Formulas metodo Biseccion

Vista previa del material en texto

MÉTODO DE BISECCIÓN 
Introducción 
Desde hace años usted aprendió a usar la formula cuadrática: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Para resolver: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
A los valores calculados con la ecuación (𝑷𝟏) se les llamas las “raíces” de la 
ecuación (𝑷𝟐), que representan los valores de 𝑋 que hacen a la ecuación (𝑷𝟐) 
igual a cero. Por lo tanto, se define la raíz de una ecuación con el valor de 𝑋 que 
hace 𝒇(𝒙) = 𝟎. Debido a esto, algunas veces a las raíces se les conoce como ceros 
de la ecuación. 
Antes de la llegada de las computadoras digitales se disponía de una serie de 
métodos para encontrar las raíces de las ecuaciones algebraicas y trascendentes. 
En algunos casos, las raíces se obtenían con métodos directos, como se hace con 
la ecuación (𝑷𝟏). Sin embargo, existen ecuaciones como esta que se resuelven 
directamente y aparecen muchas más en las que no es posible encontrar su 
solución. Por ejemplo, incluso una función tan simple como 𝒇(𝒙) = 𝒆−𝒙 − 𝒙 no se 
puede resolver en forma analítica. En tales casos, la única alternativa es una técnica 
con solución aproximada. 
 
FUNCIONES TRANSCENDENTALES 
Por definición, una función dada por 𝒚 = 𝒇(𝒙) es algebraica si se expresa de la 
forma: 
𝒇𝒏(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙
𝟐+. . . +𝒂𝒏𝒙
𝒏 
En los siguientes ejemplos, se demuestra ejemplos de cómo se calculan valores 
de 𝑥: 
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1 
𝑥2 − 1 = 0 → (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 → 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 1 
𝑥3 − 2𝑥2 + 6𝑥 = 0 
 
Las funciones transcendentales son funciones que no son algebraicas. 
Comprenden las funciones trigonométricas, las funciones exponenciales, funciones 
logarítmicas y otros menos familiares. Algunos ejemplos son: 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒆−𝟎.𝟐𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙 − 𝟎. 𝟓) 
 
Metodos de solución (ecuaciones no lineales): 
• Métodos cerrados: bisección y regla falsa. 
• Métodos abiertos: punto fijo, Newton Raphson 
 
 
METODOS CERRADOS 
Este capítulo trata sobre raíces de ecuaciones se ocupa de métodos que 
aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en la vecindad de una 
raíz. A estas técnicas de les llama 
métodos cerrados, o de intervalos, 
porque se necesita de dos valores 
iniciales para la raíz. Como su 
nombre lo indica dichos valores 
iniciales deben “encerrar”, o estar 
a ambos lados de la raíz. Los 
métodos particulares descritos 
aquí emplean diferentes 
estrategias para reducir 
sistemáticamente. 
El método de bisección conocidos también como de “corte binario”, de 
“participación”, de “intervalos” o de “Bolzano”, es un tipo de búsqueda incremental 
𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo 
sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en un punto medio. La posición 
de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del 
cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor 
aproximación. 
EJEMPLO 
Utilice el método de bisección para obtener una raíz real del polinomio, detenga el 
proceso iterativo hasta que el error porcentual sea menor al 1%. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 10𝑥 − 20 
 
Este polinomio tiene un solo cruce en el 
eje de las x eso quiere decir que este 
polinomio tiene una raíz real en este 
caso no podemos hacerlo 
analíticamente porque la raíz que tiene 
no es entera ni un numero racional, es 
un numero irracional tenemos que 
aplicar el método numérico 
 
 
 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 2 a = 1 b = 2 
 
𝑓(1) = (1)3 + 2(1)2 + 10(1)– 20 = 1 + 2 + 10 − 20 = −7 → 𝑓(a) = ( − ) 
𝑓(2) = (2)3 + 2(2)2 + 10(2)– 20 = 8 + 8 + 20 − 20 = 16 → 𝑓(b) = ( + ) 
 
 
 
Cálculo de Iteraciones: 
1er Iteración. 
𝑐 =
𝑎+𝑏
2
 → Calculamos la raíz aproximada 
𝑐 =
1+2
2
=
3
2
= 1.5 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.5)3 + 2(1.5)2 + 10(1.5)– 20 = 2.875 
f(c) = 2.875 → El valor de 𝑐 pasa a ser 𝑏 porque es positivo 
 
2da Iteración. 
𝑐 =
1+1.5
2
= 1.25 → Calculamos la raíz aproximada 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.25 )3 + 2(1.25 )2 + 10(1.25 )– 20 = −2.42188 
f(c) = −2.42188 → El valor de 𝑐 pasa a ser 𝑎 porque es negativo 
 
Ahora si podemos calcular el Error Porcentual, tomando como 𝑥𝑖 la raíz aproximada 
de la iteración anterior, y 𝑥𝑖−1 como el valor de la raíz aproximada de esta iteración, 
y sustituirlo en la siguiente operación: 
𝐸𝑃% = |
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑥𝑖
| × 100 
Calculamos el Error Porcentual: 
𝐸𝑃% = |
1.5 − 1.25
1.5
| × 100 = 20% 
 
3ra Iteración. 
𝑐 =
1.25+1.5
2
= 1.375 → Calculamos la raíz aproximada 
 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.375)3 + 2(1.375)2 + 10(1.375)– 20 = 0.13086 
f(c) = 0.13086 → El valor de 𝑐 pasa a ser 𝑏 porque es positivo 
Calculamos el Error Porcentual: 
𝐸𝑃% = |
1.25 − 1.375
1.25
| × 100 = 9.0909% 
 
4ta Iteración. 
𝑐 =
1.25+1.375
2
= 1.31250 → Calculamos la raíz aproximada 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.31250 )3 + 2(1.31250 )2 + 10(1.31250)– 20 = −1.16870 
f(c) = −1.16870 → El valor de 𝑐 pasa a ser 𝑎 porque es negativo 
 
Calculamos el Error Porcentual: 
𝐸𝑃% = |
1.375 − 1.31250
1.375
| × 100 = 4.76190% 
 
5ta Iteración. 
𝑐 =
1.31250+1.375
2
= 1.34375 → Calculamos la raíz aproximada 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.34375)3 + 2(1.34375)2 + 10(1.34375)– 20 = −0.52481 
f(c) = −0.52481 → El valor de 𝑐 pasa a ser 𝑎 porque es negativo 
 
Calculamos el Error Porcentual: 
𝐸𝑃% = |
1.31250 − 1.34375
1.31250
| × 100 = 2.32558% 
 
 
6ta Iteración. 
𝑐 =
1.34375+1.375
2
= 1.35938 → Calculamos la raíz aproximada 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.35938 )3 + 2(1.35938 )2 + 10(1.35938)– 20 = −0.19846 
f(c) = −0.19846 → El valor de 𝑐 pasa a ser 𝑎 porque es negativo 
 
Calculamos el Error Porcentual: 
𝐸𝑃% = |
1.375 − 1.31250
1.375
| × 100 = 1.14979% 
 
7ma Iteración. 
𝑐 =
1.35938+1.375
2
= 1.36919 → Calculamos la raíz aproximada 
Sustituimos el valor en la función: 
𝑓(𝑐) = (1.36919)3 + 2(1.36919)2 + 10(1.36919)– 20 = −0.3412 
f(c) = −0.3412 → El valor de 𝑐 pasaria a ser 𝑎 porque es negativo 
 
Calculamos el Error Porcentual: 
𝐸𝑃% = |
1.31250 − 1.34375
1.31250
| × 100 = 0.57% 
 
 
Continuando así con las iteraciones hasta que el valor de |𝑓(𝑐)| < 1 , daría 
resultados así: 
 
 
 
𝒂 𝒃 𝒑 𝑭(𝒑) 𝑬𝒑 % < 𝟏 
1 2 1.5 2.875 − 
1 1.5 1.25 −2.42188 20% 
1.25 1.5 1.375 0.13086 9.0909% 
1.25 1.375 1.31250 −1.16870 4.76190% 
1.31250 1.375 1.34375 −0.52481 2.32558% 
1.35938 1.375 1.35938 −0.19846 1.14979% 
1.34375 1.375 1.36919 −0.3412 0.57% 
1.36719 1.375 1.37110 0.04828 0.28% 
1.36719 1.37110 1.36915 0.00711 0.14%