Funciones Trigonométricas e Identidades

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Sesión 4 
 
Unidad II Funciones trigonométricas. 
 
D. Identidades trigonométricas. 
 
1.- La expresión 
1
sin( )x
 es igual a: 
 
 A) Sec(x) B) Tan(x) C) Csc(x) D) Cot(x) E) Cos(x) 
 
2.- ( )2sin x equivale a: 
 A) Cos2(x) B) 1+ sin( )x C) 1−Cos2(x) D) Tan(x) E) Cot(x) 
 
3.- La expresión 
sin( )
cos( )
x
x
 es igual a: 
 
 A) Tan(x) B) Cot(x) C) Sec(x) D) Csc(x) E) Cos2(x) 
 
4.- El producto de ( ) ( )sec cosx x⋅ es igual a: 
 
 A) −1 B) Cot2(x) C) 1 D) Sec2(x) E) Csc2(x) 
 
5.- La expresión 
21 cos
tan
θ
θ
−
 forma una identidad trigonométrica con: 
A) cos 1θ + B) 2sen cosθ θ C) 2sen 1θ + 
D) sen cosθ θ E) 2cos θ 
 
6.- La expresión equivalente a 2 22sen cosβ β+ es: 
A) sec cscβ β− B) 2cos 1β − C) sec cscβ β 
D) 21 sen β+ E) cos senβ β+ 
7.- La simplificación de 
2cscθ
21+tanθ
 es igual a: 
A) θ2tan B) 1 C) 2 D) 2sen θ E) 2cot θ 
8.- La expresión 
cos
cos
senω ω
ω
+
 forma una identidad trigonométrica con: 
 A) 1 tanω+ B) tansenω ω C) 2sen ω D) 2cos ω E) 2 1sen ω + 
9.- La simplificación de 
cos
csc sec
senx x
x x
+ es igual a: 
A) 
cos
csc sec
senx x
x x
⋅
⋅ B) 
cossenx x C) cossenx x+ D) 1 E) 0 
 
10.- La expresión ( )( )1 1sen senθ θ+ − forma una identidad trigonométrica 
con: 
 A) secθ B) 2
1
sec θ
 C) 2sec tanθ θ D) 2sen θ E) 2tan θ 
 
11.- La identidad trigonométrica 4 4se n cosθ θ− es igual a: 
A) 2 2se n cosθ θ+ B) 2tan θ C) 1 
D) se n cosθ θ+ E) 2 2se n cosθ θ− 
 
12.- La identidad trigonométrica 
tan1
cot
θ
θ
+ es igual a: 
A) 2tan θ B) 2csc θ C) 2sec θ D) sen θ E) 1 
 
13.- La expresión ( ) ( )2 2cos cossen x x sen x x+ + − es igual a: 
A) 0 B) 2 C) 1 D) -1 E) -2 
 
14.- La expresión ( ) ( )2 2sin tanβ β⋅ es equivalente a: 
A) tan β –sen β B) tan ² β + sen ² β C) (tan β - sen β)² 
D) tan β – sen ² β E) tan² β –sen ² β 
 
15.- Indica la igualdad que es falsa: 
 
A) Sen(40°)=2 Sen(20°) Cos(20°) B) 1+ Tan2(30°) = Csc2(30°)
 C) Cot2(24o)+1=Csc2(24) D) Sen2(π) = 1 − Cos2(π) 
 E) Cos(30°+40°)=Cos(30°)Cos(40°)−Sen(30°)Sen(40°) 
 
 
 
 29 
16.- Aplicando algunas identidades trigonométricas, el valor de 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 sin 33 cos 33 sin 14 cot 14 cos 14° ° ° ° ° + − + =  
 A) 5 3 B) 2 C) 3 3
2
 D) 0 E) 1 
 
 
E. Gráficas de funciones trigonométricas. 
 
17.- La amplitud de una función ( ) ( )sinf x A Bx C= ⋅ + está dada por: 
 A)
A
B
− B) B C) B
C
 D) A E) C
A
 
 
18.- La amplitud de ( )3cos 2y x= , es: 
 A) 
1
2
 B) 3 C) 1 D) 2 E)
3
2
− 
 
19.- La amplitud de ( )4siny x= − , es: 
 A) 4 B) 1 C) 2 D) -4 E) 
1
4
− 
20.- La amplitud de 2cos(3 )
4
y x π= − , es: 
 A) 2 B) 
2
3
− C) 3 D) 
8
π
 E) 
12
π
 
 
21.- El periodo de una función de la forma ( ) ( )cosf x A Bx C= ⋅ + es: 
 A)
B
π
− B) 2 Bπ C) 
B
π
 D)
2
B
π
 E)
C
A
 
 
22.- El periodo de una función de la forma ( ) ( )tanf x A Bx C= ⋅ + es: 
 A)
B
π
− B) 2 Bπ C) 
B
π
 D)
2
B
π
 E)
C
A
 
 
23.- El periodo de 
13tan
4
y x =  
 
, es: 
 A) 4π B) π C) 2π D) 
4
π
 E)
3
4
π 
24.- El periodo de ( )3cos 2y x= , es: 
 A) 4π B) π C) 3π D) 2π E) 
2
π
 
25.- El periodo de 
14 sin
2
y x = − ⋅  
 
, es: 
 A) 2π B) 4π C) 3π D) 
4
π
 E) π 
26.- El periodo de 4cos( )
4
y x π= − , es: 
 A) 4π B) π C) 2π D) 
2
π
 E)
4
π
 
27.- El desfasamiento de una función ( ) ( )sinf x A Bx C= ⋅ + es: 
 A)
C
A
 B) C C) B
C
 D) B C⋅ E) C
B
 
 
28.- El desfasamiento de ( )4sin 1y x= − − , es: 
 A) 4 B) 1 C) 2 D) -4 E) 
1
4
− 
29.- El desfasamiento de 2cos(3 )
4
y x π= − , es: 
 A) 2 B) 
2
3
− C) 3 D) 
8
π
 E) 
12
π
 
 
30.- Si dada la función ( ) ( )cosf x A Bx C= ⋅ + , el cociente de 
desfasamiento 
C
B
 es negativo significa que: 
A) La gráfica de la función ( ) ( )cosf x A Bx= ⋅ está desplazada a la 
 
 30 
 izquierda 
C
B
 unidades 
B) La gráfica de la función ( ) ( )cosf x A Bx= ⋅ está desplazada hacia 
 arriba 
C
B
 unidades 
C) La gráfica de la función ( ) ( )cosf x A Bx= ⋅ está desplazada a la 
 derecha 
C
B
 unidades 
D) La gráfica de la función ( ) ( )cosf x A Bx= ⋅ está desplazada hacia 
 abajo 
C
B
 unidades 
E) La gráfica de la función ( ) ( )cosf x A Bx= ⋅ está desplazada sobre la 
 recta identidad 
C
B
 unidades 
31.- La gráfica 3cosy x= , es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
 
D) 
 
E) 
 
32.- La gráfica de la función ( )cos 1y x= + es: 
A) B) 
 
 
C) D) E) 
 
 
 
33.- . La gráfica de la función ( ) ( ) 2f x sen x= − es: 
 A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
34.- La gráfica de la función )2(cos)( +−= xxf es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
 
 
 31 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
35.- El dibujo de gráfica de la función ( ) ( )4 2cosf x x= − − es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
 
36.- La gráfica de 4y senx= − , es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
 
 
 
 
D) 
 
E) 
 
 
37.- El dibujo de gráfica de la función ( ) ( )4 2sinf x x= − es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
38.- Teniendo el dibujo de gráfica, la función que representa es: 
 Periodo π 
 A) 4cos
2
xy  = −  
 
 B) 4sin
2
xy  = −  
 
 C) ( )sin 4y x= 
 D) ( )4sin 2y x= − E) ( )cos 4y x= + 
 
 32 
39.- El rango de la función y= 
4
3
sin( )x
 es : 
 A) −4 ≤ y ≤ 3 B) 0 < y < 
4
3
 C) 
−4
3
 ≤ y ≤ 
4
3
 
 
 D) −3 ≤ y ≤ 4 E) −4 ≤ y ≤ 3 
 
40.- El rango de la función y= arcosen(x) es : 
 A) (−π ; π ) B) ( 0 ; π ] C) [ 
−π
2
 ; 
π
2
 ] 
D) [−2π ; 2π] E) [−π ; π ] 
 
41.- El rango de la función trigonométrica ( )cos 4y x= − , para “x” radian es: 
 A) [−4 ; 6] B) [ −5 ; −3 ] C) [ −4 ; 4 ] D) [ −1 ; 1 ] E) [−3 ; −4] 
 
 
 F. Ecuaciones Trigonométricas. 
 
42.- Los valores de “θ “ que satisfacen ( )0 2cos 10 2θ + = son: 
 A) {35°, 125°} B) {55°, 325°} C) {35°, 305°}
 
D) {45°, 135°} E) Vacío 
 
43.- La solución para θ (0°< θ <180°) en la ecuación trigonométrica 
( ) ( )sin 40 1 sin 40θ θ° °+ = − + , es: 
 A) 150° B) 30° C) 125° D)110° E) 95° 
44.- La solución a la ecuación ( )0 3sin 30 2θ − = ± , para θ ≤ 360° es: 
A) θ = 90° , 150° , 270° , 330° B) θ = 60° , 120° , 240° , 300° 
C) θ = 45° , 135° , 270° , 330° D) θ = 75° , 100° , 280° , 330° 
 E) θ = 55° , 125° , 260° , 320° 
 
45.- Al resolver la ecuación 2 2 0sen sen+ − =θ θ , para encontrar el valor de 
x, 0 90° ≤ ≤ °θ , se obtiene: 
A) 10° B) 20° C) 40° D) 60° E) 90° 
 
46.- La solución a ( )cos 40 cosθ θ− = , para 0 90θ° ≤ ≤ ° se obtiene: 
A) 20° B) 30° C) 40° D) 60° E) 90° 
 
47.- La solución en θ para la ecuación ( ) ( )22cos 1 3cosθ θ+ = es: 
 A) { }0 0 0 030 ,120 ,180 ,300 B) { }0 0 0 00 ,30 ,120 ,330 
C) { }0 0 0 00 ,60 ,120 ,270 D) { }0 0 060 ,180 ,270 
E) { }0 0 0 00 ,60 ,300 ,360 
 
48.- El conjunto solución de la ecuación 22sin cos( ) 1 0,θ θ− − = 
00 360θ≤ ≤ , es: 
 A) { }0 0 030 ,120 ,270 B) { }0 0 060 ,180 ,300 C) { }0 0 060 ,120 ,250 
 D) { }0 0060 ,180 ,330 E) { }0 0 030 ,180 ,330 
 
49.- El conjunto solución de la ecuación 22cos ( ) 1 0,senθ θ− − = 
 00 360θ≤ ≤ , es: 
 
 A) { }0 0 030 ,150 ,270 B) { }0 0 060 ,150 ,300 C) { }0 0 060 ,120 ,270 
 
 D) { }0 0 060 ,120 ,270 E) { }0 0 030 ,225 ,300 
 
50.- Determina todas las soluciones de la ecuación ( ) ( )sen 1 cosx x+ = en el 
intervalo [ ]0, 2π son: 
A) 0 y 
3
2
π
 B) 0 C) 0, π , 3
2
π
 y 2π D) 2
3
π
 E) π y 
2
π
 
 
51.- Las soluciones de la ecuación ( ) ( )2cos 2 cosx x= − en el intervalo 
[ ]0, 2π son: 
A) –2 y 1 B) 
2
π
 C) 
4
π
 D) 0 y 2π E) 1 
 
 
 33 
G. Ley de senos. 
 
52.- El valor de “x” que satisface el triángulo siguiente: 
 
 5 
 
 15° 30° 
 x 
A) 
5
2
 B) 1 C) 
2
5
 D) 
1
5 2
 E) 5 2
 
53.- La magnitud del lado a en el triángulo siguiente es: 
C 
B 
A 
a
40°
100°
c=20 u
 
A) 10.50 u B) 13.05 u C) 10.05 u D) 11.05 u E) 10.00 u 
 
54.- Un árbol que está en una ladera tiene una inclinación de 12 con la horizontal. 
 A una distancia de 45 mts, colina abajo desde el pie del árbol, el ángulo 
de elevación hasta su parte superior es de 39 .¿Cuánto mide el árbol? 
 
A) 26.29 m B) 77 m C) 36.77 m D) 36.44 m E) 22.92 m 
 
55.- Dado el triángulo siguiente, calcula el valor de x: 
 
 x 28 
 
 400 300 
 
 
A) 21x u= B) 0.0147x u= C) 21.78x u= D) 21x u= E) 31.68x u= 
56.- La diagonal mayor de un paralelogramo ( ver figura) mide 35 cms. Y forma 
ángulos de 25 y 32 con los lados, determina los lados de la figura: 
 
 
 32o 
 
 35 cm 
 b 
 
 25o 
 
 a 
 
A) a = 31.72 cms. y b = 14.79 cms B) a = 22.11cms. y b = 17.63 cms. 
C) a = 21.70.cms. y b = 17.52 cms. D) a = 56.45 cms. y b = 69.16 cms. 
E) a = 18.57 cms. y b = 29.68 cms. 
 
57.- Un papalote en forma de rombo tiene ángulos internos menores de 60O y 
sus lados miden 70 cm. ¿Cuál es la medida de la diagonal mayor? 
 
 
 60O 
 
 
 70 cm 
 
 
 60O 
 
 70 cm 
A) 
70
3
 B) 140 C) 70 2 D) 70
2
 E) 70 3 
 
58.- Dado el triángulo siguiente, calcula el valor de x : 
 
A) x = 0.91 B) x = 0.70 C) x = 0.60 D) x = 1.56 E) x = 0.46 
 
 
 
 34 
59.- Calcula la distancia entre los puntos A y B si el punto C está a 375 m de A y 
a 530 m de B y el ángulo BAC = 49º 30´ 
49 30 'o
375
530x
A C
B
 
 A) 509.56 B) 609.56 C) 375.26 D) 590.56 E) 690.2 
 
60.- Si un topógrafo encontró que la distancia entre dos puntos A y B es de 
075.513 metros. El Topógrafo se ayudo de un tercer punto C y la distancia 
BC es de 540 metros y el ángulo ACB mide '1063° . ¿A qué distancia 
están A y C? 
A) 424 m B) 417.7 m C) 411m D) 420.06 m E) 429.6 m 
 
61.- Para determinar la distancia entre 2 puntos A y B que están en orillas 
opuestas de un río, un topógrafo determina un segmento AC de 240 m. de 
longitud a lo largo de una orilla, y determina que las medidas del ángulo 
BAC y del ángulo ACB son 54º10’ y 63º20’, respectivamente. Calcula la 
distancia de A a B. 
 
A) 262.16 m B) 238.29 m 
C) 241.79 m D) 251.72 m E) 258.50 m 
 
H. Ley de cosenos. 
 
 
62.- Si un niño futbolista quiere tirar a la portería 
 teniendo un ángulo horizontal de tiro de 60° 
 y estando a 4 mts. del poste más 4 60° 10 
 cercano y 10 mts. del poste más lejano, 
entonces la portería mide exactamente en metros: 
 A) 2 19 B) 2 3 C) 2 29 D) 2 39 E) 5 3
2
 
 
63.- Dos aviones parten en línea recta, simultáneamente del aeropuerto de la 
ciudad de México, formando sus direcciones un ángulo de 60° entre sí. 
Después de 30 min. el primer avión se encuentra a 150 km. del aeropuerto y 
el segundo a 220 km. La distancia entre los aviones es: (Redondea a km.) 
 
 A) 207 B) 234 C) 260 D) 195 E) 172 
 
 
64.- El valor del ángulo α en el triángulo escaleno siguiente es : 
 
 
 
 8 5 
 
 α 
7 
 
 A) 45° B) 35° 23´ C) 38° 12´ D) 40° 25´ E) 67° 8´ 
65.- Un terreno de forma triangular tiene un lado que mide 175 metros y otro lado 
150 metros, el ángulo entre estos dos lados es de 73 , la longitud del 
tercer lado es: 
A) 194.35 m B) 185.5 m C) 175.2 m D) 201 m E)175.1 m 
 
66.- Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad y viajan por 
carreteras rectas que forman un ángulo de 84° entre sí. Las velocidades de 
los vehículos son 60 Km/h y 45 Km/h respectivamente. ¿A qué distancia 
aproximada se encuentran después de 20 min? 
A) 1422.7 km. B) 23.7 km. C) 38.2 km. 
D) 71.1 km. E) 18.6 km. 
 
67.- Desde un punto en tierra firme dos islas están a 3.25 kms y 4.65 kms de 
 distancia. Si el ángulo de la visual entre las islas es de 109º. 
¿Cuál es la distancia entre ellas? 
 
A) 6.48 kms. B) 7.49 kms. C) 5.84 kms. D) 6.94 kms. E) 4.72 kms . 
 
68.- ¿Cuánto valen los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 5, 8 y 11 
 metros ( ver figura)? 
 
A) A= 26º, B = 42º , C= 112º B) A= 90º, B = 40º , C= 50º 
 
 
 35 
 
C) A= 100º, B = 30º, C= 50º D) A= 26º, B = 33º , C= 121º 
 
E) A= 24º 37´, B = 41º48´ , C= 113º34´ 
 
 
 
 
69.- Calcular el valor del ángulo C en el triangulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70.- ¿Cuánto mide el valor “a” del triángulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarea sesión 4 
 
1.- La expresión 
1
cos( )x
 es igual a: 
 
 A) Cos(x) B) Sec(x) C) Csc(x) D) Tan(x) E) Cot(x) 
 
2.- La recíproca de Sec(x) es: 
 
a) angsen(x) b) Cos(x) c) Tan(x) d) Cot(x) e) Csc(x) 
 
3.- Dada Tan(x) + Cot(x) la expresión equivalente es: 
 
A) 1 + Sen(x) B) Sec(x) – Csc(x) C) Cos2(x) – 1 
 
D) Sec(x)Csc(x) E) Tan(x)Cos(x) 
 
4.- La expresión recíproca de Tan(x) es: 
 
A) Sen(x) B) Cos(x) C) Cot(x) D) Sec(x) E) Csc(x) 
 
5.- La expresión ( )cot cot tanθ θ θ+ es igual a: 
 
A) ( )2sen θ B) ( )2sec θ C) ( )csc θ D) ( )2csc θ E) ( )sen θ 
 
6.- La gráfica de la función ( )sen 1y x= + es: 
A) B) 
 
C) D) E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 68.5° B) 48.6° 
C) 28.5° D) 38.5° 
E) 42.02° 
 
A) 7.5u B) 10.5 u 
C) 8.5 u D) 9.5 u 
E) 11 u 
 
 36 
7.- La gráfica de la función 4 4y sen x= es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
E) 
 
8.- La gráfica de 4cos( )
4
y x π= − , es: 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
 
D) 
 
E) 
 
9.- La gráfica de la función y x= −2 2sen es: 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
10.- Los valores de θ , 0 00 360θ≤ ≤ que satisfacen 
( )02cos 10 1 0θ + − = son: 
 A) { }0 050 ,110 B) { }0 050 ,290 C) { }0 070 ,310 
 D) { }0 040 ,160 E) { }0 060 ,300 
 
11.- Resuelve ( ) ( )tan tan 2x xπ= − , para 0 00 90x≤ ≤ se obtiene: 
A) 20O B) 30O C) 40O D) 60O E) 90O 
 
12.- La solución en θ para la ecuación ( ) ( )22sin sin 1θ θ+ = es: 
 A) { }0 0 060 ,150 ,300 B) { }0 0 030 ,120 ,330 
 C) { }0 0 060 ,120 ,270 D) { }0 0 030 ,150 ,270 E) { }0 0 030 ,90 ,225 
13.- Los valores de θ , 0 00 360θ≤ ≤ que satisfacen 
( )02sin 10 1 0θ − − = son: 
 A) { }0 050 ,150 B) { }0 020 ,140 C) { }0 035 ,125 
 D) { }0 040 ,160 E) { }0 055 ,145 
 
 37 
14.- Los lados a y b del siguiente triángulo son 
 
 
A) a =3.23, b =3.55 B) a =2.43, b =4.35 
C) a =2.21, b =3.59D) a =1.22, b =2.75 E) a =4.25, b =3.23 
 
15.- Calcula el valor de x en el triángulo siguiente 
040 030
28
x
 
 
 
 A) 20.7 B) 19.78 C) 22.78 D) 21 E) 21.78 
 
16.- El ángulo en una esquina de un terreno triangular es de 73 40'° y los lados 
que se cortan en esa esquina tienen 175 y 150 pies de longitud. ¿ Cuál es la 
longitud del tercer lado? 
A) 38361 pies B) 196 pies C) 15089 pies D)123 pies E)248 pie 
 
17.- Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad, y viajan por 
carreteras rectas que forman un ángulo de 80° entre sí. Las velocidades de 
los vehículos son 60 mi/h y 45 mi/h, respectivamente. ¿A qué distancia 
aproximadamente se encuentran 20 minutos después? 
A) 118.81 millas B) 11.80 millas 
C) 228.21 millas D) 139.19 millas E) 22.82 millas 
 
18.- Un topógrafo encontró que la distancia entre dos puntos A y B es de 
350 metros, ayudándose de un tercer punto C. Si el ángulo ABC mide 
'5824° y las distancias AC y BC son 180 y 
 420 metros respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo ACB? 
 A) '854° B) 55 11'° C) '3520° D) '3753° E) '955° 
 
 
 
 
 
 Tarea sesión 4 
 
 1.- A B C D E 
 
 2.- A B C D E 
 
 3.- A B C D E 
 
 4.- A B C D E 
 
 5.- A B C D E 
 
 6.- A B C D E 
 
 7.- A B C D E 
 
 8.- A B C D E 
 
 9.- A B C D E 
 
 10.- A B C D E 
 
 11.- A B C D E 
 
 12.- A B C D E 
 
 13.- A B C D E 
 
 14.- A B C D E 
 
 15.- A B C D E 
 
 16.- A B C D E 
 
 17.- A B C D E 
 
 18.- A B C D E 
 
 
 Aciertos:___________ de _________ 
 
 
Calificación:_______________