Métodos Numéricos

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Métodos Numéricos
Objetivo
Comprender la importancia del uso de los métodos numéricos aplicado a 
problemas relacionados de ingeniería. 
Introducción
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible 
formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando 
operaciones aritméticas, los cuales en muchos casos se realizan con un buen 
número de tediosos cálculos aritméticos. 
Métodos sin Computadora
La disponibilidad creciente de las computadoras y su asociación con los métodos 
numéricos han influido de manera significativa en el proceso de la solución actual 
de los problemas de ingeniería. 
Antes de la computadora
1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando métodos 
exactos o analíticos.
2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones 
gráficas, las cuales tomaban la forma de gráficas o monogramas. 
3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas 
de cálculo. 
Importancia de Estudiar Métodos Numéricos
1. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de 
problemas. 
2. En el transcurso de la carrera, es posible que usted como estudiante tenga la 
oportunidad de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas 
“enlatados” que contengan métodos numéricos.
3. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas 
“enlatadas”. 
4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de 
las computadoras. 
5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las 
matemáticas. 
Métodos Numéricos que se Considerarán 
Cifras Significativas 
Son las que aportan alguna información. Representa el uso de una o más 
escaladas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. 
Cifra Significativa
El concepto de cifra significativa o dígitos significativos se ha desarrollado para 
designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Son aquellas que 
pueden utilizarse en forma confiable. 
Exactitud y Precisión
La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del 
valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos 
de otros, diversos valores calculados o medidos. 
Sesgo 
La inexactitud o sesgo se define como una desviación sistemática del valor 
verdadero. 
Incertidumbre
La imprecisión o incertidumbre se refiere a la magnitud en la dispersión de los 
disparos. 
Conclusión 
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para 
satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También debe 
ser suficientemente precisos para ser adecuados al diseño de la ingeniería. 
Errores 
Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar 
operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de 
truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento 
matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan 
números que tienen un límite de cifras significativas para representar números 
exactos. 
Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se trata 
del error “verdadero” (true). 
Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se 
evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero: 
Ejercicio
Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y un remache, y se 
obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 
cm. Calcule
A. El error verdadero.
B. El error relativo porcentual verdadero en cada caso. 
Si observamos en las fórmulas anteriores E y Ɛ tienen un subíndice t que significa 
el error ha sido normalizado al verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales 
a veces es difícil contar con tal información. En los métodos numéricos, el valor 
verdadero sólo se conocerá cuando tengan funciones que se resuelven 
analíticamente. 
En estos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la estimación 
posible al error verdadero
Donde el subíndice significa que el error está normalizado en un error 
aproximado. 
Uno de los retos que enfrentan los métodos numéricos es el de determinar 
estimaciones del error en ausencia del conocimiento de los valores verdaderos. 
Ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. 
En tales procedimientos se hace una aproximación considerando la aproximación 
anterior. Por lo tanto el error relativo porcentual está dado por:
Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos. Si la 
aproximación es mayor que el valor verdadero, el error es negativo; si la 
aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo. No importa 
mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea 
menor que una tolerancia porcentual prefijada Ɛs
[Ɛa] < Ɛs
Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras 
significativas en la aproximación. Es posible demostrar que si el siguiente criterio 
se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n 
cifras significativas. 
Estimación del error con métodos iterativos
En matemáticas con frecuencia las funciones se representan mediante series 
infinitas. Por ejemplo, la función exponencial se calcula usando
Cuanto más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada vez 
más una mejor estimación del valor verdadero. La ecuación se conoce como 
expansión en series de Maclaurin. 
Ejercicio
Empezando con el primer término ex = 1 y agregando término, estime el valor de 
e0.5. Después de agregar cada término, calcule los errores: relativo porcentual 
verdadero y normalizado a un valor aproximado usando las ecuaciones anteriores 
respectivamente. Obsérvese que el valor verdadero es e0.5 = 1.648721. Agregues 
términos hasta que el valor absoluto el error aproximado Ɛa sea menor que un 
criterio de error preestablecido Ɛs con tres cifras significativas. 
Errores de Redondeo
Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un 
número determinado de cifras significativas durante un cálculo. 
Sistemas Numéricos 
Es simplemente una convención para representar cantidades. Esta 
representación pueden ser de forma decimal o binario de acuerdo a la alternativa 
que lo represente. 
Representación Entera
Para concebir que los enteros se puedan representar en la computadora, se usa 
el método de magnitud con signo y emplea el primer bit de una palabra para 
indicar el signo: con un 0 para positivo y un 1 para negativo. 
Rango de Enteros Ejercicio
Determine el rango de enteros de base 10 que pueda representarse en una 
computadora de 16 bits. 
Representación del punto-flotante
Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora
usando la forma de punto flotante. Con este método, el número se expresa como
una parte fraccionaria, llamada mantisa o significando, y una parte entera,
denominada exponente o característica, esto es,
Determine un conjunto hipotéticos de números con punto flotante para una 
máquina que guarda información usando palabras de 7 bits. Emplee el primer bit 
para el signo del número, los siguientes tres para el signo y la magnitud del 
exponente, y los últimos tres para la magnitud de la mantisa. 
En la figura se presentan diversos aspectos de la representación de punto 
flotante, que son importantes respecto de los errores de redondeo en las 
computadoras. 
● El rango de cantidades que puede representarse es limitado.
● Existe sólo un número finito de cantidades que pueden representarse dentro 
de un rango.
● El intervalo entre los números Δx, aumenta conforme a los números crecen 
en magnitud.
Objetivo 
Estudiar diversos métodos para resolver ecuaciones no lineales en una incógnita, 
f(x) = 0, aprovechandolos conceptos básicos del cálculo y las posibilidades 
gráficas y de cómputo de la tecnología moderna. 
Introducción
Uno de los problemas más frecuentes en ingeniería es encontrar las raíces de 
ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es una función real de una variable x, 
como un polinomio en x
Existen distintos algoritmos para encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, pero 
ninguno es general, es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas las 
ecuaciones. 
En muy pocos casos es posible obtener las raíces exactas de f(x) = 0, como 
cuando f(x) es un polinomio factorizable, tal como
Método Gráfico
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0
consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto, que
representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la
raíz.
Ejercicio 
Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario 
para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s 
después de una caída libre de t = 10s. La aceleración de la gravedad es de 9.81 
m/s2
Dato
Las técnicas gráficas tiene un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin 
embargo, los métodos gráficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raíz. 
Dichas aproximaciones se pueden usar como valores iniciales en los métodos 
numéricos analíticos. 
La interpretaciones gráficas, además de proporcionar estimaciones de la raíz, son 
herramientas importantes en la compresión de las propiedades de las funciones y 
en la prevención de las fallas de los métodos numéricos. 
Método de Bisección
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de 
intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo 
se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se 
evalúa el valor de la función en el punto medio. 
Ejercicio 2
Emplee el método de bisección para resolver el problema anterior. 
Criterios de paro y estimaciones de errores
Se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe de terminar el 
método. Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero 
se encuentre por debajo del nivel prefijado. 
Por lo tanto, es necesario estimar el error de forma tal que no se necesite el 
conocimiento previo de la raíz. 
Continuar el ejemplo anterior hasta que error aproximado sea menor que el error 
estimado y error verdadero
Aunque el error aproximado no proporciona una estimación exacta del error
verdadero, la figura que se muestra sugiere que Ɛa toma la tendencia general
descendente de Ɛt. Además la gráfica muestra una característica muy interesante:
que Ɛa siempre es mayor que Ɛt. Por lo tanto, cuando Ɛa es menor que Ɛs los
cálculos se pueden terminar, con la confianza de saber que la raíz es al menos
tan exacta como el nivel aceptable predeterminada.
Método de Bisección
Ventajas: 
● Siempre converge
● Útil como aproximación inicial de otros métodos. 
Desventajas: 
● No tiene en cuenta la magnitud de las valores de la función en las 
aproximaciones calculadas, solo tiene en cuenta el signo f(x), lo que hace 
que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase 
desapercibida. 
● Convergencia lenta. 
Método de la Falsa Posición
Este método, como el método de bisección, parte de dos puntos que rodean a la 
raíz f(x)=0, es decir, dos puntos XI y Xu tales que f(XI)f(XU) < 0. La siguiente 
aproximación, Xr, se calcula como la intersección en el eje X de la recta que une 
ambos puntos empleando la ecuación 
La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de 
la bisección: entre ambos intervalos, [XI,Xr] y [Xr,Xu] se toma aquel que cumpla 
f(XI)f(Xr) < 0; f(Xr)f(XU) < 0.
Método de la Falsa Posición
Ejercicio
Con el método de la falsa posición determine la raíz de la misma ecuación 
analizada en los ejemplos anteriores. 
Métodos Numéricos
Métodos de Solución de Sistemas Ecuaciones
Objetivo
Aplicar los métodos numéricos para la solución de sistemas de ecuaciones 
lineales mediante la aplicación de los métodos de solución clásicos. 
Introducción
Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula 
puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada 
iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo).