Inflação por N-Formas na Cosmologia

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INFLACIÓN POR N-FORMAS
JHON ANDERSSON ROSERO GIL
Universidad del Valle
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Programa Académico de F́ısica
Santiago de Cali
2012
2
INFLACIÓN POR N-FORMAS
JHON ANDERSSON ROSERO GIL
Trabajo de grado presentado al Programa Académico de F́ısica como
requisito para optar al t́ıtulo de F́ısico
Director
Dr. CÉSAR ALONSO VALENZUELA TOLEDO
Universidad del Valle
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Programa Académico de F́ısica
Santiago de Cali
2012
Universidad del Valle
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Programa Académico de F́ısica
Santiago de Cali
2012
AUTOR: JHON ANDERSSON ROSERO GIL, 1987
TÍTULO: INFLACIÓN POR N-FORMAS
Palabras clave: Cosmoloǵıa, Radiación Cósmica de Fondo, Anisotroṕıa Estad́ıstica, Infla-
ción, n-Formas.
Nota de aprobación
El trabajo de grado titulado Inflación por n-formas, presentado por el estudiante Jhon
Anderson Rosero Gil, para optar al t́ıtulo de F́ısico, fue revisado por el jurado y califi-
camo como:
APROBADO
Jurado Director
Dr. César Alonso Valenzuela Toledo
RESUMEN
Estudios de los datos basados en las observaciones de la radiación cósmica de fondo (RCF)
sugieren la violación de la isotroṕıa y la homogeneidad estad́ıstica en la distribución de
la temperatura de la RCF, lo cual indica la existencia de una dirección preferencial en el
Universo. En el presente trabajo se analizarán modelos inflacionarios soportados por n-
formas, sobre un fondo homogéneo y anisótropo descrito por la métrica de Bianchi I, como
una posible alternativa para explicar dicho fenómeno. Se muestra que los modelos satisfacen
las condiciones de rodadura lenta y se estudian detalladamente los casos particulares que
incluyen inflación por 1-forma, 2-forma y 3-forma. En la primera situación se muestra que
el modelo es inviable, aunque, es posible modificarlo y corregirlo positivamente al introducir
una tŕıada de campos vectores. El segundo caso se muestra la inflación soportada por la
2-forma, la cual tiene soluciones anisotrópicas y poco estables. Finalmente, se obtienen
nuevas soluciones isotrópicas en el caso de la 3-forma.
TABLA DE CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN 7
2 MARCO TEÓRICO 12
2.1 Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 n-Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Invariancia de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 COSMOLOGÍA 18
3.1 Métrica de FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Dinámica del espacio-tiempo de FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Problemas de la cosmoloǵıa estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.1 Problema de Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.2 Planitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.3 Monopolos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Inflación mediante un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Inflación del Tipo de Rodadura Lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 INFLACIÓN POR N-FORMAS 25
4.1 Cálculo de las Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 1-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Tŕıadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
TABLA DE CONTENIDO 6
4.4 2-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 3-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 CONCLUSIONES 32
A Cálculo de las ecuaciones de movimiento 33
B Obtención del tensor Tµν 36
C Cálculo de R y Gµν 41
D Cálculo de la ecuación de movimiento para una 1-Forma 43
E Cálculo de ρ para la 1-Forma 45
F Cálculo de P , Π para la 1-Forma 47
G Cálculo de la ecuación de movimiento para una 2-Forma, ρ+ 3P < 0 y Π 49
H Ecuación de Friedmann y de movimiento para una 3-Forma 53
I Densidad de enerǵıa y presión eficaz 55
REFERENCIAS 57
CAPITULO1
INTRODUCCIÓN
La cosmoloǵıa es una ciencia que estudia el origen y evolución del Universo hasta la for-
mación de estructuras a gran escala (galaxias, agrupaciones galácticas y supercúmulos)
esta utiliza los objetos más distantes y energéticos (quásares, supernovas y GRBs) y la
radiacción cósmica de fondo (RCF) entre otros, para entender la estructura y evolución del
universo hasta nuestros d́ıas y estudiar los fenómenos ocurridos en el universo primigenio.
Actualmente, la teoŕıa más aceptada en la cosmoloǵıa es la del Big Bang [1, 2, 3, 4, 5] o
modelo cosmológico estándar. Este modelo describe un universo en expansión, homogéneo
e isótropo a grandes escalas y ha logrado explicar la mayoŕıa de propiedades f́ısicas del
universo observado hoy en d́ıa, tales como la abundancia de los elementos ligeros (75 %
hidrógeno y 25 % de helio) [6, 7], la edad del universo (trece mil setecientos millones), la
radiación cósmica de fondo (T=2, 725 ± 0, 002 K) [8] y la homogeneidad e isotroṕıa del
Universo vistas a grandes escalas y que constituyen el llamado principio cosmológico. A
pesar de los éxitos que ha tenido el modelo del Big Bang, al explicar algunas propiedades
del Universo, se sabe que este modelo presenta algunos problemas, conocidos usualmente
como problemas de la cosmoloǵıa estándar [10, 9], estos son: el problema de horizonte, el
problema de planitud, el problema de los monopolos magnéticos (reliquias no deseadas),
el problema de la constante cosmológica y de estructura, entre otros. Los inconvenientes
mencionados anteriormente pueden ser resueltos, si se supone que en un principio, el uni-
verso se expandió aceleradamente, aumentando su tamaño en un orden de 1026 veces en una
pequeña fracción de segundo y permitió que el contenido energético siguiera evolucionando
hasta adquirir la estructura que podemos observar hoy en d́ıa.
La RCF fue emitida cuando el universo tenia aproximadamente 400000 años cuando la
materia y la radiación se separaron, debido al enfriamiento del univers. Ha viajado hasta
nosotros por alrededor de 14 mil millones de años y hoy permite concluir que el universo es
prácticamente el mismo a grandes escalas, ademas, es considerada como la prueba principal
del modelo cosmológico del Big Bang. Esta radiación tiene un espectro de radiación de
cuerpo negro a una temperatura de 2, 725 K y su frecuencia pertenece al rango de las
INTRODUCCIÓN 8
microondas con una frecuencia de 160, 2 GHz, correspondiente a una longitud de onda de
1, 9 mm, además, tiene pequeñas anisotroṕıas en su distribución angular del orden de una
parte en 105. Durante la última década, el conocimiento acerca de las propiedades de la
radiación cósmica de fondo (RCF) ha crecido enormemente, debido a la calidad de los datos
obtenidos por los satélites de la “Wilkinson Microwave Anisotropy Probe”(WMAP) [13] y
en menor medida del PLANCK [11, 12]. Los análisis de estos datos han permitido encontrar
efectos más finos en las propiedades de la RCF, cómo por ejemplo la no gaussianidad en la
distribución de las anisotroṕıas de la temperatura de la RCF, la violación a la homogeneidad
y la isotroṕıa estad́ıstica, etc y que se han convertido en caracteŕısticas fundamentales a
la hora de descartar o avalar un determinado modelo comsológico. Las Figuras 1.1 - 1.5
muestran los mapas de la RCF tomados por Penzias y Wilson [14, 15], por los satélites
“Cosmic Background Explorer”(COBE) [17], WMAP [13] y el PLANK [11]. Alĺı se puede
observar cómo ha mejorado la sensibilidad en la toma de datos en la cosmoloǵıa en los
últimos 50 años.
En la figura 1.1 se muestra el primer mapa de la radiación cósmica de fondo obtenido
por Penzias yWilson, quienes descubrieron la RCF en 1965. Hoy en d́ıa se considera que
su descubrimiento corresponde a una de las principales pruebas de la validez del modelo
cosmológico estándar. Una de las principales caracteŕısticas encontradas es que el espectro
de la radiación corresponde a la de un cuerpo negro.
Figura 1.1: Penzias y Wilson descubrieron la radiación cósmico de fondo. Ellos encontraron
una temperatura de T0 = 3, 51, 0K en la radiación de fondo, correspondiente a una longitud
de onda de 7, 3cm. La forma de óvalo es una proyección para mostrar todo el cielo
Con el fin de estudiar propiedades adicionales de la RCF, en 1989 se lanzo el satélite COBE
de la NASA [18]. En 1990 los instrumentos a bordo del satélite, mostraron que espectro
de la RCF efectivamente corresponde al espectro de radiación de cuerpo negro. En 1992 se
observo la presencia de anisotroṕıas a un nivel de una parte en 100 mil [19], es decir, la
temperatura de la RCF exhibe pequeñas desviaciones de su valor medio.
El satelite WMAP lanzado por la NASA en el 2001, con una mayor sensibilidad y resolución
angular que el COBE, confirmo la existencia de las anisotroṕıas (ver figura 1.3). Estudios
detallados de estas anisotroṕıas, dejarón abierta la posibilidad de que se podŕıan violar las
INTRODUCCIÓN 9
Figura 1.2: Un mapa del área del cielo asignada por Planck. Los colores indican la magnitud
de las desviaciones del valor medio la temperatura en la RCF.
condiciones de isotroṕıa y homogeneidad estad́ıstica, ademas de otras caractersticas mas
finas, como la existencia de no-gaussianidad. Por otro lado, se dieron estimaciones mas
aproximadas de la edad y el contenido energético del Universo y de otros parámetros de
interés cosmoĺıgico [20].
Figura 1.3: Las anisotroṕıas de la temperatura de RCF como se ha visto por el satélite
WMAP (séptimo años de resultados). Las anisotroṕıas de temperatura son del orden de 1
parte en 105. La temperatura del fondo es T0 = 2, 725 ± 0, 002K, en las regiones donde la
temperatura es de color azul muy claro. Las regiones más calientes (en rojo) corresponden
a ∆T ' 200µK. Las regiones más fŕıas (de color azul muy oscuro) corresponden a ∆T '
−200µK.
Por último, el satélite Planck de la ESA [11], lanzado en el 2009, promete determinar las
anisotroṕıas en la temperatura de la RCF con una resolución del orden de 1 parte en 106
(ver 1.4 para un mapa simulado y 1.5 para un mapa real) y los parámetros cosmológicos
con una precisión del 0.1 %.
El principio cosmológico sugiere que el Universo luce igual en todas las direcciones (isótropo)
con respecto a cualquier región de volumen superior a 106 Mpc3 y en consecuencia luce igual
INTRODUCCIÓN 10
Figura 1.4: Temperatura de las anisotroṕıas de la RCF como es vista por el satélite Planck.
PLANCK proporcionará un mapa de la RCF en todas las resoluciones angulares, y de más,
de 10 minutos de arco y con una resolución de la temperatura del orden de 1 parte en 106
(diez veces mejor que WMAP).
en cada una de estas regiones (homogéneo). Las observaciones han mostrado que nuestro
universo es realmente homogéneo e isótropo desde el punto de vista estad́ıstico. Recientes
estudios de las propiedades de la RCF sugieren la existencia de una dirección preferencial en
la radiación cósmica de fondo [30, 31, 32, 33, 34] y por lo tanto se puede concluir que hay una
posible violación de la homogeneidad y la isotroṕıa estad́ıstica [23, 24, 25, 26, 27, 28, 29], la
cual es dif́ıcil de explicar con los modelos inflacionarios [9, 10] convencionales, en los cuales
se considera que la expansión fue ocasionada por un campo escalar hipotético llamado el
inflatón.
En el intento por dar una solución que explique una posible dirección preferencial en el uni-
verso, se ha propuesto que un peŕıodo de expansión anisótropa durante la inflación podŕıa
explicar este fenómeno. Las primeras soluciones propuestas consistieron en considerar cam-
pos escalares, con condiciones anisótropas ińıciales dadas al escoger una métrica anisótropa
y homogénea del tipo Bianchi I [35, 36, 37]. El problema con dichos modelos es que la
isotropización del universo se alcanza muy rápido, debido a las predicciones del teorema
del no-cabello cósmico [38, 39]. Este teorema establece que la dinámica de un universo
inflacionario en un espacio-tiempo homogéneo pero anisótropo, dominado por una cons-
tante cosmológica o un campo escalar, evolucionará exponencialmente hacia el universo
de Friedmann-Robertson-Walker, si la gravedad es de Einstein. De este modo, la isotro-
pización del universo se alcanza rápidamente durante la inflación, lo cual no es coherente
con la posible existencia de una dirección preferencial en el Universo. Aśı, las caracteŕısti-
cas anisótropas deseadas para el fondo, sólo seŕıan conseguidas si la duración del peŕıodo
inflacionario fuese ajustada finamente, lo cual es indeseable.
Este ajuste puede evitarse al evadir las condiciones de rápida isotropización del teorema del
no-cabello cósmico. Lo anterior se puede lograr introduciendo durante el peŕıodo inflacio-
nario un nuevo tipo de campo, tales como: los campos vectoriales [40], campos espinoriales
[42, 43] o n-formas [44, 45] y aśı garantizar una expansión anisótropa que dé cuenta de
los efectos observados. En el presente trabajo se estudiará un modelo inflacionario el cual
INTRODUCCIÓN 11
Figura 1.5: Temperatura de las anisotroṕıas de la RCF como es vista por el satélite Planck.
PLANCK proporcionará un mapa de la RCF en todas las resoluciones angulares y de más,
de 10 minutos de arco y con una resolución de la temperatura del orden de 1 parte en 106
(diez veces mejor que WMAP).
está soportado por n-formas, se partirá de una acción que contiene un termino de acople
no-mı́nimo entre la n-forma (campo) y el escalar de Ricci cuyo fondo es un espacio-tiempo
homogéneo y anisótropo, descrito por una métrica de Bianchi tipo I.
El trabajo está organizado de la siguiente manera: En el Caṕıtulo 2 se introducen los
conceptos y herramientas de la relatividad general, necesarios para el desarrollo del trabajo,
además, en 2.2 y 2.3 se presentan los conceptos de n-formas y de invariancia de gauge
respectivamente. En el Caṕıtulo 3 se discuten los aspectos más importantes del modelo
cosmológico estándar. En el Caṕıtulo 4 se estudian algunos casos particulares de inflación
por medio de las n-formas. Finalmente se concluyen en el Caṕıtulo 5.
El interés de este trabajo se centrará en mostrar que mediante este modelo se puede generar
una expansión anisótropa la cual puede ser prolongada, permitiendo explicar la posible
violación de la isotroṕıa estad́ıstica.
CAPITULO2
MARCO TEÓRICO
2.1. Relatividad General
La teoŕıa de la relatividad general fue planteada por Albert Einstein en 1915. En ella se
propone que la geometŕıa del espacio-tiempo se ve afectada por la presencia de materia, de
lo cual resulta una teoŕıa relativista del campo gravitatorio. La relatividad general predice
que el espacio-tiempo no será plano en presencia de materia y que la curvatura será perci-
bida como un campo gravitatorio. La relatividad general está escrita en el lenguaje de la
Figura 2.1: Defomación del espacio-tiempo en presencia de masa, que implica presencia de
un campo gravitacional.
geometŕıa diferencial, donde la métrica juega un papel mas importante, ya que ésta deter-
mina la geometŕıa del espacio-tiempo. Las ecuaciones de Einstein-Maxwell que gobiernan
la relatividad general, pueden ser obtenidas utilizando el principio variacional. La acción
MARCO TEÓRICO 13
correspondiente a esta teoŕıa, llamada acción Einstein-Hilbert[9, 10], se escribe como,
S =
∫ [
1
2κ
R
√
−g + £m
]
d4x, (2.1)
donde R es el escalar de curvatura o contracción del tensor de Ricci, κ = 1/
√
8πGN es una
constante, £m es un término que describe la materia de los campos aparecen en la teoŕıa.
Al variar esta acción con respectoa la métrica se obtiene:
δS =
∫ [
1
2κ
δR
√
−g
δgµν
+
1√
−g
√
−g£m
δgµν
]
d4x = 0. (2.2)
Si se tiene en cuenta que esta relación es válida para un δgµν arbitrario, entonces
δR
δgµν
+
R√
−g
δ
√
−g
δgµν
= −2κ £m
δgµν
. (2.3)
El lado derecho de esta ecuación es (por definición) el tensor de momentun-enerǵıa,
Tµν = −2κ
£m
δgµν
, (2.4)
Por otra parte, el lado izquierdo de (2.3) se puede expresar como1:
δR
δgµν
+
R√
−g
δ
√
−g
δgµν
= Rµν +
1
2
gµνR. (2.5)
Igualando (2.4) con (2.5) se obtienen las ecuaciones de Einstein:
Rµν −
1
2
gµνR = 8πGTµν , (2.6)
donde Rµν es el tensor de Ricci, G =
c4κ
8π
es la constante de gravitación universal y Tµν es el
tensor de momentum-enerǵıa. Se han mencionado las cantidades R y Rµν pero no han sido
definidas, para lo cual hay que intruducir otros conceptos. Primero se define la derivada de
un tensor en un espacio curvo, llamada derivada covariante:
∇ρV ν1...νmµ1...µn =
∂V ν1...νmµ1...µn
∂xρ
+
∑
i
ΓνiρδV
ν1...δ...νm
µ1...µn
−
∑
i
ΓδρµiV
ν1...νm
µ1...δ...µn
(2.7)
donde el Γνµρ es llamado śımbolo de Christoffel y la definición más conveniente en este caso
es:
Γαµ,ν =
1
2
gαρ [gµρ,ν + gνρ,µ − gµν,ρ] , (2.8)
como se puede ver esto depende totalmente de la métrica y de su derivada.
1Los cálculos detallados de esta parte se encuentran en el apéndice B.
MARCO TEÓRICO 14
Ahora se puede definir el tensor de Riemman Rαβµν , el cual caracteriza la curvatura del
espacio-tiempo y se puede escribir utilizando los śımbolos de Christoffel:
Rρσµν = ∂µΓ
ρ
νσ − ∂νΓρµσ + Γ
ρ
µλΓ
λ
νσ − Γ
ρ
νλΓ
λ
µσ, (2.9)
Contrayendo el tensor de Riemman (2.9) se obtiene el tensor de Ricci Rµν ,
Rµν = g
ρσRρµσν . (2.10)
De igual forma, contrayendo los ı́ndices de Rµν se logra determinar el escalar de curvatura
R; estos dos últimos resultados son fundamentales para la formulación de las ecuaciones
de campo (2.6) de la relatividad de Einstein. La parte izquierda de la igualdad (2.6) da la
información geométrica del Universo, la cual viene dada a través de la curvatura escalar
y del tensor de Ricci, mientras que en la parte derecha de (2.6) se encuentra el tensor
momentum-enerǵıa que caracteriza el contenido energético del Universo. Esta expresión
indica que dicho contenido curva el espacio-tiempo que lo contiene y al mismo tiempo el
campo gravitacional, por efecto de la curvatura espacio-temporal, modifica la distribución
del contenido energético.
2.2. n-Forma
Matemáticamente hablando las n-formas se definen como un tensor covariante antisimétrico
de rango n; aśı,
A...µ...ν... = −A...ν...µ... (2.11)
Para escribir las componentes de la n-forma se necesita un tensor antisimétrico base. La
combinación antisimétrica de un tensor base ωµ1 ⊗ · · ·⊗ωµn se denota por ω[µ1 ⊗ · · ·⊗ωµn]
ω[µ1 ⊗ · · · ⊗ ωµn] = 1
n!
n!∑
i=1
(−1)π(i)ωµ1 ⊗ · · · ⊗ ωµn , (2.12)
donde π(i) es una función de las distintas n! combinaciones de los ı́ndices µ1 y µn, definido
como
π(i) =
{
0 si el número de permutaciones es par
1 si el número de permutaciones es impar
Se considerará ahora el caso particular de una 2-forma en tres dimensiones:
α = α12ω
1 ⊗ ω2 + α21ω2 ⊗ ω1 + α13ω1 ⊗ ω3
+α31ω
3 ⊗ ω1 + α23ω2 ⊗ ω3 + α32ω3 ⊗ ω2, (2.13)
donde α11 = α22 = α33 = 0 debido a la antisimetŕıa de α. Dicha antisimetŕıa puede ser
usada para reordenar los coeficientes de la forma (2.13) de la siguiente manera:
α = α12(ω
1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1) + α13(ω1 ⊗ ω3 − ω3 ⊗ ω1)
+α23(ω
2 ⊗ ω3 − ω3 ⊗ ω2) = α|µν|ω[µ ⊗ ων]. (2.14)
MARCO TEÓRICO 15
Las barras verticales indican que solo los componentes con ı́ndices en aumento se incluyen
en la suma. Una n-forma arbitraria α puede ser ahora escrita en función de las componentes
de la base
α = α|µ1...µn|n!ω
[µ1 ⊗ · · · ⊗ ωµn]. (2.15)
El producto tensor antisimétrico se denota con ∧:
ω[µ1 ⊗ · · · ⊗ ωµn] ∧ ω[ν1 ⊗ · · · ⊗ ωνq ] = (n+ q)!
n!q!
ω[µ1 ⊗ · · · ⊗ ωµp ⊗ ων1 ⊗ · · · ⊗ ωνq ]. (2.16)
El producto exterior es lineal
(aα + bβ) ∧ γ = a(α ∧ γ) + b(β ∧ γ), (2.17)
α ∧ (aβ + bγ) = a(α ∧ β) + b(α ∧ γ), (2.18)
y asociativo
α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ. (2.19)
La antisimetŕıa de la base en (2.12) y π(i) se expresa por medio del producto exterior,
tomando n = q = 1 en (2.16)
ωµ1 ∧ ων1 = 2!ω[µ1 ⊗ ων1]. (2.20)
Utilizando una vez más (2.16), se tiene
ωµ1 ∧ ων1 ∧ ων2 = 2!ω[µ1 ⊗ ων1] ∧ ων2
= 3!ω[µ1 ⊗ ων1 ⊗ ων2]. (2.21)
Procediendo de esta manera nos encontramos con
n!ω[µ1 ⊗ · · · ⊗ ωµn] = ωµ1 ∧ ωµ2 ∧ ... ∧ ωµn . (2.22)
Teniendo en cuenta (2.15) y (2.22), la expresión para la n-forma α se puede escribir como
α = α|µ1...µn|ω
µ1 ∧ ... ∧ ωµn (2.23)
ó
α =
1
n!
αµ1...µnω
µ1 ∧ ... ∧ ωµn . (2.24)
La razón de que n! esté en el denominador de esta expresión es que cada término está re-
petido n! veces debido a la suma tanto crecientes como decrecientes de los ı́ndices.
Se observa que por medio de (2.16)
ωµ ∧ ων = −ων ∧ ωµ. (2.25)
MARCO TEÓRICO 16
Un intercambio de elementos de la base en la ecuación (2.16) implica un número impar de
permutaciones de elementos vecinos. Aśı, el producto exterior (2.16) es antisimétrico bajo
el intercambio arbitrario de elementos. Una consecuencia importante es que el producto
exterior es igual a cero si se tienen formas con dos elemetos de la base iguales. De ello se
desprende que en un espacio de n dimensiones no existen formas con un rango superior al
n, ya que sólo hay n linealmente independientes de formas en este espacio. Por lo tanto, en
el espacio-tiempo sólo hay cero, uno, dos, tres y cuatro formas.
En este trabajo se tomará la siguiente notación para la n-forma α
Aµ1...µn = α = α|µ1...µn|ω
µ1 ∧ ... ∧ ωµn , (2.26)
con la propiedad de invariante
Aµ1...µnA
µ1...µn = Aµn...µ1A
µn...µ1 (2.27)
2.3. Invariancia de Gauge
En f́ısica las teoŕıas mas aceptadas del modelo estándar son teoŕıas de campo de gauge. Esto
significa que los campos en el modelo estándar exhiben alguna simetŕıa interna conocida
como invariancia de gauge. Por lo tanto, el lagrangiano que describe el campo es invariante
bajo un grupo continuo de transformaciones locales, que se aplica sobre las componentes de
los campos. A demás, una transformación de gauge, es una transformación de algún grado
de libertad interno, que no modifica ninguna propiedad observable f́ısica.
Aunque en general la transformación de las variables puede ser complicado y poco práctico,
hay ciertas teoŕıas que pueden ser implementadas con un procedimiento muy simple, como
parte del normal arreglo de gauge. El más simple de ellos es el de vectores masivos, por
medio formalismo de Stückelberg se puede modificar el lagrangiano de forma que quede
invariante de gauge. En este trabajo se tendra un lagrangiano que tienen un potencial el
cual puede rompe la invariancia de gauge.
A continuación, se introducirá un nuevo campo ∂C que conservara la simetŕıa de gauge y
cuyas transformaciones compensan la violación de la simetŕıa gauge. Solo se cuenta con la
parte antisimétrica del campo, se partirá de una n-forma, la cual es:
A = B +
1
m
[∂C] (2.28)
se tomara m > 0. La nueva dencidad lagrangiana sera
£ = − 1
2(n+ 1)!
F 2(B)− 1
2
M2
(
B +
1
m
[∂C]
)2
(2.29)
donde M2 está dada por la masa efectiva, entonces tiene la simetŕıa gauge
C → C + ∆, B → B − 1
m
[∂∆], (2.30)
MARCO TEÓRICO 17
donde se tomara ∆ como un tensor arbitrario con (n− 1) ı́ndices. Para regresar al lagran-
giano original solo se tiene en cuanta que C = 0. Se puede observar que el campo tiene un
termino cinético ∂C. Si se condiciona que el gradiente de C es ortogonal a la n-forma y se
toma m =
√
|M2|, la densidad de lagrangiana se convierte en
£ = − 1
2(n+ 1)!
F 2(B)− 1
2
M2B2 − 1
2
sgn(M2)[∂C]2 (2.31)
del campo C o más precisamente las (n − 1)-formas que se obtiene por la antisimetŕıa de
C, la masa efectiva es imagianario o M2 es negativo. Aśı se llega a la conclusión de que
si la masa efectiva de una n-forma es negativo, hay una (n− 1)-formas grados de libertad
imaginarios en la teoŕıa.
CAPITULO3
COSMOLOGÍA
3.1. Métricade FLRW
La métrica de FLRW [9, 10] logra describir la homogeneidad e isotroṕıa del Universo a gran
escala. Esta métrica puede ser denominada través de un elemento de ĺınea en coordenadas
esféricas que se puede escribir como:
dτ 2 = dt2 − a2(t)
[
dr2
1−Kr2
+ r2dΩ
]
, (3.1)
donde dΩ ≡ dθ2 + sin2θdφ2, a(t) es el factor de escala de expansión [9, 10] y K es una
constante que describe la curvatura del espacio tiempo, la cual puede tomar los valores de -
1, 0 o 1 y que corresponde a geometŕıas seudo-esférica, eucĺıdiana y esférica respectivamente.
Figura 3.1: Las tres posibles geometŕıas del Universo.
COSMOLOGÍA 19
El significado f́ısico del factor de escala a(t) puede ser clarificado al calcular la distancia
f́ısica en un tiempo t desde el origen a un objeto comóvil ubicado en la coordenada radial
r:
d(r, t) =
∫ r
0
dr√
1−Kr2
= a(t) ∗ f(r). (3.2)
Con f(r) definida como
f(r) =

sin−1r para K=+1
sinh−1r para K=-1
r para K=0
Como se están considerando coordenadas coomoviles y además r es independiente del tiem-
po, aśı la distancia propia desde nosotros hasta un objeto comovil crece o decrece con
a(t). Dado que no hay nada de especial en nuestra posición la distancia propia entre dos
observadores comoviles es también proporcional a a(t).
Por lo tanto, el cambio de cualquier distancia f́ısica aumenta con el cambio de a(t). Teniendo
en cuenta en (3.2) y considerando un universo plano K = 0,
ḋ =
ȧ
a
d = Hd, (3.3)
donde se define el parámetro de Hubble H como
H ≡ ȧ
a
, (3.4)
el cual caracteriza la razón de expansión del espacio de Friedmann-Robertson-Walker. El
parámetro de Hubble tiene unidades de t−1 y es positivo para un universo en expansión
como el nuestro. La ecuación (3.3) es conocida como la ley de Hubble, es una de las bases
observacionales de la cosmoloǵıa estándar, la cual expresa la velocidad de recesión entres ga-
laxias ḋ como una dependencia lineal de la distancia f́ısica que las separa d por el parámetro
de Hubble.
3.2. Dinámica del espacio-tiempo de FRW
A escalas cosmológicas y según las observaciones realizadas en la actualidad podemos con-
cluir que el universo es homogéneo e isótropo, por esta razón, se puede modelar el universo
como un fluido perfecto, donde el contenido energético esta dado por el tensor momentum-
enerǵıa Tµν ,
Tµν =

ρ 0 0 0
0 −P 0 0
0 0 −P 0
0 0 0 −P

COSMOLOGÍA 20
donde ρ y P son la densidad de enerǵıa y la presión del fluido cósmico medido en un marco
de referencia comóvil respectivamente.
Por medio de las ecuaciones de Einstein (2.6) y la métrica FLRW se obtienen las ecuaciones
de Friemann,
H2 ≡
(
ȧ
a
)2
=
1
3
ρ− K
a2
, (3.5)
y
Ḣ +H2 =
ä
a
= −1
6
(ρ+ 3P ), (3.6)
las cuales dan la evolución del Universo. Para este caso en particular, utilizando la ley de
conservación del tensor momentum-enerǵıa Tµν;ρ = 0, se deduce que:
ρ̇+ 3H(ρ+ P ) = 0, (3.7)
esta es llamada ecuación de continuidad.
3.3. Inflación
La inflación [9, 10] se define como una era durante la cual la tasa de aumento del factor de
escala crece aceleradamente, durante esta epoca la gravedad tuvo que comportarse como una
fuerza repulsiva que esparció el contenido energético, aumentando el tamaño del Universo
que lo contiene. Inflación implica que
ä > 0, (3.8)
esta desigualdad se puede expresar en función de la longitud de comóvil de Hubble,
d
dt
(
H−1
a
)
< 0, (3.9)
por lo tanto, la condición para que haya inflación es que la longitud comóvil de Hubble este
disminuyendo con el tiempo. Esta condición soluciona los problemas del modelo cosmológico
estándar. Otra forma usual de expresar la condición de inflación es
− Ḣ
H2
< 1, (3.10)
este resultado puede ser expresado por medio de la densidad de enerǵıa y la presión de un
fluido perfecto como el considerado en (3.2), de la siguiente manera:
ρ+ 3P < 0. (3.11)
COSMOLOGÍA 21
3.4. Problemas de la cosmoloǵıa estándar
Como se menciono en la introducción el modelo cosmológico estándar [16, 9, 10] presenta
varios inconvenientes, que tienen que ver con las condiciones necesarias para que el universo
sea cómo lo es hoy en d́ıa, para solucionar estos inconvenientes hay que modificar el modelo
de tal manera que tenga unas condiciones ińıciales muy particulares y cualquier desviación
de dicho estado inicial podŕıa conllevar a un Universo diferente al nuestro. La introducción
de un peŕıodo inflacionario soluciona en gran medida el problema de condiciones ińıciales y
se convierte junto con el modelo estándar en el modelo actual que mejor describe nuestro
Universo.
3.4.1. Problema de Horizonte
El problema del horizonte, se basa en determinar por qué el Universo luce homogéneo e
isótropo a grandes escalas. En el modelo del Big Bang, la expansión no permite que el
universo primigenio se equilibre térmicamente. Por ende, dos regiones ampliamente separa-
das del universo no pueden tener la misma temperatura porque no han estado en contacto
causal.
Ahora bien, al realizar observaciones de la radiación cósmica de fondo se puede ver una
gran relación en la temperatura medida en puntos muy distintos del cielo. Si estas regiones
en realidad estaban desconectadas causalmente entre śı, no hay razón f́ısica para que man-
tengan una temperatura casi igual. La única solución que ofrece es poner unas condiciones
ińıciales muy exactas para la homogeneidad.
3.4.2. Planitud
Para cualquier valor del parámetero de Hubble se puede definir la densidad cŕıtica como:
ρcrit ≡ 3M2pH2, (3.12)
de esta forma se puede reescribir la ecuación de Friedmann [9, 10], aśı:
Ω− 1 = K
(aH)2
, (3.13)
donde Ω es llamado el parámetro de densidad, definido como Ω = ρ/ρcrit y ρ es la densidad
del contenido energético del universo (radiación, materia, etc.). Ahora, de la ecuación (3.13)
se observa que el valor de K depende del valor de ρ. Aśı, si ρ es mayor, igual o menor que
la densidad cŕıtica ρcrit entonces K será mayor, igual o menor a cero, respectivamente. De
acuerdo a la observación el valor actual del parámetro de densidad Ω0 es muy cercano a
uno (1, 0063 < Ω0 < 1, 0178), favoreciendo aśı una geometŕıa plana (K=0) para el Universo
observable. Ahora bien, si el universo es espacialmente plano hoy en d́ıa, este debió ser
COSMOLOGÍA 22
aśı todo el tiempo, ya que la solución con K = 0 es muy inestable y cualquier variación de
este valor derivaŕıa en un universo completamente diferente al observado. Para explicar la
planitud geométrica del espacio actualmente, se requiere de un ajuste fino en las condiciones
iniciales de la cosmoloǵıa del Big Bang[9, 10].
3.4.3. Monopolos Magnéticos
El problema del monopolo magnético [9, 10], algunas veces llamado el problema de las
reliquias no deseadas, es un problema que sugiere que si el Universo primitivo estaba muy
caliente, se produciŕıa un gran número de monopolos magnéticos estables y muy pesados.
Este problema junto con la Teoŕıa de la gran unificación [9, 10], fueron populares en los
años 70 y 80 y estos propońıan que a altas temperaturas (como en el universo primitivo) la
fuerza electromagnética, las fuerzas nucleares fuerte y débil no son realmente fuerzas funda-
mentales. Estas teoŕıas predicen varias part́ıculas pesadas estables que no se han observado
todav́ıa en la naturaleza. El más notorio es el monopolo magnético [9, 10], un tipo de campo
magnético estable y pesado. Los monopolos se espera que sean copiosamente producidos
en la Teoŕıa de la gran unificación a altas temperaturas y debeŕıan haber persistido hasta
la actualidad. Para precisiones muy altas, los monopolos magnéticos parecen no existir en
la naturaleza, mientras que de acuerdo a la teoŕıa del Big Bang debeŕıan haber sido copio-
samente producidos en el caliente y denso Universo primigenio, ya que se convirtió en el
constituyente primario del Universo.
3.5. Inflación mediante un campo escalar
Los modelos cosmológicos más populares y simples son los que involucranun solo campo
escalar φ, llamado inflatón, ya que estos generan homogeneidad e isotropá estad́ıstica y
explican las presiones negativas [9, 10]. La dinámica de un campo escalar acoplado de
forma mı́nima a la gravedad es gobernada por la acción,
S =
∫
d4x
√
−g
[
−Mp
2
2
R− 1
2
gµν∂
µφ∂νφ− V (φ)
]
. (3.14)
Se observa que la acción (3.14) es la suma de la acción de Einstein-Hilbert, para la gravi-
tación y la acción Sφ de un campo escalar con termino cinético. El potencial V (φ) describe
las interacciones del campo escalar. Partiendo del lagragiano para el campo escalar, esto
es,
£ = −1
2
gµν∂
µφ∂νφ− V (φ), (3.15)
se obtienen las siguientes expresiones para las componentes del tensor momentum-enerǵıa:
− T00 = ρ =
1
2
φ̇2 + V (φ), (3.16)
Txx = Tyy = Tzz = P =
1
2
φ̇2 − V (φ). (3.17)
COSMOLOGÍA 23
Recordando que para generar inflación ρ+ 3P < 0 y de (3.17) y (3.16), se concluye
φ̇2 < V (φ), (3.18)
la cual representa la condición para que haya inflación por medio de un campo escalar.
De otro lado las ecuaciones de movimiento, dan lugar al siguiente par de ecuaciones:
φ̈+ 3Hφ̇+ V ′(φ) = 0, (3.19)
H2 =
1
3M2p
ρ =
1
3M2p
(
1
2
φ̇2 + V (φ)
)
. (3.20)
Derivando la ecuación (3.20) respecto al tiempo y luego utilizando la ecuación (3.19), se
obtiene la siguiente expersión,
2M2p Ḣ = −φ̇2, (3.21)
la cual es útil en los desarrollos siguientes.
3.6. Inflación del Tipo de Rodadura Lenta
La aproximación de rodadura lenta [9, 10] consiste en imponer ciertas condiciones al po-
tencial V (φ) del campo escalar. Se desea que dicho potencial sea lo suficientemente plano
por dos razones: a través de un potencial suficientemente plano es más fácil obtener un
peŕıodo inflacionario prolongado que resuelva los problemas de la cosmoloǵıa estándar, de
otro lado, las observaciones concernientes a la formación de las estructuras a gran escala
son consistentes (casi que exigen) con que el potencial sea prácticamente plano.
Para formular la aproximación de rodadura lenta, se puede asumir que la expansión es
cuasi-exponencial, esto es:
|Ḣ|
H2
� 0, (3.22)
la cual es equivalente a,
H2 ' 1
3M2p
V (φ). (3.23)
El resultado anterior es equivalente a suponer que:
V (φ)� φ̇2, (3.24)
en la ecuación (3.20), es decir que el término cinético es mucho menor que el potencial,
lo cual implica que el este varia poco con respecto a φ, es decir se tiene un potencial
prácticamente plano.
Al derivar (3.23) con respecto al tiempo y utilizar el resultado (3.21), se puede obtener la
siguiente condición adicional,
3Hφ̇ ' −V ′(φ). (3.25)
COSMOLOGÍA 24
La cual es equivalente a imponer la condición:
|φ̈| � 3H|φ̇|, (3.26)
en la ecuación (3.19). De las ecuaciones (3.10) y (3.25), se deduce:
�(φ) ≡
M2p
2
(
V ′(φ)
V (φ)
)2
� 1, (3.27)
donde se ha definido el parámetro �(φ), conocido en la literatura como parámetro de roda-
dura lenta. Derivando la ecuación (3.25) con respecto al tiempo,
φ̈ ' −Ḣ
H
φ̇− V
′′φ̇
3H
. (3.28)
Comparando la expresión anterior con (3.19) y teniendo en cuenta las ecuaciones (3.10) y
(3.25), se obtiene la siguiente desigualdad:
|η(φ)| ≡
∣∣∣M2p V ′′(φ)V (φ) ∣∣∣ ' ∣∣∣M2p V ′′(φ)3H2 ∣∣∣� 1, (3.29)
donde se ha definido el segundo parámetro de rodadura lenta η(φ). La condición (3.19),(3.25)
y (3.28) son las aproximaciones requeridas para que haya inflación de tipo rodadura len-
ta. Las aproximaciones de rodadura lenta implican las condiciones (3.27) y (3.29) en el
potencial y son llamadas condiciones de planitud.
CAPITULO4
INFLACIÓN POR N-FORMAS
El análisis de los datos arrojados por el satélite de la WMAP, sugiere la existencia de una di-
rección preferencial en la radiación cósmica de fondo [31], es decir una violación a la isotroṕıa
estad́ıstica. Como ya se mencionó en la introdución, una dirección preferencial en el Univer-
so primordial es d́ıficil de explicar por los modelos inflacionarios convencionales, los cuales
involucran únicamente campos escalares. Hay diferentes formas de explicar teóricamente
este fenómeno y básicamente se trata de involucrar en la dinámica inflacionaria otro tipo
de campos, como por ejemplo, campos vectoriales, espinoriales [42, 43] ó n-formas[44, 45].
Estas modificaciones a la dinámica inflacionaria permiten explicar la presencia de las an-
isotroṕıas estad́ısticas deseadas, pero aún no hay un consenso de la comunidad cient́ıfica de
cual de estos modelos es el más apropiado; sin embargo, se espera que en algún momento
las observaciones avalen o desechen alguna de estas propuestas. En vista de que el problema
aún está abierto, en el presente caṕıtulo se estudiará la evolución del grado de expansión
anisótropa, en un modelo inflacionario donde se supone que el responsable de inflación es
un campo de n-formas (Aµn), sobre un fondo homogéneo y anisótropo descrito por una
métrica de Bianchi tipo I.
El principal objetivo de este trabajo es estudiar tres modelos inflacionarios que involucran n-
formas, particularmente los casos de 1- 2- 3-formas. Desde el punto de vista de las n-formas,
los campos escalares y vectoriales son casos particulares, la 0- 1-forma respectivamente.
En particular, para d-dimensiones, los grados de libertad para las formas son: la 0-forma
tiene un grado de libertad (el campo escalar), la 1-forma tiene tres grados de libertad
(vectores masivos), la 2-forma tiene tres grados de libertad y finalmente una 3-forma tiene
sólo un grado de libertad. Se tendrá en cuenta que contrariamente a las 0- y 3-formas
que son consistentes con un modelo cosmológico homogéneo e isótropo, las 1- o 2-formas
necesitan un tŕıo de vectores ortogonales para no generar una alta anisotroṕıa, superior a las
cotas observacionales, las cuales sugieren que la anisotroṕıa estad́ıstica y la inhomogeneidad
estad́ıstica deben ser del orden de aproximadamente un 10 % en los parámetros comológicos.
INFLACIÓN POR N-FORMAS 26
En general, las n-fomas mı́nimamente acopladas a la gravedad no pueden soportar el peŕıodo
inflacionario. Sin embargo, se mostrará aqúı que si hay un acople no-mı́nimo entre una n-
forma masiva con la gravedad, el modelo puede soportar el peŕıodo inflacionario. Para
iniciar con el análisis del modelo, se parte de la acción propuesta en la referencia [44], la
cual se escribe como:
S =
∫
ddx
√
−g
[
1
2κ2
R− 1
2(n+ 1)!
F 2 − V (A2)− 1
2n!
ξA2R
]
. (4.1)
En esta acción se considera un lagrangiano con un término cinético, el cual depende de la
derivada externa de Aµn ,
Fµ...µn+1 = (n+ 1)∂[µAµ2...µn+1], (4.2)
donde los corchetes indican la antisimetŕıa de Fµ...µn+1 , por ejemplo, A[MN ] = (AMN −
ANM)/2 y aśı sucesivamente; también se considera un término que depende del cuadrado
del campo V (A2), el cual permite obtener una inflación de tipo rodadura lenta. Como
espacio-tiempo de fondo, se considera el modelo anisótropo más simple del universo, el cual
viene descrito por la métrica de Bianchi I. Este modelo, a diferencia del modelo de FLRW,
tiene diferentes factores de expansión, uno asociado a cada dirección. En esta geometŕıa, el
elemento de ĺınea viene dado por:
ds2 = −dt2 + e2α(t)
[
e−4σ(t)dx2 + e2σ(t)(dy2 + dz2)
]
, (4.3)
donde eα(t) es el factor de escala global y permite definir la cantidad H = α̇ que corresponde
al parámetro de Hubble global y caracteriza la razón de expansión isótropa promedio, σ es
un parámetro que controla el monto de expansión anisótropa y su derivada σ̇, es el escalar
de esfuerzos.
4.1. Cálculo de las Ecuaciones de Movimiento
Para hallar las ecuaciones de movimiento, se aplica el principio de acción estacionaria con
extremos fijos a la acción (4.1). Variando con respecto a Aµn se obtienen las siguientes
ecuaciones (ver apéndice A):
∂ν(
√
−gF νρn) =
(
n!2V ′(A2) + ξR
)√
−gAρn . (4.4)
Ahora variando (4.1) respecto a la métrica es posible determinar el tensor Tµν (ver apéndice
B) 1:
Tµν =
1
n!
FµρnFν
ρn + 2nV ′(A2)Aµρn−1Aν
ρn−1 − gµν
(
1
2(n+ 1)!
F 2 + V (A2)
)
+
ξ
n!
[nRAµρn−1Aν
ρn−1 + (Gµν −∇µ∇ν + gµν�)A2
]
, (4.5)
1En este caso Tµν no será el tensor enerǵıa-momentun convencionalmente conocido [46], debido al acople
no-mı́nimo observado en la acción.
INFLACIÓN POR N-FORMAS 27
esta ecuación determina la relación que hay entre el contenido energético y la geometŕıa
del espacio-tiempo, en la cual el campo gravitacional es generado y perturbado por la
distribución de contenido energético debido al acople no-mı́nimo.
4.2. 1-forma
Se tomará una dirección preferencial para la inflación partiendo de 1-forma particular:
Aµ = e
α(t)−2σ(t)X(t)δµx, (4.6)
donde A2 = X2. De la ecuación (4.6) y para un universo en expansión de tipo Bianchi I, la
ecuación dinámica que gobierna la anterior 1-forma es2
Ẍ + 3HẊ + [2V ′ + (1 + 6ξ)(Ḣ + 2H2)− 2Hσ̇ − 2σ̈ − (4− 6ξ)σ̇2]X = 0. (4.7)
Es importante para este caso obtener ρ, P y Π. Las dos primeras cantidades son la densidad
de enerǵıa y la presión que genera la 1-forma; la última cantidad representa el tensor de
esfuerzos anisótropo, cuya traza es cero y se define como: Πj
i = diag(−2Π,Π,Π). Además,
se tomará un potencial muy simple: V (x) = 1
2
m2x, para facilitar el análisis de rodadura
lenta. Las expresiones para las cantidades ρ, P y Π son3:
ρ =
1
2
[
m2X2 + (Ẋ +HX − 2σ̇X+)2
]
+ ξ
[
6HXẊ + 3(H2 − 2σ̇2)X2
]
, (4.8)
P =
1
3
[
1
2
((Ẋ +HX − 2σ̇X)2 −m2X2)
]
− 2ξ
[
Ẋ −HXẊ +X2
(
m2 + (1 + 6ξ)Ḣ
+H2
(
5
2
+ 12ξ
)
− 2Hσ̇ − 2σ̈ −
(
9
2
− 6ξ
)
σ̇2
)]
, (4.9)
Π =
1
3
[
(Ẋ +HX − 2σ̇X)2 −m2X2
]
− ξ
[
2Ḣ + 4H2 − 2σ̇2 − (σ̈ + 3Hσ̇)
]
X2
+ ξ2σ̇XẊ. (4.10)
En la acción (4.1) el parámetro de acople ξ puede tomar cualquier valor arbitrario, el caso
donde ξ = 0 implicaŕıa que no hay acople. En este caso, es imposible satisfacer la condición
de expansión acelerada, la cual es ρ + 3P < 0, ya que de las ecuaciones (4.8) y (4.9) se
tiene:
ρ+ 3P = (Ẋ +HX − 2σ̇X)2 > 0, (4.11)
por lo tanto no hay expansión acelerada cuando ξ = 0 o en otras palabras, si el acople
es mı́nimo entre la gravedad y la 1-forma, no hay inflación. Ahora, se estudiará el caso
particular en el cual el parámetro de acople es ξ = −1/6; este valor es necesario para
2Los detalles de este cálculo se encuentran en el Apéndice D
3Los detalles de los cálculos para ρ, P y Π se encuentran en los Apéndices D y E.
INFLACIÓN POR N-FORMAS 28
asegurar la inflación del tipo de rodadura lenta. Aśı, de (4.8) y (4.9) la condición para
inflación toma la siguiente forma:
ρ+ 3P = 2Ẋ2 − 4σ̇XẊ +X2(10σ̇2 −m2 + 2σ̈ − 2σ̇H) ' (2σ̈ −m2)X2, (4.12)
esta será de gran utilidad más adelante. Por otra parte, las ecuaciónes de campo de Einstein
(2.6), toman la forma:
s̈
s
= −κ
2(ρ+ 3P )
6
− 2σ̇2, (4.13)
donde s es un factor de escala promedio, el cual es la ráız cubica del producto de los
factores de escala globales, es decir s = eα. El termino 2σ̈ en la parte derecha de (4.12),
puede despreciase frente a m2, además, asumiendo que σ̇ � H, se obtiene a una expansión
de tipo exponencial o de de-Sitter, s ∼ eHt = emκXt/
√
6. Resumiendo, la condición para que
haya expansión exponencial en este caso es:
σ̇ � H. (4.14)
La parte que genera anisotroṕıas en la inflación corresponde al tensor de esfuerzo anisótropo
4,10, el cual puede ser expresado como:
Π̃ ≡ Π + 1
6
(σ̈ + 3Hσ̇)X2 =
1
3
[
Ẋ2 +XẊ(2H − 5σ̇) +X2(−4σ̇H + 5σ̇2 −m2 + Ḣ + 3H2)
]
,
donde Π̃ es el tensor de esfuerzo anisótropo efectivo. Teniendo en cuenta la ecuación (C.13),
Π̃ toma la forma: (
1 +
κ2
6
X2
)
(σ̈ + 3Hσ̇) = κ2Π̃. (4.15)
Esta es la ecuación dinámica del parámetro σ, quien controla el monto de expansión
anisótropa. El campo debe ser lo suficientemente grande (κ2X2/6 � 1) para lograr la
inflación; por lo tanto la ecuación (4.15) queda,
X2(σ̈ + 3Hσ̇) = 6Π̃, (4.16)
garantizando que se cumpla ρ+ 3P < 0 en (4.12), se puede considerar que σ̈ ' 6H2, σ̇ ' 0
y 2σ̈ � m2. A demás, sustituyendo los valores de σ̈ y σ̇, en (4.16), se obtiene un valor para
el tensor de esfuerzo anisótropo efectivo, durante la inflación, Π̃ ' X2H2. De otro lado,
después del peŕıodo inflacionario σ̈ = 0 este valor implicaŕıa que σ̇ ' 2H,. Las anteriores
conclusiones contradicen las condiciones de expansión exponencial, aśı como la de mantener
el esfuerzo casi despreciable. En conclusión, este modelo es inviable!!
4.3. Tŕıadas
Como se observo en (4.2) un solo campo vectorial no es suficiente para que se logre un
peŕıodo inflacionario de tipo rodadura lenta, por esta razón, se asumirá que la inflación es
INFLACIÓN POR N-FORMAS 29
soportada por varios campos vectoriales. El modelo más simple es una triada de campos
vectoriales mutuamente ortogonales [41]. Este modelo logra generan un nivel de anisotroṕıa
consistente con las observaciones y ademas un peŕıodo de inflación exponencial. La triada
en este caso se define con respecto al otro campo X2, como
X21 = (1 + �)X
2/3,
X22 = X
2
3 ≡ X2/3, (4.17)
donde � � 1 es una pequeña perturbación en uno de los campos y es además coincide
con el primer parámetro de rodadura lenta (3.27). Para garantizar inflación, los campos
deben ser del tipo de rodadura lenta (Ẋi � HXi) y a demás, ser lo suficientemente grandes
(κ2X2/6� 1). La siguiente expresión es la condición de expansión acelerada,
ρ+ 3P ' X2[−m2 + 2�σ̈] < 0, (4.18)
donde el primer parámetro de rodadura lenta � acompaña a σ̈ y no a m2, esto se debe a
que el m2 viene del potencial y este no necesariamente depende de �. Además el tensor de
esfuerzo anisótropo Π y el σ̈,
Π̃ ' �X2H2,
σ̈ = 6�H2, (4.19)
estarán controlados por el parámetro de rodadura lenta � y este no permitirá que se genere
mucha anisotroṕıa durante inflación, ya que � � 1. Con el fin de ser consecuente con la
teoŕıa hay que comprobar que �� 1, para ello se parte de la condición de inflación (4.18),
escrita de la siguiente forma:
� < m2/(2σ̈). (4.20)
Teniendo en cuenta una la expansión de de-Sitter y (4.19), se determina una desigualdad
entre el parámetro de rodadura lenta � y el campo X,
� < (
√
2κX)−1, (4.21)
para determinar un rango del valor numérico de � hay que hablar de el monto de inflación
también conocido como el numero de e-foldsN , estos dan cuenta de la cantidad de expansión
producida durante la inflación. Usualmente se define como:
N ≡ ln aEnd
a
=
∫ tEnd
t
H dt =
∫ XEnd
X
H
Ẋ
dX ≈
∫ X
XEnd
V
V ′
dX
≡
(
κX
2
)2
− 1
2
, (4.22)
Es necesario un N ≥ 70 e-folds para resolver los problemas cosmológicos del modelo
estándar, con (4.21) se puede determinar que κX > 17, por lo tanto, con (4.21) se ob-
tiene un rango para el parámetro �,
� < 0,04 (4.23)
este valor es consistente con las condiciones de rodadura lenta y además controla el monto
de anisotroṕıa. En conclusión este modelo es viable!!
INFLACIÓN POR N-FORMAS 30
4.4. 2-forma
Se tomara primero una dirección preferencial y un término temporal en la 2-forma, la cual
es:
Aµν = e
2α(t)−2σ(t)X(t)(δµ0δνx − δµxδν0), (4.24)
con A2 = −2X2. Debido a que la 2-forma tiene un término temporal se anula la parte
cinetica de la ecuación (4.4), por lo tanto, la ecuación de movimiento del campo (4.4)
tomara la forma:
X(t)(4V ′ + ξR) = 0.
Un modelo de este tipo implicaŕıa que el campo es no-dinámico, llamado modelo de Cus-
cuton o en la gravedad modificada dentro del enfoque Palatini [47, 48, 49, 50]. Este trabajo
solo se tiene en cuenta los campos dinámicos, por esta razón, se partirá de que el universo
se expande en dos direcciones, lo cual quiere decir que la 2-forma se puede expresar como:
Aµν = e
2α(t)+2σ(t)X(t)(δµyδνz − δµzδνy), (4.25)
con A2 = 2X2. La ecuación de movimiento para 2-forma escrita anteriormente es (ver
apéndice G):
Ẍ + 3HẊ + 2
[
2V ′(A2) + (1 + 3ξ)Ḣ + (1 + 6ξ)H2 − σ̇H + σ̈ − (2− 3ξ)σ̇2
]
X = 0.(4.26)
Tomando un parámetro de acople particular ξ = −1/6 para la inflación. Se elimina el
aporte de la masa efectiva aportada por H2 y quedarán los términos aportados por Ḣ y σ̇,
estos deben de ser pequeños paraque se garantices la inflación de tipo rodadura lenta. Por
lo tanto, la condición (G.11) implica que la masa efectiva al cuadrado es negativa (ver la
sección 2.3).
El nivel de anisotroṕıa está determinado por el tensor de esfuerzo anisotrópico πij =
diag(−2Π,Π,Π) (ver apéndice G),
Π = 6H2 + 3Hσ̇ + 4Ḣ + 6σ̇2 + σ̈ + 4V ′X2 − 2V
+ξ[−4XẌ − 4Ẋ2 − 2ẊXσ̇ − 8ẊXH + (6H2 + 2Ḣ − 3Hσ̇ + σ̇2)X2], (4.27)
este es similar a (4.10). En cierta forma este caso similar al anterior, la anisotroṕıa crese
mucho en la inflación y por esto se tiene que introducir un ajuste con las triadas, hacer esto
es repetir lo que se hizo con la 1-forma, por esta razón, no se tendrá en cuenta la 2-forma
en las discusiones.
4.5. 3-forma
De nuevo cuando el campo contiene un término temporal, A = e2α(t)+2σ(t)X(t)dt∧ dy ∧ dz,
se tendŕıa un modelo no dinámico X(t)(4V ′ + ξR) = 0 pero este no es de interés en este
INFLACIÓN POR N-FORMAS 31
trabajado. Por lo tanto, se considerará que la 3-forma solo tiene ı́ndices espaciales. A demás,
la expansión acelerada no tendrá direcciones preferenciales por esto se tomará una métrica
homogénea e isótropa como FRW donde σ(t) = 0. La 3-forma en este caso está escrita
como:
A = e3α(t)X(t)dx ∧ dy ∧ dz, (4.28)
donde A2(t) = 6X2(t). Por medio de las ecuaciones de campo (2.6), se determina la ecuación
de Friedmann la cual es (ver apéndice H):
3
[
1
κ2
−
(
3
2
+ ξ
)
X2
]
H2 =
1
2
Ẋ2 + 3(1 + 2ξ)HẊX + Ṽ (X2). (4.29)
Teniendo en cuenta (4.4) se determina la ecuación de movimiento del campo para este caso,
Ẍ + 3HẊ + 3
[
2
3
Ṽ ′(X2) + 4ξH2 + (1 + 2ξ)Ḣ
]
X = 0. (4.30)
donde sea tomado por facilidad Ṽ (X2) ≡ V (A2) = V (6X2). En el caso particular donde el
acople es mı́nimo ξ = 0, la ecuación dinamica del campo (4.30) se convierte en la ecuación
de Klein-Gordon. Por lo tanto, la densidad de enerǵıa y la presión eficaz puede ser escrita
como:
ρX =
1
2
(
Ẋ + 3HX
)2
+ Ṽ (X2), (4.31)
PX = −
1
2
(
Ẋ + 3HX
)2
+ 2Ṽ ′(X2)X2 − Ṽ (X2), (4.32)
con lo anterior la condición de inflación (ρ+ 3P < 0), toma la forma:
6s̈
κ2s
=
(
Ẋ + 3HX
)2
+ 2Ṽ (X2)− 6Ṽ ′(X2)X2 > 0, (4.33)
por lo tanto, no es necesario cumplir con las condiciones de rodadura lenta para que obtener
inflación y a demás la 3-forma parece acelerar un universo de FRW más naturalmente que
un campo escalar. Para darse cuenta de una inflación imaginaria en este modelo se necesita
una pendiente negativa para el potencial,
Ḣ = −κ2X2Ṽ ′(X2) > 0, (4.34)
para no tener el mismo problema que se tuvo en la 2-forma.
CAPITULO5
CONCLUSIONES
En este trabajo se estudió un modelo cosmológico soportado por n-formas, el cual permite
explicar la fenomenoloǵıa existente en un fondo homogéneo y anisótropo descrito por una
métrica de Bianchi tipo I, todo esto bajo el régimen de rodadura lenta y de baja anisotroṕıa
en la expansión, del análisis de estos modelos se concluye que:
La inflación soportada por la 1-foma con una sola dirección preferencial no es viable
desde el punto de visto fenomenológico, por el alto grado de anisotroṕıa estad́ıstica
que esta genera.
Si se parametriza la inflación soportada por la 1-foma con una tŕıada de campos
vectoriales mutuamente ortogonales, se controlará las anisotroṕıas estad́ısticas.
La inflación soportada por la 2-foma es inestable, el principal problema de este modelo
radica en que la masa efectiva del campo debe ser imaginaria para garantizar la
inflación.
Se observa que la 3-forma de manera natural podŕıa soportar la inflación con el fondo
de FRW. En particular, la 3-forma puede generar inflación incluso sin establecer un
campo que sirva para el modelo de rodadura lenta.
APÉNDICEA
Cálculo de las ecuaciones de
movimiento
Para cálcular la ecucación de movimiento de las n-formas, se aplica el principio de acción
estacionaria con extremos fijos a la acción (4.1) y respecto a la n-forma Aµn , aśı:
δS =
∫
ddx
∂
∂Aρn
[√
−gR
2κ2
−
√
−g
2(n+ 1)!
F 2 −
√
−gV (A2)−
√
−g
2n!
ξA2R
]
δAρn +∫
ddx
∂
∂(∂νAρn)
[√
−gR
2κ2
−
√
−g
2(n+ 1)!
F 2 −
√
−gV (A2)−
√
−g
2n!
ξA2R
]
δ(∂νAρn) = 0, (A.1)
Ahora, teniendo en cuenta que δAρn y δ(∂νAρn) son variables arbitrarias de la n-forma y
su derivada, se requiere que el integrando sea cero para que se cumpla que δS = 0. Aśı, el
primer el argumento del integrando, esto es:
I1 =
∂
∂Aρn
[√
−gR
2κ2
−
√
−g
2(n+ 1)!
F 2 −
√
−gV (A2)−
√
−g
2n!
ξA2R
]
, (A.2)
queda de la siguiente manera:
I1 = −
√
−g ∂
∂Aρn
[
V (A2) +
1
2n!
ξA2R
]
, (A.3)
donde se ha tenido en cuenta que el término gemétrico R
√
−g no depende de la n-forma y
por lo tanto su derivada es nula. El mismo argumento aplica para el término que contiene
F 2, el cual depende expĺıcitamente solo de las derivadas1 de las n-formas. La ecuación (A.3)
se puede escribir como:
I1 = −
√
−g
[
V ′(A2) +
1
2n!
ξR
]
∂AµnAµn
∂Aρn
. (A.4)
1FM1...Mn+1 = (n+ 1)∂[M1AM2...n+1]
Cálculo de las ecuaciones de movimiento 34
Para calcular la derivada en la expresión anterior, se tiene en cuenta que:
∂Aµn
∂Aρn
= δµ1ρ1 δ
µ2
ρ2
....δµnρn ,
y
Aµn = gµ1σ1gµ2σ2 ...gµnσnAσn ,
con lo cual se tiene:
I1 = −
√
−g
[
V ′(A2) +
1
2n!
ξR
](
δµ1ρ1 δ
µ2
ρ2
....δµnρnA
µn + Aµn
∂
∂Aρn
(gµ1σ1gµ2σ2 ...gµnσnAσn)
)
utilizando el mismo argumento anterior, se tiene
I1 = −
√
−g
[
V ′(A2) +
1
2n!
ξR
] (
Aρn + Aµn(g
µ1σ1 ...gµnσnδρ1σ1 ....δ
ρn
σn)
)
, (A.5)
con lo cual se concluye que el primer integrando es:
I1 = −2
√
−g
[
V ′(A2) +
1
2n!
ξR
]
Aρn . (A.6)
Para el segundo integrando hay que tener en cuenta que la derivada parcial es respecto a
las derivada de Aµn y el único termino que depende de ella es F
2, por lo tanto queda:
I2 = −
√
−g ∂
∂(∂νAρn)
[
1
2(n+ 1)!
F 2
]
, (A.7)
teniendo en cuenta que:
∂
∂(∂νAρn)
Fµn+1 =
∂
∂(∂νAρn)
∂[M1AM2...n+1],
y que,
∂
∂(∂νAρn)
[
∂[M1AM2...n+1]
]
= δµ1ν δ
µ2
ρ1
..δµn+1ρn − δ
µ2
ν δ
µ3
ρ1
..δµ1ρn + δ
µ3
ν δ
µ4
ρ1
..δµ2ρn − ... (A.8)
la ecuación (A.7), queda;
I2 = −
√
−g (n+ 1)
2(n+ 1)!
[(δµ1ν δ
µ2
ρ1
..δµn+1ρn − δ
µ2
ν δ
µ3
ρ1
..δµ1ρn + δ
µ3
ν δ
µ4
ρ1
..δµ2ρn − ...)F
µn+1 +
Fµn+1(g
µ1σ1gµ2σ2 ...gµn+1σn+1)(δσ1ν δ
σ2
ρ1
..δσn+1ρn − δ
σ2
ν δ
σ3
ρ1
..δσ1ρn + δ
σ3
ν δ
σ4
ρ1
..δσ2ρn − ...)](A.9)
Ahora, por las propiedades del los delta de Kronecker y la antisimetria de las n-formas, la
anterior expresión, se reduce a:
I2 = −
√
−g
n!
F νρn . (A.10)
Cálculo de las ecuaciones de movimiento 35
Ahora, reemplazando (A.6) y (A.10) en (A.1) se tiene:
δS =
∫
ddx
[(
−2
√
−gV ′(A2)−
√
−g
n!
ξR
)
Aρn
]
δAρn +∫
ddx
[
−
√
−g
n!
F νρn
]
δ(∂νAρn) = 0, (A.11)
El término δ(∂νAρn) puede reescribirse como: ∂ν(δAρn), con lo cual se tiene que:
∂ν(
√
−gF νρnδAρn) = δAρn∂ν(
√
−gF νρn) + ∂ν(δAρn)
√
−gF νρn (A.12)
sustituyendo esto en (A.11) se tiene que,
δS =
∫
ddx
[(
−2
√
−gV ′(A2)−
√
−g
n!
ξR
)
Aρn
]
δAρn +
1
n!
∫
ddx
[
∂ν(
√
−gF νρn)
]
δAρn −
1
n!
∫
ddx
[
∂ν(
√
−gF νρnδAρn)
]
= 0. (A.13)
Usando el teorema de la divergencia, la ultima integral se escribe como una integral de su-
perficie, la cual se anula por que se esta considerando que los extremos son fijos. Agrupando
las dos integrales restantes se tiene,
δS =
∫
ddx
[(
−2
√
−gV ′(A2)−
√
−g
n!
ξR
)
Aρn + ∂ν(
√
−gF νρn)
]
δAρn = 0. (A.14)
Como δAρn es arbitrario, la nica posibilidad es que el integrando de (A.14) sea igual a cero.
Aśı las ecuaciones de movimiento que rigen la evolución de la n-forma Aρ vienen dadas por:
∂ν(
√
−gF νρn) =
(
n!2V ′(A2) + ξR
)√
−gAρn . (A.15)
APÉNDICEB
Obtención del tensor Tµν
Al variar la acción (4.1) respecto a la métrica gµν (4.3), esto es,
δS =
∫
ddx
∂
∂gµν
[√
−gR
2κ2
−
√
−g
2(n+ 1)!
F 2 −
√
−gV (A2)−
√
−g
2n!
ξRA2
]
δgµν = 0, (B.1)
se obtendra el valor para Tµν . Para que (B.1) se cumpla, el interando debe de ser cero, por
lo tanto,
I =
∂
∂gµν
[√
−gR
2κ2
−
√
−g
2(n+ 1)!
F 2 −
√
−gV (A2)−
√
−g
2n!
ξRA2
]
= 0, (B.2)
este se puede escribir de una formas más conveniente como[
R
2κ2
− 1
2(n+ 1)!F 2 − V (A2)− 1
2n!
ξA2R
]
∂
√
−g
∂gµν
+
∂R
∂gµν
[√
−g
2κ2
−
√
−g
2n!
ξA2
]
−
−
√
−g
2(n+ 1)!
∂F 2
∂gµν
−
[√
−gV ′(A2) +
√
−g
2n!
ξR
]
∂A2
∂gµν
= 0. (B.3)
Es necesario determinar el valor de cada derivada mostrada anteriormente. Primero se
calculará el valor de
∂
√
−g
∂gµν
,
utilizando la siguiente identidad de las matrices diagonalizables:
det(eA) = eTr(A). (B.4)
De esta forma el determinante de gµν se puede escribir de la siguiente manera
g = det(eln(gµν)) = eTr(ln(gµν)). (B.5)
Obtención del tensor Tµν 37
Al calcular la vairación a ambos lados de la igualdad,
δg = δeTr(ln(gµν)) = eTr(ln(gµν))Tr
(
δgµν
gµν
)
, (B.6)
y utilizando la definición (B.5),
δg = gTr
(
δgµν
gµν
)
, (B.7)
como la traza de un escalar es el mismo escalar, se tiene que:
δg = g
δgµν
gµν
, (B.8)
teniendo en cuenta que gµν es una matriz cuadrada diagonalizable y que el producto gµνg
µν
es invariante, la ecuación (B.8) se puede reescribir como:
δg = −ggµνδgµν . (B.9)
La variación de
√
−g entonces quedara,
δ
√
−g = − δg
2
√
−g
= − 1
2
√
−g
(−ggµνδgµν)
= −
√
−g
2
gµνδg
µν , (B.10)
de esta forma se obtiene la derivada de
√
−g con respecto a la métrica contravariante,
aproximando la variacional a diferencial:
δ
√
−g
δgµν
=
∂
√
−g
∂gµν
= −
√
−g
2
gµν . (B.11)
La derivada de AρnAρn con respecto a la métrica cotravariante g
µν es,
∂ (AρnA
ρn)
∂gµν
= AρnAσn
(
∂ (gρ1σ1gρ2σ2 ...gρnσn)
∂gµν
)
, (B.12)
ahora, reemplazando cada derivada por dos delta Kronecker, uno por cada par de ı́ndices,
la anterior ecuación se escribe como:
AρnAσn
(
∂ (gρ1σ1gρ2σ2 ...gρnσn)
∂gµν
)
= AρnAσn [(δ
ρ1
µ δ
σ1
ν )g
ρ2σ2 ...gρnσn +
gρ1σ1(δρ2µ δ
σ2
ν )g
ρ3σ3 ...gρnσn + ...+ gρ1σ1 ...gρn−1σn−1(δρnµ δ
σn
ν )], (B.13)
teniendo en cuenta las propiedades del delta Kronenker y contrayendo los ı́ndices, la parte
derecha de la anterior ecuación, toma la siguiente forma:
Aµρ2...ρnAν
ρ2...ρn + Aρ1µρ3...ρnA
ρ1
ν
ρ3...ρn +
+Aρ1ρ2µρ4...ρnA
ρ1ρ2
ν
ρ4...ρn + ..+ Aρ1...ρn−1µA
ρ1...ρn−1
ν , (B.14)
Obtención del tensor Tµν 38
por la antisimetŕıa de las n-formas, en la expresión anterior se reescribe como:
(Aµρ2..ρnAν
ρ2..ρn)
(
1 + (−1)2 + (−1)4 + ..+ (−1)2n
)
= n (Aµρ2..ρnAν
ρ2..ρn) . (B.15)
Aśı, la ecuación (B.12) toma la forma:
∂ (AρnA
ρn)
∂gµν
= nAµρ2..ρnAν
ρ2..ρn = nAµρn−1Aν
ρn−1 (B.16)
donde en la última parte se han renombrado los ı́ndices y se ha introducido la siguiente
notacin: ρn−1 = ρ1ρ2 . . . ρn−1, que se utilizará de aqúı en adelante.
La derivada de FρnσnF
ρnσn con respecto a la métrica contravariante es:
∂ (FσnρnF
σnρn)
∂gµν
= FσnρnFβnαn
∂
(
gβ1ρ1gα1σ1 ..gβnρngαnσn
)
∂gµν
, (B.17)
y ya fue calculada en (B.13), por lo tanto:
∂ (FσnρnF
σnρn)
∂gµν
= (n+ 1)FµρnFν
ρn . (B.18)
Finalmente se mostrara el cálculo de la derivada del escalar de curvatura R con respecto a
la métrica. Partiendo de la siguiente definición del tensor de Riemman,
Rρµσν = Γ
ρ
νσ;µ − Γρµσ;ν , (B.19)
haciendo que σ → ρ y realizando la variación de la ecuación anterior, se tiene:
δRµν = δR
ρ
µρν = δΓ
ρ
νρ;µ − δΓρµρ;ν . (B.20)
Con este resultado es posible calcular la varición del escalar de curvatura:
R = Rµνg
µν , (B.21)
δR = Rµνδg
µν + δRµνg
µν , (B.22)
δR = Rµνδg
µν + gµν [δΓρνρ;µ − δΓρµρ;ν ]. (B.23)
En el segundo término de la ecuación anterior hay que definir los śımbolos de Christoffel,
los cuales son:
Γλµν =
1
2
gλα(gαν,µ + gαµ,ν − gµν,α), (B.24)
teniendo en cuenta la relación anterior y tomando la variación de esta se obtiene:
δΓλµν;ρ =
1
2
gλα(δgαν,µρ + δgαµ,νρ − δgµν,αρ), (B.25)
Obtención del tensor Tµν 39
en la presente situación es de inteés la siguiente resta:
δΓρνρ;µ − δΓρµρ;ν =
1
2
[gραδgαν,µρ − gραδgµν,αρ − gραδgαρ,µν + gραδgµρ,αν ], (B.26)
multiplicando por gµν y teniendo en cuenta los ı́ndices mudos, (B.26) se convierte en,
gµν [δΓρνρ;µ − δΓρµρ;ν ] =
1
2
gραgµν [2δgρµ,να − 2δgµν,αρ] (B.27)
la parte derecha de la ecuación (B.27) se desarrollará a continuación:
gραgµν [∇ν∇αδgρµ −∇α∇ρδgµν ] =
gραgµν [∇ν∇α(gρσgµβδgσβ)−∇α∇ρ(gµσgνβδgσβ)] =
δνβδ
α
σ∇ν∇αδgσβ − δνσgραgνβ∇α∇ρδgσβ =
∇σ∇βδgσβ − gαρgσβ∇α∇ρδgσβ =
∇σ∇βδgσβ − gσβ(gαρ∇α∇ρ)δgσβ =
∇σ∇βδgσβ − gσβ�δgσβ.
Cambiando los ı́ndices mudos σ → µ y β → ν y se remplaza este resultado en (B.26) se
tiene que:
δR = Rµνδg
µν + (∇µ∇νδgµν − gµν�δgµν), (B.28)
aproximando el operador δ a ∂, siempre que las variaciones en la curvatura sean infinitesi-
males, se tiene:
δR
δgµν
=
∂R
∂gµν
= Rµν + (∇µ∇ν − gµν�) (B.29)
las ecuaciones (B.11), (B.16), (B.18) y (B.29), son todas las derivadas que se necesitan,
para continuar con el cálculo de Tµν . Reemplazando estas derivadas en la expresión (B.3)
se obtiene: [
R
2k2
− 1
2(n+ 1)!
F 2 − V (A2)− 1
2n!
ξA2R
](
−
√
−g
2
gµν
)
+
+(Rµν + (∇µ∇ν − gµν�))
[√
−g
2k2
−
√
−g
2n!
ξA2
]
−
−
√
−g
2(n+ 1)!
(n+ 1)FµρnFν
ρn −
[√
−gV ′(A2) +
√
−g
2n!
ξR
]
nAµρn−1Aν
ρn−1 = 0. (B.30)
Reordenando la expresión anterior se tiene:
− 1
n!
FµρnFν
ρn − 2nV ′(A2)Aµρn−1Aνρn−1 + gµν
(
1
2(n+ 1)!
F 2 + V (A2)
)
− ξ
n!
[
nRAµρn−1Aν
ρn−1 +
((
Rµν −
1
2
gµνR
)
+∇µ∇ν − gµν�
)
A2
]
+
1
κ2
(
Rµν −
1
2
gµνR
)
= 0. (B.31)
Obtención del tensor Tµν 40
Y finalmente se concluye que:
Tµν =
1
n!
FµρnFν
ρn + 2nV ′(A2)Aµρn−1Aν
ρn−1 − gµν
(
1
2(n+ 1)!
F 2 + V (A2)
)
+
ξ
n!
[
nRAµρn−1Aν
ρn−1 + (Gµν −∇µ∇ν + gµν�)A2
]
(B.32)
APÉNDICEC
Cálculo de R y G
µ
ν
En el cálculo de la curvatura escalar R, hay que determinar primero el tensor de Ricci Rσν
y luego contraer sus ı́ndices, por eso partirá de:
Rσν = R
ρ
σρν = ∂ρΓ
ρ
νσ − ∂νΓρρσ + Γ
ρ
ρλΓ
λ
νσ − Γ
ρ
νλΓ
λ
ρσ. (C.1)
Para poder realizar el cálculo de la ecuación anterior hay que tener en cuenta la métrica (4.3)
y la definición (B.24) de los śımbolos de Cristoffel. Para esta geometŕıa las componentes no
nulas de las conexiones son los siguientes:
Γ0xx = e
2(α−2σ)(α̇− 2σ̇), Γ0yy = Γ0zz = e2(α+σ)(α̇+ σ̇), Γx0x = α̇− 2σ̇, Γ
y
0y = Γ
z
0z = α̇+ σ̇.
Llevando los resultados anteriores a (C.1), se encuentran las componentes del tensor de
Ricci,
R00 = −3(α̈ + α̇2 + 2σ̇2), (C.2)
Rxx = e
2(α−2σ)(α̈− 2σ̈ + 3α̇2 − 6α̇σ̇), (C.3)
Ryy = Rzz = e
2(α+σ)(α̈ + σ̈ + 3α̇2 + 3α̇σ̇). (C.4)
Con el anterior resultado es posible determinar el escalar de curvatura R,
R = g00R00 + g
11R11 + g
22R22 + g
33R33
= 3(α̈ + α̇2 + 2σ̇2) + (α̈− 2σ̈ + 3α̇2 − 6α̇σ̇) + 2(α̈ + σ̈ + 3α̇2 + 3α̇σ̇)
= 6α̈ + 12α̇2 + 6σ̇2, (C.5)
recordando que H = α̇, la anterior expresión se modifica de la siguiente forma,
R = 6Ḣ + 12H2 + 6σ̇2 (C.6)
Para el cálculo de Gµν hay que partir de su definición, esto es:
Gµν = R
µ
ν −
1
2
gµνR. (C.7)
Cálculo de R y Gµν 42
Ahora, utilizando (C.2) y (C.6), se tiene que
G00 = 3σ̇
2 − 3H2, (C.8)
Con (C.3), (C.4) y (C.6) se obtiene:
Gxx = −3H2 − 6Hσ̇ − 2Ḣ − 2σ̈ − 3σ̇2, (C.9)
Gyy = G
z
z = −3H2 + 3Hσ̇ − 2Ḣ + σ̈ − 3σ̇2. (C.10)
Utilizando (C.8) y (C.9) y (C.10), se determinan la densidad de enerǵıa y la presión del
contenido material, esto es:
κ2ρ = −G00 = 3H2 − 3σ̇2, (C.11)
κ23P = Gii = −9H2 − 6Ḣ − 9σ̇2, (C.12)
y el tensor de esfuerzos,
κ2Π = Gyy − P = −3H2 + 3Hσ̇ − 2Ḣ + σ̈ − 3σ̇2 − (−3H2 − 2Ḣ − 3σ̇2)
= σ̈ + 3Hσ̇. (C.13)
Sumando (C.11) y (C.12), se obtiene:
H2 + Ḣ = −κ
2(ρ+ 3P )
6
− 2σ̇2. (C.14)
APÉNDICED
Cálculo de la ecuación de movimiento
para una 1-Forma
En este apéndice se determina la ecuación de movimiento para siguiente 1-forma:
Aµ = e
α(t)−2σ(t)X(t)δµx, (D.1)
donde A2 = X2(t). Para esto se parte de la ecuación (A.15). Primero se desarrollara la
parte izquierda de (A.15), para la cual se tiene que:
∂ν(
√
−gF νµ) = ∂ν(
√
−ggβνgρµFβρ)
= ∂ν(
√
−g)F νµ +
√
−g∂ν(gβν)gρµFβρ
+
√
−ggβν∂ν(gρµ)Fβρ +
√
−ggβνgρµ∂νFβρ. (D.2)
Teniendo en cuenta que el determinante de gµν es g = −e6α(t), el primer término de la
anterior ecuación da:
∂ν(e
3α)F νµ = ∂ν(e
3α)gβνgρµFβρ
= ∂0(e
3α)gβ0gρµFβρ
= 3α̇e3αg00gρµF0ρ
= 3α̇e3αg00gρµ∂0(e
α(t)−2σ(t)X(t))δρx
= 3α̇e3αg00gxx∂0(e
α(t)−2σ(t)X(t))δµx
= −3α̇e3αe−2(α−2σ)eα−2σ((α̇− 2σ̇)X + Ẋ)δµx
= −3α̇e3αe−(α−2σ)((α̇−2σ̇)X + Ẋ)δµx . (D.3)
El segundo y tercer término de la ecuación (D.2) se desarrolla de la siguiente manera:
e3αgβν∂ν(g
ρµ)Fβρ = e
3αg00∂0(g
ρµ)F0ρ
= e3αg00∂0(g
xx)∂0(e
α(t)−2σ(t)X(t))δµx
= e3αe−2(α−2σ)(2(α̇− 2σ̇))eα−2σ((α̇− 2σ̇)X + Ẋ)δµx
= e3αe−(α−2σ)(2(α̇− 2σ̇))((α̇− 2σ̇)X + Ẋ)δµx . (D.4)
Cálculo de la ecuación de movimiento para una 1-Forma 44
Finalmente, el cuarto término de se (D.2) desarrolla aśı:
e3αgβνgρµ∂νFβρ = e
3αg00gρµ∂0F0ρ
= e3αgρµg00∂0F0ρ
= −e3αe−2(α−2σ)∂0(eα−2σ((α̇− 2σ̇)X + Ẋ))δµx
= −e3αe−(α−2σ)[2(α̇− 2σ̇)((α̇− 2σ̇)X
+Ẋ) + (α̈− 2σ̈)X + (α̇− 2σ̇)Ẋ + Ẍ]δµx . (D.5)
Sumando (D.3), (D.4) y (D.5) se obtiene:
∂ν(
√
−gF νµ) = e3αe−(α−2σ)[−3α̇((α̇− 2σ̇)X + Ẋ) +
+2(α̇− 2σ̇)2X − Ẍ − (α̈− 2σ̈)X]δµx . (D.6)
La parte izquierda de (A.15), es:
√
−gAµ(2V ′ − ξR) = e3αgµρAρ(2V ′ − ξR)
= e3αgxxeα−2σX(2V ′ − ξR)
√
−gAµ(2V ′ − ξR)
= e3αe−(α−2σ)X(2V ′ − ξ(6α̈ + 12α̇2 + 6σ̇2))δµx . (D.7)
Finalmente de (D.6), (D.7) y teniendo en cuenta que H = α̇, se obtiene para (A.15), la
siguiente expresión:
Ẍ + 3HẊ + [2V ′ + (1 + 6ξ)(Ḣ + 2H2)− 2Hσ̇ − 2σ̈ − (4− 6ξ)σ̇2]X = 0. (D.8)
APÉNDICEE
Cálculo de ρ para la 1-Forma
Para obtener la componente T 00 del tensor T
µ
ν , se parte de la ecuación (B.32), para µ = ν = 0,
se tiene:
T 00 = F0ρF
0ρ + 2V ′A0A
0 − δ00
(
1
4
F 2 + V
)
+ξ
[
RA0A
0 + (G0
0 −∇0∇0 + δ00�)A2
]
. (E.1)
Recordando que la componente cero de n-forma Aµ es nula, la anterior ecuación queda:
T 00 = F0ρF
0ρ − δ00
(
1
4
F 2 + V
)
+ ξ(G0
0 −∇0∇0 + δ00�)A2, (E.2)
ahora, de la definición de Fµν en la ecuación (4.2) y teniendo en cuenta que la métrica es
diagonal, se obtiene que:
T 00 = g
00gρβ∂0Aρ∂0Aβ −
1
2
g00gσβ∂0Aσ∂0Aβ − V δ00
+ξ[(R0
0 − 1
2
δ00R− g00∇0∇0 + δ00�)A2]. (E.3)
Teniendo en cuenta las ecuaciones (D.1), (C.6), y (E.3), la anterior expresión toma la
siguiente forma:
T 00 = −
1
2
gρβ∂0(e
α−2σX)δρx(∂0e
α−2σX)δβx − V
+ξ
[
(3(α̈ + α̇2 + 2σ̇2)− 1
2
(6α̈ + 12α̇2 + 6σ̇2))X2 + (∇0∇0 + �)X2
]
, (E.4)
y al realizar las operaciones indicadas, recordando que el operador D′Alembert, se define
como:
� =
1√
−g
∂µ(
√
−g∂µ),
Cálculo de ρ para la 1-Forma 46
se obtiene:
T 00 = −
1
2
((α̇− 2σ̇)X + Ẋ)2 − V + ξ
[
(−3(α̇2 − σ̇2))X2 − 6α̇XẊ
]
(E.5)
Ahora, como ρ = −T 00 , de la anterior ecuación se concluye que:
ρ =
1
2
[
m2X2 + (Ẋ +HX − 2σ̇X)2
]
+ ξ
[
6HXẊ + 3(H2 − σ̇2)X2
]
(E.6)
donde se ha considerado que V ′ = 1
2
m2 y se ha utilizado la definición H = α̇ .
APÉNDICEF
Cálculo de P , Π para la 1-Forma
Partiendo de la ecuación (B.32), la parte espacial del tensor T µν será:
T ı̇̇ = F̇ρF
ı̇ρ + 2V ′A̇A
ı̇ − δ ı̇̇
(
1
4
F 2 + V
)
+ ξ
[
RA̇A
ı̇ +
(
Gı̇̇ −∇ı̇∇̇ + δ ı̇̇�
)
A2
]
.
Para el cálculo de P se tiene en cuenta la que:
P =
1
3
T ı̇ı̇
=
1
3
[
Fı̇ρF
ı̇ρ + 2V ′Aı̇A
ı̇ − δ ı̇ı̇
(
1
4
F 2 + V
)
+ ξ
[
RAı̇A
ı̇ +
(
Gı̇ı̇ −∇ı̇∇ı̇ + δ ı̇ı̇�
)
A2
]]
=
1
3
[gxxgρβFxρFxβ + 2V
′A2 − 3
(
1
4
F 2 + V
)
+ξ
[(
R +Gxx +G
y
y +G
z
z −∇ı̇∇ı̇ + 3�
)
A2
]
], (F.1)
y se desarrolla cada término de esta ecuación por separado, aśı:
gxxgρβFxρFxβ = g
xxgρβFxρFxβ = g
xxg00Fx0Fx0
= −e−2(α−2σ)(∂0(eα−2σX))2
= −((α̇− 2σ̇)X + Ẋ)2
= −((H − 2σ̇)X + Ẋ)2, (F.2)
gµν∇µ∇νX2 = gµν∇µ∂νX2
= gµν
(
∂µ∂νX
2 − Γλµν∂λX2
)
= gµν
(
∂µ∂νX
2 − Γ0µν∂0X2
)
= gµν
(
∂µ∂νX
2 − 2Γ0µνXẊ
)
, (F.3)
Cálculo de P , Π para la 1-Forma 48
g ı̇ı̇∇ı̇∇̇X2 = −2(gxxΓ0xx + 2gyyΓ0yy)XẊ
= −2((H − 2σ̇) + 2(H + σ̇))XẊ
= −6HXẊ (F.4)
por lo tanto,
∇ı̇∇ı̇X2 = −6HXẊ (F.5)
Con los resultados anteriores, y unos de desarrollar adicionales, la expresión para la presión
toma la forma:
P =
1
3
[
−((H − 2σ̇)X + Ẋ)2 + 2V ′X2 − 3
(
−1
2
((H − 2σ̇)X + Ẋ)2 + V
)]
+
ξ
3
[
(R + 3(Ḣ + 3H2)− 3
2
R)X2 + 6HXẊ − 3(2Ẋ2 + 2X(Ẍ + 3HẊ))
]
=
1
3
[
1
2
((Ẋ +HX − 2σ̇X)2 −m2X2)
]
− 2ξ
[
Ẋ2 −HXẊ
−X2
(
m2 + (1 + 6ξ)Ḣ +H2
(
5
2
+ 12ξ
)
− 2Hσ̇ − 2σ̈ −
(
9
2
− 6ξ
)
σ̇2
)]
.(F.6)
Para el cálculo de Π, se utiliza la siguiente separación de la parte espacial del tensor T νµ :
T ı̇̇ = Pδ
ı̇
̇ + π
ı̇
̇, (F.7)
donde π ı̇̇ = diag(−2Π,Π,Π). De (F.6) y (F.7) se obtiene para la componente πyy :
πyy = T
y
y − P
=
1
2
gxx (∂0Ax)
2 − V + ξ(Gyy − gyy∇y∇y + �)X2 − P
=
1
2
[
(Ẋ +HX − 2σ̇X)2 −m2X2
]
− 1
3
[
1
2
((Ẋ +HX − 2σ̇X)2 −m2X2)
]
−2ξ
[
Ẋ2 −HXẊ − σ̇XẊ −X2
(
m2 + 6ξḢ +H2
(
1
2
+ 12ξ
)
−1
2
Hσ̇ − 3
2
σ̈ −
(
11
2
− 6ξ
)
σ̇2
)]
+ 2ξ
[
Ẋ2 −HXẊ
+X2
(
m2 + (1 + 6ξ)Ḣ +H2
(
5
2
+ 12ξ
)
− 2Hσ̇ − 2σ̈ −
(
9
2
− 6ξ
)
σ̇2
)]
.
Finalmente:
Π =
1
3
[
(Ẋ +HX − 2σ̇X)2 −m2X2
]
− ξ
[
2Ḣ + 4H2 − 2σ̇2 − (σ̈ + 3Hσ̇)
]
X2 + ξ2σ̇XẊ.
(F.8)
APÉNDICEG
Cálculo de la ecuación de movimiento
para una 2-Forma, ρ + 3P < 0 y Π
Se considera la siguiente 2-forma:
Aµν = e
2α(t)+2σ(t)X(t)(δµyδνz − δµzδνy), (G.1)
con A2 = 2X2. Para el cálculo de la ecuación dinámica (A.15), se desarrollara la parte
izquierda de (A.15), de la siguiente manera:
∂ρ
(√
−gF ρµν
)
= g00∂0e
3α∂0A
µν + g00e3α∂0∂0A
µν
= −(∂0e3α + e3α∂0)(∂0Ayz − ∂0Azy)
= −e3αe2(α+σ)[12α̇(α̇ + σ̇)X + 6α̇Ẋ − 8(α̇ + σ̇)2X + 4(α̈ + σ̈)X + 2Ẍ)]
= −2e3αe2(α+σ)[(2H2 + 2Ḣ − 4σ̇2 − 2Hσ̇ + 2σ̈)X + 3HẊ + Ẍ]. (G.2)
La parte derecha de (A.15) es:
√
−g(4V ′ + ξR)A = 2e3αe2(α+σ)X(4V ′ + ξR) : (G.3)
Como (G.2) y (G.3) son iguales
[(2H2 + 2Ḣ − 4σ̇2 − 2Hσ̇ + 2σ̈)X + 3HẊ + Ẍ] +X(4V ′ + ξR) = 0; (G.4)
teniendo en cuenta el valor de R (C.6) se obtiene:
Ẍ + 3HẊ + 2
[
2V ′(A2) + (1 + 3ξ)Ḣ + (1 + 6ξ)H2 − σ̇H + σ̈ − (2− 3ξ)σ̇2
]
X = 0.
(G.5)
Para el cálculo de la condición de inflación
ρ+ 3P < 0,
Cálculo de la ecuación de movimiento para una 2-Forma, ρ+ 3P < 0 y Π 50
se tendrá en cuenta los cálculos obtenidos en los apéndices E y F. El valor de ρ se calculara
acontinucación:
T 00 =
1
2
F0ρ1ρ2F
0ρ1ρ2 + 2V ′A0ρA
0ρ − δ00
(
1
12
F 2 + V
)
+ξ
[
RA0ρA
0ρ + (G0
0 − g00∇0∇0 + δ00�)A2
]
. (G.6)
la componente cero de n-forma Aµ es nula, la anterior ecuación queda:
T 00 =
1
2
F0ρ1ρ2F
0ρ1ρ2 − δ00
(
1
4
F0ρ1ρ2F
0ρ1ρ2 + V
)
+ ξ(G0
0 −∇0∇0 + δ00�)A2, (G.7)
a demás, los cálculos los termino que multiplican el parámetro de acople ya fueron calculados
en el apéndice E, se concluye:
ρ = −T 00 = −
1
4
F0ρ1ρ2F
0ρ1ρ2 +m2X2 + ξ(6HXẊ + 3(H2 − σ̇2)X2), (G.8)
Por otra parte para P, se tiene:
T ı̇̇ =
1
2
F̇ρ1ρ2F
ı̇ρ1ρ2 + 4V ′A̇ρ1A
ı̇ρ1 − δ ı̇̇
(
1
12
F 2 + V
)
+
1
2
ξ
[
2RA̇ρ1A
ı̇ρ1 +
(
Gı̇̇ −∇ı̇∇̇ + δ ı̇̇�
)
A2
]
. (G.9)
de nuevo como en el caso anterior los estos los calculos ya fueron realizados en el apéndice
F, entonces se tiene:
3P =
1
4
F0ρ1ρ2F
0ρ1ρ2 + 5m2X2
+ξ
[
X2(6Ḣ + 15H2 + 3σ̇2) + 6HXẊ − 6Ẋ2 − 6X(Ẍ + 3HẊ)
]
(G.10)
sumando (G.9) y (G.10), para el caso particular donde ξ = −1/6 y teniendo en cuenta
(G.5), se tiene:
ρ+ 3P = Ẋ2 − 2HXẊ +X2(2m2 − 3H2 − 2Ḣ + 2σ̇H − 2σ̈ + 5σ̇2) < 0. (G.11)
Para el cálculo de Π se tienen en cuenta las componentes de los tensores de esfuerzo,
Π(c) = T xx + T
y
y − P,
Π(g) =
(
Gxx +G
y
y
)
− P,
los cuales son debidos a la parte geométrica y el campo respectivamente.
Π = Π(g) − Π(C) = T xx + T yy −
(
Gxx +G
y
y
)
. (G.12)
Cálculo de la ecuación de movimiento para una 2-Forma, ρ+ 3P < 0 y Π 51
Para este cálculo hay que partir de las componentes del tensor Tµν (B.32), eso es:
T xx = −gxx
(
1
12
F 2 + V
)
+ ξ
[
GxxX
2 + (gxx�−∇x∇x)X2
]
= − 1
12
F 2 − V
+ξ
[
(−3H2 − 6Hσ̇ − 2Ḣ − 2σ̈ − 3σ̇2)X2 +
(
� + gxxΓ0xx∂0
)
X2
]
= − 1
12
F 2 − V + ξ[−2XẌ − 2Ẋ2 − 4ẊXσ̇ − 4ẊXH
+(−3H2 − 6Hσ̇ − 2Ḣ − 2σ̈ − 3σ̇2)X2], (G.13)
T yy =
1
2
FyρσF
yρσ + 4V ′AyρA
yρ − gyy
(
1
12
F 2 + V
)
+
1
2
ξ
[
2RAyρA
yρ +GyyX
2 +
(
gyy�−∇y∇y
)
A2
]
=
1
2
FyρσF
yρσ + 4V ′X2 − 1
12
F 2 − V
+ξ
[
(−4Ḣ + 9H2 + 3σ̇2 + 3Hσ̇ + σ̈)X2 +
(
� + gyyΓ0yy∂0
)
X2
]
=
1
2
FyρσF
yρσ + 4V ′X2 − 1
12
F 2 − V + ξ[−2XẌ − 2Ẋ2 + 2ẊXσ̇
−4ẊXH + (−4Ḣ + 9H2 + 3σ̇2 + 3Hσ̇ + σ̈)X2]. (G.14)
Sumando
T xx + T
y
y =
1
2
FyρσF
yρσ + 4V ′X2 − 1
6
F 2 − 2V + 3ξ[−4XẌ − 4Ẋ2 − 2ẊXσ̇
−8ẊXH + (6H2 + 2Ḣ − 3Hσ̇ + σ̇2)X2], (G.15)
para continuar con el cálculo,primero se tiene en cuenta lo siguiente,
FyραF
yρα = FρyαF
ρyα = 2F0yzF
0yz = −2gyygzz(F0yz)2
= −2e−4(α+σ) (∂0(Ayz))2
= −2e−4(α+σ)
(
∂0(e
2(α+σ)X)
)2
= −2
(
2(H + σ̇)X + Ẋ
)2
, (G.16)
F 2 = FβραF
βρα = 3F0ijF
0ij = −3giigjj(F0ij)2
= −6gyygzz(F0yz)2 = −6e−4(α+σ) (∂0(Ayz))2
= −6e−4(α+σ)
(
∂0(e
2(α+σ)X)
)2
= −6
(
2(H + σ̇)X + Ẋ
)2
, (G.17)
Cálculo de la ecuación de movimiento para una 2-Forma, ρ+ 3P < 0 y Π 52
remplazando (G.16) y (G.17) en (G.15) se obtiene:
T xx + T
y
y = 4V
′X2 − 2V + ξ[−4XẌ − 4Ẋ2 − 2ẊXσ̇
−8ẊXH + (6H2 + 2Ḣ − 3Hσ̇ + σ̇2)X2], (G.18)
de otro lado de las ecuaciones (C.9) y (C.10), se tiene que: para determinar,
Gxx +G
y
y = −
(
6H2 + 3Hσ̇ + 4Ḣ + 6σ̇2 + σ̈
)
, (G.19)
Finalmente, sustituyendo (G.18) y (G.15) en (G.12) se obtiene:
Π = 6H2 + 3Hσ̇ + 4Ḣ + 6σ̇2 + σ̈ + 4V ′X2 − 2V
+ξ[−4XẌ − 4Ẋ2 − 2ẊXσ̇ − 8ẊXH + (6H2 + 2Ḣ − 3Hσ̇ + σ̇2)X2]. (G.20)
APÉNDICEH
Ecuación de Friedmann y de
movimiento para una 3-Forma
En este caso se toma la siguiente expresión para la 3-forma:
A = e3α(t)X(t)dx ∧ dy ∧ dz. (H.1)
Como en este caso no hay preferencia por ninguna dirección, se tomara a σ(t) = 01 y
A2 = 6X2. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el apéndice E, se determina
el valor de ρ. Aśı, de la ecuación (B.32), se obtiene,
T0
0 =
1
6
F0σαβF
0σαβ − g00
(
1
48
F 2 + Ṽ
)
+
ξ
6
[
−G00 +∇0∇0 + g00�
]
A2. (H.2)
El primer término se reduce a,
F0σαβF
0σαβ = −6e−6α
(
∂0e
3αX
)2
= −6(3HX + Ẋ)2
= −6(9H2X2 + 6HXẊ + Ẋ2), (H.3)
mientras que para siguiente término, hay que tener en cuenta que,
F 2 = 4F0σαβF
0σαβ = −24(9H2X2 + 6HXẊ + Ẋ2), (H.4)
ahora, con lo anterior y utilizando (C.8), se tiene que:
T0
0 = −1
2
(9H2X2 + 6HXẊ + Ẋ2)− Ṽ − ξ[3H2X2 + 6HXẊ], (H.5)
1Esto en virtud del teorema del no cabello cósmico, ya que al final de inflación el universo lucirá igual
a un universo de FLRW, por lo tanto para facilitar los cálculos se toma desde el inicio un universo de este
tipo.
Ecuación de Friedmann y de movimiento para una 3-Forma 54
De otro lado, a partir de (C.8) se tiene que:
ρ =
3H2
κ2
. (H.6)
Finalamente, igualando estas dos expresiones para la densidad, esto es (H.5) y (H.6), se
obtiene la ecuación de Friedman 2:
3
[
1
κ2
−
(
3
2
+ ξ
)
X2
]
H2 =
1
2
Ẋ2 + 3(1 + 2ξ)HẊX + Ṽ . (H.7)
La ecuación de movimiento para el campo, se calcula de (A.15). En este caso la parte
izquierda toma la forma:
∂ν(
√
−gF νρ3) = −e3α
(
3He−6αF0ρ3 + 3e
−4α∂0(e
−2α)∂0F0ρ3 + e
−6α∂0F0ρ3
)
(H.8)
Los términos de la parte derecha de la anterior ecuación, se pueden expresar como,
3He−6αF0ρ3 = e
−6α3H∂0Aρ3
= e−6α3H∂0
(
e3αX
)
= e−3α3H(3HX + Ẋ), (H.9)
3e−4α∂0(e
−2α)F0ρ3 = −e−6α6HF0ρ3
= −e−6α6H∂0Aρ3
= −e−6α6H∂0
(
e3αX
)
= −e−3α6H(3HX + Ẋ), (H.10)
e−6α∂0F0ρ3 = e
−6α∂0∂0Aρ3
= e−6α∂0
(
e3α(3HX + Ẋ)
)
= e−3α(3H(3HX + Ẋ) + 3ḢX + 3HẊ + Ẍ), (H.11)
y sumando estos tres términos se llega a la siguiente expresión:
∂ν(
√
−gF νρ3) = −(Ẍ + 3HẊ + 3ḢX). (H.12)
Ahora, para la parte derecha de (A.15) se tiene que,
(3!2V ′ + ξR)
√
−gAρ3 = (12V ′ + ξ(6Ḣ + 12H2))X
= (2Ṽ ′ + ξ(6Ḣ + 12H2))X (H.13)
donde Ṽ ′(X2) = V (A2) = V (6X2). Finalmente, de (A.15), (H.12) y (H.13) se obtiene la
siguiente ecuación:
Ẍ + 3HẊ + 3
[
2
3
Ṽ ′ + 4ξH2 + (1 + 2ξ)Ḣ
]
X = 0. (H.14)
2Para clarificar, esta ecuación corresponde a una de la ecuaciones de Einstein, esto es: G00 =
1
κ2T
0
0 .
APÉNDICEI
Densidad de enerǵıa y presión eficaz
Para el cálculo de la densidad de enerǵıa eficaz se parte de (H.5), esto es,
ρX = −T00 =
1
2
(
3HX + Ẋ
)2
+ Ṽ (X2), (I.1)
donde se ha tomado ξ = 0. Por calcular PX se parte de (B.32), es decir,
3PX = Ti
i =
1
6
Fiρ3F
iρ3 + 6Ṽ ′(A2)Aiρ2A
iρ2 − gii
(
1
48
F 2 + V (A2)
)
, (I.2)
Para esta ecuación solo falta calcular el primer término, por que los demás ya fueron hallados
en el apéndice anterior. Asi,
Fiρ3F
iρ3 = −18e−6α
(
∂0e
3αX
)2
= −18(3HX + Ẋ)2. (I.3)
Por lo tanto, se obtiene:
3PX = −3(3HX + Ẋ)2 + 6Ṽ ′(X2)X2 − 3
(
−1
2
(3HX + Ẋ)2 + Ṽ (X2)
)
, (I.4)
y se concluye que la presión eficaz es,
PX = −
1
2
(
3HX + Ẋ
)2
+ 2Ṽ ′(X2)X2 − Ṽ (X2). (I.5)
Por otro lado, de la parte derecha de (2.6), se tiene
ρX + 3PX = −
(
Ẋ + 3HX
)2
− 2Ṽ (X2) + 6Ṽ ′(X2)X2. (I.6)
Densidad de enerǵıa y presión eficaz 56
El lado izquierdo de (2.6) está dado por:
ρX + 3PX = −G00 +
(
Gxx +G
y
y +G
y
y
)
=
3H2
κ2
− 3(3H
2 + 2Ḣ)
κ2
= −6(H
2 + Ḣ)
κ2
= − 6s̈
κ2s
(I.7)
Igualando la parte geometŕıca (I.7) con la parte material asociada al campo (I.6) y teniendo
en cuenta al condición de expansión acelerada, se tiene lo siguiente
6s̈
κ2s
=
(
Ẋ + 3HX
)2
+ 2Ṽ (X2)− 6Ṽ ′(X2)X2 > 0 (I.8)
Al calcular Ḣ se puede encontrar una restricción sobre el potencial,
Ḣ =
s̈
s
−
(
ṡ
s
)2
=
κ2
6
(
Ẋ + 3HX
)2
+
κ2
3
Ṽ (X2)− κ2Ṽ ′(X2)X2 − κ
2
3
ρ
=
κ2
6
(
Ẋ + 3HX
)2
+
κ2
3
Ṽ (X2)− κ2Ṽ ′(X2)X2 − κ
2
6
(
Ẋ + 3HX
)2
− κ
2
3
Ṽ (X2)
= −κ2Ṽ ′(X2)X2 (I.9)
Entonces de (I.8), se concluye que:
Ḣ = −κ2Ṽ ′(X2)X2 > 0. (I.10)
REFERENCIAS
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