos en el paso 2 hasta obtener un residuo de menor
exponente que el divisor.
5. Si el resultado es CERO la división es EXACTA.
 
 
−3x2
18x − 9x + 24x5 3 4 = − + 
−3x2
18x5
−3x2
9x3
−3x2
24x4
= −6x + 3x − 8x5−2 3−2 4−2
= −6x + 3x − 8x3 2
48
xploremos
Observa varios ejercicios, verás que para hacer la división siempre
se dividen los monomios de mayor grado, se multiplica y se
cambia de signo, y se suma. Este proceso se repite hasta obtener
un resto de grado menor que el del divisor. La división de
polinomios debe cumplir dos condiciones. La primera, que el
Dividendo = divisor · cociente + resto y, la segunda, que gr(resto)
< gr(divisor)
El grado del cociente es la diferencia de los grados del dividendo y
del divisor. Cuando el resto es cero, se dice que el dividendo es
divisible entre el divisor.
Figura 4.2. Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa
49
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/EDAD_4eso_A_polinomios-JS/division1a.html
En la siguiente escena se ven divisiones de polinomios con la
expresión en coeficientes, cuyo procedimiento es el mismo:
División de coeficientes, Multiplicación del último coeficiente por
el divisor cambiando de signo el resultado y, Suma de este
resultado con lo que resta en el dividendo.
Observa varios ejercicios en cada uno de los tres niveles de la
escena.
Figura 4.3. Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa
50
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/EDAD_4eso_A_polinomios-JS/division2a.html
4.8 Practiquemos
jercicio 1: Simplifique la siguiente expresión algebraica de
(sumas, restas, productos, cocientes, potencias), resuelve
primero en tu cuaderno y luego verifica la solución.
51
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/index.html
jercicio 2: Mide tus conocimientos de lo aprendido en esta
sección y resuelve la actividad:
52
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/Asocia_imagenes-JS/index.html
Capítulo 5Capítulo 5
FACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓN
5. Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es expresarlo como el producto de otros
polinomios que tengan menor grado que éste. Casos de
factorización:
5.1 Factor común
Hace referencia al término común de un polinomio, pueden ser
factores numéricos o factores literales. Para encontrar el factor
común, se realiza lo siguiente:
1. Encontrar el factor común numérico que corresponde al
M.C.D. de los coeficientes del polinomio común (M.C.D. =
Factores comunes elevados a su menor exponente).
2. El factor común literal está conformado por aquellas letras
que están elevadas a su menor exponente.
3. El factor común para el polinomio corresponde a la
multiplicación del factor común numérico con el factor común
literal.
54
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/2_1/index1.html
Ejemplo: Encontrar el factor común para el polinomio: 
Factor común numérico de y es 
Factor común literal de y es 
Por lo tanto, el factor común del polinomio 
Ahora, veamos por medio de un paso a paso como hallar el factor
común de un polinomio, pulsa en botón “Paso1” y sigue las
instrucciones.
3m −3 6m n2
3 6 3
m3 m n2 m2
= 3m −3 6m n =2 3m2
55
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/2_1/index2.html
Una vez encontrado el factor común para un determinado
polinomio, se procede a encontrar el otro factor que multiplica al
factor común, dividiendo cada término del polinomio dado por el
factor común. Quedando en ésta forma factorizado completamente
el polinomio dado.
Ejemplo:
el factor común del polinomio es ahora dividimos cada
termino por el factor común:
division de coeficientes numéricos, propiedad de división de
potencias de igual base, por lo tanto,
5.2 Diferencia de cuadrados
Se caracteriza por ser una diferencia (resta) entre dos términos que
poseen raíz cuadrada exacta.
Ejemplo: 
raíz cuadrada del primer término 
raíz cuadrada del segundo término 
5p q +2 3 10p q +2 2 20p q3 4
5p q2 2
 
 + + 
5p q2 2
5p q2 3
5p q2 2
10p q2 2
5p q2 2
20p q3 4 = p q + 2p q + 4p q2−2 3−2 2−2 2−2 3−2 4−2
= q + 2 + 4pq2
5p q + 10p q + 20p q = 5p q ⋅ (q + 2 + 4pq )2 3 2 2 3 4 2 2 2
9a −2 b2
⟶ 3a
⟶ b
56
Una diferencia de cuadrados se factoriza como la suma de las
raíces cuadradas, multiplicada por la diferencia de las mismas,
simbólicamente se tiene:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
jercicio: Factorizar los siguientes polinomios si es posible.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. (3 factores) 
7. (4 factores) 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. (3 factores) 
a −2 b =2 (a + b)(a − b)
25p2
↓
 25p2
↓
5p
− 4p2
↓
 4p2
↓
2p
= (5p + 2p) ⋅ (5p − 2p)
 
k − (1 + v)22 = (k + (1 + v)) ⋅ (k − (1 + v))
= (k + v + 1) ⋅ (k − v − 1)
a x −2 2 169 =
a −2 =25
1
16y −4 36 =
x −2a y =2b
25 − 19y =2
x −4 81 =
a x −4 2 81x =6
(2x − 5) −2 (3x − 5) =2
(y −2 6y + 9) − x =2
(x +2 8x + 16) − (y +2 2y +
1) =
4a −2 (b −2 2bx + x ) =2
16t −4 x =4
57
xploremos
Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección:
Véase
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/
3m_b01_t01_s01-JS/index.html.
58
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/3m_b01_t01_s01-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/3m_b01_t01_s01-JS/factorizacion_2.html
5.3 Trinomio de la forma 
Estos trinomios se factorizan de la siguiente forma:
Todo trinomio de la forma , siempre que 
tenga solución, equivale al producto de dos binomios o factores.
Donde el primer término de cada binomio, es la raíz cuadrada del
primer término del trinomio y los segundos términos de cada
binomio son los números y , cuya suma y el producto
.
Simbólicamente se tiene:
Ejemplo:
x +2 bx + c
x +2 bx + c x +2 bx + c = 0
x +2 bx + c = (x + p)(x + q)
x
p q p + q = b
p ⋅ q = c
x2
↓
 x2
↓
x
+ bx
↓
b = p + q
+ c
↓
c = p ⋅ q
= (x + p) ⋅ (x + q)
x2
↓
 x2
↓
x
+ 8x
↓
b = 3 + 5
+ 15
↓
c = 3 ⋅ 5
= (x + 3) ⋅ (x + 5)
59
Se puede presentar que el trinomio tenga la forma , el
cual se factoriza de igual forma.
Ejemplo:
donde,
jercicio: Practiquemos factorizando algunos trinomios, si es
posible.
x +2n bx +n c
x −4 x −2 6 = (x −2 3)(x +2 2)
b = (−3 + 2) = −1
c = (−3)(2) = −6
60
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/2_1/index3.html
5.4 Trinomio de la forma 
Estos trinomios se factorizan de la siguiente forma:
Se caracterizan por ser muy parecidas a la forma , con
la diferencia de que la variable ya tiene un coeficiente 
diferente de cero y uno. Por ejemplo:
Para factorizar trinomios de la forma , lo que se hace
es llevarlo a la forma , y luego se resuelve como en el
caso anterior.
Simbólicamente se tiene: Trinomio dado
 Multiplico y divido por 
 Aplico distributiva
El primer término de cada binomio será: 
por lo tanto, 
donde: y 
ax +2 bx + c
x +2n bx +n c
x2n a
2x +2 7x − 15
3x +2 17x + 10
5x −2 17x + 6
ax +2n bx +n c
y +2n by +n c
ax +2n bx +n c →
= →a
a(ax + bx + c)2n n
a
= →a
a x + abx + ac2 2n n
(ax +n p) ⋅ (ax +n q)
(ax ) +n 2 b(ax ) +n ac = (ax +n p) ⋅ (ax +n q)
p + q = b p ⋅ q = a ⋅ c
61
Ejemplo: Trinomio dado
 Multiplico y divido por 
 Aplico distributiva
donde: y 
entonces: Factor común 
 Simplificando el 
jercicio: Practiquemos factorizando algunos trinomios, si es
posible.
3x +2 17x + 10 →
= →
3
3(3x + 17x + 10)2 3
= →
3
(3x) + 17(3x) + 302
15 + 2 = 17 15 ⋅ 2 = 30
= →
3
(3x + 15)(3x + 2) 3(x + 5)
= x +2 17x + 10 = (x + 5)(3x + 2) → 3
62
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/2_1/index4.html
xploremos
Verifica los conocimientos de lo visto en esta sección:
Véase
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/
3m_b01_t01_s01-JS/index.html.
63
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos/3m_b01_t01_s01-JS/index.html
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/1_1/3m_b01_t01_s01-JS/factorizacion_1.html
5.5 Suma de cubos
Se trata de la suma entre dos términos cuya característica es que
pueden expresarse como cantidades que se pueden elevar al cubo,
por lo tanto cada término posee raíz cúbica exacta.
Ejemplo: 
raíz cúbica del primer término 
raíz cúbica del segundo término 
Para factorizar una suma de cubos, se tiene en cuenta lo siguiente:
1. Una suma de cubos es igual al producto de un binomio (dos
términos) por un trinomio (tres términos).
2. El binomio está formado por la suma de las raíces cúbicas.
3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raíz, producto
de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.
4. Los signos del trinomio son: ( ), ( ), ( ).
Ejemplo:
x +3 27 = x +3 33
⟶ x
⟶ 3
+ − +
a +3 b =3 (a + b)(a −2 ab + b )2
y +3 64x =3 (y + 4x)(y −2 4xy + 16y )2
64
5.6 Diferencia de cubos
Se trata de la resta entre dos términos cuya característica es que
pueden expresarse como cantidades que se pueden elevar al cubo,
por lo tanto cada término posee raíz cúbica exacta.
Ejemplo: 
Raíz cúbica del primer término 
Raíz cúbica del segundo término 
Para factorizar una diferencia de cubos, se tiene en cuenta lo
siguiente:
1. Una diferencia de cubos es igual al producto de un binomio
(dos términos) por un trinomio (tres términos).
2. El binomio está formado por la diferencia de las raíces
cúbicas.
3. El trinomio consta de: cuadrado de la primera raíz, producto
de las dos raíces y cuadrado de la segunda raíz.
4. Los signos del trinomio son: ( ), ( ), ( ).
Ejemplo:
p −3 8k =3 p −3 (2k)3
⟶ p
⟶ 2k
+ + +
a −3 b =3 (a − b)(a +2 ab + b )2
y −3 64x =3 (y − 4x)(y +2 4xy + 16x )2
65
Ahora, veamos algunos ejemplos de la factorización de suma y
diferencia de cubos.
5.7 Factorización por agrupación
Algunos polinomios no se pueden factorizar directamente,
mediante la aplicación de los casos vistos hasta ahora, sino que es
necesario agrupar adecuadamente los términos antes de factorizar.
Ejemplo, factorizar el siguiente polinomio: 
 agrupamos 
factor común 
factor común 
diferencia de cuadrados 
x −3 6x −2 x + 6
x −3 6x −2 x + 6 ⟶ ⟶
⟶
⟶
⟶
(x −3 6x ) −2 (x − 6)
x (x −2 6) − (x − 6)
(x − 6)(x −2 1)
(x − 6)(x − 1)(x + 1)
66
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/2_1/index5.html
5.8 Practiquemos
jercicio
Mide tus conocimientos de lo aprendido en esta sección y resuelve
la actividad:
67
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/2_1/Secuencias_temporales_2-JS/index.html
Capítulo 6Capítulo 6
FRACCIONESFRACCIONES
ALGEBRAICASALGEBRAICAS
6. Fracciones Racionales
6.1 Simplificación de fracciones aritméticas
Recordemos:
Para simplificar fracciones, escribimos el numerador y el
denominador como un producto de factores y cancelamos
los FACTORES COMUNES a ambos.
¡CUIDADO! No podemos simplificar términos. Sólo
factores.
Una fracción aritmética está simplificada cuando el único
factor común al numerador y al denominador es el
número UNO.
Ejemplos:
 ¡Error! ¡Correcto!
Para simplificar, cancelamos los FACTORES COMUNES al
numerador y al denominador.
Cuando el denominador de una fracción es cero ( ) se dice que la
fracción no existe o no está definida.
 =
8
4
 
1 ⋅ ⋅ ⋅ 22 2
1 ⋅ ⋅ 2 2
 =
270
48
 =
1 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 52 3
1 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3
 
45
8
 =3
4 + 3
4 ⟶ =3
4 + 3
 3
7
⟶
0
69
6.2 Simplificación de fracciones racionales
Al igual que las fracciones aritméticas, decimos que una fracción
algebraica está simplificada, cuando el único factor común al
numerador y al denominador es el número UNO, es decir, cuando
el numerador y el denominador sean primos entre sí. Para
simplificar fracciones algebraicas procedemos de la siguiente
forma:
1. Factorizamos el numerador y el denominador.
2. Suprimimos los FACTORES COMUNES al numerador y
denominador (¡CUIDADO! No podemos cancelar sumandos).
Ejemplos:
 Suprimiendo factores comunes
En algunos casos, se requiere cambiar el orden de los términos de
uno o varios factores, para el segundo ejemplo, se requiere
cambiar el orden del factor , por eso se le antecedió con un
signo menos ( ) al signo de agrupación y se cambió el orden de los
términos dentro del signo de agrupación, quedando .
 =
x − 42
x − 4x + 42
 =
(x + 2) ⋅ (x − 2)
(x − 2)2
 
(x + 2) ⋅ (x − 2)
(x − 2) ⋅ (x − 2)
= ⟶(x + 2)
(x − 2)
 =36 − x2
x − 5x − 62
 
=
(6 − x) ⋅ (6 + x)
(x − 6) ⋅ (x + 1)
 
 ⋅ (x + 6)(6 − x)
−⋅ (x + 1)(6 − x)
= =(x + 6)
−(x + 1)
−x + 6
x + 1
(x − 6)
−
−(6 − x)
70
jercicio 1: En la siguiente escena simplifica en tu cuaderno la
expresión racional dada, luego verifica haciendo clic en el
botón “Solución”.
Figura 6.1. Escena de Consolación Ruiz Gil con licencia CC by-nc-sa
71
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/escena4.html
6.3 Suma y diferencia de fracciones racionales
Para sumar o restar fracciones racionales hacemos lo siguiente:
1. Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los
denominadores.
2. Dividimos el m.c.m. encontrado entre el denominador de cada
fracción y lo multiplicamos por el numerador respectivo.
3. Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos el
resultado, si es posible.
jercicio 2: Simplifiquemos expresiones racionales de suma y
diferencia.
 
x + 3 + 
x − 5
6
= + = 
1
x + 3
x − 5
6
x − 5
(x + 3) ⋅ (x − 5) + 6
= = x − 5
x + 3x − 5x − 15 + 62
x − 5
x − 2x − 92
72
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/3_1/escena_s.html
jercicio 3: Resuelve en tu cuaderno y practica simplificando
expresiones racionales.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
 +
15
x − 7
 −
25
x − 9
 
45
x + 3
 −
2a
a − 2b
 +
4a
a − 5b
 
8a
a + 7b
 −xy
2
 +xy3
3y − x2 2
 
x y2 2
xy + y2
 +
5x
x − 3
 −
10x2
x − 92
 
15x3
8 − x3
 +
x − 42
a
 
(x − 2)2
b
 +
x(x − y)
1
 
y(x + y)
1
 −
2x − 3y
1
 
4x − 9y2 2
x + y
 +
2x + y
1
 −
2x − y
1
 
4x − y2 2
3x
 +
2a + 3b
2a
 −
2a − 3b
3b
 
4a − 9b2 2
8b2
 −
6(x − 1)2
5x
+
2(x − 1)
1
 
3(x + 1)
1
 +
x − 3x + 22
2
 −
x − x − 22
2
 
x − 12
1
 −
1 − 2a
1 + 2a
 −
1 + 2a
1 − 2a
 
(1 − 2a)2
8a
 −
1 + x
1
 −
(1 + x)3
x
 
(1 + x)3
x2
 +
x + a
x − a
 −
a − x2 2
a + 3ax2
 
x − a
x + a
 +x − y2 2
x + y2 2
 +x + y
x
 
y − x
y
 +2a + 5b
1
 +25b − 4a2 2
3a
 
2a − 5b
1
73
6.4 Producto de fracciones racionales
Para multiplicar fracciones racionales hacemos lo siguiente:
1. Factorizamos en primer lugar todos los numeradores y los
denominadores.
2. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre
sí.
3. Suprimir (cancelar) los factores comunes que aparezcan entre
el numerador y el denominador de las fracciones.
Recordemos, cuando multiplicamos fracciones se tiene que:
Ejemplo:
Multipliquemos y simplifiquemos la siguiente fracción racional:
 Factorizamos las expresiones
 Simplificamos
por lo tanto 
 ⋅
b
a
 =
d
c
 ⟶
b ⋅ d
a ⋅ c
 
denominadores
numeradores
 ⋅5
4
 =7
−3
 =5 ⋅ 7
4 ⋅ (−3)
 35
−12
 ⋅
3x + 11x + 102
x − 252
 
x − 2x − 152
4x + 8
= ⋅(3x + 5) ⋅ (x + 2)
(x + 5) ⋅ (x − 5)
 
(x + 3) ⋅ (x − 5)
4 ⋅ (x + 2)
= 
(3x + 5) ⋅ ⋅ (x + 3) ⋅ (x + 2) (x − 5)
(x + 5) ⋅ ⋅ 4 ⋅ (x − 5) (x + 2)
 ⋅
3x + 11x + 102
x − 252
 =
x − 2x − 152
4x + 8
 
(3x + 5) ⋅ (x + 3)
4 ⋅ (x + 5)
74
jercicio 4: Simplifiquemos productos de expresiones
racionales.
jercicio 5: Resuelve en tu cuaderno y practica simplificando
expresiones racionales.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
 ⋅
2ab x2 4
6a bx2 3
 
3a bx2
−4a bx3 2
 ⋅
13ab2
21x y2 3
 
39a b2 3
28y x2 3
 ⋅
3yz
2x y2
 ⋅
7xy2
5z x2
 
40xy z2
21x y z2 3 2
 ⋅x + xy2
x − y
 
y − xy2
x2
 ⋅12x + 24x3 2
14x − 7x2
 x + 2x2
2x − 1
 ⋅
x − 7x + 122
x − 6x + 92
 
x − 814
x − 4x + 9x − 363 2
 ⋅
x + 4
x − 92 (2x − 6)
 ⋅
2b3
3a(a − 2b)2
 ⋅
6a2
b(a + 2b)
 
a − 4b2 2
12ab
 ⋅
b − 2b2
a − 3a2
 ⋅
a − 92
ab − 2ab2
 
b(a + 3)
a
 ⋅y − 2y2
2x + 3x2
 ⋅4x − 92
xy − 2xy2
 2xy − 3y
x
75
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/3_1/escena_p.html
6.5 División de fracciones racionales
Para dividir fracciones racionales hacemos lo siguiente:
1. En primer lugar, la segunda fracción se cambia por su inverso
multiplicativo, convirtiendo la división en una multiplicación.
2. Se continua con el mismo proceso de la multiplicación,
factorizamos todos los numeradores y los denominadores.
3. Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre
sí.
4. Suprimir (cancelar) los factores comunes que aparezcan entre
el numerador y el denominador de las fracciones.
Recordemos, cuando dividimos fracciones se tiene que:
inverso
multiplicactivo
Ejemplo:
Dividamos y simplifiquemos la siguiente fracción racional:
 ÷
b
a
 =
d
c
 ×
b
a
 
c
d
↓
= ⟶c ⋅ b
a ⋅ d
 
denominadores entre sı́
numeradores entre sı́
 ÷
5
4
 =
7
−3
 ×
5
4
 =
−3
7
 =
5 ⋅ (−3)
4 ⋅ 7
 
−15
28
 ÷x + 3
3x − 15
 =4x + 12
12x + 18
 ⋅x + 3
3x − 15
 
12x + 18
4x + 12
= ⋅
(x + 3)
3 ⋅ (x − 5)
 =
6 ⋅ (2x + 3)
4 ⋅ (x + 3)
 =
6 ⋅ (x + 3) ⋅ (2x + 3)
12 ⋅ (x − 5) ⋅ (x + 3)
 
2x + 3
2 ⋅ (x − 5)
76
jercicio 6: Simplifiquemos divisiones de expresiones racionales.
jercicio 7: Resuelve en tu cuaderno y practica simplificando
expresiones racionales.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
 ÷
2ab x2 4
6a bx2 3
 
3a bx2
4a bx3 2
 ÷
13ab2
21x y2 3
 
39a b2 3
28y x2 3
 ÷
3yz
2x y2
 
40xy z2
21x y z2 3 2
 ÷
x + xy2
x − y
 
y − xy2
x2
 ÷
12x + 24x3 2
14x − 7x2
 
x + 2x2
2x − 1
 ÷x − 7x + 122
x − 6x + 92
 x − 814
x − 4x + 9x − 363 2
 ÷
x + 4
x − 92 (2x − 6)
 ÷
2b3
3a(a − 2b)2
 
a − 4b2 2
12ab
 ⋅b − 2b2
a − 3a2
 ÷a − 92
ab − 2ab2
 
b(a + 3)
a
 ÷
y − 2y2
2x + 3x2
 
2xy − 3y
x
77
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/3_1/escena_d.html
6.6 Practiquemos
jercicio 8: Simplifica las siguiente expresión racional (sumas,
restas, productos, cocientes, potencias), resuelve primero en tu
cuaderno y luego verifica la solución.
78
https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Matematicas_Basicas2023/interactivos/objeto3_JS/3_1/escena_t.html
BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
[1] Abreu L., José y Muñoz P.,Valentina (2004).
ProyectoDescartes.org - Telesecundaria. Obtenido de:
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacti
cos
[2] Barbero Corral, Eduardo (2004). ProyectoDescartes.org.
Obtenido de:
http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos
[3] Barnett, Raymon A. (1989). Álgebra y Geometría. Bogotá: 2°
Ed. Ediciones MC Graw-Hill. pág 384.
[4] Rodríguez S, Benjamín y otros (1996). Matemáticas con
Tecnología Aplicada. Bogotá: Ediciones Prentice Hall. pág
220.
[5] Ruiz Gil, Consolación (2014). proyectodescartes.org - EDAD.
Obtenido de:
http://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos
[6] Uribe Calad, Julio A. (1989). Elementos de Matemáticas.
Medellín: 2° Ed. Ediciones Bedout. pág 401.
80
http://proyectodescartes.org/Telesecundaria/materiales_didacticos
http://proyectodescartes.org/uudd/materiales_didacticos
http://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos
https://descartes.matem.unam.mx/