EVALUACION-DE-YACIMIENTOS-HIDROCARBUROS

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Este trabajo presenta una herramienta que puede ser 
útil para la fundamentación teórica de los estudiantes 
o profesionales recién egresados de la Ingeniería de 
Petróleos, en el área de ingeniería de yacimientos; en 
él se trabajan desde la teoría y las aplicaciones dos 
herramientas muy útiles en la evaluación de 
yacimientos de hidrocarburos como son las Pruebas 
de Presión y el Balance de Materiales.
En los primeros seis capítulos se trabaja la técnica de 
Pruebas de Presión, empezando por la deducción de 
la ecuación de difusividad y la obtención de sus 
soluciones, en los capítulos 1 y 2; luego en los 
capítulos 3, 4, y 5 se describen las pruebas de presión 
más comunes en pozos de petróleo y los métodos de 
interpretación; el capítulo 6 se dedica a buscar la 
aplicación de la ecuación de difusividad y sus 
soluciones al caso de flujo de gas en un medio poroso 
y a describir las pruebas de presión mas comunes en 
pozos de gas y los métodos de interpretación; el 
capítulo 7 se dedica a describir la técnica de Balance 
de Materiales y sus aplicaciones, desde las 
modalidades de ajuste y predicción, para determinar 
características del yacimiento como mecanismos de 
empuje, tipo de fluidos y reservas y predecir el 
comportamiento productivo del mismo.
En todos los capítulos se ha hecho un esfuerzo por 
presentar una fundamentación teórica completa y 
actualizada sobre el tema tratado, mostrar 
aplicaciones a través de ejemplos de la teoría y 
métodos desarrollados y al final presentar referencias 
958-8256-55-9
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Abel Naranjo Agudelo
Es ingeniero de petróleos de la Universidad 
Nacional de Colombia – Sede Medellín y ha 
estado vinculado al programa Ingeniería de 
Petróleos de la misma universidad, como 
docente, desde 1978. Ha sido profesor en las 
áreas de Ingeniería de Producción de Hidro-
carburos, Evaluación de Formaciones e 
Ingeniería de Yacimientos; además ha 
desempeñado cargos administrativos como 
Director Académico del Programa Ingeniería 
de Petróleos y Director del Departamento de 
Recursos Minerales. El profesor Naranjo ha 
recibido distinciones de la universidad y la 
industria por su desempeño docente entre las 
cuales se pueden mencionar: Docencia 
Excepcional, en varias oportunidades, Profe-
sor Emérito y Medalla al Mérito Universitario 
de la Universidad Nacional, y orden Alejandro 
Delgado Trillos, de la Asociación Colombiana 
de Ingenieros de Petróleos (ACIPET). Aunque 
aun no han sido publicados, el profesor 
Naranjo ha escrito alrededor de ocho traba-
jos tipo texto sobre diferentes temas de la 
Ingeniería de Petróleos, entre los cuales se 
pueden mencionar, además del presente 
trabajo: Manejo de Producción de Petróleo, 
Manejo de Producción de Gas, Estudios de 
Comportamiento de Fases en Sistemas de 
Hidrocarburos, Transporte y Distribución de 
Gas, Propiedades Físicas de Rocas y Fluidos 
de Yacimiento. El profesor Naranjo es miem-
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Evaluación de yacimientos
de hidrocarburos
La realización de este libro se debe a la adqui-
sición de conocimientos del autor durante su 
trayectoria en la Universidad Nacional de 
Colombia, Sede Medellín, especialmente 
como profesor de asignaturas de ingeniería 
de yacimientos en el programa ingeniería de 
petróleos, y a mucha información existente 
en documentos inéditos, que el autor posee, 
elaborados por el doctor Ramiro Pérez 
Palacio, quien fuera profesor de ingeniería de 
yacimientos en dicha Universidad. Al profesor 
Pérez Palacio va dedicado este libro.
Evaluación de yacimientos 
de hidrocarburos
Abel Naranjo Agudelo
Evaluación de yacimientos 
de hidrocarburos
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
© Abel Naranjo Agudelo
© Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Colección Facultad de Minas 120 años
ISBN: 978-958-728-048-7
Primera edición
Coordinación editorial
Oficina de Comunicaciones
Facultad de Minas
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Carrera 80 n.º 65-223 Bloque M1-107
Teléfono: 425 50 48
infocom@unalmed.edu.co
Corrección de estilo, corrección de prueba y diagramación: Proyectos editoriales
Teléfono: 311 630 94 37
Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia – Sede Medellín
La realización de este libro se debe a la adquisición 
de conocimientos del autor durante su trayectoria en 
la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, 
especialmente como profesor de asignaturas de ingeniería 
de yacimientos en el programa ingeniería de petróleos, y 
a mucha información existente en documentos inéditos, 
que el autor posee, elaborados por el doctor Ramiro Pérez 
Palacio, quien fue profesor de ingenieria de yacimientos 
del autor, durante su paso por la Universidad Nacional 
de Colombia -Sede Medellín como profesor, investigador 
y modernizador del programa Ingenieria de Petróleos. 
Al profesor Pérez Palacio, con sentimientos de afecto, 
admiración y gratitud, va dedicado este libro.
Introducción ..................................................................................... xi
Nomenclatura .................................................................................... xiii
1. Flujo en medios porosos ............................................................... 1
1.1 Aspectos generales ............................................................... 1
1.1.1 Geometrías de flujo ................................................... 1
1.1.2 Tipos de fluidos en un yacimiento ............................. 2
1.1.3 Períodos de flujo en un yacimiento ........................... 4
1.1.4 Ecuación de Darcy .................................................... 8
1.2 Ecuación de difusividad para flujo lineal .............................. 9
1.2.1 Ecuación de difusividad para flujo lineal: 
fluido incompresible ................................................ 13
1.2.2 Ecuación de difusividad para flujo lineal: 
fluido ligeramente compresible ................................ 16
1.2.3 Ecuación de difusividad para flujo lineal: 
fluido compresible (gases) ........................................ 18
1.3 Ecuación de difusividad para flujo radial .............................. 24
1.3.1 Ecuación de difusividad para flujo radial: 
fluido incompresible ................................................. 26
1.3.2 Ecuación de difusividad para flujo radial: 
fluido ligeramente compresible ................................ 26
1.3.3 Ecuación de difusividad para flujo radial: 
fluidos compresibles (gases) ..................................... 27
1.4 Ecuación de difusividad para flujo multifásico ..................... 29
1.5 Obtención de la ecuación de difusividad en coordenadas 
cilíndricas ............................................................................ 38
1.6 Variables adimensionales ...................................................... 40
1.7 Ecuación de difusividad en yacimientos sensitivos 
a esfuerzos ........................................................................... 42
1.8 Referencias bibliográficas .................................................... 45
Contenido
viii
2. Soluciones de la ecuación de difusividad ..................................... 46
2.1 Ecuaciones de flujo .............................................................. 46
2.1.1 Ecuaciones para flujo pseudoestable ......................... 46
2.1.2 Solución para flujo estable ........................................ 49
2.1.3 Factor de daño .......................................................... 51
2.1.4 Forma general de la ecuación de flujo bajo 
condiciones pseudoestables ...................................... 60
2.2 Solución aproximada de la ecuación de difusividad 
para período pseudoestable .................................................. 60
2.3 Solución de la ecuación de difusividad para elperíodo 
transiente: tasa terminal constante y condición 
de línea fuente ..................................................................... 62
2.4 Solución general de la ecuación de difusividad .................... 70
2.5 Solución de la ecuación de la difusividad 
para flujo lineal .................................................................... 79
2.6 Solución de la ecuación de difusividad para 
yacimientos sensitivos a esfuerzos ........................................ 85
2.7 Principio de superposición ................................................... 95
2.8 Radio de investigación ......................................................... 99
2.9 Referencias bibliográficas .................................................... 106
3. Pruebas de presión ....................................................................... 107
3.1 Definiciones ......................................................................... 107
3.2 Prueba de restauración de presión (pressure 
build up test) ........................................................................ 110
3.2.1 Interpretación .......................................................... 110
3.2.2 Conclusiones y resumen acerca de las pruebas 
de restauración de presión ........................................ 117
3.3 Obtención de .................................................................... 119
3.4 Obtención de tP .................................................................... 128
3.5 Detección de barreras lineales ............................................ 130
3.6 Pruebas de restauración en yacimientos fracturados 
hidráulicamente .................................................................. 132
3.7 Referencias bibliográficas .................................................... 141
4. Pruebas de flujo .......................................................................... 142
4.1 Prueba de una sola tasa (draw down) .................................. 143
4.1.1 Ajuste del valor de CA ................................................ 145
4.1.2 Obtención del tiempo cuando termina 
el transiente .............................................................. 147
ix
4.1.3 Detección de barreras impermeables ........................ 150
4.2 Prueba de dos tasas ............................................................. 153
4.3 Pruebas de tasa múltiple ..................................................... 156
4.4 Referencias bibliográficas .................................................... 165
5. Efecto de almacenaje y completamiento parcial de pruebas 
de restauración de presión .......................................................... 166
5.1 Concepto de almacenaje ..................................................... 167
5.2 Combinación del almacenaje y el daño para definir 
una condición límite ........................................................... 169
5.3 Análisis de pruebas de presión afectadas por sobreflujo ...... 172
5.3.1 Técnica de Russell ..................................................... 173
5.3.2 Métodos basados en curvas tipo ................................ 174
5.4 Referencias bibliográficas .................................................... 207
6. Flujo de gas en un medio poroso.................................................. 208
6.1 Técnica de la pseudopresión para obtener la ecuación 
de flujo de gas en un medio poroso ..................................... 212
6.2 Inclusión del daño en las ecuaciones de flujo de gas ........... 199
6.3 Soluciones de la ecuación de difusividad para gases ........... 217
6.4 Principio de superposición para el flujo de gas 
en un medio poroso ............................................................. 220
6.5 Pruebas de presión en un pozo de gas .................................. 221
6.5.1 Pruebas multitasa o de potencial en pozos de gas ..... 221
6.5.2 Pruebas de flujo y restauración ................................. 236
6.5.3 Obtención de en pozos de gas y en pozos 
con flujo multifásico ................................................. 241
6.6 Referencias bibliográficas .................................................... 245
7. El balance de materiales como una técnica de evaluación 
de formaciones............................................................................. 246
7.1 Ecuación de balance de materiales ..................................... 246
7.2 Forma que toma la EBM para diferentes tipos 
de yacimiento ...................................................................... 250
7.2.1 Yacimientos sin empuje hidráulico ........................... 250
7.2.2 Yacimientos con empuje hidráulico ........................... 259
7.3 Comportamiento de acuíferos ............................................. 278
7.3.1 Descripción del comportamiento de acuíferos 
radiales ..................................................................... 279
x
7.3.2 Principio de superposición aplicado 
al comportamiento de acuíferos................................ 288
7.3.3 Acuíferos lineales ...................................................... 290
7.3.4 Otras soluciones para el comportamiento 
de acuíferos ............................................................... 292
7.3.5 Método de Fetkovich ................................................. 294
7.3.6 Solución de Carter y Tracy para casos 
de tasa terminal constante........................................ 298
7.4 Solución de la EBM .............................................................. 298
7.4.1 Solución de la EBM cuando no hay empuje 
hidráulico ................................................................. 299
7.4.2 Solución de la EBM cuando hay empuje hidráulico ... 300
7.5 Procedimiento general para resolver la EBM ....................... 308
7.6 Predicción de yacimientos .................................................... 311
7.6.1 Predicción de yacimientos sin empuje hidráulico ..... 312
7.6.2 Predicción de yacimientos con empuje hidráulico .... 331
7.7 Cálculo de reservas en yacimientos de condensado ............ 349
7.8 Predicción de yacimientos de condensado o petróleos 
volátiles ............................................................................... 353
7.9 Dificultades en la aplicación de la EBM .............................. 360
7.9.1 Determinación de datos PVT ..................................... 360
7.9.2 Precisión de los datos de producción ........................ 361
7.9.3 Fundamentos de flujo de fluidos ............................... 361
7.9.4 Precisión en los datos de presión del yacimiento ...... 361
7.9.5 Precisión de los datos petrofísicos ............................ 363
7.9.6 Errores en la solución de la ecuación de balance 
de materiales aplicando técnicas de regresión .......... 364
7.10 Referencias bibliográficas .................................................... 365
Bibliografía ...................................................................................... 367
Introducción
La caracterización de un yacimiento es fundamental para conocer sus 
características y tomar decisiones acerca de su desarrollo y explotación. 
Tradicionalmente las herramientas para caracterizar un yacimiento, ade-
más de la geología, han sido el análisis de núcleos, el perfilaje de pozos y 
las pruebas de presión. Estas herramientas se conocen como técnicas de 
evaluación de formaciones.
Además de las técnicas tradicionales mencionadas, existen otras que tam-
bién son poderosas para obtener información de un yacimiento y son el 
balance de materiales y la simulación de yacimientos, y aunque algunos 
consideran que la técnica del balance de materiales ha sido desplazada por 
la simulación de yacimientos otros consideran que es el primer paso en 
el modelamiento del yacimiento, que es el simulador más simple que se 
puede construir para un yacimiento dado y con el cual se puede obtener, 
de una manera relativamente simple, informaciónpreliminar confiable 
para alimentar el simulador definitivo del mismo.
En el presente trabajo se analizan las técnicas de pruebas de presión y 
balance de materiales como técnicas utilizadas actualmente para obtener 
información de un yacimiento a partir de las respuestas de los pozos en 
cuanto al comportamiento de la presión y de la producción. Ambas técnicas 
han evolucionado mucho recientemente especialmente debido a la cada 
vez mayor facilidad de acceso a computadores de enormes capacidades de 
procesamiento y almacenamiento de información.
Se considera que la técnica de pruebas de presión ha tenido cuatro eta-
pas en su evolución que son: la etapa 1 en la cual la interpretación de las 
pruebas de presión se hacía con métodos gráficos basados en líneas rectas, 
la etapa 2 en la cual los métodos se basaban en el uso de curvas tipo; lue-
go, con el auge de los computadores se desarrolla la etapa 3 en la cual la 
interpretación se basa en el uso de los gráficos de diagnóstico y de curvas 
conocidas como de la derivada; finalmente, aparece la etapa 4 en la cual 
para la interpretación de las pruebas de presión se usa la técnica conocida 
como deconvolución. En la actualidad, en el trabajo rutinario de ingeniería 
de yacimientos donde se requiere aplicar la técnica de interpretación de 
pruebas de presión aún se usan los métodos de las tres primeras etapas.
xii
Los primeros seis capítulos de este trabajo presentan la fundamentación 
teórica de la técnica de evaluación de formaciones con pruebas de presión 
mediante métodos basados en las etapas 1, 2 y 3 de la evolución de dicha 
técnica. El capítulo 1 presenta la deducción de la ecuación de difusividad, 
que es la base de la técnica de pruebas de presión, bajo diferentes condi-
ciones de geometría del medio poroso, de tipos de fluidos y de propiedades 
físicas del medio poroso; el capítulo 2 presenta las soluciones de la ecuación 
de difusividad bajo diferentes condiciones de límite y tipo de yacimiento. 
El capítulo 3 presenta la interpretación de las pruebas de restauración de 
presión, quizás la prueba más usada, aplicando métodos de la primera etapa; 
lo mismo se hace en el capítulo 4 con las pruebas de flujo. En el capítulo 
5 se presentan los métodos de las etapas 2 y 3 para interpretar pruebas 
de presión en yacimientos de petróleo, y en el capítulo 6 se presenta la 
interpretación de pruebas de presión en pozos de gas, aplicando métodos 
de las etapas 1, 2 y 3.
El capítulo 7 está dedicado a la aplicación de la técnica de balance de ma-
teriales, inicialmente en la modalidad de ajuste, o solución de la ecuación 
de balance de materiales, desde los casos más simples como es el de los 
yacimientos con flujo monofásico y con un solo mecanismo de empuje hasta 
el caso general de yacimientos que producen varios tipos de fluidos y poseen 
simultáneamente empuje por gas en solución, capa de gas, compresibilidad 
de agua y de la formación y empuje hidráulico; igualmente se analizan di-
ferentes métodos para describir el comportamiento de un acuífero. En la 
parte final del capítulo se presenta la aplicación de la técnica de balance 
de materiales en la modalidad de predicción y se plantea para yacimientos 
sin empuje hidráulico y con él y para yacimientos de condensado.
En cada uno de los capítulos se presentan soluciones de ejemplos de apli-
cación.
Finalmente, es necesario aclarar que ni la técnica de pruebas de presión ni 
la de balance de materiales son tratadas de manera exhaustiva en el presente 
trabajo y por tanto este solo se debe considerar como una aproximación 
preliminar a la caracterización de formaciones con estas herramientas.
Lista de símbolos
Símbolo Dimensiones
A. Área. Área de drenaje de un pozo o 
yacimiento.
L2 (Pie2)
B. Factor volumétrico. L3/L3
Bo. Factor volumétrico del petróleo. BY/BN
Bw. Factor volumétrico del agua. BY/BN
Bg. Factor volumétrico del gas. PC/PCN; BY/PCN
C. Compresibilidad. Lt2/M (Lpc–1)
Cs. Factor o coeficiente de almacenaje. L
4t2/M (Bls/Lpc)
CsD. Factor o coeficiente de almacenaje 
adimensional.
CA. Factor de forma o simetría.
Ei. Función integral exponencial.
Eo. Factor de empuje por gas en solución. L
3/L3 (BY/BN)
Ew. Factor de empuje por empuje 
hidráulico.
L3/L3 (BY/BN)
Eg. Factor de empuje por capa de gas. L
3/L3 (BY/BN)
Ew,f. Factor de empuje por expansión del 
agua de formación y contracción 
del volumen poroso.
L3/L3 (BY/BN)
ewc. Constante de intrusión del acuífero. L
4t/M (Bls./día/
Lpc)
F. Volumen drenado de un yacimiento en un 
intervalo de tiempo.
L3 (BY)
Nomenclatura
xiv
G. Tamaño de la capa de gas en un 
yacimiento.
L3 (PC)
GP. Gas producido acumulado. L
3 (PCN)
h. Espesor de formación. L (pie)
I. Índice de empuje.
Jo. Función de Bessel de primera clase y 
orden 0.
J1. Función de Bessel de primera clase y 
orden 1.
k. Permeabilidad. L2 (mD)
ko. Permeabilidad efectiva al petróleo. L
2 (mD)
kg. Permeabilidad efectiva al gas. L
2 (mD)
kw. Permeabilidad efectiva al agua. L
2 (mD)
kro. Permeabilidad relativa al petróleo.
krg. Permeabilidad relativa al gas.
krw. Permeabilidad relativa al agua.
Ko. Función Bessel de segunda clase y 
orden cero.
K1. Función Bessel de segunda clase y 
orden 1.
L. Longitud. L (pie)
Lf. Longitud de un lado de la cara de la 
fractura.
L (pie)
M. Masa. M (Lbs.)
m(P). Función seudopresión para el gas. M/(Lt3) (Lpc2/cP)
mD(PD). Función seudopresión adimensional.
m. Relación entre el tamaño de la zona 
de petróleo y la zona de gas en un 
yacimiento.
L3/L3 (BY/BY)
m’(P). Función seudopresión para el petróleo. 1/t (Lpc./cP)
N. Reservas iniciales de petróleo en un 
yacimiento.
L3 (BN)
NP. Producción de petróleo acumulada. L
3 (BN)
xv
P. Presión. M/Lt2 (Lpc.)
Pb. Presión de burbujeo. M/Lt
2 (Lpc.)
. Presión promedio del yacimiento. M/Lt
2 (Lpc.)
Pi. Presión inicial del yacimiento. M/Lt
2 (Lpc.)
Pwf. Presión de flujo en el fondo del pozo. M/Lt
2 (Lpc.)
Pws. Presión estática en el fondo del pozo. M/Lt
2 (Lpc.)
PD. Presión adimensional.
PD, MBH Presión adimensional de Mathews, 
Brons y Hazebroek.
q. Tasa volumétrica de flujo. L3/t(BPD)
qD. Tasa de flujo adimensional.
qgsc. Tasa volumétrica del gas en condiciones 
de referencia.
L3/t (MPCN/D, 
KPCN/D)
qm Tasa másica por unidad de volumen M/L
3t(Lbm/s/pie3)
qv Tasa volumétrica por unidad de 
volumen
M/L3t(Lbm/s/pie3)
R. Relación gas/petróleo instantánea. L3/L3 (PCN/BN)
Rs. Relación gas disuelto/petróleo. L
3/L3 (PCN/BN)
RP. Relación gas/petróleo acumulada. L
3/L3 (PCN/BN)
S. Factor de daño total.
s. Parámetro de la transformada de 
Laplace.
SD. Factor de daño por perforación y 
completamiento, o factor de daño por 
flujo Darcy.
SnD. Factor de daño por flujo no-Darcy.
S’. Factor de daño para pozos de gas.
T. Temperatura. (°F, °R)
t. Tiempo. t (h, día)
tD. Tiempo adimensional.
tDA. Tiempo adimensional con respecto al 
área.
tss. Tiempo al cual termina el período 
transiente.
t (h, día)
xvi
twbs. Tiempo al cual termina el efecto de 
almacenaje en una prueba de presión.
t (h, día)
v. Velocidad. L/t (pie/s)
V. Volumen. L3 (pie3, bls.)
W. Volumen de agua. L3 (Bls.)
We. Volumen de agua que ha entrado al 
yacimiento.
L3 (Bls.)
WeD. Intrusión adimensional de agua.
x. Transformada de Boltzmann.
X. Factor de forma de Odeh.
Z. Factor de compresibilidad del gas.
β. Coeficiente de resistencia inercial.
γ. Gravedad específica. Módulo de 
permeabilidad.
ρ. Densidad. M/L3 (Lbm./pie3)
φ. Porosidad.
Abreviaturas
Lpc. Libra fuerza por pulgada cuadrada.
BPD. Barriles por día.
PC. Pies cúbicos.
PCN. Pies cúbicos normales.
PCPD. Pies cúbicos por día.
PCNPD. Pies cúbicos normales por día.
Prefijos
K. Miles, 103.
M. Megas, 106.
G. Gigas, 109.
T. Teras, 1012.
c. Centi, 10–2.
m. Mili, 10–3.
μ. Micro, 10–6.
Subíndices
D. Adimensional.
xvii
i. Inicial.
g. Gas.
f. Fluido, formación.
o. Petróleo.
P. Poroso. Producido.
t. Total.
w. Agua.
1. Flujo en medios porosos
1.1 Aspectos generales
Todas las ecuaciones prácticas de flujo de fluidosen medios porosos se 
basan en dos conceptos básicos: la ley de Darcy y la ley de conservación de 
masa. Los conceptos más simples de ingeniería de yacimientos se basan 
en la primera de estas leyes, pero los complejos, y generalmente los más 
útiles, se basan en ambas.
La ecuación de difusividad es una relación que permite describir el com-
portamiento de la presión de un fluido a través de un medio poroso, con el 
tiempo y la distancia dependiendo de factores como geometría de flujo, tipo 
de fluido, tipo de flujo, régimen de flujo y condiciones iniciales y de límite.
1.1.1 Geometrías de flujo
De acuerdo con las geometrías de flujo puede hablarse de flujo lineal en 
1, 2 y 3 dimensiones, de flujo radial y de flujo esférico.
1. Flujo lineal: el flujo lineal puede presentarse en los casos que muestra 
la figura 1.1. El primer caso (véase figura 1.1a) se puede dar cuando 
el yacimiento está en contacto, aunque solo parcialmente, con un 
acuífero y la región de contacto es una fracción relativamente pequeña 
de la circunferencia; el flujo se asemeja más al flujo lineal que al flujo 
radial. Sigue, como segundo caso, el empuje de fondo de un acuífero 
(véase figura 1.1b); y luego, cuando el yacimiento aporta a la fractura a 
través de un flujo lineal que corre a través de esta hacia el pozo (véase 
figura 1.1c). En el flujo en un pozo horizontal, el comportamiento del 
fluido en este caso es similar al caso de la fractura.
2. Flujo radial: es el caso normal en un yacimiento cuando se tiene un 
pozo que atraviesa toda la formación y está “cañoneado” en todo el 
espesor de la misma como puede observarse en la figura 1.2.
3. Flujo esférico: se presenta cuando un yacimiento de gran espesor se 
ha abierto a flujo solo en una fracción relativamente pequeña de su 
espesor. En este caso las líneas de flujo van orientadas en todas las 
direcciones hacia la parte en que el flujo se ha abierto. Como es tan 
pequeño el fragmento comparado con el espesor de la formación, aquel 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
2
a.
b.
c.
Figura 1.1 Casos de flujo lineal en un yacimiento. a. Empuje hidráulico lateral 
parcial. b. Empuje hidráulico de fondo. c. Pozo fracturado hidráulicamente.
parece un punto en el centro de una esfera hacia donde convergen 
todas las líneas de flujo. Así lo señala la figura 1.3.
1.1.2 Tipos de fluidos en un yacimiento
En un yacimiento pueden haber fluidos incompresibles como el agua, lige-
ramente compresibles como el petróleo por encima del punto de burbujeo y 
compresibles como el gas. Cada uno de estos fluidos se caracteriza por una 
ecuación de estado que permite analizar el comportamiento del volumen 
o la densidad del fluido con la presión y la temperatura.
1. Fluidos incompresibles
3
1. Flujo en medios porosos
(1.1)
2. Fluidos ligeramente compresibles: un fluido se considera ligeramente 
compresible si cumple con dos condiciones
y
CP << 1
Partiendo de la definición de compresibilidad puede tenerse una ecuación 
de estado para este tipo de fluido de la siguiente manera
Figura 1.2 Flujo radial 
Figura 1.3 Flujo esférico
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
4
o sea que
Caso: Petróleo subsaturado.
(1.2)
3. Fluidos compresibles: para un fluido compresible se tiene v = ZRT/P 
y, por tanto, al volver a la definición de compresibilidad se tienen 
(1.3)
(1.4)
Cuando se tiene un gas ideal Z = 1 y 
y cuando se trata de gases reales la expresión para la compresibilidad del 
gas puede evaluarse reemplazando Z y ∂Z / ∂P en términos de la presión, 
lo cual puede hacerse usando una ecuación de estado. 
1.1.3 Períodos de flujo en un yacimiento
Cuando se inicia una perturbación de presión en un yacimiento hay una 
traslación de dicho fenómeno a través de este. Así, el comportamiento 
de la presión en un punto y en un momento dado dentro del yacimiento 
dependerá, entre otras cosas, de si la perturbación de presión lo ha reco-
rrido todo o solo parte del mismo. Mientras dicha perturbación no llegue 
al límite exterior se dice que está en su período transiente, y se habla 
entonces de un transiente de presión; cuando la perturbación ha llegado 
a algún punto del límite exterior del yacimiento, pero no a todo, se inicia 
el período postransiente; por último, cuando se tienen todos los puntos 
del yacimiento afectados por la perturbación, incluyendo los puntos del 
límite exterior, se inicia el período estable o pseudoestable: esto depende 
de la condición de límite existente en el exterior del yacimiento.
Para analizar el comportamiento de la presión con el tiempo y la distancia, 
para los períodos transiente y estable o pseudoestable, se requiere conocer 
el tipo de flujo que se está presentando y/o las condiciones de frontera. 
En cuanto al tipo que puede tenerse en un yacimiento, se habla de flujo 
continuo, de pseudoestable y de inestable. El primero, o estable, se da 
cuando la tasa de flujo y la presión no varían con el tiempo; esta situación 
5
1. Flujo en medios porosos
solo podrá presentarse en un período pseudoestable, cuando el yacimiento 
esté alimentado en su límite exterior por una fuente, como es el caso de 
un acuífero lateral. El flujo pseudoestable se da cuando la tasa de flujo 
se mantiene constante en el pozo, pero esta, como la presión, varía con 
el tiempo en el yacimiento; esta situación se conoce como tasa terminal 
constante y puede presentarse tanto en el período transiente como en el 
pseudoestable. El flujo inestable se da cuando la tasa de flujo en cualquier 
punto del yacimiento, incluyendo el pozo, varía con el tiempo y la presión 
en él se mantiene constante, aunque luego cambie en cualquier otro punto 
del yacimiento, esta situación puede presentarse tanto en el período tran
siente como en el pseudoestable y se conoce como caso de presión terminal 
constante. Obsérvese la figura 1.4 que representa el período transiente.
Figura 1.4 Comportamiento de la presión y de la tasa de flujo con el radio en 
el período transiente
Como se ve, en el período transiente la presión y la tasa de flujo disminu-
yen y aumentan respectivamente con el tiempo en un punto cualquiera 
del yacimiento. Sin embargo, es posible mantener fija la tasa de flujo o la 
presión; en el primer caso se hablará de una situación de tasa terminal 
constante, en el segundo, de una situación de presión terminal constante.
Figura 1.5 Período transiente: presión terminal constante 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
6
1. Flujo transiente (presión terminal constante): la presión en el fondo 
del pozo se mantiene constante hasta que la perturbación llega al 
límite exterior del yacimiento como lo muestra la figura 1.5.
Figura 1.6 Período transiente: tasa terminal constante
Figura 1.7 Comportamiento de la tasa de flujo y de la presión con el radio en 
el período pseudoestable
2. Flujo transiente (rata terminal constante): cuando se mantiene cons-
tante la tasa de flujo en el fondo del pozo, la presión de fondo disminuye 
como se señala en la figura 1.6.
Ahora bien, obsérvese cómo se representa el período pseudoestable. En 
términos generales el comportamiento de la presión y la tasa de flujo con 
la distancia y el tiempo se muestran en la figura 1.7
1. Período pseudoestable (flujo estable): como ya se dijo, el flujo estable 
solo se presenta en el período pseudoestable, pues se requiere que 
en el límite exterior del yacimiento se tenga un suministro o fuente 
que reponga los fluidos que salen del mismo. Por tanto, en este caso 
la tasa de flujo en el límite exterior no puede ser cero. 
 La característica de este tipo de flujo es que δP / δt = δq / δt=0 en 
cualquier punto del yacimiento. Por lo demás δP / δr = 0 y el compor-
tamiento de la presión y de la tasa de flujo con la distancia y el tiempo 
se muestran en la figura 1.8.
7
1. Flujo en medios porosos
2. Período pseudoestable (flujo pseudoestable): el flujo pseudoestable se 
presenta cuando tanto la presión como la tasa de flujo varían a través 
del yacimiento. La tasa de flujo semantiene constante en el pozo con 
el tiempo, pero a través del yacimiento varía desde un valor q en el pozo 
 hasta cero en el límite exterior del yacimiento. Pero, aunque la presión 
varía con el radio y con el tiempo, en el límite exterior el gradiente de 
presión δP / δr es cero porque la tasa de flujo también lo es; así mismo, 
como la tasa de flujo es constante en un punto dado, entonces el gra-
diente de presión es constante con el tiempo. Por tanto, el cambio de 
presión con el tiempo, o sea (δP / δt)r = constante para cualquier r y 
las curvas de P por r son paralelas para diferentes tiempos.
Figura 1.8 Comportamiento de la presión y de la tasa de flujo en período 
pseudoestable: flujo estable
En este caso los gráficos de comportamiento de q y P con tiempo y distancia 
muestran las formas que aparecen en la figura 1.9.
Figura 1.9 Período pseudoestable: flujo pseudoestable
3. Período pseudoestable (flujo inestable): el período pseudoestable 
puede ser inestable si mantenemos constante la presión en el fondo 
del pozo, pues la tasa de flujo se alterará. En este caso, el comporta-
miento de la presión y de la tasa de flujo por tiempo y distancia es el 
que se muestra en la figura 1.10.
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
8
1.1.4 Ecuación de Darcy
La forma general de la ecuación de Darcy presenta la forma
(1.5)
donde u es el flujo volumétrico, k la permeabilidad del medio, μ la visco-
sidad del fluido, ρ la densidad del fluido, s la dirección de flujo y Φ es el 
potencial de flujo definido por
(1.6)
y donde Zb es la altura del nivel de referencia y Pb es la presión mínima 
bajo la cual se va a encontrar el fluido.
Cuando la componente gravitacional no es muy importante en la ecuación 
de gradiente, la ecuación de potencial se convierte en
(1.7)
y, por tanto, la ecuación de Darcy, en
(1.8)
Figura 1.10 Período pseudoestable, presión terminal constante: flujo inestable
9
1. Flujo en medios porosos
1.2 Ecuación de difusividad para flujo lineal
Ya se dijo que la ecuación de difusividad es una ecuación de movimiento 
que permite analizar el comportamiento de la presión por posición y tiem-
po en un medio poroso. Ahora, para deducir la ecuación de difusividad se 
requieren otras tres: la ecuación de continuidad (conservación de masa), 
la ecuación de flujo y la ecuación de estado del fluido.
Para expresar la ecuación de continuidad debe suponerse un medio poroso 
como se muestra en la figura 1.11; en este medio se presenta un flujo en 
las direcciones x, y, z.
Figura 1.11 Medio poroso con flujo lineal
La masa que está entrando al medio en un intervalo de tiempo ∆t es
uxρ (∆y ∆z) ∆t + uyρ (∆x ∆z) ∆t + uz ρ (∆y ∆x) ∆t 
y la masa que sale del mismo medio es [uxρ + ∆( uxρ)] (∆y ∆z) ∆t + (uyρ 
+ ∆( uyρ)) (∆x ∆z) ∆t + [uzρ + ∆( uzρ)](∆y ∆x) ∆t 
Durante el intervalo ∆t, la masa que se acumula en el medio ∆x ∆y ∆z es
[masa acumulada] = [masa que entra] – [masa que sale]
uxρ (∆z ∆y) ∆t – [uxρ + ∆( uxρ)] (∆y ∆z) ∆t + uyρ (∆x ∆z) ∆t– [uyρ + ∆( 
uyρ)](∆x ∆z) ∆t + uzρ (∆x ∆y) ∆t – [uzρ + ∆(uzρ)] (∆x ∆y) ∆t
= – [∆uzρ (∆x ∆y) + ∆uyρ (∆x ∆z) + ∆uxρ (∆y ∆z)] ∆t
(1.9)
A la expresión anterior hay que agregarle la masa que entra o sale del medio 
a través de fuentes o sumideros (el caso de un pozo productor o inyector). 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
10
Así que la expresión para la acumulación de masa, teniendo en cuenta lo 
anterior, se convertirá en 
(1.10)
Además, la acumulación de masa ∆x ∆y ∆z puede obtenerse también de
(1.11)
e igualando las ecuaciones (1.10) y (1.11) y dividiendo por ∆x∆y∆z∆t se 
tiene
y cuando ∆x∆y∆z y ∆t tienden a cero, se tiene
(1.12)
Si se tiene en cuenta que la velocidad del fluido es una cantidad vectorial 
esta puede expresarse como 
(1.13)
donde ux, uy y uz son las componentes del vector de la velocidad del fluido 
en las direcciones x, y, z.
Usando la ecuación (1.13), la ecuación (1.12) puede escribirse como
Si se introduce ahora la ecuación de Darcy para flujo lineal en la ecuación 
(1.12), suponiendo que se puede aplicar la ecuación (1.8), se tiene
(1.14)
La ecuación (1.14) también puede escribirse como
(1.15)
Si el flujo va solo en una dirección, los componentes en las otras direc-
ciones no aparecerán en la ecuación (1.14). En este caso la ecuación de 
continuidad se plantea de la siguiente forma, suponiendo el volumen del 
medio que se muestra en la figura 1.12.
Masa que entra = ρuxA(x)∆t
Masa que sale = [ρuxA(x)+∆(ρuxA(x))]∆t
Acumulacióny = Masa que entra – Masa que sale – qsumideros 
 = –∆(ρuxA(x))∆t–qmA(x)∆x∆t
 = (A(x))∆xρφ)t+∆t – (A (x)∆xρφ)t
11
1. Flujo en medios porosos
Figura 1.12 Volumen para flujo lineal en una dimensión
Dividiendo ahora por ∆x∆t, la ecuación anterior se convierte en
–∆(ρuxA(x))/∆x–qmA(x)=[(A(x)ρφ)t+∆t – (A (x)ρφ)t]/∆t (1.16)
y expresando la ecuación (1.16) en forma diferencial se convierte en
(1.17)
Si se introduce la ecuación de Darcy en la ecuación (1.17), suponiendo 
que se pueda aplicar la ecuación (1.8), se tiene 
(1.18)
La ecuación (1.18) puede acomodarse a la ecuación (1.15), aunque en 
este caso el tensor de permeabilidades solo tendrá la componente en la 
dirección x, kx. La ecuación (1.15) podrá escribirse en forma general como 
(1.19)
donde α=1 cuando el flujo es en tres dimensiones y α=A(x) cuando el flujo 
es en una sola dimensión.
Cuando el flujo es en dos dimensiones x, y, el volumen elemental se repre-
senta como en la figura 1.13, y la ecuación de continuidad para cada una 
de las direcciones de flujo se plantea así: en la dirección x
Masa que entra = ρux∆yH(x)∆t
Masa que sale =[ρux∆yH(x)+∆(ρux∆yH(x)]∆t
Acumulaciónx = Masa que entra – Masa que sale =–∆(ρux∆yH(x))∆t
en la dirección y
Masa que entra = ρuy∆xH(y)∆t
Masa que sale =[ρuy∆xH(y)+∆(ρuy∆xH(y)]∆t
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
12
Acumulacióny = Masa que entra – Masa que sale = –∆(ρuy∆xH(y))∆t 
Acumulacióntotal = Masa que entra – Masa que sale – qsumideros
 = –∆(ρux∆yH(x))∆t –∆(ρuy∆xH(y))∆t –qm∆x∆yH(x))∆t
 = –(∆y∆xH(x)ρφ)t+∆t – (∆y∆xH(x)ρφ)t
Si la ecuación anterior se divide por ∆x∆y∆t, se tiene
y si la ecuación anterior se expresa en forma diferencial y, además, se tiene 
en cuenta que H no es función del tiempo, se tiene
(1.20)
Si se introduce la ecuación de Darcy, ecuación (1.8), en la ecuación (1.20), 
se tiene
(1.21)
La ecuación (1.21) también puede ajustarse a la ecuación (1.19) teniendo 
en cuenta que, en este caso, el tensor de permeabilidades solo tiene compo-
nentes kx en la dirección x, y, ky, en la dirección y; también que α vale H(x).
La ecuación (1.19) es entonces la forma general de la ecuación de difusi-
vidad para flujo lineal; y es así mismo la base para obtener las diferentes 
formas de tal ecuación, dependiendo del fluido que corre a través del medio 
poroso cuando se tiene flujo lineal. 
Figura 1.13 Volumen para flujo lineal en dos dimensiones
13
1. Flujo en medios porosos
1.2.1 Ecuación de difusividad para flujo lineal: 
 fluido incompresible 
Cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión, puede 
plantearse la relación
y, por tanto, al realizar los operadores indicados en la ecuación (1.19) y 
al tener en cuenta la expresión anterior, se tiene para flujo lineal en tres 
dimensiones
(1.22)
y suponiendo que kx = ky = kz se tiene
(1.22a)
y si, finalmente, no se tiene en cuenta el factor de fuentes o sumideros
(1.22b)
donde qv = qm /ρ 
Para el flujo en dos dimensiones
(1.23)
y suponiendo que kx = ky = kz se tiene
(1.23a)
y, finalmente, si no se tiene en cuenta el factor de fuentes y sumideros y 
h se mantiene constante
(1.23b)
De igual manera, para el flujo en una dirección, se tendrá al suponer los 
mismos casos de dos y tres dimensiones
(1.24)
(1.24a)
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
14
(1.24b)
Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión: partiendo de la 
ecuación (1.19) se tiene para tres dimensiones
y desarrollando las derivadas de la expresión anterior
Recordando ahora que(1.25)
la expresión anterior, para la ecuación de difusividad, queda así
Si se considera que 
(1.26)
lo cual es válido, porque cuando se tiene flujo estable el gradiente de pre-
sión es bajo, y porque de acuerdo con la definición de compresibilidad de 
poros puede escribirse
(1.27)
donde Cp es la compresibilidad de poros de la formación, y si se supone 
kx= ky= kz se tiene 
(1.28)
y cuando no se considera el factor de fuentes y sumideros
(1.28a)
Para dos dimensiones y aplicando el mismo procedimiento anterior se 
tendrá
15
1. Flujo en medios porosos
(1.29)
y si se considera que el espesor es constante y se desprecia el efecto de 
fuentes y sumideros
(1.29a)
Para flujo en una dirección se tendrá
(1.30)
y si se considera A constante y se desprecia el efecto de fuentes y sumideros
(1.30a)
Con respecto a las ecuaciones de (1.28) a (1.30) es importante establecer 
dos aclaraciones. La primera, el término CP es la compresibilidad de poro; 
pero es normal que en lugar de aparecer Cp aparezca Ct o C que representa 
la compresibilidad total, que está dada por
Ct = Cp + Cf (1.31)
donde Cf es la compresibilidad de fluido. Y como en el caso de los fluidos 
incompresibles esta compresibilidad es cero, entonces C se convierte en CP. 
Y la segunda, el término se conoce como el inverso del coeficiente 
de difusividad η, el cual está definido por 
(1.32)
El coeficiente de difusividad es una medida de la velocidad de propagación 
de una perturbación de presión en un medio poroso. Se expresa en términos 
de área barrida por unidad de tiempo, pues un análisis dimensional de este 
coeficiente muestra que tiene unidades de área sobre tiempo
El coeficiente de difusividad depende de las propiedades de la roca y 
del fluido almacenado en ella, y para un yacimiento dado depende del 
tipo de fluido contenido en sus poros. Por ejemplo, y como se verá más 
adelante, el valor de η será mayor cuando en los poros hay petróleo que 
cuando hay gas. Por tanto, la perturbación de presión viaja más rápido 
en un yacimiento cuando hay gas que cuando hay petróleo; a su vez, esto 
quiere decir que el período transiente es más corto en un yacimiento de 
gas que en uno petróleo. Finalmente, y de acuerdo con su definición, el 
valor de η disminuye con la presión.
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
16
1.2.2 Ecuación de difusividad para flujo lineal: fluido 
ligeramente compresible
Para fluido ligeramente compresible, recordando la ecuación (1.2), puede 
escribirse
(1.2)
Realizando las derivadas indicadas en la ecuación (1.19), suponiendo flujo 
en tres dimensiones y aplicando la ecuación (1.2), se tiene
Recordando lo planteado para justificar la ecuación (1.26) y luego de dividir 
por la densidad, se tiene
(1.33)
La ecuación (1.33) es la forma general de la ecuación de difusividad en tres 
dimensiones y de ella pueden obtenerse casos particulares, es decir, casos 
cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión y cuando sí. 
Cuando las propiedades petrofísicas no dependen de la presión, la ecuación 
(1.33) se transforma en 
y suponiendo un medio isotrópico, se tiene finalmente
(1.33a)
Para llegar a la ecuación (1.33a) se ha supuesto una constante en la 
viscosidad del fluido, lo cual no es correcto porque se trata de un fluido 
ligeramente compresible. Por tanto, debe especificarse el nivel de presión 
en el que se halla esta variable, y para considerarla constante podría cal-
cularse la presión promedio del intervalo de presión o calcular también 
una viscosidad promedio en el mismo intervalo.
Cuando las propiedades petrofísicas no pueden considerarse constantes, 
se tiene a partir de la ecuación (1.33)
17
1. Flujo en medios porosos
y aplicando ahora las ecuaciones (1.25) y (1.27) se tiene 
y suponiendo que la permeabilidad es igual en todas las direcciones
(1.33b)
Las ecuaciones (1.33a) y (1.33b) son similares y solo difieren en que, en 
la primera, se tiene al lado derecho Cf y, en la segunda, se tiene (Cf + CP). 
Por tanto, ambas ecuaciones pueden escribirse en forma general como 
(1.33c)
donde C es la compresibilidad total del medio, que está dada por la ecua-
ción (1.31). 
Para un fluido ligeramente compresible, cuando las propiedades petrofísicas 
no dependen de la presión, la compresibilidad de poro es cero y la compresi-
bilidad total es la del fluido. Cuando las propiedades petrofísicas sí dependen 
de la presión, la compresibilidad total es la suma de las compresibilidades de 
poro y de fluido.
Cuando se tiene flujo en dos dimensiones α, en la ecuación (1.19), es igual 
a h, y por tanto, siguiendo el mismo procedimiento para obtener la ecuación 
(1.33), se llega a 
(1.34)
Así (1.34) es la ecuación general de difusividad para flujo lineal en dos 
dimensiones de un fluido ligeramente compresible; a partir de ella pueden 
obtenerse las siguientes ecuaciones, útiles cuando las propiedades petro-
físicas dependan o no de la presión. Siguiendo el mismo procedimiento 
para obtener las ecuaciones (1.33a) y (1.33b) 
(1.34a)
(1.34b)
Y si se tiene en cuenta la ecuación (1.31), las ecuaciones (1.34a y b) pueden 
escribirse en forma general 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
18
(1.34c)
Finalmente, si se considera h constante y, además, no se tiene en cuenta el 
término de fuentes y sumideros, se tendrá en el caso de la ecuación (1.34c)
(1.34d)
De manera similar se obtendrán las siguientes ecuaciones para flujo lineal 
en una dimensión, partiendo de la ecuación (1.19), y recordando que para 
este caso α=A
(1.35)
(1.35a)
(1.35b)
(1.35c)
La ecuación (1.35a) es para cuando las propiedades petrofísicas no depen-
dan de la presión, la ecuación (1.35b) para cuando tales propiedades sí 
dependan y la (1.35c) es la forma general de ambas ecuaciones (1.35a y b).
Nuevamente, si se considera A constante y se deprecian las fuentes y su-
mideros, se tendrá
(1.35d)
1.2.3 Ecuación de difusividad para flujo lineal: 
fluido compresible (gases)
Para el caso de flujo de gas se parte de la ecuación (1.19) y se usa, para la 
densidad del fluido la ecuación dada por la ecuación de estado de los gases
ρ = PM/ZRT (1.36)
Ahora bien, si se trata de gases ideales, la ecuación de estado puede pre-
sentarse como
ρ = PM/RT
y retornando a la ecuación (1.19) para aplicarla al flujo lineal en tres di-
mensiones, se tiene al introducir en ella la expresión
19
1. Flujo en medios porosos
que puede llevarse a
(1.37)
A partir de la ecuación (1.37) pueden obtenerse expresiones para el flujo 
de gas ideal, pero esto depende de si las propiedades petrofísicas son inde-
pendientes o no de la presión. En el primer caso, en un medio isotrópico 
y calculando la viscosidad del gas bajo una presión inicial promedio y 
constante, la ecuación será
Y como 1/P es la compresibilidad del gas ideal, la ecuación anterior es también 
(1.37a)
Si k y φ no pueden considerarse constantes con la presión, después de 
aplicar los operadores indicados a la ecuación (1.37) y luego las relaciones 
entre las ecuaciones (1.26) y (1.27), se tiene
Y al suponer un medio isotrópico y, a su vez, aplicar la relación de la ecua-
ción (1.31) y calcular la viscosidad bajo una presión inicial o promedio 
como constante, se tiene
(1.37b)
y si igualmente no se tiene en cuenta el efecto de fuentes o sumideros
(1.37c)
También, para el flujo en dos dimensiones, a partir de la ecuación (1.19) 
se tiene
(1.38)
A partir de la ecuación (1.38) pueden obtenerse las siguientes expresiones, 
dependiendo de que las propiedades petrofísicas sean respectivamente 
independientes o no de la presión 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
20
(1.38a)
(1.38b)
Para llegar a las ecuaciones (1.38a y b) se aplicaron las mismas suposi-
ciones que para llegar a las ecuaciones (1.37a y b); además, teniendo en 
cuenta (1.31), la ecuación general para flujo lineal de gas ideal en dos 
dimensiones es
(1.38c)
Si se desprecia el efecto de fuentes o sumideros y, además, se considera h 
constante se tiene
(1.38d)
Finalmente,si el flujo es en una dimensión, entonces a partir de la ecuación 
(1.19) y recordando que en este caso α=A(x), se tiene
(1.39)
A partir de la ecuación (1.39), y planteando las mismas suposiciones de 
los casos anteriores, se logran las siguientes ecuaciones para casos parti-
culares de flujo de gas ideal en un medio poroso. Primero, para cuando las 
propiedades petrofísicas no dependan de la presión
(1.39a)
y para cuando las propiedades petrofísicas dependan de ella
(1.39b)
Cuando el área puede considerarse constante y se desprecia el efecto de 
fuentes o sumideros, se tiene
(1.39c)
En el caso contrario, cuando el gas es real, la ecuación para la densidad es 
ρ = PM/ZRT y al reemplazar la densidad por esta expresión en la ecuación 
(1.19) se tiene, para el caso de flujo en tres dimensiones
21
1. Flujo en medios porosos
(1.40)
La presencia del término Z en la ecuación (1.40) la torna más compleja 
para su manipulación y obtención de una ecuación diferencial parcial de 
segundo orden, similar a las obtenidas hasta ahora. Sin embargo, si se 
plantean algunas suposiciones, es igualmente posible obtener ecuaciones 
tan simples como las anteriores.
De este modo, si se supone que el factor (μZ) es constante, en la ecuación 
(1.40), después de algunas simplificaciones ella se convierte en 
(1.41)
La ecuación (1.41) puede ser válida en un intervalo de presión en donde, al 
aumentar esta, Z disminuya y la viscosidad aumente. Este comportamiento se 
da bajo presiones bajas y hasta un valor del orden de 2.000 Lpc. Por tanto, esta 
suposición puede aceptarse para presiones menores de unas 2.000 Lpc.
La ecuación (1.41) es similar a la ecuación (1.37), solo que en lugar del 
término (1/P) de la ecuación (1.37), que es la compresibilidad del gas ideal, 
se tiene la expresión 1/P – (1/Z)(δZ/δP), que es la compresibilidad de un 
gas real. Por tanto, a partir de ella pueden obtenerse ecuaciones similares 
a las ecuaciones (1.37a, b y c) mediante las mismas suposiciones.
En conclusión, la ecuación de difusividad para un gas real, cuando puede rea-
lizarse la suposición de que (μZ) es constante (o sea, para presiones menores 
de unas 2.000 Lpc), es idéntica a la ecuación de difusividad para un gas ideal. 
Solo que al calcular la compresibilidad del gas, debe tenerse en la cuenta que, 
para un gas real, la compresibilidad se calcula mediante la ecuación (1.41a)
(1.41a)
De igual manera, pueden conseguirse las ecuaciones para una y dos dimen-
siones similares a las ecuaciones (1.38) y (1.39).
Si en la ecuación (1.40) se considera constante el término (P/μZ), esta 
se convierte en
(1.42)
La ecuación (1.42) es similar a la ecuación para un fluido ligeramente 
compresible, como se señala en (1.33), solo que en lugar del término Cf, 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
22
que es la compresibilidad constante del fluido, se tiene 1/P – (1/Z)(δZ/δP) 
que es la compresibilidad del gas real. Por tanto, a partir de la ecuación 
(1.42) pueden obtenerse, por medio de las mismas suposiciones, ecua-
ciones similares a las (1.33 a, b y c). De igual manera se pueden obtener 
expresiones para flujo en una y dos dimensiones.
En resumen, la ecuación de difusividad para flujo de gases reales cuando 
puede suponerse de (P/μZ) constante, es idéntica a la ecuación de difu-
sividad para un fluido ligeramente compresible, solo que para el gas la 
compresibilidad se debe calcular con la ecuación (1.41a).
La suposición de (P/μZ) constante puede hacerse cuando al aumentar P 
tanto la viscosidad como Z aumentan; esto ocurre bajo presiones mayores 
a unas 3.000 Lpc, o sea, cuando el gas empieza a tener comportamientos 
que se aproximan al de los líquidos. De allí que la ecuación de difusividad 
resulte similar a la de estos.
Es importante insistir en las suposiciones para obtener algunas formas de la 
ecuación de difusividad para gases. Primero, la suposición de que (δP/δs)2 
≈ 0 es menos válida que en el caso de los líquidos, pues para los gases el 
gradiente de presión en la dirección de flujo no es tan pequeño como en el 
otro caso. Segundo, la viscosidad del gas no puede considerarse constante 
y, por tanto, el valor de viscosidad que aparece en el coeficiente de difusivi-
dad de las ecuaciones de difusividad para gases debe medirse normalmente 
a la presión inicial o la presión promedio del intervalo en el que se está 
trabajando. Tercero, la ecuación de difusividad para gases es aún menos 
lineal que la ecuación para líquidos, pues el término (μC) es mucho más 
dependiente de la presión en el caso de un gas que en el otro.
Las ecuaciones de difusividad obtenida para gases reales, como indican las 
ecuaciones (1.41) y (1.42), implican suposiciones y, además, son altamente 
no lineales. Para no hacer las suposiciones de (μZ) o (P/μZ) constantes y 
para tratar de obtener una ecuación menos no lineal que las anteriores, 
se introduce en la deducción de la ecuación de difusividad para gases el 
concepto de pseudopresión. La función pseudopresión está definida por 
(1.43)
donde m (P) se conoce como la función pseudopresión y Pb es una presión 
de referencia o base; esta puede ser la presión correspondiente a la presión 
normal o estándar.
De acuerdo con la ecuación (1.43) pueden tenerse las relaciones
(1.44)
(1.44a)
donde i puede ser cualquier variable que afecte la presión.
23
1. Flujo en medios porosos
Ahora, llevando a la ecuación (1.19) la ecuación (1.44a) y la expresión de 
densidad para un gas real, se tiene
y después de las simplificaciones del caso 
Y si recordamos la ecuación (1.41a), la expresión anterior se escribe como
(1.45)
La ecuación (1.45) es similar a la ecuación (1.33), solo que esta última se 
expresa en términos de la presión y aquella en términos de la pseudopresión; 
así que una solución para la ecuación (1.33) en términos de la presión también 
lo será para la ecuación (1.45) en términos de la pseudopresión. La ecuación 
(1.45) es también similar a las ecuaciones (1.41) y (1.42), pero para llegar a 
estas hubo que realizar respectivamente las suposiciones de (μZ) y (P/μZ) como 
constantes; en cambio, para llegar a la ecuación (1.45) no hubo necesidad de 
ninguna suposición y por tanto es más general que las anteriores. 
De la ecuación (1.45) se obtendrán ecuaciones similares a las (1.33a, b y 
c), dependiendo de si se considera que la presión afecta o no las propieda-
des petrofísicas. Además, cuando las propiedades petrofísicas dependen de 
la presión, debe hacerse la suposición de que (δm(P)/δs)2 ≈ 0 donde s es 
cualquier dirección de flujo.
De igual manera, si se considera el flujo en una o dos dimensiones se llegará 
respectivamente a ecuaciones similares a (1.34) y (1.35). 
Cuando se trabaja con m(P) debe haber la posibilidad de convertir presión 
a m(P), o lo contrario, m(P) a presión. Para ello, debe contarse con un 
gráfico de m(P) por presión mediante el siguiente procedimiento:
1. Se toma un intervalo amplio de presión, dependiendo de la presión 
a la que se encuentre el yacimiento que se está analizando, normal-
mente puede ser desde 14,7 Lpc hasta la presión del yacimiento Pi. 
Este intervalo se subdivide en otros de unas 50 Lpc.
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
24
2. Para la presión inicial y final de cada uno de los intervalos en que se 
subdividió el intervalo de presión, se calcula (2P/μZ) y luego se grafica 
(2P/μZ) vs P.
3. El valor de m(P) a la presión final Pn del intervalo n es el área bajo la 
curva de (2P/μZ) vs P entre 14,7 Lpc y Pn y puede obtenerse aplicando 
el método trapezoidal cuya fórmula general es
(1.46)
 donde: (2P/μZ)Po es el valor de (2P/μZ) evaluado a 14,7 Lpc y (2P/μ)
Pi
 es el valor de (2P/μZ) evaluado bajo la presión final de cada uno de 
los n intervalos de amplitud ∆P comprendidos en el intervalo 14,7-P.
4. Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido 
de todos los intervalos en que se dividió el intervalo 14,7-Pi y luego 
puede dibujarse un gráfico de m(P) vs P.
5. Con el gráfico obtenido puedelograrse el valor de m(P) correspon-
diente a una presión dada o la presión correspondiente a un m(P) 
dado. Pero es más práctico, especialmente si se desea programar el 
procedimiento de convertir P a m(P), o lo contrario, obtener mediante 
regresión una relación entre las dos variables.
1.3 Ecuación de difusividad para flujo radial
Se supondrá que el medio es completamente homogéneo en la dirección 
radial, angular y vertical y que, por tanto, lo que pasa en la dirección de 
un radio dado es idéntico a lo que pasa en la dirección de cualquier otro 
radio; y de igual manera, lo que pasa con la presión en un plano horizontal 
dado es idéntico a lo que pasa en cualquier otro plano horizontal del medio 
poroso. De acuerdo con lo anterior, para el caso de flujo radial la situación 
es la siguiente: supóngase el corte longitudinal del elemento de un medio 
poroso donde existe el flujo radial que se muestra en la figura 1.14.
La masa que está entrando al elemento en el tiempo ∆t es
[urρh+∆(urρh)](2π(r + ∆r))∆t
y la masa que sale del mismo es
[urρh]2πr∆t
Por tanto, la masa que se acumula es
[urρh+∆(urρh)]2π(r+∆r)∆t–(urρh)2πr∆t–qm2πrh∆r∆t
= 2π[urρh+∆(urρh)][(r+∆r)∆t–(urρh)r∆t–qmrh∆r∆t]
= 2π[urρh∆r∆t+∆(urρh)r∆t+∆(urρh)∆r∆t–qmrh∆r∆t]
25
1. Flujo en medios porosos
y suponiendo que ∆(urρh), ∆t y ∆r son pequeños, el término [∆(urρh)∆r∆t] 
podrá despreciarse, por tanto, la acumulación de masa en el elemento 
queda como
Acumulación: 2π∆t[urρh∆r+∆(urρh)r–qmrh∆r]
Para el mismo elemento la acumulación de masa en el tiempo ∆t es
(2πrh∆rφρ)t+∆t–(2πrh∆rφρ)t
e igualando las dos expresiones para acumulación de masa en el elemento, 
y teniendo en cuenta que h no depende de t, se tiene
2π∆t[urρh∆r+∆(urρh)r–qmrh∆r] 
=2πrh∆r[(ρφ)t+∆t–(ρφ)t]
Dividiendo a ambos lados por 2πr∆t∆r
 Figura 1.14 Volumen para flujo radial
La ecuación anterior es el balance de masa, y si luego se considera que ∆r 
y ∆t son muy pequeños, al igual que ∆(Urρh), se tiene
(1.47)
Recordando ahora la ecuación de Darcy para flujo radial
y llevándola a la ecuación (1.47) se tiene
(1.48)
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
26
A partir de la ecuación (1.48) pueden obtenerse diferentes formas de la 
ecuación de difusividad para flujo radial, al igual que en el caso lineal, 
dependiendo de las características del fluido y del medio poroso.
1.3.1 Ecuación de difusividad para flujo radial: 
fluido incompresible
Recordando que la densidad es constante, la ecuación (1.48) se convierte en 
(1.49)
A partir de la ecuación (1.49) pueden tenerse casos particulares de la 
ecuación de difusividad para flujo radial de un fluido incompresible, depen-
diendo esto de si las propiedades petrofísicas son independientes o no de 
la presión. Si las propiedades petrofísicas no dependen de ella, la ecuación 
(1.49) se convierte en 
(1.50)
Pero si las propiedades petrofísicas dependen de la presión, después de 
aplicarles las ecuaciones (1.25) a (1.26), la ecuación (1.48) quedará 
(1.51)
1.3.2 Ecuación de difusividad para flujo radial: 
fluido ligeramente compresible
De acuerdo con la ecuación de estado para este tipo de fluido, como en la 
ecuación (1.2), puede escribirse para el caso de flujo radial
(1.52)
Además, también puede escribirse
(1.53)
Expandiendo parcialmente la ecuación (1.48) y teniendo en cuenta las 
ecuaciones (1.52) y (1.53), se tiene
(1.54)
Si se supone que y que C es constante, así como k, μ y φ, la ex-
presión anterior quedará
27
1. Flujo en medios porosos
(1.54a)
Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión, la aplicación a la 
ecuación (1.54) de las ecuaciones (1.25) a (1.27) lleva a
(1.54b)
1.3.3 Ecuación de difusividad para flujo radial: 
fluidos compresibles (gases)
Cuando se trata de gas, la ecuación de difusividad para flujo radial se ob-
tiene de la siguiente manera:
1. Recordando la definición de densidad del gas ideal ρ= PM/RT, y re-
emplazando en la ecuación (1.48), se tiene
(1.55)
A partir de la ecuación (1.55) pueden obtenerse ecuaciones para flujo radial 
de gas ideal, dependiendo de si la presión determina o no las propiedades 
petrofísicas.
Suponiendo que las propiedades petrofísicas no dependan de la presión
(1.55a)
Si las propiedades petrofísicas dependen de la presión y, por tanto, del 
tiempo, se aplican las ecuaciones (1.25) a (1.27) a la ecuación (1.55), 
con lo que se tiene
(1.55b)
En las ecuaciones (1.55a y b) la viscosidad se calcula bajo la presión inicial 
o presión promedio del intervalo y se considera constante.
2. Cuando se tiene flujo de gas real en sistema radial, la ecuación de 
difusividad puede obtenerse llevando la definición de densidad del gas 
real, ρ=PM/(ZRT), a la ecuación (1.48), con esto se tiene 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
28
(1.56)
Si se supone que el término (μZ) es constante, lo cual puede ocurrir 
cuando la presión es menor de 2.000 Lpc, tal como se explicó al obtener 
la ecuación (1.41), se tiene 
(1.57)
La ecuación (1.57) es similar a la ecuación (1.55), solo que en lugar del 
término 1/P, el cual es la compresibilidad del gas ideal, aparece la expresión 
1/P–1/Z(δZ/δP) que es la compresibilidad del gas real.
Si en la ecuación (1.57) se supone que las propiedades petrofísicas no 
dependen de la presión, se tiene
(1.57a)
y si, en la misma ecuación (1.57), se considera que las propiedades pe-
trofísicas sí dependen de la presión, se obtiene, después de aplicar las 
ecuaciones (1.25) a (1.27) 
(1.57b)
Si en la ecuación (1.56) se supone que (P/μZ) es constante, lo cual puede 
ser válido a presiones mayores de 3.000 Lpc, tal como se explicó al obtener 
la ecuación (1.42), se tiene
(1.58)
La ecuación (1.58) es similar a la general para el flujo radial de un fluido 
ligeramente compresible, ecuación (1.54), solo que en lugar de Cf, la com-
presibilidad del líquido, que se considera constante, se tiene la expresión 
1/P–1/Z(δZ/δP), que es la compresibilidad del gas real.
Si en la ecuación (1.58) se considera que las propiedades petrofísicas son 
independientes de la presión, se tiene
(1.58a)
y si las propiedades petrofísicas dependen de la presión la ecuación (1.58), 
se convierte en 
(1.58b)
29
1. Flujo en medios porosos
En las ecuaciones ((1.57) y (1.58), a y b), la viscosidad del gas se calcula bajo 
la presión inicial o bajo la presión promedio y esta se considera constante.
3. Las ecuaciones de difusividad para gases presentan dificultades para su 
solución, pues no son lineales y en el caso de los gases reales se ha hecho 
la suposición de que P/μZ o μZ son constantes, lo cual tampoco es cierto. 
Por eso, recordando la definición de m(P) y las relaciones entre dP y dm(P) 
presentadas en las ecuaciones (1.43) y (1.44a), y llevándolas a la ecuación 
(1.48), puede tenerse una ecuación de difusividad para gases similar a la 
obtenida para flujo radial de fluidos ligeramente compresibles.
Llevando δP/δr, δP/δt y la definición de densidad para el gas real a la ecua-
ción (1.48), se tiene
(1.59)
Al igual que en el caso lineal, se requiere de una forma para convertir m(P) 
a P, o lo contrario, y esto se hace siguiendo el procedimiento presentado en 
el caso de flujo lineal, en la ecuación (1.46).
Si las propiedades petrofísicas no dependen de la presión, la ecuación (1.59) 
se convierte en
(1.59a)
y si las propiedades petrofísicas dependen de la presión, se tiene a partir 
de la ecuación (1.59)
(1.59b)
En las ecuaciones (1.59a y b), al igual que en el caso de todas las ecuaciones 
de difusividad para flujo de gas, el término (μC) se calcula bajo la presión 
inicial o a la presión promedio y se considera constante.
Nuevamente las ecuaciones comprendidas en la (1.59) son no lineales; pero 
su no linealidad es menor que en el caso de la ecuación dada en términos de 
P o P2 y, además, para llegar a ella, no se han hecho suposiciones diferentes 
a que (δm(P)/δr)2 = 0.
1.4 Ecuación de difusividad 
para flujo multifásico
De acuerdo con Osorio (véase bibliografía), las ecuaciones fundamentales de 
flujo multifásicoen coordenadas cartesianas se obtienen normalmente de dos 
formas. La primera se desarrolla con base en balances de masa bajo condiciones 
normales, y la segunda, con base en balances de masa bajo condiciones de 
yacimiento. Ambas formas son ampliamente utilizadas en simulación numérica 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
30
de yacimientos. En este trabajo se presentará la forma obtenida a partir del 
balance de masa bajo condiciones normales.
1. Considérese el flujo lineal en un elemento infinitesimal, tal como se 
ilustra en la figura 1.15, y realizando un balance de la masa del petróleo 
bajo condiciones normales, se tiene
(1.60)
Figura 1.15 Elemento infinitesimal de volumen, flujo lineal multifásico, co-
ordenadas cartesianas
La masa de petróleo que entra bajo condiciones normales estará dada por
(1.61)
En la ecuación (1.61) ρocn es densidad y uoxcn es velocidad volumétrica en la 
dirección x, ambas del petróleo bajo condiciones normales. Similarmente, 
la masa de petróleo que sale bajo condiciones normales, será
(1.62)
Si se define qocn como el volumen de petróleo bajo condiciones normales 
que entra o sale por fuentes o sumideros, por unidad de volumen del yaci-
miento y por unidad de tiempo, se tiene
(1.63)
31
1. Flujo en medios porosos
La acumulación o agotamiento de petróleo durante el intervalo infinitesi-
mal de tiempo será
( )
( ) [ ] [ ] ocy ocyocn ocn ocn ocn ocn ocnt t t
o ot t t
t
Acumulación o
V V
Agotamiento - V V
B B
de petróleo
+∆
+∆
∆
 +
    
= ρ - ρ = ρ - ρ     
    
 
(1.64)
En la ecuación (1.64), Vocn es el volumen del petróleo en condiciones 
normales, Vocy es el volumen en condiciones de yacimiento, Bo es el factor 
volumétrico del petróleo y So es la saturación del mismo.
Llevando las ecuaciones (1.61) a (1.64) hasta la ecuación (1.60), se tiene
Dividiendo por ∆x∆tρocn y tomando límites cuando los incrementos infini-
tesimales tienden a cero, se obtiene
(1.65)
La ecuación (1.65) suele escribirse como
(1.66)
En la ecuación (1.66) α = A(x). 
En forma similar a como de deduce la ecuación (1.66), puede desarro-
llarse la siguiente ecuación fundamental de flujo para el petróleo en dos 
dimensiones
(1.67)
En la ecuación (1.67) α =H(x, y) y uoycn son la velocidad volumétrica del 
petróleo en la dirección y llevada bajo condiciones normales.
Similarmente, la ecuación fundamental de flujo en tres dimensiones toma 
la forma
(1.68)
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
32
En la ecuación (1.68) α = 1,0 y uozcn es la velocidad volumétrica del petróleo 
en la dirección z llevada bajo condiciones normales.
Las ecuaciones (1.66) a (1.68) pueden escribirse en la siguiente forma 
general
(1.69)
En la ecuación (1.69), uocn es el vector velocidad del petróleo, el cual está 
dado por
(1.70)
En la ecuación (1.70) uoxcn, uoycn y uozcn son respectivamente las compo-
nentes del vector velocidad del petróleo bajo condiciones normales en las 
direcciones x, y, z.
El potencial del petróleo Φo puede expresarse mediante la aplicación de 
la ecuación (1.6)
(1.71)
En la ecuación (1.71) Pb y Zb son presión y elevación de referencia, Po es 
presión del petróleo y ρocy es densidad de petróleo bajo condiciones de 
yacimiento.
La velocidad volumétrica del petróleo bajo condiciones normales está 
dada por
(1.72)
En la ecuación (1.72), Ko es el tensor de permeabilidad efectiva del petróleo.
Llevando la ecuación (1.72) a la ecuación (1.69), se obtiene
(1.73)
Si se considera que la componente de elevación del potencial es despre-
ciable respecto a la componente de presión, la ecuaciones (1.72) y (1.73) 
toman las siguientes formas respectivamente
(1.74)
(1.75)
2. Las ecuaciones (1.60) a (1.75) también son válidas para el flujo de 
agua. Por notación, en este último caso el subíndice o suele cambiarse 
por el subíndice w, en cuyo caso las ecuaciones (1.71) a (1.75) toman 
las formas
33
1. Flujo en medios porosos
(1.76)
(1.77)
(1.78)
(1.79)
(1.80)
3. Considérese el flujo de gas en un sistema lineal, tal como se ilustra en la 
figura 1.15. Realizando un balance de la masa del gas bajo condiciones 
normales y sobre un intervalo infinitesimal de tiempo ∆t, se tiene
(1.81)
La masa de gas que entra tendrá tres componentes: el gas que entra en 
solución en la fase de petróleo, el que entra en solución en la fase de agua 
y el que entra libremente. Por lo anterior, la masa de gas que entra al ele-
mento infinitesimal de volumen como se indica en la figura 1.16 durante 
el intervalo de tiempo ∆t, será
Figura 1.16 Elemento infinitesimal de volumen, flujo lineal de gas, coorde-
nadas cartesianas
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
34
(1.82)
En la ecuación (1.82), ρgcn es densidad del gas a condiciones normales, Rs 
y Rsw son las relaciones de gas en una solución petróleo y de gas en una 
solución agua respectivamente, uwxcn y ugxcn son las velocidades volumé-
tricas del agua y del gas respectivamente llevadas a condiciones normales.
Igualmente, la masa de gas que sale durante el intervalo de tiempo infi-
nitesimal ∆t será
(1.83)
Definiendo qgcn como el volumen de gas que sale o entra en condiciones 
normales desde fuentes o sumideros por unidad de volumen de yacimiento 
y por unidad de tiempo, se tiene
(1.84)
La acumulación de masa de gas, en el elemento infinitesimal de la figura 
1.15, durante un intervalo de tiempo ∆t será
35
1. Flujo en medios porosos
(1.85)
En la ecuación (1.85) So, Sw y Sg se refieren a las saturaciones de petróleo, agua 
y gas respectivamente; Bg es el factor volumétrico del gas. Otros términos no 
definidos anteriormente y utilizados en la deducción de la ecuación (1.85) son 
vocy, vwcy y vgcy los cuales representan volumen de petróleo, agua y gas respecti-
vamente, bajo condiciones de yacimiento.
Si se asume que el volumen total no es función del tiempo, la ecuación 
(1.85) puede escribirse como
(1.86)
Llevando a (1.81) las ecuaciones (1.82)-(1.84) y (1.86) y dividiendo, a su 
vez, la ecuación resultante por ∆x∆tρgcn, se obtiene
Tomando los límites cuando los incrementos infinitesimales tienden a 
cero, se obtiene
(1.87)
La ecuación (1.87) suele escribirse como
(1.88)
En la ecuación (1.88) α = Ax.
En forma similar a como se deduce la ecuación (1.88) puede desarrollarse 
la siguiente ecuación fundamental de flujo para el gas en dos dimensiones
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
36
(1.89)
En la ecuación (1.89) α = H(x, y )
Análogamente, la ecuación fundamental de flujo para el gas en tres dimen-
siones tiene la forma
(1.90)
Las ecuaciones (1.88) a (1.90) pueden escribirse en forma general como
O bien,
(1.91)
En la ecuación (1.91) α=1 y uocn, uwcn y ugcn son los vectores velocidad bajo 
las condiciones normales del petróleo, agua y gas respectivamente. Estos 
están dados por las expresiones
(1.92)
(1.93)
(1.94)
La velocidad volumétrica del gas bajo condiciones normales puede expre-
sarse mediante la ley de Darcy en términos del potencial del gas, de forma 
similar a como se plantea en las ecuaciones (1.72) y (1.77) para el petróleo 
y el agua respectivamente, o en términos de la presión del gas, en forma 
similar a como se hace en las ecuaciones (1.74) y (1.79) para el petróleo 
y el agua respectivamente. Así se tiene
(1.95)
(1.96)
Sustituyendo las ecuaciones (1.72), (1.77) y (1.75) en la ecuación (1.91), 
se obtiene la ecuación fundamental de flujo para el gas en términos de su 
pseudopotencial
37
1. Flujo en medios porosos
(1.97)
Similarmente, sustituyendo las ecuaciones (1.74), (1.79) y (1.96) en la 
ecuación (1.91), se obtiene la ecuación fundamental de flujo para el gas 
en términos de las presiones
(1.98)
Las ecuaciones (1.75), (1.80) y (1.98) más la ecuación 
(1.99)
deben resolverse simultáneamente para encontrar las presiones de cada 
una de las fases y una saturación, suponiendo ya conocida otra de las sa-
turaciones. Este procedimiento se usa fundamentalmente en simulación 
de yacimientos. 
Perrine, para resolver el problemade flujo multifásico, plantea resolver la 
siguiente ecuación 
(1.100)
donde
(1.101)
(1.102)
(1.103)
(1.104)
(1.105)
La ecuación (1.103) es una expresión para calcular la compresibilidad del 
petróleo por debajo del punto de burbujeo, y se obtiene de la siguiente 
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
38
manera: supongamos un barril normal de petróleo, el cual bajo una presión 
P1 ocupa en condiciones de yacimiento un volumen Bo1, y cuando la presión 
ha caído a P2 el volumen que ocupa el sistema es Bo2 + Bg(Rs1– Rs2). Por 
tanto, aplicando la definición de compresibilidad se tiene
la expresión anterior puede plantearse como
 
La ecuación (1.104) puede obtenerse siguiendo un procedimiento igual 
al de la (1.103), y la ecuación (1.105) se obtiene tomando un volumen de 
gas igual a Bg y aplicando la definición de compresibilidad.
1.5 Obtención de la ecuación de difusividad 
en coordenadas cilíndricas
La ecuación de flujo radial incluye solo una dirección de flujo, el radio. O sea 
que supone que en un plano horizontal, en todas las direcciones radiales, las 
propiedades del yacimiento son las mismas y, además, que dos planos hori-
zontales en dos posiciones z cualesquiera son idénticos. En la práctica, en un 
yacimiento cilíndrico habrá flujo en la dirección radial, en la dirección angular 
y en la dirección vertical y, por tanto, para describir este flujo, especialmente 
en simulación de yacimientos, se requiere la ecuación de difusividad en coor-
denadas cilíndricas.
Para obtener la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas se considera 
flujo en las direcciones radial, tangencial y vertical. El esquema de la figura 
1.17 muestra un volumen de control teniendo en cuenta tales coordenadas.
Figura 1.17 Elemento de volumen para flujo en coordenadas cilíndricas
En dicho volumen de control, el balance de masa se mide de la siguiente forma
39
1. Flujo en medios porosos
(1.106)
De acuerdo con el diagrama del volumen de control, puede notarse que
(1.107)
uSes la velocidad de flujo por unidad de área en la dirección tangencial.
Sr es la longitud de arco, al radio (r), debida al cambio angular (∆θ)
(1.108)
∆Sr+∆r es la longitud de arco, en el radio (r+∆r), debida al cambio angular 
(∆θ)
(1.109)
donde
(1.110)
(1.111)
reemplazando las ecuaciones (1.107) a (1.109) y la ecuación (1.111) en 
la (1.106), además de cancelar términos semejantes y de despreciar el 
producto de mayor orden entre diferenciales y dividiendo, a su vez, entre 
(r∆r∆θ∆z∆t), se obtiene
(1.112)
Si se consideran los deltas (∆r, ∆θ, ∆z, ∆t) tan pequeños, de tal forma que la 
ecuación anterior se pueda expresar en diferenciales, se obtiene la ecuación 
de conservación de masa en forma diferencial o ecuación de continuidad
(1.113)
La ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas se obtiene al combinar 
la ecuación (1.113) y la ley de Darcy para flujo radial, angular y vertical.
La ley de Darcy para flujo radial es
(1.114)
La ley de Darcy para flujo angular consiste en la velocidad debida al dife-
rencial de presión entre dos puntos separados por una distancia ∂S
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
40
(1.115)
donde es la longitud de arco entre los puntos considerados
Y la ley de Darcy para flujo vertical, despreciando efectos gravitacionales es 
(1.116)
De tal forma que la ecuación (1.113) se transforma en
(1.117)
Para un fluido levemente compresible en un medio isotérmico se ha asu-
mido convencionalmente compresibilidad constante. De acuerdo con esto, 
cumple con la ecuación (1.2), y suponiendo también la compresibilidad 
de poro constante, la porosidad cumple con la ecuación (1.27). O sea que 
la ecuación (1.117) se convierte en
(1.118)
La ecuación (1.118) es la ecuación general de difusividad en coordenadas 
cilíndricas para el flujo monofásico de cualquier fluido a través de un medio 
poroso isotérmico. En forma vectorial, la ecuación general de difusividad, 
en coordenadas cilíndricas se logra considerando el operador divergencia 
(∇.) y el gradiente (∇). De esta manera la ecuación (1.117) se expresa:
(1.119)
1.6 Variables adimensionales
Son grupos de variables sin dimensiones, aunque son dominadas por una va-
riable en particular. Se usan, básicamente, para lograr soluciones generales de 
una ecuación dada sin tener en cuenta, por ejemplo, en el caso de la ecuación 
de difusividad, efectos como unidades de las variables, tipo de fluidos, etc.
En el caso de la ecuación de difusividad, las variables más importantes son
41
1. Flujo en medios porosos
(1.120)
(1.121)
(1.122)
Cuando r = rw → rD = 1 y PD (rD, tD) = PD (1, tD)= PD (tD)
(1.123)
Las ecuaciones (1.120) a (1.123) en unidades de campo (μ, cp; h, pie; t, 
día, h; P, Lpc; q, BN/D; k, md; rw, pie), toman la siguiente forma
(1.124)
(1.125)
(1.126)
La aplicación principal de las variables adimensionales es obtener una forma 
de la ecuación de difusividad que no dependa de las unidades usadas para 
las variables, y esto se puede alcanzar a partir de las ecuaciones (1.120) a 
(1.123), de donde pueden obtenerse las expresiones
Evaluación de yacimientos de hidrocarburos
42
Llevando las expresiones anteriores a la ecuación (1.54) se tiene, despre-
ciando el efecto de fuentes y sumideros
(1.127)
La ecuación (1.127) es la forma de la ecuación de difusividad en variables 
adimensionales para fluido ligeramente compresible en flujo radial. Ella, 
como se ve, es más sencilla que cuando se expresa en variables dimensio-
nales, como en la ecuación (1.54).
1.7 Ecuación de difusividad en yacimientos 
sensitivos a esfuerzos
A partir de la ecuación (1.54) es posible llegar a formas más simples para 
la ecuación de difusividad porque, al suponer tanto el caso de propiedades 
físicas independientes y dependientes de la presión, el término (δP/δr)2 se 
iguala a cero. Esto aunque no alineaba completamente la ecuación, permi-
tía llevarla a una forma donde era más aceptable suponer que era lineal. 
Existen yacimientos donde el gradiente de presión ya no es despreciable, 
especialmente en zonas cercanas a la pared del pozo, pues la permeabilidad 
es altamente dependiente del estado de esfuerzos realizados en ciertos yaci-
mientos. Este es el caso de los yacimientos conocidos como apretados y de 
los yacimientos naturalmente fracturados, los cuales se conocen en general 
como yacimientos sensitivos a esfuerzos. La ecuación de difusividad para 
este tipo de yacimiento es altamente no lineal y, por tanto, sus soluciones 
no serán similares a las obtenidas cuando la ecuación se considera lineal, 
aunque se apliquen las mismas condiciones iniciales y de límite.
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1. Flujo en medios porosos
Se han planteado varias formas de alinear la ecuación de difusividad para 
el caso de yacimientos sensitivos a esfuerzos entre las cuales se puede 
mencionar la siguiente:
Introducir una función pseudopresión similar a la utilizada en el caso de 
gases reales, pero incluyendo la presión y/o la porosidad. Según Raghavan, 
esta se definide como
(1.128)
según Vairogs
(1.129)
y según Ostensen
(1.130)
Cuando se usa esta opción, con cualquiera de las tres ecuaciones anteriores, 
se obtiene una ecuación de difusividad que presenta una forma similar a 
la (1.54), solo que en lugar de P se tiene m(P). Estas ecuaciones son no 
lineales, pero para tratarlas como lineales se calcula el coeficiente del tér-
mino derecho de la ecuación a la presión inicial del yacimiento. Además, 
para evaluar m(P) se debe recurrir a la integración numérica, y para ello, 
es necesario tener una relación para k(P) en función de la presión o del 
esfuerzo. Los tres autores anteriores presentan cada uno formas diferentes 
de obtener k(P). Una forma simple es usando un concepto conocido como 
módulo de permeabilidad, el cual está definido por 
(1.131)
Esto permite expresar la permeabilidad como
(1.132)
Este es el método propuesto por Pedrosa(7) y con las ecuaciones (1.131) 
y (1.132) es posible tener una ecuación de difusividad para yacimientos