Modelo Matemático da Narcoepidemia

Vista previa del material en texto

Revista Foro Red-Mat
MODELO NARCO 
Boyev B V, Gómez A G 
 boev@orc.ru ; gomal@servidor.unam.mx 
 
1. NOTACIÓN. 
ESTADIOS y VARIABLES que caracterizan al PROCESO PATOLÓGICO : 
• P = “El conjunto de la población del territorio del Área Metropolitana de la Ciudad de México 
(en miles de personas)”, con p(t) el número de individuos que vive en el Área Metropolitana de 
la Ciudad de México al tiempo calendárico t (en miles de personas). 
• S = “El conjunto de susceptibles a los narcóticos (en miles de personas)”, con x(t) el número de 
individuos susceptibles a los narcóticos entre los habitantes de la Ciudad al tiempo t (en miles de 
personas). 
• E = “El conjunto de los estados de latencia a la narcomanía”, con u(t) el número de individuos 
en los estadios de latencia a la narcodependencia, en la Ciudad al tiempo t (en individuos). 
• I = “El conjunto de narcómanos con un complejo de síndromes de narcomanías 
(narcodependencia o narcoadicción) (en individuos)”, con y(t) el número de individuos con 
narcoadicciones, en la Ciudad al tiempo t (en individuos). 
• F = “El conjunto de narcómanos muertos por causas varias (suicidios, sobredosis, etc.) (en 
individuos)”, con f(t) el número de narcómanos muertos por diferentes causas asociadas 
directamente a los narcóticos en la Ciudad al tiempo t (en individuos). 
• R = “El conjunto de narcómanos remisos persistentes, luego de ser tratados y rehabilitados 
(recuperados persistentes), (en individuos)”, con r(t) el número de narcómanos recuperados de 
la Ciudad al tiempo t (en individuos). 
VARIABLES y PARÁMETROS que caracterizan al modelo matemático de la 
NARCOEPIDEMIA: 
• t = “tiempo calendárico (en semanas)” 
• τ = “tiempo transcurrido desde la primera vez en que se aplica el narcótico (en semanas)” 
• p(t) = “tamaño de la población de la Ciudad al tiempo calendario t (en miles de personas). 
• α(t) = “tasa (proporción) entre niños, adolescentes y jóvenes, respecto de toda la población 
susceptibles al abuso de los narcóticos en la Ciudad al tiempo t. (en %). 
• q(t) = “proporción de los narcoadictos muertos, por causas relacionadas con la narcomanía, 
respecto de toda la población de la Ciudad al tiempo t (en %). 
• e(t) = [1-q(t)] = “proporción del número de casos de narcómanos recuperados, luego de su 
tratamiento y rehabilitación, respecto de toda la población de la Ciudad al tiempo t (en %). 
• λ(t) = “intensidad de los contactos entre los susceptibles y los narcoadictos con narcóticos (en 
sus diferentes modalidades de aplicación) al tiempo t (en %). 
• γ(τ) = “probabilidad de que los individuos que se encuentran en alguno de los estadios de 
latencia de la narcomanía y abusan de los narcóticos adquieran la narcoadicción” 
• δ(τ) = “probabilidad de que los individuos narcodependientes mueran o bien se recuperen de la 
narcomanía. 
Revista Foro Red-Mat
 
Fig. 1 
P población del territorio, S susceptibles, E latentes, I narcodependientes, R recuperados, F muertos. 
 
2. INTRODUCCIÓN 
La regularidad al consumo de narcóticos de los países de alto desarrollo capitalista. 
En México el consumo masivo de narcóticos empieza a partir de la transición al “neoliberalismo” y 
su “capitalismo salvaje” (desde finales de “de la Madrid” 1986 hasta lo que va de Fox 2002): 
“indoctrinación”, “mercado libre”, “sociedad de consumo”. En el 2002: seria deformación, 
propaganda desmedida del individualismo e iniciar al niño y al joven en los juegos sicodélicos, la 
pornografía impresa y por internet, el tabaco, la cerveza las bebidas alcohólicas fuertes, para inducir 
posterior o simultánea inclusión en la narcodependencia empezando con el consumo de las llamadas 
drogas ilegales como la marihuana, la cocaína, los inhalantes y los alucinógenos hasta las drogas 
médicas con uso no médico como los opioides, tranquilizantes y depresores así como las drogas 
artificiales de diseño como las anfetaminas entre las que destaca la llamada éxtasis, con la carga de 
prestigio implícito que esto supuestamente conlleva en la nueva sociedad del “cambio”. Condiciones 
ideales para una potente “narcoepidemia” con el sacrificio de una parte significativa de nuestros 
jóvenes. 
En forma práctica este trabajo se propone usar el planteamiento, análisis y pronóstico basado en los 
métodos de modelación matemática y computacional para las patologías infecciosas, en el estudio de 
los procesos de narcoadicción con la idea de descubrir regularidades, emitir pronósticos, estimar la 
efectividad de medidas profilácticas en eldesarrollo y diseminación de la narcomanía. 
3. EL METODO 
La pretensión es basarse en los siguientes 3 factores: 
• En un territorio la fuente de la narcodadicción es el narcomercado con su estructura de 
producción, transportación y distribución y venta al menudeo de narcóticos. 
• A lo largo de la epidemia se organiza el mecanismo de contacto para entrega de narcóticos. Los 
narcómanos resultan ser el principal eslabón para la adquisición y uso de los narcóticos por los 
nuevos individuos del grupo de riesgo. 
• Entre la población existe un grupo de riesgo, el cual es proclive al consumo de narcóticos (este 
se forma bajo la influencia de muchos factores sociales y económicos en la vida en sociedad) 
Como si fueran los 3 axiomas del modelo fenomenológico de la narcoadicción epidémica. Por ello 
no es difícil describir a dicha epidemia de la narcoadicción como una “reacción en cadena”, Fig. 2: 
Revista Foro Red-Mat
 
Fig. 2 
fi transferencia de narcóticos, Æ contacto de personas, S susceptibles, S no susceptibles. 
 
Desde el punto de vista cuantitativo la modelación de la narcoepidemia puede concebirse como un 
proceso dinámico con retroalimentación positiva, el cual queda descrito matemáticamente mediante un 
sistema de ecuaciones de balance para los diferentes estadios, véase la Fig. 3. 
 
Fig. 3 
P población del territorio, S susceptibles, E latentes, I narcodependientes, R recuperados, F muertos. 
 
Empíricamente se sabe que tanto consumidores como distribuidores de narcóticos resultan ser a su vez 
narcómanos, es decir, personas profundamente inmersas en el proceso de narcotización. 
Para describir las narcomanías se considera que en cierto territorio (Área Metropolitana de la Ciudad de 
México) la población (el grupo de personas no susceptibles a los narcóticos, el grupo de personas 
susceptibles a los narcóticos, y el grupo de personas que abusan del uso de los narcóticos: los 
narcoadictos) aparecen suficiente y uniformemente mezclados en su territorio, esto es la probabilidad de 
contactos entre los narcadictos (I) y los susceptibles (S) es proporcional a la densidad de los 
narcómanos: r(y) = y/p y a la densidad de las personas susceptibles: r(x) = x/p sobre el territorio. 
 
4. MODELACIÓN de la NARCOMANÍA 
 
Modelo del Proceso de Narcotización. Se sabe que la introducción de un narcótico en el organismo de 
una persona, incluso en las pequeñas dosis terapéutica usuales genera en dicho organismo una muy 
complicada reacción bioquímica característica. Es así que la heroína aplicada en forma intravenosa 
potencia dicha reacción bioquímica. En este estado la persona afectada desarrolla los más diversos 
estados patológicos: desde un ligera embriaguez por el narcótico hasta la muerte por sobredosis. Como 
resultado de varias (3-5) aplicaciones de heroína intravenosa en el organismo de la persona se puede 
formar el estado de narcotismo con el síndrome de la narcoadicción. El estudio de este estado y el 
Revista Foro Red-Mat
análisis de las distintas formas de narcotismo permiten proponer un modelo fenomenológico de los 
principales estadios del proceso de narcotización, véase la Fig. 4 
 
 
Fig. 4 
x= “susceptibles a los narcóticos” (grupo de riesgo máximo), xr= “no susceptibles a los narcóticos” (grupo de riesgo mínimo), u1 = “personas en la etapa de 
busqueda del polinarcotismo”, ), u2 = “personas en la etapa de preferencia por el narcotismo”, ), u3 = “personas con el síndrome de cambio de reactivación”, 
y1= “personas con el síndrome de cambio de reactivación y con el síndrome de dependencia psíquica de los narcóticos”, y2 = “personas con el síndrome de 
cambio de reactivación y con el síndrome de dependencia psíquica y física de los narcóticos”, y3 = “personas con el síndrome de narcotización crónica” 
 
 Del análisis de la Fig. 4 se puede concluir que el proceso de narcotización se desarrolla en varias etapas, 
teniéndose como punto de partida de este proceso el relacionado con la primera vez que se prueba el 
narcótico por la persona susceptible xŒS. Evidentemente que estos casos en el grupo de riesgo x(t) se 
forman sobre el territorio no espontáneamente, sino bajo la acción de factores de la subcultura de la 
juventud contemporánea y factores similares que coadyuvan con dicha subcultura de las adicciones. 
La estimación inicial del número de personas en el grupo de riesgo x(t), esto es de aquellas personas que 
tienen una alta probabilidad de utilizar una primera vez narcóticos queda dada por: 
x(t) = a(t)p(t) 
donde t representa el tiempo calendario (en semanas) a(t)>0 es el coeficiente que caracteriza la escala 
del grupo de riesgo entre la población (por ejemplo el grupo de adolescentes y jóvenes de edades entre 
15 y 25 años forman entre un 15 y 20 % de la población [3]). 
Primera etapa del proceso de narcotización (el estado u1(t)). Esta etapa la llaman de búsqueda del 
polinarcotismo. Son posibles 2 salidas de este estado i) arrancándole, separándole e impidiéndole por la 
fuerza completamente el uso de narcóticos al individuo con la transición de ese individuo a un estado de 
no susceptibilidad que se denota por xr(t), o bien ii) el conocimiento de otros tipos de narcóticos, 
llevando al individuo a escoger determinado tipo de narcótico u1(t), luego de lo cual comienza el abuso 
de su utilización: u2(t). 
Segunda etapa de utilización de narcóticos (el estado u2(t)). Este estado consiste en accionar 
diferentes factores: en primerísimo lugar en la vivencia propia del estado de intoxicación (euforia), 
teniendo en cuenta que en el narcótico escogido como “suyo”, el narcótico de “moda”, o bien el 
narcótico más accesible según las “leyes económicas”. Se considera que desde el momento en que el 
individuo escoge “su” narcótico empieza la narcomanía “clásica” como enfermedad, teniéndose que se 
hace regular el uso del narcótico en el tiempo. Ahora todo el comportamiento del individuo (niño, 
adolescente, joven) su orientación, sus fines, sus metas y sus valores morales se supeditan a la necesidad 
de reproducir regularmente su estado de intoxicación. La narcomanía clásica tiene 3 síndromes 
obligados: el cambio de reactivación, la dependencia psíquica y la dependencia física del narcómano. 
Muy pronto en el organismo del narcómano ocurre un debilitamiento del efecto del narcótico (el 
Revista Foro Red-Mat
organismo se acostumbra) y por ello se hace indispensable mayores dosis hasta llegar a combinarlo con 
algún otro psicotrópico. Más adelante ni el aumento de dosis ni las combinaciones de varios narcóticos 
desencadenan en el enfermo los niveles deseados de intoxicación y sólo posibilita el proceso de 
surgimiento y crecimiento del desorden del organismo del narcómano. 
Síndrome del cambio de reactivación del organismo (estado u3(t)). Este estado lo constituye la forma 
modificada de utilización de narcóticos, la modificación de la tolerancia, la desaparición de las 
reacciones de defensa ante sobredosis, cambios en la forma de embriaguez. Como ejemplo: la transición 
del uso de narcóticos de la aspiración intranasal o ingeridos oralmente en forma pulverizada o en 
tabletas a su aplicación intravenosa. El síndrome en el cambio de la tolerancia se expresa en la extinción 
del efecto de euforia respecto de la dosis inicial, que obliga al uso de mayores dosis. El cambio en la 
forma de embriaguez del adolescente se expresa no sólo en el empobrecimiento de los cuadros de 
intoxicación, sino también en la aparición de sus estructuras nuevas componentes, antes no aparecidas. 
Es así que los narcóticos del grupo del opio, los cuales inicialmente pueden inducir efectos sedante y 
relajante, al cabo de un cierto tiempo desencadenan acciones psicoestimulantes. 
**Los síndromes de cambios de reactivación y la dependencia psíquica (estado y1(t)). Este estado 
representa una atracción patológica al desarrollo del estado de intoxicación respecto de determinados 
narcóticos o sus combinaciones. Se repite luego de las primeras experiencias con narcóticos que el 
narcómano resulta no tener posibilidad para alcanzar el confort psíquico fuera de la influencia de la 
intoxicación lo que propicia en el narcómano la necesidad de aplicaciones repetidas de sustancias 
tóxicas. Precisamente el síndrome de la dependencia psíquica hace de la narcomanía una enfermedad tan 
difícil de curar. Hasta el presente no existe una concepción unificada de la atracción patológica a los 
narcóticos, sin embargo en su estructura pueden ser separados algunos elementos: las formas. 
La forma de atracción constante u obsesiva. Esta se manifiesta en pensamientos de atadura y 
opresión sobre los narcóticos que surgen a cualquier hora, en recuerdos acerca de lo vivido en el estado 
de intoxicación, siendo conciente del deseo de usar de nuevo los narcóticos (particularmente intenso en 
aquellas horas en que el enfermo acostumbraba narcotizarse). Esta forma suele ser acompañada de una 
lucha de motivos, mediante elementos de razonamientos críticos. Dicha forma siempre existe 
encuadrada en el efecto correspondiente – el adolescente aparece abatido, con estado de animo 
deprimido, con matiz de melancolía, irritable, irascible, con tendencia a reacciones ¿disparatadas?. 
Prácticamente desaparece el interés hacia los acontecimientos del mundo externo que no estén 
relacionados con los narcóticos. Distraer la atención del enfermo de la narcomanía se logra sólo por 
lapsos breves. Los enfermos si son suficientemente abiertos consideran su estado sin ninguna esperanza 
y no creen en su rehabilitación. 
La segunda forma de atracción al narcótico: la atracción compulsiva. Esta forma aparece 
periódicamente, con frecuencia es autóctona, rara vez es de tipo situacional. A veces se observan 
revelaciones de tal atracción en forma de sueños. Los narcómanos ven en sus sueños el proceso de 
preparación a la aplicación del narcótico, por excepción perciben hasta los inicios de sobrevivir y 
soportar la intoxicación. Luego de esto se despiertan en un estado drásticamente cambiado y así los 
jóvenes después del sueño se hayan preocupados, alterados, con estado de animo deprimido. Muy pronto 
entre ellos se notará el brote de atracción a los narcóticos en forma de compulsión. Por regla general a 
nivel de la atracción compulsiva el enfermo se encuentra tan atrapado en este estado de manera que 
estimaciones críticas y lucha de motivos no son dables. En lo sucesivo el enfermo recuerda mal qué le 
ocurría durante este período. Luego de la realización de la atracción la conciencia del enfermo de nuevo 
se ordena, el sinceramente se siente perplejo “como pudo haber ocurrido”, se preocupa, se arrepiente, se 
compunge. Existe también una forma de atracción mixta, bajo la cual en el contexto de ideas constantes 
impertinentes sobre los narcóticos se observan brotes periódicos de atracción compulsiva. 
Revista Foro Red-Mat
Los síndromes del cambio de reactivación y de dependencia psíquica y física del organismo (estado 
y2(t)). Este estado del organismo del enfermo va acompañado del síndrome de abstinencia y representa 
el conjunto de síntomas psicopatológicos, neurológicos y somatovegetativos en distintas combinaciones 
y con distintos grados de ponderación. Dichos síntomas aparecen ante la abrupta y completa 
interrupción de uso de narcóticos o bajo una disminución drástica en la dosis en el contexto de un 
proceso suficientemente prolongado del uso de narcóticos y también al bloquear la acción del narcótico 
mediante sus antagónicos. El cuadroclínico del síndrome de abstinencia depende de las propiedades 
farmacológicas del correspondiente narcótico y de las peculiaridades individuales del enfermo. Por otro 
lado es imposible no señalar lo que ha venido ocurriendo progresivamente sobre todo en los últimos 14 
años (1988-2000) La lógica del fenómeno parecería ser la siguiente: Por tradición el Gobierno Mexicano 
negaba tener vínculos con el narcotráfico y es que su gran labor consistía en hacerse de la vista gorda y 
dejar pasar los narcóticos al rico y gigantesco consumidor del norte, cuestión que en forma indirecta le 
servía para negociar otros muchos y siempre espinosos asuntos de la agenda bilateral, pero a partir del 
Tratado Trinacional de Comercio Libre se acentuaron los “cambios” drásticos respecto al libre paso de 
los narcóticos, bajo la implícita condición de que en México dicha droga no se distribuyera y se hizo 
evidente una lucha cada vez más frontal contra las mafias organizadas de narcotraficantes con la 
consabida respuesta natural de los narcotraficantes “si no me la dejas pasar empezaré a venderla en tu 
propia casa”. Esa sumisión del gobierno mexicano justifica el drástico cambio observado tanto en el 
contingente de enfermos narcómanos que ahora empieza desde los niños de 12 años, como en la 
composición de los narcóticos utilizados, lo que ha traído como consecuencia una patólogomorfosis de 
algunas formas clínicas de la narcomanía. Por tradición lo más sofisticado que se llegaba a consumir en 
México era la marihuana. Y de la preparación rudimentaria a nivel casero prevaleciente hace años de 
narcóticos sobre todo de diluciones de opio y pajas de semillas de amapola, además de narcóticos del 
grupo de la fenilalquidamina con un efecto semejante al de las anfetaminas – efedrón y el llamado 
pervitín – hoy se extrae la heroína, la cocaína, las anfetaminas, además de los derivados de la 
anfetamina, los cuales están relacionados no a los psícoestimulógenos, sino a los alucinógenos. Esto en 
primerísimo lugar se refiere al “éxtasis” actualmente uno de los más populares entre los narcóticos de 
los discotequeros. Los cambios señalados son particularmente intensos en las grandes ciudades de todo 
México, en particular en toda el área metropolitana de la ciudad de México. Y la tendencia actual de los 
jóvenes consiste en el uso simultáneo de 2 o 3 narcóticos de diferentes grupos químicos formándose así 
la polinarcomanía, por ejemplo “heroína - cocaína” o “heroína -pervitin ”. El período luego que pasan 
los agudos desordenes de la abstinencia, se caracteriza por el desarrollo del así llamado síndrome de la 
seudoabstinencia. 
El síndrome de Repercusiones de la Narcotización Crónica (estado y(t)). Este síndrome incluye 
cambios específicos en la personalidad del narcómano incluyendo el defecto personal apático – abúlico, 
imbecilidad para algunas formas de narcomanía. Al enfermo de narcomanía le ocurre una invalidación 
psicológica, cae su activación psíquica y física, drásticamente se restringen su intelecto y su esfera de 
motivación, se simplifica los motivos y los móviles, avanza la degradación ético-moral del narcómano. 
Como resultado de todo lo anterior el narcómano fuertemente disminuye su funcionamiento social, 
teniéndose que el ulterior desarrollo de la enfermedad implica un desenlace fatal; la muerte luego de un 
cierto tiempo. 
Modelo Fenomenológico de la Epidemia. Se sabe [3] que un narcómano en promedio puede “jalar” a 
las redes del proceso de narcotización entre 6 y 15 personas al año. Esto predefine una velocidad 
suficientemente alta de diseminación de la narcomanía. Particularmente esto sucede si el narcómano 
resulta ser consumidor (comprador) y simultáneamente distribuidor de la “mercancía” (vendedor). La 
ventaja económica (usualmente reciben una cuota muy por arriba del salario mínimo vigente) y el 
Revista Foro Red-Mat
interés personal por mucho tiempo lo “amarran” a la venta de narcóticos y de alguna manera a la 
estructura del narcomercado. Esta situación es la que da base y forma el mecanismo estable y 
socialmente significativo de transferencia y distribución de los narcóticos a sus presas reales de la 
narcomanía. No es difícil darse cuenta que dicho mecanismo de transferencia y distribución de los 
narcóticos tiene un alto grado de autoorganización, véase la Fig. 5: 
 
Fig. 5. 
Esquema de la epidemia de la narcomanía como un sistema autoorganizado. 
1 - grupo de riesgo, 2 – comunidad de narcómanos, 3 – narcómanos muertos, 4 – narcomercado. , 5 – narcómanos recuperados, 
 
De la Fig. 5 se puede notar que a lo largo del desarrollo de la narcoepidemia, debido a la interacción de 
los individuos del grupo de riesgo x(t) y de líderes - narcómanos y(t) se forma una retroalimentación 
estable positiva, la cual proporciona la velocidad de desarrollo de la epidemia. El diagrama 
fenomenológico del desarrollo de la narcomanía (Fig. 4) y de la epidemia de narcomanía (Fig. 5) 
permiten hacer el planteamiento de las ecuaciones del: 
i)Modelo matemático del proceso colectivo de narcotización el cual toma la forma de un sistema de 
ecuaciones en diferencias con las correspondientes condiciones iniciales. 
ii)Modelo matemático de la epidemia masiva de narcómanos, el cual se lleva a un sistema de ecuaciones 
en diferencias para el caso de narcómanos reincidentes con las correspondientes condiciones iniciales y 
a la frontera. 
Dichos modelos matemáticos por su contenido epidemiológico son modelos matemáticos adecuados 
para las epidemias masivas socialmente significativas de enfermedades infecciosas, sin embargo toda la 
descripción anterior pretendió justificar la semejanza entre una enfermedad infecciosa y la 
narcodependencia. Para el Sida y el Cólera fueron planteados y realizados sendos modelos en [5] y [6] 
con una metodología semejante a la que aquí se propondrá. 
5. MODELO (fenomenológico) MATEMÁTICO de la NARCOMANÍA. 
Modelo de Narcotización. Toda la estructura arriba mencionada y todos los estados básicos del proceso 
de narcotización arriba también detallados, permiten proponer un modelo fenomenológico (teórico) de 
dicho proceso, el cual se da mancomunadamente entre adolescentes y jóvenes. En tal modelo un papel 
particularmente importante lo juegan los procedimientos de curación de los narcómanos, algunos de los 
cuales se “regresan” a su estado de “partida” del proceso de narcotización. En la Fig. 6 aparece el 
diagrama del modelo fenomenológico generalizado del proceso de narcotización para el conjunto de 
personas del grupo de riesgo (adolescentes y jóvenes que abusan del uso de drogas) tomando en cuenta 
el nuevo estado del proceso de narcotización – curación de los narcómanos y 2 estados relacionados con 
los resultados de la narcoterapia. 
 
Revista Foro Red-Mat
 
Fig. 6 
Modelo Fenomenológico del Proceso “Colectivo” de Narcotización incluyendo el tratamiento y rehabilitación de los narcómanos. 
y4 - personas en tratamiento y rehabilitación de narcomanía, zr – personas narcómanas remisas persistentes, y5 - personas narcómanas recuperadas no 
persistentemente, xu – personas de nuevo susceptibles a los narcóticos (grupo de riesgo repetido máximo). 
 
Del diagrama del proceso colectivo de narcotización de inmediato se sigue que el inicio de la 
narcomanía “clásica” en el grupo de alto riesgo relacionado con el estado u3, es decir, el de la formación 
en los nuevos narcómanos del síndrome del cambio de reactivación. Precisamente del estado del 
síndrome del cambio de reactivación del organismo del narcómano u3 a lo largo del proceso de 
narcotización se forman los estados más importantes de la narcomanía “clásica” – el estado del síndrome 
de la dependencia psíquica del narcótico y1 y el estado del síndrome de la dependencia física del 
narcótico y2(t). Cierta parte de los narcómanos en el estado y2 al aplicarse dosis crecientes de narcóticos 
transitan al estado final del proceso de narcotización – síndrome de las consecuencias de la 
narcotización crónica el estado del síndromede la dependencia psíquica del narcótico y3, el cual 
termina con la muerte del narcómano zf. La curación y la rehabilitación de los narcómanos, que se 
encuentran en los 2 estados de los síndromes con las dependencias psíquica y física del narcótico - 
[y1, y2] en promedio se prolonga de 1.5 a 2 meses y se acompaña de los dispensarios o de las clínicas 
narcológicas. Luego de ser dirigidos los narcómanos a dispensarios y a clínicas, durante su terapia 
transitan a un estado intermedio y4, el cual responde al estado de su organismo luego de la realización 
del procedimiento de “limpieza” de las consecuencias de la narcotización. 
Los procedimientos de curación y rehabilitación de los narcómanos se terminan parcialmente – y5(t), o 
curación completa del enfermo – zr. En el primer caso (cura parcial) de los narcodispensarios salen la 
mayoría (del 80 al 90%) de los narcómanos en el estadio de remisos inestables, no persistentes – y5, para 
el cual es característico la no prolongada abstinencia a los narcóticos (desde un mes hasta varios meses). 
Este estadio concluye con la transición del narcómano “tratado” al grupo de personas que nuevamente 
pueden empezar a utilizar los narcóticos – paso al estadio xu. Mientras tanto, luego de la “curación” y 
rehabilitación una pequeña parte de los narcómanos pasa al estadio de remisos persistentes - zr y se 
niega completamente al consumo de los narcóticos. 
El modelo fenomenológico del proceso de narcotización para el conjunto de individuos (con todos los 
estadios de narcotización, estado de curación con rehabilitación, estadio luego de la curación) permite 
plantear un modelo matemático completo de la narcomanía mediante un sistema de ecuaciones. 
Revista Foro Red-Mat
El sentido de las ecuaciones del modelo matemático completo de la narcomanía consiste en describir 
cuantitativamente la dinámica del movimiento del “flujo” de individuos por todo el sistema de estadios 
del proceso de narcotización y curación de los narcómanos [x, u1, xr, u2, u3, y1, y2, y3, zf, y4, y5, xu, zr]. 
Esta descripción refleja la dinámica de los “flujos” del número de personas que se encuentran en los 
correspondientes estadios del proceso de narcotización y curación - [u1(t), xr(t), u2(t), u3(t), y1(t), 
y2(t), y3(t), y4(t), zf(t), y5(t), xu(t), zr(t)], donde como ya se había definido t representa el momento 
de aplicación de la primera dosis del narcótico (medido en semanas). 
Las ecuaciones del modelo matemático de la narcomanía serán planteadas, ya que así corresponde, como 
procesos de desarrollo de la narcomanía a lo largo de tiempos discretos, más aún con pasos de 
observación de 1 semana y por tanto revisten la forma de ecuaciones en diferencias respecto de las 
variables anteriores: [u1(t), xr(t), u2(t), u3(t), y1(t), y2(t), y3(t), y4(t), zf(t), y5(t), xu(t), zr(t)] y 
respecto de 2 momentos del tiempo consecutivos: “t y (t+1)”. Así pues las ecuaciones del modelo son: 
• El número de personas u1(t) en el estadio de búsqueda de polinarcotismo: u1(t+1) = [1-
g1(t)]u1(t), donde g1(t) es la función que caracteriza la velocidad de movimiento del flujo de 
individuos, o bien la intensidad de transición del estadio u1(t) a xr(t) y de u1(t) a u2(t) (esto es 
u1(t)Æ (xr(t), u2(t)). 
• ¿El número de personas x(t) en el grupo de riesgo (susceptibles), que se niega al uso de 
narcóticos luego de su primera dosis: x(t+1) = x(t)+ [1-fu1]g1(t)u1(t), donde fu1 es el 
coeficiente que caracteriza la parte de personas que transitan de los correspondientes estadios del 
proceso de narcotización??. 
• El número de personas u2(t) con predilección a un tipo de narcótico: u2(t+1) = [1- g2(t)]u2(t) + 
fu1g1(t)u1(t), donde g2(t) es la función que caracteriza la velocidad de movimiento del flujo de 
individuos de ciertos estadios, es decir la intensidad de transición del estadio u2(t) al u3(t) (esto 
es u2(t)Æ u3(t)). 
• El número de personas u3(t) en el estadio de cambio de reactivación del organismo: u3(t+1) = 
[1- g3(t)]u3(t) + g2(t)u2(t), donde g3(t) es la función que caracteriza la velocidad de 
movimiento del flujo de individuos de ciertos estadios, es decir la intensidad de transición del 
estadio u3(t) a zf(t) y de u3(t) a y1(t) (esto es u3(t)Æ (zf(t), y1(t)). 
• ¿El número de personas y1(t) en el estadio de dependencia psíquica de los narcóticos: y1(t+1) = 
[1- d1(t)]y1(t) + f u3g3(t)u3(t), donde d1(t) es la función que caracteriza la velocidad de 
movimiento del flujo de individuos para los estadios de la narcomanía “clásica”, es decir la 
intensidad de transición del estadio y1(t) a zf(t), y2(t) y y4(t) (esto es y1(t)Æ (zf(t), y2(t), 
y4(t)); mientras que f u3 es el coeficiente que caracteriza la parte de personas que transitan de los 
correspondientes estadios del proceso de narcotización??. 
• ¿El número de personas y2 en el estadio de dependencia física de los narcóticos: y2(t+1) = [1- 
d2(t)]y2(t) + f y1d1(t)y1(t), donde d2(t) es la función que caracteriza la velocidad de movimiento 
del flujo de individuos para los estadios de la narcomanía “clásica”, es decir la intensidad de 
transición del estadio y2(t) a zf(t), y3(t) y y4(t) (esto es y2(t)Æ (zf(t), y3(t), y4(t)); mientras que 
f y1 es el coeficiente que caracteriza la parte de personas que transitan de los correspondientes 
estadios del proceso de narcotización??. 
• ¿El número de personas y3 en el estadio de narcotización crónica: y3(t+1) = [1- d3(t)]y3(t) + 
fy2d2(t)y2(t), donde d3(t) es la función que caracteriza la velocidad de movimiento del flujo de 
individuos para los estadios de la narcomanía “clásica”, es decir la intensidad de transición del 
estadio y3(t) al y?(t), y del y3(t) y de y?(t) (esto es y3(t)Æ (y?(t), y?(t)); mientras que fy2 es el 
coeficiente que caracteriza la parte de personas que transitan de los correspondientes estadios del 
proceso de narcotización??. 
Revista Foro Red-Mat
• El número de personas muertas zf por causa de la narcomanía (sobredosis, etc.): zf(t+1) = 
zf(t)+(1-fu3)g3(t)u3(t)+qy1d1(t)y1(t) + qy2d2(t)]y2(t) + d3(t)y3(t), donde qy1 y qy2 son los 
coeficientes que caracterizan a aquella parte de personas que pasan por tratamiento en los 
dispensarios y clínicas narcológicas, mientras que (1- fu3) es el coeficiente que caracteriza la 
parte de personas que mueren por causa de las sobredosis de los narcómanos. 
• El número de personas y4 atendidas para su curación en los narcodispensarios y clínicas: y4(t+1) 
= [1- d4(t)]y4(t) + [1 - fy1 - gy1] d1(t)y1(t) + [1 - fy2 - gy2]d2(t)y2(t) + d3(t)y3(t), donde d4(t) es 
la función que caracteriza la velocidad de movimiento del flujo de individuos para los estadios 
de la narcomanía “clásica”, es decir la intensidad de transición del estadio y4(t) al y5(t), y del 
y4(t) y de y6(t) (esto es y4(t)Æ (y5(t), y6(t)), mientras que [1 - fy1 - gy1] y [1 - fy2 - gy2] son los 
coeficientes que caracterizan las partes de personas que mueren por otras causas de la 
narcomanía. 
• El número de enfermos atendidos para su curación y5 con recuperación no permanente a los 
narcóticos: y5(t+1) = [1- d5(t)]y5(t) + fy4d4(t)y4(t), donde d5(t) es la función que caracteriza la 
velocidad de movimiento del flujo de individuos para los estadios de la narcomanía “clásica”, es 
decir la intensidad de transición del estadio y5(t) al xu(t) (esto es y5(t)Æxu(t)). 
• ¿El número de enfermos atendidos para su curación zr con recuperación permanente a los 
narcóticos: zr(t+1) = zr(t) + [1- fy4(t)]d4(t)y4(t), donde fy4(t) es el coeficiente que caracteriza la 
parte de personas que transitan de los correspondientes estadios del proceso de narcotización??. 
• ¿El número de personas xu en el grupo de alto riesgo que utiliza narcóticos luego de su curación: 
xu(t+1) = xu(t) + d5(t)y5(t). 
• Las condiciones iniciales para el proceso de narcotización en su conjunto: u1(0) = u10 = 
ln(0)x(0), donde n(0) es el volumen de narcóticos en el narcomercado, x(0) es el número de 
personas en el grupo de riesgo, u1(0) es el número de personas que por primera vez pruebanlos 
narcóticos y l>0 es el parámetro que caracteriza la intensidad de atracción de nuevas personas 
del grupo de riesgo a la narcomanía. 
• Las condiciones iniciales para las otras variables del proceso de narcotización son: u2(0) = u3(0) 
y1(0) = y2(0) = y3(0) = y4(0) = y5(0) = xu(0) = zr(0) = zf(0) = 0. 
Resumiendo las ecuaciones del modelo son: 
1. u1(t+1) = [1- g1(t)]u1(t) 
2. x(t+1) = x(t)+ [1-fu1]g1(t)u1(t) 
3. u2(t+1) = [1- g2(t)]u2(t) + fu1g1(t)u1(t) 
4. u3(t+1) = [1- g3(t)]u3(t) + g2(t)u2(t) 
5. y1(t+1) = [1- d1(t)]y1(t) + fu3g3(t)u3(t) 
6. y2(t+1) = [1- d2(t)]y2(t) + f y1d1(t)y1(t) 
7. y3(t+1) = [1- d3(t)]y3(t) + fy2d2(t)y2(t) 
8. zf(t+1) = zf(t)+[1-fu3]g3(t)u3(t)+qy1d1(t)y1(t) + qy2d2(t)y2(t) + d3(t)y3(t) 
9. y4(t+1) = [1- d4(t)]y4(t) + [1 - fy1 - qy1] d1(t)y1(t) + [1 - fy2 - qy2]d2(t)y2(t) + d3(t)y3(t) 
10. y5(t+1) = [1- d5(t)]y5(t) + fy4d4(t)y4(t) 
11. zr(t+1) = zr(t) + [1- fy4(t)]d4(t)y4(t) 
12. xu(t+1) = xu(t) + d5(t)y5(t) 
13. u1(0) = u10 = ln(0)x(0) 
14. u2(0) = u3(0) = y1(0) = y2(0) = y3(0) = y4(0) = y5(0) = xu(0) = zr(0) = zf(0) = 0. 
El modelo matemático del proceso de narcotización y curación de los narcómanos contiene todo un 
conjunto de parámetros y coeficientes que definen tanto la velocidad como las consecuencias de la 
narcomanía: 
Revista Foro Red-Mat
• [g1(t), g2(t), g3(t)] son las funciones que caracterizan a la velocidad del movimiento de “flujos” 
de individuos, o bien la intensidad de transición de un estadio ui a otros: u1Æ (xr, u2), u2Æ u3, 
u3Æ (zf, y1). 
• [d1(t), d2(t), d3(t), d4(t), d5(t)], son funciones que caracterizan a la velocidad de movimiento 
del flujo de los individuos para los estadios de la narcomanía “clásica”, es decir para la 
intensidad de transición de los estadios yi a otros estadios: y1Æ(zf, y2, y4), y2Æ(zf, y3, y4), y3Æ??, 
y4Æ(y5, y6), y5Æxu. 
• [fu1, fu2, fu3, fy1, fy2, fy3] son los coeficientes que caracterizan la parte de personas que transitan en 
los correspondientes estadios del proceso de narcotización. 
• [qy1, qy2] son los coeficientes que caracterizan a aquella parte de personas que pasan por 
tratamiento en los dispensarios y clínicas narcológicas. 
• (1- fu3) y [1 - fy1 - qy1], [1 - fy2 - qy2] son los coeficientes que caracterizan las partes de personas 
que mueren por sobredosis y por otras causas de la narcomanía. 
Tratando de completar el modelo matemático fenomenológico de la narcomanía anteriormente descrito 
con la correspondiente información de las condiciones iniciales (u1(0) = u10 = ln(0)x(0), 
u2(0) = u3(0) y1(0) = y2(0) = y3(0) = y4(0) = y5(0) = xu(0) = zr(0) = zf(0) = 0), de los parámetros y 
coeficientes ([fu1, fu2, fu3, fy1, fy2, fy3], [qy1, qy2], (1- fu3) y [1 - fy1 - qy1], [1 - fy2 - qy2]) y funciones 
([g1(t), g2(t), g3(t)], [d1(t), d2(t), d3(t), d4(t), d5(t)]) resulta ser una parte indispensable para la 
construcción de modelos aplicados del proceso de narcotización para los principales tipos de narcomanía 
(opio, cocaína, morfina y otros). La solución de un tal problema es posible sólo con base en contar con 
datos estadísticos muy objetivos de tipo narcológico y otros, que caractericen la dinámica de desarrollo 
de los procesos de narcotización en los correspondientes grupos de riesgo y respecto de los principales 
tipos de narcóticos. Es evidente que el modelo dado por las ecuaciones 1-14 representa un modelo 
teórico de “atracción” a la narcotización de nuevas personas del grupo de riesgo, las cuales empiezan y 
continúan todo el tiempo abusando progresivamente de los narcóticos. Estas personas pasan por todos 
los estadios del proceso de narcotización y terminan muriendo o como remisos persistentes, véase la Fig. 
7. 
 
Fig. 7 
Esquema de “atracción” de las personas del grupo de riesgo al proceso de narcotización. 
1 - grupo de riesgo, 2 – comunidad de narcómanos (proceso de narcotización), 3 – narcómanos muertos, 4 – narcómanos recuperados persistentes. 
Si se parte del diagrama de la Fig. 7, entonces la epidemia de la narcomanía representa en el tiempo de 
calendario “t” sucesivos casos de “atracción” de personas nuevas del grupo de riesgo en el proceso de 
narcotización, cuando los mismos procesos de narcotización empiezan cada vez “desde cero: t=0”, 
véase el diagrama de la Fig. 7. 
Revista Foro Red-Mat
 
Fig. 8 
Esquema de la epidemia de narcomanía como un proceso de conjunto, que atrae a nuevas personas al proceso de narcotización. 
t - el tiempo de desarrollo del proceso local de narcotización, t – tiempo calendario. 
Considerando en el tiempo de calendario t = 1,2,3,... los numerosos nuevos casos de individuos con 
“atracción” a la narcotización de nuevas personas del grupo de riesgo admite el uso múltiple de las 
relaciones del modelo de narcotización para t = 1,2,3,... . Sobre esta base se plantean las relaciones para 
el modelo matemático del desarrollo de la epidemia de narcomanía en un territorio determinado. 
1. MODELO DE LA EPIDEMIA 
En el diagrama de la Fig. 9 queda dado el esquema de formación de múltiples casos de “atracción” a la 
narcomanía por parte de las personas del grupo de riesgo cuando sobre el territorio funcionan estructuras 
de mercado de narcóticos, que poseen mecanismos de diseminación y distribución de narcóticos entre 
las personas narcodependientes y que abusan del uso de narcóticos. 
 
Fig. 9 
Fig. 9. Esquema del desarrollo de la epidemia de narcomanía 
1 – grupo de riesgo, 2 – mancomunidad de narcómanos (procesos masivos de narcotización), 3 – narcómanos muertos, 4 – narcómanos remisos 
persistentes, 5 – narcomercado con mecanismos de diseminación y distribución de narcóticos a través de personas narcodependientes 
Al partir del diagrama de la Fig. 9, de hecho se dedujo el conjunto de ecuaciones del modelo matemático 
fenomenológico de la epidemia de narcomanía, el cual comienza con el primer contacto con el narcótico 
por parte de aquellas personas del grupo de riesgo y que viven en el territorio en estudio. A medida que 
se desarrolla la narcoepidemia sobre el territorio en cuestión se forman los mecanismos de diseminación 
y distribución de los narcóticos entre sus consumidores, teniéndose que en estos procesos un papel 
activo lo juegan los mismos narcodependientes. 
Revista Foro Red-Mat
El sentido de las ecuaciones del modelo matemático fenomenológico de la epidemia de narcomanía 
consiste en que, mediante las ecuaciones de balance del proceso de narcotización, describir la dinámica 
del movimiento de la epidemia por todos los estadios del proceso de narcotización: [xŒS, u1ŒE1, xrŒSr, 
u2ŒE2, u3ŒE3, y1ŒI1, y2ŒI2, y3ŒI3, zfŒF, y4ŒI4, y5ŒI5, xuŒSu, zrŒR]. En este caso se utilizan las 
funciones de distribución multidimensional del número de personas, los cuales se encuentran en los 
correspondientes estadios del proceso de narcotización: u1(t,t), u2(t,t), u3(t,t), y1(t,t), y2(t,t), y3(t,t), 
zf(t), y4(t,t), y5(t,t), donde t como hasta ahora representa el tiempo transcurrido desde el primer uso del 
narcótico (o bien de la repetición del estadio de remiso ‘recuperado’ no persistente) y t tiempo de 
calendario. 
De este modo se tendrá que las ecuaciones del modelo matemático definitivo que verdaderamente 
conlleva la epidemia de narcomanía sobre un territorio concreto con un tamaño de población p (en miles 
de personas) tomará la forma de un sistema complicado de ecuaciones en diferencias de alta 
dimensionalidad con un único paso común en t y t: 
1. El número de personas u1 en el grupo de riesgo (personas susceptibles al uso de narcóticos): 
x(t+1) = [1-b(t)] x(t) - u1(0,t), donde b(t)>0 da el crecimiento del grupo de riesgo como función 
de factores sociales y demográficos y otros (por ejemplo, factores profilácticos de la narcomanía) 
2. El número de personas u1 en el estadio de búsqueda de polinarcotismo: u1(t+1, t+1) = [1-g1(t)] 
u1(t, t), para t = 0,1,2,..., Tu1, con Tu1>0 como la longitud máxima de este estadio del proceso 
de narcotización. 
3. El número de personas xr en el grupo de riesgo con rechazo totala los narcóticos, luego de un 
primer contacto con ellos: xr(t+1) = xr(t) + Â[1 - fu1] g1(ti) u1(t,t). 
4. El número de personas u2 en el estadio con predilección a un tipo de narcótico: u2(t+1, t+1) = 
[1- g2(t)]u2(t, t) + fu1g1(t)u1(t, t), para t = 0,1,2,..., Tu2, con Tu2>0 como la longitud máxima 
de este estadio. 
5. El número de personas u3 en el estadio con el síndrome de cambio de reactivación del 
organismo: u3(t+1, t+1) = [1- g3(t)]u3(t, t) + g2(t)u2(t, t), para t = 0,1,2,..., Tu3, con Tu3>0 
como la longitud máxima de este estadio. 
6. El número de personas y1 en el estadio con el síndrome de cambio de reactivación del organismo 
y con dependencia psíquica de los narcóticos: y1(t+1, t+1) = [1- d1(t)]y1(t, t) + fu3g3(t)u3(t, t), 
para t = 0,1,2,..., Ty1, con Ty1>0 como la longitud máxima de este estadio. 
7. El número de personas y2 en el estadio con el síndrome de cambio de reactivación del organismo 
y con dependencia psíquica y física de los narcóticos: : y2(t+1, t+1) = [1 - d2(t)]y2(t, t) + 
fy1d1(t)y1(t, t), para t = 0,1,2,..., Ty2, con Ty2>0 como la longitud máxima de este estadio. 
8. El número de personas y3 en el estadio de narcotización crónica: y3(t+1, t+1) = [1- d3(t)]y3(t, t) 
+ fy2d2(t)y2(t, t), para t = 0,1,2,..., Ty3, con Ty3>0 como la longitud máxima de este estadio. 
9. El número de personas muertas zf por causa de la narcomanía (sobredosis, etc.): zf(t+1) = zf(t) 
+ Â[1-fu3]g3(t)u3(t) + Âqy1d1(t)y1(t) + Âqy2d2(t)]y2(t) + Âd3(t)y3(t). 
10. El número de personas y4 atendidas para su curación en los narcodispensarios y clínicas: 
y4(t+1, t+1) = [1- d4(t)]y4(t) + [1 - fy1 - gy1] d1(t)y1(t) + [1 - fy2 - gy2]d2(t)y2(t) + d3(t)y3(t), 
para t = 0,1,2,..., Ty4, con Ty4>0 como la longitud máxima de estadía en narcodispensarios y 
narcoclínicas. 
11. El número de enfermos atendidos para su curación y5 como remisos (recuperados) no 
persistentes a los narcóticos: y5(t+1, t+1) = [1- d5(t)]y5(t,t) + fy4d4(t)y4(t, t), para t = 0,1,2,..., 
Ty5, con Ty5>0 como la longitud máxima del estadio de remisos (recuperados) no persistentes. 
12. El número de enfermos atendidos para su curación zr con recuperación persistente a los 
narcóticos: zr(t+1) = zr(t) + Â[1- fy4]d4(t)y4(t, t). 
Revista Foro Red-Mat
13. El número de personas xu en el grupo de alto riesgo que utiliza narcóticos luego de su curación: 
xu(t+1) = xu(t) + d5(t)y5(t,t) – u3(0,t). 
14. Las condiciones iniciales para el proceso de narcotización en su conjunto: 
u1(t,0) = u10(t), para t = 0,1,2,..., Tu1; 
u2(t,0) = u20(t), para t = 0,1,2,..., Tu2; 
u3(t,0) = u30(t), para t = 0,1,2,..., Tu3; 
y1(t,0) = y10(t), para t = 0,1,2,..., Ty1; 
y2(t,0) = y20(t), para t = 0,1,2,..., Ty2; 
y3(t,0) = y30(t), para t = 0,1,2,..., Ty3; 
y4(t,0) = y40(t), para t = 0,1,2,..., Ty4; 
y5(t,0) = y50(t), para t = 0,1,2,..., Ty5; 
15. Condición inicial para el grupo de riesgo: x(0) = a(0)¥p(0), donde a(0) – aquella parte de las 
personas susceptibles (del grupo de riesgo) entre la población del territorio. 
16. Condiciones iniciales para los individuoss en otros estadios del proceso: xr(0) = zf(0) = zr(0) = 
xu(0) = 0. 
17. El número de personas u1(t) en el estadio de búsqueda de polinarcotismo: u1(t) = Âu1(t, t). 
18. El número de personas u2(t) en el estadio de predilección a un tipo de narcótico: u2(t) = Âu2(t,t) 
19. El número de personas u3(t) en el estadio con el síndrome de cambio de reactivación del 
organismo: u3(t) = Âu3(t,t). 
20. El número de personas y1(t) en el estadio con el síndrome de cambio de reactivación y de 
dependencia psíquica de los narcóticos: y1(t) = Ây1(t, t). 
21. El número de personas y2(t) en el estadio con el síndrome de cambio de reactivación del 
organismo y con dependencia psíquica y física de los narcóticos y2(t) = Ây2(t, t). 
22. El número de personas y3(t) en el estadio de narcotización crónica: y3(t) = Ây3(t, t). 
23. El número de personas y4(t) atendidas para su curación en los narcodispensarios y clínicas: y4(t) 
= Ây4(t, t) 
24. El número de enfermos atendidos para su curación y5(t) como remisos (recuperados) no 
persistentes a los narcóticos: y5(t) = Ây5(t,t). 
25. El número de personas u(t), que abusan de los narcóticos en el territorio analizado: u(t) = u1(t)+ 
u2(t)+ u3(t); y(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t). 
26. Demanda de narcóticos por parte de personas con abuso en su aplicación, durante los estadios: 
[u1(t), u2(t), u3(t)]: nu(t) = {Âmu1 u1(t,t) + Âmu2 u2(t,t) + Âmu3 u3(t,t)}, donde mu1>0, mu2>0, 
mu3>0 – son las funciones de crecimiento de las dosis de uso promedio de los narcóticos en los 
estadios [u1(t), u2(t), u3(t)] considerando los procesos de adaptación y crecimiento de la 
tolerancia del organismo a los narcóticos. 
27. Demanda de narcóticos por parte de personas con el síndrome de la narcoadicción en los 
estadios y1(t), y2(t), y3(t): ny(t) = {Âmy1 y1(t,t) + Âmy2 y2(t,t) + Âmy3 y3(t,t)}, donde my1>0, 
my2>0, my3>0 – son las funciones de crecimiento de las dosis de aplicación promedio de los 
narcóticos en los estadios [y1(t), y2(t), y3(t)] considerando el crecimiento de la tolerancia del 
organismo a los narcóticos. 
28. Demanda general de narcóticos por parte de todos los individuos n(t), que abusan de los 
narcóticos [u1(t), u2(t), u3(t)] y de los narcómanos [y1(t), y2(t), y3(t)] : n(t) = nu(t) ny(t). 
29. Los casos de nuevos individuos atraídos a la narcotización u1(0,t) del grupo de riesgo x(t): 
u1(0,t) = l1(t) / (x(t) + u(t) + y(t)) * x(t)n(t), donde l1(t)/([x(t) + u(t) + y(t)] representa la 
efectividad promedio de los contactos entre las personas susceptibles x(t) y los narcóticos n(t). 
Revista Foro Red-Mat
30. Los casos de nuevos individuos de atracción recurrente a la narcotización u2(0,t), constituida por 
personas en el estadio de recuperados no persistentes xu(t): u2(0,t) = l2(t)/[ xu(t) + u(t) + y(t)] * 
xu(t)n(t), donde l2(t)/[ xu(t) + u(t) + y(t)] representa la efectividad promedio de los contactos de 
las personas recuperadas no persistentes xu(t) con los narcóticos n(t). 
31. Las condiciones a la frontera para otros estadios del proceso de narcotización: u2(0, t) = y1(0, t) 
= y2(0, t) = y3(0, t) = y4(0, t) = y5(0, t) = 0. 
Resumiendo el modelo queda como: 
1. x(t+1) = [1-b(t)] x(t) - u1(0,t), 
2. u1(t+1, t+1) = [1-g1(t)] u1(t, t), 
3. xr(t+1) = xr(t) + Â[1 - fu1] g1(ti) u1(t,t), con t = 0,1,2,..., Tu1, 
4. u2(t+1, t+1) = [1- g2(t)]u2(t, t) + fu1g1(t)u1(t, t), para t = 0,1,2,..., Tu2, 
5. u3(t+1, t+1) = [1- g3(t)]u3(t, t) + g2(t)u2(t, t), para t = 0,1,2,..., Tu3, 
6. y1(t+1, t+1) = [1- d1(t)]y1(t, t) + fu3g3(t)u3(t, t), para t = 0,1,2,..., Ty1, 
7. y2(t+1, t+1) = [1 - d2(t)]y2(t, t) + fy1d1(t)y1(t, t), para t = 0,1,2,..., Ty2, 
8. y3(t+1, t+1) = [1- d3(t)]y3(t, t) + fy2d2(t)y2(t, t), para t = 0,1,2,..., Ty3, 
9. zf(t+1) = zf(t) + Â[1-fu3]g3(t)u3(t) + Âqy1d1(t)y1(t) + Âqy2d2(t)]y2(t) + Âd3(t)y3(t)), 
10. y4(t+1, t+1) = [1- d4(t)]y4(t) + [1 - fy1 - gy1] d1(t)y1(t) + [1 - fy2 - gy2]d2(t)y2(t) + d3(t)y3(t), 
para t = 0,1,2,..., Ty4, 
11. y5(t+1, t+1) = [1- d5(t)]y5(t,t) + fy4d4(t)y4(t, t), para t = 0,1,2,..., Ty5, 
12. zr(t+1) = zr(t) + Â[1- fy4]d4(t)y4(t, t), 
13. xu(t+1) = xu(t) + d5(t)y5(t,t) – u3(0,t), 
14. 
u1(t,0) = u10(t), para t = 0,1,2,..., Tu1, 
u2(t,0) = u20(t), para t = 0,1,2,..., Tu2, 
u3(t,0) = u30(t), para t = 0,1,2,..., Tu3, 
y1(t,0) = y10(t), para t = 0,1,2,..., Ty1, 
y2(t,0) = y20(t), para t = 0,1,2,..., Ty2, 
y3(t,0) = y30(t), para t = 0,1,2,..., Ty3, 
y4(t,0) = y40(t), para t = 0,1,2,..., Ty4, 
y5(t,0) = y50(t), para t = 0,1,2,..., Ty5, 
15. x(0) = a(0)¥p(0) 
16. xr(0) = zf(0) = zr(0) = xu(0) = 0. 
17. u1(t) = Âu1(t, t), 
18. u2(t) = Âu2(t,t), 
19. u3(t) = Âu3(t,t), 
20. y1(t) = Ây1(t, t), 
21. y2(t) = Ây4(t, t), 
22. y3(t) = Ây3(t, t), 
23. y4(t) = Ây4(t, t), 
24. y5(t) = Ây5(t,t), 
25. u(t) = u1(t)+ u2(t)+ u3(t); y(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t), 
26. nu(t) = {Âmu1 u1(t,t) + Âmu2 u2(t,t) + Âmu3 u3(t,t)}, 
27. ny(t) = {Âmy1 y1(t,t) + Âmy2 y2(t,t) + Âmy3 y3(t,t)}, 
28. n(t) = nu(t) + ny(t), 
29. u1(0,t) = l1(t)/ (x(t) + u(t) + y(t)) * x(t)n(t) 
Revista Foro Red-Mat
30. u2(0,t) = l2(t)/[ xu(t) + u(t) + y(t)] * xu(t)n(t) 
31. u2(0, t) = y1(0, t) = y2(0, t) = y3(0, t) = y4(0, t) = y5(0, t) = 0. 
El relleno de las ecuaciones del modelo propuesto por los numerosos parámetros y coeficientes resulta 
ser un problema importante por si mismo y bastante complicado, cuya solución es posible con base en la 
recolección y análisis de la información objetiva, que caracterice a la dinámica de desarrollo de la 
epidemia, al nivel de demanda de narcóticos y otros problemas. Si la solución de este complicado 
problema fuera resuelto con éxito y fueran estimados todos los parámetros y coeficientes del modelo, 
entonces se podría, con ayuda de los procedimientos de verificación del modelo matemático de la 
narcomanía propuesto, obtener un modelo que puede pronosticar la narcoepidemia en particular en la 
ciudad de México junto con la zona conurbada como territorio. 
La intención próxima inmediata es: 
• Analizar la información que nos acaba de proporcionar la Comisión Nacional contra las 
Adicciones contenida en la Encuesta Nacional de Adicciones [3]. 
• Lo cual permitirá generar un programa computacional para el estudio detallado y con propósito 
de pronóstico a corto y mediano plazo. 
• El modelo puede aplicarse a cada entidad federativa y así ligarlo a un modelo nacional. Los 
modelos nacionales pueden ligarse a los modelos nacionales de los países latinoamericanos y así 
tener un modelo latinoamericano de las narcoadicciones. 
• Intentar un análisis que demuestre que el proceso de la narcomanía es un “Mundo Pequeño” [4]. 
Referencias: 
[1] Boyev BV, Gómez AG (1991), Modelo matemático para el pronóstico del Sida entre homosexuales / 
bisexuales en México, Revista del Seminario de Enseñanza y Titulación, Vol. VII, No. 59, 1-27. 
[2] Boyev BV, Grinchenko SV, Gómez AG, (1998), Modelo matemático del Cólera, Foro-Red-Mat, 
Vol. , No.7, 1-133: http://www.red-mat.unam.mx ( o bien via: http://valle.fciencias.unam.mx) 
[3] Encuesta Nacional de Adicciones 98, Comisión Nacional contra las Adicciones: 
http://www.ssa.gob.mx/unidades/conadic La información detallada aparece en el CD de la Conadic. 
[4] Miramontes VO, Luque B (2002), Dynamical small-word behavior in an epidemical model of mobile 
individuals, Phisica D 2950, 1-7. http://www.elsevier.com/locate/phisd 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revista Foro Red-Mat
 
 
 
Visualización de objetos geométricos
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
 
English version
Bienvenido al servidor WWW del Laboratorio de Visualización 
Matemática de la Facultad de Ciencias, UNAM. Desde aquí puede 
accesar a: 
 
Revista Electrónica de Contenido Matemático, Foro-Red-
Mat 
Galería de Objetos Geométricos, GoG
Más enlaces 
 
Laboratorio de Visualización Matemática 
Comentarios y sugerencias: webmaster@barajas.fciencias.unam.mx 
http://www.red-mat.unam.mx/ [11/06/03 02:06:53 p.m.]
http://www.red-mat.unam.mx/index_en.html
http://www.fciencias.unam.mx/
http://www.unam.mx/
http://www.red-mat.unam.mx/red-mat/
http://www.red-mat.unam.mx/red-mat/
http://www.red-mat.unam.mx/red-mat/
http://www.red-mat.unam.mx/gog/
http://www.red-mat.unam.mx/gog/
http://www.red-mat.unam.mx/otros/
http://www.red-mat.unam.mx/lvm/
mailto:webman@barajas.fciencias.unam.mx
	www.red-mat.unam.mx
	Visualización de objetos geométricos