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“Solución numérica de ecuaciones algebraicas y 
trascendentes” 
Planeación didáctica del tema 
 
Tópicos SOLUCIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES LINEALES Y TRASCENDENTES 
Temas Métodos de Bisección, Newton-Raphson, Newton Segundo Orden 
 
Objetivos 
específicos 
Proponer soluciones a fenómenos que involucran el cálculo de raíces, 
mediante el análisis del comportamiento de funciones polinomiales de 
grado n y transcendentes. 
Tomar decisiones sobre la elección de los algoritmos de Bisección, Newton-
Raphson y Newton Segundo Orden, y determinar el de mayor eficiencia. 
Determinar el criterio de precisión en la búsqueda de solución de raíces 
irracionales. 
Codificar el algoritmo de alguno de los métodos en lenguaje de 
programación y/o usar paquetería ad hoc al caso. 
Niveles de 
comprensión 
Niveles Evidencia de aprendizaje 
1. 
Reproducción 
de 
conocimiento 
Reproduce el concepto de raíz. 
Ubica detalles de una función e interpreta su 
comportamiento. 
Evidencia de aprendizaje 1.1, 1.2 
2. Aplicación 
básica de 
habilidades y 
conceptos 
 
Interpreta las propiedades de funciones y visualiza 
la vecindad donde se pueden encontrar las raíces de 
una función. 
Resuelve problemas rutinarios en múltiples etapas 
Aplica el concepto de raíz, mediante la 
identificación de patrones de un evento y su efecto. 
Evidencia de aprendizaje 1.3, 1.4, 1.5 
3. Desarrollo 
de un plan o 
una secuencia 
de pasos 
lógicos 
Construye una representación que muestra cómo se 
ve y/o funciona un caso. 
Cita evidencia y desarrolla un argumento lógico 
para hacer conjeturas. 
Resuelve el problema y analiza escenarios distintos. 
Evidencia de aprendizaje 1.6, 1.7, 1.8 
4. 
Pensamiento 
matemático 
(razonamiento 
y abstracción) 
Sintetiza ideas en nuevas representaciones 
Conduce una investigación sobre el problema 
resuelto. 
Evidencia de aprendizaje 1.9 
 
Recursos 
digitales: 
Ejecutables elaborados por integrante proyecto PAPIME 
Métodos de Bisección 
Newton-Raphson 
2 
 
Newton Segundo Orden 
 
De apoyo: 
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_hom
e.html 
https://www.youtube.com/watch?v=rBVrbzvOka8 
 
Test de 
reposición 
Ponte a prueba 
Tema para 
participación 
en foro 
Opcional: Cartel digital con fotografías ¿Qué otras aplicaciones del concepto 
de raíz puedes reconocer de la vida real? 
Encuesta de 
satisfacción 
Preguntas de reflexión 
Referencias 
bibliográficas 
- Bello I. & Kopf F. (2006). Intermediate Algebra, a real world approach. 
McGrawHill, U.S. 
- Bello I., Britton J., Kaul A. (2008). Topics in Contemporary Mathematics. 
Houghton Mifflin Company, New York. 
- Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for Engineers. McGraw 
Hill, U.S. 
- Forsythe A., Keenan T., Organick R., Stenberg W. (1973). Lenguajes de 
diagramas de flujo. Técnicas de Computación. Limusa, México 
- Kharab A. & Guenther R.B. (2012). An Introduction to Numerical Methods. 
A MATLAB Approach. Taylor & Francis Group, U.S. 
- Nieves Hurtado A. & Domínguez Sánchez F.C. (2014). Métodos Numéricos 
Aplicados a la Ingeniería. Grupo Editorial Patria. México. 
- Salvador Granados A., Díaz García A.F., Rincón Orta C.A., Fautsch Tapia E.L., 
Vázquez Islas M., Rubín Rivero S.Y. (2013). Álgebra Superior. McGraw Hill, 
México. 
 
 
Contenido 
 
Presentación 4 
Objetivos específicos 5 
¿Qué vas a aprender? 6 
Lo que debes saber antes de comenzar 7 
Autoevaluación diagnóstica 9 
Investiga y define 10 
Nivel 1 11 
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html
https://www.youtube.com/watch?v=rBVrbzvOka8
3 
 
¿Cuándo se necesita calcular una raíz? 11 
¿Qué pasa si…? 14 
Evidencias de aprendizaje 18 
Foro de discusión 19 
Nivel 2 19 
Métodos para ecuaciones algebraicas y trascendentes 19 
Métodos de bisección 20 
Evidencia de aprendizaje 24 
Método de Newton- Raphson 25 
Evidencia de aprendizaje 30 
Método de Newton Segundo Orden 31 
Evidencia de aprendizaje 34 
Nivel 3 35 
Ejemplos de aplicación 35 
Evidencia de aprendizaje 49 
Nivel 4 52 
Tu proyecto 52 
Pseudocódigo 53 
 Evidencia de aprendizaje 55 
Ponte a prueba 56 
Test de reposición 56 
Preguntas de reflexión 58 
Rúbricas de evaluación 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
En este apartado se estudiará el concepto de raíz. 
En un sentido estricto, en aritmética, una raíz es una cantidad que se multiplica por sí 
misma una o más veces para presentarse como un número determinado. 
 
Para encontrar una raíz, se debe realizar una operación inversa a la potenciación, y para 
ello, se emplea la radicalización. 
 
Pero, ¿qué sucede cuando se tiene un polinomio que representa una función? El 
concepto de raíz se define como los números que hacen que la función valga cero, y 
cuando se obtienen las raíces de la misma, se dice que se han encontrado las soluciones. 
 
El estudio de las ecuaciones algebraicas y trascendentes se aplican en numerosos 
campos, tal es el caso de la optimización, en el que se trata de usar en forma eficiente 
recursos escasos con respecto a objetivos organizacionales determinados; ¿se decide 
invertir en contratar más recursos humanos, o más producto que se vaya a vender, o 
dejarlo en inversión bancaria? La raíz define el equilibrio entre la inversión y el 
beneficio que se asocia a cada acción. 
 
El cálculo de raíces a partir del grado 2, se hace muy complicado, si es que imposible 
por medio de una fórmula general (analítica). De hecho, el Teorema de Abel indica que 
no es posible calcular raíces de forma exacta, solo aproximaciones, para un polinomio 
de grado 4 o mayor. 
 
Las intenciones educativas del presente texto, son las de presentar actividades de 
aprendizaje, a partir de escenarios concretos en el campo de la ingeniería, que le 
permitan al estudiante formalizar conceptos de raíces, tomar decisiones en el momento 
de resolver un problema real y/o abstracto, y emplear algoritmos, aplicando o 
diseñando software necesario. 
 
El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al cuatro, en donde se 
entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de las ecuaciones algebraicas y 
trascendentes con la presentación de solución de problemas, paso a paso, que se 
describen con modelos matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan en el 
desempeño profesional. 
 
Presentación
5 
 
Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de aprendizaje interactivas que 
coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento matemático y estrategias de 
solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a sitios de internet e incluso, 
se proporciona software didáctico, para hacer más significativo y efectivo el 
aprendizaje. 
 
Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1, está referido a la adquisición 
del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar sus conocimientos 
previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser tratados con Métodos 
Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades cognitivas que permitan 
la aplicación de raíces. 
 
El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar acerca de los algoritmos, y 
para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel de análisis y síntesis. 
Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una orientación en la que el estudiante 
use lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos Numéricos, también en 
otros contextos académicos y externos, que se refleje en su creación. 
 
Las actividades aquí presentes constituyen un apoyo a la docencia, cuyo diseño también 
favorece el trabajocolaborativo en un intento de emular el futuro profesional y, por 
tanto, conduzcan a que el estudiante valore la importancia del conocimiento y su 
comportamiento profesional. 
 
 
 
Los objetivos específicos de esta sección son: 
 
Proponer soluciones a fenómenos que involucran el cálculo de raíces, mediante el 
análisis del comportamiento de funciones polinomiales de grado n y transcendentes. 
Tomar decisiones sobre la elección de los algoritmos de Bisección, Newton-Raphson 
y Newton Segundo Orden, y determinar el de mayor eficiencia. 
Determinar el criterio de precisión en la búsqueda de solución de raíces irracionales. 
Codificar el algoritmo de alguno de los métodos en lenguaje de programación y/o usar 
paquetería ad hoc al caso. 
 
 
 
 
Objetivos específicos
6 
 
¿Qué vas a aprender? 
 
A continuación, se presenta una explicación de los objetivos de aprendizaje. 
 
Uno de los problemas más comunes de matemáticas aplicadas se refiere a encontrar la 
raíz, esto es, dado una función f, se trata de encontrar los valores de x que satisfacen 
una relación. 
 
Las soluciones de una ecuación se llaman los ceros de f o raíces de la ecuación. En la 
solución numérica de funciones, analizar e interpretar, implica vislumbrar los 
posibles ceros reales de una función, mediante el uso de la Regla de los signos de 
Descartes, el análisis de posibles raíces racionales, la tabulación, así como bosquejar las 
gráficas de funciones, tanto algebraicas como trascendentes. 
 
Debido a que no siempre se encuentran raíces por métodos tradicionales como podría 
ser mediante la Fórmula General, se discutirán tres métodos numéricos: el primero en 
el cual, la convergencia está garantizada, el algoritmo de bisección, y dos más, en los 
cuales, la eficiencia se pone de manifiesto, aunque la convergencia depende del valor 
inicial que se tome; estos métodos se llaman Newton-Raphson y de Newton Segundo 
Orden. 
 
Los métodos numéricos se trabajan con procedimientos iterativos. Una iteración es una 
herramienta útil para refinar una aproximación paso a paso que, en cierta forma 
converge naturalmente hacia una solución. 
 
De hecho, las iteraciones son uno de los fundamentos para cada algoritmo, para lo cual 
es necesario establecer una tolerancia o grado de precisión que está asociado con las 
cifras decimales para expresar lo medido, y también para denotar el alcance de las 
iteraciones. 
 
Así, la precisión se refiere a qué tan cercano se encuentra el valor medido o calculado 
con la tolerancia estipulada desde el inicio de las iteraciones. Por ejemplo, 
 
𝛿 ≤ 0.001 
 
Significa que, si el valor calculado respecto al anterior exhibe una diferencia menor a 
0.001, se ha alcanzado una precisión aceptable y se detiene el cálculo. 
 
De lo anterior, se requiere una comprensión del origen del problema ya que es 
necesario determinar lo que se constituye como una buena y aceptable solución 
7 
 
aproximada del problema. Por ejemplo, un error de unos pocos centímetros podría ser 
aceptable en la localización de un auto, pero no sería nada aceptable en la localización 
de un tumor para una cirugía con láser. 
 
Además, incluso si un algoritmo teóricamente produce una solución exacta, cuando se 
implementa en medios computacionales usando precisión aritmética finita, los 
resultados producidos podrían ser inexactos, esto es parte del análisis numérico 
relacionado con la comprensión del impacto de operaciones finitas, sobre la precisión 
de resultados. 
 
Con el surgimiento de los métodos numéricos, se ha mejorado la potencia de los cálculos 
iterativos mediante el uso de las computadoras. Para el desarrollo del pensamiento 
matemático, es muy importante que el estudiante de ingeniería programe, por lo menos 
utilice algún software matemático y maneje de forma eficiente una hoja de cálculo. 
 
La codificación implica el desarrollo de algoritmos y su desarrollo en un programa, tal 
como puede ser lenguaje C, Visual Basic, etc. Sobre software matemático se tiene 
MATLAB, MathCad, Mathematica, por mencionar algunos de ellos. Finalmente, Excel 
proporciona una herramienta muy útil para llevar a cabo formas alternativas de 
obtener los cálculos iterativos. 
 
 
 
La teoría de polinomios define que una función polinómica con grado n y números 
reales distintos de cero 
𝑓(𝑥) = 𝒂𝒏𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝒂𝟎 
 
Es una relación, como una suma finita de potencias de x, multiplicadas por coeficientes 
reales. 
Existen distintos tipos de funciones, por ejemplo, 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.5 
 
Esta función se le denomina como cuadrática, su correspondiente lugar geométrico es 
una parábola continua, y con raíces o ceros en x=0.5 y x=1.5, ya que al evaluar la función 
en cualquiera de estos dos valores se obtiene por resultado 0 (Fig. 1.1) 
 
 
Lo que debes saber antes de comenzar
8 
 
Fig. 1.1 Función con dos ceros 
graph.tk 
𝑓(0.5) = 2(0.5)2 − 4(0.5) + 1.5 
𝑓(0.5) = 0 
𝑓(1.5) = 2(1.5)2 − 4(1.5) + 1.5 
𝑓(1.5) = 0 
 
 
A partir de lo siguiente, es importante tener en cuenta: 
 
1. Puntos de inflexión: Una función f tiene al menos n-1 puntos de inflexión, esto 
significa que su gráfica puede cambiar de creciente a decreciente, y viceversa (Véase 
Fig. 1, tiene una inflexión, con cambio de dirección). 
 
2. Las siguientes ideas son equivalentes: 
a. (a, 0) implica que existe una intersección en el eje de las abscisas x de la 
gráfica f. 
b. Cuando ocurre x=a, implica que existe un cero de la función f. 
c. Cuando ocurre x=a, significa que a es un cero de la función f. 
d. Si (x-a), se interpreta que x-a es un factor de la función polinómica f(x) 
 
3. La Regla de los Signos de Descartes dice lo siguiente: En un polinomio con 
coeficientes reales se puede inferir el número posible de ceros reales positivos al 
distinguir las variaciones de signos de f(x). Cuando se evalúa la función como 𝑓(−𝑥), 
y se encuentran variaciones de signo, se puede inferir el número posible de raíces 
negativas. Véase el caso con el ejemplo de la parábola: 
 
Tabla 1.1 Evaluación de funciones por Regla de Descartes 
 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.5 
Nótese +2𝑥2 tiene signo positivo 
−4𝑥 tiene ahora un signo negativo 
HAY UN CAMBIO DE SIGNO 
De -4x a+1.5, se tiene de nuevo un signo 
positivo. 
DE NUEVO HAY UN CAMBIO DE SIGNO 
𝑓(−𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 1.5 Porque 2(−𝑥)2 queda positivo 
9 
 
−4𝑥 → −4(−𝑥) = +4𝑥 
NO HAY CAMBIOS DE SIGNO 
 
En el ejemplo de la parábola, al compararlo con su correspondiente gráfica se observa 
que existen dos raíces positivas, lo cual es congruente con la Regla de Descartes. 
 
4. Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio de grado n, donde 
n>o, entonces tiene al menos un cero, en el dominio de los números complejos. 
 
5. Un polinomio puede tener dos tipos de raíces reales y/ o complejas. Dentro de las 
reales, puede haber racionales e irracionales. La raíz racional es aquella que cumple 
con la definición de número racional. Véase el mismo ejemplo: 
 
Tabla 1.2 Análisis de raíces racionales 
 
Función Descripción 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1.5 Es de segundo grado, cuyo término de mayor 
potencia es 𝑥2, o sea cuenta con dos raíces 
 
∓1, 2 Los factores de 𝑎𝑛 
∓1, 1.5, 0.5,0.3 Los factores de 𝑎0. 
 
Sigue el procedimiento de búsqueda de raíces por División Sintética 
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html 
 
 
Autoevaluación diagnóstica 
 
a. Encontrar las raíces de 𝑥2 − 9 = 0 
 
 
 
 
 
b. Usar el graficador de tu preferencia, por ejemplo graph.tk y generar la gráfica 
de 𝑥4 − 18𝑥2 + 81 = 0 
a) Tome captura de pantalla y súbala 
 
 
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/division_sintetica/Dsintetica_home.html
10 
 
 
 
 
c. Si la función es tangente en un punto al eje x, ¿Se considera raíz al punto de 
tangencia?, ¿por qué si o por qué no? 
 
 
 
 
d. Tabular la siguientefunción, en el rango [0,4], con tamaño de paso h=1 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙− 𝟔 
X y 
 
 
 
 
 
¿Distinguiste cambios de signo en la tabulación? Estos cambios de signo representan la 
existencia de una raíz. 
 
Investiga y define 
 
En el contexto de aplicaciones de la integral 
a. ¿Qué representa una función trascendente? _______________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
 
b. ¿Cuál es la diferencia entre función y ecuación? __________________________________ 
________________________________________________________________________________________ 
 
c. ¿Qué propiedad tiene un factor como divisor de otro número? __________________ 
________________________________________________________________________________________ 
 
11 
 
d. ¿A qué se le llama un número irracional? ______________________________________ 
________________________________________________________________________________________ 
 
NIVEL 1 
 
 
 
Una raíz es una causa, es un concepto de interés que en matemáticas se interpreta como 
la relación de dos variables, consecuentemente, se dice que se ha encontrado la solución 
de un problema. 
 
En términos geométricos, es un lugar donde la curva intersecta a un eje de referencia, 
esto es, el eje x. 
 
Desde una perspectiva algebraica, una raíz que responde al cuestionamiento ¿para qué 
valor de x, hace que y sea igual a cero? 
 
En física, una raíz es una medida de estabilidad. 
 
A continuación, se presentan casos que distinguen cuándo emplear el concepto de raíz. 
 
Caso 1. Mecánica 
 
Siempre que se necesite encontrar el equilibrio entre dos o más variables relacionadas, 
se justifica el cálculo de la raíz. Por ejemplo, en Ingeniería Mecánica, cuando se aplica 
carga a un material, este se deforma. La deformación se puede conceptuar como una 
función matemática, que puede ser de tercer grado. El objetivo es determinar qué carga 
se debe aplicar para que el material no se deforme más allá de lo especificado por la 
norma. 
 
La pregunta es ¿qué fuerza se debe aplicar a la pieza para que no se deforme? (Nota: 
material elástico). En el ejemplo, se deduce la necesidad de encontrar una 
compensación entre la fuerza y resistencia del material. 
 
Caso 2. Economía 
 
¿Cuándo se necesita calcular una raíz?
12 
 
La ley de la oferta y la demanda define el concepto de mercado. Matemáticamente, se 
interpreta la función 𝑃 = 𝑓(𝑄), donde P es el precio del producto y Q es la cantidad 
demandada. 
 
Generalmente, se considera el número de bienes ofertados (O) y demandados (D) que 
los compradores y vendedores negocian para obtener un beneficio común (Fig. 2). 
 
Fig. 1.2 Punto de equilibrio 
 
Las curvas de oferta y demanda definen el equilibrio de mercado, esto es, donde la 
demanda del producto se cruza con la oferta. En este punto de coincidencia, hay una 
traslación del concepto de RAÍZ, ya que ahora el interés no radica en la intersección con 
el eje x, sino entre las curvas Cantidad-Precio (Q y P). 
 
Caso 3. Inventarios 
 
Imagina una bodega. Se observa de la gráfica ( ) que la función es 𝑄 = 𝑓(𝑇), que significa 
la cantidad en inventario de un producto Q está en función del tiempo T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
Fig. 1.3 Inventario 
 
Nótese que la gráfica comienza en (0, 𝑞1) y se observa un pedido por Q unidades con 
un lote máximo (lmax). En el tiempo 𝑡1 se estima que el producto se ofertó en su 
totalidad. Cuando el producto se ha terminado, viene un periodo de escasez 𝑡2, en donde 
el proveedor suministra el producto en el lote máximo. Este proceso es cíclico como se 
observa en la gráfica. 
 
En el momento en que existe un cruce con el eje de referencia x, implica para el 
vendedor hablar con su proveedor para que le surta el producto de nuevo. Este tipo de 
cálculos los realiza el analista de la información con la pregunta ¿cada cuánto se debe 
generar un punto de reorden? Notar que matemáticamente esto implica calcular la raíz 
Diente de sierra. 
 
Por ejemplo, el concepto de la moda. Una tienda departamental le indica a su proveedor 
que le proporcione ropa de otoño-invierno. Se acaba este tipo de ropa, esto significa que 
ha habido un cruce con el punto de re-orden, o sea la raíz, de manera que viene un 
periodo de escasez. Posteriormente, se le solicita al proveedor la ropa de primavera- 
verano, y así, sucesivamente. 
 
La interpretación de la raíz dice mucho. 
 
Caso 4. Imposibilidad para despejar la variable independiente 
 
Considere el siguiente caso 
𝑐 =
1 + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3
(1 − 𝑥)3
 
 
14 
 
La relación arriba mostrada representa el factor de compresibilidad c de los gases 
reales. Si c=0.9, encontrar el valor de x. 
 
Se observa la imposibilidad para obtener el valor de x por métodos tradicionales. El 
problema trata de “ajustar” el valor de x, para que c (o sea, y) sea igual a 0.9. 
 
Nótese que si la pregunta original es ¿para qué valor de x, hace que y sea igual a cero?, 
ahora el concepto de raíz se piensa en términos de una ecuación, de lograr que la 
igualdad satisfaga 
0.9 =
1 + 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3
(1 − 𝑥)3
 
 
La pregunta ahora es ¿cuál es el valor de x, para que c sea igual a 0.9? 
 
Los métodos numéricos útiles para situaciones como la aquí descrita pueden ser 
abordados por el Método de Newton Raphson, y también mediante métodos que 
corresponden a la Interpolación Numérica. 
 
Existen métodos analíticos para obtener raíces de polinomios de hasta cuarto grado. En 
particular, los métodos para obtener raíces de tercer y cuarto grado son 
extremadamente complicados. No existen métodos para obtener raíces de 5 grado en 
adelante. 
 
Esto lleva a plantear que los métodos analíticos son insuficientes, y por ello, se han 
desarrollado métodos numéricos para abordar estos casos. 
 
Existen muchos métodos numéricos, entre ellos, se encuentran el de bisección y los de 
aproximaciones sucesivas como Newton-Raphson, Lin Bairstow, Newton Segundo 
Orden, Von Misses, etc. 
 
 
 
A continuación, se presenta interpretaciones gráficas del concepto de raíz, con el 
propósito de mejorar la comprensión del comportamientos de una función. 
 
 
 
 
¿Qué pasa si...?
15 
 
Fig. 1.4 Algunos casos de funciones 
 
RAÍCES POSITIVAS 
Se observan dos raíces positivas en una 
función creciente, con un intervalo 
definido por un límite inferior 𝑥1 y uno 
superior en 𝑥2, ambos positivos. Esto 
implica que la búsqueda de raíces debe 
comenzar en 𝑥 > 0. 
Las raíces de polinomios tienden a 
encontrarse en la vecindad del origen. 
 
 
RAÍCES NEGATIVAS 
¿De qué grado es el polinomio 
representado en la gráfica? Recuerde 
que por el Teorema de Álgebra, el grado 
del polinomio indica el número de raíces 
de una función. En este caso, es de tercer 
grado. El polinomio es decreciente, ya 
que la trayectoria de izquierda a 
derecha termina en el tercer y tendiente 
al cuarto cuadrante. 
 
RAÍCES COMPLEJAS Y REAL 
El polinomio es de tercer grado, ya que 
tiene dos puntos de inflexión donde se 
encuentran dos raíces complejas*. El 
polinomio es decreciente, porque la 
variable de mayor potencia viene dado 
por −𝑥3. 
 
Nota: Las raíces complejas siempre 
vienen en un número par. 
 
AUSENCIA DE RAÍCES REALES 
La forma de la función indica que no 
cuenta con raíces reales. Existe un punto 
de inflexión, y es un polinomio de grado 
2, por tanto tiene dos raíces complejas. 
16 
 
 
FUNCIÓN DISCONTINUA 
Las curvas como las presentadas, 
demuestran simetría y también 
discontinuidad. Por ello, solo se podrán 
hacer derivaciones en rangos de valores 
aceptables. En el primer caso, los puntos 
extremos de signo contienen a las dos 
raíces. 
En el segundo caso no hay raíces reales. 
 
RAÍCES MÚLTIPLES 
La curva es tangente al eje de las 
abscisas. 
La función 𝑥2 − 4𝑥 + 4,puede 
factorizarse como 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 −
2). Observe que cuando x=2, dos 
términos en este polinomio son iguales 
a cero. Matemáticamente, x=2 y se llama 
raíz múltiple. 
 
Para integrar los conceptos vertidos en páginas anteriores, se procede a realizar la 
evaluación de una función. 
 
Ejemplo. Analizar numéricamente la función𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 
 
1. El grado del polinomio: 3, entonces tiene tres raíces. 
 
2. El comportamiento del polinomio: Creciente, el signo de 𝑥3 es positivo, la curva 
se mueve de izquierda a derecha con dos inflexiones. 
 
3. Regla de signos de Descartes: 
Evaluación de la función positiva 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 
Existen tres cambios de signo 
De + a -, 𝑥3 − 6𝑥2 
De - a +, −6𝑥2 + 11𝑥 
De + a -, +11𝑥 − 6 
Evaluación de la función negativa 
𝑓(−𝑥) = −𝑥3 − 6𝑥2 − 11𝑥 − 6 
No hay cambios de signo 
 
Conclusión preliminar: Posiblemente existen tres raíces positivas y las alternativas 
pueden ser: 
 
17 
 
RAÍCES TOTALES 3 
 
Raíces reales 3 
Raíces complejas 0 
 
 
RAÍCES TOTALES 3 
 
Raíces reales 1 
Raíces complejas 2 
 
4. Análisis de raíces racionales: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 Factores de 𝑎0: ±6, 3, 2, 1 
 Factores de 𝑎𝑛: ±1 
 
Procede la operacionalización por división sintética, resultando que las raíces son: 
𝑥1 = 1 
𝑥2 = 2 
𝑥3 = 3 
De todas formas en Excel, también se pueden realizar los cálculos, como una tabulación: 
 
 
X y 
0 -6 
1 0 
2 0 
3 0 
4 6 
5 24 
6 60 
7 120 
 
 
 
Finalmente, la gráfica de la función: 
La tabulación comienza con 
cero, porque la regla de 
Descartes indicó raíces 
positivas. 
Hay un cambio de signo, esto 
significa que la función ha 
cruzado el eje de x. 
Recuerda: ¿para qué valor 
de x, hace que y sea igual a 
cero? 
18 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 1.1 
 
¿Recuerdas la gráfica Diente de sierra? Proporcionar dos ejemplos del caso y justificar 
tus respuestas. 
 
 
 
a. 
 
 
b. 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 1.2 
 
Lee con atención lo que se te pide, y elige la respuesta correcta. Analizar la función 
𝑥3 + 𝑥2 − 10𝑥 + 8 
a. El grado del polinomio es de: 
i. Grado 3 ii. Grado 2 iii. Grado 1 
 
b. El comportamiento global de la función es: 
i. Creciente ii. Decreciente iii. Permance constante 
 
19 
 
c. Por la regla de Descartes se distinguen 
i. Dos raíces positivas 
y una negativa 
ii. Tres raíces 
complejas positivas 
iii. Dos raíces 
negativas y una positiva 
 
d. Realiza la tabulación de la función. Las raíces se encuentran en: 
 
i. 
𝑥1 = −4 
𝑥2 = 1 
𝑥3 = 2 
ii. 
𝑥1 = 4 + 𝑏𝑖 
𝑥2 = −4𝑏𝑖 
𝑥3 = 2 + 𝑏𝑖 
iii. 
𝑥1 = −4 
𝑥2 = −1 
𝑥3 = 2 
 
Ya puedes pasar al segundo nivel, en el cual conocerás tres métodos numéricos: 
Biseción, Newton Raphson y Newton Segundo Orden. 
 
FORO DE DISCUSIÓN Realiza un cartel digital con fotografías que reflejen: ¿Qué otras 
aplicaciones del concepto de raíz puedes reconocer de la vida real? 
 
NIVEL 2 
 
 
 
Para comprender la naturaleza de estos métodos, considera el problema de buscar la 
palabra “lemniscata” en un diccionario de 500 páginas. No se te ocurriría buscar la 
palabra de una forma sistemática página por página. Debido a que las palabras están 
organizadas alfabéticamente de la A a la Z, es más fácil abrir el diccionario en alguna 
página aleatoria y determinar si la letra L, se encuentra antes o después de la 
seleccionada. 
 
Esta acción, reduce por mucho el número de páginas para continuar la búsqueda. Luego, 
se vuelve a seleccionar una página aleatoria de la parte del diccionario donde la palabra 
puede encontrarse, y se determina de nuevo si L se encuentra antes y/ o después de 
este segundo punto. Las particiones ocurren hasta llegar a L. Se continúa en una sección 
más pequeña para ubicar la segunda letra “e”, y luego “m”, y así hasta haber alcanzado 
suficiente precisión para completar la palabra buscada. 
 
Este tipo de acción de búsqueda de palabras implica: 
 
Contar con un punto inicial de búsqueda. 
Métodos para ecuaciones algebraicas y trascendentes
20 
 
Definir los límites inferiores y superiores, de acuerdo al valor de la solución. 
Realizar la misma acción en forma iterativa. 
Refinar los límites y reducir los intervalos de solución. 
Detener el intervalo hasta que se presente un rango de error aceptable para ubicar la 
solución. 
 
Métodos de Bisección 
 
El método de bisección consiste en elegir dos puntos sobre el eje x, a los cuales se les 
llama LI y LS que significan respectivamente, Límite Inferior y Límite Superior. 
 
Se recomienda que antes de elegir estos puntos sobre el eje x, se efectúe una tabulación 
de la función f(x) para determinar la región donde dicha función cruza al eje de las x. 
También para este método se recomienda efectuar la prueba de si la función es 
creciente o decreciente en la región donde dicha función f(x) cruza al eje x. Esto se debe 
a que el procedimiento para el cálculo de la raíz, es diferente si la curva es creciente o 
decreciente. 
 
La siguiente figura muestra la ubicación de LI y LS en una curva creciente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El método es iterativo y consiste en los siguientes pasos P. 
P1-Se calcula el punto medio (PM) del segmento LI-LS como: 
 
𝑃𝑀 =
𝐿𝐼 + 𝐿𝑆
2
 
 
P2- Se evalúa la función en el punto medio f(PM) 
 
P3- Si al evaluar f(PM) se obtiene un valor positivo, esto es, si f(PM)>0, entonces se 
designa a PM como LS, esto es, 
𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) > 0 → 𝑳𝑺 = 𝑷𝑴 
Se regresa al paso P1. 
 
LS LI PM 
x 
y 
f(x) 
21 
 
P4- Si al evaluar f(PM) se obtiene un valor negativo, esto es si f(PM)<0, entonces se 
designa a PM como LI, así 
𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) < 0 → 𝑳𝑰 = 𝑷𝑴 
Se regresa al paso P1. 
 
Como los métodos numéricos generalmente no generan valores exactos, es necesario 
determinar una tolerancia 𝛿 para el cálculo de la raíz. Así que, en la serie de pasos se 
necesita incluir si 
𝑓(𝑃𝑀) ≤ |𝛿| 
 
entonces se acepta que la raíz corresponde en el PM. 
 
Si la función es decreciente en la región determinada, como se observa en la siguiente 
figura, entonces ocurre lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) < 0 → 𝑳𝑺 = 𝑷𝑴 
𝑠𝑖 𝑓(𝑃𝑀) > 0 → 𝑳𝑰 = 𝑷𝑴 
 
Calculando nuevamente el punto medio 
 
𝑃𝑀 =
𝐿𝐼 + 𝐿𝑆
2
 
 
Repitiendo este proceso hasta encontrar que 
 
𝑓(𝑃𝑀) ≤ |𝛿| 
 
En cuyo caso se dice que la raíz es el punto medio, y se concluye el procedimiento. 
 
Si la función f(x) tuviera dos o más raíces reales, entonces hay que repetir este 
procedimiento tantas veces como raíces reales tenga la función f(x). 
LS LI PM 
x 
y f(x) 
22 
 
 
Si se llama n al número de intervalos 𝛿 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 y que se designan 
por 
𝑟 = 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 
Entonces se tiene que 
𝑛 =
𝑟
𝛿
 
Con estos valores y dada la naturaleza del método que siempre divide en dos al rango 
actual, se puede calcular su eficiencia, tomándola como el número de iteraciones que se 
espera hará en promedio. 
 
Así la eficiencia es: 
𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑙𝑜𝑔2𝑛 
 
Por lo que se puede decir que es un método con una alta eficiencia. 
 
Ejemplo. Calcular una raíz de la función 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 
 
Solución 
 
Se tabula la función, usando división sintética en los puntos dados de acuerdo al 
procedimiento de cálculo de posibles raíces racionales, siendo estos puntos 1, 2, 4, 5,10. 
 
x f(x) 
1 -7 
2 16 
4 116 
10 1288 
 
Se nota en la tabla que hay un cambio de signo entre 
x=1 
x=2 
 
Lo cual se corrobora con la gráfica de la función, se muestra una parte de ella. 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
Estos valores se tomarán para el cálculo del punto medio. 
 
𝑃𝑀 =
1 + 2
2
= 1.5 
El cual se evalúa en la función 
 
𝑓(𝑃𝑀) = (1.5)3 + 2(1.5)2 + 10(1.5) − 20 
𝑓(𝑃𝑀) = 2.875 
 
Como la función es creciente en el rango LI-LS se asignaLS=1.5. 
 
Se procede a iterar el método. 
El valor asignado a 𝛿, es de 
𝛿 = 0.001 
 
Debido a que 
2.875 > 0.001 
 
Se continúa el proceso, deteniéndose cuando 𝑓(𝑃𝑀) ≤ 𝛿. 
 
El número de iteraciones esperadas es de: 
𝑟 = 2 − 1, 𝑟 = 1, 𝛿 = 0.001, 𝑛 =
1
0.001
, 𝑛 = 1000 
Por tanto, el número de iteraciones esperadas será 
 
𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑙𝑜𝑔21000 
y 
x 
24 
 
 
Así que el número de iteraciones esperadas son aproximadamente 11. 
 
Al desarrollar el método de bisección sobre la función se obtiene 
 
 
La raíz buscada se considera igual a 
𝑥 = 1.3688 
REVISA EL EJECUTABLE DEL MÉTODO DE BISECCIÓN 
 
Evidencia de aprendizaje 1.3 
 
Aplicar el método de bisección para encontrar una raíz real del polinomio 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 6 
 
Tomar un delta de 0.01. 
 
1.3a ¿Cuántas posibles raíces positivas existen? Explica cómo se realiza el análisis para 
la determinación de las mismas 
 
 
 
 
 
1.3b Subir una tabla con la tabulación de la función y determinar los cambios de signo, 
para determinar los valores de x, donde posiblemente se encuentra la raíz de la función. 
 
 
 
LI LS PM f(PM)
1 2 1.5 2.875
1 1.5 1.25 -2.421875
1.25 1.5 1.375 0.13085938
1.25 1.375 1.3125 -1.16870117
1.3125 1.375 1.34375 -0.52481079
1.34375 1.375 1.359375 -0.19845963
1.359375 1.375 1.3671875 -0.03417253
··· ··· ··· ···
1.3687 1.3691 1.3689 0.0019
1.3687 1.3691 1.3689 -0.0002
25 
 
x 
y 
f(x) 
x 
y 
f(x) 
 
 
1.3c Obtener las tres raíces de la función. Se sugiere usar una hoja de cálculo y tomando 
en cuenta 𝛿=0.01 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Newton Raphson 
 
El método numérico llamado de Newton- Raphson es también llamado método de las 
tangentes. Este método es aplicado al cálculo de raíces de funciones, tanto algebraicas, 
como trascendentes, y la derivación de su expresión se puede obtener de la siguiente 
forma. 
 
En la figura siguiente, se muestra la gráfica de una función f(x). Se parte de que f(x) es 
igual a la ordenada correspondiente a la abscisa x, esto es y=f(x). Se determina un 
punto inicial al cual se le llama 𝑥0 a su abscisa y cuya ordenada será igual a 0, esto es, el 
punto inicial (𝑥0, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El punto (𝑥0, 0) se proyecta hacia la curva, y la intersecta en el punto según la siguiente 
gráfica. 
 
 
 
 
(𝑥0, 0) 
26 
 
x 
y 
f(x) 
x 
y 
f(x) 
(𝑥1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La recta tangente a la curva f(x) corta al eje x en el punto (𝑥1, 0). También se observa 
que este nuevo punto, se acerca más a la raíz buscada (una raíz de una función, es el 
punto donde la curva f(x) corta al eje de las x). 
 
La ecuación de la tangente a la curva, es la ecuación de una línea recta dada por 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 
Siendo m, la pendiente de la recta, (𝑥1, 𝑦1) un punto conocido sobre la recta y (x, y), un 
punto cualquiera sobre la recta. 
 
De manera que, (𝑥0, 𝑦0) es el punto conocido, 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) y como un punto 
cualquiera desconocido sobre la recta, en este caso, por el punto (𝑥0, 0), que es la 
intersección de la recta con el eje x, quedando la expresión: 
 
0 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥1 − 𝑥0) 
 
Al realizar un despeje sobre el segundo término, se tiene 
 
𝑦0
𝑚
= 𝑥1 − 𝑥0 
Es decir; 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑦0
𝑚
 
Dado que según la expresión de una función 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) que sustituida en la última 
expresión 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0) 
𝑚
 
 
(𝑥0, 0) (𝑥0, 0) 
27 
 
x 
y 
f(x) 
(𝑥0, 0) (𝑥1, 0) (𝑥2, 0) 
Esto, por cálculo diferencial, es la pendiente de la curva f(x) en el punto (x, y), y está 
dado por la primera derivada de la función f(x), esto es, 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, lo cual en notación de 
funciones se representa como m=f’(x), así que la expresión final para calcular el valor 
de x, estará dada por 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0) 
𝑓′(𝑥0) 
 
 
Es importante tener en cuenta que este método numérico de aproximaciones sucesivas, 
ahora trata de irse acercando cada vez más hacia la raíz, siguiendo el mismo 
procedimiento, por lo que se repiten todos los pasos hasta calcular el siguiente punto, 
según la figura, que simbólicamente se expresa como: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1) 
𝑓′(𝑥1) 
 
Este proceso se continúa hasta encontrar a la raíz 
buscada o hasta encontrar un punto muy cercano 
a dicha raíz, esto es, un valor que fuera menor o 
igual que una tolerancia establecida, de acuerdo 
a la naturaleza del problema a resolver, a esta 
tolerancia se le llama 𝜹. 
Simbólicamente, el procedimiento iterativo está dado por 
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0) 
𝑓′(𝑥0) 
 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1) 
𝑓′(𝑥1) 
 
𝑥3 = 𝑥2 −
𝑓(𝑥2) 
𝑓′(𝑥2) 
 
⋯ 
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −
𝑓(𝑥𝑛−1) 
𝑓′(𝑥𝑛−1) 
 
 
Otra forma de obtener la expresión de Newton- Raphson es aplicando un enfoque no 
geométrico, sino matemático, y para ello, se considera la serie de Taylor, la cual 
adaptada a la naturaleza del sistema actual sería: 
 
𝑦1 = 𝑦0 +
𝑥1 − 𝑥0
1! 
𝑓′(𝑥0) +
(𝑥1 − 𝑥0)
2
2! 
𝑓′
′(𝑥0) +
(𝑥1 − 𝑥0)
2
3! 
𝑓′
′′(𝑥0) +⋯ 
 
28 
 
Tomando únicamente los dos primeros términos del lado derecho de la serie 𝑦1 = 𝑦0 +
𝑥1−𝑥0
1! 
𝑓′(𝑥0), y con el objetivo de encontrar la raíz de la función f(x), y la raíz es el punto 
de la curva donde corta al eje x, se asume que la expresión 𝑦1, es la ordenada de la raíz, 
así que 
0 = 𝑦0 +
𝑥1 − 𝑥0
1! 
𝑓′(𝑥0) 
Que en un arreglo algebraico queda 
𝑥1 − 𝑥0 = −
𝑦0
𝑓′(𝑥0)
 
 
Donde, se recuerda que 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0) 
𝑓′(𝑥0) 
 
Debido a que el método es iterativo, de aproximaciones sucesivas, se debe repetir la 
aplicación de esta expresión hasta encontrar un valor 𝑦 ≤ 𝜹, que se refiere a 
 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0) 
𝑓′(𝑥0) 
, 𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1) 
𝑓′(𝑥1) 
, 𝑥3 = 𝑥2 −
𝑓(𝑥2) 
𝑓′(𝑥2) 
⋯𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −
𝑓(𝑥𝑛−1) 
𝑓′(𝑥𝑛−1) 
, lo cual es la 
expresión del método de Newton- Raphson. 
 
La naturaleza de este método indica que 𝑥𝑛+1 = 𝑔(𝑥𝑛), donde 𝑔(𝑥) = 𝑥 −
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
. 
 
El método de Newton- Raphson converge siempre que 
|𝑔′(𝑥)| < 1 
Por lo que derivando g(x) se tiene 
𝑔′(𝑥) = 1 −
[𝑓(𝑥)]2 − 𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)
[𝑓´(𝑥)]2
 
𝑔´(𝑥) = 1 − 1 +
𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)
[𝑓´(𝑥)]2
 
𝑔´(𝑥) =
𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)
[𝑓´(𝑥)]2
 
Y se concluye que el método convergirá siempre que 
 
|𝑔´(𝑥)| = |
𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)
[𝑓´(𝑥)]2
| < 1 
 
Por lo anterior, se puede afirmar que el método iterativo de Newton- Raphson converge 
a una raíz de la función f(x)=0, si se verifica la expresión de g’(x), es decir; que si 𝑥0 es 
la primera aproximación a la raíz f(x)=0 se debe cumplir: 
 
29 
 
1.- 𝑥0 debe estar suficientemente cercano a la raíz de f(x)=0. 
2.- f’’(x) no debe ser excesivamente grande 
3.- f’(x) no debe estar muy próxima a cero 
 
La última restricción significa que no hay raíces cercanas unas de otras, aunque esto 
puede ser relativo, debido a la lejanía o cercanía de la primera aproximación a la raíz 
que se busca. 
 
Ejemplo. Calcular una raíz de la función 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 
 
Solución 
 
Se recomiendo usar la Regla de los Signos de descartes, para determinar las posibles 
raíces positivas y negativas que tiene una función, así que: 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3, tiene tres cambios de signos 
𝑓(−𝑥) = −2𝑥3 − 9𝑥2 − 12𝑥 − 3, no tiene cambios de signo 
Por lo que 
Raíces + 3 1 
Raíces - 0 0 
Raíces complejas 0 2 
TOTAL 3 3 
 
Posteriormente, se determinan cuáles son las posibles raíces racionales: 
Factores de 2: 1, 2 
Factores de -3: 1, 3 
 
Las posibles raíces racionales serán: 1,
1
2
, 3, 3/2 
 
Por división sintética se prueban estos valores, obteniendo en cada una de ellas 
residuos diferentes de cero, por lo que esta función no tiene raíces racionales. 
 
Se presenta una gráfica de la función, donde se observa que la raíz se encuentra entre 
x=0 y x=1.30 
 
 
 
Tomando un valor inicial igual a cero, esto es 𝑥0 = 0, y aplicando la expresión 
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −
𝑓(𝑥𝑛−1) 
𝑓′(𝑥𝑛−1) 
 
En una hoja de cálculo se tiene: 
 
 
ejemplo.xlsx 
 
Por lo que la raíz buscada es 0.32750698. 
 
Evidencia de aprendizaje 1.4 
 
De nuevo encontrar una raíz real del polinomio, por medio del método de Newton-
Raphson. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 6 
Tomar un delta de 0.01 
 
1.4a Realiza el cálculo del criterio de conversión 
Realiza tus cálculos con apoyo de software de tu conocimiento, y sube una fotografía 
 
 
 
x f(x) f´(x) f(x)/f'(x) xn delta
0 -3 12 -0.25 0.25 0.001
0.25 -0.546875 7.875 -0.06944444 0.31944444 0.001
0.31944444 -0.05247181 6.86226852 -0.00764642 0.32709087 0.001
0.32709087 -0.00281056 6.75429498 -0.00041612 0.32750698 0.001
0.32750698 -0.00013495 6.74843924 -1.9997E-05 0.32752698 0.001
x 
y 
ejemplo.xlsx
31 
 
1.4b Realiza el procedimiento de Newton- Raphson 
Realiza tus cálculos con apoyo de software de tu conocimiento, y sube una fotografía 
 
 
 
 
 
 
1.4c ¿Cómo le explicarías a tu compañero las diferencias de resultados entre el método 
de bisección y el de Newton- Raphson? 
 
 
 
 
 
Método de Newton Segundo Orden 
 
Este método se puede derivar del método de Newton Raphson, utilizando la serie de 
Taylor, y aceptando que la función f(x) tiene derivadas en todos los órdenes en el 
intervalo que contiene a 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. 
 
Se puede desarrollar la función en serie de potencias por medio de la serie de Taylor 
para obtener el valor de 𝑓(𝑥𝑛+1) de términos del valor de la función 𝑓(𝑥) y de sus 
derivadas en 𝑥𝑛 se tiene que 
 
𝑓(𝑥𝑛+1) = 𝑓(𝑥𝑛) +
𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛
1! 
𝑓′(𝑥𝑛) +
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)
2
2! 
𝑓′′(𝑥𝑛) +
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)
2
3! 
𝑓′ ′′(𝑥𝑛) +⋯ 
 
Admitiendo que 𝑥𝑛+1 es un valor aproximado de la raíz a se puede escribir 
 
𝑓(𝑥𝑛+1) ≅ 0, 𝑜 𝑠𝑒𝑎 
 
𝑓(𝑥𝑛) +
𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛
1! 
𝑓′(𝑥𝑛) +
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)
2
2! 
𝑓′
′(𝑥𝑛) +
(𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)
2
3! 
𝑓′
′′(𝑥𝑛) +⋯ ≅ 0 
 
Si se considera a los tres primeros términos de la serie anterior y se representa con 
∆𝑥𝑛 a la diferencia 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 
Entonces se tiene, 
𝑓(𝑥𝑛)
∆𝑥𝑛
1!
𝑓′(𝑥𝑛) +
∆𝑥2̅̅ ̅̅ ̅
2!
𝑓′′(𝑥𝑛) ≅ 0 
32 
 
 
Por tanto, 
𝑓(𝑥𝑛) + ∆𝑥𝑛 [𝑓
′(𝑥𝑛) +
∆𝑥𝑛
2!
𝑓′′(𝑥𝑛)] ≅ 0 
 
Por el método de Newton-Raphson, se sabe que ∆𝑥𝑛 equivale a la fracción 
−
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
Por lo que al sustituirla en la última expresión se tiene 
 
𝑓(𝑥𝑛) + ∆𝑥𝑛 [𝑓
′(𝑥𝑛) +
1
2
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
𝑓′′(𝑥𝑛)] ≅ 0 
 
A continuación, se presentan las maniobras algebraicas para llegar al método iterativo 
de Newton Segundo Orden. 
∆𝑥𝑛[𝑓′(𝑥𝑛) −
1
2
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
𝑓′′(𝑥𝑛)] = −𝑓(𝑥𝑛) 
 
Se divide todo entre ∆𝑥𝑛 
[𝑓′(𝑥𝑛) −
1
2
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
𝑓′′(𝑥𝑛)] = −
𝑓(𝑥𝑛)
∆𝑥𝑛
 
 
 
Ahora se pasa el numerador al lado izquierdo 
 
𝑓′(𝑥𝑛)
𝑓(𝑥𝑛)
−
1
2
𝑓(𝑥𝑛)𝑓
′′(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)𝑓(𝑥𝑛)
= −
1
∆𝑥𝑛
 
 
Se multiplica todo por (-1) 
La fórmula que define al método de Newton Segundo Orden que resuelve la función 
f(x)=0. 
 
1
∆𝑥𝑛
= −
𝑓′(𝑥𝑛)
𝑓(𝑥𝑛)
+
1
2
𝑓′′(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 
 
Si se compara la fórmula de Newton- Raphson con la de Newton 2° Orden se puede 
afirmar que este método es mejor, ya que se considera un mayor número de términos 
de la serie de Taylor. 
 
33 
 
Por lo tanto, al aplicar el método de Newton 2° Orden a una función, se llegará más 
rápidamente a su raíz, aunque esta nueva fórmula es un tanto más complicada que la 
de Newton- Raphson. 
 
Ejemplo. Obtener una raíz de la función, por medio del método de Newtos 2° Orden 
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 
Solución 
 
Como primer paso se recomienda tabular la función, usando la división sintética para 
elegir apropiadamente el valor inicial, que se llamará 𝑥0. 
 
Para este ejercicio, se toma el valor inicial 𝑥0 = 2.5. 
En seguida, se establece para la función, expresiones para f(x), f’(x) y f’’(x). 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3 
 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 18𝑥 + 12 
 
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 18 
 
Las expresiones anteriores se introducen en el formato del método para facilitar su 
manipulación. 
 
Siempre que sea posible, se recomienda factorizar o simplificar las expresiones 
algebraicas para facilitar el proceso. 
 
El método de Newton Segundo Orden es un método numérico de aproximaciones 
sucesivas, por lo que su estructura general es 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖 
Lo cual en este caso resulta: 
 
1
∆𝑥𝑖
= −
6𝑥𝑖
2 − 18𝑥𝑖 + 12
2𝑥𝑖
3 − 9𝑥𝑖
2 + 12𝑥𝑖 − 3
+ [
2𝑥𝑖 − 3
2𝑥𝑖
2 − 6𝑥𝑖 + 4
] 
 
Nota: se ha realizado una maniobra algebraica donde ya se ha incluido ½. 
Se procede a sustituir 𝑥𝑖 por su valor inicial 𝑥0 = 2.5 
 
1
∆𝑥0
= −
6(2.5)2 − 18(2.5) + 12
2(2.5)3 − 9(2.5)2 + 12(2.5) − 3
+ [
2(2.5) − 3
2(2.5)2 − 6(2.5) + 4
] 
 
34 
 
1
∆𝑥0
= −
4.5
2
+ (
2
1.5
) 
1
∆𝑥0
= −2.25 + 1.333 
1
∆𝑥0
= −0.92 
Se procede a determinar el valor de ∆𝑥0 
 
∆𝑥0 = −
1
0.92
 
∆𝑥0 = −1.087 
Entonces, 
𝑥1 = 2.5 − 1.087 = 1.413 
 
Siguiendo este procedimiento, hasta que dos valores consecutivos en su diferencia 
absoluta sea cero o un valor dentro de una tolerancia 𝛿 preestablecida. 
Con este método, la raíz que se encontró es 
𝑥 = 0.322 
 
Evidencia de aprendizaje 1.5 
 
Encontrar las raíces, por medio del método de Newton Segundo Orden, de la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥10 − 10𝑥 + 4 
 
Se ha graficado la función y se puede observar que existen dos raíces reales positivas 
 
 
 
a. Calcular las dos raíces positivas de la función, con apoyo de software de tu elección 
 
 
x 
y 
35 
 
 
 
 
 
NIVEL 3 
 
En este nivel se pone a prueba tu pensamiento estratégico. Se trata de plantear un fin, 
analizar los medios con los que se cuentan para llegar a este, y luego se les dispone de 
tal forma que faciliten el alcance, de la mejor manera posible, considerando también el 
concepto de error. 
 
La estrategia debería involucrar una alternativa explícita, un método de solución, 
acerca de cómo abordar problemas. 
 
En esta sección esperamos que emplees los conceptos vertidos en páginas anteriores y 
el desarrollo de tus habilidades, como lo muestra la figura 1.5. 
 
Fig. 1.5 Pensamiento estratégico para la solución de sistemas no lineales 
 
 
 
 
Situación del problema… 
 
La siguiente función obedece a los pronósticos de ingresos económicos de una empresa 
de nueva creación con base en los productos que planea ofrecer a lo largo de varios 
semestres después de ser creada; el interés se encuentra en determinar el punto/los 
puntos en donde no existirán ganancias y tampoco pérdidas económicas, con el 
propósito de determinar acciones preventivas ante tales sucesos. 
Ejemplos de aplicación
Anticipar 
Analizar 
Interpretar 
Decidir 
Acción 
Aprender 
36 
 
 
El modelo matemático que representa tal situación está dado por: 
 
3 2( ) 4 10f x x x= + − 
 
La función dada, fue obtenida gracias a la cuenta de pérdidas y ganancias que pronostica 
la empresa, con base en un estudio de mercado previamente elaborado por ellos 
mismos, lo que hace la cuenta de pérdidas y ganancias es resumir los ingresos y gastos 
que se realizan en un ejercicio contable; los resultados que se obtienen en este indican 
las utilidades de la empresa, dichas utilidades están expresadas en la función propuesta. 
Cabe decir que la empresa planea realizar dos ejercicios contables por año. 
 
El punto en donde la empresa no obtiene ganancias ni perdidas, en donde su utilidad es 
igual a cero, en matemáticas se le conoce como raíz; la raíz es el punto en donde la 
función intercepta al eje de las 𝑥, en donde la función “𝑓(𝑥)” tiene un valor igual a cero. 
 
 Análisis del modelo matemático 
 
La función del problema propuesto es 3 2( ) 4 10f x x x= + − . Por regla de los signos se 
puede saber la cantidad de raíces y el tipo que son. Elmayor orden del polinomio (el 
exponente más grande de la función) indica la cantidad de raíces que se pueden 
obtener, en este caso el máximo orden del polinomio es tres (𝑥3). 
 
Existen dos tipos de raíces: real y compleja. A continuación, se presenta una tabla con 
las combinaciones de las posibles raíces que se pueden encontrar en esta función: 
http://graph.tk 
37 
 
 
Orden de la Función: 3 
Raíces Posibilidad 1 Posibilidad 2 
Raíces Reales: 3 1 
Raíces 
Complejas: 
0 2 
 
Solo se pueden encontrar dos 
posibilidades, la primera es que se 
encuentren tres raíces reales y 
cero raíces complejas. Y la 
segunda posibilidad es que se 
encuentre una raíz real, y dos 
raíces complejas. Solo existen esas 
dos posibilidades. No es posible 
tener dos raíces reales y una 
compleja, debido a que los 
números complejos van siempre 
en pares (𝑎 ± 𝑏𝑖). 
 
Al momento de graficar la función, 
se encuentra una sola raíz real (punto rojo), las raíces reales se identifican fácilmente, 
ya que la función intercepta el eje de las “𝑥”, mientras que las otras dos, se encuentran 
en el dominio de los números complejos. 
 
Recordando los componentes de la gráfica, el eje 𝑥 en el problema representa el tiempo 
dado en ejercicios contables, mientras que el eje 𝑦 representa la utilidad de la empresa, 
se desea encontrar el valor de la raíz en el eje 𝑥, que es el punto en donde sabemos el 
tiempo en donde la utilidad de la empresa es igual a cero. 
 
Los métodos numéricos de solución 
 
El método de bisección es un método iterativo que ayuda a encontrar raíces, en donde 
el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un 
intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se 
determina situándola en la mitad del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de 
signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. 
 
http://graph.t
k 
x 
y 
38 
 
Se propone utilizar este método para resolver el problema porque es un método eficaz, 
ya que se encuentra siempre se llega a la raíz si se eligió un intervalo en donde exista 
una raíz, no se necesita derivar una función polinómica, simplemente basta con sumar 
y dividir. A continuación, se presenta un algoritmo sencillo para los cálculos de la 
bisección: 
 
Paso 1: Elija valores iniciales inferior “𝑥𝑙”, que representa el límite inferior LI y superior 
“𝑥𝑢” que representa el límite superior. 
 
Lo ideal es que se realice la tabulación y en el momento que haya un cambio de signo 
en y, elegir esos valores como los límites. Otra forma de interpretar lo anterior e 
evaluando las las funciones en cada punto “𝑥𝑙” y “𝑥𝑢”, se deberá obtener un valor menor 
a un 𝛿: 
 
𝑓(𝑥𝑙) ∙ 𝑓(𝑥𝑢) < 𝛿 
 
Paso 2: Una aproximación de la raíz 𝑥𝑟 se determina mediante la obtención del punto 
medio: 
 
𝑥𝑟 =
𝑥𝑙 + 𝑥𝑢
2
 
 
Paso 3: Determina si la función es creciente o decreciente en el intervalo (𝑥𝑙 , 𝑥𝑢). La 
función será: 
 
Creciente si: Decreciente si: 
Al momento de evaluar 𝑥𝑟 en la función 
el resultado es positivo. 
 
𝑓(𝑥𝑟) > 0 
Al momento de evaluar 𝑥𝑟 en la función 
el resultado es negativo. 
 
𝑓(𝑥𝑟) < 0 
 
Paso 4: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qué subintervalo está la 
raíz dependiendo de la trayectoria de la función: 
 
a. Si 𝑓(𝑥𝑟) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior o 
izquierdo. Por lo tanto, haga 𝑥𝑢 = 𝑥𝑟 y vuelva al paso 2. 
 
b. 𝑓(𝑥𝑟) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o 
derecho. Por lo tanto, haga 𝑥𝑙 = 𝑥𝑟 y vuelva al paso 2. 
 
39 
 
c. Si 𝑓(𝑥𝑟) = 0, la raíz es igual a 𝑥𝑟, o en su caso, 𝑓(𝑥𝑟) < 𝛿; termina el cálculo. 
 
Consulte el siguiente video de los pasos del método de bisección: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=rBVrbzvOka8 
 
En la siguiente figura se muestra una 
representación gráfica del método. Solo 
representa la primeras tres iteraciones. 
 
Pero ¿Hasta qué punto se debe detener el 
cálculo de iteraciones si se tiene un 
número irracional? Bien, las operaciones 
realizadas en cada iteración tienen un cierto porcentaje de error, existen dos tipos de 
errores, el error relativo, y el error real o aproximado. 
 
El error relativo es la diferencia del resultado obtenido 𝑥𝑟1 de la nueva iteración con el 
resultado 𝑥𝑟0 de la anterior iteración, esto se expresa en porcentaje y se representa con 
la siguiente ecuación: 
 
𝐸𝑅 =
|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟|
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑢𝑒𝑣𝑜
(100) 
 
Mientras que el error aproximado es la diferencia del resultado obtenido 𝑥𝑟1 de la 
nueva iteración con el valor de la raíz verdadera, esta ecuación se aplica evidentemente 
cuando de antemano se conoce el valor de la raíz verdadera de la función, se representa 
con la siguiente ecuación: 
 
𝐸𝐴 =
|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜|
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙
(100) 
 
Estos porcentajes de error permiten conocer qué tan cercanos de la raíz estamos y a su 
vez, permitiría saber qué tan exacta es la raíz que se está calculando. En ocasiones, es 
tan pequeña la raíz que con una cantidad grande de iteraciones no se podría encontrar, 
por lo que se puede conocer el número de iteraciones necesarias para obtener una raíz 
con un porcentaje de error predefinido, se representa con la siguiente ecuación: 
 
40 
 
𝑛 = log2 (
𝛥𝑥
𝐸𝑅
) 
En donde: 
 
• 𝑛 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
• 𝛥𝑥 = 𝑥𝑢 − 𝑥𝑙 
• 𝐸𝑅 = 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 
 
Resolución… La siguiente hoja 
de cálculos se ha diseñado 
específicamente para este 
problema, a continuación, se 
explicarán sus partes. 
(Selecciona el ícono del 
documento para visualizarlo). 
Método De 
Bisección.xlsx 
La primera parte está diseñada 
para introducir datos. El 
intervalo indica los valores que 
va a tomar el método de 
bisección. El paso son los saltos 
que va a tomar la gráfica para 
hacer una representación del 
comportamiento de la función y 
ayudarnos a visualizar en 
dónde se encuentra la raíz. La 
raíz real es el valor verdadero 
de la raíz para ejemplificar el 
método. El error es el error relativo al que se quiere aproximar, este dato es procesado 
por la casilla de iteraciones necesarias para así obtener cuántas iteraciones se deben 
hacer para obtener un resultado con ese porcentaje de error deseado. 
 
Paso Raiz Real Delta It. Necesarias
x l = 1 0.1 1.365 0.01 15
xu = 4
x y
1 -5
1.1 -3.829
1.2 -2.512
1.3 -1.043
1.4 0.584
1.5 2.375
1.6 4.336
1.7 6.473
1.8 8.792
1.9 11.299
2 14
2.1 16.901
2.2 20.008
2.3 23.327
2.4 26.864
2.5 30.625
2.6 34.616
2.7 38.843
2.8 43.312
2.9 48.029
3 53
3.1 58.231
3.2 63.728
3.3 69.497
3.4 75.544
3.5 81.875
3.6 88.496
3.7 95.413
3.8 102.63
3.9 110.16
4 118
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MATERIAL DIDÁCTICO | MÉTODO DE BISECCIÓN
¡Encuentra la raíz! Inserta valores en las casillas obscuras para comenzar.
Función: Intervalo
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 −𝟏𝟎 
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
y
41 
 
La segunda parte muestra los 
resultados de las operaciones 
realizadas en la Tabla del 
método de bisección. En donde 
las casillas en rojo o verde 
indican si el resultado de la 
multiplicación es negativo o 
positivo y así saber qué hacer 
en el Paso 2 antes 
mencionado. 
 
Iteración x l x S x r f(x l ) f(x u ) f(x r )
1 1 4 2.5 -5 118 30.625
2 1 2.5 1.75 -5 30.625 7.609375
3 1 1.75 1.375 -5 7.609375 0.162109375
4 1 1.375 1.1875 -5 0.162109375 -2.68481445
5 1.1875 1.375 1.28125 -2.68481445 0.162109375 -1.33029175
6 1.28125 1.375 1.328125 -1.33029175 0.162109375 -0.60163498
7 1.328125 1.375 1.3515625 -0.60163498 0.162109375 -0.22418737
8 1.3515625 1.375 1.36328125 -0.22418737 0.162109375 -0.03214997
9 1.36328125 1.375 1.369140625-0.03214997 0.162109375 0.064701356
10 1.36328125 1.369140625 1.366210938 -0.03214997 0.064701356 0.016206182
11 1.36328125 1.366210938 1.364746094 -0.03214997 0.016206182 -0.00798926
12 1.364746094 1.366210938 1.365478516 -0.00798926 0.016206182 0.004104116
13 1.364746094 1.365478516 1.365112305 -0.00798926 0.004104116 -0.00194366
14 1.365112305 1.365478516 1.36529541 -0.00194366 0.004104116 0.001079957
15 1.365112305 1.36529541 1.365203857 -0.00194366 0.001079957 -0.00043192
TABLA DEL MÉTODO DE BISECCIÓN
RAIZ = 1.3652039
42 
 
En la tercera tabla se pude observar el cálculo de los dos tipos de 
errores que se han revisado anteriormente, muestra el error 
relativo y el error real, recordar que el error real solo se puede 
calcular cuando se conoce el valor real de la raíz. Cabe decir que 
ésta tabla se puede ocultar si no se requiere en un determinado 
momento. 
 
Para comenzar, se debe 
elegir el intervalo donde se 
desea analizar la función, se 
debe ajustar el paso para 
encontrar de manera visual 
la raíz de la función, o en el 
punto en donde la función 
toca al eje de las “x” ya que, a 
partir de este punto, la 
empresa comienza a percibir ganancia, dado que los valores de “y” representan la 
utilidad, si son negativos esos valores es dinero que debe la empresa, el eje “x” 
representa el tiempo dado en años. Por lo que la raíz nos dice en que año la empresa 
comienza a percibir ganancias. 
 
También es importante determinar el porcentaje de error que tendrá el valor que 
calculemos (Delta), ya que es importante saberlo para determinar el número de 
iteraciones que el programa debe realizar, en este caso, hemos colocado un delta de 
0.01, ya que es un porcentaje de error aceptable, en ingeniería, se le conoce a ese valor 
como el valor de error ingenieril. Una vez colocado el valor de delta que queremos, 
solito el programa determinará las iteraciones necesarias para llegar a un valor que 
dicho porcentaje de error. 
 
Como se sabe la raíz real de esta función, se empezará ingresando los siguientes datos 
para que se observen los resultados obtenidos del programa. 
 
 
Relativo Real
6.227106
5.45454545 0.732601
2.80373832 2.014652
Error (%)
43 
 
Interpretación de resultados del problema… 
 
El programa determinó que se deben realizar doce iteraciones para un delta con valor 
igual a “0.01”. La raíz obtenida tiene el valor de “1.3652”, esto quiere decir que, al cabo 
de este tiempo, la empresa llegará al punto de utilidad igual a cero, a partir de este punto 
la empresa comenzará a percibir ganancias. 
 
Las otras dos raíces complejas requieren métodos de otro tipo. 
REVISA EL EJECUTABLE DEL MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON 
Ingresa la función 3 2( ) 4 10f x x x= + − 
 
Hasta aquí ha quedado resuelto el problema. 
 
Ejemplo 
 
Situación del problema… 
 
Imagine que se tiene un tanque de agua totalmente esférico, y que es utilizado para 
abastecer un pequeño poblado que se encuentra en desarrollo. Cada mañana el tanque 
se llena con el fin de satisfacer la demanda de los habitantes, que por lo regular 
consumen 30 3m de agua al día. Considere que este tanque tiene un radio de 3 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aproxime la altura a la que debería de llegar el agua del tanque, cuando lo están 
llenando, con el fin de asegurar el abastecimiento de agua diario para la población. 
Utilice el método de Newton Raphson y determine el número de iteraciones necesarias 
Iteración x l x S x r f(x l ) f(x u ) f(x r ) Relativo Real
12 1.365185547 1.365332031 1.365258789 -0.00073428 0.001684745 0.00047519 0.00536471 0.018959
TABLA DEL MÉTODO DE BISECCIÓN
RAIZ = 1.3652588
Error (%)
44 
 
para llegar a la raíz, considerando un error de 0.01. 
 
Planteamiento del problema… 
 
Es adecuado establecer las funciones que describen el comportamiento de nuestro 
sistema: 
El volumen total de una esfera está dado por la ecuación: 
𝑽 = 
 
𝟑
 𝝅 𝒓𝟑 
 
El volumen del tanque de agua, conforme se llena respecto a su altura, está dado por la 
siguiente ecuación: 
𝑽 = 𝝅 𝒉𝟐(𝒓 − 
𝒉
𝟑
) 
 
Para ambos casos, donde: 
V = volumen [ 3m ] 
h = profundidad del agua en el tanque [m] 
r = radio del tanque [m] 
 
La realización del modelo matemático… 
 
Este modelo es una expresión matemática o función que sirve para expresar la relación 
entre las variables que existen dentro de un sistema y así poder estudiar su 
comportamiento ante distintas situaciones. 
 
Aplicándolo a nuestro ejercicio, esta función describe cómo cambia el volumen de 
líquido contenido en el tanque a medida que va cambiando la altura que alcanza el agua 
dentro de él. 
 
𝑽 = 𝝅𝒉𝟐 (𝒓 − 
𝒉
𝟑
) 
 
𝑽 = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 
𝝅
𝟑
𝒉𝟑 
 
𝒇(𝒉) = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 
𝝅
𝟑
𝒉𝟑 − 𝑽 
1. Se presenta la función tal cual 
fue presentada en el ejercicio 
2. Se descompone la operación 
dentro del paréntesis. 
3. La función se iguala a 0 o f(h), 
así, se obtiene una función 
dónde la variable será la 
altura “h”. 
 
45 
 
 
 
Con la función, se pueden realizar distintas interpretaciones de la misma: 
 
𝒇(𝒉) = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 
𝝅
𝟑
𝒉𝟑 − 𝑽 
 
“h” o altura, es la variable cuyo valor nos dará el volumen deseado. 
 “r” es el radio del tanque, un parámetro determinado por el ejercicio. Es igual a 3 
metros. 
El signo negativo acompañando al monomio de mayor grado indica que es una función 
principalmente decreciente. 
El volumen es nuestro valor deseado u objetivo, fijado en 30 metros cúbicos o 30,000 
litros de agua. 
El polinomio es de tercer grado, por lo tanto, tendrá 3 raíces solución, donde las 
combinaciones de raíces reales e imaginarias podrían ser las siguientes: 
Caso 
Número de raíces 
reales 
Número de raíces 
complejas 
Número total de 
raíces 
I 3 0 3 
II 1 2 3 
 
A partir del planteamiento del problema se pueden obtener algunas restricciones que 
limitarán los resultados: 
 
𝑟 > 0 El radio del tanque tendrá que ser mayor a 0, de lo contrario no existiría el 
tanque. 
 
ℎ ≥ 0 La altura que alcanza el agua dentro del tanque tendrá que ser mayor o igual a 
0, así, se puede asegurar un volumen nulo o positivo de agua dentro del tanque. 
 
ℎ ≤ 6 La altura del agua no podrá superar los 6 metros de altura, al llegar esta marca 
el tanque estará en su máxima capacidad debido a que su radio es de 3 metros y es 
totalmente esférico. 
 
 La tolerancia para este caso se toma como 0.01. 
v 
v 
Nota: La manipulación algebraica para obtener el modelo matemático puede variar, sin 
embargo, es importante recordar que su derivada (parte de la resolución por el método de 
Newton Raphson) se puede obtener de forma analítica o mediante el uso de software, donde 
el programa determinará la derivada de la función sin mayor problema. 
 
46 
 
 
Teniendo la función, se sustituirán los valores de los parámetros para un mejor análisis: 
𝒇(𝒉) = 𝒓𝝅𝒉𝟐 − 
𝝅
𝟑
𝒉𝟑 − 𝑽 𝒇(𝒉) = 𝟑𝝅𝒉𝟐 − 
𝝅
𝟑
𝒉𝟑 − 𝟑𝟎 
 
Para ayudar a determinar las raíces o tener un mayor acercamiento a la solución del 
problema, se deberá recurrir al método gráfico, sustituyendo los valores de nuestros 
parámetros: 
𝑓(ℎ) = 𝑟𝜋ℎ2 − 
𝜋
3
ℎ3 − 𝑉 ; 𝑓(ℎ) = 3𝜋ℎ2 − 
𝜋
3
ℎ3 − 30 ; 𝑓(ℎ)
= 3𝜋ℎ2 − 
𝜋
3
ℎ3 − 30 
 
 
 
 
Gráfica realizada en https://www.desmos.com 
 
*Se puede observar que la función tiene tres raíces reales, (x1=-1.64, x2=2.028 y 
x3=8.614), de las cuales una es negativa (-1.64), por lo tanto, queda descartada de las 
posibles soluciones, además para el método de Newton-Raphson es necesario contar 
con un punto inicial (𝑥𝑖) para aproximar la solución en el menor número de iteraciones, 
pudiendo ser 2 u 8 para llegar a las raíces deseadas, siendo 2.028 y 8.614 las raíces 
positivas. 
47 
 
Resolución por Newton Raphson (MATLAB). 
 
Para plantearel programa es necesario establecer la información que se nos otorgó 
inicialmente: 
La función que describe el sistema: 𝒇(𝒉) = 𝟑𝝅𝒉𝟐 − 
𝝅
𝟑
𝒉𝟑 − 𝟑𝟎 
El método numérico a utilizar: Newton-Raphson 
La fórmula del método numérico: 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 −
𝒇(𝒙𝒊)
𝒇′(𝒙𝒊)
 
Error permitido: 0.001 
 
Punto de inicio (𝑥𝑖): 2 u 8 para que la convergencia se lleve a cabo en la menor 
cantidad de iteraciones posibles. 
 
 
 
MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente 
integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados 
elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. MATLAB integra 
análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un 
entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo 
modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la 
programación tradicional. 
A continuación, se muestran las pantallas obtenidas tras programar el método de 
Newton-Raphson y resolver el ejercicio utilizando MATLAB: 
 
 
48 
 
El programa encuentra una solución en 2.02691 cuando se le da un valor inicial (xi) de 3, luego de 
realizar 3 iteraciones. 
 
Observe como con este método la función converge rápidamente, obteniendo la raíz positiva que 
se observó al graficar la función. 
 
Interpretación de los resultados… 
 
Es posible determinar entonces que cuando el agua alcance una altura de 2.026 metros dentro 
del tanque, este contendrá los 30 metros cúbicos de agua requeridos para sustentar al pequeño 
poblado que lo requiere. Esto también se puede comprobar sustituyendo este valor en la función 
inicial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hasta aquí ha quedado resuelto el problema… 
 
Nota: Como se pudo observar en la gráfica hay otra raíz positiva en 8.61. Por lo tanto, se 
ejecutará el programa nuevamente con el fin de llegar a este valor, fijando un punto inicial 
cercano “8”. 
Radio = 3 
metros 
Altura = 2.02691 
metros 
 
𝑉 = 𝜋 ℎ2 (𝑟 − 
ℎ
3
) 
𝑉 = 𝜋 (2.02691𝑚)2 (3𝑚 − 
2.02691𝑚
3
) 
𝑽 = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏 𝒎𝟑 
V 
49 
 
 
 
El programa encuentra una solución en 8.61391 cuando se le da un valor inicial (xi) de 8, luego de 
realizar 4 iteraciones. 
Recordando nuestra restricción: 
 
ℎ ≤ 6 La altura del agua no podrá superar los 6 metros de altura, al llegar esta marca el tanque 
estará en su máxima capacidad debido a que su radio es de 3 metros y es totalmente esférico. 
 
Está claro entonces que este valor es irreal para nuestro caso, es decir, no es solución de nuestro 
ejercicio. 
 
 
Evidencia de aprendizaje 1.6 
 
Muchas ecuaciones de gases describen la relación PVT, una de ellas es la de Beattie-Bridgeman: 
𝑃 =
𝑅𝑇
𝑉
+
𝛽
𝑉2
+
𝛾
𝑉3
+
𝛿
𝑉4
 
P= Presión 
V=Volumen molar 
T= Temperatura 
𝛽, 𝛾, 𝛿 son parámetros dependientes de las características del gas, bajo estudio 
R= Constante universal de los gases 
 
Encontrar el volumen molar V del gas. Se sugiere usar el método de Newton Raphson. 
Evidencias de aprendizaje
50 
 
 
La función se debe reescribir en términos de f(V) para el cálculo de su derivada: 
𝑓(𝑉) = 𝑅𝑇𝑉−1 + 𝛽𝑉−2 + 𝛾𝑉−3 + 𝛿𝑉−4 − 𝑃 
 
a. Obtener la derivada de la función 
Toma una fotografía y súbela 
 
 
 
 
b. ¿Cómo quedaría la fórmula iterativa de Newton-Raphson? 
Toma una fotografía y súbela 
 
 
 
c. Investigar, ¿cuál sería el criterio de convergencia para Newton- Raphson? 
Toma una fotografía y súbela 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 1.7 
 
Comprobar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20, tiene una raíz de x=1.368808107. Utilizar 
los métodos de bisección y de Newton Rahpson. 
a. Mostrar la tabulación de la función 
 
 
 
 
b. Subir la tabla de iteraciones del método de bisección 
 
 
 
 
 
c. Subir la tabla de iteraciones por el método de Newton- Raphson 
 
 
 
51 
 
 
 
d. ¿Qué se concluye de ambos métodos? 
 
 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 1.8 
 
Utilizar el algoritmo de Newton- Raphson para calcular el volumen con las siguientes condiciones 
P= 778 kPa 
T= 350°K 
a= 365𝑚6 𝐾𝑃𝑎/(𝐾𝑔 −𝑚𝑜𝑙)2 
b=0.3 𝑚3/𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙 
R=1.618 
𝑃 =
𝑅𝑇
𝑉 − 𝑏
−
𝑎
𝑉(𝑉 + 𝑏) + 𝑏(𝑉 − 𝑏)
 
 
a. Explica la relación del problema con la búsqueda de raíces. Si requiere hacer un esquema para 
conectar tus ideas, adelante. 
 
 
 
 
b. Determinar el grado de la ecuación 
 
 
 
 
c. Definir el comportamiento de la curva 
 
 
 
 
d. Aplicar la Regla de los signos de Descartes 
 
 
52 
 
 
 
e. Tabular 
 
 
 
 
f. Graficar 
Toma una impresión de pantalla y súbela 
 
 
 
g. ¿Por qué es preferible usar el algoritmo de Newton- Raphson? 
 
 
 
 
h. Aplicar el algoritmo de Newton- Raphson 
Toma una fotografía y súbela 
 
 
 
NIVEL 4 
 
 
 
 
En este nivel se requiere de una investigación, tiempo para pensar y analizar las múltiples partes 
del problema. 
Demanda de tu parte asertividad y perseverancia. 
 
Se comienza por presentar el algoritmo, esto facilita la codificación del mismo en cualquier 
lenguaje de programación, para hacer adecuaciones pertinentes si son necesarias. Una forma de 
comenzar es con el pseudocódigo, o sea, describir con lenguaje natural, las acciones sucesivas y 
lógicas que constituyen al método numérico elegido. Por ejemplo, se presentan los algoritmos de 
Bisección y de Método de Newton- Raphson: 
Tu proyecto
53 
 
 
 
 
 
54 
 
 
La codificación del algoritmo se ha llevado a la programación en MATLAB. El programa proporciona una 
gráfica que funciona como punto de partida para la evaluación de la función. A continuación se presenta el 
código (el texto en color verde, son comentarios para la comprensión del programa). 
 
55 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 1.9 
Proyecto 
 
Tomar en cuenta la evidencia de aprendizaje 1.6 y con base en el problema ahí descrito, 
elaborar un programa de computadora en un lenguaje de uso general (el que tú 
conozcas) para resolver el caso por 
Método de bisección 
Método de Newton-Raphson 
Método de Newton 2° orden 
 
1.9a Construir el pseudocódigo y diagrama de flujo para los tres métodos (te 
recomendamos ampliamente usar la aplicación de lucid chart) (Ingeniería Civil, 
Ingeniería Eléctrica Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica). 
 
 
Evidencia de aprendizaje
56 
 
 
1.9 Generar el programa fuente y presentar el programa ejecutable para los tres 
métodos (Ingeniería en Computación) 
 
1.9a Realizar una tabla comparativa con las características de los tres métodos, 
tomando en cuenta el concepto de error (Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica 
Electrónica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica). 
 
 
¿No te fue bien en alguno de los niveles?, ¿Crees que puedes mejorar su nivel de 
aprendizaje?, ¿simplemente quieres seguir experimentando?... Bienvenido a “Ponte 
a prueba” 
 
Test de reposición 
 
Bienvenido a la siguiente prueba sobre el tema “Raíces de polinomios”. 
Lee con atención y contesta lo que se te solicite. 
 
1. Pruebe resolver la función 3 2( ) 4 10f x x x= + − mediante algún otro método 
numérico y compare las ventajas y desventajas que encontró al usarlo con respecto al 
método de bisección. 
 
Método de Bisección comparado con:_____________________________ 
Ventajas de Bisección Desventajas de Bisección 
 
1) 
 
1) 
 
2. ¿En qué punto una empresa con un pronóstico de ventas 2( ) 6f x x x= + − 
recuperará su inversión y empezará a percibir ganancias? El periodo contable se 
pronosticó mensualmente. 
a. Tabule función de (-5, 5). ¿En qué intervalo se encontraron los cambios de signo? 
(Realiza una tabulación). Elige la opción correcta 
i. i. [-4,-2] y [1,4] ii. ii. [-4,-2] y [2,4] iii. iii. [-1,-2] y [1,2] 
 
b. Evaluarla función 2( ) 6f x x x= + − (con todo su análisis). 
57 
 
c. Aplicar el método de bisección y explicar que se ha realizado en cada paso. 
d. Interprete físicamente los resultados de todas las raíces. 
 
3. Se tiene la siguiente función: 3 2( ) 8 10f x x x= + − 
a. Tabule y grafique la función y determine todas las combinaciones posibles de los 
tipos de raíces que se pueden encontrar, seleccione la posibilidad correcta. 
b. ¿Cuál es el valor de las tres raíces? 
 
4. (Recomendado para eléctricos, mecánicos, industriales) Se carga una viga de la 
manera que se aprecia en la figura siguiente. Emplee el método de bisección para 
encontrar la posición dentro de la viga en donde no hay momento. 
 
a. Encontrar las reacciones en los apoyos RA y RB. 
b. Realizar el diagrama de esfuerzos cortantes del sistema. 
c. Realizar el diagrama de momentos del sistema. 
d. Definir ecuación que describe el esfuerzo cortante en 0 < 𝑥 < 3. 
58 
 
e. Utilizando la ecuación anterior y el método de bisección, encontrar los puntos 
en donde no hay esfuerzo cortante en la viga. 
f. Definir la ecuación que describe el momento en 0 < 𝑥 < 3. 
g. Utilizando la ecuación anterior y el método de bisección, encontrar los puntos 
en donde no hay momento en la viga. 
h. Graficar las funciones V y M 
 
5. Se han presentado dos pseudocódigos, uno para el método de bisección, y el otro, 
para el de Newton Raphson. Con base en lo anterior, y ya sea en forma de pseudocódigo 
y/ o lenguaje de programación, realizar lo siguiente: 
 
a) En caso de no indicar los límites del intervalo, generar el subprograma que 
solicite dichos límites (solicitud de límite superior e inferior). 
b) Generación de un módulo de solicitud de delta. 
c) Presentación de Resultados. 
d) Generar un módulo para solicitar una nueva corrida. 
 
Preguntas de reflexión 
 
Lee con atención las preguntas, y contesta lo que se te pide. 
 
1. ¿Cuáles fueron las principales ideas o conceptos matemáticos que aprendieron 
durante el desarrollo de la unidad? 
 
2. ¿Qué preguntas tienes aún sobre los métodos usados en la unidad? 
 
3. Describe un error o malinterpretación que algún compañero tuvo con el estudio 
de este tema. 
 
4. ¿Qué nuevo vocabulario aprendiste? Genera una oración con esos términos. 
 
5. ¿Qué fortalezas y debilidades notas de esta forma de evaluar el aprendizaje? 
 
6. ¿Qué TIC emplearon para el desarrollo del proyecto? 
 
7. ¿Los problemas propuestos son modelos reales que te preparan para tu futuro 
profesional? 
 
 
 
59 
 
Rúbrica de evaluación 
 
La rúbrica que a continuación se presenta, se orienta a evaluar el aprendizaje en 
términos de qué tan profundo se ha comprendido el contenido presentado, con el fin de 
interactuar con este en forma exitosa. 
 
Comprende 4 niveles de comprensión. El nivel 1, se orienta a la reproducción y 
memorización de un hecho, término, principio, concepto, así como a la ubicación de 
detalles. Puede llegar hasta la solución de problemas rutinarios no complejos. 
 
El nivel 2 trata con la aplicación de habilidades y conceptos. Se trata de organizar y 
mostrar información. Interpretar gráficos, resumir, identificar las ideas principales, 
explicar relaciones. Hacer uso de la información, del conocimiento conceptual que 
conlleva a seleccionar el procedimiento básico apropiado para una tarea dada, tomar 
decisiones y resolver. 
 
El nivel 3, es una naturaleza estratégica. Requiere razonamiento o desarrollo de un plan 
o secuencia de pasos para aproximarse al problema, requiere toma de decisiones. Se 
trata de hacer justificaciones en cada etapa de resolución de problemas y de presentar 
evidencia de lo mismo. 
 
El nivel 4, tiene que ver con la creación. Puede ser una investigación y/o aplicación de 
un problema del mundo real. Requiere tiempo para investigar y para resolver 
problemas no rutinarios. La resolución del problema requiere visualizar múltiples 
condiciones, además de hacer manipulaciones no rutinarias. Sintetizar información en 
forma interdisciplinaria, ya sea con contenidos, áreas, fuentes, etc. 
 
La rúbrica se presenta por niveles. 
 
Para el nivel 1 el estudiante debe cumplir con 6 metas de aprendizaje para acceder al 
nivel 2. 
Si el estudiante cumple hasta un mínimo de 4 puntos accede al nivel 2 con las 
recomendaciones pertinentes que realice el profesor. 
 
Con un puntaje menor a 4, se le recomendará al alumno que afiance el nivel 1, y realice 
los problemas pertinentes del test de reposición. 
Cada rubro tiene un valor de un punto. 
 
60 
 
Nivel de comprensión1 Evidencia de 
aprendizaje 
Puntaje 
Reproduce el concepto de raíz 1.1a, 1.1b 2 
Ubica detalles de una función e interpreta 
su comportamiento 
1.2a, 1.2b, 1.2c, 
1.2d 
4 
 
Con un puntaje igual o mayor a 5, el alumno puede continuar con el nivel 3. 
Cada rubro tiene un valor de un punto. 
 
Nivel de comprensión 2 Evidencia de 
aprendizaje 
Puntaje 
Interpreta las propiedades de funciones y 
visualiza la vecindad donde se pueden 
encontrar las raíces de una función. 
 
1.3a, 1.3b, 1.3c 4 
Resuelve problemas rutinarios en 
múltiples etapas 
 
1.4a, 1.4b, 1.4c 3 
Aplica el concepto de raíz, mediante la 
identificación de patrones de un evento y 
su efecto. 
 
1.5 1 
 
Con un puntaje igual o mayor a 8, el alumno puede continuar con el nivel 4. 
Cada rubro tiene un valor de un punto. 
Nivel de comprensión 3 Evidencia de 
aprendizaje 
Puntaje 
Construye una representación que muestra 
como se ve y/o funciona un caso 
1.6a, 1.6b, 1.7a, 
1.7b, 1.7c 
5 
Cita evidencia y desarrolla un argumento 
lógico para hacer conjeturas. 
1.6c, 1.7d, 1.8a, 
1.8g 
4 
Resuelve el problema y analiza escenarios 
distintos 
1.8b, 1.8c, 
1.8d,1.8e, 1.8h 
5 
 
 
Nivel de comprensión 4 Evidencia de 
aprendizaje 
Puntaje 
Sintetiza ideas en nuevas representaciones 1.9 3 
Conduce una investigación sobre el 
problema resuelto. 
1.9a 1