Cálculo Integral en una Variable

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Facultad de Ciencias 
Sede Bogotá
Cálculo 
Integral en 
una Variable
Jeanneth Galeano Peñaloza
Claudio Rodríguez Beltrán
Cálculo Integral en
una Variable
Cálculo Integral en
una Variable
Jeanneth Galeano Peñaloza
Claudio Rodríguez Beltrán
Bogotá, D. C., Colombia, Junio de 2020
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
© Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
© Jeanneth Galeano Peñaloza y Claudio Rodríguez Beltrán
Primera edición, 2020
ISBN XXX-XXX-XX-XXX (papel)
ISBN XXX-XXX-XX-XXX (digital)
Edición
Coordinación de publicaciones - Facultad de Ciencias
coorpub_fcbog@unal.edu.co
Corrección de estilo:
Juliana Monroy
Diseño de la colección
Leonardo Fernández Suárez
Maqueta LATEX
Camilo Cubides
Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier
medio sin la autorización escrita del titular de los derechos
patrimoniales
Impreso y hecho en Bogotá, D. C., Colombia
A Isabella y Alejo,
quienes complementan mi existencia.
Jeanneth
A Juan Diego, Santiago y Paola,
por todo su amor.
Claudio
Agradecimientos
Agradecemos a todos los estudiantes que han participado en los cursos
de Cálculo Integral y Cálculo Integral en una Variable, por sus comenta-
rios, dudas, ejemplos, soluciones a ejercicios y errores cometidos, porque
esto nos ha permitido enriquecer nuestras formas de enseñar; esperamos
haberlo plasmado en este texto, que ha sido producto de la experiencia con
ellos. También a aquellos estudiantes que nos han mostrado qué era lo que
estaban esperando de un libro de texto y nos dieron ideas en discusiones
fuera del aula.
Nuestro agradecimiento al Departamento de Matemáticas por el apoyo
necesario para culminar este escrito, que hemos venido trabajando desde
hace varios años, el cual hemos podido mejorar gracias a la ayuda de los
profesores que han llevado el curso en el FEM, que con sus talleres y gran
cantidad de ejercicios han colaborado, particularmente a la profesora Ibeth
Marcela Rubio, quien en varias ocasiones nos compartió los talleres traba-
jados por ella y el grupo de profesores de los cursos de Cálculo Integral en
una Variable y Cálculo Integral.
El texto fue escrito en LATEX y utilizamos el editor de texto TEXStudio,
algunas grá�cas fueron elaboradas con el paquete TiKz y otras con ayuda
del programa de libre acceso Geogebra. También utilizamos el software li-
bre WolframAlpha directamente de la página www.wolframalpha.com pa-
ra realizar algunos cálculos numéricos. Queremos dar un agradecimiento
especial a Daisy Contreras, quien realizó gran parte de las grá�cas que se
encuentran en formato TiKz.
Agradecemos a la Facultad de Ciencias, a la Coordinación de Publicacio-
nes, al profesor Pedro Zambrano, coordinador de publicaciones del Depar-
tamento deMatemáticas, y al equipo editorial de la UniversidadNacional de
Colombia, sede Bogotá, que nos permiten publicar y divulgar este material.
A los evaluadores internos y externos que hicieron una revisión exhausti-
va del texto y quienes con sus comentarios y sugerencias nos permitieron
mejorar su calidad.
· vii
Por último, agradecemos profundamente a nuestras familias por su pa-
ciencia, el tiempo y el apoyo brindado durante este proceso, sin ellos no
hubiera sido posible culminar este trabajo.
Jeanneth Galeano Peñaloza
jgaleanop@unal.edu.co
Claudio Rodríguez Beltrán
crodriguezbe@unal.edu.co
Contenido
Introducción xiii
Capítulo uno
Preliminares 1
1. Notación sigma Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Capítulo dos
La integral definida 15
1. El problema del área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. El área bajo la curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Capítulo tres
La integral indefinida 53
1. Algunas integrales inde�nidas (inmediatas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2. Problemas con condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Capítulo cuatro
Integración numérica 65
1. Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2. Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Capítulo cinco
Técnicas de integración 77
1. Regla de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1. Sustitución en integrales inde�nidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.2. Sustitución en integrales de�nidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2. Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3. Integración de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4. Sustituciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
x · Contenido
4.1. Sustitución hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5. Integración por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1. Casos de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2. Sustitución tan(\/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Capítulo seis
Integrales impropias 127
1. Integrales impropias de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2. Integrales impropias de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4. Criterios de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Capítulo siete
Aplicaciones de la integral 149
1. Área entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2. Volumen. Secciones transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.1. Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3. Volumen de sólidos de revolución. Cortes circulares . . . . . . . . . 162
4. Volumen. Método de arandelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5. Volumen. Cascarones cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6. Longitud de una curva plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1. Curvas determinadas por funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2. Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7. Centros de masa y valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.1. El centro de masa de n-cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2. Valor esperado de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . 183
7.3. El centro de masa de una varilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4. Centro de masa de un alambre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5. Centros de masa de regiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.6. Valor esperado de una variable aleatoria continua . . . . . . . . 191
8. Área de una super�cie de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.1. Curvas determinadas por funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3. Teoremas de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Contenido · xi
Capítulo ocho
Coordenadas polares 217
1. Cónicas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2. Simetría en coordenadas polares . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 231
3. Intersección de curvas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4. Área en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Capítulo nueve
Sucesiones y Series 243
1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3. Propiedades de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.1. El criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.2. Criterios de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.3. Criterios de la razón y la raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5. Convergencia absoluta y condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Capítulo diez
Series de potencias 287
1. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
1.1. Polinomio de Taylor alrededor de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
1.2. Polinomio de Taylor alrededor de un punto . . . . . . . . . . . . . 293
1.3. El residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
3. Series de Taylor y Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Apéndice A
Funciones especiales 323
Apéndice B
Error aproximando 331
Bibliografía 341
Introducción
Este libro ha sido pensado como texto guía para el curso Cálculo Integral
en una Variable, que se imparte en las carreras de Matemáticas, Física y
Estadística de la Universidad Nacional de Colombia. Aunque existen en el
mercado cientos de libros, quisimos escribir uno que cumpliera con los re-
quisitos académicos de los programas de la Universidad Nacional de Co-
lombia, en el que se recogieran todos los temas que se enseñan en el curso
de un semestre y se expusieran los temas con el mismo enfoque que se tra-
tan en la clase.
Los clásicos como Apostol [1] y Spivak [5] son excelentes libros, que todo
estudiante debería tener en casa y consultar durante sus estudios de mate-
máticas, pero, en el caso del primero, la presentación de los temas sugiere
un orden histórico y realiza un desarrollo de las técnicas de integración de
manera independiente a la derivada, lo cual requiere un mayor esfuerzo
y tiempo para obtener los resultados que se desean enseñar. Por otro la-
do, Spivak es más compacto, deja mucha de la teoría para desarrollar en los
ejercicios y no enfoca sus esfuerzos en el cálculo de integrales ni en sus apli-
caciones; sin embargo, la introducción del concepto de la integral es muy
claro y formal. Otros libros como Thomas [7] y Stewart [6] son ricos en
ejercicios y aplicaciones y están dirigidos a un público más amplio, pero el
lenguaje con que exponen sus temas es menos formal y muchas deduccio-
nes se hacen de manera intuitiva. También consideramos muchos recursos
que se encuentran en la red y que resultan de mucha utilidad como foros,
blogs, páginas con contenidos relevantes, no obstante, estos fueron �ltrados
y adaptados.
Teniendo en cuenta todos los aspectos previamente enumerados, trata-
mos de abordar los temas con un lenguaje muy claro y cotidiano, pero con la
formalidad que se espera que tengan los estudiantes de Matemáticas, Física
y Estadística. Con este objetivo, presentamos ejemplos sencillos y otros más
elaborados que, desde nuestra experiencia en aula, puedan ayudar a clari�-
car las ideas a los lectores. Tratamos de incluir un poco más del contenido
estricto del curso con el �n de que el libro sea �exible y que al ser apli-
cado a varios cursos se obtengan distintos resultados. Como el libro tiene
xiv · Introducción
más ejemplos y aplicaciones de las que se pueden ver en una clase magis-
tral, le servirá al estudiante para que consulte antes, durante y después de
la clase, bien sea para preparar el tema o veri�car que está entendiendo lo
que el profesor explica, bien para realizar ejercicios adicionales a manera de
retro-alimentación.
El hecho de que usemos un lenguaje claro no signi�ca que dejemos de
lado el formalismo matemático, por eso incluimos los conceptos de supre-
mo e ín�mo, que son necesarios para de�nir de manera precisa el concepto
de integral de�nida, lo que permite considerar como conjunto de funciones
integrables a las funciones acotadas y no solamente a las continuas.
El contenido del libro corresponde al programa de la materia y cubre
todos los temas que se espera que el estudiante conozca y manipule al ter-
minar el curso. El primero de los cuatro grandes temas que se abordan es la
integral de�nida, en esta sección se introduce el concepto de integral a través
de la noción de área; se construyen las pruebas de la manera más rigurosa
posible con el objetivo de preparar al estudiante para los futuros cursos de
Análisis Matemático. El segundo tema abordado es métodos de integración,
en el capítulo dedicado a ello se enseñan las técnicas que todo estudiante
debería manipular con cierta habilidad y agilidad, mostrando también mu-
chos de los “trucos”que a menudo se utilizan para transformar integrales en
otras más sencillas. Seguidamente, se explora un poco en el mundo de las
aplicaciones de la integral, sección en la que hemos tratado de mostrar al me-
nos un ejemplo de aquellas que consideramos más prácticas, más comunes
o más fáciles de entender. Hemos incluido una sección con aplicaciones a
la probabilidad, algo que es poco común en los libros de cálculo, pero muy
necesario para nuestros estudiantes. Por último, dedicamos un capítulo al
estudio de las sucesiones y series, que son de gran importancia en los cursos
de Ecuaciones Diferenciales, Análisis Matemático, Variable Compleja y en
cursos avanzados de Estadística, así como también en Teoría de Señales,
Telecomunicaciones y otros en el área de la ingeniería.
Además, el libro tiene un capítulo de preliminares que el lector puede
consultar en cualquier momento. Los temas que se incluyen en este capí-
tulo fueron escogidos porque se utilizan a lo largo del texto y consideramos
que deben ser conocidos antes del curso. Pensamos también que era nece-
sario incluir un apéndice de funciones especiales, en el cual mencionamos
algunas propiedades de estas y formas de calcular sus derivadas, que resul-
tan útiles en el estudio de algunas técnicas y estrategias de integración. El
apéndice B extiende un poco la discusión sobre los errores en la integración
numérica. Este es un tema extenso y es difícil abordarlo completamente en
Introducción · xv
los tiempos de la clase, sin embargo, despierta interés; lo incluimos para que
el estudiante pueda profundizar y comprender este tópico.
A partir de todo lo dicho previamente, consideramos que el libro tam-
bién puede ser usado como texto guía para el curso Cálculo Integral dirigido
a estudiantes de las Facultades de Ciencias e Ingeniería, y para el curso libre
del mismo nombre. Será el profesor quien determine cuál es la profundi-
dad con la que quiere abordar los temas que aquí se incluyen, omitiendo
y/o adaptando los contenidos al público al que se dirija.
Es importante mencionar que, aunque hemos sido cuidadosos al selec-
cionar los ejemplos y ejercicios que se presentan, es imposible dejar fuera
algunos clásicos que se encuentran en la mayoría de los libros. Adicional-
mente, hay que mencionar que muchos de los ejercicios que se incluyen
han sido fruto de los talleres que se preparan en el Departamento de Ma-
temáticas, por esta razón agradecemos alos profesores que durante varios
semestres han dictado el curso y han aportado su grano de arena a la reali-
zación de estos talleres. El libro dispone de un solucionario de acceso libre
que en un futuro se podrá descargar de la página del Departamento de Ma-
temáticas.
Capítulo
uno
Preliminares
Preliminares · 3
En este capítulo, expondremos varios conceptos y de�niciones básicas de
cálculo diferencial, así como algunos teoremas (sin demostración), que serán
utilizados a lo largo del texto, y que el lector debe conocer previamente. Para
una exposición más detallada se pueden consultar, por ejemplo, los libros
clásicos de Apostol [1] y Spivak [5] o las Notas de Clase de Cálculo I [4].
Posteriormente, en la sección titulada Notación sigma, iniciaremos el estudio
de las sumatorias e introduciremos la notación que usaremos a lo largo del
texto.
Dados nuestros propósitos, en este texto trabajaremos únicamente con
el conjunto de los números reales.
Cotas superiores e inferiores
Tomemos A ⊆ ℝ y a, b números reales.
Diremos que b es una cota superior de A si x ≤ b para todo x en A. Si
además b está en A, entonces b es el máximo de A (es único).
Diremos que a es una cota inferior de A si a ≤ x para todo x en A. Si
además a está en A, entonces a se llama el mínimo de A (es único).
Pruebe que el mínimo y máximo, en caso de existir, son únicos.
Diremos que un conjunto es acotado superiormente (inferiormente) si el
conjunto de cotas superiores (inferiores) es no vacío.
Llamaremos supremo de A a la mínima cota superior de A y la de-
notaremos sup A. El supremo de un conjunto acotado lo podemos
caracterizar de las siguiente forma:
s = sup A ⇐⇒ s es una cota superior de A y
no existe otra cota superior de A menor que s.
De manera más formal diremos que
s = sup A ⇐⇒ s es una cota superior de A y ,
para todo n > 0, existe a ∈ A tal que s − n < a ≤ s.
Esta última expresión podría leerse así: s es sup A si al retroceder un n
encontramos puntos del conjunto.
Llamaremos ín�mo de A a la mayor cota inferior de A.
A manera de ejercicio, sugerimos escribir la de�nición formal para
ı́nf A.
4 · Preliminares
Axioma de completitud de los números reales1
Recordemos que el conjunto de los números racionales está conformado
por todos los objetos de la forma pq , donde p y q son enteros y q ≠ 0, y
sabemos que un número es racional si y solo si tiene una representación
decimal periódica (incluida la representación decimal �nita). También co-
nocemos de la existencia de números que no son racionales, algunos de ellos
son:
√
2, e, c , ln 2, entre los incontables ejemplos que es posible encon-
trar. El conjunto de los números reales se construye completando o agre-
gando estos números (el conjunto de números irracionales) a los números
racionales. Si pensamos intuitivamente en los números racionales en re-
presentación decimal, siempre que ubicamos dos racionales sobre la recta
real podremos encontrar un número irracional entre ellos, basta construir
un número con una expansión decimal no periódica; es decir, que el con-
junto de los números racionales tiene huecos. La propiedad que distingue al
conjunto de los números reales de los racionales es importante para muchos
aspectos del análisis matemático y se conoce como el axioma de completitud
-o completez- de los números reales. El axioma a�rma que:
dado A, un subconjunto no vacío de ℝ, si A es acotado superiormente, entonces
A tiene supremo.
Una consecuencia inmediata del axioma es que los números reales son
densos: entre dos números reales siempre hay otro número real, por cerca que
parezcan. De ahí el uso de la palabra completitud. Veamos formalmente
cómo deducimos esto a partir del axioma.
Consideremos dos números reales
a ≤ b y B := {x ∈ ℝ : x < b}, el
conjunto de todos los números reales
que se encuentran a la izquierda de b.
a b
s
B
Es claro que este conjunto es no vacío, porque a ∈ B y está acotado supe-
riormente por b, entonces, por el axioma de completez, existe s = supB.
Además, s es un número real que cumple a ≤ s por la de�nición de supre-
mo y s ≤ b por ser b cota superior de B. Es decir, hemos encontrado un
número real s que satisface a ≤ s ≤ b.
Propiedad Arquimediana de los números reales
A�rmamos que el conjunto de los números naturales ℕ no está acotado superior-
mente. Supongamos, por el contrario, que ℕ está acotado superiormente,
1Axioma: cada uno de los principios fundamentales que no necesita demostración y sobre
los cuales se construye una teoría.
Preliminares · 5
por el axioma de completitud existe s = sup ℕ. Entonces, sabemos que da-
do n > 0 existe m ∈ ℕ tal que s − n < m. Si hacemos n = 1, tenemos que
existe m ∈ ℕ tal que s − 1 < m, o equivalentemente s < m + 1, lo cual
contradice que s sea el supremo de ℕ.
Entonces, dado x ∈ ℝ+, siempre es posible encontrar n ∈ ℕ tal que x < n.
Aplicando este resultado a xy con x , y ∈ ℝ
+, tenemos que existe n ∈ ℕ tal
que xy < n, o mejor x < yn, lo que se conoce como la propiedad arquimediana
de los números reales.
Observe que este axioma es en realidad un axioma de medición, a�rma
que sobre los reales es posible medir con la precisión que se quiera. En
otras palabras, si la unidad de medida es y, siempre es posible sobrepasar a
x pegando n segmentos, cada uno de longitud y.
Continuidad
La continuidad es una propiedad muy importante en todos los ámbitos de
las matemáticas, en particular, todo el tratamiento que haremos en este tex-
to para de�nir la integral de�nida tiene como punto de partida las funcio-
nes continuas. Después se puede debilitar esta exigencia para trabajar con
funciones que tienen discontinuidades esenciales. Por su parte, las discon-
tinuidades de salto no representan un problema para la integral de�nida.
Que una función sea continua signi�ca que si dos puntos en el dominio
estánmuy cerca, sus imágenes también estánmuy cercanas. Precisemos este
concepto:
la función f se dice continua en a si
lı́m
x→a
f (x) = f (a).
Formalmente decimos que, dado n > 0, existe X > 0 tal que si |x − a | < X,
entonces | f (x) − f (a) | < n .
Note que el X depende tanto de n como de a, lo que nos lleva a la si-
guiente de�nición.
La función f es uniformemente continua en un intervalo A si para cada
n > 0 existe algún X > 0 tal que, para todo x , y ∈ A,
si |x − y | < X , entonces | f (x) − f (y) | < n . (1.1)
Observe la diferencia entre estos dos conceptos, en el primero se de�ne
continuidad en un punto, mientras que en el segundo se de�ne sobre un in-
tervalo. Estos dos conceptos no son equivalentes, pero sí es posible probar
una implicación cuando se considera un intervalo cerrado. Para la demos-
tración el lector puede consultar, por ejemplo, [5].
6 · Preliminares
Teorema 1.1. Si f es continua en [a, b], entonces f es uniformemente continua
en [a, b].
Si el intervalo no es cerrado, no siempre se tiene la implicación, como
se muestra a continuación.
Ejemplo 1.2. Considere f (x) = 1x de�nida en el intervalo (0, 1]. Esta fun-
ción no es uniformemente continua, ya que si se toman números muy cer-
canos entre sí y muy próximos a 0, la diferencia de sus imágenes será tan
grande como se quiera, impidiendo la continuidad uniforme. Más preci-
samente, por la propiedad arquimediana, dados n > 0 y X > 0, existe un
entero positivo N que satisface n < N y además 12N < X. Entonces, si ele-
gimos x = 12N y y =
1
N , tenemos que
|x − y | =
���� 12N − 1N ���� = 12N < X
y, por otro lado, ���� f ( 12N ) − f ( 1N )���� = |2N − N | = N > n ,
es decir, que dado n > 0, no existe X > 0 que satisfaga (1.1).
Ejemplo 1.3. Si en el ejemplo anterior consideramos f (x) = 1x , de�nida en
el intervalo cerrado
[ 1
n , 1
]
, en el que n es algún entero positivo, para cual-
quier n > 0 basta con tomar X = n2n2 . El lector puede veri�car, calculando
directamente, que se satisface la condición (1.1) de continuidad uniforme.
Otro resultado importante que merece la pena que mencionemos, es la
relación entre diferenciabilidad y continuidad.
Teorema 1.4. Si f es diferenciable en a, entoncesf es continua en a.
Recuerde que el recíproco de este teorema no es cierto. Para probarlo,
considere, por ejemplo, la función valor absoluto.
Más adelante veremos que existe un resultado similar que nos da una
relación entre las funciones integrables y las continuas.
Otro resultado que usaremos con cierta frecuencia se conoce como teo-
rema del emparedado, del sándwich, de estricción, de compresión o de encaje.
Este nos permite hallar límites comparando funciones cuyos límites desco-
nocemos con otras cuyos límites son conocidos.
Teorema 1.5. Sea I un intervalo abierto que contiene al punto a. Sean f (x) ≤
g (x) ≤ h(x) para todo x ∈ I , excepto posiblemente en a, y, además, lı́m
x→a
f (x) =
L = lı́m
x→a
h(x). Entonces, forzosamente se sigue que lı́m
x→a
g (x) = L.
Preliminares · 7
1. Notación sigma Σ
La notación sigma se utiliza para sintetizar la suma de una cantidad de tér-
minos. Consideremosm, n , i enteros no negativos, conm ≤ n. Aquí el índice
i actúa como un contador entre el límite inferior m y el límite superior n, es de-
cir, varía desde m hasta n aumentando de uno en uno y los términos ai son
números reales. Entonces, podemos escribir
n∑
i=m
ai = am + am+1 + · · · + an−1 + an ,
que se lee la suma desde i = m hasta i = n de los ai .
Por ejemplo, la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 la escribimos de forma
sintética en notación sigma como
∑8
i=1 i. Otros ejemplos son los siguientes.
Ejemplo 1.6. (a)
7∑
i=3
i2 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 135.
(b)
99∑
i=1
3 = 3 + 3 + · · · + 3 = 3 · 99 = 297.
(c)
7∑
k=0
2k = 20 + 21 + 22 + · · · + 27 = 255.
(d)
n∑
k=4
1
k
=
1
4
+ 1
5
+ · · · + 1
n
.
Propiedades de la notación sigma
Sean c ∈ ℝ una constante, m, n , i , k enteros no-negativos, con m ≤ n, y
ai , bi ∈ ℝ. Tenemos las siguientes identidades:
(i)
n∑
i=m
c · ai = c ·
n∑
i=m
ai .
(ii)
n∑
i=m
(ai ± bi) =
n∑
i=m
ai ±
n∑
i=m
bi .
(iii)
n∑
i=m
ai =
k∑
i=m
ai +
n∑
i=k+1
ai , con m ≤ k < n.
8 · Preliminares
(iv)
n∑
i=m
ai =
n−k∑
i=m−k
ai+k.
Las primeras tres identidades provienen de la asociatividad, conmutativi-
dad y distributividad de los números reales. La última propiedad, llamada
reindexación, es solo una re-enumeración de los términos que se suman y la
re-acomodación de los límites. Con el �n de aclarar esta última, conside-
re la suma
∑9
i=5 ai = a5 + a6 + a7 + a8 + a9 y tome k = 3. En este caso la
reindexación queda
9−3∑
i=5−3
ai+3 =
6∑
i=2
ai+3 = a5 + a6 + a7 + a8 + a9 ,
que coincide con la suma inicial.
Esta última propiedad también se puede ver como un cambio de variable,
esto es, suponga que tenemos nuevamente
∑9
i=5 ai y que cambiamos i por
j+3, o sea, hacemos i = j+3, entonces en lugar de ai escribiremos a j+3 y los
límites cambian, así: si i = 5, entonces j = 2, y si i = 9, entonces j = 6. Con
estos cambios la suma queda
∑6
j=2 a j+3, que es exactamente lo que teníamos
arriba.
Una forma rápida de recordar esta propiedad consiste en “sumar y restar":
si al índice del término ai le sumo k, entonces a los límites les resto k. Esto es
cierto, pero debemos tener cuidado al utilizarlo, pues a menudo se cometen
errores como el que se muestra a continuación.
10∑
i=4
23i−1 =
10−1∑
i=4−1
23i−1+1 =
9∑
i=3
23i . ERROR!!!!
Note que si hacemos el cambio de variable i = j + 1, los límites para j son
efectivamente j = 3 y j = 9. Pero el término dentro de la suma cambia así
23i−1 = 23( j+1)−1 = 23 j+2, con lo cual la expresión correcta es:
10∑
i=4
23i−1 =
10−1∑
j=4−1
23( j+1)−1 =
9∑
j=3
23 j+2. X
Algunas sumas útiles
Encontrar un patrón para una suma o hallar una fórmula para sus prime-
ros términos ayuda en el cálculo de integrales y de series, entre otros. La
siguiente suma es utilizada con frecuencia cuando se realiza el cálculo de
Preliminares · 9
integrales de�nidas por medio de la de�nición.
n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)
2
. (1.2)
A continuación relatamos una anécdota que cuentan los biógrafos de Gauss2
con respecto a la suma que acabamos de escribir.
“...A los nueve años Gauss
asiste a su primera clase de
Aritmética. Büttner propo-
ne a su centenar de pupilos
un problema terrible: calcu-
lar la suma de los cien pri-
meros números.
Nada más terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número
en su pizarrón y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: Ligget se! (¡Ahí
está!). Había escrito 5.050. La respuesta correcta. Ante los ojos atónitos de Büttner
y del resto de sus compañeros, Gauss había aplicado, por supuesto sin saberlo, el
algoritmo de la suma de los términos de una progresión aritmética. Se había dado
cuenta de que la suma de la primera y la última cifra daba el mismo resultado que
la suma de la segunda y la penúltima, etc., es decir: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =
. . . = 101. Como hay 50 parejas de números de esta forma el resultado se obtendrá
multiplicando 101 × 50 = 5.050...” 3
Regresando al presente, recuerde que para probar una a�rmación que se
cumple para todo número natural n es necesario usar inducción matemática,
como mostramos a continuación.
Cuando n = 1 se veri�ca la suma de manera trivial.
Suponga ahora que la suma (1.2) se tiene para todo número menor a
n, en particular para n − 1, es decir, ∑n−1i=1 i = (n−1)n2 . Entonces,
n∑
i=1
i =
[
n−1∑
i=1
i
]
+ n.
2Note la importancia y el reconocimiento que tiene Gauss en la historia de las mate-
máticas, lo que le dio un lugar en el billete de 10 marcos alemanes. Imagen recuperada de
http://www.matematicasdigitales.com/wp-content/uploads/Billete-Gauss.jpg el 12 de Fe-
brero de 2017.
3Extraído de Gauss: El príncipe de los matemáticos, Antonio Pérez Sanz (2003).
10 · Preliminares
Utilizando la suma hasta n − 1 (que se conoce como hipótesis de in-
ducción), tenemos que
n∑
i=1
i =
(n − 1)n
2
+ n = n(n + 1)
2
.
Así, la a�rmación queda probada para todo número natural n ≥ 1. Otras
sumas que se usan con frecuencia son las siguientes
n∑
i=1
i2 =
n(n + 1) (2n + 1)
6
;
n∑
i=1
i3 =
[n(n + 1)]2
4
. (1.3)
La suma de los primeros n cuadrados la deduciremosmás adelante con ayu-
da de la suma telescópica. La suma de los primeros n cubos se deduce de
manera similar y la dejaremos como ejercicio al lector. También, a manera
de ejercicio, puede probar por inducción las dos fórmulas.
La suma de las primeras potencias de un número x ∈ ℝ, conocida como
suma geométrica, que se utilizará en capítulos posteriores y tiene aplicaciones
a series de potencias y polinomios de Taylor entre otros, está dada por
n∑
i=0
xi = 1 + x + · · · + xn = 1 − x
n+1
1 − x . (1.4)
Para veri�carla, denotamos por Sk =
∑k
i=0 x
i la suma parcial de las primeras
k + 1 potencias de x. Entonces,
Sn = 1 + x + · · · + xn
xSn = x + x2 + · · · + xn+1 ,
al restar las dos expresiones obtenemos que (1−x)Sn = 1−xn+1, despejando
Sn tenemos Sn = 1−x
n+1
1−x , que era lo que se quería.
Ejemplo 1.7. Al usar la fórmula de la suma geométrica para calcular
∑12
i=0 2
i ,
obtenemos
12∑
i=0
2i =
1 − 213
1 − 2 = 2
13 − 1.
Ejemplo 1.8. Usando la fórmula y propiedades de las sumatorias, tenemos
que
10∑
k=0
23k−1 =
1
2
10∑
k=0
8k =
1
2
· 1 − 8
11
1 − 8 =
811 − 1
14
.
Preliminares · 11
Ejemplo 1.9. Cuando la suma no comienza en cero aún es posible usar la
fórmula, veamos
15∑
k=4
5k =
15∑
k=0
5k −
3∑
k=0
5k
=
1 − 516
1 − 5 −
1 − 54
1 − 5 =
516 − 54
4
.
Suma Telescópica
Considere n+1 términos reales y denótelos por a1 , a2 , . . . , an+1. Una suma
de la forma
∑n
k=1 bk , donde bk = ak+1 − ak se llama suma telescópica. Obser-
ve que el valor de la suma depende del primer y último término, pues los
demás se cancelan dos a dos
n∑
k=1
[ak+1 − ak] = an+1 − a1. (1.5)
Ejemplo 1.10. Consideremos la siguiente suma
8∑
k=1
[(k + 1)2 − k2] = [22 − 12] + [32 − 22] + · · · + [92 − 82]
= 92 − 12 = 80.
Ejemplo 1.11. Note que la suma anterior puede escribirse de la siguiente
forma
8∑
k=1
[(k + 1)2 − k2] =
8∑
k=1
[k2 + 2k + 1 − k2] =
8∑
k=1
[2k + 1] ,
que coincide con la suma de los primeros impares, empezando en 3 y �na-
lizando en 17.
¿Puededar una fórmula para la suma de los primeros impares, empe-
zando en 1 y �nalizando en 2n + 1?
Ejemplo 1.12. La suma
∑n
k=1
1
k2+k es telescópica, ya que podemos escribir
el k-ésimo término como 1k2+k =
1
k −
1
k+1 . Así, el valor de la suma es 1−
1
n+1 .
Ahora bien, utilicemos la siguiente suma telescópica y las propiedades
de sumatoria para deducir la suma de los primeros n cuadrados, así
n∑
i=1
[
(i + 1)3 − i3
]
= (n + 1)3 − 1
= n3 + 3n2 + 3n. (1.6)
12 · Preliminares
Por otro lado, si expandimos el cubo, utilizamos las propiedades (i)-(iii) y
luego aplicamos la fórmula de sumatoria (1.2), tenemos
n∑
i=1
[
(i + 1)3 − i3
]
=
n∑
i=1
3i2 + 3i + 1
= 3
n∑
i=1
i2 + 3
n∑
i=1
i +
n∑
i=1
1
= 3
n∑
i=1
i2 + 3n(n + 1)
2
+ n , (1.7)
igualando las expresiones (1.6) y (1.7) obtenemos la suma de los primeros
n cuadrados, como a�rmamos en la fórmula de la izquierda en (1.3).
3
n∑
i=1
i2 =
[
n3 + 3n2 + 3n − 3n(n + 1)
2
− n
]
3
n∑
i=1
i2 =
1
2
[
2n3 + 6n2 + 6n − 3n2 − 3n − 2n
]
n∑
i=1
i2 =
1
6
(2n3 + 3n2 + n)
=
n(n + 1) (2n + 1)
6
.
(1.8)
Ejercicios 1.1
1. Exprese las siguientes sumas en notación sigma y reindexelas de tres
formas diferentes:
a) 23 + 33 + 43 + · · · + n3.
b) 4 + 6 + 8 + · · · + 248.
c) 3 − 5 + 7 − 9 + 11 − · · · + 51.
d) 3 + 9 + 27 + · · · + 531441.
e) 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn.
f ) 1 + 3 + 7 + 15 + · · · + 524287.
g) 1 + 1 + 2 + 6 + 24 + · · · + 40320.
h) 1 + 3 + 3 · 5 + 3 · 5 · 7 + · · · + 3 · 5 · · · 51.
Preliminares · 13
2. Pruebe por inducción la fórmula de la suma (1.3) de los primeros n
cuadrados.
3. Veri�que la fórmula de suma de los primeros n cubos
n∑
i=1
i3 =
[n(n + 1)]2
4
,
(a) utilizando inducción; (b) por sumas telescópicas.
4. Expanda las siguientes sumas:
a)
4∑
k=0
2k − 1
2k + 1 .
b)
6∑
k=1
2k
(2k − 1)! .
c)
11∑
j=3
(−1) j
√
2 j.
d)
10∑
k=1
(−1)k+1 (2k)!
2kk!
.
5. Re-indexe la suma
100∑
k=5
e3k−4 de manera que empiece en k = 1.
6. Calcule las siguientes sumas:
a)
100∑
i=0
5i.
b)
8∑
r=0
(2r + 1).
c)
4∑
i=0
(2i + i2).
d)
99∑
i=3
(
1
i
− 1
i + 1
)
.
e)
20∑
k=2
1
k2 − 1
.
f )
7∑
n=0
(
1
3
)n
.
g)
n∑
k=1
1
n + k − 1 −
1
n + k .
h)
50∑
k=0
2k2 − 3k + 4.
7. Encuentre un entero positivo n, el más pequeño posible, de tal manera
que 50 <
n∑
i=1
1
i
.
8. Calcule lı́m
n→∞
n∑
i=1
1
n
(
i
n
)2
.
14 · Preliminares
9. En los siguientes ejercicios veri�que la igualdad:
a)
2n∑
i=1
(−1)i+1 1
i
=
2n∑
i=n+1
1
i
.
b)
n∑
i=1
1
1 + in
(
1
n
)
=
n∑
i=1
1
n + i .
c)
n∑
k=1
1
k(k + 1) = 1 −
1
n + 1 .
d)
n∑
k=0
(
1
3
)k
=
1 −
(
1
3
)n+1
1 − 13
.
Capítulo
dos
La integral
definida
La integral definida · 17
1. El problema del área
Frecuentemente, la integral de�nida se introduce como una herramienta
para calcular el área de regiones no negativas en el plano xy. Por lo cual, se
requieren ciertas nociones básicas sobre el signi�cado de área y la forma de
calcularla. Podemos asumir naturalmente que el área de una región plana1
rectangular es el producto de dos de sus lados adyacentes. En particular, co-
mo punto de partida consideraremos el área de un cuadrado unitario como
la unidad básica para medir el área.
Existen dos formas intuitivas de asignar un área a una región, una es
determinando el área de las unidades cuadradas estrictamente necesarias
para “cubrir” la región, otra, calculando el área de la mayor cantidad de
unidades cuadradas que “caben” en la región. Tácitamente, se asume que lo
que cubre es lomismo que cabe, sin embargo existen regiones para las cuales
estas dos formas de aproximar el área no coinciden (como veremos más
adelante en este capítulo). Este tipo de regiones no tienen área, simplemente
no se pueden medir.
Regiones como las líneas rectas o curvas no pueden contener siquiera una
parte de un cuadrado, de hecho, el área de los cuadrados que la cubren se
puede hacer tan pequeña como sea posible, por eso, a este tipo subconjuntos
se les asigna área 0. Observe que el área es una medida no negativa, por ello,
se espera que el área de la unión de dos conjuntos disyuntos sea la suma de
estas.
2. El área bajo la curva
Considere una curva de�nida por una función y = f (x), no negativa y con-
tinua sobre el intervalo [a, b], como lo muestra la grá�ca. ¿Es posible hallar
el área de la región que se encuentra entre la curva y el eje x en [a, b]?
y
xa b
y = f (x)
1Cuando hablamos de una región plana se tiende a pensar inicialmente en algún subcon-
junto de ℝ2.
18 · La integral definida
Alrededor de esta pregunta surgen algunas otras inquietudes como, por
ejemplo, ¿qué pasa si la curva no es continua? ¿Qué pasa si la curva es ne-
gativa? ¿Qué tipo de discontinuidades se pueden admitir? A continuación,
daremos respuesta a estos interrogantes.
Empecemos con el caso sencillo en que el dominio de la función incluye
el intervalo [a, b] y, para a ≤ x ≤ b, se tiene que f (x) ≥ 0. Supongamos,
además, que la función es continua en tal intervalo. La primera aproxima-
ción que podemos hacer -bastante pobre, por cierto- es usar el rectángulo
que tiene como base el intervalo [a, b] y cuya altura es f (a). Note que una
parte del rectángulo queda por fuera de la curva, pero esto no compensa la
parte de la región que quedó sin cubrir.
y
xa b
y = f (x)
Ahora bien, si tomamos el rectángulo con altura f (b), su área sería mucho
menor que el área buscada, así que no consideraremos ese caso.
Podríamos hacer la aproximación por el rectángulo que encierra la curva,
con altura el máximo de f en el intervalo, pero nos damos cuenta que en
este caso tal área es más grande que el área buscada.
y
xa b
y = f (x)
¿Cómo mejorar estas aproximaciones? ¿Qué tal si en lugar de un solo rec-
tángulo hacemos varios, de distintas alturas?
La integral definida · 19
y
xa b
y = f (x)
En la �gura anterior, vemos que algunos rectángulos quedaron totalmente
incluidos en la región en cuestión, pero otros no. Podríamos desear que
todos quedaran incluidos o que todos queden cubriendo la región. También
que todos los rectángulos tengan el mismo ancho y que sus alturas tengan
alguna relación con las imágenes de la función, por ejemplo, que la altura
corresponda al valor mínimo alcanzado en cada subintervalo.
y
xa b
y = f (x)
Vemos que la última parece ser la mejor de las cuatro aproximaciones, así
que vamos a perfeccionarla. El primer punto a mejorar, a partir de lo obser-
vado, es que entre más rectángulos de base más pequeñamejor la aproxima-
ción. El segundo es escoger adecuadamente las alturas de los rectángulos.
Antes de hacerlo, necesitamos introducir unas cuantas de�niciones que
nos permitirán resolver formalmente este problema.
Sumas superior e inferior
El conjunto ℙ = {t0 , t1 , ..., tn}, con a = t0 < t1 < · · · < tn = b se llama una
partición del intervalo [a, b]. Por ejemplo, el conjunto
{2, 2.1, 2.5, 2.8, 3}
es una partición del intervalo [2, 3].
Llamaremos longitud de la partición a la medida del subintervalo más
grande. En ese sentido, la longitud de la partición del ejemplo anterior es
0.4. Existen particiones regulares donde todos los subintervalos tienen el
mismo tamaño, por ejemplo,
{2, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 3},
20 · La integral definida
en este caso cada subintervalo tiene longitud 0.2.
Hasta ahora hemos pedido que la función sea continua en un intervalo
cerrado, sin embargo, en lo que sigue de este capítulo supondremos úni-
camente que la función f es acotada en [a, b] y cuando se requiera de la
continuidad haremos las consideraciones necesarias. Sea ℙ = {t0 , t1 , ..., tn}
una partición de [a, b]. De�nimos los siguientes números
mi = ı́nf{ f (x) : ti−1 ≤ x ≤ ti} y
Mi = sup{ f (x) : ti−1 ≤ x ≤ ti},
que corresponden al ín�mo y al supremo de las alturas de los rectángulos.
Observe que si f se considera continua, el ín�mo coincide con el mínimo y
el supremo con el máximo. Con estas cantidades de�nimos la
suma inferior I ( f , ℙ) =
n∑
i=1
mi (ti − ti−1) y la
suma superior S ( f , ℙ) =
n∑
i=1
Mi (ti − ti−1).
Note que estas son sumas �nitas y positivas,ya que estamos suponiendo
que nuestra función toma valores no-negativos en el intervalo dado, en caso
contrario, estas sumas pueden ser negativas y NO tendrían el signi�cado de
área.
Dada una partición ℙ, siempre tenemos que I ( f , ℙ) ≤ S ( f , ℙ), esto es,
la suma inferior siempre es menor o igual que la suma superior. En efecto,
para todo i
mi ≤ Mi =⇒ mi (ti − ti−1) ≤ Mi (ti − ti−1)
=⇒
n∑
i=1
mi (ti − ti−1) ≤
n∑
i=1
Mi (ti − ti−1).
y
x
y = f (x)
a = t0· · · tk · · · tn = b
Sumas inferiores
y
x
y = f (x)
a = t0· · · tk · · · tn = b
Sumas superiores
La integral definida · 21
Ejercicio 2.1. Considere la función y = x y encuentre el valor real del área entre
la curva y el eje x en el intervalo [2, 3]. Después encuentre las sumas superior e
inferior con las dos particiones dadas, ¿qué puede decir al respecto?
Como las particiones son conjuntos, en ocasiones una partición ℙ1 pue-
de estar contenida en una partición ℙ2, en tal caso diremos que ℙ2 es un
re�namiento de ℙ1.
Por ejemplo,ℙ2 = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}
es un re�namiento de ℙ1 = {0, 0.2, 0.4, 0.8, 1}, ambas particiones de
[0, 1].
El siguiente resultado a�rma que si tomamos un re�namiento de una
partición y calculamos las sumas inferiores, la nueva suma inferior es mayor
o igual que la primera.
Lema 2.2. Consideremos una partición ℙ = {t0 , t1 , ..., tk−1 , tk , ..., tn} del in-
tervalo [a, b] y un re�namiento ℙ1 = {t0 , t1 , ..., tk−1 , u , tk , ..., tn}. Entonces,
I ( f , ℙ) ≤ I ( f , ℙ1).
Demostración. Podemos dividir la partición ℙ1 en dos partes. La primera
considera los puntos desde t0 hasta u y la segunda los puntos desde u hasta
tn. De acuerdo con la de�nición de mk , tenemos que m′u := ı́nf{ f (x) : tk−1 ≤
x ≤ u} ≥ mk y también m′′u := ı́nf{ f (x) : u ≤ x ≤ tk} ≥ mk
=⇒ mk (tk − tk−1) = mk (u − tk−1) + mk (tk − u)
≤ m′u (u − tk−1) + m′′u (tk − u)
=⇒ I ( f , ℙ) ≤ I ( f , ℙ1).
�X
Nota 2.3. De la misma forma, podemos mostrar que si ℙ1 es un re�namiento de
ℙ, entonces S ( f , ℙ1) ≤ S ( f , ℙ). En otras palabras, al hacer re�namientos, las
sumas inferiores crecen, mientras que las sumas superiores decrecen.
El siguiente teorema a�rma que una suma inferior siempre es menor o
igual que una suma superior, ¡sin importar la partición que se esté conside-
rando!
Teorema 2.4. Dadas dos particiones (posiblemente disyuntas) ℙ1 , ℙ2 de [a, b],
entonces I ( f , ℙ1) ≤ S ( f , ℙ2).
Demostración. Consideremosℚ = ℙ1∪ℙ2. Es claro queℚ es un re�namien-
to de ℙ1 y de ℙ2, entonces, por el lema previo,
I ( f , ℙ1) ≤ I ( f , ℚ) ≤ S ( f , ℚ) ≤ S ( f , ℙ2).
�X
22 · La integral definida
Esto signi�ca que I := {I ( f , ℙ)} = {I ( f , ℙ) : ℙ es una partición de [a, b]}
está acotado superiormente, y por el axioma de completitud de los números
reales
¡¡Existe sup I = sup{I ( f , ℙ)}!!
Igualmente, S := {S ( f , ℙ)} = {S ( f , ℙ) : ℙ es una partición de [a, b]} está
acotado inferiormente, y por la misma razón
¡¡Existe ı́nf S = ı́nf{S ( f , ℙ)}!!
Mas aún sup I ≤ ı́nf S. Esto nos permite dar la de�nición de función
integrable.
De�nición 2.5. Sea f una función acotada sobre [a, b]. Diremos que f es in-
tegrable en [a, b] si sup{I ( f , ℙ)} = ı́nf{S ( f , ℙ)} y de�niremos el valor de la
integral desde a hasta b como∫ b
a
f (x) dx := sup{I ( f , ℙ)} = ı́nf{S ( f , ℙ)}.
Se lee “integral de f (x) dx desde a hasta b”, los elementos de la integral son:∫ b
a
f (x)︸︷︷︸ dx
integrando
límite inferior
límite superior
diferencial
Nota 2.6. No hemos exigido que la función f sea continua. La razón es que el
problema en las discontinuidades de salto puede arreglarse añadiendo un punto a la
partición, precisamente aquel donde ocurre la discontinuidad; de esta forma, se in-
cluye un rectángulo adicional sin ningún inconveniente. Las discontinuidades don-
de hay asíntotas verticales se manejan con las integrales impropias, pero nos hemos
quitado ese problema de encima suponiendo que la función es acotada.
Nota 2.7. Si f (x) ≥ 0 sobre el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces el valor de∫ b
a f (x)dx corresponde al área entre la curva y el eje x.
Ejemplo 2.8. Consideremos la función constante f (x) = c. Observe que
mk = Mk = c para cualquier partición, por lo tanto sup{I ( f , ℙ)} = c(b−a) =
ı́nf{S ( f , ℙ)}, esto es, ∫ b
a
c dx = c(b − a).
La integral definida · 23
Ejemplo 2.9. La función
f (x) =
{
0 si x es racional,
1 si x es irracional
es un poco atípica, en el sentido que es discontinua en cada punto, pero
además todas sus discontinuidades son esenciales. En este caso, tenemos
que
0 = sup I < ı́nf S = 1,
es decir, no es integrable.
Otra forma de decir que una función es integrable es que la diferen-
cia entre sus sumas superior e inferior puede hacerse tan pequeña como se
quiera. Grá�camente queremos que el área de la región sombreada sea casi
cero, lo que nos lleva a la siguiente de�nición.
y
x
y = f (x)
a b
Suma superior menos suma inferior
De�nición 2.10 (Alternativa de función integrable). Sea f acotada en [a, b].
Diremos que f es integrable en [a, b] si y solo si, para todo n > 0, existeℙ de [a, b]
tal que
|S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) | < n .
Note que esta de�nición no es práctica para hacer cálculos concretos, pues
no nos da el valor de la integral, pero es útil cuando se quiere probar que
una clase de funciones es integrable. A manera de ejercicio, el lector puede
demostrar la equivalencia entre las de�niciones 2.5 y 2.10.
Ejemplo 2.11. Realice la grá�ca de la función f (x) =
{
8 si x = 2,
1 si x ≠ 2.
Veri�quemos que esta función es integrable en [1, 4]. Para ello, consi-
deremos una partición ℙ = {t0 = 1, t1 , . . . , tn = 4} de [1, 4], es claro que
en cada subintervalo el ín�mo es mi = 1, i = 1, . . . , n, así que la suma
inferior es
I ( f , ℙ) =
n∑
i=1
mi (ti − ti−1) =
n∑
i=1
(ti − ti−1) = tn − t0 = 4 − 1 = 3.
24 · La integral definida
Por otro lado, en cada subintervalo el supremo esMi = 1, excepto en aquel
que incluya a x = 2. Supongamos que tk−1 ≤ 2 ≤ tk y, así,Mk = 8, entonces
S ( f , ℙ) =
n∑
i=1
Mi (ti − ti−1)
=
k−1∑
i=1
Mi (ti − ti−1) +Mk (tk − tk−1) +
n∑
i=k+1
Mi (ti − ti−1)
=
k−1∑
i=1
(ti − ti−1) + 8(tk − tk−1) +
n∑
i=k+1
(ti − ti−1)
=
k−1∑
i=1
(ti − ti−1) + (tk − tk−1) +
n∑
i=k+1
(ti − ti−1) + 7(tk − tk−1)
=
n∑
i=1
(ti − ti−1) + 7(tk − tk−1)
= 3 + 7(tk − tk−1).
Entonces, de acuerdo con la de�nición alterna de función integrable, bas-
ta veri�car si existe alguna partición para la cual la diferencia de la suma
superior y la suma inferior se haga tan pequeña como se quiera, esto es,
S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) = 7(tk − tk−1) < n ;
resulta fácil encontrar una partición que satisfaga la desigualdad anterior.
Dado n > 0, escogemos ℙ tal que su longitud sea menor que n7 . Lo que
muestra que la función ¡sí es integrable!
Sumas de Riemann
Las sumas de Riemann son una herramienta que permite calcular la inte-
gral de una función integrable, de una manera práctica, sin recurrir a sumas
superiores e inferiores. Estas sumas nos permiten hacer la conexión entre
la de�nición analítica de la integral y sus aplicaciones, más precisamente, en
el capítulo 7 las utilizamos para de�nir el volumen, la fuerza, el centro de
masa, entre otros, en términos de una integral. Una suma de Riemann de
una función en un intervalo I depende de la partición y selección de los va-
lores que se tomen en cada uno de los subintervalos. Cuando se consideran
restricciones sobre la partición (la longitud de los subintervalos) y los puntos
de los subintervalos, es posible calcular la integral como un límite, que es
mucho más sencillo que el cálculo de supremos e ín�mos.
La integral definida · 25
Sea f una función acotada en un intervalo cerrado [a, b] y ℙ una parti-
ción. Si se elige un elemento x∗k en [tk−1 , tk] de forma arbitraria, la suma
R( f , ℙ) =
n∑
i=1
f (x∗k ) (tk − tk−1)
se denomina suma de Riemann de f para la partición ℙ. Como la imagen
de x∗k siempre está entre el ín�mo y el supremo, mi ≤ f (x
∗
k ) ≤ Mi , una
suma de Riemann, está entre las sumas inferior y superior para lamisma
partición
I ( f , ℙ) ≤ R( f , ℙ) ≤ S ( f , ℙ).
Esto signi�ca que si la función es integrable, se puede encontrar una suma
de Riemann tan próxima como se quiera al valor de la integral. Cuando f
no es continua, las sumas inferior y superior no necesariamente son de Rie-
mann (vea el ejemplo 2.11), pero cuando la función f es continua I ( f , ℙ)
y S ( f , ℙ) son sumas de Riemann, ¿por qué?
Nota 2.12. La suma de Riemann no necesariamente está en la mitad de las sumas
inferior y superior.
Sumas de Riemann con una partición regular. En este caso, la longitud de cada
subintervalo es la misma y depende de la cantidad de puntos de la partición,
entonces denotamos la longitud como
Δx = Δxk = tk − tk−1 =
b − a
n
,
y la suma de Riemann adquiere la forma
n∑
k=1
f (x∗k )
b − a
n
. (2.1)
Sumas de Riemann con la regla del extremo izquierdo. En este caso, se escoge
x∗k = tk−1, entonces la forma de la suma es
n∑
k=1
f (tk−1)Δxk .
Análogamente, se tienen sumas de Riemann con la regla del extremo derecho. En
este caso, x∗k = tk , y la forma de la suma es
n∑
k=1
f (tk)Δxk .
26 · La integral definida
Sumas de Riemann con la regla del punto medio. En este caso, x∗k =
tk+tk−1
2 , y la
forma de la suma es
n∑
k=1
f
( tk + tk−1
2
)
Δxk .
También se pueden hacer combinaciones con particiones regulares. En este
caso, las sumas adquieren una forma particular, por ejemplo, suma de Rie-
mann con la regla del extremo derecho y con particiones regulares. Además,
cada elemento de la partición se puede expresar en términos de Δx
t0 = a, t1 = a +
b − a
n
, . . . , tk = a +
k(b − a)
n
, . . . , tn = b ,
y la suma de Riemann adquiere el aspecto
n∑
k=1
f (tk)
b − a
n
=
n∑
k=1
f
(
a + k(b − a)
n
)
b − a
n
.
Parece algo más complicado pero realmente depende de la función que se
esté considerando.
Ejemplo 2.13. Probaremos que la función f (x) = x es integrable en [0, b],
con 0 < b, y calcularemos su integral utilizando sumas de Riemann. Resulta
conveniente considerar particiones regulares de la forma ℙn = {t0 = 0, t1 =
b
n , t2 =
2b
n , . . . , tn−1 =
(n−1)b
n , tn = b}, ya que
Δxk = tk − tk−1 =
kb
n
− (k − 1)b
n
=
b
n
.
Por otro lado, como f es creciente, en cada subintervalo el ín�mo es
mk = f (tk−1) = tk−1 =
(k − 1)b
n
,
y el supremo
Mk = f (tk) = tk =
kb
n
.
Entonces,
S ( f , ℙn) − I ( f , ℙn) =
n∑
k=1
(Mk − mk) (tk − tk−1)
=
n∑
k=1
(
kb
n
− (k − 1)b
n
)
b
n
=
b2
n2
n∑
k=1
1 =
b2
n2
n =
b2
n
−→ 0 cuando n →∞.
La integral definida · 27
Como el límite es cero, concluimos que la función SÍ es integrable. Es im-
portante recalcar la superioridad de la primera de�nición sobre esta última,
pues no solo nos dice que la función sí es integrable, sino que además da
el valor de la integral. Note también que considerar particiones regulares
nos permite utilizar límites para probar que la función es integrable. Para
calcular el valor de la integral usamos sumas de Riemann con las mismas
particiones regulares ℙn (Δxk = bn ) y la regla del extremo derecho x
∗
k = tk
( f (x∗k ) =
kb
n ), entonces la suma adquiere la forma
R( f , ℙn) =
n∑
k=1
f (x∗k )Δxk =
n∑
k=1
kb
n
(
b
n
)
=
b2
n2
n∑
k=1
k =
b2
2
n(n + 1)
n2
=
b2
2
(
1 + 1
n
)
→ b
2
2
cuando n →∞.
Como I ( f , ℙn) ≤ R( f , ℙn) ≤ S ( f , ℙn), por el resultado anterior, se tiene
que ∫ b
0
x dx =
b2
2
.
También podemos calcular el valor de la integral usando el área de la región
triangular y veri�car que efectivamente es b2/2.
Para ilustrar los tipos de sumas de Riemann, hallamos el valor de la inte-
gral utilizando la regla del punto medio con particiones regulares. Conside-
remos, pues, como altura la imagen del puntomedio del subintervalo [tk−1 , tk],
que es
x∗k =
tk−1 + tk
2
=
1
2
[
b(k − 1)
n
+ bk
n
]
=
b
2n
(2k − 1).
Recuerde que el punto medio se calcula como un promedio aritmético y
tenga en cuenta que para llevar la misma notación debemos iniciar la suma
en k = 1, así que el primer x∗k debe ser x
∗
1 que corresponde al punto medio
de [t0 , t1].
Ahora, siguiendo nuestro ejemplo con f (x) = x, tenemos que f (x∗k ) =
x∗k =
b
2n (2k − 1), entonces la suma de Riemann queda
R( f , ℙn) =
n∑
k=1
f (t∗k )Δxk =
n∑
k=1
b
2n
(2k − 1) b
n
=
b2
2n2
n∑
k=1
(2k − 1) = b
2
2n2
(n(n + 1) − n) = b
2
2
.
28 · La integral definida
¿Qué pasó con n? ¿Acaso no hace falta calcular el límite cuando n va para
in�nito? En este ejemplo en particular la n se canceló, esto ocurrió por la
naturaleza de la función f (x) = x, pues, al escoger el punto medio y trazar
los rectángulos, las áreas de los triángulos que quedaron por encima com-
pensaron las de los triángulos que quedaron por debajo, y por eso, la suma
de Riemann nos dio el valor exacto de la integral.
y
x(1,0)(0,0)
(0, 12 )
btkt
∗
k tk+1
y = x
Ejemplo 2.14. Determinemos si la función f (x) = x2 es integrable sobre
el intervalo [0, b] para b > 0. Como antes, consideremos ℙn una partición
regular de [0, b], otra vez podemos escribir tk = kbn , k = 1, 2, . . . , n, solo que
en este caso f (tk) = t2k =
(
kb
n
)2
, y tenemos que mk = f ( (k−1)bn ) = (
(k−1)b
n )
2 y
Mk = f ( kbn ) = (
kb
n )
2, entonces
lı́m
n→∞
|S ( f , ℙn) − I ( f , ℙn) | = lı́m
n→∞
n∑
k=1
[(
kb
n
)2
−
(
(k − 1)b
n
)2] b
n
= lı́m
n→∞
n∑
k=1
(2k − 1)b3
n3
= lı́m
n→∞
b3
n3
(n(n + 1) − n)
= lı́m
n→∞
b2
n
= 0.
Como el límite es cero, la función es integrable. ¿Cuál es el valor de la inte-
gral? Nuevamente, por la regla del punto medio, tenemos que x∗k =
tk+tk−1
2 =
b
2n (2k − 1) y f (x
∗
k ) =
b2
4n2 (2k − 1)
2, entonces
R( f , ℙ) =
n∑
k=1
b2
4n2
(2k − 1)2
(
b
n
)
=
b3
4n3
n∑
k=1
(4k2 − 4k + 1)
=
b3
4n3
(
4n3 + 4n2 + n
3
)
=
b3
3
(
1 + 1
n
+ 1
4n2
)
−→ b
3
3
La integral definida · 29
cuando n →∞. Así, queda demostrado que
∫ b
0
x2dx =
b3
3
.
Ejemplo 2.15. Probemos que la función f (x) = 1x es integrable en el inter-
valo [1, 2]. Para veri�carlo, nuevamente usamos sumas inferiores y supe-
riores con particiones regulares ℙn = {t0 = 1, . . . , tk = 1 + kn , . . . , tn = 2},
donde Δxk = 1n . Por ser f una función decreciente, el ín�mo es mk = f (tk) =
n
n+k y el supremo esMk = f (tk−1) =
n
n+k−1 , entonces
S ( f , ℙn) − I ( f , ℙn) =
n∑
k=1
( n
n + k − 1 −
n
n + k
) 1
n
=
n∑
k=1
1
n + k − 1 −
1
n + k =
1
n
− 1
2n
=
1
2n
−→ 0 cuando n →∞,
lo que quiere decir que la función es integrable. Hallar el valor de la integral
en este caso no es tan sencillo, tratemos de hacerlo utilizando sumas de
Riemann con una partición regular con la regla del extremo derecho:
R( f , ℙn) =
n∑
k=1
( n
n + k
) (1
n
)
=
n∑
k=1
1
k + n .
En este punto, no sabemos cuál es el resultado de esta suma ni mucho me-
nos cómo se comporta cuando n tiende a in�nito. Sin embargo, el resultado
es muy interesante, pues, como veremos más adelante, el valor de la inte-
gral es ln 2, así que lo que hemos obtenido es una forma de aproximar este
logaritmo por medio de una suma, esto es
ln(2) =
∫ 2
1
dx
x
≈
n∑
k=1
1
k + n .
¿Conocía usted algún otro algoritmo para calcular un logaritmo natural?
Realice este mismo proceso para probar que f es integrable en [1, 3] y en
general en [1, r], con 0 < r , y aproxime su valor por medio de una suma
de Riemann.
30 · La integral definida
Ejercicios 2.2
1. Sea f una función acotada sobre el intervalo [a, b]. Considere ℙ1 un
re�namiento de una partición ℙ de [a, b]. Demuestre que S ( f , ℙ1) ≤
S ( f , ℙ).
2. Demuestre que las de�niciones 2.5 y 2.10 son equivalentes.
3. Considere la función f (x) = 2x − x2 de�nida en [1, 3] y utilizando
particiones regulares ℙn , con n = 4, 8, 16, halle: (a) la suma inferior
I ( f , ℙn); (b) la suma superior S ( f , ℙn); (c) la suma de Riemann con
la regla del punto medio.
4. Aproxime2 el valor de las siguientes integrales de�nidas utilizando
sumas inferiores y superiores hasta que S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) < 0.001.
Escriba un valor aproximado para la integral y explique las razones
de su elección.
a)
∫ 3
0
x2 dx.
b)
∫ 1
0
x4 dx.
c)
∫ 2
0
dx
1 + x2
.
d)∫ c/3
c/4
tan xdx.
5. Muestre que para a < b se tiene
∫ b
a
x2dx =
b3
3
− a
3
3
.
6. Muestre que
∫ b
0
x3dx =
b4
4
.
7. Muestre que para 0 < a < b y cualquier número real p∫ b
a
xpdx =
bp+1
p + 1 −
ap+1
p + 1.
Puede revisar las indicaciones que se dan en las secciones 1.23 y 5.2
de [1] y en el ejercicio 4 del capítulo 13 de [5].
8. Exprese los siguientes límites como una integral de�nida en el inter-
valo dado
a) lı́m
n→∞
n∑
i=1
ti ln(1 + t2i )Δti , sobre el intervalo [0, 3].
2Utilice una hoja de cálculo para realizar el ejercicio.
La integral definida · 31
b) lı́m
n→∞
n∑
i=1
a
(ti−1)2+1
Δti , sobre el intervalo [0, 1] , a ∈ ℝ.
9. Exprese las siguientes sumas como una integral de�nida en un inter-
valo adecuado.
a) lı́m
n→∞
n∑
i=1
1
2n+i−1 .
b) lı́m
n→∞
n∑
i=1
n
n2+i2 .
c) lı́m
n→∞
n−1∑
i=0
(n+i)1/2
n3/2
.
d) lı́m
n→∞
2n∑
i=1
1
n [ln(n + i) − ln(n)].
10. Aproxime el valor de la integral de f (x) en el intervalo dado usan-
do una suma de Riemann con una partición regular y tomando como
punto muestra el extremo derecho de cada subintervalo, con n subin-
tervalos.
(a) f (x) = 4 − 2x en [0, 2] , n = 8.
(b) f (x) = x2 + x en [0, 1] , n = 6.
11. Encuentre el valor de la integral de f (x) en el intervalo dado usando
una suma de Riemann con la regla del extremo derecho y con una
partición regular.
(a) f (x) = 4 − 2x en [0, 2].
(b) f (x) = x2 + x en [0, 1].
12. Encuentre el valor de la integral usando sumas de Riemann.
a)
∫ 1
0
1 − x2dx.
b)
∫ 1
0
4 + xdx.
c)
∫ 2
1
x2 + 2x − 1dx.
d)
∫ 4
1
x3dx.
13. Suponga que la función f (x), cuya grá�ca se muestra adelante, es in-
tegrable en su dominio (el arco corresponde a un cuarto de circunfe-
rencia). Encuentre el valor de
∫ 2
0
f (x)dx.
32 · La integral definida
1
y
1 2
y = f (x)•
•
•
x
14. Suponga que la función f (x) de la grá�ca es integrable en su dominio
(el arco corresponde a un cuarto de circunferencia). Encuentre el valor
de
∫ 3
0
f (x)dx.
1
1 2 3
y = f (x)
◦ •
•
•
x
15. El valor promedio de una función f no-negativa en el intervalo [a, b]
se de�ne como el valor de su integral dividido entre el ancho del in-
tervalo, esto es,
valor promedio de f =
∫ b
a f (x)dx
b − a .
Encuentre el valor promedio de las funciones dadas en los ejercicios
10 y 11 de esta sección.
16. Muestre que para una función continua f toda suma superior y toda
suma inferior son sumas de Riemann.
La integral definida · 33
3. Propiedades de la integral
En lo que sigue, mostraremos algunas propiedades de la integral y su sig-
ni�cado geométrico. Empecemos mostrando que ya tenemos una amplia
gama de funciones integrables: las continuas.
Teorema 2.16. Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b].
Demostración. Supongamos que la función f es continua en el intervalo [a, b].
Se debe probar que para todo n > 0 existe ℙ tal que
|S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) | < n .
•
•
y
xa bx y
X
n
y = f (x)
Como f es continua en [a, b], es uni-
formemente continua en [a, b], en
otras palabras: para todo n > 0 existe
X > 0,
tal que para todo x , y ∈ [a, b] , si
|x−y | < X, entonces | f (x)− f (y) | < n .
Dado nb−a > 0, como f es uniformemente continua en [a, b], existe X > 0
tal que si |x − y | < X , entonces | f (x) − f (y) | < nb−a . Basta considerar una
partición ℙ donde xi − xi−1 < X para todo i. Entonces,
| f (x) − f (y) | < n
b − a , siempre que x , y ∈ [xi−1 , xi].
De hecho, en el caso extremo en que mi es el mínimo yMi el máximo de f
en [xi−1 , xi] (que existen porque la función es continua sobre un intervalo
cerrado), entonces
|Mi − mi | <
n
b − a .
Al calcular la diferencia entre suma superior e inferior tenemos
|S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) | ≤
n∑
i=1
|Mi − mi | (xi − xi−1)
<
n∑
i=1
n
b − a (xi − xi−1)
<
n
b − a
n∑
i=1
(xi − xi−1)
<
n
b − a (b − a) = n .
�X
34 · La integral definida
Nota 2.17. Es posible debilitar las condiciones del teorema anterior y exigir que
la función tenga un número �nito de discontinuidades de salto y la conclusión será
la misma. La prueba puede hacerse por inducción en el número de discontinuidades
de salto. Parte del caso base se prueba en la siguiente proposición. El paso inductivo
se deja en el ejercicio 24.
Proposición 2.18. Sea f una función de�nida en [a, b] y continua en (a, b]
con una discontinuidad de salto en a. Entonces, f es integrable en [a, b].
Demostración. Como f es acotada, denotamos por
M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]} y m = ı́nf{ f (x) : x ∈ [a, b]}.
Probaremos que f es integrable usando la de�nición 2.10. Considere cual-
quier n > 0, entonces para n2 existe un X > 0 para el cual X (M − m) <
n
2 .
Por otro lado, como f es continua en [a + X , b] existe una partición ℙ′ del
intervalo [a + X , b] para la cual S ( f , ℙ′) − I ( f , ℙ′) < n2 . Entonces, para la
partición ℙ := {x0 = a} ∪ ℙ′ de [a, b] se tiene que
S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) = XM0 − Xm0 + S ( f , ℙ′) − I ( f , ℙ′)
≤ X (M − m) + S ( f , ℙ′) − I ( f , ℙ′)
<
n
2
+ n
2
= n ,
donde M0 = sup{ f (x) : x ∈ [a, a + X]} y m0 = ı́nf{ f (x) : x ∈ [a, a +
X]}. �X
Cuando la discontinuidad de salto está en el extremo derecho, la prueba
es análoga; el caso en que el salto está en el interior del intervalo se deja
como parte del ejercicio 24 de esta sección.
Propiedades de la integral
Propiedad 1. Sean a < c < b , f es integrable en [a, b] si y solo si f es
integrable en [a, c] y [c , b], además,∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx.
Si pensamos en áreas, se puede calcular el área bajo la curva desde a hasta
b haciendo una parada en c.
Demostración. (⇒) Supongamos f integrable en [a, b], entonces para n > 0
existe una partición ℙ de [a, b] tal que |S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) | < n .
La integral definida · 35
Si c es un punto de la partición ℙ, entonces c = tk , para algún k =
0, 1, . . . , n, y ℙ′ = {t0 , ..., tk}, ℙ′′ = {tk , ..., tn} son particiones de [a, c]
y [c , b] respectivamente. Para tal n , tenemos que
|S ( f , ℙ′) − I ( f , ℙ′) + S ( f , ℙ′′) − I ( f , ℙ′′) | = |S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) | < n ,
de lo cual podemos concluir que
|S ( f , ℙ′) − I ( f , ℙ′) | < n y |S ( f , ℙ′′) − I ( f , ℙ′′) | < n ,
en otras palabras, f es integrable en [a, c] y [c , b]. En el caso en que c ∉ ℙ,
consideramos ℚ = ℙ ∪ {c} y caemos en el caso anterior. �X
Ejemplo 2.19. Esta propiedad resulta útil si la función a integrar, el inte-
grando, está de�nida por casos∫ 1
−2
|x | dx =
∫ 0
−2
−x dx +
∫ 1
0
x dx
= 2 + 1
2
=
5
2
.
Propiedad 2. (Integral en un punto)∫ a
a
f (x) dx = 0.
Asumimos esta propiedad como una de�nición, ya que consideramos par-
ticiones de intervalos cuyos extremos son distintos. Sin embargo, nues-
tro pensamiento geométrico nos dice que estamos calculando el área (o su
opuesto) entre la curva y el eje x desde a hasta a, es decir, sobre un inter-
valo de longitud cero, por lo tanto, las áreas de los posibles rectángulos que
dibujásemos serían todas iguales a cero.
Propiedad 3. (Inversión de los límites) Para a ≤ b,∫ a
b
f (x)dx := −
∫ b
a
f (x)dx.
Recordemos que los intervalos siempre van escritos de izquierda a derecha,
de menor a mayor, por lo tanto, calcular la integral desde b hasta a, sabiendo
que a ≤ b, no tendría sentido. Lo que hace esta propiedad es precisamente
darle sentido a esta integral, como la integral desde a hasta b, con el signo
opuesto.
Propiedad 4. (Aditividad) Si f y g son funciones integrables en [a, b],
entonces f + g es integrable en [a, b] y, además,∫ b
a
f (x) + g (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g (x) dx.
36 · La integral definida
En efecto, sea ℙ = {t0 , ..., tn} una partición de [a, b], llamemos Ii al inter-
valo [ti−1 , ti] y consideremos los siguientes números:
mi = ı́nf{ f (x) + g (x) : x ∈ Ii}, Mi = sup{ f (x) + g (x) : x ∈ Ii},
m′i = ı́nf{ f (x) : x ∈ Ii}, M
′
i = sup{ f (x) : x ∈ Ii},
m′′i = ı́nf{g (x) : x ∈ Ii}, M
′′
i = sup{g (x) : x ∈ Ii}.
Es claro que m′i + m
′′
i ≤ mi yMi ≤ M
′
i +M
′′
i . Entonces,
I ( f , ℙ) + I (g , ℙ) ≤ I ( f + g , ℙ) ≤ S ( f + g , ℙ) ≤ S ( f , ℙ) + S (g , ℙ).
Como f y g sonintegrables, dado n/2, existen particiones ℙ y ℙ′′ tales que
S ( f , ℙ′) − I ( f , ℙ′) < n
2
y S (g , ℙ′′) − I (g , ℙ′′) < n
2
.
Si de�nimos ℙ = ℙ′ ∪ ℙ′′, entonces
S ( f + g , ℙ) − I ( f + g , ℙ) < n
2
+ n
2
= n .
Si hacemos particiones más �nas, como f es integrable: I ( f , ℙ) y S ( f , ℙ)
tienden al mismo valor (el valor de la integral), lo mismo sucede con I (g , ℙ)
y S (g , ℙ), entonces por el teorema del emparedado∫ b
a
( f + g) (x)dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g (x) dx.
Nota 2.20. ¿En realidad es claro que m′i + m
′′
i ≤ mi? Considere las funciones
f (x) = |x − 2| y g (x) = x2 de�nidas en [0, 2] y los ín�mos
m f := ı́nf{ f (x) : x ∈ [0, 2]}, mg := ı́nf{g (x) : x ∈ [0, 2]} y
m := ı́nf{( f + g) (x) : x ∈ [0, 2]},
veri�que que m f + mg < m. Construya un ejemplo en el cual m f + mg = m.
Ejemplo 2.21. La aditividad puede ser usada para establecer relaciones
entre integrales de�nidas, por ejemplo,
c =
∫ c
0
1 dx =
∫ c
0
sen2 x + cos2 x dx.
De modo que, c −
∫ c
0
cos2 x dx =
∫ c
0
sen2 x dx. ¿Puede probar que∫ c
0
cos2 \ d\ =
∫ c
0
sen2 \ d\?
La integral definida · 37
Propiedad 5. (Homogeneidad) Sea f integrable en [a, b]. Entonces, c · f (x)
es integrable en [a, b] y, además,∫ b
a
c · f (x)dx = c
∫ b
a
f (x)dx.
Demostración. Nuevamente consideremos una partición ℙ de [a, b], c un
número real positivo, Ii = [ti−1 , ti] y los siguientes números:
mi = ı́nf{ f (x) : x ∈ Ii}, Mi = sup{ f (x) : x ∈ Ii},
m′i = ı́nf{c f (x) : x ∈ Ii}, M
′
i = sup{c f (x) : x ∈ Ii}.
Es evidente que m′i = cmi yM
′
i = cMi . Como f es integrable, dado n/c > 0,
existe una partición ℙ tal que
S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) < n
c
,
entonces
S (c f , ℙ) − I (c f , ℙ) = cS ( f , ℙ) − cI ( f , ℙ)
= c [S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ)] < n .
Además, como
cI ( f , ℙ) = I (c f , ℙ) ≤ S (c f , ℙ) = cS ( f , ℙ) ,
otra vez por el teorema del emparedado,∫ b
a
c · f (x) dx = c
∫ b
a
f (x) dx.
¿Qué pasa con el caso en que c sea un número negativo? ¿Qué pasa con
c = 0? �X
Nota 2.22. Las propiedades de aditividad y homogeneidad juntas se conocen como
propiedad de linealidad. Para el lector que halla tomado un curso de álgebra lineal
o esté familiarizado con sus resultados, las propiedades 4 y 5 están a�rmando que el
conjunto de funciones integrables en [a, b] forman un subespacio vectorial real del
conjunto de funciones de�nidas en [a, b]. Al mismo tiempo, están a�rmando que
la integral de�nida en [a, b] es un operador lineal de este subespacio vectorial. El
resultado también se aplica al subespacio de las funciones continuas como veremos
en la siguiente sección.
38 · La integral definida
Propiedad 6. (Invarianza respecto a traslación) Sea f una función inte-
grable en [a, b]. Entonces,
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b+c
a+c
f (x − c)dx.
Podemos pensar esta propiedad geométricamente usando el concepto que
tenemos de áreas. ¿En qué se diferencian la grá�ca de y = f (x) y y = f (x−c)?
Para obtener la segunda, hemos desplazado la primera c unidades hacia la
derecha, en el caso en que c es positivo (hacia la izquierda cuando c < 0).
Entonces, ya no calculamos el área entre a y b, sino que también despla-
zamos el intervalo, también hacia la derecha, como lo muestra la grá�ca.
En total, estamos calculando el área de la misma región, solo que la hemos
movido.
Ejemplo 2.23. De la identidad cos
(
x − c2
)
= sen x y la propiedad de tras-
lación podemos deducir∫ c/2
0
cos x dx =
∫ c
c/2
cos
(
x − c
2
)
dx
=
∫ c
c/2
sen x dx.
Propiedad 7. (Contracción-dilatación k > 0) (re�exión k < 0) Sea f
integrable sobre [a, b] y k ≠ 0. Entonces,∫ b
a
f (x)dx = 1
k
∫ kb
ka
f
( x
k
)
dx.
Demostración. Primero supondremos que k > 0. Como f es integrable en
[a, b], dado nk > 0, existe una partición de [a, b], ℙ = {t0 < t1 < · · · < tn},
de modo que S ( f , ℙ) − I ( f , ℙ) < nk . Ahora construimos una partición ℙ
k
del intervalo [ka, kb] a partir de ℙ, que se de�ne como
ℙk := {tk0 = ka < t
k
1 < · · · < t
k
n = kb},
donde tki := k(ti). Note que las imágenes de f (x/k) para cada subintervalo
inducido por ℙk coinciden con las imágenes de f (x) para los subintervalos
inducidos por ℙ, es decir,
{ f (x) : x ∈ [ti−1 , ti]} = { f (x/k) : x ∈ [tki−1 , t
k
i ]}.
La integral definida · 39
Luego los ín�mos y supremos de dichos conjuntos también son iguales
mi = ı́nf{ f (x) : x ∈ [ti−1 , ti]} = ı́nf{ f (x/k) : x ∈ [tki−1 , t
k
i ]} = m
k
i ,
Mi = sup{ f (x) : x ∈ [ti−1 , ti]} = sup{ f (x/k) : x ∈ [tki−1 , t
k
i ]} = M
k
i .
Entonces para n > 0, existe ℙk , descrito anteriormente, de modo que
S ( f (x/k) , ℙk) − I ( f (x/k) , ℙk) =
n∑
i=1
(M ki − m
k
i ) (t
k
i − t
k
i−1)
=
n∑
i=1
(Mi − mi) (kti − kti−1)
= k
n∑
i=1
(Mi − mi) (ti − ti−1)
= k(S ( f (x) , ℙ) − I ( f (x) , ℙ))
< k
n
k
= n .
Además, como
kI ( f , ℙ) = I ( f (x/k) , ℙk) ≤ S ( f (x/k) , ℙk) = kS ( f , ℙ) ,
por el teorema del emparedado y la propiedad de homogeneidad, tenemos
que la integral es ∫ kb
ka
f (x/k) dx = k
∫ b
a
f (x) dx.
Cuando k < 0, considere la partición de [kb , ka]
ℙk := {tk0 = kb < t
k
1 < · · · < t
k
n = ka},
donde tki := k(tn−i). De esta forma, los conjuntos que resultan ser iguales
son
{ f (x) : x ∈ [ti−1 , ti]} = { f (x/k) : x ∈ [tkn−i , t
k
n−i+1]}.
Entonces, sus ín�mos y supremos coinciden y, de manera análoga al caso
anterior, probamos que∫ ka
kb
f (x/k) dx = (−k)
∫ b
a
f (x) dx ,
y aplicando la propiedad 3 de inversión de los límites de integración se ob-
tiene el resultado. �X
40 · La integral definida
Ejemplo 2.24. Asumiendo que
∫ 1
0 e
x dx = e − 1, podemos deducir que∫ 1/3
0
e3x dx =
e − 1
3
.
Ejemplo 2.25. Asumiendo que
∫ c
0 sen x dx = 2, podemos deducir que∫ c/2
0
sen x cos x dx =
1
2
.
Aplique la propiedad de contracción para k = 1/2 y tenga en cuenta la
identidad sen(2x) = 2 sen x cos x.
Propiedad 8. (Comparación) Supongamos f y g dos funciones integrables
sobre [a, b], con f (x) ≤ g (x) para a ≤ x ≤ b, entonces∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
g (x) dx.
Nuevamente, pensando en áreas, la a�rmación es clara a partir de la grá�ca.
y
x
ba
y = f (x)
y = g (x)
En general, dada una partición ℙ = {t0 < · · · < tn} de [a, b], se tiene que
M fi = sup{ f (x) : x ∈ [ti−1 , ti]} ≤ sup{g (x) : x ∈ [ti−1 , ti]} = M
g
i .
Esto implica que para cada suma superior de f existe alguna suma superior
de g que la acota, basta con tomar la misma partición
S ( f , ℙ) ≤ S (g , ℙ) ,
y como para cada suma superior de g existe alguna suma superior de f por
debajo, entonces∫ b
a
f (x) dx = ı́nf{S ( f , ℙ) : ℙ es partición de [a, b]}
≤ ı́nf{S (g , ℙ) : ℙ es partición de [a, b]} =
∫ b
a
g (x) dx. (2.2)
La integral definida · 41
Propiedad 9. Si f (x) es negativa en el intervalo [a, b], es decir, su grá�ca se
encuentra por debajo del eje x, entonces la integral
∫ b
a
f (x)dx corresponde
al opuesto del área de la región que se encuentra entre la curva y el eje x.
Por ejemplo, consideremos f (x) = x−2, su grá�ca es una línea recta con
pendiente 1, que corta al eje y en y = −2. Entonces, el valor de
∫ 2
0 x − 2dx
corresponde al negativo del área del triángulo que queda marcado, es decir,∫ 2
0 x − 2dx = −2.
Ejemplo 2.26. De�nimos la función signo como sgn(x) =

1 x > 0,
0 x = 0,
−1 x < 0.
Su grá�ca es la función a trozos que se
muestra a la izquierda. Es integrable en
cualquier intervalo �nito, pues solo posee
una discontinuidad de salto. Podemos
calcular, por ejemplo,
∫ 3
−2 sgn(x)dx = 3−
2 como el “área de la parte positiva, me-
nos el área de la parte negativa”.
Ejercicios 2.3
1. Pruebe el recíproco de la propiedad 1.
2. Encuentre el valor de las siguientes integrales usando propiedades e
interpretación como áreas. Aquí [|x |] denota la parte entera de x.
a)
∫ 2
0
2xdx.
b)
∫ 2
−2
xdx.
c)
∫ 4
0
|x |dx.
d)
∫ 2
−3
|x |dx.
e)
∫ 3
0
[|x |]dx.
f )
∫ 3
−3
[|x |]dx.
g)
∫ 5
−2
[|2x |]dx.
h)
∫ 3
0
[|x2 |]dx.
3. Encuentre una fórmula para
∫ n
0
[|x |]dx , con n ∈ ℕ.
42 · La integral definida
4. Sean f y g dos funciones continuas sobre el intervalo [a, b] y sean
mi , m′i , m
′′
i , Mi , M′
i y M
′′
i como en la propiedad 4. Demuestre que
m′i + m
′′
i ≤ mi y Mi ≤ M
′
i + M
′′
i . ¿Bajo qué condiciones se tiene la
igualdad?
5. Realice una prueba formal de la propiedad 6.
6. Demuestre la propiedad 9.
7. Sea f integrable en [0, b]. Utilizando propiedades de la integral,
(a) pruebe que si f es par, entonces
∫ b
−b
f (x)dx = 2
∫ b
0
f (x)dx.
(b) Pruebe que si f es impar, entonces
∫ b
−b
f (x)dx = 0.
8. Asuma que
∫ 1
0
√
1 − x2 dx = c4 (¿por qué?) y encuentre el valor de∫ 1/√r
0
√
1 − rx2 dx, donde 0 < r , e interprete el resultado geométri-
camente.
9. Veri�que las siguientes igualdades utilizando las propiedades de la in-
tegral e identidades trigonométricas.
a)
∫ c
0
cos x dx = 0.
b)
∫ c/2
0
sen x dx = −
∫ c
c/2
cos x dx.
10. Suponga que f es una función continua en ℝ tal que f (3x) = 7 f (x)
y, además, se conoce que
∫ 1
0 f (x) dx = 1. Calcule
∫ 3
0 f (x) dx.
11. ¿Toda función integrable es continua? Si la respuesta es sí, haga una
prueba, en caso contrario, exhiba un contraejemplo.
12. ¿Toda función acotada es integrable? Si la respuesta es sí, haga una
prueba, en caso contrario, muestre un contraejemplo.
13. Pruebe que si f es una función continua e inyectiva en el intervalo
[a, b], entonces f −1 es integrable en su imagen.
14. Si f es derivable y estrictamente creciente en [0, a], con f (0) = 0,
entonces
∫ f (a)
0 f
−1(x)dx = a f (a) −
∫ a
0 f (x)dx. Explique geométrica-
mente por qué esto es cierto.
La integral definida · 43
15. Para la función f que se muestra a continuación, encuentre el valor
de
∫ 3
−1
f (x)dx (el arco corresponde a media circunferencia).
1
•−1
−1
1 2 3
y = f (x)
◦
•
◦
16. Encuentre el valor de
∫ 10
−2
f (x)dx, donde
f (x) =
{
x − 2 −2 ≤ x < 4,
2 4 ≤ x ≤ 10.
17. Encuentre el valor de
∫ 3c
2
− c2
f (x)dx, donde
f (x) =
{
sen x − c2 ≤ x ≤
c
2 ,
−2x
c
+ 2 c2 < x <
3c
2 .
18. Encuentre el valor de
∫ 1
−1
f (x)dx, si existe, donde
f (x) =
{
x x ∈ ℚ,
−x x ∉ ℚ.
19. Encuentre todos los valores de a para los cuales
∫ a
c
4
| sen x + cos x |dx = 0.
20. Decida si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas.
a)
∫ 1
−1
|x |dx ≤
∫ 1
−1
x2dx.
b)
∫ 2
0
x(x − 1) (x − 2)dx = 0.
44 · La integral definida
c)
∫ 1
0
(x − 1)dx = 0.
d)
∫ 1
−1
|x |dx = 0.
e)
∫ c
2
0
cos x dx = −
∫ c
c
2
cos x dx.
f )
∫ c
2
a
cos x dx = −
∫ c−a
c
2
cos x dx , para 0 < a < c2 .
g)
∫ c
2
0
sen3 x dx ≤
∫ c
2
0
sen2 x dx.
h)
∫ 2
1
ex
2
dx ≤
∫ 2
1
exdx.
21. Realice la grá�ca de la función sgn(sen x) y, a partir de ella, calcule las
siguientes integrales.
a)
∫ 2c
0
sgn(sen x)dx.
b)
∫ c
0
sgn(sen x)dx.
c)
∫ c
− c2
sgn(sen x)dx.
d)
∫ nc
0
sgn(sen x)dx , n ∈ ℕ.
e)
∫ a
−a
sgn(sen x)dx , a > 0.
f )
∫ n
0
sgn(sen x)dx , n ∈ ℕ.
22. Determine la veracidad o falsedad de las siguientes a�rmaciones.
a) Si f (x) es una función absolutamente integrable, esto es, la inte-
gral
∫
| f (x) |dx existe, entonces se tiene que la integral
∫
f (x)dx
también existe.
b) Sea f una función positiva e integrable sobre el intervalo [0, 1].
Entonces,
∫ 1
0 f (x)dx = 0 si y solo si f (x) = 0 para todo x ∈
[0, 1].
23. Muestre ejemplos de funciones que sean continuas en todos los puntos
de un intervalo cerrado [a, b], excepto en un número �nito de puntos
en los cuales tiene discontinuidades de salto, y que no tengan máximo
y/o mínimo. Esta es la razón de que en la prueba de la proposición
2.18 se tomen el supremo y el ín�mo.
24. Pruebe que una función de�nida en [a, b], continua en todo punto del
intervalo, excepto en un número �nito de puntos en los cuales tiene
La integral definida · 45
discontinuidades de salto, es integrable. Sugerencia: realice la prueba
por inducción en el número de discontinuidades.
a) Complete el caso base (proposición 2.18) para cualquier función
que tiene una discontinuidad de salto en un punto c ∈ (a, b).
Considere un intervalo adecuado alrededor de c y n3 .
b) Plantee la hipótesis de inducción para cualquier función que tie-
ne hasta n discontinuidades de salto.
c) Realice el paso inductivo: considere una función continua en casi
todo punto de [a, b], excepto en n + 1 puntos.
25. Utilice las propiedades de la integral para acotar el valor de
∫ 2
−2
x32xdx.
4. Teorema Fundamental del Cálculo
En esta sección presentaremos dos resultados fundamentales para el estudio
del cálculo integral. El primero de ellos, el teorema del valor medio para
integrales, que es consecuencia directa del teorema de valor intermedio para
funciones continuas. Si pensamos en áreas, el teorema muestra la existencia
de un punto c en el intervalo [a, b] tal que el área del rectángulo con base
el intervalo [a, b] y altura f (c) coincide con el área entre la curva y el eje x,
sobre el mismo intervalo.
y
x
a bc
y = f (x)
El segundo resultado importante, llamadoTeorema Fundamental del Cálcu-
lo, en adelante notado como TFC, muestra la relación existente entre la
derivada y la integral que, como sabemos, pueden considerarse procesos
inversos.
46 · La integral definida
Teorema 2.27 (Teorema de valormedio para integrales). Sea f una función
continua en [a, b]. Entonces, existe a ≤ c ≤ b tal que∫ b
a
f (x)dx = (b − a) · f (c).
Demostración. Como f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b], es aco-
tada. Sean pues m = mı́n{ f (x) : x ∈ [a, b]} yM = máx{ f (x) : x ∈ [a, b]}.
Entonces, para todo x entre a y b,
m ≤ f (x) ≤ M
m(b − a) ≤ I ( f , ℙ) ≤
∫ b
a
f (x)dx ≤ S ( f , ℙ) ≤ M (b − a)
m ≤
∫ b
a f (x)dx
b − a ≤ M .
Por el teorema de valor intermedio para funciones continuas, f (x) toma
todos los valores entre m yM , es decir, existe c ∈ [a, b] tal que
f (c) =
∫ b
a f (x)dx
b − a ,
que era lo que buscábamos. �X
Note que este teorema garantiza la existencia del punto c, pero no nos
dice cómo hallarlo. Aunque esto no debe suponer mayor problema para
nosotros, pues a menudo en nuestros razonamientos es su�ciente saber que
el punto existe, aunque no se conozca. Sin embargo, después de aprender
a calcular las integrales, para encontrar el punto c basta conocer la función
inversa de f .
Ahora bien, a partir de la demostración anterior, también podemos con-
cluir que si f es integrable sobre [a, b], y allí m ≤ f (x) ≤ M , entonces
m(b − a) ≤
∫ b
a
f (x)dx ≤ M (b − a). (2.3)
Teorema fundamental del cálculo
Demos paso al teorema más importante de nuestro curso, no por nada se
ha ganado el adjetivo de fundamental. De hecho, podríamos saltar todo el
tratamiento de integrales de�nidas que hicimos con sumas superiores e in-
feriores y empezar el curso con este teorema. Pero nuestro propósito es di-
ferente, queremos que el estudiante no solo muestre habilidad en el cálculo
La integral definida · 47
de integrales, sino que comprenda el núcleo del tema. Bajo esa directriz y
con la intención de prepararnos para los futuros cursos de análisis matemá-
tico, hemos hecho el estudio previo.
Consideremos nuevamente una función f integrable sobre el intervalo
[a, b] (y, por lo tanto, acotada), de�nimos una nueva función así
F (x) :=
∫ x
a
f (t)dt.
Note que F (x) es una función que depende de la variable x, y t es una varia-
ble super�cial que utiliza la función f , pero debe ser distinta de x. También
observe que la función F está determinada por la constante a.
Ejemplo 2.28. Consideramos la función F (x) :=
∫ x
1
t dt, donde x puede
ser cualquier número real.
Figura 2.1: De izquierda a derecha F (2) , F (3) y F (−1). En los tres casos,
el eje horizontal es el eje t.
Observe que no tiene sentido la de�nición H (x) :=
∫ x
1 f (x) dx, tratemos
de evaluar ¿H (2) =
∫ 2
1 2 d2? Si considera otra de�nición como H (x) :=∫ x
1 f (x) dt, cada vez que evalúe H (x) estará integrando una función cons-
tante distinta, por ejemplo, H (3) =
∫ 3
1 f (3) dt = 2 f (3) y, en general, se
tendría H (x) = (x − 1) f (x).
La función F (x) está determinada por su límite inferior, si lo cambia-
mos, obtenemos otra función. Por ejemplo, siG (x) :=
∫ x
0 t dt, es su�ciente
evaluar en algún valor para darse cuenta que F ≠ G. En la