CLASE-19-MATEMATICA-MATERIAL-DE-LECTURA

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Cuaderno de didáctica de la 
matemática Nº 3 
 
Relación enseñanza-aprendizaje. 
Dialéctica instrumento-objeto, 
juego de marcos 
 
 Régine Douady 
 
Régine Douady 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELACIÓN ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DIALÉCTICA INSTRUMENTO- 
OBJETO, JUEGO DE MARCOS 
 
PRINCIPIOS 
 
Introducción 
 
Nuestro proyecto es el siguiente: 
“Elaborar y testear hipótesis sobre la forma en que pueden adquirirse los conocimientos matemáticos 
en situación de clase durante todo el curso primario”. 
Sin embargo, estas hipótesis que plantearemos sólo tienen sentido en su realización efectiva a través 
de proyectos reales de enseñanza. En consecuencia, no podremos testearlos sino indirectamente por medio de 
una enseñanza efectiva. 
Precisemos nuestro proyecto: 
“Construir y realizar una enseñanza que ponga en marcha particularmente las hipótesis elaboradas y 
testear su impacto en la masa de alumnos, a través del desarrollo efectivo del proceso. La eficacia del 
aprendizaje provocado1, determinado en relación a las expectativas standard ciertas, pero sobre todo de 
acuerdo con nuestras previsiones, representa para nosotros el índice de un hecho didáctico. Pensamos que 
hemos extraído parámetros pertinentes de la formación escolar de conocimientos sobre la que ejercimos una 
acción2. Su evidencia constituye para nosotros una validación del conjunto de nuestra gestión”. 
 
1. A propósito de la formación de los conocimientos 
 
Precisemos el marco de nuestro trabajo. 
Como hipótesis sobre la adquisición de conocimientos, adoptamos la idea central de Piaget con 
respecto a la formación de conocimientos, idea que por otra parte formula independientemente de la 
enseñanza y del contexto social, según la cual “los conocimientos no proceden ni de la sola experiencia de 
los objetos ni de una programación innata preformada del sujeto, sino de construcciones sucesivas con 
elaboraciones constantes de estructuras nuevas”. Para Piaget, “el equilibrio es el factor fundamental del 
desarrollo cognoscitivo”. En efecto, dice, “durante los períodos iniciales existe una razón sistemática de 
desequilibrio, que es la asimetría de las afirmaciones y negaciones. De esto resulta que la equilibración 
progresiva es un proceso indispensable para el desarrollo, cuyas manifestaciones se modifican... en el sentido 
de un mejor equilibrio en su estructura cualitativa como en su campo de aplicación”. 
En otros términos, el proceso general de formación de los conocimientos sería el siguiente: “En cada 
caso comenzaría por el ejercicio de un esquema inicial de asimilación cuya activación estaría tarde o 
temprano trabada por perturbaciones: las compensaciones obtenidas se traducirían en una nueva construcción 
cuyas regulaciones, que caracterizan sus fases, serían a la vez, compensadoras, teniendo en cuenta la 
perturbación (implicando así la formación al menos virtual de la negación) y formadoras en relación a la 
construcción, y esto hasta la constitución de una nueva estructura equilibrada y el desarrollo posterior de 
procesos análogos”. 
A nivel de aprendizaje, en la medida en que determinados errores aparecen como un factor de 
equilibrio (contradicción por ejemplo), comprendemos que puedan tener un rol productivo. Esto se produce 
sobre todo en una situación colectiva donde tenemos necesidad de validación. En efecto, para explicar y 
desechar errores, debemos construir argumentos para convencer (reequilibración). De este modo, 
consideramos que la enseñanza debe examinar los primeros desequilibrios naturales del niño. 
La enseñanza tiene la obligación de organizar tan eficazmente como sea posible, un juego de 
desequilibrios-reequilibrios al nivel de concepciones de los alumnos. Este juego puede evolucionar según los 
momentos, de manera individual o colectiva. 
Agreguemos a esto que entre los sucesores de Piaget, los seguidores de la escuela de Ginebra de 
Psicología Social, han demostrado que la apropiación colectiva de conocimientos puede preceder a la 
 
1 En un sentido que precisaremos, y que no se reduce a las performances. 
2 (Variables de control de Guy Brousseau) 
apropiación individual. Intentaron explicar el fenómeno en el marco de la teoría constructivista de Piaget. 
Explican, por ejemplo, la eficacia del conflicto socio-cognoscitivo mediante la integración de centraciones 
opuestas en un nuevo esquema. 
Utilizaremos también estas ideas, previendo en particular fases colectivas en determinados momentos 
de nuestra enseñanza. Dado esto, Piaget y sus sucesores se sitúan siempre fuera del contexto de enseñanza. 
En particular, no dan condiciones sobre las situaciones de enseñanza que permitan crear desequilibrios y 
comprometer el juego de las regulaciones. Una lectura literal de sus conclusiones dio lugar a una explotación 
extensa, pero ineficaz, de los caracteres positivos y negativos de los objetos (cuadrado - no cuadrado; rojo-no 
rojo)... 
Así, todo el aporte de Piaget, por más importante que sea, es insuficiente para que podamos construir 
directamente un aprendizaje en clase, cuyos resultados sean previsibles, por lo menos con una gran 
probabilidad y cuyas condiciones sean reproducibles. Piaget no toca el problema de la relación entre la 
enseñanza y el aprendizaje, relación que es uno de los temas de estudio de la didáctica de la disciplina 
enseñada y en el caso de las matemáticas, el de su didáctica. 
Frente a ese problema y para responder, al menos en parte, G. Brousseau elaboró una teoría de las 
situaciones didácticas. Para él, en efecto, las concepciones de los alumnos, son el resultado de un intercambio 
permanente con las situaciones de problemas en las que son involucrados y en el curso de las cuales los 
conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o rechazados. Da una 
clasificación de las situaciones de clase pero no da condiciones sobre los problemas susceptibles de servir 
eficazmente como contenidos en estas situaciones. Dicho de otro modo, no estudia particularmente las 
relaciones entre contenidos y situaciones. 
Frente al mismo problema de la formación de los conocimientos, G. Vergnaud declara, luego de 
Piaget en una fórmula esquemática: “la acción es fuente y criterio del saber”. Aquí acción puede querer decir 
resolución de problemas. Problema tomado en el sentido amplio de situación problemática ubicada en un 
campo conceptual apropiado. La consideración de tal campo contribuye a dar sentido al problema y a los 
distintos conceptos en juego. Permite explicar en parte, las conductas de resolución. Además, insistimos, 
como G. Vergnaud y otros, sobre el rol del tiempo en la construcción de los conocimientos. A menudo son 
necesarios varios años para construir un concepto. Finalmente todo otro orden de explicación abordado en los 
trabajos de Y. Chevallard toma en cuenta las convenciones y hábitos en la construcción de los conocimientos. 
En cuanto a nosotros, somos proclives, para lograr nuestro objetivo, a proponer realizaciones de 
aprendizaje en clase. Lo haremos, por una parte apoyándonos sobre la teoría de las situaciones (Br.1), y por 
otra, formulando sobre el aprendizaje, hipótesis complementarias a las de Piaget, Vergnaud y otros. 
En contraposición vamos a precisar y sistematizar un juego de regulaciones cuyo objetivo es el 
aprendizaje de las matemáticas del CP al CM2. Como se trata de situaciones de clase privilegiaremos lo que 
puede tener una realización efectivamente colectiva. 
 
2. A propósito de la enseñanza 
 
Las características a considerar para delimitar la enseñanza en tanto que objeto de estudio son de 
varios órdenes y no obstante imbricadas. Señalaremos tres. 
Algunas están implicadas en toda forma de enseñanza. Son, por ejemplo, las relativas a la actitud a 
priori de los niños frente a la escuela, a la existencia de un mínimo de disciplina, de atención, a la 
disponibilidad de una masa de conocimientos y hábitos en el momento de enfrentarun asunto nuevo, a una 
cierta administración del tiempo escolar. Sin embargo, la determinación de esos factores y la realización más 
o menos satisfactoria de las condiciones planteadas, depende, entre otras cosas, de la forma de enseñanza. 
Otro orden de características trata del aspecto social del aprendizaje, de las relaciones maestro-alumnos, 
alumnos-alumnos. Otras, que nos servirán para formular nuestras hipótesis, toman sentido en el seno de la 
enseñanza que describimos. Previamente, precisemos el contexto en el que trabajamos. Hacemos constar lo 
siguiente: el niño llega a la escuela con un cierto conocimiento, con medios, hábitos gracias a los cuales va a 
tratar la información que recibirá y tomar decisiones cuando tenga que elegir. Dispone de sistemas de 
representaciones y esquemas de acción. Todo ese bagaje que ciertamente difiere mucho en cada individuo, 
del que el docente puede intentar hacer abstracción si lo desea, existe, sin embargo, y constituye una parte de 
de la personalidad del niño. Los aportes exteriores a la escuela (T.V., amigos, familia, ...), continúan 
produciéndose a todo lo largo de la escolaridad . Por otra parte, el objetivo del maestro es un objetivo de 
aprendizaje. Tiene la responsabilidad de conducir al conjunto de alumnos de su clase a disponer de modo 
eficaz de algunos conocimientos y habilidades. Desde este punto de vista, es responsable ante la Institución, 
los alumnos, los padres. El objeto de la enseñanza es determinado por la Institución, no por el maestro. Este 
sólo tiene la responsabilidad de los medios que utilizará para lograr su objetivo. Algunos de esos medios 
están controlados por los consejos e instrucciones que recibe por vía jerárquica. Otros serán conciliados en 
clase con los alumnos. Es en este contexto, que el alumno de escuela primaria debe construir los conceptos 
matemáticos. 
 
3. A propósito de las matemáticas 
 
a) Para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter “instrumento” y su carácter 
“objeto”. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos problemas que permite 
resolver. Un concepto toma sentido por su carácter “instrumento”. No obstante, ese carácter pone en juego las 
relaciones que mantiene con los otros conceptos implicados en el mismo problema. Es decir, desde una óptica 
instrumental, no se puede hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente 
alrededor de un concepto principal (cf. campo conceptual G. Vergnaud 1). También el aprendizaje deberá 
considerar tal conjunto. 
Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema justificando el 
uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento puede ser adaptado a varios tipos 
de problema. Recíprocamente, varios instrumentos pueden ser adaptados a un mismo problema. No 
obstante,cada uno tiene un cierto ámbito de validez. 
Los instrumentos pueden pertenecer a diferentes marcos: físico, geométrico, numérico, gráfico y 
otros; teniendo cada marco sus objetivos, relaciones y formulaciones. 
Por objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural que tiene su lugar 
en una construcción más amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido 
socialmente. 
La actividad principal en matemáticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigación 
profesional (cf. apéndice), consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puede 
declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de validación propio de 
las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de instrumentos para resolver 
problemas. Cuando pasa a la comunidad científica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir 
nuevamente. Se convierte así, en objeto de saber. 
 b) En relación con el alumno 
Para el alumno, el carácter instrumental puede ser implícito o explícito. Describamos al situación más 
precisamente. Un alumno es enfrentado a un problema que debe resolver. Esto forma parte de su pacto con el 
maestro. Sus propias concepciones le permiten poner en juego un procedimiento gracias a nociones y técnicas 
que sabe utilizar, sobre las cuales puede hacer manifestaciones pero de las que no necesariamente conoce las 
condiciones de uso y sus límites. 
Admitamos que resuelva así, al menos parcialmente, su problema. 
El observador exterior puede reconocer que las hipótesis matemáticas que justifican las decisiones 
del alumno son satisfechas, sin que el alumno esté en condiciones de formularlas. Esas nociones que el 
observador exterior reconoce, diremos que el alumno las hace funcionar implícitamente, o que pone en 
marcha instrumentos conceptuales implícitos o, simplemente, instrumentos implícitos. 
Por el contrario, si el alumno puede formularlas y justificar su empleo diremos que usa instrumentos 
explícitos. Por otra parte, el dominio de validez de los instrumentos de que dispone el alumno evoluciona en 
el transcurso de la escolaridad. 
Por fin, llamaremos “práctica” a todo uso adaptado, por los alumnos, de instrumentos explícitos o 
implícitos, sea que esos instrumentos hayan sido objeto de institucionalización o no. 
 
4. A propósito de las relaciones entre matemáticas, enseñanza y aprendizaje 
 
Recordemos que, para nosotros, tener conocimientos en matemáticas es ser capaz de provocar el 
funcionamiento como instrumentos explícitos adaptados en problemas que les dan el sentido - con o sin 
énfasis en la formulación del problema. Estos conocimientos intervienen para resolver problemas o para 
plantear interrogantes respecto de ellos. Esto se produce en particular si las condiciones habituales de uso no 
son exactamente satisfechas en el problema planteado. En este caso, tener conocimientos, es también poder 
adaptarlos, hacer de todo para intentar responder igual al problema (cf. Cap. IV B 6 R4 1). Dicho de otro 
modo, adoptamos un punto de vista dinámico frente al conocimiento en matemática. En estas condiciones, 
una enseñanza es eficaz en la medida en que da lugar, en el alumno, a adquisiciones, en el sentido precedente, 
precedente, de conocimientos matemáticos. 
 
a) Objetos de saber - objetos de enseñanza 
 
Y. Chevallard introdujo, el concepto de transposición didáctica (Ch.1) para informar sobre la 
transformación necesaria operada sobre los conocimientos elegidos para ser enseñados antes de que estos 
saberes puedan ser efectivamente enseñados. Los matemáticos aseguran la creación matemática según una 
génesis que depende esencial (pero no solamente) de los problemas a resolver. La escuela desarrolla una 
génesis artificial diferente, habida cuenta de las coacciones a las que está sometida: por ejemplo, la presión 
del tiempo, la complejidad del campo científico y los problemas con el origen de la noción 
descontextualizada elegida para ser enseñada y la recontextualización artificial a la que se la conduce antes 
del despojo recuperado. Las convenciones sociales, los textos oficiales -programas, instrucciones, 
comentarios- los libros escolares ejercen una presión determinante sobre esta transformación. Ahora bien, 
esos textos “ampliamente marcados por una concepción deductivista en el andar de la matemática” son poco 
propicios a una construcción de conocimientos eficaz para resolver los problemas (Bal. 1). 
Para nosotros, un objeto de enseñanza debe ser “fiel” al objeto de saber al cual corresponde. Para 
ello, debe tener las siguientes características: 
-el concepto subyacente es un instrumento adaptado a los problemas elegidos para los alumnos. 
(Dicho de otro modo, las propiedades esenciales que los científicos utilizan son mantenidas en los problemas 
del alumno). 
-La diversidad de los aspectos que entran en juego en la significación del concepto está 
convenientemente representada en el conjunto de los problemas retenidos. 
 
b) Objetos reales - objetos de enseñanza - Representaciones.El comienzo de la enseñanza de las matemáticas corresponde a una modelización de lo real: el 
espacio ambiente y los objetos reales desplazables. El niño puede actuar sobre el mundo real y modificarlo. 
Puede no ser capaz de tener una visión global instantánea. 
Un rol de las representaciones es el de dar cuenta de esta globalidad, reteniendo sólo una parte bien 
elegida de la información, de modo de tener una disponibilidad permanente. Haciendo esto, se liga a los 
significados primitivos (objetos reales), los significantes (representaciones, relaciones ...). A las huellas 
escritas de esos significantes se unen nuevos significados de un nuevo espacio, el de las representaciones. No 
se consideran aquí las razones de la elección de los significados contenidos en la enseñanza. 
 
c) Pedagogía corriente 
 
Esta pedagogía utiliza esencialmente y en orden invariable el método “aprendo, aplico”. Se podría 
hablar de una mecánica “objeto-instrumento” y/o “significante-significado”. Se trata en efecto de una 
representación de nociones matemáticas que el alumno debe aprender, seguida de problemas o ejercicios de 
aplicación fabricados para que el alumno pueda utilizar lo que aprendió sin transformación. Además, debe 
hacerlo según reglas de juego que no siempre son explicitadas pero que sirven de referencia para evaluar su 
trabajo. A menudo el maestro “muestra” y el alumno sólo tiene que “hacer lo mismo”. Se sabe que para la 
mayoría de los alumnos, esta pedagogía no conduce a una construcción de conocimientos. Destaquemos que 
no hay búsqueda de juego de desequilibrios-reequilibraciones. Además, los problemas raramente ponen en 
juego los caracteres esenciales de la nociones 3, es decir aquellos que justifican científicamente su uso. En 
particular, los alumnos raramente son comprometidos en una dialéctica de prueba correspondiente a un 
planteo abierto para ellos. Los partidarios del método “aprendo, aplico” esperan, yendo de lo general a lo 
particular, dar a los alumnos elementos para varios usos y así conducirlos a un aprendizaje eficaz. Pero este 
método corre el riesgo, llegado el caso, de ocultar la correspondencia significado-significante mencionada en 
b). En fin, los conceptos son generalmente presentados en un cierto marco y las aplicaciones requeridas no 
salen de allí. 
 
3 Es verdaderamente incompatible con este tipo de enseñanza. En efecto, una enseñanza sólo es admisible para el 
maestro si le garantiza un porcentaje de éxito en su clase. Esto lo conduce, en el método “aprendo-aplico”, a no ejecutar 
grandes problemas o a seccionarlos en pequeñas cuestiones. 
Esto hace difíciles, por una parte, las interacciones de los diferentes marcos de intervención del 
concepto y, por otra, la articulación con otros conceptos. 
 
d) Otra organización de la enseñanza de las matemáticas. 
 
Para construir una enseñanza diferente, restituyendo su sentido a los instrumentos que los alumnos 
utilizan, asegurando a los objetos correspondientes una presentación institucional, debemos caracterizar otra 
organización de la enseñanza. 
En esta organización, el enseñante tiene en cuenta oficialmente la construcción del saber de los 
alumnos por los alumnos mismos. Esta organización está fundada desde el punto de vista cognoscitivo, sobre 
tres puntos: la dialéctica instrumento-objeto; la dialéctica viejo-nuevo; el juego de marcos. Desde el 
punto de vista de los intercambios del alumno con el medio en el seno del cual evoluciona, la organización se 
apoya en las tres formas de dialéctica (acción, formulación, validación) (G. Br. 1) y también sobre las 
intervenciones del enseñante en momentos bien elegidos por él. Finalmente, desde el punto de vista del 
contrato didáctico, la organización necesita una institucionalización de conocimientos y un medio para que 
el alumno controle por sí su aprendizaje. Más adelante describimos este funcionamiento, remarcando las dos 
palancas sobre las cuales decidimos actuar: el sentido (dialéctica instrumento-objeto) y el juego de 
desequilibrios-reequilibraciones (juego de marcos), y describiendo para eso un cierto rol del enseñante. 
 
5. Dialéctica instrumento-objeto 
 
El funcionamiento de la dialéctica instrumento-objeto (D.I.O.)4 está caracterizada por la organización 
esquemática siguiente: 
Dado un problema inicial: 
Fase a) “antiguo”: 
La primera etapa consiste en la puesta en marcha de un objeto conocido como instrumento explícito 
para iniciar un procedimiento de resolución del problema o por lo menos de una parte del problema. Es decir, 
se moviliza lo “antiguo” para resolver parcialmente el problema. 
Fase b) búsqueda: 
En la 2da. etapa, el alumno encuentra dificultades para resolver completamente su problema; ya sea 
porque su estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en riesgo de errores, en incertidumbre 
sobre el resultado ...) o porque esta estrategia no funciona más. Se orienta al alumno para que busque otros 
medios mejor adaptados a su situación. Reconocemos allí el comienzo de una fase de acción. El alumno 
puede entonces poner en macha implícitamente instrumentos nuevos, por la extensión del campo de validez, 
o por su naturaleza misma. Esquemáticamente hablaremos en esta etapa de “nuevo implícito”. Desde la 
óptica de los alumnos, las concepciones en juego (si es posible colectivamente) en ese momento, entrarán en 
conflicto o en resonancia con las antiguas. Los errores o contradicciones pueden convertirse en las posturas 
de procesos dialécticos de formulación y validación para resolver los conflictos y asegurar las integraciones 
necesarias. Pero puede ser también que convicciones contradictorias queden sin respuesta siendo fecundas 
(cf. II la búsqueda de un cuadrado de área dada). 
Fase c) explicitación: 
En la etapa anterior algunos elementos tuvieron un rol importante, casi decisivo y son susceptibles de 
ser apropiados para ese momento del aprendizaje. Están formulados en términos de objetos o en términos de 
prácticas; con su condición de empleo circunstancial. Se trata de “nuevo explícito” susceptible de reempleo y 
familiarización. 
 
Intervención del maestro 
 
Puede suceder que durante el transcurso de las fases b) o c), el maestro se de cuenta de que la 
situación peligra con bloquearse si no interviene o que lo descubra demasiado tarde y tenga que 
desbloquearla. Según su análisis de la situación didáctica, debe tomar la decisión de intervenir o no, y si es 
necesario, tendrá que elegir el momento y la forma de la intervención respetando la libertad de acción de los 
alumnos (incertidumbre). 
Fase d) institucionalización: 
 
4 En francés D.O.O. 
El maestro pasa, desde ese momento, a una etapa de institucionalización de lo que es nuevo y retiene 
con las convenciones en curso, eventualmente definiciones, teoremas y demostraciones. Esto nuevo que se 
retiene está destinado a funcionar, posteriormente como antiguo. 
Fase e) Familiarización – reinversión 
A continuación damos a los alumnos diversos problemas destinados a provocar el funcionamiento 
como instrumentos explícitos de lo que ha sido institucionalizado, a desarrollar hábitos y destrezas, a integrar 
el saber social con el saber del alumno. Esos problemas simples o complejos sólo ponen en juego lo 
conocido. 
Fase f = a) complejidad de la tarea o nuevo problema: 
Quedan por utilizar los nuevos conocimientos dentro de una situación compleja que implica otros 
conceptos conocidos o buscados por el aprendizaje. 
El nuevo objeto es susceptible de convertirse en antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica 
instrumento-objeto. 
 
 
Observaciones 
 
1) Esta descripción del funcionamiento de la dialéctica instrumento-objeto no implica que cada ciclo 
llegue necesariamente a una extensión del saber del alumno, socialmente reconocido. Para un mismo alumno 
y para un mismo objeto, pueden ser necesarios varios ciclos. 
2) Es posible quehábitos y prácticas familiares esperen muchos años antes de que aparezcan objetos 
de saber (II variables - funciones). El proceso que acabamos de describir comprende varias fases basadas en 
un problema a resolver que comprende a todos los alumnos. 
Sin embargo, si la colectividad “clase” resuelve el problema, todos no reaccionarán individualmente 
de la misma manera, frente al saber contenido en el problema, frente a conocimientos-instrumentos 
movilizados. En las situaciones de comunicación, el saber se difunde diversamente según los alumnos. 
Oficializar algunos conocimientos que sólo han sido útiles, darles categoría de objeto matemático es una 
condición de homogeneización de la clase y para cada uno una manera de jalonar su saber y por ende, de 
asegurar su progresión. Esta es la función principal de las situaciones de institucionalización. Otra función es 
la de integrar el saber social, los hábitos y las convenciones con el saber del alumno. 
Además, la estructuración personal del saber es de vital importancia en matemática para que exista 
efectivamente saber. Esta estructuración ha estado muy comprometida en el proceso desarrollado. No 
obstante, para perfeccionarla, el alumno tiene necesidad de poner a prueba eventualmente en renovados 
ensayos, solo, los conocimientos que cree haber adquirido y determinar lo que sabe. Ésta es la función de los 
ejercicios.5 
En esa estructura que podemos llamar “actividades - institucionalización - ejercicios”, hemos 
demostrado toda la importancia del primer término. Sin los otros dos términos, su incidencia en la 
apropiación de conocimientos correría el peligro de ser insuficiente para el alumno. 
Destaquemos que no es necesario que todas las nociones deseadas por el aprendizaje sean 
introducidas en una dialéctica instrumento-objeto. Algunas pueden estar dadas directamente por el enseñante 
o por la lectura de un manual. El docente debe definir una estrategia para la distribución entre problemas y 
aporte directo para la organización de la materia que se va a enseñar y definir una estrategia de adaptación a 
las reacciones de la clase, para una determinada organización. 
 
 
 
6. Juego de marcos 
 
El juego de marcos traduce la intención de explotar el hecho de que la mayoría de los conceptos 
puede intervenir en distintos dominios, diversos marcos físico, geométrico, numérico, gráfico u otros. Para 
cada uno de ellos se traduce un concepto en términos de objetos y relaciones que podemos llamar los 
significados del concepto en el marco. Los significantes que tiene asociados pueden eventualmente 
simbolizar otros conceptos en el marco de los significados. Es el caso de representaciones gráficas de 
funciones y de representaciones en el plano, de conjuntos de elementos materiales; algebraicos u otros, cuyas 
propiedades geométricas, topológicas o combinatorias podemos estudiar. Esto se obtiene de las 
 
5 Cualquiera sea el tipo, y sabemos que hay toda una panoplia. 
correspondencias entre significados de un mismo concepto en marcos diferentes, por un lado, y entre 
significados de conceptos diferentes representados en el mismo marco por los mismos significantes, por otro. 
Pero, para los alumnos en tren de aprendizaje, los conceptos funcionan de manera parcial y diferente según 
los marcos. Por consiguiente, las correspondencias están incompletas. 
Además, ese estado heterogéneo de los conocimientos varía según el alumno. Para introducir y 
suscitar el funcionamiento de los conocimientos, elegimos problemas donde aquellos intervienen en dos 
marcos como mínimo. Privilegiamos los marcos en los que la imperfección de correspondencias creará 
desequilibrios que se trata de compensar. Es el caso, por ejemplo, si se verifican las dos condiciones 
siguientes: 
-las significantes de un marco representan significados de conceptos distintos, teniendo cada uno sus 
propiedades. El estudio autónomo de uno de los sistemas de significados puede entonces conducir a 
resultados cuya traducción en otro sistema, provee enunciados no previsibles o no evidentes. Es así como la 
intradisciplina puede accionar eficazmente. 
-las adquisiciones de los alumnos son diferentes en cada uno de los marcos, para cada uno de los 
significados. Lo esfuerzos desplegados para la búsqueda de un equilibrio podrán traducirse en una superación 
del objetivo fijado provocando un nuevo desequilibrio y así sucesivamente hasta la construcción de un 
modelo estable para todas las operaciones que quieran hacerse. 
 
Intervención del enseñante 
 
La gestión hecha por el maestro, en el momento de balances locales y ejercicios que se apoyan en las 
producciones de los alumnos durante sus búsquedas, los diferentes cambios de marcos realizados por los 
alumnos, los recuerdos y balances globales que el maestro organiza y anima son otros tantos medios de 
difusión de los conocimientos dentro de la clase. Esos momentos se sitúan en el transcurso de la fase b), para 
prever o superar un bloqueo eventualmente local, o en el curso de las fases c) o e) (III juego del blanco, 
crónica). 
 
7. Condiciones sobre los problemas susceptibles de comprometer una D.I.O. (Dialéctica 
Instrumento-Objeto) 
 
Quedan por expresar algunas condiciones sobre los problemas para que ciertas relaciones del 
alumno con el problema estén aseguradas, y que la dialéctica instrumento-objeto y el juego de marcos sean 
posibles. 
Enunciamos las condiciones que hemos conservado 6 
a) El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno. 
b) El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es 
independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o una validación de una proposición 
de respuesta. 
c) Teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede emprender un procedimiento. Pero la 
respuesta no es evidente. Esto quiere decir que no puede suministrar una respuesta completa sin desarrollar 
una argumentación que lo conduzca a preguntas que no sabe responder inmediatamente. 
d) El problema es rico 7. Lo que significa que la red de los conceptos implicados es bastante 
importante, pero no demasiado para que el alumno pueda administrar su complejidad, si no solo, por lo 
menos en equipo o dentro de la colectividad clase. 
e) El problema está abierto8 por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la 
variedad de estrategias que puede poner en marcha y por la incertidumbre que se desprende con respecto al 
alumno. 
Las condiciones c), d), e), eliminan un recorte del problema en preguntas demasiado pequeñas. 
f) El problema puede formularse en dos marcos diferentes, teniendo cada uno su lenguaje y su 
sintaxis y cuyos significados constituyentes forman parte, parcialmente, del campo de conocimientos del 
alumno. 
 
6 Para categorías de problemas (Gl. 1). 
7 Complejidad y apertura son nociones relativas al alumno. Un problema es rico y abierto para una clase si lo es para 
una cantidad considerable de alumnos de la clase. Por ejemplo el 80%. 
8 Aclarado en 7. 
g) El conocimiento buscado por el aprendizaje es el medio científico de responder eficazmente al 
problema. Es un instrumento adaptado. 
 
8. Nuestras hipótesis 
 
La organización que proponemos, por su carácter interactivo (instrumento-objeto, cambios de marcos 
...), obliga al alumno a tratar una información a menudo abundante, que emana de varias fuentes y que se 
expresa indistintamente, con correspondencias (voluntariamente) parciales entre los diversos modos de 
expresión. 
La situación es por construcción, motivo de desequilibrio. La búsqueda para mejorar las 
correspondencias y la argumentación desarrollada con este fin, son medios de reequilibración. 
Esto nos conduce a plantear las siguientes hipótesis: 
a) Podemos construir efectivamente conocimientos haciendo jugar la dialéctica instrumento-objeto en 
dos marcos, por lo menos, respetandosin embargo los umbrales de dos tipos: 
-Existe una masa crítica heterogénea de conocimientos antiguos y de hábitos, culturales y técnicos 
(los pre requeridos) bajo forma de instrumentos explícitos en un campo conceptual dado que permita al 
alumno adentrarse en la resolución de un problema relevante de ese campo y por consiguiente, comprometer 
la dialéctica instrumento-objeto. 
-Existe un umbral crítico de interrogación debajo del cual la reflexión no se conecta (condiciones 1), 
2) y 3). Relaciones alumno-problema). 
b) La realización de las condiciones descriptas en a) supone otra hipótesis: para un determinado 
número de objetos matemáticos podemos encontrar problemas que solicitan dos o tres marcos entre los cuales 
una dinámica es posible y susceptible de crear la dialéctica instrumento-objeto. Tal vez esto sirva para 
relacionar la eficacia a la hipótesis a). 
c) Hay una masa crítica de conocimientos a adquirir por el proceso descrito en a). 
-gracias a lo cual es posible integrarlos con otros conocimientos adquiridos de otro modo, por 
ejemplo, por medio de la mecánica objeto-instrumento y que funcionarán eficazmente, debajo de lo cual el 
“aprendo-aplico” es ineficaz par la mayoría de los alumnos. 
d) Para realizar una enseñanza que tome en cuenta las hipótesis anteriores, falta precisar la 
articulación entre la dialéctica instrumento-objeto y su gestión en el marco de la clase. Al maestro le cabe 
toda la responsabilidad. De allí la necesidad de plantear otra hipótesis: 
-Podemos formar maestros capaces de poner en marcha la dialéctica instrumento-objeto. 
De hecho, hay otras dificultades en lo que respecta al maestro y en la relación ternaria maestro-
alumno-saber. 
 
 
9. Punto de vista del enseñante – incertidumbre del enseñante y del alumno. 
 
Casi todas las experiencias que se apoyan en las hipótesis formuladas precedentemente revelaron, en 
cuanto a los enseñantes, un atractivo y un malestar para poner en marcha el tipo de enseñanza que 
ambicionan. La inclinación se explica por el hecho de que el maestro está convencido de la importancia de la 
actividad del alumno en la adquisición de sus conocimientos. 
Por otra parte, el maestro tiene un contrato con la institución escolar, con los padres, con los alumnos. 
Este contrato lo compromete a asegurar y aún a garantizar la progresión del saber de los alumnos y por lo 
mismo le impone presiones. Más precisamente, el enseñante tiene la tarea de guiar a los alumnos de su clase, 
en su conjunto (y no a un reducido número de ellos), de un estado supuesto de conocimientos, caracterizado 
por un grupo de conceptos y relaciones (entre conceptos), a otro estado de conocimientos caracterizado por 
otro grupo. El trabajo cognoscitivo del alumno consiste entonces en crear el nuevo grupo con la ayuda del 
maestro y también de sus propias adquisiciones (las que no son únicamente producciones de la escuela) y, 
circunstancialmente contra sus concepciones primitivas. La progresión del saber a mediano y largo plazo está 
establecida por la institución (programas) y el maestro en su totalidad debe respetarla. Para eso debe prever y 
organizar la progresión a corto término entre dos marcos impuestos. Se tranquiliza si su progresión 
efectivamente realizada a corto plazo, respeta sus previsiones. 
Pero el maestro ¿puede garantizar que los alumnos, en su conjunto lo haya seguido en su progresión 
y haya alcanzado el objetivo propuesto?. Para que los alumnos puedan alcanzar su tarea de aprendizaje, el 
docente debe transmitirles el deseo de aprender y convencerlos de que, con su ayuda, ellos podrán lograrlo. 
No podemos olvidar que la percepción que los alumnos tienen del maestro es para éste un elemento 
importante en sus elecciones didácticas. Establece un equilibrio entre las distintas presiones (de toda 
naturaleza) en las que está inmerso. Nuestras hipótesis conducen a un cambio de esta percepción. Un 
desequilibrio y un malestar se desencadenan mientras llega el establecimiento de un nuevo equilibrio. 
Admitimos que el docente prevé, en su progresión, una fase de acción. Para que la acción sea real, es 
necesario que el alumno tome iniciativas, haga elecciones entre posibilidades diversas, que pueda plantear 
preguntas anexas y relacionar jalones intermediarios pertinentes para su problema. Recordemos 
oportunamente que la acción es eficaz si el alumno tiene un control sobre los efectos producidos; esto le 
permite modificar las condiciones de producción cuando los efectos no son los esperados. Para que el juego 
de la acción pueda desarrollarse de manera satisfactoria, la situación debe dejar un margen de libertad al 
alumno, que le permita especialmente explotar lo contingente y hacer jugar sus comportamientos 
cognoscitivos propios. Es decir, la situación debe implicar una parte de incertidumbre. De esta manera, se 
hace cargo de las diferencias posibles entre los alumnos. Admitimos que el docente tenga en cuenta los 
comportamientos y producciones de los alumnos en la organización y el contenido de sus secuencias de 
enseñanza. En cuanto a la trayectoria cognoscitiva de cada alumno, el maestro, inevitablemente, asistirá a una 
una incertidumbre que tiene consecuencias: 
-Primeramente es una duda sobre los contenidos que podrá institucionalizar y sobre el momento de su 
institucionalización. En efecto, hay que prever otro ordenamiento del tiempo escolar, por ejemplo para una 
cuestión dada, una prolongación del tiempo de trabajo del alumno a corto plazo. A largo plazo, podemos 
pensar que no es lo mismo. Más aún, podemos apostar a un conocimiento mejor construido, mejor 
estructurado y en consecuencia más eficaz, más ágil y más adaptable a los imprevistos. A mediano plazo (que 
preocupa al maestro) la trayectoria real global de la clase peligra con desviarse notablemente de la trayectoria 
prevista. El maestro puede aceptar una desviación demasiado pronunciada, incompatible con sus dificultades. 
-Es también una incertidumbre con respecto a la evaluación de los alumnos, es decir, sobre el control 
de su aprendizaje. Es su responsabilidad de enseñante la que está en juego. 
Por todas estas razones, el malestar evidenciado no nos sorprende. Señalemos, sin embargo, que 
hemos encontrado enseñantes completamente cómodos en lo que hace al control de esas situaciones de 
aprendizaje. 
En resumen, para que el conjunto de alumnos de una clase alcance un objeto cognoscitivo fijado por 
el maestro, éste debe resolver una contradicción: 
-si a priori establece una manera de alcanzarlo, no tiene ninguna garantía de que los alumnos lo sigan; 
-si sigue a los alumnos, corre el riesgo de perder el control del objetivo apuntado. 
Esta contradicción por parte del enseñante están en dualidad con la contradicción del alumno. Este 
debe enfrentar lo desconocido con los medios conocidos que posee. Debe responder al pedido del maestro: 
aprender sus lecciones y resolver sus problemas. Pero tiene una duda: no está seguro de saber desempeñarse, 
aún si aprendió bien sus lecciones. La construcción del conocimiento para el alumno, corresponde a la 
resolución de una contradicción; cómo relacionar lo nuevo con lo desconocido, cuando la mayoría de los 
medios de acción no muestran lo conocido, y si lo hacen, cómo controlar lo nuevo que se ha producido. 
Generalmente pensamos que la enseñanza debe resolver una contradicción entre la necesidad de 
ubicarse en la continuidad de lo que saben los alumnos y la necesidad de hacer progresar el conocimiento 
(“Hacer avanzar el tiempo del saber”, dice Yves Chavallard) y por consiguiente introducir lo nuevo que 
puede estar en oposición con lo antiguo. Los dos polos de esta contradicción son, por una parte, la acción 
propia del alumno (tanto en un contexto familiar donde puede movilizar lo conocido, como en un contexto 
nuevo donde la acción es a priori imposible y donde no tiene habilidad) y por otra, el aporte exterior: el 
maestro es actor cuando hace su “curso”, corriendo el riesgo de que el alumnono pueda internalizarlo y no 
pueda revertirlo en un contexto donde desplegar su inteligencia. Desde el punto de vista mencionado, toda 
enseñanza viene a privilegiar en el tiempo (lo que no quiere decir “reducir a”) uno de los polos (o los dos 
alternativamente), en detrimento del otro: por ejemplo, la pedagogía corriente privilegia al curso, la 
pedagogía activa a la acción; lo que proponemos es un sistema alternativo e interactivo. 
Dicho esto, cualquiera sea el sistema elegido de enseñanza, el enseñante en posición de control de 
uno de los polos, pierde el control del otro. Surge entonces una duda cuya magnitud depende de la elección: 
-Para el maestro ¿Qué curso debe hacer? ¿Qué conocimientos han adquirido los alumnos? ¿Qué 
situaciones controlan los alumnos con los conocimientos adquiridos? 
-Para el alumno: “¿Sabré resolver los problemas que se me plantearán?” 
Observemos que no hay más vacilaciones si el alumno se encuentra en la fase de acción donde no 
está obligado a dar una respuesta final. Si bien es cierto que la progresión del saber del alumno no puede 
hacerse en forma continuada, el enseñante está obligado a variar entre lo que el alumno conoce y desconoce. 
Esto nos conduce a formular una suerte de “principio de duda”. 
Formulamos la hipótesis de que todo sistema de enseñanza comporta una duda: para los alumnos si el 
polo “curso” está favorecido, para el maestro: si lo está el polo “acción”. Nuestras proposiciones de 
enseñanza vienen a distribuir en el tiempo la duda entre el maestro y el alumno. En relación a la pedagogía 
“curso-ejercicio”, provocan así un desplazamiento de la duda y por consiguiente del malestar del alumno (en 
cuanto a sus adquisiciones) hacia el maestro (en cuanto al desarrollo del tiempo del saber). 
Este desplazamiento de la inseguridad es, desde nuestro ángulo, beneficioso para el alumno pero con 
algunas condiciones. 
Para el alumno como para el maestro, la duda sólo es aceptable si puede ser controlada. El maestro la 
controla gracias a las fases de institucionalización en cuyo transcurso fija el saber que todos deben tener en 
común, en la clase. Controla los conocimientos y medios de acción de los alumnos por medio de ejercicios y 
problemas que les hace hacer. Además la dialéctica instrumento-objeto y los juegos de marcos, por la 
superabundancia de información y la necesidad de coherencia que provocan, dan al alumno medios de control 
y de modificación de la situación. Pero para insertarse la dialéctica instrumento-objeto necesita que los 
alumnos dispongan de cierta libertad de acción, lo que autoriza el sistema. Los problemas y ejercicios 
representan para el alumno, la ocasión de familiarizarse con el saber institucionalizado, de controlar sus 
adquisiciones y así determinar su estructuración personal. También el alumno domina su inseguridad. 
Este hecho de la inseguridad, tanto para el maestro como para el alumno, es un elemento importante 
en las relaciones enseñanza-aprendizaje. Por eso la formación de los maestros debería comprender también el 
estudio de esa gestión, especialmente de los medios para recuperar el control de la situación didáctica 
respetando la duda. 
Resumiendo, todas nuestras iniciativas apuntan a crear desequilibrios, pero de modo tal que los 
alumnos puedan participar activamente en su propio reequilibrio dentro del plano cognoscitivo. Con tal 
motivo, actuamos sobre los contenidos (dialéctica instrumento-objeto; juego de marcos), o sobre las 
relaciones sociales (situaciones de comunicación, conflictos socio-cognoscitivos ...). 
Debemos destacar que existen, sin duda, condiciones extra-cognoscitivas necesarias para que la 
reequilibración sea posible para y por el alumno. Citemos, a título de ejemplo, las condiciones relativas a las 
relaciones de fuerza entre los alumnos dentro de un grupo de trabajo (ya se trate de un pequeño equipo o de 
toda la clase), a las relaciones afectivas entre el maestro y los alumnos, al interés que manifiestan los padres 
por el trabajo de sus hijos, etc..