Articulo-4

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Una aplicación de la transformada de laplace en la solución de
ecuaciones diferenciales hiperbólicas.
Yoel A. Monsalve G.*
Resumen
En este art́ıculo se presenta una técnica basada en la transformada de Laplace, desarro-
llada por el autor, que se puede utilizar para hallar la solución de ecuaciones diferenciales
parciales hiperbólicas relacionadas con los problemas de la F́ısica Matemática. Se dará una
presentación de diversas situaciones f́ısicas en que aparece el problema matemático estudia-
do, los teoremas que constituyen el soporte básico de la técnica presentada, y la aplicación
de esta teoŕıa en la solución de un problema que se eligió como ejemplo: el de determinar
la diferencia de potencial en una ĺınea de transmisión infinita. Se mostrará, que la solución
matemática de tal problema revela los fenómenos de atenuación, distorsión y retardo de
propagación.
Palabras clave: Ecuaciones diferenciales / Ecuaciones hiperbólicas / Transformada de
Laplace / Modelo matemático / Ĺınea de transmisión.
Abstract
In this article a technique is presented based on the Laplace transformation, developed by
the author that you can use to find the solution of hyperbolic partial differential equations
related with the problems of the Mathematical Physics. A presentation of diverse physical
situations will be given in that the studied mathematical problem appears, as well as the
theorems that constitute the basic support of the presented technique, and the application
of this theory in the solution of a problem that was chosen as an example: the one of de-
termining the potencial difference in a infinite transmission line. It will be shown that the
mathematical solution of a such problem reveal the phenomenon of attenuation, distortion
and retardation of the propagation.
Keywords: Keywords: Differential equations / Hyperbolic equations / Laplace transfor-
mation / Mathematical model / Transmission line.
*Departamento de Estudios Generales. Universidad Nacional Experimental Politécnica (UNEXPO) “Antonio
José de Sucre”.
1
1. Introducción
Dijo una vez un investigador que la “mayoŕıa” de las ecuaciones diferenciales no pueden
resolverse de forma anaĺıtica. Aunque esto sea cierto, no desmotiva para intentar ampliar cada
vez más el conjunto de las ecuaciones resolubles anaĺıticamente.
Este art́ıculo es una versión breve de un trabajo más extenso preparado por el autor durante
varios meses en los años 2005 y 2006, y expuesto oralmente en unas Jornadas Nacionales de
Matemática en su páıs de origen, en 2006 (referencia [5]).
La investigación surgió como respuesta a un intento ingenuo del autor de dar solución
anaĺıtica a un problema matemático vinculado a la f́ısica: Hallar la expresión exacta de la tensión
en una ĺınea de transmisión, cuando la tensión (o diferencia de potencial) en el extremo emisor
es una función escalón unitario (función escalón unitario de Heaviside). El trabajo matemático
implicado al final tomó varios meses, complicado por la naturaleza de las transformadas de
Laplace que surgieron.
El resultado final fue el desarrollo de una teoŕıa que permite hallar la transformada inversa
de Laplace de funciones que involucran (s2 − a2)1/2, o más espećıficamente, funciones del tipo:
f
(
s, (s2 − a2)1/2
)
e−b(s
2−a2)1/2 (1.1)
con a y b como constantes reales (a > 0). Estas expresiones aparecen en las aplicaciones men-
cionadas en este trabajo, y su inversa desafortunadamente no se encuentra en las tablas de
transformadas, más allá de ciertos casos espećıficos. Los resultados de esta teoŕıa son presenta-
dos en este art́ıculo en la forma de dos teoremas, cuya demostración (extensa) no se desarrolla
aqúı.
La aplicación práctica de esto se ve en que existen varios fenómenos f́ısicos que se pueden
modelar mediante ecuaciones diferenciales lineales del tipo:
∂2u
∂x2
= a2
∂2u
∂t2
+ a1
∂u
∂t
+ a0u, a2 > 0 (1.2)
Entre estos tenemos las oscilaciones elásticas de una cuerda, la vibración de una membrana, la
teoŕıa lineal del flujo supersónico alrededor de las alas de un avión y fenónemos de electromag-
netismo. Al tomar la transformada de Laplace de la solución de la ecuación diferencial anterior
(como se explicará más adelante de forma detallada) surgen las expresiones del tipo (1.1).
En consecuencia, invertir estas expresiones resulta una necesidad fundamental en el proceso
de hallar la solución anaĺıtica de ecuaciones que modelan fenómenos de la F́ısica Matemática.
Cabe destacar que en algunos de estos problemas no son aplicables otros métodos de solu-
ción como la separación de variables (o método de Fourier). Por ejemplo aquéllos donde las
condiciones de frontera no son homogéneas. No obstante, la técnica aqúı presentada puede en
varios casos superar tales dificultades, puesto que el método de la Trasnformada de Laplace es,
2
como se sabe, aplicable en una amplia variedad de formas de la condición de frontera (Dirichlet,
Neumman, mixtas).
A continuación se dará una presentación más amplia de las situaciones en que aparece este
problema matemático, los teoremas que constituyen el soporte básico de la técnica presentada,
y la aplicación de esta teoŕıa en la solución de un problema que se ha tomado como ejemplo: el
de determinar la expresión de la tensión a lo largo de una ĺınea de transmisión infinita.
2. Desarrollo
2.1. Importancia de las ecuaciones diferenciales hiperbólicas.
Este trabajo presenta un resultado que permite resolver la ecuación diferencial:
∂2u
∂x2
= a2
∂2u
∂t2
+ a1
∂u
∂t
+ a0u (2.1)
donde a0, a1, a2 son constantes. La misma surge al analizar determinados fenómenos f́ısicos,
algunos de los cuales, tomados de las referencias [1], [2], [3], [4], se presentan a continuación:
a. La ecuación de las oscilaciones de una cuerda “libre” (sin una fuerza externa aplicada):
∂2u
∂x2
− 1
υ2
∂2u
∂t2
= 0, υ =
√
T
ρ
donde u(x, t) es el desplazamiento del punto con abscisa x de la cuerda en el instante t ,
mientras que x y t son la tensión T y la densidad lineal ρ de la cuerda, respectivamente.
b. La ecuación de las oscilaciones de una cuerda, tomando en cuenta la resistencia viscosa
del aire, proporcional a la velocidad:
∂2u
∂x2
=
1
υ2
∂2u
∂t2
+
c
υ2
∂u
∂t
, υ =
√
T
ρ
donde T y ρ son como en el caso (a), y c es el coeficiente de fricción viscosa, es decir,
la relación entre la fuerza de resistencia viscosa del aire por unidad de masa y la rapidez
∂u/∂t de la cuerda.
c. La ecuación de vibración de una membrana, en dos dimensiones:
∆u =
1
υ2
∂2u
∂t2
donde u(x, y, t) es el desplazamiento transversal del punto (x, y) de la membrana al in-
stante t, y υ =
√
T/ρ, donde T es la tensión por unidad de longitud de la frontera de la
3
membrana, y ρ es la densidad superficial de la membrana. Además, ∆ es el laplaciano en
dos dimensiones:
∆ =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
La ecuación de vibración de una membrana en dos dimensiones no es exactamente del
tipo (2.1), pero adquiere esta forma si se toma la transformada de Laplace (o de Fourier)
respecto a la variable x (o respecto a y).
d. En la teoŕıa lineal del flujo supersónico estacionario alrededor de las alas de un avión, se
considera el problema de hallar la función u(x, y) [el potencial reducido del flujo alrededor
del ala], la cual es cero para x < 0, y para x ≥ 0 satisface la ecuación diferencial:
b2
∂2u
∂x2
− ∂
2u
∂y2
+ c2u = 0
donde b, c > 0, y:
u
∣∣
x=0
=
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0
pidiéndose además que u sea acotada cuando y → +∞. Además se supone conocida la
función:
ϕ(x) =
∂u
∂y
∣∣∣∣
y=0
e. En electromagnetismo se considera el problema de hallar una función u(x), u(x, y) ó u(x, y, z)
— el potencial eleéctrico en una, dos o tres dimensiones — tal que E = −∇u (E es el vector
de campo eléctrico). En un medio con conductividad σ, resistividad σ, permitividad eléctri-
ca � y permeabilidad magnética µ (estas cuatro son constantes no negativas), el potencial
dependientedel tiempo t, satisface la ecuación diferencial:
∆u− �µ
c2
∂2u
∂t2
− 4πµσ
c2
∂u
∂t
= −4πρ
�
donde c es la velocidad de la luz en el vaćıo. La solución se obtiene a partir de las condiciones
de frontera de cada problema. Si se desea hallar una solución para un potencial unidimen-
sional —u(x)—, la ecuación es claramente hiperbólica. Si no es aśı, al tomar transformada
de Laplace respecto a las otras variables espaciales, la ecuación queda hiperbólica.
f. La corriente I(x, t) y la tensión u(x, t) en el punto x y al instante t de una ĺınea de
transmisión (un medio capaz de conducir campos electromagnéticos) satisface el conjunto
de ecuaciones: 
−∂u
∂x
= RI + L
∂I
∂t
−∂I
∂x
= Gu + C
∂u
∂t
4
donde las constantes no negativas R, L, G,C son la resistencia, la inductancia, la con-
ductancia y la capacidad de la ĺınea, respectivamente, por unidad de longitud. En estas
ecuaciones se eliminar la corriente, obteniendo:
∂2u
∂x2
= LC
∂2u
∂t2
+ (LG + RC)
∂u
∂t
+ RGu
o se puede eliminar la tensión, obteniendo la misma ecuación pero en la función I:
∂2I
∂x2
= LC
∂2I
∂t2
+ (LG + RC)
∂I
∂t
+ RGI
Las condiciones iniciales y de frontera consideran si la ĺınea es finita o infinita, o si está ter-
minada en una “carga” eléctrica o no.
Clásicamente, en la literatura se resuelven algunos de estos problemas de forma parcial o
limitada. Por ejemplo, al respecto del problema de la ĺınea de transmisión, los autores de
[3] dicen:
“En el caso general, la investigación de las ecuaciones de una ĺınea larga [de
transmisión] ofrece grandes dificultades y de ordinario se hacen algunas suposi-
ciones simplificadoras. Una de tales suposiciones es que la ĺınea es infinita. (. . . )
Además a veces se desprecian distintos parámetros de la ĺınea o se considera que
están ligados por ciertas relaciones.”
En efecto, una de tales relaciones impuestas a los coeficientes de la ĺınea es la aśı llamada
condición de no distorsión: R/L = G/C. En este trabajo se mostrará cómo se puede dar
solución completa a estos problemas, mostrando como ejemplo la solución de uno de ellos.
2.2. Aplicación de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones
hiperbólicas.
Se indicará en esta sección cómo puede aplicarse la Transformada de Laplace en la solución
de la ecuación diferencial hiperbólica:
∂2u
∂x2
= a2
∂2u
∂t2
+ a1
∂u
∂t
+ a0u, a2 > 0 (2.1)
que surge en diversas aplicaciones, algunas de las cuales se mencionaron en el apartado anterior.
Se mostrará que, en general, la solución de esta ecuación requiere hallar la transformada inversa
de expresiones del tipo:
f
(
s, (s2 − a2)1/2
)
e−b(s
2−a2)1/2
donde a y b son constantes positivas. Luego, se presentarán los resultados obtenidos por el autor
en su investigación, los cuales permiten realizar este proceso.
Primero, consideremos la ecuación (2.1) cuando las condiciones iniciales son cero:
u|t=0 =
∂u
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0
5
Tomando la transformada de Laplace:
u1(s, t) ↔ u(x, t)
(la doble flecha indica el par original-transformada), la ecuación (2.1) se transforma en:
∂2u1
∂x2
= (a2s2 + a1s + a0)u1 (2.2)
Sean s1 y s2 las ráıces (distintas1) del polinomio a2s2 + a1s + a0, que consideraremos reales (el
caso de ráıces imaginarias puras y ráıces complejas generales podrá ser tratado en otro trabajo).
Considerando que en diversos problemas f́ısicos estas ráıces resultan ser negativas, llámese α al
it opuesto de la semisuma de estas ráıces:
α = −s1 + s2
2
(de modo que α > 0) y sea a (no confundir a con α):
a =
s1 − s2
2
Consideremos a s1 como la ráız mayor, de modo que a > 0. Ahora bien:
α + a = −s2
y:
α− a = −s1
por lo tanto:
a2s
2 + a1s + a0 = a2(s− s1)(s− s2) = a2(s + α− a)(s + α + a) = a2
de modo que (2.2) queda como:
∂2u1
∂x2
= a2
[
(s + α)2 − a2
]
u1 (2.3)
Definiendo la función auxiliar u(x, t) = eαtu(x, t), cuya transformada queda:
u(x, t) ↔ u1(x, s) = u1(x, s− α)
tendremos, de (2.3)
∂2u1
∂x2
= a2
(
s2 − a2
)
u1 (2.4)
por lo que:
u1(x, s) = c1(s)ex
√
a2ϕ0(s) + c2(s)e−x
√
a2ϕ0(s)
1Si las ráıces son iguales, la inversa en este caso se puede obtener de manera elemental.
6
donde ϕ0(s) =
(
s2 − a2
)1/2. Las constantes c1(s) y c2(s) se determinan por las condiciones (de
frontera o otras) del problema particular. Por tanto, el problema se puede resolver como:
u(x, t) = e−αtu(x, t) = e−αtL−1{u1(x, s)}
= e−αt
[
L−1
{
c1(s)ex
√
a2ϕ0(s)
}
+ L−1
{
c2(s)e−x
√
a2ϕ0(s)
}]
(2.5)
Ahora bien, si las condiciones iniciales:
u(x, 0),
∂u
∂t
(x, 0)
no son cero, quedará en lugar de la ecuación (2.3):
∂2u1
∂x2
= a2
(
s2 − a2
)
u1 −
[
a1 + a2(s− α)]u(x, 0)− a2
∂u
∂t
(x, 0)
de donde, por variación de parámetros se obtiene:
u1(x, s) = c1(s)ex
√
a2ϕ0(s) + c2(s)e−x
√
a2ϕ0(s)
+
∫ x
x0
M(µ, s)e(x−µ)
√
a2ϕ0(s)
2
√
a2ϕ0(s)
dµ−
∫ x
x0
M(µ, s)e−(x−µ)
√
a2ϕ0(s)
2
√
a2ϕ0(s)
dµ
siendo:
M(µ, s) = −
[
a1 + a2(s− α)
]
u(µ, 0)− a2
∂u
∂t
(µ, 0)
Por tanto:
u(x, t) = e−αt
[
L−1
{
c1(s)ex
√
a2ϕ0(s)
}
+ L−1
{
c2(s)e−x
√
a2ϕ0(s)
}
+
∫ x
x0
L−1
{
M(µ, s)e(x−µ)
√
a2ϕ0(s)
2
√
a2ϕ0(s)
}
dµ
−
∫ x
x0
L−1
{
M(µ, s)e−(x−µ)
√
a2ϕ0(s)
2
√
a2ϕ0(s)
}
dµ
]
(2.6)
El problema radica en el cálculo de las transformadas inversas de las fórmulas (2.5) y (2.6). Para
dar solución a esto, consideremos los números reales a y b, con a > 0, y sean las siguientes ramas
de la función compleja
(
s2 − a2
)1/2:
ϕ0(s) =
(
s2 − a2
)1/2
, −π < arg
(
s2 − a2
)
≤ π
ϕ1(s) =
(
s2 − a2
)1/2
, −π
2
< arg
(
s2 − a2
)
≤ 3π
2
ϕ2(s) =
(
s2 − a2
)1/2
, −3π
2
< arg
(
s2 − a2
)
≤ π
2
Entonces, tienen lugar los siguientes resultados, establecidos por el autor en [5]:
7
Teorema 2.1 Consideremos una función f : D ⊆ C2 → C tal que:
i) Existe c ≥ 0 tal que f (s, ϕ0(s)) está definida y es anaĺıtica para Re s ≥ c.
ii) ĺım
s →∞
Re s ≥ c
f (s, ϕ0(s)) = 0.
Entonces, para todo número real b:
L−1
{
f (s, ϕ0(s)) e−bϕ0(s)
}
= 0
si t < b.
Teorema 2.2 Consideremos una función f : D ⊆ C2 → C que satisface las hipótesis: 2
i) f (s, ϕ0(s)), f (s, ϕ1(s)) y f (s,−ϕ2(s)) son anaĺıticas en C, excepto en los cortes de ram-
ificación de ϕ0, ϕ1 y ϕ2 (respectivamente) y en un conjunto finito de polos.
ii) Si (s, z), (s∗, z∗) ∈ D, donde el asterisco denota la conjugación compleja, entonces f(s∗, z∗) =
f∗(s, z).
iii) Ningún polo de f (s, ϕ1(s)), o de f (s,−ϕ2(s)), está en el segmento (−|a|, |a|) del eje real.
iv)
ĺım
s →∞
s ∈ IC
f (s, ϕ1(s)) = ĺım
s →∞
s ∈ IVC
f (s, ϕ2(s)) = ĺım
s →∞
s ∈ IIC
f (s,−ϕ2(s)) = 0.
v) ĺım
s→±a
(s∓ a)f(s, ϕ0(s)) = 0.
Entonces, si t > b:
L−1{f (s, ϕ0(s)) e−bϕ0(s)}
= − 1
π
∫ |a|
0
Im
{[
etλf
(
λ, i
√
a2 − λ2
)
+ e−tλf
(
−λ, i
√
a2 − λ2
)]
e−ib
√
a2−λ2
}
dλ
+
∑ {
Resq f(s, ϕ0(s))ets−bϕ0(s) : q es un polo real de f(s, ϕ0(s)), |q| > |a|
}
+2Re
∑ {
Resq f(s, ϕ0(s))ets−bϕ0(s) : q ∈ int IC es un polo de f(s, ϕ0(s))
}
+2Re
∑ {
Resq f(s,−ϕ0(s))ets+bϕ0(s) : q ∈ int IIC es un polo de f(s,−ϕ0(s))
}
+2Re
∑ {
Resq f(s, ϕ1(s))ets−bϕ1(s) : q ∈ Q
}
donde Q es el conjunto de polos de f (s, ϕ1(s)) en la mitad superior del eje imaginario.
2En el enunciado de este teorema, y en el resto del trabajo, el asterisco denota el conjugado complejo.
8
2.3. Solución del problema de la ĺınea de transmisión infinita.
Se considerará el problema de encontrar la diferencia de potencial, o tensión, u(x, t) en una
ĺınea de transmisión infinita, en el punto x y al instante t. Por consiguiente, se debe resolver:
∂2u
∂x2
= LC
∂2u
∂t2
+ (LG + RC)
∂u
∂t
+ RGu, x > 0, t > 0 (2.7)
Además, se coloca la condición usual de que u sea acotado cuando x ∈ (0,+∞). A continuación
se indicará una manera de obtener una solución general que considere los cuatro parámetros
R, L, G,C positivos y arbitrarios 3. Para ello, y de acuerdo al procedimiento pautado en la
sección 2, considérense las ráıces del polinomio LCs2 +(LG+RC)s+RG, las cuales son −R/L
y −G/C. Entonces:
α =
1
2
(
R
L
+
G
C
)
, a = ±1
2
(
R
L
− G
C
)donde el signo se elige de modo que a > 0 (o sea, restando la ráız menor de la mayor). Definiendo
u(x, t) = eαtu(x, t) y con:
u(x, t) ↔ u1(x, s)
u(x, t) ↔ u1(x, s)
la ecuación (2.7) se transforma en:
∂u21
∂x2
= LC
(
s2 − a2
)
u1
la cual tiene la solución:
u1(x, s) = c1e−x
√
a2ϕ0(s) + c2ex
√
a2ϕ0(s)
con ϕ0(s) =
(
s2 − a2
)1/2, −π < arg{s2 − a2} ≤ π. La condición de acotación de u(x, t) respecto
a x implica que c2 = 0. De aqúı se obtiene directamente que:
c1 = u1(0, s) = u1(0, s− α)
por lo que:
u1(x, s) = u1(0, s− α)e−x
√
a2ϕ0(s)
Por ejemplo, sea el caso cuando la tensión del extremo esmisor u(x, 0) es la función escalón
unitario:
u(x, t) =
{
1, t > 0
0, t < 0
entonces u1(0, s) = L{u(x, t)} = 1/s ⇒ u1(0, s) = 1/(s− α) y:
u1(x, s) =
1
s− α
e−x
√
a2ϕ0(s)
3Este problema se encuentra en distinta literatura resuelto de manera parcial, con hipótesis simplificadoras.
Por ejemplo, en [3], [4]
9
Puede verificarse que esta función satisface las hipótesis de los teoremas 2.1 y 2.2, y como el
único polo de esta función es α, donde el residuo es:
Ress=α
ets−x
√
LCϕ0(s)
s− α
= eαt−x
√
LC(α2−a2) = eαt−x
√
RG
por lo tanto:
u1(x, s) ↔ u(x, t) = 0
si t < x
√
LC, y
u1(x, s) ↔ u(x, t) = eαt−x
√
RG +
1
π
∫ a
0
(
etλ
λ− α
− e
−tλ
λ + α
)
sen
(
x
√
LC(a2 − λ2)
)
dλ
si t > x
√
LC. Aśı, en resumen, la solución u(x, t) = e−αt se puede escribir como:
u(x, t) =
{
0, t < x
√
LC
e−x
√
RG + φ(x, t), t > x
√
LC
donde:
φ(x, t) =
1
π
∫ a
0
(
etλ
λ− α
− e
−tλ
λ + α
)
sen
(
x
√
LC(a2 − λ2)
)
dλ
2.4. Discusión de resultados.
Presentemos un breve análisis sobre los resultados anaĺıticos obtenidos en la sección anterior.
Es decir, tratemos de interpretar dichos resultados de un modo f́ısico.
El hecho de que u(x, t) = 0 para t < x
√
RG puede interpretarse como un retardo de propa-
gación, según el cual la señal en el punto x de la ĺınea no se ve afectada por la tensión en
el extremo emisor hasta transcurrido un tiempo x
√
LC. por tanto u(x, t) es una “onda” que
demora un tiempo x
√
LC en alcanzar el punto x, por lo tanto se propaga con velocidad finita
υ = x/(x
√
LC) = 1/
√
LC.
Además, el término φ(x, t) constituye la diferencia entre u(x, t) (para t > x
√
LC) y la fun-
ción constante en el tiempo e−x
√
RG. Por tanto, φ(x, t) se puede interpretar como una función
de distorsión. Además, el término e−x
√
RG está reducido exponencialmente por el factor
√
RG
que multiplica la distancia x, esto es la atenuación (exponencial).
También hay que destacar un hecho notorio: cuando a → 0, el término integral de φ(x, t)
tiende a desaparecer, más aún, se puede demostrar que este término es cero cuando a = 0. Pero
a = 0 equivale a la aśı llamada condición de no distorsión R/L = G/C. Aśı, vemos que esta
condición implica efectivamente que la distorsión φ(x, t) es nula.
Por último, se puede mencionar que la solución del problema cuando la ĺınea es finita, con
carga eléctrica en su extremo receptor, también puede ser hallada utilizando las ideas aqúı ex-
puestas, no obstante, dicha solución es demasiado extensa para ser incluida en este trabajo.
10
3. Conclusiones
(a) La técnica presentada, basada en la transformada de Laplace, puede ser utilizada con éxito
para resolver algunas ecuaciones diferenciales hiperbólicas, con coeficientes constantes, que
rigen fenómenos f́ısicos de interés.
(b) Un ejemplo de tales problemas que pueden ser resueltos es el modelo de una ĺınea de
transmisión general, con sus cuatro parámetros como constantes positivas y arbitrarias.
(c) En el caso de la ĺınea se estableció que la respuesta a una tensión de emisor constante es
la suma de una señal atenuada exponencialmente por un factor dependiente linealmente
de la distancia, y un término de distorsión.
(d) En el punto anterior, el coeficiente de atenuación exponencial de la respuesta de la ĺınea es
la ráız cuadrada del producto de la resistencia por la conductancia. El término de distorsión
es cero si la ĺınea verifica la condición R/L = G/C, o condición de no distorsión.
Referencias
[1] LEBEDEV, N.N., SKELSKAYA, I.P, et al. (1965). Problems of Mathematical
Physics. Englewood Cliffs, Pretice-Hall, p. 429.
[2] EDWARDS, C.H, y PENNEY, David. (1994). Ecuaciones Diferenciales Elemen-
tales. 2da. Ed., México, Prentice-Hall, p.774.
[3] LAVREÉNTIEV, M.A y SHABAT, B.V. (1991). Métodos de la teoŕıa de funciones
de una variable compleja. Moscú, Editorial Mir, pp. 349-407.
[4] SPIEGEL, Murray. (1992). Transformadas de Laplace. Serie Schaum. México.
[5] MONSALVE, Yoel. (2006). Transformadas inversas de Laplace que involucran
(s2 − a2)1/2 y su uso en la solución de problemas de la F́ısica Matemática. XIX
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