CUADERNILLO-MATEMAüTICA-2022

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NOTAS PRELIMINARES 
DE MATEMÁTICA 
Ingreso FRT -UTN 2022 
 
 
Lic. Adriana Moya 
Coordinadora Área Matemática 
Lic. Aida Fernández 
Editora Aula Virtual Matemática 
UTN-FRT 1 
 
 
ÍN D I C E 
 
SÍMBOLOS ……...…………………………………………………………………………………………………..…………………………………………… Pág. 2 
 
UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS – NOCIONES BÁSICAS DE 
GEOMETRIA 
• TRABAJO PRÁCTICO N°1 ..…………………………………………………………………………………………Pág. 3 
 
UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
• TRABAJO PRÁCTICO N°2……………………………………………………………………………………… Pág. 27 
 
UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA 
• TRABAJO PRÁCTICO N°3…………………………………………….…………………………………………………Pág. 47 
 
UNIDAD 4: ECUACIONES 
• TRABAJO PRÁCTICO N°4 …………………………………………………………………………………………. Pág. 71 
 
UNIDAD 5: FUNCIONES 
• TRABAJO PRÁCTICO N°5 …………………………………………………………………………………… Pág. 88 
 
 
 
 
 
UTN-FRT 2 
 
 
Símbolos Matemáticos 
 
 
Alfabeto Griego 
 alfa  beta  gamma  delta 
 épsilon  lambda  mu  rho 
 pi  sigma  psi  omega 
 
= igual a ∧ y 
≠ no es igual a ∨ o, en sentido inclusivo 
≅ aproximado a ∨ o, en sentido exclusivo 
< menor que  implica (condición necesaria) 
≮ no es menor que  
Implica doblemente (condición 
necesaria y suficiente) 
> mayor que ∴ Por lo tanto; en consecuencia 
≯ no es mayor que / Tal que 
≤ menor o igual que ∃ Existe 
≥ mayor o igual que ∀ Para todo 
± mas o menos ∈ Pertenece 
∞ Infinito ⊆ Incluido en 
∝ proporcional a ⊂ Incluido estrictamente en 
// paralelo a ⊇ Incluye a 
⊥ perpendicular a ⊃ Incluye estrictamente a 
∡ ángulo ∪ Unión o junta 
⊾ ángulo recto ∩ Intersección o reunión 
UTN-FRT 3 
 
 
 
 
UNIDAD N°1 
 
 
 
 
 
Números Naturales 
Números Enteros 
Números Racionales e Irracionales 
Números Reales 
➢ Propiedades de los números reales 
➢ Operaciones entre los números reales 
Potenciación y Radicación 
Intervalos 
Valor Absoluto 
Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes 
UTN-FRT 4 
 
 
NOCIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS 
Los términos: conjunto, elemento y pertenencia son “conceptos primitivos” en la teoría 
de conjuntos por lo que no se dará una nueva definición de ellos. 
 
Cuando hablamos de un conjunto nombrando o enumerando uno a uno los elementos 
que forman parte del mismo, decimos que lo hemos expresado por extensión. 
Ejemplo: A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos, decimos 
que el conjunto está expresado por comprensión. 
Ejemplo: A= {x / x es un dígito} 
En la última expresión, la barra inclinada “/” se lee como “tal que”. 
 
Relación de pertenencia e inclusión 
Operaciones entre conjuntos 
Unión 
 Ejemplo 
Para designar o nombrar a los conjuntos se utilizan letras de 
imprenta mayúsculas 
A, B, C, etc. 
Los elementos de los conjuntos se simbolizan con letras de 
imprenta minúsculas 
a,b,c, etc 
Para representar un conjunto se utiliza el símbolo de las 
llaves 
{ } 
 Ejemplo 
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto a ∈ A 
Para representar que un elemento que no pertenece a un 
conjunto 
𝑎 ∉ A 
Para representar que un conjunto A está incluido o 
contenido en un conjunto B 
A ⊂ B 
Para representar que un conjunto A no está incluido o no 
está contenido en un conjunto B 
A  B 
UTN-FRT 5 
 
 
Dados dos conjuntos, A y B, se llama unión de A con B a otro conjunto que tiene todos 
los elementos de A y de B. En símbolos: A U B 
A U B = {x / x  A  x  B} 
 
Intersección 
Dados dos conjuntos, A y B, se llama intersección de A y B a otro conjunto que tiene 
sólo los elementos comunes de A y B. En símbolos: s: A ∩ B 
 
A ∩ B = {x / x  A  x  B} 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Números Naturales 
Los números 1, 2, 3, 4, 5, … reciben el nombre de números naturales o enteros positivos. 
Al conjunto de estos números se los simboliza por ℕ o por ℤ+. 
Entonces: 
 ℕ =ℤ+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Si lo incluimos al 0 en el conjunto de los naturales lo denotamos como: 
ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
Propiedades 
1- El conjunto de los números naturales es infinito. 
2- Tiene primer elemento y no tiene último elemento. 
3- Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen 
consecutivos. Ejemplo: 6 es el sucesor de 5⇒5 y 6 son consecutivos. 
4- Todo número, excepto el primer elemento, tiene un antecesor 
Operaciones posibles en N0 
Las operaciones de adición (suma) y multiplicación (producto) son siempre posibles en 
N0. La adición y multiplicación se dicen “cerradas” en el conjunto de los números 
naturales, es decir: 
Si a ∈ ℕ y b ∈ ℕ entonces (a + b) ∈ ℕ. Ejemplo: 2 ∈ ℕ y 4 ∈ ℕ ⇒ 2+4=6 ∈ ℕ 
Si a ∈ ℕ y b ∈ ℕ entonces (a. b) ∈ ℕ. Ejemplo: 3 ∈ ℕ y 7 ∈ ℕ ⇒ 3.7=21 ∈ ℕ 
Otras operaciones no siempre son posibles en ℕ0, por ejemplo, la sustracción. 
 
UTN-FRT 6 
 
 
Ejemplo: 5 ∈ ℕ y 8 ∈ ℕ pero 5-8=-3 ∉ ℕ 
Para resolver estos casos, como una extensión del conjunto de los naturales se crearon 
los números enteros. 
Números Enteros 
El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra ℤ, es decir: 
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 
Otra forma de denotarlo es: 
ℤ =ℤ− U {0} U ℤ+ 
Siendo: ℤ−-= {…, -5, -4, -3, -2, -1} 
 ℤ+= {1, 2, 3, 4, 5, …} 
Propiedades 
1- El conjunto de los números enteros es infinito. 
2- No tiene primero ni último elemento. 
3- Todo número entero tiene un sucesor. Un número entero y su sucesor se dicen 
consecutivo. Ejemplo: -3 es el sucesor de -4 ⇒-3 y -4 son consecutivos 
4- Todo número entero tiene un antecesor. Ejemplo: -7 es el antecesor de -6. 
Operaciones posibles en Z 
Las operaciones de adición (suma), sustracción (resta) y multiplicación (producto) son 
siempre posibles en ℤ. Estas operaciones se dicen “cerradas” en el conjunto de los 
números enteros. 
Otras operaciones no siempre son posibles en ℤ, por ejemplo, la división (cociente) 
Ejemplo: 5 ∈ Z y 8 ∈ ℤ pero 5/8 ∉ ℤ 
Para resolver estos casos, como una extensión del conjunto de los enteros se crearon 
los números racionales. 
Números Racionales 
El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra ℚ, es decir: 
ℚ = {
𝑎
𝑏
/𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0} 
Propiedades 
1- El conjunto de los números racionales es infinito. 
2- No tiene primero ni último elemento. 
3- Ningún número racional sucesor ni antecesor. 
 
Operaciones posibles en Q 
Las operaciones de adición (suma), sustracción (resta), multiplicación (producto) y la 
división (con divisor distinto de cero) son siempre posibles en ℚ. Estas operaciones se 
dicen “cerradas” en el conjunto de los números racionales. 
UTN-FRT 7 
 
 
Expresión decimal de un racional 
A todo número racional se lo puede expresar en forma decimal. Al dividir a por b (b 
distinto de cero), se obtiene una expresión decimal del número racional. 
Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal 
puede tener un número finito o infinito de cifras periódicas, puras o mixtas. 
Ejemplos: 
Decimal finita: 0,5; - 2, 43; 14, 456 
Decimal periódica pura: 0, 4⏜ = 0,4444. .. ; 8, 13⏜ = 8,131313. . .. 
Decimal periódica mixta: 0,1 8⏜ = 0,18888. . . .. ; 7,3 16⏜ = 7,3161616. . .. 
 
Para transformar una expresión decimal en una fracción, lo veremos con los siguientes 
ejemplos: 
 Ejemplos 
 
 
 
 
Para convertir una expresión decimal finita a fracción 
 0,5 =
5
10
=
1
2
 
−2,43
= −
243
100
 
14,456
=
14456
1000
=
1807
125
 
 
 
Para convertir una expresión decimal periódica pura a fracción 
0, 4⏜ =
4
9
 
8, 13⏜
=
813 − 8
99
=
805
99
 
UTN-FRT 8 
 
 
 
Números Irracionales 
Los números irracionales son números que no son racionales. Son aquellos números 
cuya representación decimal es infinita y no periódica, por lo que estos números no 
pueden ser expresados como cocientede dos números enteros. 
El conjunto de los números irracionales se simboliza con la letra 𝐼, es decir: 
𝐼 = {𝑎/𝑎 ∉ ℚ} 
 
Ejemplos: 
√2 = 2,41421356…; 
𝜋 = 3,14159…; 
√5
3
= 1,709975…; 
e = 2,718281828459045… 
 
Números Reales 
El conjunto de los números racionales ℚ y el conjunto de los números irracionales 𝐼, 
forman el conjunto de reales ℝ. 
El conjunto de los números reales se simboliza con la letra ℝ, es decir: ℝ = ℚ ∪ 𝐼. 
El siguiente cuadro te muestra las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos 
hasta llegar a los números reales. 
Naturales: ℕ0 
enteros negativos: ℤ− Enteros: ℤ Racionales ℚ 
 
 Fraccionarios: F Reales:ℝ 
 
 Irracionales: 𝐼 
 
Para convertir una expresión decimal periódica mixta a fracción 
0,1 8⏜
=
18 − 1
90
=
17
90
 
7,3 16⏜
=
7316 − 73
990
=
7243
990
 
UTN-FRT 9 
 
 
Propiedades 
1- El conjunto de los números reales es infinito 
2- No tiene primero ni último elemento 
 
Propiedades de la igualdad 
Nombre En símbolos 
Reflexibilidad ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 = 𝑎 
Simetría ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 𝑎 
Transitividad ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑐 
 
Operaciones posibles en R 
En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones básicas, la adición 
y la multiplicación. 
Si a y b son números reales, entonces a + b se llama Suma y es el resultado de la 
adición entre a y b y el Producto a. b es el resultado de multiplicar a y b. 
En la adición a y b reciben el nombre de sumandos y en la multiplicación factores. 
 
Propiedades de la adición y la multiplicación 
Nombre de 
la propiedad 
Adición y multiplicación 
Ley de 
composición 
interna 
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ 
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎. 𝑏 ∈ ℝ 
Conmutativa ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 
Asociativa ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) 
Elemento 
neutro 
∃0 ∈ 𝑅: ∀𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 
∃1 ∈ 𝑅: ∀𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎. 1 = 1. 𝑎 = 𝑎 
Existencia 
del 
∀𝑎 ∈ 𝑅, ∃ − 𝑎 ∈ 𝑅: 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 
UTN-FRT 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ten en cuenta: 
Dados a y b números reales, con b≠0, entonces existen q y r tales que: 
𝒂 = 𝒃. 𝒒 + 𝒓 con 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒃 
Ejemplo: Divide 13 en 3 
 𝟏𝟑 |𝟑 
−𝟏𝟐 𝟒 
 𝟏 
 por lo que 𝟏𝟑 = 𝟒. 𝟑 + 𝟏 
 
Representación de los números reales en la recta 
El conjunto de los números reales es la unión de los racionales con los irracionales, esto 
implica que el conjunto de los números reales es continuo, es decir, el conjunto de los 
números reales completa la recta numérica. En consecuencia, a todo número real le 
corresponde un punto de la recta. A todo punto de la recta, le corresponde un número 
real. 
 
 
 
 
 
POTENCIACIÓN 
Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces la potencia n-ésima de a se 
define como: 
an=a.a.a…a (n factores de a) , donde n es el exponente y a es la base. 
 
Además, si a≠0 
 a0=1 y a-n=
1
𝑎𝑛
 
Ejemplos: 
elemento 
inverso 
∀𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1 =
1
𝑎
∈ 𝑅: 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1𝑎 = 1 
Distributiva ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, (𝑏 + 𝑐). 𝑎 = 𝑏. 𝑎 + 𝑐. 𝑎 
ORIGEN 
SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO 
UTN-FRT 11 
 
 
1. 23=8 porque 23=2.2.2 
2. (-3)4=81 porque (-3)4= (-3) (-3) (-3) (-3) 
3. (-7)3=-343 porque (-7)3= (-7) (-7) (-7) 
4. -22=-4 
5. (
2
5
)
2
=
2
5
2
5
=
4
25
 
 
Propiedades: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ 
Propiedad Ejemplos 
𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 72. 76 = 72+6 = 78 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛−𝑚, 𝑎 ≠ 0 
6−3
6−4
= 6−3−(−4) = 61 = 6 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚 (32)5 = 32.5 = 310 
(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛. 𝑏𝑛 (2. 𝑥)3 = 23. 𝑥3 = 8. 𝑥3 
(
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 (
𝑦
−3
)
2
=
𝑦2
(−3)2
=
𝑦2
9
 
 
Ejemplos: 
1. (−3. 𝑥)2. 𝑥−4 = (−3)2. 𝑥2. 𝑥−4 = 9. 𝑥2−4 = 9. 𝑥−2 =
9
𝑥2
 
2. (
2
3
𝑥2𝑦3)
4
= (
2
3
)
4
(𝑥2)4(𝑦3)4 =
16
81
𝑥2
.4
𝑦3
.4
=
16
81
𝑥8𝑦12 
 
Ten en cuenta: 
La potenciación no es distributiva con respecto a la suma ni a resta. 
Ejemplos: 
1. (𝑥 + 2)2 ≠ 𝑥2 + 22 
2. (𝑥 − 1)2 ≠ 𝑥2 − 12 
 
RADICACIÓN 
Si n es un entero positivo par y a un número real no negativo entonces la raíz n-ésima 
de a se define como el único número real b no negativo tal que: 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎, donde n es el índice y a es el radicando. 
 
Ejemplo: √27
3
= 3porque 33=27 
UTN-FRT 12 
 
 
Si n es un número entero positivo impar, n≠1 y a es un número real cualquiera, entonces 
la raíz n-ésima de a se define como el único número real b tal que: 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎, donde n es el índice y a es el radicando. 
 
Ejemplo: √−32
5
= −2 porque (-2)5=-32 
 
Ejemplos: 
1. √81 = 9 
2. √−8
3
= −3 
3. √−4no es un número real 
4. √
25
9
=
5
3
 
Propiedades: ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑎 ≠ 0, 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ 
Propiedad Ejemplos 
√𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
 √4𝑥4 = √4√𝑥4 = 2𝑥2 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
𝑏
, 𝑏 ≠ 0 √
8
343
3
=
√8
3
√343
3 =
2
7
 
√ √𝑎
𝑛
𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
 √√64
3
= √64
6
= 2 
𝑎 > 0, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛𝑝𝑎𝑟 √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎𝑚/𝑛 
𝑎 < 0, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎𝑚/𝑛 
√82
3
= 82/3 = (√8
3
)
2
= 4 
(−125)1/3 = √−125
3
= −5 
 
Racionalización del denominador 
Ejemplos: 
1. 
2
√7
=
2
√7
√7
√7
=
2√7
(√7)
2 =
2√7
7
 
2. 
2
√𝑥2
5 =
2
√𝑥2
5
√𝑥3
5
√𝑥3
5 =
2 √𝑥3
5
√𝑥2𝑥3
5 =
2 √𝑥3
5
√𝑥5
5 =
2 √𝑥3
5
𝑥
, 𝑥 ≠ 0 
 
Recuerda: (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
3. 
3
√𝑥+𝑦
=
3
√𝑥+𝑦
(√𝑥−𝑦)
(√𝑥−𝑦)
=
3(√𝑥−𝑦)
(√𝑥)
2
−𝑦2
=
3(√𝑥−𝑦)
𝑥−𝑦2
 
 
 
UTN-FRT 13 
 
 
Ten en cuenta: 
La radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a resta. 
Ejemplo: 
√36 + 64 ≠ √36 + √64 
√100 ≠ 6 + 8 
 10 ≠ 14 
 
 
INTERVALOS REALES 
Los conjuntos numéricos más frecuentes son los intervalos de la recta real. 
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏 
• Intervalo abierto (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
 
• Intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
• Intervalo semiabierto o semicerrado 
𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
 
𝑎, 𝑏 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
 
• Intervalos infinitos 
(𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > 𝑎} 
 
[𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≥ 𝑎} 
 
(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 𝑏} 
 
(−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 𝑏} 
 
(−∞,∞) = ℝ 
 
 
Ejemplos: 
1. −1,4 = {𝑥 ∈ ℝ/−1 < 𝑥 ≤ 4} 
UTN-FRT 14 
 
 
 
2. −∞, 2 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 2} 
 
Resuelve (−2,5) ∩ 0,5 = {𝑥 ∈ ℝ/−2 < 𝑥 < 5 ∧ 0 < 𝑥 ≤ 5} = (0,5) 
 
 
 
VALOR ABSOLUTO 
Para todo número real x, el valor absoluto de x, es igual a: 
|𝑥| = {
𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 < 0
 
El valor absoluto de un número se interpreta geométricamente como la distancia del 
número al 0 en la recta numérica. 
Ejemplos: 
a) |0| = 0 porque 0 ≥ 0 
b) |- 3,1| = - (-3,1) = 3,1 porque -3, 1<0 
c) |7 | = 7 porque 7 ≥ 0 
Algunas propiedades 
1. ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ⇒ |𝑎| > 0 
2. ∀𝑎 ∈ ℝ, |−𝑎| = |𝑎| 
3. ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, |𝑎. 𝑏| = |𝑎||𝑏| 
4. ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0, |𝑎: 𝑏| = |𝑎|: |𝑏| 
5. ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| 
6. ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, (|𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎) 
7. ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑎 > 0, (|𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑎 ∨ 𝑥 ≥ 𝑎) 
Ejemplos: 1. Determina el conjunto solución de: |𝑥 + 1| = 7 
|𝑥 + 1| = 7 
𝑥 + 1 = 7ó𝑥 + 1 = −7 
𝑥 = 6ó𝑥 = −8 
𝐶𝑆 = {−8,6} 
2. Determina el conjunto solución de:|2𝑥 − 3| ≤ 1 
UTN-FRT 15 
 
 
|2𝑥 − 3| ≤ 1 
−1 ≤ 2𝑥 − 3 ≤ 1 
−1 + 3 ≤ 2𝑥 − 3 + 3 ≤1 + 3 
2 ≤ 2𝑥 ≤ 4 
2
1
2
≤ 2𝑥
1
2
≤ 4
1
2
 
1 ≤ 𝑥 ≤ 2 
𝐶𝑆 = [1,2] 
 
Ten en cuenta: 
1. ∀𝑥 ∈ ℝ, √𝑥2 = |𝑥| 
2. La distancia d entre dos puntos a y b en la recta real es: 
 𝑑 = |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎| 
 Ejemplo: 
 
 
NOTACIÓN CIENTÍFICA 
La notación científica es una manera concisa para escribir números muy grandes o muy 
pequeños. 
Ejemplos: 
5,98×1024 kilogramos es la masa aproximada de la tierra; 
1,67 10−27 kilogramos es la masa de un protón. 
Un número positivo está escrito en notación científica si tiene la forma 
a, bcd…x10n donde la parte entera a <10 y n es un número entero. 
Reglas de conversión: 
Ejemplos: 
1. La distancia a la que Plutón se encuentra del sol es: 7.600.000.000.000 metros, 
en notación científica lo escribimos como: 7,6x1012 metros. 
2. El peso de un átomo de hidrógeno es 0, 00000000000000000000000166. En 
notación científica lo escribimos como: 1, 66 x 10-23. 
3. Escribe en notación científica: 125,145 x 108 = 1,25145 x 1010. 
Operaciones con notación científica 
Ejemplos: escribir en notación científica el resultado de las siguientes operaciones 
UTN-FRT 16 
 
 
1. (3,74x10-2). (5,723x106) = (3,74. 5,723) x (10-2.106) 
 = 21,404 x 104=2,1404 x 105 
2. 
(2,16𝑥104)(1,256𝑥10−12)
3,17𝑥10−18
= 8,56𝑥109 
 
APLICACIONES A LA GEOMETRÍA 
Para resolver problemas aplicaremos la siguiente metodología: 
• Comprender el problema: Leer cuidadosamente el enunciado. Identificar datos e 
incógnitas. Representar, si es posible, gráfica o geométricamente. 
• Diseñar un plan de acción: Elaborar una estrategia de resolución, vinculando datos 
e incógnitas. 
• Ejecutar el plan: Justificar y explicar los pasos seguidos. 
• Examinar la solución obtenida: Analizar si la respuesta tiene sentido, si se cumplen 
las condiciones, y realizar la verificación correspondiente. 
Fórmulas de la geometría 
 
 
 
UTN-FRT 17 
 
 
Ten en cuenta: 
1. Teorema de Pitágoras 
 
2. Fórmula de Herón 
 
 
 
 
 
Tabla de áreas totales (A) y volúmenes (V) 
 
 
 
 
 
Donde a y b son 
catetos y h es la 
hipotenusa 
UTN-FRT 18 
 
 
Tabla de áreas totales (A) y volúmenes (V) 
 
 
Ejemplo: R, S y T son centros de circunferencias. ABCDEF es un hexágono regular. 
Calcule el área de la figura sombreada. 
 
Comprendemos el problema, identificando los datos: 
Sabemos que el área de un polígono regular es: A=P.a/2 y de una semicircunferencia 
es: (2πR) /2 
Debemos calcular el área sombreada. 
Diseñamos un plan de acción: 
Calculamos el área del hexágono y le restamos el área de las 3 semicircunferencias 
Ejecutamos el plan: 
El perímetro de hexágono es: P=nxl=6x4=24 
UTN-FRT 19 
 
 
Para calcular el área del hexágono, necesitamos conocer la apotema, que lo 
calcularemos mediante el teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Por lo tanto, el área del polígono regular es: A=(24x2√3)/2=24√3 
El área de cada semicircunferencia es: 2π 
El área sombreada resulta: (24√3-6π) cm2 
Verificamos: 
Verificamos que el resultado obtenido es un número positivo, ya que estamos calculando 
un área. 
 
Por el teorema de Pitágoras 
2 2 2
2 2 2
2 4
4 2
16 4
12 2 3
a
a
a
a
+ =
= −
= −
= =
 
 
UTN-FRT 20 
 
 
Trabajo Práctico N° 1 
“Los números reales y su aplicación a la geometría” 
1. Sean los siguientes conjuntos: A = { 3; 0; -e; 1, 74⏜; √3; -3; −
1
4
; 𝜋 } 
B = { √−11
3
; -3; -0,25; 0; -2; 𝜋; -
√3
3
 } , C = { 
1
2
; 0; -2; √9; 𝜋; -
√3
3
 } 
Resuelve las siguientes operaciones: 
a.𝐴 ∩ 𝐵 b. 𝐴 ∩ ℚ c. 𝐵 ∩ 𝐼 d. 𝐵 ∩ ℕ e. 𝐵 ∪ 𝐶 f. 𝐶 ∩ ℕ 
 
2. Transforme las siguientes expresiones decimales en fracciones 
a. 0,12 b. 3,58484… c. 4,2727… 
d. 5,4132132… e. 2,8666… f. 89,753 
 
3. Escribe como número decimal y clasifique la expresión que obtenga 
a. 
25
14
 b. 
3
11
 c. 
77
36
 d. 
61
9
 
 
4. Dadas las siguientes proposiciones indique cuál es verdadera y cuál es falsa: 
a) El producto de un número impar de números negativos es negativo. 
b) La diferencia de dos números positivos es siempre positiva 
c) El cociente de un número positivo y otro negativo es siempre un número negativo 
d) La diferencia de un número positivo y otro negativo es siempre un número 
negativo 
e) La suma de dos números irracionales es necesariamente otro número irracional 
 
5. Califica de Verdadero (V) o Falso (F). Justifica tu respuesta 
a. (3 + 4)2 = 32 + 42 
b. (12: 4)2 = 122: 42 
c. 32. 34. 33 = 39 
d. (4. 𝑥. 𝑦)3 = 64. 𝑥. 𝑦 
e. (6𝑎𝑏𝑐 ∶ 2𝑎𝑐)3 = 3𝑏3 
f. √36 + 64 = √36 + 8 
g. (42)345 = 4 
h. √(−7)2 = −7 
i. (−1)−1 = 1 
UTN-FRT 21 
 
 
j. (𝑎2)3 = 𝑎(2
3) 
6. Aplique propiedades de potenciación y escribe cada expresión de manera que todos los 
exponentes sean positivos. 
a. (
2 𝑥3 𝑦−3
8 𝑥4 𝑦2
)
−1
 b. (
7 𝑎4 𝑏−4
2 𝑎2 𝑏2
)
−2
 c. (
3 𝑥−3 𝑦4
10 𝑥2 𝑦6
)
−1
 
d. (
5 𝑎2 𝑏3
125 𝑎−4 𝑏−5
)
−1
 e. (
9 𝑥 𝑧−2
27 𝑥−4 𝑧
)
−3
 f. (
3 𝑥2 𝑦5
𝑥3 𝑦
)
3
 
 
7. Resuelve 
a. 
42:7+2.(−6)
4+(−3).6−10
+ 2. (
1
2
)
2
. 23. 2−5 b. 21 2⁄ . 2−3 2⁄ . 20 + (
0,125+0.45−0.075
0.75−0.625
)
2
 
c. 1,29̂ + 0,73̂ − 2, 5̂ d. 
810.25+9−0.5
(−27)1 3⁄ +(−8)2 3⁄
 
e. 
10𝑥+𝑦.10𝑦−𝑥.10𝑦+1
10𝑦+1.102𝑦+1
 f. √√163
3
+ √3
3
√32
3
√36
3
+ [2 (
1
3
+ 1)]
2
: [(
3
5
− 3)
5
3
]
2
 
 
8. Exprese los siguientes radicales como potencia de exponente racional y resuelve 
a. √59
3
 b. √174 
c. √
3 √3
√3
4
5
 
d. √272
3
 e. √1002
4
 
f. 
𝑎−2√
1
𝑎
√𝑎−5
3 
9. Racionalice los denominadores 
a. 
3
√2
 b. 
2−𝑥
√𝑥
 c. 
3 𝑎
√9 𝑎
 d. 
𝑥−𝑦
√𝑥+√𝑦
 
e. 
−7
√𝑎2
3 f. 
2
√𝑧−3
 g. 
5
√𝑥
4 h. 
4−𝑥2
2+√𝑥
 
10. Indique la expresión correcta: √𝑥 − √𝑦 = 
i. 
𝑥+𝑦
√𝑥+√𝑦
 ( ) ii. 
𝑥−𝑦
√𝑥+√𝑦
 ( ) iii. 
𝑥+𝑦
√𝑥−√𝑦
 ( ) 
 
11. Un estudio del medio ambiente, realizado en una determinada ciudad, sugiere que el 
nivel promedio diario de smog en el aire será 𝑄 =
0.5 𝑝+19.4
√0.5 𝑝+19.4
 unidades cuando la 
población sea 𝑝 (en miles). 
a) Racionalice la expresión de 𝑄 
UTN-FRT 22 
 
 
b) Determine el valor exacto de la expresión anterior cuando la población sea de 
9800 habitantes. 
 
12. Se espera que la población 𝑃 de una determinada ciudad (en miles) crezca de acuerdo 
con 𝑃 =
221−3𝑡
15−√3𝑡+4
, donde el tiempo 𝑡 está medido en años 
a) Racionalice el denominador y simplifique la expresión. 
b) Calcule la población de la ciudad dentro de 4 años. 
 
13. La madre de Gabriela compra 6 kg. de ciruelas para hacer mermelada. Los carozos 
quitados representan ¼ del peso de las frutas. Añade un peso de azúcar igual al peso 
de la pulpa que queda. La mezcla pierde por la cocción 1/5 de su peso. 
Determine el número de potes de 375 gramos que puede llenar con el dulce de ciruelas 
elaborado. 
 
14. Determine el conjunto solución y represente gráficamente 
a. 𝑥 + 5 ≤ 2 b. −7 ≤ 𝑥 + 1 ≤ −2 
c. 1 − 𝑥 < 4 𝑦 1 − 𝑥 > −3 d. −(𝑥 + 2) < 1 𝑦 − (𝑥 + 2) > 0 
e. 3𝑥 + 7 > 1 𝑦 2𝑥 + 1 ≤ 3 f. −2𝑥 − 5 ≤ 7 
 
15. Determine el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a -3 sea menor 
que 5. 
 
16. Determine el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a 3 es mayor 
o igual que 4. 
 
17. Determine el conjunto solución 
a. |𝑥| − 5 = 1 b. |2𝑥 + 3| = 1 c. |3𝑥 + 6| + |𝑥 + 2| = 16 
d. |𝑥 − 2| ≤ 3 e. |𝑥 + 1| > 2 f. |𝑥| − (2|𝑥| − |−8|) = |−3| + 5 
 
18. Exprese a cada número en notación científica 
a. 3245,17 x 104 b. 716,392 x 10-5 
c. 0,00000842 d. 0,0025 x 107 
UTN-FRT 23 
 
 
e. 542000000000 f. 643,17 x 10-6 
 
19. Resuelve y exprese el resultado en notación científica 
a. (3,54 . 10−2)(5,273 . 106) b. 
(2,16 . 104)(1,256 . 10−12)
3,17 .10−18
 
c. 
9,21 . 108
3,06 . 105
 d. (2,33 . 10
4)(4,11 . 103)20. La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 4 . 108 metros. Exprese esa 
distancia como un numero entero. ¿Como se lee? 
 
21. Durante el año 2018, Argentina realizó exportaciones a Brasil por un monto aproximado 
de 17.500 millones de dólares. Exprese este monto utilizando notación científica. 
 
22. El robot explorador espacial Curisity de la NASA recorrió 567 millones de km para 
aterrizar en el planeta Marte el 6 de agosto de 2012 a los 8 meses y 17 días de su 
partida. Exprese en km la distancia recorrida usando notación científica. 
 
23. Exprese mediante radicales las medidas de: 
a. El lado y la diagonal de un cuadrado de √5 𝑐𝑚2 de superficie. 
b. La superficie de un rectángulo de base √18 𝑐𝑚 y diagonal 5√2 𝑐𝑚. 
c. El perímetro y la superficie de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 
3√5 𝑐𝑚 y 4√5 𝑐𝑚. 
d. El perímetro y la superficie de un rectángulo de base (2√5 − 1) 𝑐𝑚 y de altura 
(
1
3
√5 +
1
2
) 𝑐𝑚. 
e. El perímetro y la superficie de un rectángulo de altura (√3 − 1)
−1
 𝑐𝑚 y de base 
3(√3)
−1
 𝑐𝑚. 
f. El volumen de un cono de √3 𝑐𝑚 de generatriz y √2 𝑐𝑚 de radio de la base. 
g. El volumen de un cilindro circular de altura 2𝜋 𝑐𝑚 y radio de la base 𝜋 𝑐𝑚 
 
24. Determina el área sombreada sabiendo que la figura total es un cuadrado y: 
UTN-FRT 24 
 
 
 
a. El área del cuadrado es de 64 cm2 y b es el triple de a ¿Cuánto mide el lado 
del cuadrado? 
b. Considerando la misma área, si a es las dos terceras partes de b, ¿Cuál es el 
área de la parte no sombreada? 
 
25. Si una pizza de 32 cm de diámetro se corta en 8 porciones exactamente iguales, 
determine el área de cada porción. 
 
26. Calcule el área de la región sombreada sabiendo que 𝛼 =
2
3
𝛽 y el radio es 10 cm. 
(Exprese el resultado en función de 𝜋) 
 
27. Calcule el volumen de un tanque cilíndrico de 2 m de altura y radio de la base igual a 
0,5 m. 
 
28. La siguiente figura representa una mesa. ¿Cuántas personas se podrán ubicar alrededor 
si cada una ocupa 0,54 m? (Utilice 𝜋 = 3,14 y tome como resultado al número entero 
más próximo al resultado obtenido). 
UTN-FRT 25 
 
 
 
29. Calcule el volumen de una esfera de diámetro de 10 cm. 
 
30. Calcule el volumen del cono de radio 4 cm y altura 5 cm. 
 
31. Un cuadrado y un hexágono regular tienen el mismo perímetro P, determine cuál es la 
relación entre las áreas, si P es igual a 4 m. 
 
32. Calcule el área sombreada de las siguientes figuras 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) d) 
UTN-FRT 26 
 
 
e) f) 
 
33. Eduardo y Marina están forrando sus libros. Cada uno tiene un papel de 1,5 m de largo 
y 1 m de ancho. Para cada libro necesitan un rectángulo de 49 cm de largo y 34 cm de 
ancho. Observe en los dibujos cómo han cortado, cada uno de ellos, los rectángulos 
a) Calcule en cada caso cuántos cm2 de papel les han sobrado 
b) ¿Quién ha aprovechado mejor el rollo de papel? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UTN-FRT 27 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD N°2 
 
 
 
 
 
Expresiones Algebraicas 
Polinomios 
➢ Operaciones entre polinomios 
➢ Ceros de un Polinomio 
➢ Regla de Ruffini 
➢ Factorización de polinomios 
Expresiones Algebraicas Fraccionarias 
➢ Operaciones entre expresiones algebraicas 
fraccionarias 
 
 
 
 
 
 
UTN-FRT 28 
 
 
Una expresión algebraica es una combinación de números y variables (letras) 
vinculadas entre sí por un número finito de operaciones (tales como, adición, 
sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación). 
Ejemplos: 
1. 2𝜋√
𝐿
𝑔
 2. 
7
𝑦
− 𝑥2 3. 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2 
4. 
𝑥−5
√𝑥−5
3
+3
 5. −2𝑥
−1 + 5𝑥−2 − 𝑥3 6. 𝑣0 + 𝑔. 𝑡 
3- 
Una de las aplicaciones de las expresiones algebraicas consiste en expresar 
generalizaciones, fórmulas o propiedades, simplificar o acortar expresiones, mediante 
el lenguaje simbólico, por ejemplo: 
 Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico 
Un número cualquiera x 
El s iguiente de un número x+1 
El doble de un número cualquiera 2x 
El cuadrado de la suma de dos números 
cualquiera 
 (a+b)2 
El promedio de dos números (a+b)/2 
La suma de los cuadrados de dos números a2+b2 
El producto de dos números cualesquiera xy 
Cualquier número mayor que 4 x>4 
La velocidad (km/hora) de un móvil que recorre y 
km en x horas 
y/x 
El recíproco de la suma de dos números (x+y) -1=
1
𝑥+𝑦
, 𝑥 ≠ −𝑦 
 
Las expresiones algebraicas se clasifican: 
 Expresiones Algebraicas {
Racionales {
Enteras
Fraccionarias
Irracionales 
 
UTN-FRT 29 
 
 
Ejemplos: 
1. Expresiones algebraicas enteras: 2 − 𝑡3; 
1
4
𝑥2 − 𝑥 + 1; √3 − √2𝑥 
En estas expresiones algebraicas las variables pueden estar afectadas por las 
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes 
enteros no negativos y no tienen variables en el denominador. 
2. Expresiones algebraicas fraccionarias: 5 − 𝑥−3; 
√2−𝑦
𝑦2
; 
3
4
+ 𝑥 +
1
𝑥
 
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables están elevadas a exponentes 
enteros negativos o tienen variables en el denominador. 
3. Expresiones algebraicas irracionales: 
√𝑡+2
𝑡
; 𝑧2/3 + 𝑧−1/2; 𝑥 +
2
√𝑥
 
En estas expresiones algebraicas algunas de las variables tienen como exponentes un 
número racional no entero. 
Un monomio es una expresión algebraica entera en la que no figuran las operaciones 
adición y sustracción (tienen un solo término). 
Ejemplos: 
I)−
1
5
𝑥3𝑦2 II) 𝜋𝑥
2 III) √3𝑥4𝑦 IV) 𝑒
2 
Dos o más monomios son semejantes si tienen idéntica parte variable. 
El grado de un monomio es el número de factores literales de la expresión y se lo 
calcula sumando los exponentes de las variables que lo componen. 
Se llama polinomio a una suma algebraica de monomios no semejantes. 
Ejemplos: 
I)7𝑥 + 5𝑥2 − 𝑥3 II) 
1
2
𝑡2 − 4 III) 2𝑥𝑧 − 𝑧2 + √3 
Los polinomios que estudiaremos son los polinomios en una variable. 
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. 
Ejemplos: Determina el grado de los siguientes polinomios 
i)𝑃(𝑥) = −5𝑥4 + 3𝑥2 − 12, 𝑔𝑟𝑃 = 4 ii) 𝑄(𝑦) = 3𝑦2 − 8𝑦3 + 10 + 𝑦7, 𝑔𝑟𝑄 = 7 
En general un polinomio de una variable de grado se expresa como: 
UTN-FRT 30 
 
 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2+. . . +𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 . . . , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑛𝑎𝑛 ≠ 0, son números reales llamados coeficientes; 
“n” es un número entero no negativo; 
 “x” es la variable 
𝑎0es el término independiente. 
𝑎𝑛es el coeficiente principal. 
P(x) simboliza un polinomio en la variable “x”. 
Ejemplo: Determinar el grado, coeficiente principal y término independiente en el 
siguiente polinomio P(x)= 2𝑥3 − √5𝑥4 − 3 + 𝑥 
P(x)= −√5𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 − 3 
 
Si “x” toma el valor “a”, P(a) se llama valor numérico del polinomio para x = a. 
Ejemplo: Dados los siguientes polinomios P(x) = −2𝑥3 +
1
3
𝑥 − 1 y Q(x) = 2𝑥2 + 𝑥 
determina P(1) y P(-1)+Q(0) 
 𝑃(1) = −2(1)3 +
1
3
. 1 − 1 = −2 +
1
3
− 1 = −
8
3
 
𝑃(−1) = −2(−1)3 +
1
3
(−1) − 1 = 2 −
1
3
− 1 =
2
3
𝑄(0) = 2(0)2 + 0 = 0
} 𝑃(−1) + 𝑄(0) =
2
3
+ 0 =
2
3
 
Dos polinomios de una variable son iguales si tienen el mismo grado y si los 
coeficientes de los términos semejantes son iguales. 
Ejemplo: P(x) = 
1
2
𝑥3 + 2𝑥2 − 1 y Q(x) = −1 + √4𝑥2 + 0,5𝑥3 son semejantes ya que 
tienen el mismo grado y todos los coeficientes de los términos semejantes son iguales. 
Dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los términos semejantes son 
opuestos. 
Ejemplo: P(x) = 3𝑥4 −
1
5
𝑥2 + 7 y Q(x) = −3𝑥4 +
1
5
𝑥2 − 7 son opuestos ya que los 
coeficientes de los términos semejantes son opuestos. 
 
Coeficiente Principal: 5− 
Término independiente: 3−Grado P=4 
UTN-FRT 31 
 
 
Operaciones con polinomios: 
La suma dos polinomios es otro polinomio cuyos términos son la suma de los monomios 
semejantes de ambos polinomios y los monomios no semejantes. 
Se simboliza: P(x)+ Q(x). 
Ejemplo: Determina 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)siendo 𝑃(𝑥) = 5𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 +
4𝑥2 − 6 
 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (5𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1) + (𝑥3 + 3𝑥 + 4𝑥2 − 6) 
= 5𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1 + 𝑥3 + 3𝑥 + 4𝑥2 − 6 
= (5 + 1)𝑥3 + 3𝑥4 + (3 + 4)𝑥2 + (1 − 6) 
= 6𝑥3 + 3𝑥4 + 7𝑥2 − 5 
La diferencia entre dos polinomios P y Q, en ese orden, es otro polinomio que se 
obtiene sumando a P(x) el opuesto de Q(x). 
Se simboliza: P(x)- Q(x)=P(x)+ [- Q(x)]. 
Ejemplo: Determina 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) siendo 𝑃(𝑥) = 5𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 +
3𝑥 + 4𝑥2 − 6 
 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥) + [−𝑄(𝑥)] = (5𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1) − (𝑥3 + 3𝑥 + 4𝑥2 − 6) 
= 5𝑥3 + 3𝑥4 + 3𝑥2 + 1 − 𝑥3 − 3𝑥 − 4𝑥2 + 6 
= (5 − 1)𝑥3 + 3𝑥4 + (3 − 4)𝑥2 + (1 + 6) 
= 4𝑥3 + 3𝑥4 − 𝑥2 + 7 
La multiplicación de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando 
cada término del primero por cada término del segundo y luego se suman los términos 
semejantes, si los hubiera. 
Se simboliza: P(x). Q(x) 
Ejemplo: Determina 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) siendo 𝑃(𝑥) = 5𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 + 1 y 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1 
𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) = (5𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥2 + 1). (2𝑥 − 1) 
= 5𝑥4. 2𝑥 − 2𝑥3. 2𝑥 + 3𝑥2. 2𝑥 + 1.2𝑥 + 5𝑥4(−1) − 2𝑥3. (−1) + 3𝑥2. (−1) + 1. (−1) 
= 10𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 + 2𝑥 − 5𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 1 
= 10𝑥5 − 9𝑥4 + 8𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 
Ten en cuenta: 
Dados dos polinomios P y Q tales que: gr P=m y gr Q=n entonces el gr (P.Q)= m+n 
UTN-FRT 32 
 
 
La división de un polinomio P(x) por otro polinomio Q(x)0, donde el grado de P(x) es 
mayor o igual que grado de Q(x), nos permite determinar dos polinomios C(x) y R(x) que 
son únicos y que cumplen las siguientes condiciones: 1) P(x)=Q(x) C(x)+R(x) y 2) Si 
R(x)0 entonces el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). 
Se simboliza: P(x): Q(x)=P(x)/Q(x) 
Ten en cuenta: 
1. P(x) recibe el nombre de dividendo, Q(x) es el divisor, C(x) es el cociente y R(x) 
es el resto de la división de P en Q. 
2. Para dividir dos polinomios debemos: completar y ordenar en forma decreciente 
el dividendo. Y ordenar el divisor. 
Ejemplo: Determina 𝑃(𝑥): 𝑄(𝑥) siendo 𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 1 + 3𝑥5 y 𝑄(𝑥) = 2 − 𝑥2 
3𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 − 2𝑥2 + 0𝑥 + 1|−𝑥2 + 2 
+ − 3𝑥3 − 6𝑥 + 2 
−3𝑥5 + 6𝑥3 
6𝑥3 − 2𝑥2 + 0𝑥 + 1 
+ 
−6𝑥3 + 12𝑥 
−2𝑥2 + 12𝑥 + 1 
+ 
2𝑥2 − 4 
12𝑥 − 3 
Donde el cociente 𝐶(𝑥) = −3𝑥3 − 6𝑥 + 2 y el resto es𝑅(𝑥) = 12𝑥 − 3 
Ten en cuenta: 
1. Dados dos polinomios P y Q tales que: gr P=m y gr Q=n, m≥n entonces el gr 
(P:Q)= m-n. 
2. Si al dividir P en Q el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que: el cociente es 
exacto, es decir: 
i) P(x)=C(x). Q(x) 
ii) Q(x) es divisor de P(x) 
iii) P(x) es divisible por Q(x) 
 
 
UTN-FRT 33 
 
 
Regla de Ruffini 
Para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una división cuando el divisor, 
es de la forma x-a con a ∈ ℝ, se aplica la Regla de Ruffini. 
Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de P en Q, siendo: 
𝑃(𝑥) = −5𝑥4 + 32𝑥2 − 42𝑥 y 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3 
−3
|
|
−5 0 32 −42
15 −45 39
−5 15 −13 −3
0
9
9
 
 
Obtenemos el cociente 𝐶(𝑥) = −5𝑥3 + 15𝑥2 − 13𝑥 − 3y el resto 𝑅(𝑥) = 9 
Cero (o raíz) de un polinomio 
Sea a ∈ ℝ, a es un cero (o raíz) de polinomio P(x) si y solo si P(a)=0 
Ejemplo: Dado 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 1verifica que a=1 es un cero del polinomio: 
𝑃(1) = 13 − 2.1 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0 
Teorema del resto 
Sea a ∈ ℝ, el resto de la división de un polinomio P(x) en un binomio de la forma 
Q(x)=x-a es R(x) = R = P(a) 
Ten en cuenta: Si al dividir P(x) en Q(x)=x-a, el resto es 0 (polinomio nulo) decimos que: 
i) P(x)=C(x) (x-a) 
ii) x+a es divisor de P(x) 
iii) P(x) es divisible por x-a 
iv) a es un cero de P(x) 
Teorema Fundamental del Álgebra 
Un polinomio de grado n, n≥1, tiene exactamente n raíces. 
Ten en cuenta: 
1. Un polinomio de grado n admite n raíces, considerando las reales y las 
complejas. 
2. Un polinomio de grado n admite a lo sumo n raíces reales. 
 Coeficientes del 
dividendo 
Coeficientes del 
cociente 
resto 
Coefic
ientes 
del 
divide
ndo 
UTN-FRT 34 
 
 
3. En los polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas vienen siempre 
de a pares, entonces un polinomio de grado impar siempre tiene por lo menos 
un cero real. 
Algunos casos de factoreo 
Factor común. 
Un número o una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un 
polinomio cuando figura en todos ellos como factor. 
Ejemplo: Factorea 15𝑥3𝑦2 + 6𝑥2𝑦3 
15𝑥3𝑦2 + 6𝑥2𝑦3 = 3𝑥2𝑦2(5𝑥 + 2𝑦) 
Factor común por grupos 
Si los términos del polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos o 
no, con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. 
Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se lo saca a su vez como 
factor común, quedando el polinomio como un producto de factores comunes. 
Ejemplo: Factorea 15𝑥3– 7𝑦3 − 15𝑥2𝑦2 + 7𝑥𝑦 
 15𝑥3– 7𝑦3 − 15𝑥2𝑦2 + 7𝑥𝑦 = 15𝑥3 − 15𝑥2𝑦2– 7𝑦3 + 7𝑥𝑦 
= 15𝑥2(𝑥 − 𝑦2) + 7𝑦(−𝑦2 + 𝑥) 
= 15𝑥2(𝑥 − 𝑦2) + 7𝑦(𝑥 − 𝑦2) 
= (𝑥 − 𝑦2)(15𝑥2 + 7𝑦) 
Trinomio cuadrado perfecto 
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son 
cuadrados de algún valor y el otro término es el doble producto de las bases de esos 
cuadrados. 
En símbolos: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
Ejemplo: Factorea: 4𝑥2– 4𝑥𝑦 + 𝑦2 
4𝑥2– 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = (2𝑥 − 𝑦)2 
 
 
UTN-FRT 35 
 
 
Cuatrinomio cubo perfecto. 
Se llama cuatrinomio cubo perfecto al cuatrinomio tal que dos términos son cubos 
perfectos, otro término es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base 
del segundo cubo y el otro término es el triplo del cuadrado de la base del segundo cubo 
por la base del primer cubo. 
En símbolos: (𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)2(𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 +
3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 (𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)2(𝑎 − 𝑏) = (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 +
3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
Ejemplo: Factorea: 27𝑎3 − 27𝑎2 + 9𝑎– 1 
27𝑎3 − 27𝑎2 + 9𝑎– 1 = (3𝑎 − 1)3 
Diferencia de cuadrados 
Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la 
diferencia de sus bases. 
En símbolos: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
 Ejemplo: Factorea: 25𝑥2 −
1
4
𝑦2 
25𝑥2 −
1
4
𝑦2 = (5𝑥)2 − (
1
2
𝑦)
2
= (5𝑥 +
1
2
𝑦) (5𝑥 −
1
2
𝑦) 
Suma o diferencia de potencias de igual grado: xn ± an 
Si n es par: 
1. La suma de potencia de igual grado de exponente par, cuyo exponente n es 
potencia de 2, no se puede factorear 
2. La suma de potencia de igual grado par, cuyo exponente n no es una potencia 
de 2, será posible factorear aplicando suma de potencias de igual grado impar. 
3. La diferencia de potencia de igual grado par, aplicando la Regla de Ruffini, es 
igual a: 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑥𝑛−2+. . . +𝑎𝑛−2𝑥 + 𝑎𝑛−1) 
Si n es impar: La suma de dos potencias de igual grado de exponente impar, es igual 
al producto de la suma de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera 
suma por la segunda. 
En símbolos: 𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑥𝑛−2+. . . +𝑎𝑛−2𝑥 + 𝑎𝑛−1) 
UTN-FRT 36 
 
 
 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑥𝑛−2+. . . +𝑎𝑛−2𝑥 − 𝑎𝑛−1) 
Ten en cuenta: 
1. Cuando el binomio factor es (x + a) los signos del otro factor son alternados, 
siendo el primero positivo. 
2. Cuando el binomio factor es (x - a) los términos del otrofactor son positivos. 
 
Polinomio factoreado 
Si un polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥
𝑛−2+. . . +𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎𝑛 ≠ 0de 
grado n, puede factorizarse como 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). . . (𝑥 − 𝑥𝑛) 
Si 𝑥1 ≠ 𝑥2 ≠. . . ≠ 𝑥𝑛 raíces reales y distintas decimos que el polinomio admite raíces 
simples 
Si 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗para algún i y j, es decir, algunas raíces reales e iguales decimos que el 
polinomio admite raíces con multiplicidad. 
Ejemplos: 
1. Si 𝑃(𝑥) = −7(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 − 4) decimos que P(x) es un polinomio de grado 
3, que tiene tres raíces reales simples. 
2. Si 𝑄(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 3)2(𝑥 + 2)3 decimos que Q(x) es un polinomio de grado 5, que 
tiene dos raíces reales múltiples. 
𝑥1 = 𝑥2 = 3multiplicidad de orden 2 
𝑥3 = 𝑥4 = 𝑥5 = −2 multiplicidad de orden 2 
3. Si 𝑆(𝑥) = (𝑥 − 1)2𝑥(𝑥 + 5) decimos que S(x) es un polinomio de grado 4, que 
tiene una raíz real múltiple y dos raíces reales simples. 
𝑥1 = 𝑥2 = 1multiplicidad de orden 2 
𝑥3 = 0 
𝑥4 = −5 
Método de Gauss 
Este es un método para factorizar polinomios en una variable. Los divisores enteros del 
término independiente dividos por los divisores del coeficiente principal de un polinomio 
son las posibles raíces del mismo. 
Ejemplo: Factorear 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 
UTN-FRT 37 
 
 
Paso 1: buscar las “posibles” raíces del polinomio 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 
 
 
Posibles raíces: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6. 
Paso 2: los posibles divisores son: (x+1), (x-1), (x+2), (x-2), (x+3), (x-3), (x+6) y (x-6) 
Paso 3: aplicamos el teorema el resto hasta encontrar al menos una raíz 
Para x-1 el resto P(1)=4 
Para x+1 el resto P(-1)=(-1)3-4(-1)2+(-1)+6=0, -1 es raíz del polinomio 
Para x-2 el resto P(2)=0 , 0 es raíz del polinomio 
Para x+2 el resto P(-2)=-20 
Para x+3 el resto P(-3)=-60 
Para x-3 el resto P(3)=0 , 3 es raíz del polinomio 
Paso 4: divido al polinomio en los binomios del paso 2, aplicando Regla de Ruffini 
 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 y 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 
−1 |
1 −4 1 6
−1 5 −6
1 −5 6 0
 
 
 Ahora divido 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6en 𝑥 − 2 
2 |
1 −5 6
2 −6
1 −3 0
 
 
Paso 5: Escribir factoreado 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 
¿Podemos resolver este ejercicio de otra forma? 
Coeficiente principal: 1 
Divisores: -1, 1 
 
Término independiente: 6 
Divisores: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6 
 
El cociente es: 
( ) 2 5 6C x xx = − + 
El cociente es: 
( ) 3C x x= − 
UTN-FRT 38 
 
 
Trinomio de la forma 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con a, b y c números reales a  0, que no 
son trinomios cuadrados perfectos. 
Una de las formas de encontrar los ceros o raíces de 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, es decir 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , es utilizando la fórmula de Bhaskara. 
𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 donde 𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 y 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
Al polinomio P(x) lo podemos escribir en forma factoreada como: 
 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
Expresiones algebraicas fraccionarias 
Si 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son dos polinomios, y 𝑄(𝑥) ≠ 0 (polinomio nulo), la expresión 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 se 
llama expresión racional no entera o fraccionaria. 
Ejemplos: 
1. 
𝑥−5
2𝑥−1
, 𝑥 ≠
1
2
 
2. 
𝑥2−36
3𝑥2−18𝑥
, 𝑥 ≠ 0𝑦𝑥 ≠ 6 
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias 
Las operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias se realizan de la misma 
forma que las operaciones con números racionales. 
Simplificación: 
Sea 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
con 𝑄(𝑥) ≠ 0, para simplificar una expresión algebraica fraccionaria, 
factoreamos el numerador y el denominador y simplificamos los factores comunes a 
ambos. 
Ejemplo: Simplifica 
𝑥2−16
3𝑥2−12𝑥
 
𝑥2−16
3𝑥2−12𝑥
=
(𝑥−4)(𝑥+4)
3𝑥(𝑥−4)
, 𝑥 ≠ 0𝑦𝑥 ≠ 4 
𝑥2−16
3𝑥2−12𝑥
=
(𝑥−4)(𝑥+4)
3𝑥(𝑥−4)
=
(𝑥+4)
3𝑥
, 𝑥 ≠ 0𝑦𝑥 ≠ 4 
 
 
UTN-FRT 39 
 
 
Multiplicación: 
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica. Para 
multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de manera análoga a la 
multiplicación de números racionales. 
Ejemplo: Resuelve 
𝑥4−1
𝑥2+6𝑥+9
⋅
𝑥2+3𝑥
𝑥2−1
⋅
7
𝑥2+1
 
𝑥4 − 1
𝑥2 + 6𝑥 + 9
⋅
𝑥2 + 3𝑥
𝑥2 − 1
⋅
7
𝑥2 + 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)
(𝑥 + 3)2
⋅
𝑥(𝑥 + 3)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
⋅
7
𝑥2 + 1
, 𝑥
≠ −3, −1,1 
𝑥4−1
𝑥2+6𝑥+9
⋅
𝑥2+3𝑥
𝑥2−1
⋅
7
𝑥2+1
=
(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥2+1)
(𝑥+3)2
⋅
𝑥(𝑥+3)
(𝑥−1)(𝑥+1)
⋅
7
𝑥2+1
=
7𝑥
𝑥+3
, 𝑥 ≠ −3, −1,1 
 
División 
Se factoriza los numeradores y denominadores y si es posible se simplifica. Para dividir 
expresiones algebraicas fraccionarias se multiplica la primera fracción por la inversa de 
la segunda. 
Ejemplo: Resuelve 
𝑥−1
𝑥+5
:
𝑥2−𝑥
𝑥2−25
 
𝑥 − 1
𝑥 + 5
:
𝑥2 − 𝑥
𝑥2 − 25
=
𝑥 − 1
𝑥 + 5
:
𝑥(𝑥 − 1)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
, 𝑥 ≠ −5,5 
𝑥 − 1
𝑥 + 5
:
𝑥2 − 𝑥
𝑥2 − 25
=
𝑥 − 1
𝑥 + 5
:
𝑥(𝑥 − 1)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
=
𝑥 − 1
𝑥 + 5
⋅
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5)
𝑥(𝑥 − 1)
, 𝑥 ≠ −5,0,1,5 
𝑥−1
𝑥+5
:
𝑥2−𝑥
𝑥2−25
=
𝑥−1
𝑥+5
⋅
(𝑥−5)(𝑥+5)
𝑥(𝑥−1)
=
𝑥−5
𝑥
, 𝑥 ≠ −5,0,1,5 
Ten en cuenta: en la división de expresiones algebraicas fraccionarias 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
:
𝑅(𝑥)
𝑆(𝑥)
=
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
⋅
𝑆(𝑥)
𝑅(𝑥)
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑄(𝑥) ≠ 0, 𝑆(𝑥) ≠ 0, 𝑅(𝑥) ≠ 0 
Mínimo común múltiplo 
Dado un conjunto de dos o más polinomios tal que cada uno de ellos se halle expresado 
como producto de factores irreducibles, decimos que el Mínimo Común Múltiplo entre 
ellos es el producto de factores comunes y no comunes, considerados el mayor 
exponente. 
UTN-FRT 40 
 
 
Ejemplo: Calcular el Mínimo Común Múltiplo entre: 𝑥2 − 16; 𝑥2 + 8𝑥 + 16; 𝑥2 + 4𝑥 
Al factorear resulta: 
𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
𝑥2 + 8𝑥 + 16 = (𝑥 − 4)2
𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥(𝑥 + 4)
} 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜𝐶𝑜𝑚ú𝑛𝑀ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 = (𝑥 − 4)2𝑥(𝑥 + 4) 
 
Adición y sustracción: 
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias analizamos los 
denominadores. 
• Si los denominadores son iguales el resultado se obtiene sumando (o restando) los 
numeradores y se conserva el denominador común. 
Ejemplo: Resuelva 
𝑥+4
𝑥−1
−
𝑥+1
𝑥2−1
 
𝑥+4
𝑥−1
−
𝑥+1
𝑥2−1
=
𝑥+4
𝑥−1
−
𝑥+1
(𝑥−1)(𝑥+1)
=
𝑥+4
𝑥−1
−
1
𝑥−1
, 𝑥 ≠ −1,1 
El Mínimo Común Múltiplo es: x-1 
𝑥 + 4
𝑥 − 1
−
𝑥 + 1
𝑥2 − 1
=
𝑥 + 4
𝑥 − 1
−
𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
=
𝑥 + 4
𝑥 − 1
−
1
𝑥 − 1
=
𝑥 + 4 − 1
𝑥 − 1
=
𝑥 + 3
𝑥 − 1
, 𝑥 ≠ −1,1 
• Si los denominadores no son iguales, se reducen al mínimo común denominador 
que es el mínimo múltiplo común de los denominadores, como en el caso de la 
suma de fracciones numéricas. 
Ejemplo: Resuelva 
𝑥−10
𝑥2+3𝑥−10
−
2𝑥+4
𝑥2−4
 
𝑥 − 10
𝑥2 + 3𝑥 − 10
−
2𝑥 + 4
𝑥2 − 4
=
𝑥 − 10
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
−
2(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
=
𝑥 − 10
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
−
2
(𝑥 − 2)
, 𝑥
≠ −5, −2,2 
 El Mínimo Común Múltiplo es: (x+5) (x-2) 
𝑥 − 10
𝑥2 + 3𝑥 − 10
−
2𝑥 + 4
𝑥2 − 4
=
𝑥 − 10
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
−
2
(𝑥 − 2)
, 𝑥 ≠ −5,2 
=
𝑥 − 10 − 2(𝑥 + 5)
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
, 𝑥 ≠ −5,2 
=
𝑥 − 10 − 2𝑥 − 10
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
, 𝑥 ≠ −5,2 
=
−𝑥 − 20
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
, 𝑥 ≠ −5,2 
 
 
UTN-FRT 41 
 
 
Trabajo Práctico N°2 
“Expresiones Algebraicas” 
1. Marque una cruz en el casillero correcto: 
Expresión 
algebraica 
Racional 
entera 
Racional no 
entera 
irracional 
2 3
1 , 1
1
x
x
x
−
+ 
−
 
 
 2 3
1
4
2
x xy x− − 
 
2 32 5x x− − 
2 1/35x y x+ 
 
2. Describe los siguientes polinomios indicando el número de términos, 
coeficientes y grado 
a. 𝑃(𝑥) = 36𝑥4 − 2𝑥3 + 17 b. 𝑄(𝑥) = 5𝑥2 −
2
3
𝑥5 − 𝑥 − 2 
c. 𝑅(𝑥) = √3 𝑥3 − 4𝑥2 + 21𝑥 d. 𝑆(𝑥) = −3𝑥
5 + 14𝑥2 + 23𝑥 − 13 
 
3. Determine el valor numérico de los polinomios en los valores indicados 
 x=0 x=1 x=-1 x=2 
a. 𝑃(𝑥) = 36𝑥4 − 2𝑥3 + 17 
b. 𝑅(𝑥) = √3 𝑥3 − 4𝑥2 + 21𝑥c. 𝑆(𝑥) = −3𝑥5 + 14𝑥2 + 23𝑥 − 13 
 
4. Exprese como un monomio 
a) El perímetro de la figura 
b) El área. 
c) El volumen del cubo que se puede formar con 
los 6 cuadrados 
 
5. Una caja tiene las siguientes dimensiones: largo = x, ancho = x-3 y alto = x+5. 
Exprese el volumen en función de x. 
 
6. Exprese el volumen de estos cuerpos, mediante polinomios 
UTN-FRT 42 
 
 
 
 
 
 
 
7. Exprese, mediante un polinomio, el perímetro y el área de las siguientes figuras 
a. b. 
 c. d. 
 
8. Encuentre 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 si 𝑎 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 + (𝑏 − 𝑐)𝑥2 + 𝑑𝑥3 = 8 + 12𝑥 + 5𝑥2 − 10𝑥3 
 
9. Determine 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 tales que 
𝑎𝑥3 + (𝑎 + 𝑏)𝑥2 + (𝑎 − 𝑐)𝑥 + 𝑑 = 12𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 4 
 
10. Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1, 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 y 𝑅(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 +
6𝑥 + 5. Determine 𝑎 y 𝑏 tal que se cumpla 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) = 𝑅(𝑥) 
 
11. Sean 𝑃(𝑥) = 2𝑥 − 3, 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 y 𝑅(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 8𝑥 + 3. Determine 
𝑎 y 𝑏 de tal forma que 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥) sea un polinomio de grado cero. 
12. Efectúe las siguientes operaciones. En los apartados g), h) e i) determine los 
polinomios cociente y resto 
a)(3𝑥3 − 𝑥4 + 5𝑥2 − 𝑥 + 1) + (−6𝑥 + 7𝑥4 − 2𝑥2 + 2) + (𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥) 
 
b)(5𝑥3 +
1
2
𝑥2 − 3𝑥 +
3
4
) + (
4
5
𝑥3 + 3𝑥2 +
1
5
𝑥 −
1
2
) 
 
UTN-FRT 43 
 
 
c) (4𝑥2 − 5𝑥 + 3). (𝑥2 − 4𝑥 + 1) 
 
d)(3 − 𝑥). (5 − 𝑥 + 𝑥2). (2𝑥2 − 1) 
 
e)(2𝑥 − 1 − 2𝑥2). (6𝑥 − 9 − 𝑥2) 
 
f) (3𝑥3 −
1
2
𝑥2 + 2𝑥 − 2) . (
2
3
𝑥2 − 1) 
 
g)(5𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 1) ∶ (𝑥2 − 𝑥 + 1) 
 
h)(𝑥4 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 2) ∶ (2𝑥 − 1) 
 
i) (
1
2
𝑥4 +
8
3
𝑥3 +
1
2
𝑥2 + 16𝑥 − 4) ∶ (
1
2
𝑥 + 3) 
 
13. Halle el polinomio que dividido por 5𝑥2 − 1 da el cociente 2𝑥2 + 𝑥 − 2 y el resto 
𝑥 − 2 
14. Halle el cociente el resto aplicando la regla de Ruffini 
a) (2𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 5) ∶ (𝑥 − 3) 
b) (𝑥5 + 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1) ∶ (𝑥 + 1) 
c) (𝑥4 −
1
2
𝑥3 +
1
3
𝑥2 −
1
4
𝑥 +
1
5
) ∶ (𝑥 − 1) 
d) (𝑥3 − 27) ∶ (𝑥 − 3) 
e) (𝑥3 + 27) ∶ (𝑥 + 3) 
f) (𝑥4 + 16) ∶ (𝑥 + 2) 
g) (𝑥4 − 16) ∶ (𝑥 − 2) 
 
15. Demuestre que 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 𝑎 es un factor de 𝑃(𝑥) y factorice 𝑃(𝑥) 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥6 + 8𝑥4 − 6𝑥3 − 9𝑥2 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3 
b) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 13𝑥 + 10 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 5 
c) 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 − 11𝑥2 + 4𝑥 + 12 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 
 
16. Determine los números opuestos ℎ y 𝑘 para que el polinomio 
𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + ℎ𝑥 − 𝑘 sea divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 
 
17. ¿Para qué valores de 𝑘 el polinomio 𝑥3 + 𝑘𝑥 + 3𝑥 es divisible por (𝑥 + 5)? 
UTN-FRT 44 
 
 
18. Determine el valor de 𝑏, para que el polinomio 𝑏𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑏 sea divisible por 
(𝑥 − 5) 
19. ¿Cuál es el resto de dividir 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥 − 4 por 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1? 
20. Halle los ceros (raíces) restantes de los siguientes polinomios y luego 
escríbelos en forma factorizada 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 14𝑥 − 24 siendo 𝑥 = −3 un cero. 
b) 𝑄(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2 − 11𝑥 − 6 siendo 𝑥 = −1 un cero de multiplicidad 
dos. 
21. Determine todos los ceros del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4 
 
22. Dado el polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥4 − 7𝑥3 + 𝑥2 + 6𝑥. Calcule todos los ceros del 
polinomio y escríbelo en forma factorizada. 
 
23. Halle el orden de multiplicidad de las raíces 𝑥1 = 1 y 𝑥2 = −2 en el polinomio 
𝑃(𝑥) = 𝑥6 + 𝑥5 − 5𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 − 4𝑥 
 
24. Determine un polinomio de cuarto grado cuyos ceros son -1, 3, -3 y -4. El 
coeficiente principal es igual a 2. 
 
25. Factorea las siguientes expresiones 
a) 16𝑎2𝑥2 − 4𝑥3𝑎3 
b) 12𝑎4 + 9𝑎3𝑥 − 12𝑎2𝑥2 
c) 4𝑎𝑥 − 8𝑥 + 7𝑎𝑦 − 14 
d) 𝑥𝑦 − 2𝑦 + 6 − 3𝑥 
e) 6𝑎𝑏 + 2𝑏 + 3𝑎 + 1 
f) 15𝑥3 − 9𝑦3 − 15𝑥2𝑦2 + 9𝑥𝑦 
g) 
4
25
𝑎4 −
1
9
𝑥2 
h) 
25
𝑚2
− 36 
i) 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 − 𝑏𝑦 + 5𝑏 
j) 2𝑚𝑥2 + 3𝑝𝑥2 − 4𝑚 − 6𝑝 
k) 𝑎4 + 2𝑎2𝑥3 + 𝑥6 
l) 𝑦3 +
3
4
𝑦2 +
3
16
𝑦 +
1
64
 
m) 𝑥2 + 36 − 12𝑥 
n) 2𝑥3𝑦 − 3𝑦2𝑥2 + 11𝑥4 − 9𝑥5𝑦3 
UTN-FRT 45 
 
 
o) 
𝑥3
27
−
𝑎𝑥2
3
+ 𝑎2𝑥 − 𝑎3 
 
26. Factorear los siguientes polinomios, buscando los binomios por los cuales son 
divisibles (aplicar método de Gauss). 
a. 𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 − 2 b. 𝑥3 − 7𝑥 + 6 
c. 𝑥4 + 𝑥3 − 7𝑥2 − 𝑥 + 6 d. 𝑥3 + 4𝑥2 − 7𝑥 + 2 
e. 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 + 3 f. 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 
 
27. Un laboratorio desea lanzar al mercado un nuevo 
producto y necesita diseñar el packaging. Para 
ello se ha pensado en dos opciones: un prisma y 
un cubo. El ancho de ambos (x) deberá ser el 
mismo pero el prisma tendrá el triple de 
profundidad y 4 cm menos de altura. Encuentre 
las medidas y el volumen de cada caja. 
 
28. Para guardar azufre en polvo se ha pensado en un tubo cilíndrico y se deberá 
elegir entre dos recipientes que posean esta característica y que tengan la 
misma capacidad. El cilindro A tiene una altura igual a su radio y el cilindro B 
posee un radio igual al doble del radio de A y una altura 6 cm menor que el radio. 
Halle las dimensiones de los cilindros y el volumen. 
 
29. Operando sólo con el primer miembro verifique 
a) 
𝑥4−3𝑥2+5𝑥−3
𝑥−1
= 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 3 si 𝑥 ≠ 1 
b) 
3𝑥5+10𝑥4+4𝑥3+𝑥2−𝑥+15
𝑥+3
= 3𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 5 si 𝑥 ≠ −3 
c) 
𝑥3+1
𝑥+1
= 𝑥2 − 𝑥 + 1 si 𝑥 ≠ −1 
 
30. Realice las siguientes operaciones y si es posible, simplifique: 
a. 
2
2 2 8
2 2 4
x a x a ax
x a a x x a
− +
− +
+ − −
 b. 
21 1
1 1
x
x
x x
+
− +
+ −
 
c. 
3 1 1
4 4 1 1
x x x
x
x x x
+ −  
+ − −  
− +  
 d. 
2
1 1 2
1
1 1
x
x x x
  
− −  
+ −  
 
e. :
1 1
x x
x x
x x
   
+ −   
− −   
 f. 
2
3 2
1 1
:
x
x a x a x a x
  
+   
+ − −   
 
UTN-FRT 46 
 
 
g. 
1
8−8𝑥
−
1
8+8𝑥
+
𝑥
4+4𝑥2
 h. 
4𝑥−3𝑏
2𝑥
− 2 +
2𝑥+𝑏
3𝑥
 
i. (
1
𝑥
+
2
𝑎
) (
1
𝑥
−
2
𝑎
) (
𝑎𝑥
𝑎+2𝑥
) j. (
𝑥2
𝑎2
−
𝑎2
𝑥2
) ∶ (
𝑥
𝑎
+
𝑎
𝑥
) 
k. (𝑥4 −
1
𝑥2
) ∶ (𝑥2 +
1
𝑥
) l. (
2𝑥
𝑥+3
−
𝑥+1
𝑥
) ∶ (
𝑥3−4𝑥2−3𝑥
𝑥2
) 
31. Indique con una cruz (X) la única opción correcta 
a. 
( )
( )( )
2
2 a b aa b a
b a b b a b a b
−+
− +
+ − +
 es igual a: 
 a b+ 
b
a b
−
+
 
b
a b+
 
a b
b
+
 : .........Otro 
b. 
2 3 4 4 1
2 2 3 3 6 6
a a a
a a a
− − −
− +
+ + +
 es igual a: 
a 
1
6
 
b
a
 b : .........Otro 
c. 
2
2
2 4 4
:
1 1 1
x x x
x x x
 − + 
−   
+ − −   
 es igual a: 
2
1
2x x
−
− −
 
2
1
2x x− −
 
2
1
3 2x x− +
 1 : .........Otro 
32. Verifique 
𝑎−2
2𝑎+2
− 
3𝑎−4
3𝑎+3
+ 
4𝑎−1
6𝑎+6
=
1
6
 
 
UTN-FRT 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD N°3 
 
 
Ángulo 
➢ Sistemas de medición de ángulos 
Longitud de arco 
Triángulos 
➢ Elementos de un triángulo 
➢ Clasificación de los triángulos 
Razones trigonométricas de un ángulo agudo en 
triángulo rectángulo 
Círculo Trigonométrico 
Triángulos oblicuángulos 
➢ Teorema del seno 
➢ Teorema del coseno 
 
 
UTN-FRT 48 
 
 
Nociones previas 
Ángulo: 
Tres puntos A, B y C no alineados y dos rectas que contienen dichos puntos determinan 
dos ángulos 
 
A se llama vértice del ángulo y las semirrectas AB y AC lados del mismo. 
A los ángulos los denotamos con: 
• Letras del alfabeto griego, tales como: , , ,   etc. 
• 𝐵�̂�𝐶, colocando en el centro el vértice del ángulo. 
• �̂� 
Sistema de medición de ángulos 
Los sistemas de medición más usados para medir la amplitud de ángulos son el sistema 
sexagesimal y el sistema radial 
Sistema sexagesimal 
El sistema de medición de ángulos utilizamos es el sexagesimal, divide a la 
circunferencia en seis partes de 60° cada una, obteniendo un giro completo de 360°. La 
unidades el grado sexagesimal y las subunidades son el minuto y el segundo 
sexagesimal. 
Sistema radial o circular 
Dada la circunferencia de radio r, se define un radián como la amplitud de ángulo 
subtendido por un arco igual al radio de la circunferencia. 
 
 
Longitud del arco 𝐴𝐵⏜ =r 
1 = 
 
UTN-FRT 49 
 
 
Longitud de arco 
En el sistema circular, la medida del ángulo se obtiene al dividir la longitud de arco en 
el radio de la circunferencia. 
Por lo tanto: Longitud del arco 𝐴𝐵⏜ = .S radio= 
 : ángulo central medido en radianes 
 
Equivalencias entre el sistema sexagesimal y el sistema radial 
En este sistema un ángulo de 180° mide 3,14 (que es el valor aproximado de " π "). 
De esa manera un giro completo, es decir 360°, mide 2 π. 
Por lo tanto: 180° equivale a π o bien 360° equivale a 2 π. 
Ejemplos: 
1. Transformar de un sistema a otro: 
i) 30° 25´45´´ 
ii) 
4

 
i) 30° 25´45´´ expresado en grados es: 30,43°, entonces: 
180°----------------- 
30,43°--------------x 
Luego: x=
30,43°𝜋
180°
= 0,17𝜋 ≃ 0,53𝑟𝑎𝑑 
ii)  ---------------------180° 
 
4

----------------------x 
Entonces x=
.180
1804 45
4




= =  
 
 
2. Calcular la longitud de arco de arco que corresponde a un ángulo central de 50° 
en una circunferencia cuyo diámetro es 36 metros. 
UTN-FRT 50 
 
 
Elementos: 
Lados: a, b y c o , ,AB BC CA 
Ángulos: �̂�, �̂�, �̂�o 𝐶�̂�𝐵, 𝐴�̂�𝐶, 𝐵�̂�𝐴 
Convertimos el ángulo α a radianes 
180°-------- 
 50°--------x 
Entonces x=
50 5
180 18
 
=

 
Calculamos la longitud de arco S=r. α=18. 
5
18

=5 metros 
 
 
 
Conceptos elementales de Triángulos 
 
Elementos 
 
Propiedades 
 
Un lado de un triángulo es 
menor que la suma de los 
otros dos y mayor que su 
diferencia. 
a < b + c; a > b – c 
b < c + a; b > c – a 
c < a + b; c > a – b 
 
La suma de los ángulos 
interiores de un triángulo es 
180° 
 �̂� + �̂� + �̂� = 180° 
UTN-FRT 51 
 
 
 
La suma de los ángulos 
exteriores de un triángulo es 
360° 
 �̂� + �̂� + 𝛾 = 360° 
 
 
Ejemplo: determina el ángulo faltante sabiendo que: �̂� = 38°y �̂� = 46° 
 
 
 
 
Clasificación de los triángulos 
Según sus lados 
Triángulos isósceles Triángulos escalenos 
 
 
 
 
 
Tienen por lo menos dos lados de igual longitud. 
Si los tres lados tienen igual longitud se llama 
equilátero 
Tiene sus tres lados distinta longitud 
 
 
Como �̂� + �̂� + �̂� = 180° 
Entonces 
 �̂� = 180° − �̂� − �̂� 
�̂� = 180° − 38° − 46° 
�̂� = 96° 
UTN-FRT 52 
 
 
Según sus ángulos 
Triángulos 
acutángulos 
Triángulos 
rectángulos 
Triángulos 
obtusángulos 
 
 
Tiene tres ángulos 
agudos 
Tienen un ángulo recto Tienen un ángulo obtuso 
 
Razones trigonométricas de un ángulo agudo en triángulo rectángulo 
Dado un triángulo rectángulo de lados a, b y c, se definen las razones trigonométricas 
del ángulo agudo �̂� como: 
 
catetoopuesto a
sen A
hipotenusa c
= = 
 
os
hipotenusa c
c ec A
catetoopuesto a
= = 
os
catetoadyacente b
c A
hipotenusa c
= = 
 
ec
hipotenusa c
s A
catetoadyacente b
= = 
catetoopuesto a
tg A
catetoadyacente b
= = ot
catetoadyacente b
c g A
catetoopuesto a
= = 
 
También podemos definir las razones trigonométricas para el ángulo agudo B: 
b
sen B
c
= ; cos
a
B
c
= ; t
b
g B
a
= 
Comparando las expresiones anteriores, observamos que: 
UTN-FRT 53 
 
 
cossen A B= y cos A sen B= 
Esto se verifica dado que los ángulos A y B son complementarios. 
Ten en cuenta: 
1. Dos ángulos α y β son complementarios si α + β=90° 
2. Dos ángulos α y β son suplementarios si α + β=180° 
 
Ejemplos: resolver el triángulo, conociendo los siguientes datos: 
 
1. Datos: b=280 m. y c= 415 m. 
 
280
0,6747
415
(0,6747)
42,43
b
sen B
c
B arcsen
B
= = =
=
= 
 
Para obtener el ángulo �̂� 
�̂� + �̂� + �̂� = 180° entonces �̂� = 180° − 90° − 42,43° = 47,57° 
Luego por Pitágoras determinamos el lado faltante: 
 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 ⇒ 𝑎 = 15√417 ≃
306,31𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
2. Datos: �̂� = 37° y a=5,2 m 
 𝑐𝑜𝑠 3 7° =
5,2
𝑐
 
𝑐 =
5,2
𝑐𝑜𝑠 3 7°
 
𝑐 ≃ 6,51𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Por Pitágoras determinamos el lado faltante: 
𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2 ⇒ 𝑎 ≃ 3,92𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
Luego para obtener el ángulo �̂� 
UTN-FRT 54 
 
 
�̂� + �̂� + �̂� = 180° entonces �̂� = 180° − 90° − 37° = 53° 
Posición normal del ángulo 
Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen de coordenadas 
y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. 
Si el lado terminal está en el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante diremos que el 
ángulo es un ángulo del primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante respectivamente. 
 
Ten en cuenta: 
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de 
coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas 
negativas y de ordenadas positivas. Este ordenamiento determina el sentido para 
enumerar los restantes cuadrantes. 
 
 
Círculo trigonométrico 
Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonométrica que es 
la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un ángulo α en posición 
normal. 
UTN-FRT 55 
 
 
 
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por 
coordenadas x: abscisa (x ∈ ℝ ) e y: ordenada (y ∈ ℝ) 
De la figura podemos observar que: 
• OP = r =1 (radio) medida del radio 
• 𝐴𝑃⏜ es el arco que corresponde al ángulo central α 
• P ∈ I cuadrante entonces x>0, y > 0 
• P ∈ II cuadrante entonces x<0, y > 0 
• P ∈ III cuadrante entonces x<0, y < 0 
• P ∈ IV cuadrante entonces x>0, y < 0 
 
Reformulando las razones numéricas definidas anteriormente, obtenemos: 
1
catetoopuesto y y
sen y
hipotenusa r
 = = = = 
 
os
1
catetoadyacente x x
c x
hipotenusa r
 = = = = 
 
catetoopuesto y
tg
catetoadyacente x
 = = 
 
1
os
hipotenusa
c ec
catetoopuesto y
 = = 
UTN-FRT 56 
 
 
 
1
ec
hipotenusa
s
catetoadyacente x
 = = 
 
ot
catetoadyacente x
c g A
catetoopuesto y
= = 
 
􀀙Ten en cuenta: 
1. La ordenada del punto P es el seno del ángulo α y la abscisa de P es el coseno 
del mismo ángulo. 
2. Los números sen α y cos α dependen sólo de α no de la medida del radio. 
3. El signo de cos α coincide con el signo de x y el signo del sen α coincide con el 
signo de y en el correspondiente cuadrante respectivamente. 
 
 
4. Como 
 
1 1 1 1
1 1 1 cos 1
y sen
x


−    −  
−    −  
 
 
 
Relaciones fundamentales 
Las siguientes afirmaciones son válidas: 
2 2cos 1sen  + = 
UTN-FRT 57 
 
 
 , cos 0
cos
sen
tg

 

=  
 
 
1
sec , cos 0
cos
 

=  
1
sec , s 0co en
sen
 

=  
 
Valores de funciones trigonométricas de ángulos particulares 
Sea un ángulo α=30º en su posición normal con sentido positivo y negativo queda 
determinado un triángulo equilátero de lados , ,́ ´OP PP P O en el cual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como el triángulo es equilátero, entonces 2r y= 
Por el Teorema de Pitágoras 
2 2 2 2 2(2 ) 3 3x r y y y y y= − = − = = 
Entonces: 
1
30
2 2
catetoopuesto y y
sen
hipotenusa r y
 = = = = 
cos 1
, 0, 0cotg sen tg
sen tg

  
 
= =  
UTN-FRT 58 
 
 
 
 
1 3
30
33 3
catetoopuesto y y
tg
catetoadyacente x y
 = = = = = 
Teniendo en cuenta que α = 60º es complementario de 30º tendremos: 
 
 
1
cos60 30
2
sen =  = 
 
60 cot 30 3tg g =  = 
Si dibujamos un ángulo de 45º en su posición normal, con sentido positivo, obtenemos 
un triángulo isósceles de lados , ,OP PS SO en el cual: 
 
 
Como el triángulo es isósceles, entonces x y= 
Por el Teorema de Pitágoras 
2 2 2 2 22 2r x y x x x x= + = + = =Entonces: 
3 3
cos30
2 2 2
catetoadyacente x x y
hipotenusa r y y
 = = = = =
3
60 cos30
2
sen  =  =
UTN-FRT 59 
 
 
1 2
45
22 2
catetoopuesto y x
sen
hipotenusa r x
 = = = = = 
1 2
cos45
22 2
catetoadyacente x x
hipotenusa r x
 = = = = = 
 
45 1
catetoopuesto y x
tg
catetoadyacente x x
 = = = = 
 
Regla nemotécnica para recordar los valores de función trigonométrica seno en 
ángulos de notables: 
α 0° 30° 45° 60° 90° Observaciones 
Primer 
paso 
0 1 2 3 4 Escribo del 0 al 
4 
Segundo 
paso 
 0 0= 1 1= 2 3 4 2= Extraigo raíz 
cuadrada 
Tercer 
paso 
0
0
2
= 
1
2
 2
2
 
3
2
 
2
1
2
= 
Divido en 2 
sen α 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 
 
Regla nemotécnica para recordar los valores de función trigonométrica coseno 
en ángulos de notables: 
 
α 0° 30° 45° 60° 90° Observaciones 
Primer 
paso 
4 3 2 1 0 Escribo del 4 al 
0 
Segundo 
paso 
 4 2= 3 2 1 1= 0 0= Extraigo raíz 
cuadrada 
Tercer 
paso 
2
1
2
= 3
2
 
2
2
 
1
2
 
0
0
2
= 
Divido en 2 
cos α 1 3
2
 
2
2
 
1
2
 
0 
 
 
 
UTN-FRT 60 
 
 
En resumen 
 
α 0° 30° 45° 60° 90° 
sen α 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 
cos α 1 3
2
 
2
2
 
1
2
 
0 
 
A partir de esta tabla puede obtenerse las funciones trigonométricas restantes, de los 
ángulos notables. 
 
Ángulo elevación y ángulo de depresión 
Ángulo de elevación 
Situación gráfica Definición 
 
 
 
 
Ángulo agudo que forma la visual, 
dirigida de abajo hacia arriba, con la 
dirección horizontal 
 
 
Ejemplo: Un avión que despega con un ángulo de elevación de 7°. Calcula la altura, en 
metros, a la que se encuentra luego de haber volado 10 km. 
 
 
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonométricas 
 7 10. 7 1,21869
10
h
sen sen h h km =   =  = 
h: altura 
UTN-FRT 61 
 
 
 Pasamos la altura de km a metro obteniendo: 
1,21869 1218,69km a m m= 
Respuesta: el avión se encuentra a una altura de 1218, 69 m 
 
Ángulo de elevación 
Situación gráfica Definición 
 
 
 
 
Ángulo agudo que forma la visual, 
dirigida de arriba hacia abajo, con la 
dirección horizontal 
 
 
Ejemplo: Un avión pasa por una isla a 1200 metros sobre el nivel del mar en el momento 
que observa otra isla bajo un ángulo de depresión 10°. Calcular la distancia entre las 
dos islas. 
 
 
 
Para calcular la altura utilizaremos las razones trigonométricas 
 
1200 1200
10 . 10 1200 6805,53
10
tg d tg d d m
d tg
 =   =  =  =

 
Respuesta: La distancia entre las islas es de 6805,53 metros. 
 
 
 
 
d: distancia 
UTN-FRT 62 
 
 
Triángulos oblicuángulos 
Teorema del seno 
 
 
 
 
En todo triángulo las longitudes de 
los lados son proporcionales a los 
senos de los respectivos ángulos 
opuestos. 
 
 
a b c
sen A sen B senC
= = 
 
 
sen A sen B senC
a b c
= = 
 
 
Ejemplo: Conociendo los ángulos �̂� = 30°, �̂� = 45° y el lado a =3 m. Hallar los lados b 
y c y el ángulo C del triángulo. 
 
Para calcular el ángulo C, utilizamos la propiedad que afirma que: la suma de los ángulos 
interiores de un triángulo es 180°. 
�̂� + �̂� + �̂� = 180° ⇒ �̂� = 180° − 30° − 45° ⇒ �̂� = 105° 
Para calcular el lado b aplicamos el teorema del seno entre los ángulos �̂�y �̂� 
3
30 45
3 45
30
3 2
a b b
sen A sen B sen sen
sen
b
sen
b
=  =
 

 =

 =
 
UTN-FRT 63 
 
 
Para calcular el lado c aplicamos nuevamente el teorema del seno entre los ángulos �̂� y 
�̂� 
3
30 105
3 105
30
3 6 3 2
2
a c c
sen A senC sen sen
sen
c
sen
c
=  =
 

 =

+
 =
 
 
Respuesta: �̂� = 105° , 3 2b m= y 
3 6 3 2
2
b m
+
= 
 
Teorema del coseno 
 
 
 
 
En todo triángulo el cuadrado de 
un lado es igual a la suma de los 
cuadrados de los otros dos menos 
el doble del producto de esos 
lados por el coseno del ángulo 
comprendido entre ellos. 
 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −
 
 
 
Ten en cuenta: 
1. Es conveniente el teorema del coseno cuando se tiene como datos: 
i) Lados del triángulo 
ii) Dos lados y ángulo comprendido entre ellos 
2. Es conveniente usar el teorema del seno cuando se tiene como datos: 
i) Dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos 
ii) Dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos. 
 
 
UTN-FRT 64 
 
 
Ejemplo: Los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un ángulo de 32°. 
Determine cuánto miden sus diagonales. 
 
 
Para calcular la diagonal BD utilizaremos el teorema del coseno: 
2 2 2
2
2 2
2
2 cos
6 8 2.6.8 cos32
18,58
4,31
BD AB AD AB AD A
BD
BD
BD
= + −
= + − 
=
=
 
Para calcular la diagonal AC utilizaremos nuevamente el teorema del coseno, 
calculando previamente el ángulo �̂�: 
Por propiedad 
 
�̂� + �̂� + �̂� + �̂� = 360°
�̂� = �̂�
�̂� = �̂�
} 2�̂� = 360° − 64° ⇒ �̂� = 148° 
Aplicando el teorema del coseno, resulta 
2 2 2
2
2 2
2
2 cos
6 8 2.6.8 cos148
181,41
13,47
AC AB BC AB BC B
AC
AC
AC
= + −
= + − 
=
=
 
 
 
UTN-FRT 65 
 
 
Unidad N°3 
“Trigonometría” 
1. Dados los siguientes ángulos en radianes, exprésalos en el sistema 
sexagesimal 
a. 
𝜋
6
 
 
a. 
5𝜋
4
 b. 2,6 rad 
c. 
2𝜋
3
 d. 3,5 rad e. 
3𝜋
2
 
 
2. Exprese a los siguientes ángulos en el sistema radial 
b. 60° 
 
c. 35° 30’ d. 45° 
e. 320° f. 140,5° g. 82° 
 
3. Calcule el ángulo 𝛼 de la figura, sabiendo 
que 
25
20
35



= 
= 
= 
 
 
 
4. En el triángulo ABC, A tiene 54° y B supera a C en 23°. Encuentre el valor de B 
y C. 
 
5. Determine la longitud de arco 𝑆 de un sector circular de radio 𝑟 = 6𝜋 𝑐𝑚 y 
 𝛼 = 60° 
 
6. Determine la longitud de arco 𝑆 de un sector circular de radio 𝑟 = 40 𝑚 y 
𝛼 = 18° 
 
7. Determine el radio del sector circular cuya longitud de arco es 𝑆 = 4𝜋 𝑚 y 
𝛼 = 20° 
 
8. Halle el ángulo 𝛼 del sector circular, 
en grados sexagesimales, a partir de 
la figura dada 
 
 
9. Si la longitud del arco es el triple de la longitud del radio, calcule la medida del 
ángulo del sector circular. 
 
10. Determine los valores de las restantes razones trigonométricas del ángulo 
agudo �̂� 
a) 𝑠𝑒𝑛𝐴 =
3
7
 
b) 𝑡𝑔𝐴 = 1,5 
UTN-FRT 66 
 
 
 
c) 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 0,3 
 
11. Determina los ángulos y lados faltantes del triángulo de la figura 
 
a. C = 60° 25’ a = 80 
 
 
b. A = 38° b = 15 
c. b = 12 c = 5 
d. a = 18 b = 32 
e. c = 12 a = 14 
 
 
12. Para las siguientes proposiciones, indique a que cuadrante pertenece el ángulo 
: 
a. tg  > 0 y sen  < 0 
b. tg  y cos  tienen el mismo signo 
c. sen  y cos  tienen el mismo signo 
d. sen  y tg  tienen signos opuestos 
e. cos  > 0 y tg  < 0 
f. Todas las funciones trigonométricas tienen el mismo signo 
 
13. En un triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa es tres veces la longitud 
de uno de sus catetos. Determina las razones trigonométricas del ángulo 
opuesto a este cateto 
 
14. Calcule la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 20 cm y su 
altura 8 cm. 
 
15. En el triángulo 𝐴𝐵�̂� (rectángulo en 𝐵) el lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ es cinco veces mayor que el 
lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Calcule el ángulo �̂�. 
 
16. A partir de los datos la figura, calcule los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ 
 
𝛼 = 60° 𝜃 = 60° 
 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 18 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
D 
C 
UTN-FRT 67 
 
 
17. Un ingeniero desea construir una rampa de 52 m de largo que se levanta 7 m 
del suelo. Calcule el ángulo que debe formar la rampa con la horizontal 
 
18. El hilo de un barrilete se encuentra tenso y forma un ángulo de 54° 20′ con la 
horizontal. Encuentre la altura del barrilete con respectoal suelo si el hilo mide 
85 m y la persona sostiene al mismo a 1,50 m del suelo. 
 
19. Un topógrafo puede medir el ancho de un río ubicándose en un punto C de uno 
de los bordes del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después 
de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 metros hasta el punto B. Aquí 
mide el ángulo β y encuentra que es de20º. ¿Cuál es el ancho del río? 
 
 
20. Desde un punto situado a 200 m, medido horizontalmente respecto del pie de 
una torre, se observa que el ángulo hacia la cúspide es de 60°. Calcula la 
altura de la torre. 
 
21. La torre Eiffel, terminada el 31 de marzo de 1889, fue la torre más alta hasta que 
se inició la era de las torres de televisión. Encuentre la altura de la torre Eiffel 
usando la información dada en la figura. 
 
 
22. Determine los ángulos y lados faltantes 
del triángulo oblicuángulo de la figura. 
Complete la tabla 
 
 
 
 
 
  
a 
c 
b 
UTN-FRT 68 
 
 
a 
 
b 
 
c 
 
𝛼 𝛽 𝛾 Área 
30 cm 45 cm 40° 
120 cm 84 cm 60° 
60 m 70 m 5𝜋
6
 
 
 25 cm 35° 68° 
25,2 m 37,8 m 43,4 m 
132 cm 224 cm 28°40’ 
47,5 cm 70° 45° 
 
23. Una de las siete maravillas del mundo antiguo, la gran pirámide de Keops fue 
construida alrededor del año 2.580 a.C. Su altura original era de 146,58 m, pero 
debido a la pérdida de sus bloques superiores, es ahora algo más baja. 
Encuentre la altura actual de la gran pirámide a partir de la información dada en 
la figura. 
 
24. El capitán del crucero Royal Caribean visualiza dos faros separados 3 km entre 
sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determina que los ángulos formados 
entre las dos visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la 
costa miden 15º y 35º. 
a) ¿A qué distancia de la costa se encuentra el crucero? 
b) ¿Qué tan lejos está el crucero del faro A? 
c) ¿Qué tan lejos está el crucero del faro B? 
UTN-FRT 69 
 
 
 
25. Para encontrar la distancia que separa las casas A y B, un topógrafo determina 
que el ángulo BAC es de 40º; luego camina 100Km y determina que el ángulo 
ACB es de 50º. ¿Qué distancia separa ambas casas? 
 
 
26. El Ingeniero Belmonte tiene sobre su escritorio una maqueta de su época de 
estudiante. Determina la distancia real que separa las casas A y B, sabiendo que 
la escala utilizada fue de 1 cm = 2 km. 
 
27. Las agujas de un reloj miden 3 cm y 5 cm. 
a) ¿Qué ángulo forman a las 12:10’ hs? 
 
b) ¿Qué distancia hay entre los extremos de las agujas? 
UTN-FRT 70 
 
 
 
28. Los lados de paralelogramos miden 7 cm y 9 cm y forman un ángulo de 42°. 
Determine cuánto miden sus diagonales 
 
29. Desde lo alto de un faro, se observa dos barcos en direcciones opuestas con 
ángulo de depresión de 16° y 37°. Si la altura del faro es de 21 m. 
a) Realiza un esquema de la situación 
 b) ¿Qué distancia hay entre los barcos? 
 
30. Un topógrafo situado en 𝐵 observa dos puntos 𝐴 y 𝐶, en los extremos de un lago. 
Si = 331,7 𝑚, 𝐵𝐶 = 242.2 𝑚 y el ángulo 𝐴�̂�𝐶 = 120°. Calcule la distancia 𝐴𝐶 
 
UTN-FRT 71 
 
 
 
 
 
UNIDAD N°4 
 
 
 
 
 
 
Identidades y ecuaciones 
➢ Clasificación de las ecuaciones 
➢ Resolución de una ecuación 
Ecuación de primer grado con una incógnita 
Ecuación de segundo grado con una incógnita 
➢ Fórmula de Bhaskara 
➢ Naturaleza de las raíces 
Ecuación racional fraccionaria 
Ecuación irracional 
 
 
 
 
 
UTN-FRT 72 
 
 
Identidades y ecuaciones 
Una ecuación es una igualdad en la que intervienen variables y que se verifica para 
ciertos valores de las mismas. Estos valores se denominan raíces de la ecuación y 
todos ellos constituyen el conjunto solución, generalmente denotado con CS. 
Ejemplos: 
1. ( )
22 10 25 5x x x− + = − , esto se verifica ∀𝑥 ∈ ℝ (identidad) 
2. 2 3x− = , esto se verifica si x=5 (ecuación) 
 
Ten en cuenta: 
Los elementos de una ecuación son: 
1. Miembros: son las expresiones que aparecen a cada lado de la igualdad 
2. Términos: son los monomios de cada miembro 
3. Grado: es el mayor exponente al que aparece elevada la variable, una vez 
realizadas todas las operaciones. 
 
2
Pr
7 4 5 3 1
segundo términoprimer término segundotérmino tercer término primer término
imer miembro Segundo miembro
x x x+ − = −
 
 
Clasificación 
Enteras 
Racionales 
Algebraicas Fraccionarias
Irracionales 
Ecuaciones 
Logarítmicas
Trascendentes Exponenciales
Trigonométricas
  
  
 
 






 
 
 
En este curso solo aprenderemos a resolver las ecuaciones algebraicas 
 
Ejemplos: 
1. Ecuaciones algebraicas racionales enteras: 2 3 1x+ = (ecuación de primer 
grado); 
2 2 1 0x x− + = (ecuación de segundo grado); 
En estas ecuaciones las variables pueden estar afectadas por las operaciones de 
adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes enteros no 
negativos y no tienen variables en el denominador. 
UTN-FRT 73 
 
 
2. Ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias: 
2
3
1
4
x
x
−
=
−
; 1 2x x−+ = 
En estas ecuaciones algunas de las variables están elevadas a exponentes enteros 
negativos o tienen variables en el denominador. 
3. Ecuaciones algebraicas irracionales: 2 3x− = ; 1/3 7 1x + = − 
En estas ecuaciones algunas de las variables tienen como exponentes un número 
racional no entero. 
Resolución de una ecuación 
Resolver una ecuación es determinar, si existe, su conjunto solución. Para ello debemos 
construir ecuaciones equivalentes (con la, o las mismas soluciones), cada vez más 
sencillas hasta que la, o las soluciones sean evidentes. 
Dos ecuaciones son equivalentes si: 
• Si se suma en ambos miembros de una ecuación una expresión, se obtiene una 
ecuación equivalente a la dada. 
• Si se multiplica (o divide) ambos miembros de una ecuación por un mismo 
número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. 
• Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una expresión que 
contiene variables, es posible no obtener ecuaciones equivalentes, ya que se 
pueden introducir raíces que verifican la ecuación trasformada y no la ecuación 
de partida. 
Ten en cuenta: 
Si una ecuación no tiene solución decimos que: el conjunto solución es el conjunto vacío 
(CS= ) 
 
Ecuación de primer grado con una incógnita: 
Dada la expresión 0, 0ax b a+ =  , se llama ecuación de primer grado con 
una incógnita o también conocida como ecuación lineal con una incógnita. 
Ejemplo: Resuelve la ecuación 9 + 2𝑥 = 11 
UTN-FRT 74 
 
 
9 2 11
9 2 9 11 9
2 2
1 1
2 2
2 2
1
x
x
x
x
x
+ =
+ − = −
=
 = 
=
 
Por lo tanto, CS= {1} 
Ecuación de segundo grado con una incógnita: 
Dada la expresión 
2 0, 0ax bx c a+ + =  , se llama ecuación de segundo grado 
con una incógnita o también conocida como ecuación cuadrática. 
2 0, 0
término cuadrático término lineal término independiente
ax bx c a+ + =  
Para resolver esta ecuación debemos analizar: 
1. Ecuación completa: 
2 0, 0ax bx c a+ + =  donde 0b  y 0c  . 
Ejemplo: resolver 
22 5 3 0x x+ − = 
Para resolver esta ecuación utilizamos la fórmula de Bhaskara 
2, 5, 3a b c= = = − 
2
1,2
1
1,2
2
5 25 4.2.( 3)4 5 49
2 2.2 4
5 7 2 1
5 7 2 4 2
5 7 124
3
4 4
b b ac
x
a
x
x
x
−  − −−  − − 
= = =
− +
= = =−  
= = 
− − − = = = −

 
Por lo tanto, CS={
1
2
, -3} 
2. Ecuación incompleta en el término lineal: 
2 0, 0ax bx c a+ + =  donde 0b = y 
0c  
Ejemplo: Resuelve 
23 12 0x − = 
2
2
2
3 12 0
3 12
4
2
2 2
x
x
x
x
x x
− =
=
=
=
= −  =
 
Por lo tanto, CS= {-2, 2} 
UTN-FRT 75 
 
 
3. Ecuación incompleta en el término independiente: 
2 0, 0ax bx c a+ + =  donde 
0b  y 0c = 
Ejemplo: Resuelve la ecuación 
22 12 0x x− = 
( )
22 12 0
2 6 0 2 0 6 0
0 6
x x
x x x x
x x
− =
− =