Clasificación de Funciones Discontinuas

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14/12/2022

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CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES DISCONTINUAS: LAS CLASES DE BAIRE Y SU
TRANSPOSICIÓN A LA MATEMÁTICA MODERNA

HUGO ARMANDO PAZ VIVAS

Trabajo de grado presentado en el programa académico de Matemáticas como requisito para
optar al título de matemático.

DIRECTOR
Dr. Luis Cornelio Recalde

UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SANTIAGO DE CALI
2019

Agradecimiento

A mi familia: mis padres, Martha y Victor quienes me han acompañado con su amor desde la
distancia; mis abuelos, Alba y Hernando que me acogieron en su casa; mis hermanos, Andres y
Victor; mis tios, Fanny, Alfredo y Gustavo; mi esposa, Paola quien me acompañó y creyó en mí
en este largo proceso. Al profesor Recalde por su paciencia.

Dedicatoria

A Dios y Helena, con la promesa que por ti seré cada día una mejor persona.

Contenido
RESUMEN……………………………………………………………………………………... 6
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………… 7
1. EL PROBLEMA DE EXISTENCIA EN MATEMÁTICAS…………………………………9
1.1. El problema de existencia en matemáticas en la antigüedad griega…………….....10
1.2. El racionalismo cartesiano y la existencia en matemáticas………………………..21
1.3. La existencia en matemáticas para los empiristas…………………………………25
1.4. Cantor y la teoría de conjuntos…………………………………………………….26
1.5. El problema de existencia en matemáticas a principios del siglo XX……………..29
1.5.1. Escuela Logicista…………………………………………………………...29
1.5.2. Escuela Intuicionista………………………………………………………..31
1.5.3. Escuela Formalista……………………………………………………….....32
1.6. Planteamiento Filosófico de Zermelo………………………………………...........34
2. LA EXISTENCIA DE LAS FUNCIONES EN LA CLASIFICACIÓN DE RENÉ BAIRE..35
2.1. Demostración del teorema 1……………………………………………………….38
2.2. Demostración del teorema 2……………………………………………………….45
3. EL PROBLEMA DE LA EXISTENCIA DE LAS CLASES DE BAIRE…………………. 47
3.1. La existencia en las clases de Baire en Lebesgue y Lusin.....………………...........47
4. TRATAMIENTO MODERNO A LA EXISTENCIA EN LAS CLASES DE BAIRE……...52
5. CONCLUSIONES..................................................................................................................64
BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................68

TABLA DE FIGURAS
Figura 1. Metáfora de la línea………………………………………………………………….11
Figura 2. Primer Polígono Inscrito en Figura No Rectilínea…………………………………...19
Figura 3. Primer Polígono y Segundo Polígono Inscrito en Figura No Rectilínea……………...19
Figura 4. Primer, Segundo y Tercer Polígono Inscrito en Figura No Rectilínea………………..20
Figura 5. Hexágonos Inscritos y Circunscritos en un Círculo………………………………….21
Figura 6. Cuadratriz……………………………………………………………………………23
Figura 7. Rectángulo del Problema 3…………………………………………………………..39

RESUMEN
Clasificación de las funciones discontinuas: las clases de Baire y su transposición a la
matemática moderna
Hugo Armando Paz Vivas

El propósito de este trabajo es analizar la transposición de los resultados sobre teoría de
funciones, establecida por Rene Baire en su tesis doctoral de 1899, a la escolaridad y en el
desarrollo de la teoría de funciones.
No es nuestro propósito principal indagar sobre el problema de existencia en matemáticas, pero
si se hace necesario su análisis para entender el contexto en el que Baire formuló su clasificación
de funciones discontinuas y que significaba la existencia efectiva de funciones en cada una de las
clases. De esta manera se presenta en este trabajo un problema epistemológico dirigido bajo un
enfoque ontológico, para mostrar los elementos y las dificultades para llegar a la solución de la
conjetura de Baire y como dicha solución se presenta modernamente en la escolaridad.

Palabras claves: existencia efectiva, funciones discontinuas, clases de Baire, teoría de
funciones.
7

INTRODUCCIÓN
La teoría de funciones presentó varias dificultades en el proceso de desarrollo y consolidación
como rama de la matemática. Fue el francés René Baire, afínales del siglo XIX e inicios del siglo
XX, quien abre paso a su desarrollo definitivo, con la clasificación jerárquica en clases las de
funciones discontinuas que son límite de otras funciones. Parte de la comunidad matemática solo
se interesaba por el estudio de funciones con “buen comportamiento”, es decir, diferenciables o lo
más diferenciables a trozos. Pensamiento que había puesto la mayoría de funciones discontinuas
en el lugar de las aberraciones, considerándolos casos patológicos que solo servían para temas de
formalismo o como contra ejemplo para algún problema.
Baire conjetura la existencia efectiva de funciones en cada una de las clases definidas que
definió. Sin embargo, no consiguió demostrar la existencia en cada una de las clases, y fue el
matemático también francés Henry Lebesgue quien se enfrentó al problema dando una primera
solución. Basándose en una correspondencia biunívoca entre las funciones en cada clase de Baire
con los conjuntos borelianos. Lebesgue comete un error que es enmendado por el matemático ruso
Nicolás Luzin, quien, para poder dar solución, se ve obligado a aceptar e identificar ciertas
categorías existenciales.
El problema de existencia efectiva de funciones en cada clase, tiene antecedes filosóficos que
intervienen con la búsqueda de una solución, por eso se hace indispensable conocer cuando un
objeto se considera como perteneciente al mundo de las matemáticas. La cual es una discusión que
tiene sus orígenes en los desarrollos de la ciencia, y fue evolucionando a medida que el edificio
matemático fue siendo construido.
En el primer capítulo se hace una historiografía, recorriendo autores representativos que
aportaron cambios a la ontología matemática. Partiendo en la antigua Grecia, con los filósofos
Platón y Aristóteles, y los matemáticos Euclides y Arquímedes; pasando por René Descartes quien
establece una conexión entre la aritmética y la geometría; Leibniz y Newton con los infinitesimales
y el nacimiento del cálculo, los empiristas Hume y Locke, hasta Kant. Revisando el nacimiento
con Georg Cantor de la teoría de conjuntos y la crisis que revivió el ingreso del infinito actual a
las matemáticas. El problema de los fundamentos y la respuesta de las escuelas filosóficas de
inicios del siglo XX.
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el segundo capítulo se definen las clases de Baire y se hace un seguimiento de los pasos que
siguió para dar respuesta parcial a la existencia efectiva de funciones en cada una de las clases,
donde conjeturo que ninguna de las clases es vacía.
El tercer capítulo inicialmente se encuentra el trabajo realizado por Lebesgue, desde la
correspondencia biunívoca entre funciones de Baire y borelianos, hasta los pasos que, seguidos en
la demostración, la descomposición y recomposición que hizo para obtener una respuesta.
Continua con parte de las con las categorías existenciales y las consideraciones filosóficas que
realizó Luzin para subsanar el problema de Lebesgue.
En el cuarto capítulo se hace un seguimiento al trabajo realizado por Isidor Natanson. Con diez
teoremas, incluyendo uno de existencia pura y usando las herramientas modernas del análisis
matemático, la teoría de funciones y la teoría de conjuntos, nos muestra cómo se presenta
modernamente en la escolaridad la solución al problema de existencia efectiva de funciones en
cada una de las clases de Baire.
Finalmente, el quinto capítulo es de conclusiones, en el cual se hace una descripción del
proceso ontológico de finales del siglo XIX y principio del siglo XX, a manera de conclusión, se
describe el desarrollo histórico del problema de existencia y la transposición de la solución de la
conjetura de Baire del saber sabio al saber a enseñar.

1. EL PROBLEMA DE EXISTENCIA EN MATEMÁTICAS

El desarrollo histórico de las matemáticas tiene relación directa con concepciones ontológicas
y epistemológicas. El corpus teórico de las matemáticas está constituido por entidades inteligibles
a las cuales tenemos acceso a través de sus propiedades que se establecen a partir de definiciones,
axiomas o proposiciones. Uno de los problemas históricos que se puede identificar en el desarrollo
de las matemáticas tiene relación con la ideología positivista, según la cual, lo importante son los
resultados y los métodos, sin tener en cuenta los procesos y los objetos utilizados. Afloró, entonces
un clima de aversión a los aspectos ontológicos que comenzó a hacer crisis a partir del siglo XVIII
con la aparición de las cantidades infinitamente pequeñas y se convirtió en un problema de
envergadura con la incorporación del infinito actual en matemáticas a finales del siglo XIX. Uno
de los problemas en esta dirección tiene relación con las definiciones y teoremas de existencia. Se
trataba de establecer la diferencia entre definiciones nominales y esenciales. Un caso particular
tiene relación con la incorporación de familias de conjuntos infinitos no numerables. Un problema
concreto en esta dirección tiene relación con la existencia de funciones definidas por el matemático
francés René Baire (1874-1932) en una escalera jerárquica que incluye los ordinales transfinitos
de la segunda clase.
El soporte ontológico de los objetos matemáticos, tiene una relación directa con el desarrollo
de la ciencia. Tal como lo argumenta el matemático ruso Nicolás Luzin (1883-1950), esa discusión
está relacionada el tipo de existencia que se considere. Este aspecto se haya ligado al problema de
los fundamentos. Al respecto el matemático alemán David Hilbert (1862-1943) dice:
El edificio de la ciencia no se construye como una vivienda, donde primero se asientan firmemente
los cimientos y sólo después se procede a edificar y a ampliar las habitaciones. La ciencia prefiere
asegurarse, tan pronto como sea posible, espacios confortables donde moverse libremente y sólo
después, cuando aquí y allá surgen señales de que los tambaleantes cimientos no son capaces de
sostener la expansión de las habitaciones, se pone a fortificarlos y afirmarlos. Esto no es signo de
debilidad, sino más bien la forma correcta y saludable de su desarrollo. (Hilbert, 1905)
Así pues, Hilbert planteó que era necesario un desarrollo inicial de las matemáticas, antes de
preguntarnos por los fundamentos y por ende de la naturaleza de los objetos matemáticos.
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1.1. El problema de existencia en matemáticas en la antigüedad griega
El filósofo griego Platón (427-347 a. C.) distingue dos mundos o modos de realidad. El primero
corresponde al mundo inteligible y el segundo al mundo tangible. Los objetos del mundo
inteligible son las "Ideas", las cuales son inmateriales, eternas e inmutables. Las ideas
corresponden a los arquetipos de los objetos del mundo sensible, los cuales son materiales,
contingentes.
Los objetos del mundo inteligible constituyen el verdadero ser, mientras que los objetos del
mundo tangible no existen en sí mismos, sino como reflejo de los objetos del mundo de las ideas.
La ontología planteada por Platón se encuentra desarrollada en algunos de sus diálogos, así: en el
dialogo Fedón, afirma que el alma contempla las ideas mucho antes de la existencia del cuerpo
que habita; en el dialogo Timeo, muestra que el Demiurgo modela el mundo material tomando
como referencia el mundo de las Ideas. En la Republica, Platón establece una categorización de
los dos mundos y establece su teoría de conocimiento; todo esto lo explica muy detalladamente a
través del mito de la caverna.
Este planteamiento platónico también puede ser visto desde la teoría del conocimiento como
tal, el cual les da existencia a los objetos puros del pensamiento. Para Platón existen cuatro tipos
de conocimientos, dos en el mundo de las sombras y dos en el mundo de las ideas.
El tipo de conocimiento más burdo, según Platón, es el adquirido únicamente por los sentidos,
es un conocimiento falto de ciencia, el cual se ubica en el mundo de las sombras. Seguido al
anterior están las creencias, también carecen de ciencia y se basa únicamente en las cosas
planteadas por eruditos y “líderes religiosos”.
Posteriormente, tenemos el conocimiento matemático, el cual está más allá de los sentidos, no
obstante, está atado a las hipótesis, las cuales son necesarias para acceder a él.
Los objetos matemáticos para Platón son realidades inteligibles, inmateriales, invisibles e
inmutables. Sin embargo, a pesar de ser parte del mundo de las ideas, son puestas detrás de las
ideas mismas, pues él considera los objetos matemáticos como copia de ideas, es decir, un triángulo
es una copia de la idea de triangularidad. Al conocimiento se accede a través de la razón, mediante
al pensamiento discursivo, usando percepciones del mundo sensible e hipótesis. Los objetos de
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este conocimiento son ahistóricos, ellos han existido siempre, según Platón, y el quehacer
matemático se reduce a descubrir o re-descubrir dichos objetos.
Finalmente, tenemos la filosofía en la parte más alta del mundo de las ideas, “la idea del bien”,
es la cúspide del conocimiento. Para llegar a este nivel es necesario dominar el conocimiento
matemático.
Como se mencionó anteriormente, Platón plantea que realmente no aprendemos, el
conocimiento se reduce simplemente a recordar, aquello que el alma ya conocía, pero olvido en el
momento de la encarnación, esto es conocido como la teoría de la reminiscencia. Esta explicación
es ilustrada en la metáfora de la línea y el mito de la caverna. Donde explica el comportamiento
de los dos mundos y el tipo de conocimiento en ellos.

Figura 1. Metáfora de la línea.

En la metáfora de la línea, Platón representa los distintos niveles de conocimiento:
imaginación, creencia, pensamiento e inteligencia. En la parte derecha se encuentra lo ontológico
de cada mundo y en la izquierda lo epistemológico. Platón nos pide que cortemos la línea en dos
segmentos desiguales A parte superior y B parte inferior, luego que cortemos los dos segmentos
en otros dos segmentos desiguales Aa, Ab, Ba y Bb. Los primeros segmentos (A y B) representan
la división de los mundos, el mundo de las ideas el segmento A, representa el conocimiento
científico y el mundo sensible el segmento B, representa el conocimiento de dicho mundo, la
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experiencia y creencias. Cada uno de los sub-segmentos de la línea representa un tipo de
conocimiento diferente.
Iniciado desde la parte más baja tenemos el segmento Bb, correspondiente a las imágenes de
las cosas de la naturaleza, en cuanto a la ontología. En cuanto a la epistemología, corresponde al
mundo de eikasia, es decir, conjetura, comparación, analogía superficial; también suele traducirse
como imaginación, siendo éste el conocimiento más burdo que se mencionó anteriormente.
Luego encontramos el segmento Ba en la parte superior del mundo sensible, correspondiente
a las cosas físicas o materiales en cuanto a la ontología. En cuanto a la epistemología a la
percepción directa, la creencia o pistis, el cual fue nombrando como el segundo conocimiento para
Platón también carente de ciencia. Conocimiento imperfecto basado en los sentidos.
En la parte inferior del mundo inteligible encontramos el segmento Ab, que corresponde a
entidades matemáticas y conocimiento matemático, hipótesis o conceptos matemáticos en la parte
ontológica. En
cuanto a la parte epistemológica, está el pensamiento discursivo o diánoia. Este es
el tercer escalón del conocimiento, caracterizado como se dijo anteriormente por la forma de
acceder a él.
Finalmente, en la cúspide de la línea tenemos el segmento Aa, en el lado ontológico
corresponde a las ideas, el mundo de los “principios”. Mientras en el lado epistemológico
corresponde a la inteligencia o intelección. La parte de las entidades matemáticas es solo un medio
para llegar al verdadero conocimiento, la idea del bien, espacio propio de la filosofía.
Platón no está interesado en los objetos matemáticos como tal, el número, la línea, el punto,
entre otros, es para él irrelevante su nacimiento, por el contrario, el interés yace en la demostración
de las proposiciones matemáticas, que tiene origen en las bases y demostración en el método
hipoteco-deductivo.
Una posición diferente a la de Platón, es la de su discípulo Aristóteles (384-322 a. C.), quien
plantea que el ser humano llega al conocimiento a través de los sentidos. Según este filósofo griego,
el conocimiento parte de las percepciones, la mente encuentra la esencia de las cosas mediante la
abstracción, generalización o inducción. El proceso culmina con la conformación de un
pensamiento determinado, el cual cobra independencia del proceso. Tanto el conocimiento
intelectual, como el material tienen el mismo origen, la experiencia.
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Para Aristóteles, partimos de la experiencia y mediante la abstracción de nuestra mente
podemos extrapolar las ideas, los pensamientos y llegar así a un conocimiento científico. Nuestra
mente desecha cualidades especificas conocidas como sustancia primera y se queda con las
cualidades esenciales conocidas como sustancia segunda, así logramos saber qué es un libro,
después de haber visto uno. Nuestra mente no se queda con la portada, su color, su tamaño ni el
número de hojas, por el contrario, la mente desecha esas cualidades específicas (sustancia primera,
lo que define el particular), lo que permite distinguir entre dos libros; se queda con las propiedades
generales (sustancia segunda) que le van a permitir, distinguir cualquier libro de un lápiz,
definiendo la esencia.
Se conoce como universal, la noción obtenida por la mente después de haber abstraído las
propiedades esenciales de algo, sustancia segunda. Mientras que se conoce como particular, la
noción obtenida mediante la sustancia primera. Para Aristóteles y a diferencia de Platón, el
universal no puede existir separado del particular; es el particular quien da la esencia para crear la
percepción universal.
Así mismo, Aristóteles plantea la existencia de tres tipos de ciencias: la Física, la Matemáticas
y la Metafísica.
La Física es catalogada por Aristóteles como la ciencia imperfecta, la cual, trata sobre el ser
en movimiento. Según Aristóteles accedemos a ella por medio de la experiencia y a través los
sentidos. Esta ciencia tiene por objeto de estudio los “seres dotados intrínsecamente de
movimiento” es decir, es la ciencia de la naturaleza.
Luego tenemos la ciencia imperfecta del ser inmóvil: La matemática; accedemos a ella
mediante un proceso denominado como la aphairesis, el cual consiste en un procedimiento mental
a partir de la observación de las cosas para desechar propiedades particulares y quedarnos con
propiedades universales consistentes en la cantidad y la forma (esto va acorde con el pensamiento
aristotélico en el cual se plantea que la matemática es la ciencia de la cantidad y la forma, es decir:
aritmética y geometría), dando de esta manera nacimiento a los objetos matemáticos y sus
relaciones.
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Finalmente, tenemos la metafísica o ciencia perfecta del ser inmóvil. Es la ciencia del ser en
cuanto el ser, también conocida como la Filosofía Primera, las demás ciencias giran en torno al
ser, se ocupan de una parte de la realidad; mientras que la metafísica contempla toda la realidad.
Aristóteles tiene una postura constructivista frente a manera cómo podemos acceder y definir
los objetos matemáticos. Considera dos tipos de definiciones, la nominal y la esencial, con ellas se
busca caracterizar la naturaleza de los objetos. La nominal es un tipo de definición que busca darle
nombre a un proceso o una noción, mientras que la esencial se da haciendo uso de las
características propias del objeto. Aristóteles, considera del infinito únicamente en potencia. En su
tratado Física en el libro III, desarrolla la teoría sobre el infinito como un ser en construcción: el
infinito en potencia y su rechazo al infinito en acto, puesto que plantea que el infinito no puede
tener una existencia independiente ya que permitiría la existencia de paradojas como las de Zenón
de Elea (495-425 a. C.).
Para Aristóteles, los objetos matemáticos se construyen mediante la aphairesis, que permite al
ser humano “construir” dichos objetos y sus relaciones. Si bien provienen del mundo
fenomenológico no hacen parte del conocimiento meramente empírico, para describirlos se
necesita la lógica, disciplina que Aristóteles considera una preparación para hacer ciencia.
El matemático griego Euclides de Alejandría (325-265 a. C.) elaboró el compendio más
destacado de la historia de las matemáticas; Elementos. Una obra pensada para la academia con
una clara intención pedagógica. Los Elementos constan de trece libros, que se dividen así:
 Los libros I, II, III y IV; geometría plana.
 Libro V; razones y proporciones.
 Libro VI; teoría de la semejanza.
 Libros VII, VIII y XIX; teoría de números.
 Libro X; relaciones entre números y magnitudes.
 Libro XI, XII y XIII; geometría del espacio.
Los objetos matemáticos pueden ser construidos, mediante demostraciones, regla y compás, o
pueden ser definidos; para Euclides existen dos tipos de objetos: números y magnitudes. Las
magnitudes son líneas, ángulos y figuras de dos y tres dimensiones, estos objetos son introducidos
en el libro I por medio de 23 definiciones, entre las que se encuentran las siguientes:
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 Punto es lo que no tiene partes.
 Una línea es una longitud sin anchura.
 Los extremos de una línea son puntos.
 Los extremos de una superficie son líneas.
 Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en
un plano y que no están en línea recta.
 Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un recto.
 Un ángulo agudo es un ángulo menor que un recto.
Algunas definiciones como la del punto y la línea son esenciales, mientras que definiciones
como la del ángulo obtuso y ángulo agudo son nominales. para establecer equivalencias instaura
teoremas de existencia. Para ello incorpora los siguientes cinco postulados:
 Por dos puntos pasa una recta y solo una.
 Se puede prolongar recta finita en una línea recta.
 Se puede describir un círculo con un centro y una distancia.
 Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
 Si una línea recta corta otras dos, de tal manera que la suma de los ángulos interiores
del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas,
por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Los postulados anteriores se encuentran en el libro I, los utiliza como base teórica para la
construcción mediante el método de regla y compás. Para poder realizar los procesos
demostrativos, Euclides hace uso de lo que denomina: nociones comunes, que hoy conocemos
como axiomas. En el libro I, encontramos que las nociones comunes nos dan herramientas para
comparar objetos matemáticos, por ejemplo:
 Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
 Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales entre sí.
 Las cosas mitades de una misma cosa son iguales entre sí.
 El todo es mayor que la parte.
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A partir de 47 proposiciones en el libro I y 14 en el libro II, Euclides demuestra el teorema
de
existencia fundamental: para toda figura rectilínea existe un cuadrado equivalente1. La admisión
del infinito potencial es fácilmente verificable en la demostración del hoy, conocido como
“teorema de Euclides”, de la siguiente manera:
 Teorema de Euclides: Los números primos son infinitos.
Demostración: supongamos que existen 𝑚 números primos, 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑚. Consideremos
ahora la multiplicación de dichos números 𝑘 = ∏ 𝑝𝑖
𝑚
𝑖=1 , luego el numero 𝑘 + 1, no es divisible por
ninguno de los 𝑝𝑖, por ende, 𝑘 + 1 es número primo; de esta manera podemos, añadiendo este
nuevo número a la lista, generar otro más.
La demostración empleada es un proceso similar al seguido por Euclides; recursivo, y consiste
en construir números primos, dada una cantidad finita y ordenada de ellos. Así, nos muestra que
estos no pueden ser finitos. Está considerando el infinito en potencia, como una creación constante.
De manera similar concibe los números. Dicha concepción le permite establecer una diferencia
entre estos y las magnitudes. Las magnitudes las concibe continuas, mientras que los números son
discretos. Los números pueden aumentar infinitamente partiendo desde la unidad, sin llegar a ser
infinitamente grandes y las magnitudes que tienen un límite hacia lo grande, pueden ser divididas
infinitamente, pero sin llegar a ser infinitamente pequeñas. Una postura tomada de Aristóteles. En
la definición IV del libro V, Euclides expresa:
 Definición: Se dice que las magnitudes guardan razón entre sí cuando, al multiplicarse,
puedan exceder la una a la otra.
Una magnitud infinitamente grande, no podrá guardar razón con otra magnitud, pues no
existirá una multiplicidad de una de las magnitudes que pueda exceder a la primera. Sin embargo,
es posible encontrar una contradicción en la obra de Euclides, pues contrario a la tradición
aristotélica, la proposición III.16, dice:
 Proposición: La recta dibujada por el extremo del diámetro de un círculo formando
ángulos rectos con el diámetro, caerá fuera del círculo, y no se interpondrá otra recta

1 Elementos, Libro II; Proposición XIV: Construir un cuadrado a una figura rectilínea dada.
17

al espacio entre la recta y la circunferencia; y el ángulo del semicírculo es mayor y el
que queda es menor que cualquier ángulo rectilíneo agudo.
Esta proposición hace referencia al ángulo de contingencia, el cual es un ángulo que se
encuentra entre las tangentes de dos curvas. Inicialmente toma una circunferencia como la primera
curva y la tangente a la circunferencia como la segunda curva. Euclides considera el ángulo entre
dichas curvas como un ángulo mayor que cero, pero menor que cualquier ángulo dado; es una idea
muy similar a lo que después se conocerá como infinitesimal, lo cual es una aproximación a la
aceptación del infinito actual.
A pesar de las aproximaciones y las contradicciones, no podemos afirmar que Euclides
aceptara el infinito en acto como objeto matemático. Podemos construir una idea de su tradición
aristotélica y su aceptación del infinito en potencia por la manera como plantea la construcción de
los objetos matemáticos y las demostraciones en los Elementos, con regla y compás.
En los Elementos Euclides inicia a construir un cuerpo teórico para las matemáticas, y hace un
avance en la cuadratura de figuras mediante la construcción con regla y compás, este trabajo es
retomado por Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.) matemático, físico, ingeniero e inventor. Al
igual que Euclides trabajó en torno a la tradición aristotélica. Aunque, el historiador Plutarco (45-
127) en su obra Vidas paralelas – tomo II, Marcelo, lo describe como un platónico riguroso.
Ciertamente, en Arquímedes podemos encontrar vestigios aristotélicos y platónicos, en la relación
existente de la geometría con la mecánica y en la visión de la matemática como constituyente de
los principios naturales.
Su trabajo sobre cuadraturas y cálculo de áreas, es un aporte significativo a la matemática,
continua con los avances euclidianos, pero con tres consideraciones adicionales:
 La aceptación de las fracciones y las raíces inexactas como cantidades matemáticas.
 La aceptación de procesos físicos como elementos heurísticos para obtener cuadraturas.
 El establecimiento de un formalismo para los procesos infinitos. (Recalde, 2018)
Estas consideraciones aumentan los objetos matemáticos existentes para Euclides. Para
desarrollar su trabajo Arquímedes introduce algunas definiciones y principios, por ejemplo:
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 Definición: Llamo cóncava en la misma dirección a la línea tal que las rectas que unen
dos cualesquiera de sus puntos caen completamente del mismo lado de la línea o
algunas de ellas del mismo lado y otras a distinto lado.
 Definición: También hay superficies limitadas que, teniendo sus extremos en un plano
sin yacer sobre él, están todas situadas del mismo lado de aquel que tienen sus extremos
o, al menos no tienen ninguna parte en el otro lado.
 Definición: Llamo rombo solido a una figura solida compuesta de dos conos de la
misma base y vértice a distintos lados del plano de las bases, de modo que sus ejes estén
en una línea recta.
 Principio: La línea recta es la más corta de todas las que tienen los mismos extremos.
 Principio: Dos líneas en un plano con los mismos extremos son desiguales cuando
ambas son cóncavas en la misma dirección y una de ellas está completamente limitada
por la otra y por una recta con los mismos extremos que la esta otra y el resto es común,
la línea limitada es más corta.
 Principio: Dadas dos líneas, dos superficies o dos solidos desiguales, si el exceso de
una de estas figuras sobre la otra se le añade a sí mismo un cierto número de veces, se
puede superar una u otra de las figuras que se comparan entre sí.
Con las definiciones Arquímedes extiende el mundo de los objetos matemáticos, consideras
ciertas curvas que Euclides no menciona y nuevas nociones como la concavidad, ahora forman
parte de los objetos matemáticos. Con los principios busca establecer relaciones no definidas por
Euclides como criterios de desigualdad y conceptos de mínimos.
Arquímedes inicia su trabajo con la noción de centro de gravedad y con una serie de teoremas
propios y euclidianos. Con estos planteamientos y métodos mecánicos logra mostrar que el área
de un segmento de parábola es
4
3
del área de un triángulo inscrito en ella con la misma base. A
pesar del resultado Arquímedes considera que no es un procedimiento matemático riguroso y
después de mostrar dicho resultado, encontró demostraciones geométricas de algunos procesos
mecánicos utilizados.
Desarrollo el método exhaustivo; el cual es una herramienta geométrica rigurosa que permite
aproximar áreas de figuras no rectilíneas. Este es encontrado en su obra El método de los teoremas
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mecánicos dirigida al también matemático, Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.). El método
exhaustivo fue una salida a las paradojas que surgieron con los procesos infinitos y encuentra su
soporte en la primera proposición del libro X de los Elementos, que dice:
 Proposición: Asignadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una
magnitud mayor que su mitad y de lo que queda se resta una magnitud mayor que su
mitad y si esta operación se repite sucesivamente, quedará fácilmente una magnitud
menor que la menor magnitud propuesta.
Haciendo uso de esa proposición, Arquímedes desarrolla su método, que consiste en inscribir
en figura no rectilínea un polígono, así:
Figura 2. Primer Polígono Inscrito en Figura No Rectilínea.
El triángulo 𝐴1 = 𝐴𝐵𝐶, tiene un área menor que la figura 𝑋, luego se construye otro polígono
inscrito en 𝑋, con el doble de vértices del primer polígono, pero que comparten vértices:
Figura 3. Primer Polígono y Segundo Polígono Inscrito en Figura No
Rectilínea.
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Formando el hexágono 𝐴2 = 𝐴𝐸𝐶𝐹𝐵𝐷, el cual tiene un área menor que 𝑋, pero mayor que el
triangulo 𝐴1. Repitiendo el proceso anterior, se obtiene:
Figura 4. Primer Polígono, Segundo Polígono y Tercer Polígono Inscrito en Figura No Rectilínea
El polígono 𝐴3 = 𝐴𝐺𝐸𝐻𝐶𝐼𝐹𝐽𝐵𝐾𝐷𝐿, el cual está inscrito en 𝑋 y es mayor que 𝐴2, se continua
el proceso creando una sucesión de polígonos inscritos en 𝑋 y creciente; además las magnitudes
𝑋 − 𝐴1, 𝑋 − 𝐴2, 𝑋 − 𝐴3, … , 𝑋 − 𝐴𝑛 , … cumplen la hipótesis de la proposición 1 del libro X de los
Elementos. Con consideraciones teóricas, se asume que la sucesión de polígonos tiene un “limite”,
que se denomina 𝐴.
Si 𝑋 > 𝐴, entonces 𝑋 − 𝐴 > 0, luego existirá un polígono 𝐴𝑛, que cumpla: 𝑋 − 𝐴𝑛 < 𝑋 − 𝐴,
así pues, 𝐴 < 𝐴𝑛 lo cual sería un absurdo, luego 𝑋 ≤ 𝐴. De otra parte, si 𝑋 < 𝐴, entonces, 𝐴 −
𝑋 > 0 y como la sucesión de los 𝐴𝑛, tiene “limite” 𝐴, existe un polígono 𝐴𝑚, tal que 𝐴 − 𝑋 > 𝐴 −
𝐴𝑚, entonces 𝑋 < 𝐴𝑚, lo cual es un absurdo, por consiguiente 𝐴 = 𝑋.
Arquímedes utiliza este método para trabajar en un problema clásico de la geometría de la
época, la cuadratura del círculo. Mediante dicho proceso, logra hacer una aproximación a lo que
hoy conocemos como 𝜋 (Pi), la relación entre el perímetro de un circulo y su diámetro, también
demuestra que el área de un círculo es igual al área de un triángulo rectángulo, cuya base es el
radio y altura la longitud de la circunferencia, siendo esta última difícil de calcular.
Arquímedes inicia la cuadratura con dos hexágonos, inscribiendo y circunscribiendo a un
circulo de radio uno.

Figura 5. Hexágonos Inscritos y Circunscritos en un Círculo
Los hexágonos que se aprecia en la ilustración 3 (el inscrito y el circunscrito), mediante
bisecciones van duplicando sus lados. Por abstracción algebraica, ese proceso se repite 𝑛 veces
hasta que las tres figuras alcanzan la misma área. Mediante contradicción supone dos áreas
diferentes, es decir, que el área del circulo es mayor o menor que la de los polígonos y se llega a
una contradicción. Todo el proceso le permite concluir que: el perímetro de un circulo es tres veces
su diámetro , con una parte menor que 1/7 y mayor que 10/71 del diámetro; es decir:
3
10
71
< 𝜋 < 3
1
7

Este método es, sin duda, un primer paso a lo que modernamente se conoce como calculo
infinitesimal y por ende a la existencia matemática de los infinitamente pequeños o infinitamente
grandes, además tímidamente se vislumbra una aproximación a los límites.
En síntesis, las corrientes platónicas y aristotélicas han prevalecido a través del tiempo, aunque
no exactamente de la forma planteada por sus autores, vemos como Euclides y Arquímedes
tomaron algunas cosas de cada uno. No obstante, siendo posturas diferentes, convergen en el hecho
que los objetos matemáticos tienen de una existencia real y efectiva.
1.2. El racionalismo cartesiano y la existencia en matemáticas
René Descartes (1596-1650) marcó una diferencia en la forma de hacer matemáticas al
establecer una correspondencia entre la geometría y la aritmética. Sin embargo, su postura es aún
similar a la platónica, pues considera que la divinidad es quien dota a las personas de conocimiento
matemático. Siendo las matemáticas una creación divina, ellas son perfectas y sus objetos son
ahistóricos.
22

Para Descartes, los objetos matemáticos existen como creación divina y las mentes en las
cuales Dios puso el conocimiento matemático, son las encargadas de descubrir estos objetos. Su
libro Meditaciones metafísicas, está compuesto por seis meditaciones elabora un sistema
filosófico, en la quinta meditación muestra que la relación entre la esencia y la existencia de Dios
es la condición necesaria para los saberes, las verdades y las leyes de la ciencia y la matemática,
pues como establece al final de esta meditación, Dios garantiza el recuerdo de ideas claras y
distintas. Es decir, la matemática no puede desarrollarse con conocimientos presentes, requiere de
Dios para ser. De esta forma, navega muy cerca de la posición platónica de las matemáticas.
En su libro el discurso del método, Descartes busca establecer filosóficamente las reglas que
se deben seguir para la nueva matemática que iniciaba con la conexión lograda entre geometría y
aritmética. También hace algunas posturas críticas frente a la tradición aristotélica, pues la
considera pobre y limitante. Descartes plantea cuatro reglas que deben tomarse como base para el
desarrollo matemático:
 Regla de la evidencia: “Nunca escoger nada como verdadero si antes no se conoce que
lo es con evidencia; por lo tanto, evitar con cuidado la precipitación y la prevención; y
no abarcar en mis juicios nada que esté más allá de lo que se presentaba ante mi
inteligencia de una manera tan clara y distinta que excluía cualquier posibilidad de
duda”.
 Regla del análisis: “Dividir todo problema, sometido a estudio, en tantas partes
menores como sea posible y necesario para resolverlo mejor”.
 Regla de síntesis: “La tercera regla es la de conducir con orden mis pensamientos,
comenzando por los objetos más simples y fáciles de conocer, para ascender poco a
poco, como a través de escalafones, hasta el conocimiento de los más complejos;
suponiendo que hay un orden, así mismo, entre aquellos cuyos objetos no proceden
naturalmente a los objetos de otros”.
 Regla de enumeración y revisión: “La ´ultima regla es la de efectuar, en todas partes,
enumeraciones tan complejas y revisiones tan generales que se esté seguro de no haber
omitido nada”. (Recalde, 2018)
Descartes con estos principios y la filosofía tratada en el libro, establece los que considera sus
requerimientos para la ontología matemática en su trabajo, el método hipotético-deductivo es el
23

que le permite desarrollar y definir nuevos objetos y sus relaciones. Incorpora la geometría
analítica, como método para generar nuevos objetos geométricos. Diferencia entre curvas
geométricas y curvas mecánicas.
Las curvas mecánicas son aquellas que se generan por dos o más movimientos independientes,
de puntos o segmentos. Entre ellas se encuentra la cuadratriz, que se genera de la siguiente manera,
dado un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, el segmento el punto 𝐵 baja a una velocidad constante girando sobre 𝐴
hasta llegar al segmento 𝐴𝐷, en el mismo instante a la misma velocidad el segmento 𝐵𝐶, baja
perpendicularmente hasta el segmento 𝐴𝐷, de ambos movimientos es la cuadratriz. Descartes logra
establecer la imposibilidad de encontrar una expresión algebraica para este tipo de curvas.
Figura 6. Cuadratriz.
Las curvas geométricas las define como las que se pueden relacionar con una expresión
algebraica. Descartes considera por geométrico lo que es preciso y exacto. Acepta como objetos
geométricos, las curvas generadas por regla y compás, también aquellas que pudiesen ser
expresadas con una ecuación., es decir, la existencia de los objetos geométricos, está supeditada al
algebra. De esa manera va más allá de las construcciones que se hacían en la antigua Grecia.
La filosofía racionalista cartesiana, pone los métodos científicos como procedimientos
racionales inductivos de la ciencia y en concreto de las matemáticas. Esta fue acogida por el
matemático y filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quien además adopta de Descartes
el pensamiento de que las matemáticas son una creación de Dios y de ahí parte su exactitud y
armonía con el mundo físico.
http://www.monografias.com/trabajos10/fciencia/fciencia.shtml
24

En su obra póstuma: nuevos ensayos sobre el conocimiento humano, Leibniz plantea un
principio básico para ontología matemática, conocido como el principio de la no contradicción.
Dicho principio consta de dos enunciados:
 Una proposición no puede ser verdadera y falsa
a la vez.
 No puede ocurrir que, una proposición no sea ni verdadera ni falsa.
Leibniz también plantea un segundo principio básico que tiene repercusiones directas en su
visión de existencia en matemáticas, conocido como: el principio de la razón suficiente. Según
este principio, nada ocurre sin una razón que lo cause o algo que lo determine, a pesar de que estas
causas y razones escapan de nuestro entendimiento, siempre existen.
El matemático, filósofo y físico ingles Isaac Newton (1643-1727), por su creencia cristiana
compartió con Descartes, al igual que Leibniz, la idea de que los objetos matemáticos tienen un
origen divino. Al respecto escribió Escolios Clásicos, para el segundo volumen de los principia,
sin embargo, no fueron publicados. En dichos Escolios Clásicos, Newton busca establecer una
relación entre el saber y su origen. Para ellos se basa en la tradición prisca scientia, la cual
considera que Adán conocía todas las cosas y la ciencia, pero dicho conocimiento se perdió en el
momento de la caída, así pues, la búsqueda de la sabiduría, el conocimiento y la ciencia que se dio
en el renacimiento, era la intención de recobrar dicho conocimiento, no era en realidad la búsqueda
de uno nuevo.
Tanto a Newton como a Leibniz se les adjudica la creación del cálculo. Casi al mismo tiempo
y de manera independiente trabajaron en problemas similares que permitieron su nacimiento,
basados en procesos para obtener tangentes (derivada) y cuadraturas (integrales).
Dicho trabajo, a grandes rasgos, se basó en la introducción de las cantidades infinitesimales:
los infinitamente grandes y los infinitamente pequeños. Estas cantidades involucran el infinito
actual, pero los autores buscaron hacerlos compatibles a la tradición aristotélica del infinito
potencial. Leibniz, por ejemplo, uso el triángulo característico, para el cual sus lados se pueden
hacer infinitamente pequeños, mientras que Newton definió el método de las razones primera y
última de incrementos evanescentes. De esta forma, Newton hace la presentación de los
infinitesimales, haciendo referencia a unas ciertas cantidades variables, buscando el momento en
que dichas cantidades nacen (razón primera) o se anulan (razón última).
25

Se puede observar cómo de cierta forma, a la postura racionalista se le puede encontrar
similitudes, como se plantea anteriormente, con el pensamiento platónico. Sin embargo, el
racionalismo no fue la única corriente que dio cuenta sobre una ontología matemática, el
empirismo también hizo contribuciones y marcó diferencias, puesto que los empiristas
consideraban que el conocimiento matemático no puede ser innato.
1.3. La existencia en matemáticas para los empiristas
El británico David Hume (1711-1776), fue uno de los principales representantes del
empirismo, converge con Descartes en la idea de que la forma de hacer matemáticas está en la
razón, no obstante, considera que los objetos matemáticos no dan cuenta del mundo físico, que
nuestra mente, abstrae los objetos matemáticos. Hace una diferencia entre las ciencias mentales y
las ciencias reales, ubicando a las matemáticas en la primera y a la medicina, por ejemplo, en la
segunda. Hume considera que los objetos y las verdades matemáticas, están basados en
definiciones, de dos tipos: las primeras constituyen una verdad empírica y las segundas una verdad
lógica y consistente.
Por su parte, el inglés John Locke (1632-1704), otra de las grandes figuras del empirismo,
plantea que el conocimiento tiene tres niveles: primero el intuitivo, segundo el demostrativo y por
último el sensible. Los dos primeros niveles son adoptados del pensamiento cartesiano, sin
embargo, el tercero es añadido por Locke. Cabe aclarar que, aunque sean unas ideas tomadas de
Descartes la gran diferencia radica en que los empiristas, en particular Locke, no aceptan que el
conocimiento matemático sea innato.
Locke considera que el principio de los conceptos es la experiencia, y mediante ella obtenemos
conocimiento, incluido el matemático; sin embargo, para Locke la validez de estos conceptos no
puede estar en la experiencia sino en otra instancia, muy similar a lo planteado por Aristóteles. El
conocimiento matemático y el acceso a los objetos matemáticos son propios del segundo nivel de
conocimiento: el demostrativo. Existe un pequeño número de objetos y relaciones matemáticas
que son evidentes e indemostrables: postulados o axiomas; como el numero 1, y a partir de ellos
se van constryuendo los demás; como la suma de 1, construye los números naturales.
De otra parte, el filósofo Immanuel Kant (1724-1804), busca hacer una combinación entre
ambos tipos de pensamientos. Su planteamiento es conocido como filosofía crítica. Para Kant las
26

proposiciones matemáticas son verdades necesarias y el conocimiento matemático es obtenido por
la construcción de conceptos. Considera la matemática como una ciencia sintética y a priori, pues
sus conceptos y desarrollos son construcciones no empíricas. En palabras de Kant, las
proposiciones matemáticas son: juicios sintéticos a priori, es decir, su valor de verdad no depende
de la experiencia, solo se crea una dependencia de la razón pues son a priori, necesarios y
universales; al ser sintéticos, nos ofrecen información nueva y extensiva del sujeto inmerso en cada
proposición. El quehacer matemático a diferencia del filosófico, considera lo universal en lo
particular, ello le permite hacer un camino entre los conceptos generales y las intuiciones que los
representan.
La principal diferencia de Kant con los pensamientos expuestos radica en otorgarle al sujeto la
capacidad de generar un conocimiento capaz de relacionar y describir de una forma racional los
fenómenos del mundo externo, esto brinda la posibilidad de conocer y poder generalizar
propiedades del mundo físico, más allá de la experiencia.
1.4. Cantor y la teoría de conjuntos
Las discusiones sobre existencia en matemáticas alcanzan su cúspide a finales del siglo XIX
con la teoría de conjuntos de Georg Cantor (1845-1918). Su aceptación y formalización del infinito
actual era algo que para muchos matemáticos de la época resultaba difícil de aceptar. Como hemos
visto antes, Aristóteles definió dos tipos de infinitos: el infinito actual y el infinito potencial, siendo
el segundo una construcción sin final, como los números naturales, es decir, una recursión. Dado
un número natural 𝑛 podemos construir otro número natural más grande 𝑛 + 1, un proceso que
puedo repetir tantas veces como quiera, es decir, un infinito en constante construcción, mientras
que el primero, sería un infinito como un “todo”, completo. Sin embargo, el infinito en acto, trae
consigo contradicciones y paradojas, como, por ejemplo, la de Aquiles y la tortuga o la paradoja
de Zenón. Por esto fue rechazado el infinito actual como objeto matemático. Otros matemáticos,
objetaron también este concepto. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), expreso al respecto:
Protesto contra el uso de una cantidad infinita como una entidad actual; ésta nunca se puede
permitir en matemática. El infinito es sólo una forma de hablar, cuando en realidad deberíamos
hablar de límites a los cuales ciertas razones pueden aproximarse tanto como se desee, mientras
otras son permitidas crecer ilimitadamente. (Ortiz, 1994, pág. 63)
27

Así, Gauss acepta el infinito en potencia, pero no en acto. Este concepto tampoco es aceptado
por Augustin Louis Cauchy (1789-1857), por la posibilidad de una biyección del infinito con una
de sus partes. Sin embargo, Cantor a finales del siglo XIX, formaliza el infinito actual, busca una
manera de remediar los daños que trae consigo el concepto, por ejemplo, define: un conjunto A es
infinito si, existe un subconjunto propio B equipotente a A. Cantor entiende que los infinitos deben
tratarse de manera distinta a los números finitos, deben existir,
unos objetos matemáticos diferentes
a los números naturales. Allí es donde, Cantor define los números transfinitos, ordinales, cardinales
y su manera de operar.
Mediante dos principios Cantor caracteriza como se generan los ordinales. En el primer
principio: dado un ordinal, se pueden generar nuevos ordinales mediante la adición de unidades.
En el segundo principio: dado una sucesión ilimitada de números, se define un nuevo número
como el mínimo número mayor que cualquier componente de la sucesión (Recalde, 2004-1, pág.
10).
Primero define los ordinales finitos, correspondientes a los números naturales, llamados
ordinales de clase I:
0, 1, 2, 3, 4, … 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, …
Aplicando el segundo principio se puede definir 𝜔, como el primer ordinal infinito, mediante
el lim
𝑛→∞
𝑛 = 𝜔, siendo más grande que cualquier natural dado. Así pues, aplicando el primer
principio, Cantor construye una secuencia de ordinales infinitos de la siguiente manera, llamados
ordinales de clase II:
𝜔,𝜔 + 1,𝜔 + 2,𝜔 + 3, …𝜔 + 𝑛,…

Nuevamente con el segundo principio, Cantor define lim
𝑛→∞
𝜔 + 𝑛 = 𝜔2, y a su vez aplicando
el primer principio, obtuvo lo siguiente:
𝜔2,𝜔2 + 1,𝜔2 + 2, …𝜔2 + 𝑛,…
De esta manera y aplicando ambos principios, Cantor logra mostrar que se pueden construir
ordinales de la forma 𝜔2, 𝜔𝜔 , 𝜔𝜔
𝜔
y 𝜔𝜔
…𝜔
.
28

Cantor entiende la diferencia entre ordinales como 𝜔 y 𝜔 + 𝑛, sin embargo, estos ordinales
tienen la misma cantidad de elementos. Es así, como Cantor establece una clara diferencia entre
los números infinitos y los finitos, pues estos últimos tanto su ordinal como cardinal es el mismo.
Procede entonces, a definir los cardinales o la potencia de un conjunto de la siguiente manera:
Damos el nombre de “potencia” o “número cardinal” de M a aquel concepto general, que surge de
la facultad activa de nuestro pensamiento, acerca del conjunto M cuando hacemos abstracción de
la naturaleza de sus diversos elementos m y del orden en el cual son dados.(Recalde, 2004-1, pág.
11)
Así pues, Cantor continúa definiendo cuando dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 tienen la misma
cardinalidad, de la siguiente manera:
 Definición: Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, diremos que la cardinalidad de 𝐴 (|𝐴|) y la
cardinalidad de 𝐵 (|𝐵|) son iguales y se denota por |𝐴| = |𝐵| si y solamente si, existe una
función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que 𝑓 es biyectiva.
Así también, define cuando |𝐴| < |𝐵|, si existe una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, tal que 𝑓 es inyectiva,
pero no existe 𝑓: 𝐵 → 𝐴, inyectiva. Con esta definición, se establece que todo conjunto infinito
numerable tiene la misma cardinalidad de ℕ, y dicha cardinalidad es denotada por cantor como ℵ0,
aleph cero, el primer cardinal infinito.
Ahora bien, teniendo en cuenta el siguiente teorema:
 Teorema de Cantor: sea 𝐴 un conjunto cualquiera, entonces,|𝒫(𝐴)| > |𝐴|, donde 𝒫(𝐴),
es el conjunto partes de 𝐴 2.
Cantor logra demostrar mediante un método denominado la diagonal que |ℝ| > |ℕ|, además,
mediante la definición de cardinales iguales y el teorema de Cantor, logra establecer que |𝒫(ℕ)| =
|ℝ| = 2ℵ0, pero como se tiene que |ℝ| > |ℕ|, entonces, ℵ0 < 2
ℵ0. De otra parte, Cantor demuestra
que el conjunto de los ordinales de clase I, tiene potencia menor que el conjunto de ordinales de
clase II, y a la potencia de este último conjunto la define como ℵ1, aleph uno, el cardinal siguiente

2 Definición: sea 𝐴 un conjunto cualquiera, definimos 𝒫(𝐴) como el conjunto de todos los posibles subconjuntos
que se puedan formar con elementos del conjunto 𝐴.
29

de ℵ0. Siguiendo un proceso constructivo similar Cantor logra construir una secuencia infinita de
cardinales transfinitos: ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < ⋯ < ℵ𝜔 < ℵ𝜔+1 < ⋯ < ℵℵ𝜔 < ⋯, extendiendo las
clases de ordinales a la clase III, clase IV, clase V… infinitamente.
Este proceso constructivo de Cantor es conocido como la inducción transfinita y se cimienta
en la inducción matemática normal. Dicho proceso no fue aceptado por la comunidad matemática,
en general.
Estos nuevos objetos matemáticos y la naciente teoría de conjuntos abrieron la puerta a
paradojas. Sin embargo, en el intento de preservar los resultados cantorianos en especial su teoría
de los transfinitos, se hace una transposición de la teoría intuitiva de conjuntos planteada por
Cantor, a una teoría axiomática de conjuntos. Pero, si bien la introducción axiomática de conjuntos
diseñaba una salida procedimental, el problema ontológico y el tipo de existencia de los conjuntos,
trajo consigo una ferviente discusión sobre los aspectos ontológicos y epistemológicos de estos
nuevos objetos matemáticos.
1.5. El problema de existencia en matemáticas a principios del siglo XX
A finales del siglo XIX, nace nuevamente una preocupación por conocer la naturaleza de los
objetos matemáticos. En torno a esta discusión, se formaron tres escuelas que trataban de dar
explicación a la existencia de los objetos matemáticos: la logicista, en cabeza de Bertrand Russell
(1872-1970); los intuicionistas, guiados por Luitzen Brouwer (1881-1966) y finalmente, los
formalistas, liderados por David Hilbert (1862-1943); cada uno de ellos con visiones distintas de
la ontología y el problema de existencia en matemáticas.
1.5.1. Escuela Logicista
Uno de los principales exponentes de la escuela logicista es Gottlob Frege (1848-1925), quien
intento demostrar que la lógica es el origen de los números y por tanto estos son axiomatizables,
los objetos matemáticos existen, siempre que puedan ser derivados de axiomas lógicos, pues las
leyes de la lógica pueden aplicarse en cualquier campo del conocimiento. Al respecto de este
pensamiento, Anthony Kenny escribió:
30

Los matemáticos no entienden realmente lo que están tratando ni siquiera en el nivel más básico…
los matemáticos no podían explicar a juicio de Frege la naturaleza de los objetos primarios de su
ciencia o de la base fundamental de la disciplina que enseñan. (Kenny, 1995, pág. 98)
Frege tenía como uno de sus objetivos demostrar que la matemática era un capítulo de la lógica,
algo que en su época no era considerado en gran medida. Su proyecto logicista buscaba reducir los
teoremas, la axiomática y la ontología matemática como tal, al campo netamente lógico, y en ese
sentido publicó conceptografía (1879), el cual es considerado como el inicio de la lógica moderna.
En este libro se planteó una lógica de predicados formalizado en su totalidad y una serie de
fórmulas para la transmisión del pensamiento puro.
Finalmente, en Frege, publica Las leyes fundamentales de la aritmética (1902), donde para él,
el problema quedaba resuelto y la matemática fundamentada desde la lógica, es decir, el triunfo
logicista. Sin embargo, otro logicista, el inglés Bertrand Russell quien recibió una copia enviada
por el mismo Frege, encontró una incongruencia soportada en una versión del principio de
abstracción que dice: “Dada una propiedad, existe un conjunto cuyos elementos son precisamente
aquellas entidades que tienen esa propiedad”; basado en esto, Russell escribió a Frege advirtiendo
que el axioma V de su libro el cual establece que: “si todo F es G, y todo G es F, entonces la clase
de los F es idéntica a la clase de los G, y viceversa” (Kenny, 1995, pág. 24); permitía la formación
de clases de todas las clases que no son miembros de sí misma. Pero la formación de una clase
como esa, advertía Russell; conduce a una paradoja: si es miembro de sí misma entonces no es
miembro de sí misma; si no es miembro de sí misma, entonces es miembro de sí misma, sin
embargo, este axioma es la base para que Frege mostrará la transición de un concepto a su
extensión, esencial para establecer los números como objetos lógicos. Así pues, un sistema que
conduje a una paradoja, no puede ser lógicamente correcto.
Sin
embargo, Russell creía en el proyecto logicista e inicia lo que se puede considerar como la
segunda etapa de dicha escuela; en su obra los principia matemática (1903), busca mostrar la
consistencia de la lógica y por ende, de la matemática derivada de está (Barbosa, 2009).
Russell definió la teoría de tipos y para solucionar el problema de su paradoja, establece que
“aquello que contiene la totalidad de una colección no ha de formar parte de ella” (Barbosa, 2009).
Esto evita considerar que un conjunto pueda pertenecerse a sí mismo; también describe en una
31

publicación para la revista americana de matemáticas titulada “Mathematical logic as based on the
theory of types” (1908) una clasificación jerárquica de tipos de conjuntos:
 Tipo 0: individuos
 Tipo 1: clases de individuos
 Tipo 2: clases de clases de individuos
 Tipo n: clases de la jerarquía (𝑛 − 1)
Dicha clasificación se basa en el denominado axioma de reducibilidad, desarrollado en su obra
introducción a la filosofía matemática (1918), junto con el axioma de elección y el axioma de
infinitud.
Axiomas que traerían consigo problemas de fundamentación, pues no son considerados como
verdades lógicas, al no ser tautologías, ni consecuencias de otros axiomas y tampoco pueden ser
deducidos de un conjunto vacío de premisas; motivo por el cual Russell abandono el proyecto
logicista, pues estos axiomas eran fundamentales en la base de su teoría, pero escapan de la lógica
como tal.
En conclusión, para los logicistas los objetos matemáticos y sus relaciones existen mediante la
lógica o una lógica axiomatizada. Russell demostró que: todas las proposiciones aritméticas se
pueden realizar en términos lógicos; e intentó demostrar sin éxito que: toda proposición
matemática verdadera es una expresión lógica válida. Lo anterior con el fin de ligar la existencia
de los objetos matemáticos a demostraciones meramente lógicas.
1.5.2. Escuela Intuicionista
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), fue un matemático y filósofo holandés,
perteneciente a la escuela intuicionista, plantea que un objeto existe en matemáticas si es posible
caracterizarlo. Algo existe siempre y cuando podamos mostrar un caso concreto y podamos
expresarlo o caracterizarlo en un número finito de pasos u operaciones. No es suficiente la no
contradicción y tampoco que dicho objeto sea el resultado de algún principio lógico, como la ley
del tercero excluido (Esponiza, 2003).
El programa intuicionista de Brouwer se puede resumir en los siguientes aspectos: la existencia
de los objetos matemáticos está ligada a intuiciones originarias a priori; el único elemento a priori,
32

es el continuo temporal; el continuo matemático es una abstracción matemática que existe
únicamente en la mente del hombre; el continuo es un concepto primitivo, que pertenece a la
categoría de intuición primordial; el continuo no puede construirse a partir de puntos. Es la idea
de continuo temporal, la que da al hombre la idea de secuencia, idea base para la definición de
números naturales.
Brouwer considera las matemáticas como un producto histórico que se desarrolló con la
evolución del pensamiento humano. Consideró que para fundamentar la ciencia era necesario
desterrar los vínculos metafísicos implícitos en la teoría de conjuntos cantoriana. Este pensamiento
deja por fuera los resultados obtenidos por Cantor, no acepta las demostraciones de existencia pura
como, por ejemplo, la realizada por Cantor para probar que los números trascendentes son
infinitos, pues en dicha demostración no se da una prueba de cómo son estos números, no acepta
los números transfinitos.
1.5.3. Escuela Formalista
En esta escuela, el matemático alemán David Hilbert quien, en 1899 inicio a delinear su
programa formalista, propone que la matemática debe seguir demostraciones lógicas como lo
plantea Russell, con la diferencia que ven la lógica como un lenguaje inmerso en las matemáticas,
no como el inicio de las mismas. Apoya la teoría en un cuerpo axiomático, mediante un sistema
formal, con una serie de axiomas adecuados y finitos, para demostrar todas las proposiciones de
la matemática, el cual debe estar libre de contradicción, es decir, consistente y completo.
En un artículo escrito en 1904, Hilbert delinea su programa formalista y plantea los siguientes
aspectos:
 Es conveniente establecer axiomatización separada de la lógica y la aritmética como
teorías separadas.
 Establecer un sistema de axiomas.
 Demostrar la consistencia del sistema.
 Demostrar la existencia de un tipo de infinito.
 Deducir la existencia de los números reales.
33

Hilbert, critica las escuelas logicista e intuicionista, pues considera que ellas buscan desterrar
los conceptos incomodos, sin antes revisar el concepto. Considera que: para establecer una
fundamentación del edificio matemático, es necesario ir más allá de los resultados matemáticos y
revisar la metamatemática: que consiste en una teoría de la demostración, que busca establecer la
consistencia e independencia de los axiomas.
Hilbert consideraba que las matemáticas reales se podían llevar a un lenguaje simbólico y
transformase en un conjunto de fórmulas. Partiendo de fórmulas básicas (axiomas), para establecer
propiedades, a partir de maniobras deductivas, que también son formulas. Después de establecido
el conjunto de fórmulas básicas, se debía establecer su consistencia, es decir, mostrar que los
axiomas no conlleven a contradicciones.
Para el proyecto formalista los objetos matemáticos no son construidos, inicialmente son
nombrados; luego mediante axiomas son constituidos y caracterizados. Hilbert considero los
siguientes:
 Símbolos individuales como: los números y los símbolos de las operaciones; funciones
de individuos y funciones de funciones; signos matemáticos como de igualdad y orden;
conjuntos numéricos y conjuntos de funciones; signos lógicos y cuantificadores
universales.
 Variables en letras latinas: minúsculas como variables primitivas; variables funcionales
o variables de función y variables para formulas.
 Signos para la comunicación en letras góticas: minúsculas para funcionales y
mayúsculas para fórmulas.
Las formulas son secuencias de signos que expresan una propiedad matemática. Los complejos
de fórmulas son llamados figuras. Los axiomas son las formulas básicas que se utilizan como punto
de partida para formar el edificio formal de las matemáticas.
Para Hilbert, la existencia de los objetos matemáticos está limitada por la consistencia, es decir,
se puede admitir como objeto matemático existente a todo aquel que no conlleve a una
contradicción. Esta postura reduce la noción de existencia a simplemente la no contradicción y
establece dos criterios como única condición para la aceptación de nuevos objetos, relaciones o
teorías matemáticas: primero, que la anexión sea coherente con los contenidos de la teoría
34

subyacente; segundo, que aporten eficiencia y simplicidad en la producción del conocimiento
matemático. Hilbert fue un defensor de la libertad de cada matemático para elegir métodos y
objetos de estudio.
Muchos matemáticos apoyaron a Hilbert y vieron su propuesta como la más acertada de las
anteriores, sin embargo, Kurt Gödel (1906-1978), demostró que es un intento vano, pues en 1931
concluye que el método axiomático de los formalistas está limitado. Gödel mostró la existencia de
proposiciones de la aritmética que no pueden deducirse de ningún sistema axiomático finito que
se elija, las llamadas proposiciones indecidibles. Así bien, el sistema axiomático elegido será
siempre incompleto. Dichos resultados se conocen como los teoremas de la incompletitud de
Gödel.
1.6. Planteamiento Filosófico de Zermelo
De los planteamientos anteriores Ernst Zermelo (1871-1953) toma lo más relevante y crea lo
que podemos considerar la escuela conjuntista
de Zermelo, está acepta el infinito en acto y
potencia, hace el paso mencionado anteriormente, convirtiendo la teoría de conjuntos intuitiva en
una teoría de conjuntos axiomática, para subsanar las paradojas incluidas por el planteamiento
cantoriano. Junto con el matemático Adolf Fraenkel (1891-1965) introducen diez axiomas que dan
así validez a los resultados obtenidos por Cantor:

 Axioma de extensionalidad
 Axioma del conjunto vacío
 Axioma de pares
 Axioma de unión
 Axioma del conjunto potencia
 Esquema axiomático de especificación
 Esquema axiomático de reemplazo
 Axioma de infinitud
 Axioma de regularidad
 Axioma de elección

Actualmente es una de las corrientes más seguidas en la escolaridad, la forma de enseñar
matemática tradicional-contemporánea se basa los planteamientos filosóficos de Zermelo, para
este existen los objetos construidos mediante la axiomática de conjuntos.

2. LA EXISTENCIA DE LAS FUNCIONES EN LA
CLASIFICACIÓN DE RENÉ BAIRE

El matemático francés René-Louis Baire (1874-1932), dedicó parte de su carrera al estudio de
las funciones y sus relaciones, en su tesis doctoral de 1899, sur les Fonctions de variables reélles,
aborda el concepto de función, teniendo en cuenta la definición dada por Dirichelt, de la siguiente
manera, (Recalde, 2010, pág. 40): “A partir de ciertas funciones simples, se considera las
expresiones compuestas de estas funciones simples, reservando la palabra función a las
expresiones así obtenidas” (Baire, 1990, pág. 49).
Con una definición de funciones y un interés en clasificar las funciones discontinuas, Baire
define las clases de funciones para los ordinales de clase I 3 de la siguiente manera:
 𝐶0 = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ|𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎}; Clase 0.
 𝐶1 = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ|𝑓(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛(𝑥) ∧ 𝑓𝑛 ∈ 𝐶0, (∀𝑛 ∈ ℕ)} − 𝐶0; Clase 1.
 𝐶2 = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ|𝑓(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛(𝑥) ∧ 𝑓𝑛 ∈ 𝐶𝑖 , (∀𝑛 ∈ ℕ)(𝑖 ∈ {0,1})} − (𝐶0 ∪ 𝐶1);
Clase 2.
 𝐶𝑛 = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ|𝑓(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑓𝑘(𝑥) ∧ 𝑓𝑘 ∈ 𝐶𝑖 , (∀𝑘 ∈ ℕ)(𝑖 ∈ {0,1, … , 𝑛 − 1})} −
⋃ 𝐶𝑖
𝑛−1
𝑖=0 ; Clase 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ.
Posteriormente, Baire define las clases para los números ordinales de clase 𝐼𝐼, 𝜔 = lim
𝑛→∞
𝑛,
como el primer ordinal transfinito, 𝜔 + 1,𝜔 + 2,𝜔 + 3,… , 𝜔 + 𝑣, … luego, con el límite define

3 Los números naturales, constituyen los ordinales de clase 𝐼
36

𝜔 × 2 = lim
𝑣→∞
𝜔 + 𝑣, y de esta manera 𝜔 × 3,𝜔 × 4, … , 𝜔 × 𝜆, … aplicando nuevamente limite
𝜔𝜔 = lim
𝜆→∞
𝜔 × 𝜆, etcétera. Las define como:
 𝐶𝜔 = {𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ|𝑓(𝑥) = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛(𝑥) ∧ 𝑓𝑛 ∈ 𝐶𝑖 , (∀𝑛 ∈ ℕ)(𝑖 ∈ ℕ)} − ⋃ 𝐶𝑖𝑖∈ℕ ; Clase
𝜔.
Siguiendo esta construcción Baire define las clases, 𝐶𝜔+1, 𝐶𝜔+2, … , 𝐶𝜔𝜔 , …
El significado de existencia para René Baire se encuentra delineado en la discusión, sobre la
aceptación del axioma de elección, desarrollada a principios del siglo XX por parte de Baire, Borel
y Lebesgue. El considera dos tipos de existencia en matemáticas:
La existencia nominal y la existencia constructiva. La existencia nominal se da cuando se definen
los objetos a través de procesos iterativos respaldados por un nombre. La existencia constructiva
es cuando estos procesos iterativos son respaldados por teoremas que permiten demostrar que se
pueden diferenciar los distintos niveles dados en lo nominal. (Recalde, 2010, pág. 44)
En su intento por demostrar la existencia efectiva en cada una de sus clases, Baire formula las
siguientes definiciones y posteriormente dos teoremas:
 Definición: un conjunto perfecto, es un conjunto cerrado que todos sus puntos son puntos
de acumulación.
 Definición: un conjunto 𝐸 ⊂ 𝑅 es de primera categoría si existe una sucesión {𝐸𝑛} de
conjuntos diseminados; (conjuntos no densos en ninguna parte), tal que ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑛 tal
que, 𝑥 ∈ 𝐸𝑛, en otro caso se dice que 𝐸 es de segunda categoría. (Chaves, 2006)
 Teorema 1: Una función discontinua 𝑓(𝑥), es el límite de una serie de funciones
continuas, si y solo si, esta función es puntualmente discontinuas4 respecto a todo conjunto
perfecto (Baire, 1899, pág. 62).
 Teorema 2: Una función 𝑓(𝑥), es de segunda clase, si y solo si, 𝑓(𝑥) es puntualmente
discontinua sobre todo conjunto perfecto omitiendo un conjunto de primera categoría con
respecto al conjunto perfecto (Baire, 1899, pág. 62).

4 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ, es puntualmente discontinua si ∀(𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐼, ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que 𝑓 es continua en 𝑐.
37

Para su demostración, sigue una serie de definiciones y desarrollos previos, inicia
generalizando el concepto de máximo en un dominio y un en un punto de una función cualquiera
𝑓, de la siguiente manera:
Sea 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ, si 𝑃(𝑥1,0, 𝑥2,0, … , 𝑥𝑛,0) ∈ 𝐷, entonces se construye la esfera:
𝑆𝜌1(𝑃) = {(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)|∑[𝑥𝑖 − 𝑥𝑖,0]
2
≤ 𝜌1
2
𝑛
𝑖=1
}
Sabemos que ∀𝑥 ∈ 𝑆𝜌1(𝑃), ∃𝑀1 ∈ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀1. Donde 𝑀1 es llamado el límite
superior de 𝑓 en 𝑆𝜌1(𝑃).
Luego, considera la sucesión decreciente {𝜌𝑝}, donde 𝜌1 > 𝜌2 > ⋯ > 𝜌𝑝 > ⋯, se cumple que:
lim
𝑝→∞
𝜌𝑝 = 0
Se puede definir la sucesión de esferas encajadas 𝑆𝜌1 ⊃ 𝑆𝜌2 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑆𝜌𝑝 ⊃ ⋯
Así pues, si 𝑀𝑖 es el límite superior de 𝑓 en 𝑆𝜌𝑖, tenemos que 𝑀1 ≥ 𝑀2 ≥ ⋯ ≥ 𝑀𝑝 ≥ ⋯,
finalmente se define 𝑀0 = lim
𝑝→∞
𝑀𝑝, este punto es llamado el máximo de 𝑓 en 𝑃 y es representado
por 𝑀0[𝑓, 𝑃]. (Recalde, 2010)
Este máximo satisface dos propiedades, establecidas en los teoremas siguientes:
 Teorema A1: ∀𝜀 > 0, ∃ρ > 0, tal que 𝑓(𝑥) < 𝑀0 + 𝜀, ∀𝑥 ∈ 𝑆𝜌(𝑃)
 Teorema A2: ∀𝜀 > 0, ∀𝜌 > 0, ∃𝑥 ∈ 𝑆𝜌(𝑃), tal que 𝑓(𝑥) > 𝑀0 − 𝜀
Baire no se adentra en las demostraciones, sin embargo, es fácil de ver el teorema A1, mientras
que A2 se cumple siempre y cuando 𝐷 sea, cerrado, acotado y continuo, y además 𝑓 debe ser
acotada en 𝐷, para garantizar la existencia de un supremo en cada 𝑆𝜌𝑖.
De esta manera, Baire introduce la definición de semicontinuidad superior:
 Definición: Si 𝑀[𝑓, 𝑃] = 𝑓(𝑃), entonces 𝑓, se dirá que es semicontinua superiormente
en 𝑃.
 Definición: 𝑓 se dirá semicontinua superiormente en el dominio 𝐷, si ∀𝑥 ∈
𝐷,𝑀[𝑓, 𝑥] = 𝑓(𝑥).
38

Continúa de una manera análoga definiendo funciones semicontinuas inferiormente,
denotando el mínimo de una función 𝑓 en un punto 𝑃, como 𝑚[𝑓, 𝑃].
Un siguiente concepto clave para poder abordar el problema, es el concepto de oscilación.
Baire lo define de la siguiente manera:
 Definición: dada una función 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ, consideramos su funcion máxima dada
por 𝜑(𝑥) = 𝑀[𝑓, 𝑥] y la función mínima de 𝑓, dada por 𝜓(𝑥) = 𝑚[𝑓, 𝑥], ambas ∀𝑥 ∈
𝐷. Dado 𝑃(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷, la diferencia 𝜑(𝑃) − 𝜓(𝑃), es llamada la oscilación de
𝑓 en 𝑃 y denotada por 𝜔[𝑓, 𝑃].
Definida de esta manera, Baire logra caracterizar tres propiedades de la oscilación, para brindar
un valor numérico a la discontinuidad:
1. Por definición, 𝜔[𝑓, 𝑃] ≥ 0.
2. 𝑓 es continua cuando 𝑀[𝑓, 𝑃] = 𝑚[𝑓, 𝑃], es decir, 𝜔[𝑓, 𝑃] = 0.
3. Si 𝜔[𝑓, 𝑃] ≠ 0, entonces 𝑓 es discontinua.
 Teorema A3: Si una función 𝐺 es semicontunia superiormente y siempre positiva,
existe en todo dominio un domidio de la misma dimensión, en el cual 𝐺 tiene su mínimo
positivo
2.1. Demostración del teorema 1
Los conceptos anteriores, le brindan a Baire las herramientas necesarias para abordar la
demostración del teorema 1. Esta la inicia con el planteamiento de tres problemas, con los cuales
desea dar respuesta a la condición necesaria del teorema:
1. Problema 1: Dada una función 𝑓(𝑥, 𝑦), definida en el rectángulo [0, 𝑎] × [0, 𝑎],
continua con respecto a 𝑥 y con respecto a 𝑦, se trata de determinar cómo es la función
cuando 𝑥 = 𝑦.
2. Problema 2: Sea 𝑓:𝐴 → ℝ, tal que 𝐴 = {(𝑥, 𝑦): 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝛾} y 𝑓(𝑥, 𝑦)
continua en su dominio excepto los puntos sobre el eje 𝑥; en (0, 𝑥) la función es solo
continua con respecto a 𝑦. ¿Cómo es, entonces, la función sobre el eje 𝑥?
3. Problema 3: sea 𝑓: 𝐴 → ℝ, donde 𝐴 = {(𝑥, 𝑦)|𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, 𝛾 ≤ 𝑦 ≤ 𝛿}, 𝑓(𝑥, 𝑦) es
continua respecto a 𝑦, en todo punto, mientras que 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua para 𝑥, en un
39

conjunto denso de paralelas al eje 𝑥, es decir: para 𝑦 = 𝑦1 y 𝑦 = 𝑦2, ∃𝑦 = 𝑦3 donde
𝑦1 > 𝑦3 > 𝑦2, en la cual 𝑓 es continua respecto a 𝑥. ¿Cómo es 𝑓 sobre una curva plana
𝐶 definida en 𝐴? (Recalde, 2010, págs. 61-62)
Baire considera 𝑓:𝐴 → ℝ, como en el problema 2 y define una sucesión de creciente {𝑦𝑛} en
𝐴, tal que, si 𝑛 → ∞ entonces 𝑦𝑛 → 0. Y con cada elemento 𝑦𝑖 de esta sucesión, considera las
rectas 𝑦 = 𝑦𝑖, por las condiciones del problema, se tiene que 𝑓(𝑥, 𝑦𝑖) es continua respecto a 𝑥,
para cualquier 𝑦𝑖 ≠ 0, pues el caso 𝑓(𝑥, 0) puede ser discontinuo, esto quiere decir que
𝑓(𝑥, 𝑦1), 𝑓(𝑥, 𝑦2), 𝑓(𝑥, 𝑦3),… , 𝑓(𝑥, 𝑦𝑛),…, son continuas respecto a 𝑥 con 𝑦𝑖 ∈ {𝑦𝑛}.
Dado un 𝑥0 ∈ 𝐴 fijo, tenemos que:
𝑓(𝑥0, 𝑦1), 𝑓(𝑥0, 𝑦2),… , 𝑓(𝑥0, 𝑦𝑛),… ⟼ 𝑓(𝑥0, 0)
Si se considera la variación en cada 𝑥, tenemos que la función 𝑓(𝑥, 0) discontinua, es el límite
de una sucesión de funciones continúas de la forma: {𝑓(𝑥, 𝑦𝑛)}. Continúa Baire dando respuesta
al problema 3, considerando la función 𝑓:𝐾 → ℝ, la cual cumple las condiciones de dicho
problema. Estudia entonces la oscilación de esta función en los elementos del rectángulo 𝐾, de la
siguiente manera:
1. Se toma un punto arbitrario 𝐴(𝑥0, 𝑦0)
2. Se considera la recta 𝑥 = 𝑥0
3. Se determina un segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ en la recta 𝑥 = 𝑥0, dicho segmento dentro de 𝐴, con la
propiedad que 𝐴 es el punto medio
4. Se denota por 𝜔(𝜌, 𝐴) a la oscilación de 𝑓 en el segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , donde 𝜌 = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
Posteriormente Baire define la función 𝛼𝜎(𝑃) como el límite superior de los valores de 𝜌, tales
que 𝜔(𝜌, 𝑃) ≤ 𝜎, para un 𝜎 > 0. Esta función cumple que:
𝜔(𝜌, 𝑃) ≤ 𝜎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜌 ≤ 𝛼𝜎 𝑦 𝜔(𝜌, 𝑃) > 𝜎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜌 > 𝛼𝜎
Así pues, procede a demostrar el siguiente teorema:
 Teorema A4: 𝛼𝜎 es semicontinua superiormente.
Demostración: para 𝑓 con las condiciones del problema 3 y 𝛼𝜎 definida anteriormente, se
considera 𝜀 > 0 y un punto 𝐴0(𝑥0, 𝑦0), se traza la recta 𝑥 = 𝑥0, se toman los puntos 𝐵0 y 𝐶0, tales
40

que 𝐵0𝐴0 = 𝐴0𝐶0 = 𝛼𝜎(𝑥0, 𝑦0), asi pues, se consideran otro par de puntos 𝐴1 y 𝐶1, tales que
𝐵1𝐴0 = 𝐴0𝐶1 = 𝛼𝜎(𝑥0, 𝑦0)+
𝜀
2⁄ .
Por la definición de 𝛼𝜎, tenemos que 𝜔[𝐵1, 𝐶1] > 𝜎, luego ∃𝑡, tal que 𝜔[𝐵1, 𝐶1] = 𝜎 + 𝑡. Así
pues, para un 𝑡1 < 𝑡, ∃𝑀,𝑁 en el segmento 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ , con la propiedad de |𝑓(𝑀) − 𝑓(𝑁)| > 𝜎 + 𝑡1
Figura 7. Rectángulo del Problema 3.

Enseguida, como se aprecia en la figura 7, se toman las paralelas al eje x, que pasen por los
puntos M y N, y como la función 𝑓 es continua en estas paralelas, luego, se garantiza la existencia
de 𝑀′, 𝑀′′, 𝑁′, 𝑁′′, para
𝑡1
2
, donde los segmentos 𝑀′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑀𝑀′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑁′𝑁̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑁𝑁′′̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝛿, en donde
existen 𝑃 y 𝑄 en 𝑀′𝑀′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ y 𝑁′𝑁′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, respectivamente, donde 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ es paralelo al eje 𝑦 tales que:
|𝑓(𝑃) − 𝑓(𝑀)| <
𝑡1
2
𝑦 |𝑓(𝑄) − 𝑓(𝑁)| <
𝑡1
2

|𝑓(𝑃) − 𝑓(𝑄)| > 𝜎
Ahora bien, se traza un cuadro con centro en 𝐴0, con la propiedad que sus lados sean menores
que 𝜀/2 y 𝛿.
Luego se considera un punto 𝐴 en el cuadrado tal que la distancia de este punto los segmentos
𝑀′𝑀′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ y 𝑁′𝑁′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, sean menores que 𝛼𝜎(𝑥0, 𝑦0) + 𝜀.
Consideramos el segmento paralelo a 𝑦, existen puntos 𝑃 y 𝑄, en 𝑀′𝑀′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ y 𝑁′𝑁′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
respectivamente, los cuales cumplen que |𝑓(𝑃) − 𝑓(𝑄)| > 𝜎, por lo tanto 𝛼𝜎(𝐴) < 𝛼𝜎(𝑥0, 𝑦0) +
𝜀, entonces 𝛼𝜎(𝑥, 𝑦) es semicontinua superiormente.
De una manera análoga, Baire logra demostrar el teorema A5.
 Teorema A5: Si en un punto 𝐴0(𝑥0, 𝑦0) de 𝐶, la función 𝛼𝜎 tiene su mínimo con
respecto a 𝐶, positivo, entonces 𝜔(𝑓, 𝐴0) ≤ 2𝜎.
Con los dos teoremas anteriores, Baire establece las condiciones necesarias del tercer
problema, en el siguiente teorema:
 Teorema A6: En toda porción de curva representable por una ecuación 𝑦 = 𝜑(𝑥),
donde 𝜑(𝑥) es continua, existe puntos en los que 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua respecto a (𝑥, 𝑦)
conjuntamente.
Demostración: Dada una curva 𝐶, se considera 𝛼𝜎(𝑥, 𝑦), la cual es positiva y semicontinua,
por A3, se tiene que para todo arco 𝐷 ⊆ 𝐶, existe otro arco 𝐷1, tal que 𝑚[𝛼𝜎 , 𝐷1] > 0.
Tomamos la sucesión {𝜎𝑛} tal que 𝜎𝑖 > 0, para 𝑖 ∈ ℕ, 𝜎0 = 𝜎 y lim
𝑛→∞
𝜎𝑛 = 0, y con el mismo
argumento anterior, tenemos que para el arco 𝐷1, existe un arco 𝐷2, que cumple que 𝑚[𝛼𝜎1, 𝐷2] >
0 y sobre el arco 𝐷2 existe un arco 𝐷3, tal que 𝑚[𝛼𝜎2, 𝐷3] > 0, asi sucesivamente, garantizando
por la construcción y la sucesión decreciente, que en cualquier arco de la curva 𝐶 exsite un punto
𝑃 en el cual 𝑚[𝛼𝜎 , 𝑃] > 0, este punto cumple la hipótesis de A4; es decir, 𝜔[𝑓, 𝑃] < 2𝜎, para todo
𝜎, dando por demostrado el teorema A6.
Así pues, Baire logro demostrar que en casos como el del problema 3, una función 𝑓 es
puntualmente discontinua sobre una curva 𝐶.
42

Con toda esta base teórica, Baire se encuentra cerca de las condiciones necesarias para
Teorema 1, para ello, lleva sus resultados a subconjuntos perfectos del dominio y denota de la
siguiente manera:
𝑓: [𝐴, 𝐵] → ℝ
𝑡 → 𝑓(𝑡)
Si 𝐸 ⊂ [𝐴,𝐵], tal que 𝐸 = 𝐸´, (𝐸 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜)
𝑀[𝑓, 𝐸]: máximo de 𝑓 con respecto a 𝐸.
𝑀[𝑓, 𝐴, 𝐸]: máximo de 𝑓 en 𝐴 con respecto a 𝐸.
𝑚[𝑓, 𝐴, 𝐸]: mínimo de 𝑓 en 𝐴 con respecto a 𝐸.
𝜔[𝑓, 𝐴, 𝐸]: es la oscilación de 𝑓 en 𝐴 con respecto a 𝐸.
Si 𝜔[𝑓, 𝐴, 𝐸] = 0, 𝑓 es continua en 𝐴 relativa en 𝐸.
 Teorema A7: Una función que cumpla las condiciones de 𝑃3, es puntualmente
discontinua con respecto a todo conjunto perfecto.
Con esto está demostrado las condiciones necesarias para el teorema 1, luego, modifica P1 y
P2 para obtener las condiciones suficientes:
1. Problema 1.a: ¿Cómo debe ser 𝜑(𝑥), con 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, para que 𝑓(𝑥, 𝑦), definida en
𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, 𝛼 ≤ 𝑦 ≤ 𝛽, sea continua en todo punto con respecto a 𝑥 y respecto a 𝑦, y
además igual a 𝜑(𝑥) sobre 𝑥 = 𝑦?.
2. Problema 2.a: ¿Cómo debe ser 𝜑(𝑥) definida en 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, para que exista 𝑓(𝑥, 𝑦)
continua en 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽, 𝛼 ≤ 𝑦 ≤ 𝛽, y continua solo con respecto a 𝑦 en los puntos
donde 𝑦 = 0 e igual sobre el eje 𝑥 a 𝜑(𝑥)?.
El proceso sigue definiendo una función como representable si satisface las condiciones de los
problemas 1.a y 2.a y muestra que las funciones con un número finito de discontinuidades son
representables.
Así, Baire trabaja en dos teoremas para demostrar que también las funciones con un número
infinito de discontinuidades son representables:
43

 Teorema A8: una función es representable en todo subsegmento de 𝐴´𝐵´ interior a 𝐴𝐵,
entonces es representable en todo 𝐴𝐵.
 Teorema A9: sea una función definida sobre 𝐴𝐵, si existe sobre 𝐴𝐵 un numero finito
de puntos tales que al tomar en torno a ellos vecindades tan pequeñas como se quiera
y sustrayéndolas de 𝐴𝐵, la funcion

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