LP SEMANA 15

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Asignatura:
Lenguaje de Programación
Ms. Henrry R. Ochoa León 
2020
Docente: 
Semana: 
15
 Los métodos de intervalos aprovechan el hecho de que una función en forma típica cambia de signo en la vecindad de una raíz. Reciben dicho nombre debido a que se necesita de dos valores iníciales que deben “encapsular” a la raíz. 
Los métodos abiertos, en contraparte, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor inicial x (aproximación inicial a la raíz). Algunas veces, estos métodos se alejan del valor real de la raíz conforme crece el número de iteraciones, es decir, divergen.
RAÍCES DE ECUACIONES
METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES
Método de la Bisección
Método de la Secante
Método del Punto Fijo 
Método de Newton
MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA ECUACIONES NO LINEALES
3
Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 donde f es continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, f debe tener al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f (b), ó f (b) y f(c) tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre.
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
Elija valores Iniciales para “a” y “b” de forma tal que lea función cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que: 
f(a)*f (b) < 0
La primera aproximación a la raíz se determina con la formula: 
xn = (a + b) / 2
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo se encuentra la raíz: 
f(a)*f(xn ) < 0 Entonces  b = xn 
f(a)*f(xn) > 0 Entonces  a = xn 
f(a)*f(xn) = 0 Entonces xn Es la Raíz
PROCEDIMIENTO PARA EJECUTAR 
EL PROGRAMA
Calcule la nueva aproximación 
xn+1  = (a + b) / 2
Evaluar la aproximación relativa 
| (xn+1  - xn ) / xn+1  | < Tolerancia 10^-3
No. (Falso) Repetir el paso 3, 4 y 5 
Si. (Verdadero) Entonces  xn+1   Es la Raíz
PROCEDIMIENTO PARA EJECUTAR 
EL PROGRAMA
HALLAR LA RAIZ DE LA ECUACION
F(x)=(e^-x)-x
Solución
Raiz =
 0.5664
EJEMPLO
La técnica de interpolación lineal (secante) se basa en la interpolación lineal entre dos puntos de la función f(x) que cumplen con la condición de encontrarse a ambos lados de la raíz.
Por ejemplo, xa y xb de la figura 1 están localizados a ambos extremos de la raíz x* de la función no lineal f(x). Los puntos (xa , f(xa)) y (xb , f(xb)) se conectan por una línea recta:
Método de la Secante:
Como esta línea recta pasa entre los puntos (xa , f(xa)) y (xb , f(xb)), la pendiente está dada por:
y la ordenada al origen de esa línea recta es:
Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) obtenemos que:
Por medio de la ecuación (4) se puede localizar el punto xc en donde la recta cruza el eje-x de tal forma que y(xc) = 0:
Despejando xc:
De la figura anterior puede apreciarse que el punto xc está más cerca de la raíz x* de lo que estaba el valor de xa. Ya que la función evaluada en xc tiene el mismo signo que f(xa), el nuevo estimado de x se determina con la ecuación (6) sustituyendo xa y f(xa) por los valores de xc y f(xc). Este procedimiento se hace hasta que se encuentra el valor x* que hace que f(x*)=0.
Si definimos a x+ como el valor de x que hace que f(x) > 0 y a x- como el valor de x que hace que f(x)<0, podemos reescribir la ecuación (6) como:
Empleando la ecuación (7), para cada iteración se reemplazará x+ o x- con el valor de xn dependiendo del signo de f(xn). Este método es muy sencillo, sin embargo la velocidad de convergencia depende directamente de los valores iniciales seleccionados.
Encontrar valores iniciales  xa , xb, tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos, es decir:
La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
Al evaluar  f(xc). Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
Así el método de la secante
sigue los siguientes pasos:
Caso 1:
 Cuando: f(xa).f(xc) < 0
En este caso,  tenemos que  f(xa).y f(xc) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [ xa, xc ].
Caso 2:
 Cuando: f(xa).f(xc) > 0
En este caso,  tenemos que f(xa).y f(xc) tienen el mismo signo, y de aquí que  f(xa).y f(xb) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  [ xc, xb ].
Caso 3:
 Cuando: f(xa).f(xc) = 0
En este caso se tiene que  f(xc)  y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
 
HALLAR LA RAIZ DE LA ECUACION
F(x)=x^2-3
Raiz = 1.7333
EJEMPLO
Una forma alternativa de abordar el problema de hallar las raíces de una ecuación 
F(x)=0 en [a,b]
Es considerada otra ecuación
G(x)=0 en [a,b]
Que sea equivalente al anterior en el sentido de que ambas tengan la misma raíces. De las múltiples formas en que este puede llevarse acabo vamos a considerar, en esta sección , el caso que.
G(x)=f(x)-x, x Є [a,b]
Dada una función f: R → R Dom(f) es llamado un punto de f si f(x)=x
Si f(x) es una función continua sobre [a,b] y f(x) Є [a,b] ∀x Є [a,b]entonces f tiene un punto fijo en [a,b]
Y además si f’(x) existe ∀x Є [a,b]en <a,b> tal que |f’(x)|<1 entonces f posee un único punto fijo en [a,b]
Método del Punto Fijo:
Sea f(x)=0
Sumando x
X=f(x)+x → X =g(x)
 xn+1=g(xn) formula de iteración
Sustituir el valor inicial x1 en la formula de iteración 
El valor obtenido se asigna x2 que representa la segunda aproximación es decir x2 =g(x1)
Sustituir el valor de x2 en la formula de iteración obteniendo la tercera aproximación, así sucesivamente determinando una sucesión x1,x2,x3 . . . que se aproximen a la raíz.
Para aplicar el método del Punto Fijo
 seguimos los siguientes pasos:
HALLAR LA RAIZ DE LA ECUACION
F(x)=sqrt(x)+cos(x)-x
Raiz = 1.2248 
EJEMPLO
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite
aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x) = 0.
Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una
sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula
Método de Newton Raphson
1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) =0, e identificamos la función f
. 2. Calculamos la derivada 
3. Construimos la fórmula de recurrencia
Para aplicar el método de Newton-Raphson,
 seguimos los siguientes pasos:
HALLAR LA RAIZ DE LA ECUACION
F(x)=ln(x) +x
Raiz = 0.5671
EJEMPLO