4--SYLLABUS-VARIABLE-COMPLEJA

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS 
F AC UL T AD D E I N G E NI E R I A 
 
 
SYLLABUS 
 
 
FACULTA DE INGENIERIA 
 
NOMBRE DEL DOCENTE: 
ESPACIO ACADÉMICO : VARIABLE COMPLEJA 
 
Obligatorio ( X ) : Básico ( X ) Complementario ( ) 
Electivo ( ) : Intrínsecas ( ) Extrínsecas ( ) 
 
 
 
CÓDIGO: 24 
NUMERO DE ESTUDIANTES: GRUPOS: 1 y 3 
NÚMERO DE CREDITOS: 2 
TIPO DE CURSO: TEÓRICO X PRACTICO TEO-PRAC: 
Alternativas metodológicas: 
Clase Magistral (X ), Seminario ( ), Seminario – Taller ( ), Taller (X ), Prácticas ( X), Proyectos 
tutoriados ( X ), Otro: _ 
HORARIO: 
DIA HORAS SALON 
 
I. JUSTIFICACIÓN DEL ESPACIO ACADÉMICO 
 
 
El estudió del análisis complejo es muy importante en la ingeniería ya que no sólo da 
herramientas o algoritmos para resolver problemas, sino que a la vez es un lenguaje útil para 
representar modelos teóricos de algunos fenómenos físicos propios de la ingeniería que por lo 
general involucran temáticas concernientes con el campo de la variable compleja. 
El curso plantea abordar herramientas importantes del análisis complejo para el ingeniero, ya 
que en este se desarrollan: el concepto básico de función analítica, series, teoría del residuo 
y transformada Z. En la asignatura el estudiante aprenderá los temas anteriores para el 
estudio en señales e imágenes, sistemas de control, circuitos eléctricos, aplicaciones de 
sistemas dinámicos y otros temas relacionados con aplicaciones de la matemática en el área 
2 
 
de la ingeniería. 
 
 
PROGRAMACION DEL CONTENIDO 
II. OBJETIVO GENERAL 
Plantear con argumentos validos, analizando y proponiendo alternativas de solución a 
 
problemas en el campo de la ingeniería desde el punto de vista matemático, aplicando no 
solo sus conocimientos sino haciendo uso de su creatividad, ingenio y recursos disponibles. 
Utilizar las analogías del cálculo elemental y del algebra lineal en el estudio de conceptos del 
análisis complejo que permitan al estudiante de ingeniería analizar, plantear y resolver 
modelos que requieren el manejo de la variable compleja, a partir de la comprensión de los 
conceptos básicos: de derivada e integrales de funciones analíticas, series, residuos y polos 
y transformada Z en diferentes situaciones que se presentan en ingeniería. 
Con el estudio de la variable compleja se pretende: 
 
1. Fomentar en el estudiante el hábito de complementar sus conocimientos con una 
correcta utilización y un uso óptimo de las fuentes de información como estrategia 
para su formación 
2. Propiciar en el estudiante acciones concretas para que pueda expresar sus ideas 
matemáticas mediante el uso de un lenguaje simbólico adecuado. 
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
1. Desarrollar la habilidad para aplicar las ideas fundamentales de la variable compleja 
 
tales como el teorema de Cauchy y el teorema del residuo a problemas matemáticos 
aplicados a la Ingeniería. 
2. Fundamentar en los estudiantes el concepto de función analítica, resaltando sus 
propiedades como mapeo o transformación y los criterios (ecuaciones de Cauchy- 
Riemann, series de Laurent). para la identificación de este tipo de funciones. 
3. Calcular las series de Taylor y su expansión a series de Laurent de funciones 
complejas. 
4. Definir y estudiar la transformada Z y su aplicación a ecuaciones en diferencias finitas, 
análisis de las señales y sistemas lineales de tiempo discreto. 
5. Comprender la importancia de los modelos matemáticos con la computación. 
3 
 
IV. COMPETENCIAS DE FORMACION 
 
 
General: Se espera que a través del curso el estudiante domine e interprete el lenguaje 
matemático, desarrolle competencias genéricas instrumentales que le permitan diseñar, 
resolver y expresar situaciones que se presentan en su vida cotidiana y en el entorno 
profesional. 
Específicas: Al finalizar el curso el estudiante: 
 
1. Desarrolla habilidades y destrezas de la aritmética y algebra del campo de los 
complejos. 
2. Argumenta y justifica las funciones analíticas mediante problemas prácticos y teóricos 
específicos de las diferentes áreas de actividad de su profesión, usando lenguaje y 
simbología apropiada para las representaciones que requiera. 
3. Reconoce y aplica modelos matemáticos con la computación a problemas que 
describen variaciones y cambios. 
4. Relaciona el concepto de integración compleja con los teoremas importantes de la 
teoría de residuos y realiza el cálculo de residuos. 
 
 
V. PROGRAMA SINTETICO 
 Unidades Temáticas 
I. Campo de los números complejos 
1. Definición, representación geométrica, sumas y productos de números complejos. 
 
2. Vectores, módulo, complejo conjugado y propiedades. 
 
3. Forma exponencial, productos y potencias. 
 
4. Argumentos de productos y cocientes. 
 
5. Raíces de los números complejos. 
6. Regiones en el plano complejo. 
II. Funciones Analíticas 
1. Funciones de variable compleja. 
 
2. Mapeos. 
 
3. Límites, continuidad, y derivadas. 
 
4. Ecuaciones de Cauchy - Riemann. 
5. Funciones analíticas. 
6. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en Coordenadas polares. 
7. Funciones Armónicas 
 
4 
 
 III. Funciones Elementales. 
1. Función Exponencial. 
 
2. Función Logarítmica. 
 
3. Ramas y derivadas de los logaritmos. 
 
4. Exponentes complejos. 
 
5. Funciones trigonométricas. 
 
6. Funciones Hiperbólicas. 
IV. Integrales 
1. Integrales de contorno. 
 
2. Integrales con corte de rama. 
 
3. Cotas superiores para el módulo de integrales de contorno. 
 
4. Teorema de Cauchy- Goursat. 
 
5. Dominios múltiplemente conectados. 
 
6. Formula integral de Cauchy. 
 
7. Teorema de Liouville y teorema fundamental del algebra. 
V. Series 
1. Convergencia de sucesiones y series. 
 
2. Series de Taylor. 
 
3. Series de Laurent. 
VI. Residuos y Polos. 
1. Puntos singulares aislados. 
2. Residuos. 
3. Teorema de del residuo de Cauchy. 
4. Residuos y polos. 
5. Ceros de funciones analíticas 
6. Evaluación de integrales impropias 
VII. Transformada Z 
1. Definición y propiedades de la transformada Z 
2. Transformada inversa. 
3. Ecuaciones en diferencias. 
4. Aplicaciones al procesamiento de señales. 
 
 
VI. METODOLOGÍA PEDAGÓGICA Y DIDÁCTICA 
 
 
La metodología del curso requiere que el estudiante realice la lectura previa de cada tema de 
clase. El docente inicialmente evaluará la lectura previa por medio de quices al iniciar la 
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semana de clases, estos tendrán preguntas referentes a los temas a tratar para después ser 
desarrollados y aclarados por el docente, utilizando como ayuda didáctica el tablero, el texto y 
las guías de clase. Cada tema estará acompañado de una exposición teórica y ejemplos de 
aplicación suficientes de manera que aclaren el por qué de los conceptos teóricos dados. Se 
buscará una alta participación de los estudiantes a través de talleres individuales y grupales 
realizados en la clase y fuera de ella, los cuales tendrán relación directa con los temas 
teóricos tratados en el curso, haciendo uso de la lectura previa y de la tecnología. De igual 
forma se propone la realización de discusiones grupales en torno a problemas específicos, 
realizando evaluaciones periódicas con el fin de llevar el seguimiento constante sobre los 
progresos y dificultades en el proceso formativo del estudiante. Los estudiantes podrán 
disponer de espacios para asesoría por parte del profesor en los casos que así lo requieran. 
 Hora 
s 
Horas 
profesor/sem 
Horas 
Estudiante/sem 
Total Horas 
Estudiante/sem 
Créditos 
 Tipo de 
Curso 
TD TC TA (TD + TC) (TD + TC +TA) X 16 semanas 
Asignatura 5 1 3 6 9 144 3 
 
 
Trabajo Presencial Directo (TD): Se desarrollará por parte del docente en clase presencial 
los contenidos mínimos del curso. 
Trabajo Mediado Cooperativo(TC): Se desarrollarán semanalmente 2 horas de clase 
alrededor de las temáticas trabajadas en la semana. Se sugiere desarrollar 2 o 3 proyectos a 
lo largo del semestre. En este espacio se espera que el docente oriente a los estudiantes en 
el desarrollo de su proyecto, resolviendo dudas, planteando inquietudes entorno a la temática 
del proyecto. 
Trabajo Autónomo (TA): El docente asignará temas específicos que complementarán el 
trabajo desarrollado en clase, el estudiante es responsable de esta actividad. 
 
 
VII. RECURSOS 
Medios y Ayudas: El curso requiere de espacio físico (aula de clase); Recurso docente, 
recursos informáticos (página de referencia del libro, CD de ayuda del mismo, Recursos 
bibliográficos (revistas especializadas), retroproyector, videobeam, televisor, computadores 
(salas). 
Practicas especificas: Laboratorios sobre límites y derivadas a través de alguna herramienta 
informática. 
 
 
 
 
 
VIII. BIBLIOGRAFÍA - TEXTOS GUÍAS 
6 
 
 AUTOR (ES) TITULO Editorial Edición y/o año Tipo* 
James Ward Brown/ and 
Ruel V. Churchill 
Complex Variables and 
applications 
McGraw- Hill 8ª edición TG 
Saff, Edward B., and 
Arthur David Snider. 
Fundamentals of complex 
Analysis with applications to 
engineering, science, and 
Mathematics. 
Prentice hall 3ª edición TC 
A. David Wunsch Variable Compleja con 
Aplicaciones. 
Addison– Wesley 
Iberoamericana 
2ª edición TC 
Arthur A. Hauser, Jr. 
, 
Variable Compleja Fondo Educativo 
Interamericano. 
Única TA 
Spiegel, Murray R. Variable Compleja McGraw- Hill Única TC 
Peter V. O’ Neil Matemáticas Avanzadas 
para Ingeniería 
Limusa. 5ª edición TC 
 
 TG: Texto Guía. 
 TC: Texto Consulta. 
 TR: Texto Referencia. 
 TA: Texto Adicional. 
DIRECCIONES DE INTERNET 
1. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/#undergrad 
2. http://www.math.utah.edu/~cherk/teach/3160.html 
3. http://www.cambridge.org/us/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521534291 
 ORGANIZACIÓN / TIEMPOS 
Espacios, Tiempos, Agrupamientos: 
El espacio académico contempla horas de trabajo directo, trabajo colaborativo y 
trabajo autónomo; las temáticas se desarrollarán por unidades programadas por 
semana; el trabajo directo se realizará a partir de exposiciones del docente, que 
permitan el planteamiento de problemas y su posible solución práctica. La práctica 
en laboratorio (trabajo colaborativo), será abordada grupalmente y desarrollará 
temáticas y/o el tratamiento de problemas previamente establecidos, con el 
acompañamiento del docente. El estudiante desarrollará el trabajo autónomo de 
acuerdo con criterios previamente establecidos en términos de contenidos temáticos 
y problemas planteados. 
IX. EVALUACIÓN 
7 
ASPECTOS A EVALUAR DEL CURSO 
1. Evaluación del desempeño docente. 
2. Evaluación de los aprendizajes de los estudiantes en sus dimensiones: individual/grupo, 
teórica/práctica, oral/escrita. Examen Final Conjunto con la Facultad que corresponde al 
30% de la nota definitiva. 
3. Autoevaluación y Coevaluación del curso: de forma oral entre estudiantes y docente. 
 
 
 
TIPO DE EVALUACIÓN FECHA PORCENTAJE 
 
 
 
EXAM. FINAL 
Examen final conjunto: Se 
evalúa el conocimiento sobre 
las competencias finales 
adquiridas por el estudiante. 
 
30% 
 
 
 
X. PROGRAMA COMPLETO (PARCELACIÓN SUGERIDA) 
Semana Temas a tratar Secciones Ejercicios 
 Sumas, producto y módulo. 
 Conjugado, forma exponencial, 
productos y potencias de forma 
1 exponencial. 
 Argumentos de productos y 
cocientes 
 Raíces, regiones en el plano. 
1,2,3, y 4. 
 
 
5,6, y 7. 
 
 
8. 
9,10,11. 
Pag 5: 2,10,11 
Pag 7: 1, 7 y 8. 
Pag 12: 3, 5 ,6. 
Pag 15: 1, 2,13,14,15. 
Pag 23: 1,6,9,10. 
Pag 30: 2,3,4,6,8. 
Pag 33: 1,2,5 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 y 6 
 Funciones de variable compleja. 
 Mapeos. 
 Limites, continuidad, derivadas 
 Ecuaciones de Cauchy-Riemann. 
 Coordenadas polares. 
 Funciones analíticas. 
 Funciones armónicas. 
 Función exponencial 
 Función logaritmo. 
 Ramas y derivadas de logaritmos, 
Identidades. 
 Exponentes complejos. Funciones 
trigonométricas. 
 Funciones hiperbólicas, inversa de 
funciones trigonométricas e 
hiperbólicas. 
 Derivadas de funciones w(t), 
Integrales definidas. 
 Contornos, integrales de contorno. 
 Ejemplos con corte de ramas. 
 Antiderivadas. Teorema de 
Cauchy-Goursat. 
12. 
13, 14. 
15,16,17,18. 
 
21. 
23. 
24. 
26 
29 
30 
31,32 
 
 
33,34 
 
35,36. 
 
 
37,38 
 
 
39,40 
41,42 
44,46 
Pag 37: 1,2,3,4. 
Pag 44: 1,2,3,5,7,8. 
Pag 55: 1,3,5,10 
Pag 62: 1,2,3,7,8,9. 
Pag 72: 4,6,7,8,10. 
Pag 77: 4,5,6,7. 
Pag 82:1,2,3,7,8,9,11. 
 
Pag 92: 1,8,10,12. 
Pag 97:2,3,6,9,11. 
Pag 100:1,2,3. 
Pag 103: 2,5,8. 
Pag 108: 3,4,8,915,16 
 
Pag 111: 11, 13,15,16 
Pag 114: 1,2,3,6. 
Pag 121: 2,3,5. 
Pag 125: 1,2,5,6. 
Pag 135: 1,3,4,6,10. 
Pag 149: 1,2,3,5 
8 
 
  Dominios simple y múltiplemente 48,49 Pag 161: 1,2,4,5,6 
6 y 7 conexos. 50 Pag 170: 1,2,7 
  Formula integral de Cauchy. 53,54 Pag 179: 1,3 9. 
  Teorema de Liouville y teorema 
 fundamental del algebra. 
  Principio del módulo máximo 
  Convergencia de series, Series de 56,57 Pag 188: 1,2,3,4 
 Taylor. Ejemplos 59 Pag 195: 1,2,3,6,7,11 
 
7 y 8  
 
 
 
 
Series de Laurent. Ejemplos 
Integración y derivación de series 
de potencias 
 
Punto singular aislado, residuos. 
60 
65 
 
 
68,69 
Pag 205: 1,2,3,5,7,9 
Pag 219:1,2,3,4. 
 
 
 
Pag 239:1,2,3 
9 y 10  Teorema del residuo de Cauchy, Pag 243: 1,2,3,4,5 
 residuo de f en el infinito. 70,71 Pag 248: 1,2,3,5,6. 
  Tres tipos de singularidades 
 aisladas 72 
  Residuos y polos. Ejemplos 73,74 
  Ceros de funciones analíticas 75 Pag 255: 1,2,3,4,5,6, 
11  Polos y ceros. 76 7,8 
  Calculo de integrales impropias. 78,79 Pag 267: 1,3,5,7,8 
12 y 13 Ejemplos Pag 275: 1,3,5,7 
  Integrales impropias del análisis de 80 Pag 306: 1,2,3,4,5. 
 Fourier. 
  Transformada inversa de Laplace. 88,89 
 Ejemplos. 
 
TRANSFORMADA Z 
 
  
 
Texto: Complex Analysis for 
 Mathematics and Engineering. 
  Authors: John H. Mathews and 
 Russell W. Howell 
14  Transformada Z, definición, 9.1 Pag 365: 1,3,5,7,9, 
 propiedades 10,13, 
  Inversa de la Transformada Z 
  Tabla de transformada Z. 
15 y 16  Ecuaciones en diferencia finitas 9.2 Pag 371: 1,2,3,5,7,9 
 primer y segundo orden Pag391: 1,2,3,4,5,6,7. 
  Filtros de señales digitales. 9.3 
 
 
 
 Los tres parciales se programan en las semanas 5, 10 y 15. .