Conferencia-11-Patricia-Sadovsky

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El alumno de matemática como productor de conocimiento. 
Desafíos, tensiones, dificultades 
 
Patricia Sadovsky 24/2/07 
 
Manuel Ignacio Reyna1: Simplemente quiero presentarles a Patricia Sadovsky, profesora de 
Matemática muy preocupada por la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, quien 
además es una amiga personal de hace muchos años, y es entonces una alegría tenerla 
hoy entre nosotros. Los invito a compartir con ella este espacio de reflexión. 
Patricia Sadovsky: Buenos días. En realidad continuaremos hoy con una reflexión que 
comenzamos ayer2. La idea es discutir un poco – apenas un poco, porque el tema en 
realidad comportaría una larga discusión – qué quiere decir concebir el espacio de la 
escuela como un espacio de producción de conocimiento, y el espacio del aula como un 
espacio de producción de conocimiento y como un lugar de trabajo intelectual. 
Formo parte de un colectivo de personas que estamos convencidas de que la escuela 
podría ser un ámbito en que los niños y los jóvenes pudieran tener una experiencia 
sustancial, transformadora, con relación a la percepción que tienen de sus posibilidades 
intelectuales. Pensamos la escuela como un lugar en el que los niños y los jóvenes pueden 
aprender a disfrutar de la cultura, a disfrutar de la posibilidad de conocer, a tener la 
gratificación de sentir que pueden comprender, que pueden mirar el mundo con 
herramientas explicativas, esclarecedoras. 
¿Qué es disfrutar de la cultura? Desde nuestra perspectiva, participar de un proceso de 
producción de conocimiento en el que se adoptan los modos de pensar y producir típicos de 
alguna actividad humana. 
Para utilizar alguna referencia, voy a tomar una frase de Charlot3, que es un autor que 
trabaja la idea de relación con el saber. Me parece que es una idea potente para repensar la 
escuela como ámbito de producción de conocimiento. 
“Aprender es una relación entre dos actividades: la actividad humana que produjo aquello 
que se debe aprender y la actividad en la cual el sujeto que aprende se involucra (para 
aprender). Para apropiarse de un saber es preciso introducirse en las relaciones que 
permitieron producirlo. Lo esencial no es repetir la propia actividad humana tal como 
ocurrió sino adoptar durante la actividad de aprendizaje la postura que corresponde a esa 
actividad humana que se aprende”. 
A partir de esta idea general, nos podríamos preguntar qué es formar en matemática. Y, en 
principio, es enterarse de qué se ocupa la matemática; enterarse de cuáles son sus 
problemas, de cuáles son sus herramientas para validar; cuáles son sus modos de 
representar; en qué medida nuevos conceptos modifican viejos conceptos que ya se 
conocían; en qué medida las herramientas que se utilizan para representar permiten 
producir nuevas ideas. 
 
1
 Profesor del Área de Matemática del IFDC de El Bolsón 
2
 Patricia Sadovsky intervino como invitada especial en el curso Los aportes de la Didáctica de la Matemática a la 
articulación entre los niveles de escolaridad primario y medio dictado en el IFDC de El Bolsón 
3
 Bernard Charlot, graduado en filosofía y sociólogo, profesor emérito de la Universidad Vincennes - Saint-Denis 
Paris VIII, ha centrado su actividad en Ciencias de la Educación, particularmente sobre las dificultades de 
aprendizaje en medios populares, fracaso escolar, epistemología e ideología subyacentes a las prácticas de 
enseñanza de la matemática y el fenómeno de la violencia en las instituciones educativas. Actualmente se 
desempeña como profesor invitado en la Universidad Federal de Sergipe, Brasil. Ha publicado más de diez 
libros, entre los que se encuentra La relación con el saber (Ediciones Trilce, Montevideo, Uruguay,2006) y 
Hacer matemática: el placer del sentido, sin traducción al español, escrito en colaboración con Rudolph Bkouche 
y Nicolas Rouche (Faire des mathématiques: le plaisir du sens, Armand Colin Editeur, París, Francia, 1991) 
 
Y desde esta idea podríamos pensar que nos gustaría producir un posicionamiento en los 
alumnos en el que la actividad matemática quede justificada por el desafío que comporta; 
por entrar en la lógica interna de la disciplina y tratando de vencer las situaciones que se 
pueden abordar a través de las herramientas matemáticas. Un posicionamiento en el que los 
alumnos interpreten la intervención del docente como una colaboración con su propio 
trabajo intelectual. Éstas serían como las grandes ideas…Y sabemos que estamos lejos de 
lo que proponen esas ideas, pero son los ámbitos como éste los que permiten llenar de 
contenido a lo que queremos y a lo que deseamos. 
En primer lugar no podríamos suponer que ese posicionamiento que buscamos viene dado, 
y tampoco podríamos suponer que el hecho de que se produzca depende solamente de lo 
que nosotros hagamos. Pero sí podemos considerar, como marco para pensar, que si 
concebimos el espacio de la clase como una práctica, como unos modos de intercambio que 
somos capaces de sostener en el tiempo, los alumnos puedan empezar a entender que la 
idea de bien y mal, que la idea de permitido y prohibido, que la idea de verdad y mentira son 
ideas que funcionan muy distinto adentro de la matemática que en la vida práctica. Entender 
esas ideas desde la matemática comporta que nosotros también las revisemos desde la 
matemática; qué es bien y mal; qué es verdad y mentira, qué es permitido y prohibido para 
nosotros, en tanto sujetos matemáticos, dentro de la matemática. Lo cual nos convoca a un 
trabajo crítico que incluye un proceso de desnaturalización del conocimiento. Nosotros ayer 
discutimos bastante algunas ideas que tienen que ver con una concepción cosificada y 
naturalizada, según la cual las cosas son, independientemente de quienes las produjeron, y 
de por qué las produjeron. 
Vamos a empezar a trabajar con algunos ejemplos, para trabajarlos juntos, y para 
discutirlos. Voy a presentarles un primer ejemplo que nos va a dar la posibilidad de empezar 
a discutir cómo ir construyendo un posicionamiento general de los alumnos en el trabajo en 
matemática, un vérselas con la generalidad, que es algo nodal en el trabajo matemático. 
Pero, al mismo tiempo, cómo trabajar esta cuestión en un espacio de la clase que se 
concibe como diverso, porque la diversidad es inherente a la idea de producción. Cuando 
me invitaron a participar en las actividades del Instituto, me plantearon la necesidad de 
discutir algunas ideas sobre la diversidad, dado que están participando de esta actividad 
alumnos de un postítulo en educación rural. 
Ayer discutíamos que el supuesto de una clase homogénea es un supuesto que se sostiene 
con una reducción muy grande de conocimiento. O sea que para que una clase homogénea 
sea verdad, lo que se distribuye como conocimiento tiene que estar muy pero muy reducido; 
tiene que reducirse prácticamente a cuestiones de tipo práctico, de tipo algorítmico. Si 
nosotros estamos pensando la clase como un espacio de producción, inevitablemente nos 
vamos a encontrar con una clase en la que hay diversidad de producciones, y vamos a tener 
que tratar con ellas, y podríamos pensar qué respuestas podemos dar desde el proyecto 
didáctico, y por dónde seguir buscando, porque en realidad se trata de eso. 
El ejemplo que voy a dar nos va a permitir apreciar la diferencia de posicionamiento de los 
alumnos con respecto a su perspectiva de lo general, y analizar la intervención docente y la 
interacción entre ellos en el marco de una secuencia de trabajo que duró varias clases. 
También vamos a comentar después esta cuestión del tiempo escolar y la producción de 
conocimiento, porque es una idea de la que depende la posibilidad de sostener una 
problemática durante bastante tiempo en el ámbito de la escuela, como un modo de incluir. 
Contextualizo un poco el ejemplo: nosotros estuvimos trabajandoen un 7º grado con 
problemas de división entera, donde nuestra preocupación – es decir, lo que estábamos 
estudiando – era tratar de analizar el proceso de producción de conocimiento cuando las 
situaciones que les planteamos a los chicos comportan alguna ruptura respecto de sus 
prácticas aritméticas (pero – digamos – desde las prácticas aritméticas). Un poco la idea era 
tomar esos mismos objetos con los que los chicos vienen lidiando desde los primeros 
grados de la escuela primaria, y transformarlos en objetos de trabajo, como un modo de 
 
interpretarlos no ya solamente como instrumentos de resolución de problemas de reparto – 
o cualquiera de los distintos ámbitos de utilización de la división entera – sino interpretarlos 
como relaciones entre elementos, interpretando la operación como una relación. 
 
Ustedes saben que la división entera está caracterizada por dos relaciones: 
 
 
dividendo = divisor × cociente + resto 
 
0 ≤ resto < divisor 
 
 
Para los chicos, en el mejor de los casos, en su práctica aritmética, esto es un algoritmo de 
verificación de una cuenta ya hecha. Y se utiliza con números dados. O sea: se hace una 
cuenta y, si se verifica, se verifica a raíz de esos números dados, con lo cual se trata de una 
relación donde esos elementos nunca son variables; se trata de números fijos a raíz de una 
cuenta particular. Esto no es para nada una crítica; estoy hablando de lo que habitualmente 
sucede en las prácticas, es el uso que tiene, es lo que es necesario a raíz de los problemas 
con los que los chicos se enfrentan. 
Normalmente, cuando los chicos tienen que hacer una cuenta, lo que tienen es el dividendo 
y el divisor. Por ejemplo: 342 dividido 24. Los elementos dados son el dividendo y el divisor, 
y resolver la cuenta es hallar el cociente y el resto. ¿Qué quiere decir empezar a interpretar 
esto como una relación? Por ejemplo, poder analizar qué pasa si se modifica el dividendo, 
qué pasa cuando alguno de estos elementos varía, y hacerlo de distintas maneras. 
 
A partir de una cierta cuenta cualquiera: 
 
 ¿Cuánto hay que sumar al dividendo para que cambie el cociente? 
 ¿Qué pasa si en el dividendo se suma o se resta uno? 
 ¿Se podría conseguir un mismo resto con otro cociente? 
 ¿Cuántos restos se podrían conseguir? ¿Cómo habría que modificar el dividendo? 
 
Son preguntas que “se meten” en la relación, y que entonces permiten o habilitan una 
conceptualización de la relación diferente de la que queda habilitada cuando esto se utiliza 
como instrumento en la resolución de problemas cotidianos, de reparto, etc. 
Voy a definir genéricamente el problema que propusimos, y cómo lo fuimos concretando y 
plasmando a lo largo de varias clases, generando a la vez diferentes problemas. 
Si en vez de dar el dividendo y el divisor uno 
propone cuentas, a partir, por ejemplo, del divisor 
y el resto: 
 
 
Por ejemplo: encontrar dividendo y cociente si me dan como divisor 35 y el resto 27. 
Acá la idea es que se moviliza la relación de otra manera, porque esto no aparece ya como 
un algoritmo de verificación de una cuenta dada, sino que aparece como una relación 
genérica, productora de un grupo de cuentas. Entonces estaríamos cambiando el estatuto 
de esta relación. Al menos éste es el análisis que nosotros hacíamos; después vamos a ver 
que este cambio no es nada sencillo, sino bien costoso, y de esto se trata justamente el 
ejemplo que voy a plantear. Pero – en principio – la relación en su función de verificación de 
una cuenta, y la relación en su función de productora de cuentas, para quien está 
aprendiendo, son relaciones distintas. Aunque yo escriba lo mismo. ¿Por qué son distintas? 
Porque están ligadas a significaciones distintas, y esas significaciones están connotadas por 
 342 24 
 
 .... 35 
 27 .... 
Dividendo Divisor 
 Resto Cociente 
 
la función que están cumpliendo, y por el estatuto que tienen los elementos que intervienen, 
que son números o son variables, por ejemplo. 
Un procedimiento, que quienes tenemos construida la operación de división podríamos 
hacer, para producir cuentas con un cierto cociente y un cierto resto, ¿cuál sería? 
Participante: …inventar un cociente… 
P.S.: Claro; inventar un cociente, multiplicarle el divisor, sumarle el resto, y éste mismo 
procedimiento nos está mostrando que hay distintas soluciones, porque uno puede poner 
cualquier cociente. 
Acá hay ya una estructura, porque hay que inventar un número; uno tiene que poner un 
número y ese número es independiente de los datos, y eso rompe con lo que los chicos 
están acostumbrados a hacer. Uno podría también inventar un dividendo cualquiera, y 
después ajustarlo; sería muy raro que inventando un dividendo se arribe a lo que se pide, 
pero después, maniobrando con esas relaciones y sumando el resto se puede ajustar. 
Cuando uno hace el análisis de esas posibilidades, lo que está suponiendo es que quien va 
a abordar el problema tiene el supuesto de que lo aborda buscando un procedimiento, un 
único procedimiento generador de todas las cuentas que se están pidiendo. 
Sin embargo, esto no es así para aquél que no está parado en una perspectiva general, 
quien en principio no reconoce necesaria la búsqueda de un procedimiento. Uno no puede 
suponer de entrada que el alumno va a buscar un único procedimiento para encontrar todas 
las cuentas. Es decir; ése es un aprendizaje que ahí está en juego: que todas las cuentas se 
albergan en una única relación. Eso está en juego como aprendizaje, y requiere trabajo en la 
clase; no viene dado… Porque ¿qué es lo que es esperable? Lo que es esperable son 
diversos posicionamientos respecto de lo general. 
Por eso decía antes que la diversidad es inherente a un proceso de producción. Y lo que es 
razonable esperar – y nuestro trabajo corrobora esto – es que algunos chicos estén parados 
en una perspectiva completamente general, empezando por el cociente; que otros “la 
peleen” un poco más, porque empiezan con el dividendo por el hecho de que “una cuenta se 
empieza por el dividendo” y qué es eso de empezar una cuenta por el cociente… Pero hay 
chicos que aún así exploran y consiguen una cuenta, y cuando uno les dice que hay otra 
posible reaccionan: “¿Otra más? Ya me sale humo de la cabeza…” Porque la producción 
de una cuenta y de otra cuenta son procesos que en principio no tendrían nada que ver 
entre sí. 
 
Analicemos qué sucede cuando en lugar de dar como 
datos el divisor y el resto damos como datos, por 
ejemplo, el cociente y el resto: 
 
 
Desde nuestra perspectiva el problema es casi el mismo, pero desde la perspectiva de los 
chicos el problema es otro. Porque en este ejemplo, para quienes empiezan a explorar con 
el dividendo, la cosa se complica un poco más, porque no tengo el divisor. Tendría que estar 
capacitado para darme cuenta de que en algún sentido divisor y cociente podrían ser 
intercambiables, para después poder usar eso como hipotético divisor. 
Participante: O intentar con un número mayor que 12… 
P.S.: Claro; el procedimiento más cercano al nuestro sería intentar con un número mayor 
que 12, y usar el mismo procedimiento. Pero para quienes todavía no construyeron el 
significado de esta relación como productora – en el sentido en que la estamos planteando – 
empieza otra lucha. 
Lo que estoy queriendo decir es que el problema es el mismo y no es el mismo. O sea: lo 
que estamos haciendo es cambiar el problema, pero sosteniendo la relación que estamos 
tratando. Avanzo, porque no es nuestro objetivo analizar toda esta secuencia. 
 .... .... 
 12 49 
 
 
Y cuando damos como elementos 
dividendo y resto, por ejemplo: 
 
 
 
Acá se mueven otras relaciones, porque habría que ver que la diferencia entre dividendo y 
resto es el producto entre el divisor y el cociente. Mientras en el ejemplo anterior hay 
distintas soluciones, en este último puede suceder que no haya soluciones y si hay, es 
siempreuna cantidad finita de soluciones. Pero puede no haber soluciones; yo puedo no 
conseguir una descomposición multiplicativa entre dos números, donde uno de esos sea 
mayor que el resto. Y ahí ya no tengo solución. 
Y si esa diferencia es un número primo tengo una única solución. Y también puedo tener 
varias…Pero en todo caso sigo tratando las mismas relaciones, explorando costados 
diferentes. 
¿Cuál faltaría? No quiero extenderme en esto, pero si doy divisor y cociente, el problema es 
otro, y si doy dividendo y cociente, el problema es bien otro y es bastante más complejo. 
A ver: lo que quiero que retengan es que los problemas provocan rupturas – por lo que dije 
antes; que los problemas sostienen; que cada problema es distinto pero es igual. O sea: es 
distinto porque mueve un costado diferente, pero permite trabajar la misma relación; permite 
maniobrar bastante tiempo con transformar el significado de esa relación, y permite discutir 
las condiciones de la cantidad de soluciones, cuando lo transformo en objeto de análisis. 
¿Por qué? Porque el problema comporta la discusión de la cantidad de soluciones, y eso 
introduce una práctica nueva para los chicos, porque ahora ocuparse de un problema no es 
solamente resolverlo, sino también analizar cuántas soluciones tiene, y encontrar un criterio 
que permita saber cómo estoy seguro de que agoté todas las soluciones. ¿Y cómo se 
aprende eso? Bueno; de eso un poquito vamos a hablar, pero este aprendizaje está 
involucrado en la secuencia. Discutir acá bajo qué condiciones tengo una solución, o no 
tengo ninguna, o tengo varias, permite - en simultáneo que estoy discutiendo sobre la 
división entera y poniendo en juego las relaciones de la división entera- ir metiéndome con 
algunos elementos de la normativa del trabajo matemático que son nuevos en el momento 
en el que los estoy planteando. 
Cada uno de estos problemas lleva una o dos clases de discusión, porque se trata cada vez 
de problemas diferentes para los chicos, y no todos los entienden cada vez de una misma 
manera, y desde la perspectiva de la diversidad tengo una manera de organizar la 
secuencia de trabajo donde trabajo con lo mismo durante bastante tiempo, dando la 
posibilidad de dejar pendiente que los chicos se vayan “subiendo al tren” en distintos 
momentos. 
Y esto es interesante para pensarlo, porque la cuestión del tiempo en la enseñanza está 
pensada bajo el supuesto de que el tiempo de enseñanza es igual al tiempo de aprendizaje, 
y la cuestión del tiempo escolar atenta contra los procesos de producción. De nuevo: para 
que sea verdad que no haya diversidad necesitamos operar una reducción muy grande de 
conocimiento, y para que sea verdad que lo que se enseña se aprende de manera inmediata 
también. Y eso es cierto para objetos muy reducidos en su complejidad, que justamente no 
habilitan procesos interesantes de producción. 
Voy entonces con el ejemplo de lo que sería un “problema cero”; un problema anterior a 
éstos. 
 
Para entrar en calor, nosotros les propusimos 
a los chicos un problema dados el divisor, el 
cociente y el resto: 
 
 
Tenían que hacer una cuenta dados el divisor, el cociente y el resto, que era una manera de 
poner el esquema de la relación, aunque sea como verificación, y también preguntarnos por 
137 .... 
 23 .... 
.... 34 
12 18 
 
la cantidad de soluciones (aunque esto tiene solución única) como un modo de empezar a 
mover estas relaciones: qué pasa si sumo uno al dividendo, y qué pasa si sumo uno al 
divisor, por ejemplo; como argumento, como medio para producir una explicación. O sea, si 
yo pregunto acá cuántas soluciones hay, y cómo estoy seguro, estaría esperando que esas 
relaciones sean un medio para explicar por qué hay una única solución. 
Veamos el ejemplo: 
Proponé una división en la que el divisor sea 34, el cociente sea 18 y el resto 12. 
¿Cuántas soluciones hay? Si pensás que hay menos que tres, escribilas todas y explicá 
porqué no hay más. Si pensás que hay más de tres soluciones, proponé al menos cuatro 
y explicá cómo pueden obtenerse otras soluciones. 
Fíjense que este problema ya tiene muchos supuestos de generalización en la consigna, y 
los alumnos se van adaptando a eso en distintos momentos, y no de entrada. Cuando uno 
les pregunta a los chicos “cuántas soluciones hay”, operan con el supuesto de que hay más 
de una y buscan. Nosotros anticipamos eso, y no nos importaba si acaso no hubiera más de 
una, porque aunque la búsqueda de más soluciones fuera como un modo de interpretarlo de 
manera más externa a lo que subyace a la consigna, igual consideramos que íbamos a 
tener un espacio para discutir porqué había una única solución, apoyándonos para ello en 
sus argumentos. 
Un grupo de alumnos hace: 34×18+12 = 624 
Y pasó algo en la clase absolutamente interesante. En tren de buscar, un grupo hace: (34 
+18) × 12, o sea divisor más cociente por resto; y yo pienso “papita para el loro”; me siento 
ahí al lado, para ver cómo reaccionan los chicos frente al resultado que iban a obtener… 
Hagan ustedes la cuenta… 
Participante: Da lo mismo; 624. 
P.S.: Claro; pero en este caso da lo mismo… ¿Estamos de acuerdo? Es un caso 
recontraparticular… 
Participante: ¿Lo hicieron a propósito? 
P.S.: No… Lo importante es ver qué pasó, y cómo transformar esta coincidencia en una 
oportunidad para reflexionar. Analicemos algunas cosas: los chicos usan la relación 
dividendo = divisor × cociente + resto; es una relación que conocen, y que ponen en juego, 
después vamos a ver con qué estatuto, pero en principio con la misma idea de verificación, 
porque utilizan los números dados. Pero usan esta relación, y no sabemos con qué nivel de 
generalidad; no sabemos cómo ellos están usándola, porque cuando ponen 34 en la 
igualdad, ¿lo piensan como el divisor o sólo ponen en juego en algún cálculo el número que 
se dio como dato? No sabemos… ¿Y esta igualdad vale para esta cuenta o vale para 
cualquier cuenta? No sabemos. Piensen que una situación como ésta en el espacio de la 
clase se produce de una manera instantánea, y no hay mucho tiempo para pensar las 
intervenciones posibles. Son cosas que podemos pensar después, analizando la clase… 
Pero en principio no podemos saber con qué nivel de generalidad se produce 34×18+12 = 
624, ni mucho menos con qué nivel de generalidad se produce (34 +18) × 12. Y tampoco 
podemos saber si los tres alumnos que participaron de ese episodio pensaban lo mismo y 
estaban parados en el mismo lugar con respecto a la generalidad. 
Otro participante: Pero me parece que no importa, porque al llegar al mismo resultado se 
dan cuenta de que hay una sola forma… 
P.S.: Discutamos un poco esto… 
Participante: A los chicos se les propone encontrar un dividendo a partir de esos datos, y 
encuentran dos veces el mismo… 
P.S.: ¿A ver, qué piensan los demás? 
 
Otro participante: Sí importa, porque si les cambiás los números llegan a otro resultado… 
Otro: Además, hay que ver cuál de las reglas institucionalizan para otras divisiones… 
P.S.: A ver, eso que (el primer participante) estaba planteando, en algún sentido lo 
podríamos repensar para los chicos. Los chicos dicen “para ésta vale”, pero es verdad de 
casualidad, no es la generalidad, y es algo que no podemos dejar pasar… Si lo dejamos 
pasar entramos en una zona pantanosa; la intención no es dejarla pasar, porque si la 
dejamos pasar es como esconderla bajo la alfombra. Al contrario: ya que tuve la suerte de 
que, así sea de casualidad, encontraron una cuenta donde les dio lo mismo, la 
intencionalidad didáctica es la de trabajar el nivel de generalidad de la relación dividendo = 
divisor × cociente + resto y la de trabajar qué es lo que caracteriza a la división entera, y lo 
que la determina. 
Participante: Porque una cosa es el resultado final y otra el procedimiento… Es como un 
chico que resuelve una ecuación equivocándose dos veces, pero llegando de casualidad al 
resultado correcto. 
Otro participante:Pero según la forma de operar, esa cuenta podría ser resuelta por un 
alumno con ese resultado, 624, a partir de una serie de operaciones apropiadas… 
P.S.: Depende de cuál sea el proyecto; si el proyecto era producir esa cuenta, o si el 
proyecto era producir esa cuenta como una cuenta genérica de cualquier cuenta. 
Por eso, también, si yo solo doy el enunciado del problema – y esta discusión lo muestra – 
el enunciado no porta la intención didáctica del problema. La intención didáctica del 
problema es el enunciado más el análisis que nosotros podamos hacer, más las 
explicaciones que podamos producir en los chicos a partir del problema. Si los chicos 
acomodan los números – y puede ser que lo hagan – para obtener 624 de distintas 
maneras, lo que vamos a tener que discutir es si esas distintas maneras funcionan para 
cualquier cuenta. Y ahí nos vamos a tener que pelear con los chicos, entre el “qué me 
importa si no funciona para otra cuenta si funciona para ésta”, versus los chicos que 
empiezan a entender que lo que estamos comunicando es una propiedad de funcionamiento 
general. Y si una propiedad es válida, lo es para todos los elementos de un cierto dominio, y 
no para un caso particular. Y estas ideas están en juego en este problema. En ese sentido el 
análisis nos hace ver que este problema era mucho menos inocente que lo que parecía, 
porque las cosas que estaban en juego eran muchas más que las que nosotros habíamos 
anticipado para este primero, al que habíamos llamado “problema cero”. Creo que con todo 
lo que nos dio, bien se merece el estatuto de “problema uno”… (risas). ¿Se entendió? No sé 
si están de acuerdo… 
Participante: Más o menos… Por un lado, si es un “problema cero”, me parece bárbaro que 
encuentren en dos cuentas distintas un mismo resultado. Y si después decimos que no es lo 
que quisimos hacer es una cuestión aparte, pero por un lado me parece bárbaro que haya 
salido así… 
P.S.: ¿Qué opinan los demás? 
Otro participante: Yo creo que son dos cosas distintas. Está bárbaro que haya salido así, 
pero también que no lo podés dejar ahí… 
Participante anterior: Pero se trata de un problema cero; si fuera el último de la serie 
entonces sí, el docente habría fallado… 
Segundo participante: No creo que se trate de haber fallado; uno se encuentra con esto, que 
salió así, y entonces algo tenés que hacer. Y la cuestión es cómo hacerlo… 
Primer participante: Lo que pasa es que obtener ese resultado en un primer problema me 
parece que está bueno… 
P.S.: ¿Por qué? ¿Si hubiera salido distinto hubiera estado peor? Te digo un poco cuál fue 
nuestra posición: 
 
Nosotros estábamos involucrados en un proyecto que tiene que ver con construir un 
posicionamiento general, y fundamentado. Las dos cosas. Después vamos a ver la relación 
entre justificación y fundamentación. Nosotros podemos intervenir, en principio, tratando de 
interpretar qué es lo que están planteando los chicos sin esperar que se agote ahí, pero sí 
intervenir… Porque es un modo de empezar a plantear la discusión, y sin esperar que la 
cuestión se agote allí. Porque eso no se agota ahí, y eso está más allá de nuestro 
deseo…Porque nosotros no podemos controlar cuándo un alumno va a asumir una posición 
más general y va a entender que hay un dominio y un ámbito de validez y una propiedad… 
Lo que nosotros podemos ofrecer es un ámbito de discusión y una práctica que ponga en 
juego eso. Pero en qué momento lo van a ir asumiendo los alumnos es una cosa que no se 
puede controlar… 
Participante: Una acotación: éste no es el único caso en el que se produce; hay muchos 
casos más… 
P.S.: Exacto; por supuesto, cuando nos encontramos este caso, después nos pusimos a 
demostrar cuál es la familia que cumple con esto, pero eso para un análisis nuestro, porque 
es algo que está afuera de las posibilidades de los chicos, por supuesto… Después, si 
quieren, porque no quiero usar el tiempo de la conferencia para eso, pero a los que les 
interese les puedo dar el desarrollo; cómo hicimos la demostración y cuáles son las 
condiciones para que esto se cumpla. Hay toda una familia que cumple con esto, pero no 
era para nada el objetivo tratar eso con los alumnos… 
Quiero analizar con ustedes la intervención de la maestra; pero antes quiero decirles algo: 
Había dos chicos y una chica en el grupo, y la chica dice: “Nos dio igual, pero no estoy 
segura si esto vale para cualquier caso”. Mientras que uno de los chicos dice: “Acá vale y 
punto”. Y el otro chico se queda en una posición intermedia. De manera que, de entrada, ya 
se manifestó un posicionamiento diferente de los tres frente a este resultado que obtuvieron. 
Entonces, cuando esto sucede, podemos decir que los tres están usando esta relación 
(divisor por cociente más resto); no sabemos exactamente con qué nivel de generalidad la 
están usando, pero sí tenemos datos que nos permiten interpretar que están parados en 
distintos lugares respecto de la generalidad. 
 
Maestra: Pónganse otra cuenta cualquiera y fíjense si esto se vuelve a dar. 
José María: (Luego de ensayar un cálculo) Ahora hicimos 34 x 12 + 18 y no nos dio. 
 
Esta primera intervención de la maestra tiene un montón de supuestos, que vamos a 
analizar. “Fíjense si esto se vuelve a dar”… ¿A qué se refiere con “esto”? Para interpretar 
ese “esto”, ¿qué es lo que se tiene que volver a dar? ¿Cómo interpretan ustedes el “esto”? 
Participante: La relación… 
Otro participante: El mecanismo… 
Otro: El resultado… 
P.S.: …desde la intención de la maestra, pero los chicos no interpretan el “esto” de esa 
misma manera; no necesariamente… Sin embargo, su intervención está comunicando algo, 
y eso empieza a formar parte de la clase. Y el “si se vuelve a dar” también tiene un 
supuesto, que es que esto se tiene que volver a dar. O sea que, para que funcione, se tiene 
que volver a dar en otros casos. O sea que hay una primera aproximación en esa 
intervención, y lo que los chicos interpretan con el “esto” es otra cuenta con los mismos 
números dados, y no reproducir la relación divisor por cociente más resto. Y lo intentan, y 
dicen: “Hicimos, y no nos dio”. 
 
Y fíjense en el registro. La interacción continúa: 
 
 
Maestra: Yo les decía si en lugar de divisor 34, cociente 18 y resto 12 yo les 
pidiera una cuenta en la que, por ejemplo, el divisor fuera 53, el 
cociente 17 y el resto 23, ¿cómo harían? 
José María: Esto por esto más esto (53 x 17 + 23), da 924. 
Maestra: O sea que 924 dividido 53 da 17 y resto 23. ¿Cómo saben que esto 
está bien? 
Paula: Porque multiplicás divisor por cociente más resto. 
Maestra: Lo que ustedes habían hecho antes con la otra cuenta, ¿cómo era? 
Paula: Habíamos sumado el divisor más el cociente y lo multiplicábamos por 
el resto 
Maestra: A ver, háganlo… 
Gabriel: (hace el cálculo) 1610, no da. 
Maestra: O sea, es una casualidad que les haya dado antes, ¿entienden? 
Gabriel y Paula: Sí 
 
A partir de que la maestra ve que los chicos hacen otra cuenta con los mismos números, 
dice: “Yo les decía que si en lugar del divisor 34, cociente 18 y resto 12, yo les pidiera una 
cuenta en la que por ejemplo el divisor fuese 53, el cociente 17 y el resto 23, ¿cómo 
harían?” “Esto por esto más esto”, o sea divisor por cociente más resto. O sea que José 
María usa la relación, pero usa ésta y usa otras… Da 924, o sea que 924 dividido 53 da 17 y 
el resto es 23. “¿Cómo saben que esto está bien?” “Porque multiplicar divisor por cociente 
más resto”, dice Paula, que es la que ya se estaba preguntando de entrada si lo otro servía 
o no servía. “Lo que ustedes habían hecho antes con la otra cuenta ¿cómo era?” Y aquí es 
Paula la que responde en términos de relación; los otros chicos no. Paula dice: “Habíamos 
sumado el divisor más el cociente y lo multiplicamos por el resto”. Y esto ya nos da más 
elementos para interpretar que el posicionamiento de Paula respecto del de José María era 
diferente, porque ella está planteando que usaron una relación, en tanto queJosé María 
insiste, en distintos momentos, que está trabajando con números, y que se trata de estos 
números…Y entonces, la maestra, apoyada en lo que dijo Paula: “Habíamos sumado el 
divisor más el cociente y lo multiplicamos por el resto”, les dice: “A ver; háganlo”. Y hacen; y 
no da. Y la maestra dice: “O sea que es una casualidad que les haya dado antes”. 
Participante: Pero también podrían haber hecho otra cuenta, con esos mismos números, 
que no les dé 624, por ejemplo: 24 más 12 por 18, que no les daría el mismo resultado; al 
menos eso espero… (risas). ¿Por qué no la hacen? Ahí hay algo que los chicos también 
están suponiendo… 
P.S.: No; eso sería muy especulativo… Yo no sabría contestar por qué hacen esta cuenta y 
no hacen otra… Yo creo, por todo lo que pasa después, que no está planteado desde otro 
supuesto. De todos modos, lo que nosotros estábamos esperando no era que esto se 
saldara encontrando más cuentas con el mismo resultado, sino que se saldara con una 
explicación. Explicación que todavía no alcanzan… 
Participante: Me parece que el problema que se está planteando tiene que ver con una 
diferencia de objetivos. Cuando vos les planteás a ver si pueden encontrar otros resultados 
tenés claro el objetivo. Y al ver, como plantea la compañera, que también es rico que hayan 
encontrado ese segundo resultado, lo que de todos modos no hay que perder es el primer 
objetivo, que era el de que los chicos puedan relacionar correctamente las distintas 
relaciones de la cuenta. 
 
P.S.: Sí; y yo diría aún más que eso: que puedan relacionar, que puedan concebirla como la 
caracterización de la división, que puedan verla como una relación productora de las 
soluciones del problema que se les está planteando, que puedan ver los elementos como 
variables… Todo eso es lo que está en juego en la secuencia. 
Cuando intervenimos, intervenimos como un modo de ir instalando discusiones, y sin pensar 
que las vamos a saldar… Y mucho menos que las vamos a saldar con cuentas. Las vamos 
a saldar apelando a la producción de explicaciones, que era un poco el objetivo. Y el medio 
para explicar sería el de movilizar relaciones vinculadas a la división entera. 
Participante: Pero uno en algún punto lee que los chicos no están interpretando bien el 
sentido de la división, porque cuando uno aplica la relación divisor por cociente más resto, 
es como volver a encontrar algo que ya repartí: me pregunto cuántos tenía, y entonces hago 
esta cuenta para saber cuántos tenía… Pero si hago otra cuenta que no sea esa, no tiene 
ninguna relación con el sentido de repartir, ni con la división… No sé si me explico… 
P.S.: Sí, te entiendo, pero te voy a objetar, porque así es lo nuestro… A ver: yo no diría que 
“no están interpretando bien”; yo diría que en un contexto la división tiene un significado, y 
que en otro contexto la relación se transforma, y lo que están haciendo es reconstruirla en 
ese nuevo contexto. Entonces, esa idea que estás trayendo, en donde inmediatamente 
tomás como referente una situación contextualizada para pensar esta otra, fue un tipo de 
intervención que se hizo pero que los chicos no asumían de manera inmediata…El 
agrupamiento mismo de un mismo tipo de problemas también es producto de una 
construcción y de un trabajo. Por eso es que yo no diría que “no están interpretando bien”, 
porque éste es un contexto que provoca mucha ruptura, y hay que dejar ir pensando la 
cuestión en ese contexto… 
Veamos lo que anota José María en su carpeta: 
 
a. Hay que multiplicar el divisor por el cociente y sumarle el resto: 
 34 x 18 + 12 = 624 
b. Hay que sumar el divisor más el cociente y multiplicarlo por el resto: 
 34 + 18 x 12 = 624 (es una coincidencia) 
 
Hay que seguir avanzando. El problema está planteado y no se salda de inmediato; es todo 
el conjunto de la secuencia el que ayuda a ir saldándolo. A ver: hasta ahora, ¿cuál es la 
moraleja? Se plantea una cuestión vinculada al posicionamiento de los alumnos con relación 
a lo general, aflora cuál es el estatuto de la relación divisor por cociente más resto; si esa 
relación compite con otras de la misma manera, se empieza a comunicar que un 
procedimiento para ser tal tiene que ser general, y se empieza a comunicar que una 
propiedad, para que sea una propiedad, tiene que ser válida para todos los elementos del 
dominio al que se refiere la propiedad. Pero todo esto se empieza a comunicar a través de 
las intervenciones, a través de las discusiones, y a través tanto de la intervención de la 
maestra como de la intervención de Paula, que se hace preguntas, que aunque los 
compañeros no asumen de manera inmediata, de todos modos escuchan. 
 
Viene otro problema: 
 
Proponé una cuenta de dividir en la que el divisor sea 32 y el resto 
sea 27. ¿Cuántas soluciones hay? Si pensás que hay menos que 
tres, escribilas todas y explicá porqué no hay más. Si pensás que 
hay más de tres soluciones, proponé al menos cuatro y explicá 
cómo pueden obtenerse otras soluciones. 
 
 .... 32 
 27 .... 
 
Ya hablamos de este problema. No lo voy a analizar. ¿Qué pasa con José María con este 
problema? José María es el que dijo que aquel resultado era una coincidencia. Acá se ve 
claro: José María a duras penas produce dos cuentas. Vamos a ver cómo las produce. 
 
 
 
 
Hace 32 + 27 : 32, que le da cociente 1 y resto 27, pero ¿qué es lo que hizo? En la primera 
cuenta sumó los datos, y en la segunda los multiplicó y como le dio resto 0 decide sumar el 
27. 
En principio, en esta primera solución José María no propone más cuentas, y esto nos está 
indicando que no tiene una estrategia para producir muchas cuentas, que no está viendo 
cada una de las cuentas como correspondiendo a una misma relación, que está viendo cada 
una de esas cuentas de manera aislada, separada una de la otra; en suma, que opera con 
los datos. 
Participante: De todos modos busca la manera de resolverlo… 
P.S.: Sí, pero la idea es interpretar qué hace, desde dónde lo hace, y entrar en diálogo con 
eso. De eso se trata un proceso de producción, que es lo que estamos discutiendo. O sea: 
uno podría sobreimprimirle otras producciones, pero la idea es tratar de entender desde 
dónde está produciendo esto, y qué tipo de interacción vamos a tratar de desplegar para 
que se vaya transformando el significado de la relación que él está tratando. 
Participante: A mí se me ocurre que lo que José María está haciendo es ir probando… 
P.S.: Sí; 32 y 27 son datos; ahora, ¿qué pasa con los datos? 
Quiero contarles otro episodio, que tiene que ver con cómo se enlaza la cuestión del tiempo 
en la secuencia, que es un elemento que planteamos al principio… A raíz del primer 
problema, en otra clase, muchos alumnos planteaban que la solución es única, porque si le 
sumo uno al dividendo cambia el cociente o cambia el resto. Voy a leer el registro de un 
alumno al respecto; surge a raíz del “problema cero”, no de este último; lo que pasa es que 
después se pone en relación con éste. Están tratando de argumentar que para el problema 
anterior hay solución única. 
 
Marina: Además es sólo un dato lo que podés cambiar, si fuera el resto 
también, pero es sólo ese dato el que podés cambiar, es sólo ese 
dato dividido lo otro y te tiene que dar exacto. 
Maestra: A ver, no te entendí bien. ¿Lo podés decir de nuevo, para que 
puedan llegar a una conclusión entre todos? 
Marina: El único número que podemos cambiar es 624, porque los otros 
tienen que quedarse como están; 12, 34 y 18. Y una unidad más que 
es lo menos que podemos aumentar no da, el resto cambia. El resto 
no lo podemos cambiar, tenemos muy pocas posibilidades. 
Maestra: Lo que ustedes están diciendo es: 624 dividido 34 da 18 y resto 12, y 
si cambio el 624 y pongo 625, ¿qué pasa? 
Vicky: Cambia el resto. Da 13. Si vos a 624 le volvés a sumar 34 lo que no 
te va a dar es el cociente. 
Maestra: ¿Estánde acuerdo con lo que dicen Marina y Vicky? 
Agustín: Sí. 
Maestra: Pablo, ¿escuchaste lo que ellas dijeron? 
 32 + 27 32 
 27 1 
 32 x 27 32 
 0 27 
 
Pablo: Sí. 
Maestra: ¿Y te convencieron o no? 
Pablo: A mí me gusta buscar hasta que me canse. 
Maestra: ¿Pero el argumento de ellas no te convence? 
Pablo: Más o menos. 
Cuando la maestra interviene diciendo: “Lo que ustedes están diciendo es que 624 dividido 
34, da 18 y el resto es 12” y les propone ver qué pasa si cambio el 624 y pongo 625, Vicky 
responde: “Cambia el resto; da 13. Y si vos a 624 le volvés a sumar 34, lo que no te va a dar 
es el cociente”. O sea que esta alumna tiene bastante claras las relaciones de variación. 
Pero en el grupo había otros dos alumnos; veamos sus respuestas: “¿Están de acuerdo con 
lo que dicen Marina y Vicki?”. Agustín dice “SÍ”. La maestra pregunta: “Pablo, ¿escuchaste 
lo que ellas dijeron?” “Sí”. Maestra: “¿Se convencieron o no?” Y Pablo responde: “A mí me 
gusta probar hasta que me canse”. “¿Pero el argumento de ellas no te convence?” “Más o 
menos”. …O sea que no lo toma: queda pendiente. Y aceptamos que queda pendiente, 
porque conocemos que esto se sigue trabajando, que es algo que no vamos a agotar con 
este primer problema. 
Cuando viene el segundo problema, Pablo dice: “Ahora entiendo por qué el problema 
anterior tenía una solución única”. Al tener un grado de libertad (en el segundo problema), y 
al ver que ahí están variables el cociente y el dividendo, y que puede maniobrar con el resto 
y con el divisor, entiende por qué el primer problema tiene una única solución. O sea que 
para Pablo queda planteada una pregunta que se responde con otro problema, y el nuevo 
problema le permite volver a aquel primero. 
Más allá de este caso particular, lo que quiero resaltar es el juego con el tiempo; cómo un 
problema puede ser productor de preguntas que quedan pendientes y que se vienen a 
saldar con otros problemas del mismo tipo. 
A raíz del segundo problema (el de divisor 32 y resto 27), que es un problema que tiene 
infinitas soluciones, voy a plantear problemas que tienen otras condiciones, en esta idea de 
pensar la clase como un espacio donde las intervenciones de los chicos y del docente 
funcionan como elementos que permiten modificar la perspectiva de algunos alumnos, que 
es algo que pasa con algunos alumnos y no con otros, porque es algo que tiene que ver con 
las anticipaciones que los chicos hacen. 
Vamos a ver ahora dos ejemplos, pero lo que quiero decir es que con el tema de la cantidad 
de soluciones pasa algo: uno produce una relación, una cuenta en este caso, y los chicos 
tienen elementos para saber si esa cuenta responde o no a las condiciones del problema. 
Pero en principio eso mismo no los habilita para estar seguros, para afirmar cuántas 
soluciones tiene el problema. Es algo que depende de cómo lo hayan pensado. 
Entonces, una apuesta nuestra es que la confrontación entre distintas soluciones, o la 
confrontación entre chicos que decían que hay solución única y otros que decían que hay 
infinitas, o varias, tenía que funcionar como modo de avanzar en esa discusión, y tenía que 
devolverles algo a los chicos que planteaban que había solución única. Es decir, 
necesitábamos del espacio colectivo para saldar esa cuestión de la cantidad de soluciones. 
Porque es algo que no vemos que se pueda dirimir en la interacción de cada chico con el 
problema. Porque la sola interacción de los chicos con el problema no ofrece elementos 
para eso. 
Bien; esto que acabo de decir: que las intervenciones de los otros les van a permitir a los 
chicos que postulan la solución única modificar su perspectiva, no es siempre 
verdad…Depende, de nuevo, desde qué lugar y con qué anticipaciones los alumnos dicen 
que hay solución única. En otras palabras, que el solo hecho de que digan “hay solución 
 
única” no alcanza para interpretar cuál es el posicionamiento del alumno. Eso es lo que 
quiero resaltar. 
Y entonces voy a plantearles dos ejemplos: un ejemplo donde la intervención de un alumno 
permite hacer un “clic” a otras alumnas, y un ejemplo donde eso no ocurre para nada. 
Vamos primero al ejemplo en el que “todo termina bien”: 
Silvina: Nosotras hicimos 32 x 27 – 27 y nos dio 837 
Maestra: ¿Y qué hicieron con ese 837? 
Silvina: Ese 837 vendría a ser el cociente. Para sacar el dividendo hicimos 32 x 837 
+ 27 
Maestra: Y cuando lo dividimos por 32, les da cociente 837 y resto 27 
 (Anota 837 x 32 + 27). 
Hasta acá, ¿cómo interpretamos lo que hizo Silvina? 
Participante: Buscó los números para justificar un cociente… 
P.S.: O sea que el cociente no lo puede inventar; no se anima a inventarlo. Lo obtiene con 
los datos. 
Participante: ¿Y por qué escribe “menos”? 
P.S.: No sé; no tengo explicación. Lo que puedo ver es que opera con los datos. Y que el 
cociente lo obtiene a partir de los datos. Les digo cuál es mi interpretación: acá tendría que 
plantear un cociente, multiplicarlo por 32, etc. Pero esa atribución, en vez de hacerla, ella la 
obtiene de los datos. Hay un supuesto, bastante explícito, de que el cociente depende de los 
datos. No es una variable independiente. Y acá se mezclan dos cuestiones: una cosa que es 
lo que sucede en las prácticas aritméticas con los problemas donde los chicos cualquier 
dato que usan, o viene dado o lo van obteniendo a partir de operar con los datos, es decir, 
no hay derecho a atribuir, con la idea más compleja de lo que es una variable independiente, 
que también está jugando acá. 
Participante: Y esta chica también supone que hay una solución única… 
P.S.: Claro; y en la medida que tiene el supuesto de que el cociente depende de los datos, 
también – coherente con ese supuesto – es que hay solución única. 
Entonces viene otra, que proviene de otro grupo, y en la discusión colectiva plantea: 
Julieta Nosotros hicimos 32 por.... Bueno hicimos 32 x 10 pero puede ser cualquier 
número. 
Maestra: ¿Cualquier número o diez? 
Julieta: Puede ser cualquier número pero pusimos por ejemplo 10. 
Maestra: 32 por 10 más 27, igual 347 
 (anota en el pizarrón 32 x 10 + 27 = 347) 
Silvina: (Con tono muy eufórico) Entonces sí pueden haber un montón de 
cálculos!!! Lo puede multiplicar por cualquier número y ese va a ser el 
cociente. Por ejemplo si multiplicás por 1, te va a dar 1 de cociente; si 
multiplicás por 3, te va a dar 3 de cociente, y así. 
Ahí lo que nosotros interpretamos es que Silvina, aunque opera con los datos, esa pregunta 
que ustedes se hacían “por qué menos”, yo supongo que ella también se la hizo, porque ella 
opera de alguna manera con los datos pero con bastante incertidumbre… Lo interesante es 
que ella hace eso pero no está nada convencida. 
Participante: Está allí el supuesto de que el problema se resuelve con los datos; pero 
descubre que se puede hacer otra cosa, y que entonces puede haber un montón de 
cálculos… 
 
P.S.: Yo coincido con esa interpretación. O sea: en este caso, la intervención de la otra 
alumna funciona como una retroacción, y modifica el planteo inicial. Pero sobre la base de 
un posicionamiento inicial que era bastante incierto. Yo creo que ella hizo eso pero no 
estaba para nada convencida de lo que estaba haciendo. Además, ya había usado la 
relación de divisor por cociente más resto; obtuvo ese cociente, pero después lo que hace 
es usar bien la relación, la tenía disponible… Veamos cómo sigue el registro ese, para ver lo 
que pasa con el resto de los chicos. Después de esa discusión: 
 
Maestra: ¿Se puede inventar cualquier número o hay que usar los números que me 
dieron? 
Silvina: Nosotros lo hicimos y nos dio. Pero da igual (P.S.: La misma Silvina, que ahora 
redobla la apuesta…) 
A1: (con un tono un poco desafiante o desconfiado) A ver, probá con otro!!! 
Maestra: Probemos, decime un número. 
A1: 3 
Maestra: Díctenme. 
A1 3 x 32 + 27 = 123 
Maestra:¿Cuánto va a dar el cociente? 
A1: Te tiene que dar de cociente 3 (P.S.: Fíjense que dice: “Te tiene que dar”; aquí 
ya hay una anticipación. Esa relación tiene que dar 3) 
Maestra: ¿Seguro? 
Algunos: Sí. 
Maestra: ¿Ilan, seguro? 
Ilan: No sé. 
Maestra: ¿Tenemos que hacer la cuenta? 
Ilan: Sí. 
Para este alumno, la relación no es anticipatoria de la cuenta; la relación sirve para verificar, 
pero no para producir. O sea: siguen conviviendo distintas significaciones de esa relación a 
lo largo de toda la secuencia. Se van modificando, pero siguen conviviendo. 
Veamos otro ejemplo. Se trata de otra clase, otra maestra, otro grupo: 
En este grupo, una alumna, Constanza, también plantea que para la cuenta con divisor 32 y 
resto 27 hay solución única. 
Constanza: Nosotros nos confundimos porque primero hicimos 32 x 27 y nos dio 864. A 
eso lo dividimos por 32, pero en vez de darnos resto 27 nos dio cociente 27 
y resto 0. Entonces estaba mal. Entonces lo tachamos. Entonces después 
hicimos 32 + 27 y nos dio 59 y lo dividimos por 32 y nos dio resto 27. 
 (P.S.: Fíjense que multiplica los datos, tiene que hacer la cuenta para advertir 
que tiene que darle cociente 27 y “le da mal” porque le dio en un lugar 
equivocado, y entonces no sirve, está mal. Y la descarta). 
Maestra: ¿Por qué sumaron 27 + 32? 
Constanza: Para ver cuál era ese. 
Maestra: ¿El dividendo? 
Constanza: Sí. 
Maestra: ¿Única posibilidad? 
 
 (P.S.: Esa pregunta por el dividendo es una intervención que tampoco 
coincide para nada con lo que estaba pensando Constanza; no hay ninguna 
razón para suponer eso…) 
Constanza: (se ríe) En realidad, nosotros pensábamos que no había más, porque si 
poníamos 60 nos daba 28, y si poníamos 58 nos daba 26. 
P.S.: Quiero detenerme en el argumento que usa: lo baja y lo sube un poquito; ensaya un 
poquito, y con esos ensayos concluye que la solución es única. Acá quiero señalar la 
relación mutua entre las herramientas que usa para dar por válido, y la conceptualización de 
la división entera. ¿Qué estoy queriendo decir? Si ella se hubiera atrevido con más 
exploraciones se podría haber dado cuenta de que si suma 1 se modifica el resto, pero que 
si suma 32 vuelve a caer en el mismo resto. O sea que si ella hubiera ampliado su 
posibilidad de exploración, en vez de ensayar solo con uno o dos ejemplos, hubiera llegado 
a otra conclusión. 
Entonces, para analizarlo, nosotros podríamos decir que hay dos cosas: por un lado qué 
nivel de exploración ella necesita para dar algo por válido, y qué afirma respecto de la 
división entera. Entonces, de alguna manera me parece interesante resaltar que las 
herramientas que se necesitan para dar por válido algo intervienen en la conceptualización. 
Hay una evolución en la racionalidad matemática, por llamarla así, y el conjunto de 
herramientas que los alumnos utilizan para producir no se elabora aislada de la 
conceptualización de los objetos con los que están tratando. Ahí hay una doble relación: 
intervenir sobre las herramientas que se necesitan para dar por válido, interviene sobre la 
conceptualización, y recíprocamente. O sea, el conocer otras relaciones de la división entera 
le podría haber informado que con esos ejemplos no le alcanzaba para hacer una 
exploración exhaustiva. 
Sigamos con el registro: 
Maestra: Entonces antes de que expusiera este otro grupo pensaban que había una 
única posibilidad, ¿ahora no lo piensan? 
Constanza: No (se ríe y sus gestos muestran que no está muy convencida) 
Constanza: Viendo lo de los otros grupos nos dimos cuenta de que había más porque 
nosotros lo que hicimos no fue adivinar, nosotros tratamos de no adivinar, o 
sea sacar el número que tenía que ir ahí pero sin adivinar, usando los 
números que teníamos. 
Maestra: ¿Qué piensan en cuanto a las posibilidades? 
Constanza: (riéndose) No sé. 
Detengámonos en esto que ella llama “adivinar”. Poner un número es adivinar, y ella lo está 
viendo como una “avivada” de los otros. Los otros “adivinaron”, qué vivos que son… 
Escriben cualquier número, lo ponen, y así cualquiera…(risas) Pero es el marco de trabajo 
con el que cuenta, y es con el que hay que discutir, con el que hay que interactuar… Pero es 
el que tiene, y que es producto de la práctica aritmética. Ella está en algún sentido 
descalificando las estrategias de los otros porque se basan en algo que para ella no está 
habilitado: “adivinar”. Si no adivino, hay una sola; si adivino puede haber muchas, pero así 
no vale… 
Participante: No sé quién es el docente de Constanza, ni qué pasó con el docente de 
Constanza en el primer ejercicio, en el que está determinado… 
P.S.: Lo digo, porque es interesante; ahí se discutió si había solución única, y se movieron 
las mismas relaciones que usó después Constanza para justificar que había relación única. 
Participante: Mi pregunta es ¿Estamos seguros de que en algún momento la maestra de 
Constanza no le dijo “Mirá bien los números; a ver qué podés hacer con eso”? 
 
P.S.: No; no intervino así. Esto dispara otra discusión. Les voy a decir cómo intervino; con 
esto “me estoy saliendo del libreto”, pero es interesante y se los dejo para que lo piensen: 
Este grupo efectivamente estaba trabado con este problema, no les salía; y lo que hace la 
maestra es llevarlos a una situación de reparto: “Piensen, por ejemplo, si ustedes están 
repartiendo caramelos, y son 34 chicos, y le di 18 a cada uno y sobraron 12. ¿Cuántos 
había?” Dicho así, este problema es un problema de multiplicación… Entonces, la 
contextualización los chicos la hicieron perfectamente: Constanza responde a eso y hace 
una multiplicación, pero se pierde el vínculo entre el problema y la resolución. Y eso está 
dado por el contexto. O sea: en este caso, el contexto oscurece lo que yo quiero tratar. Y 
eso pasa muchísimas veces. 
Participante: El contexto es necesario, pero es polémico… 
P.S.: Exacto; el contexto ofrece elementos para pensar, y tiene límites. Y es interesante 
como reflexión. En este caso el contexto habilita algo que oscurece lo que queremos tratar. 
Participante: También sucede que muchas veces lo que nosotros queremos es que el chico 
resuelva el problema, pero algunas veces la intencionalidad didáctica puede ser que no lo 
resuelva, para que pueda pensar…Porque a veces resolviendo el problema el chico 
encuentra la respuesta pero pierde la posibilidad de pensar; el trabajo matemático no es que 
resuelva el problema, sino que encuentre la relación entre las variables…Cosa que no se va 
a dar en un día, en un único problema ni en un momento, sino que requiere un proceso. 
Otro participante: Por eso decía antes; como hubo seis años antes de prácticas con otros 
docentes… 
P.S.: Pero no lo miremos solo en términos de culpabilización. Hay una práctica; y hay una 
ruptura cuando queremos que los chicos empiecen a tratar estas nociones, y esa ruptura es 
inevitable, y es contra esa práctica. Y hay que tomarla como referencia, y “pelearse” con 
ella. Pero no lo miremos como una “desgracia” del sistema educativo… 
Participante: Pero a mí me pasa que me suelo encontrar con muchas de esas 
cristalizaciones típicas del proceso educativo, y trato de generar estas rupturas a principios 
de año – en cuestiones de matemática como en tantas otras – como para poder encarar 
estos problemas más liberados de estos esquemas… 
P.S.: Es algo que yo no sabría contestar “en general”, de una manera generalizada e 
independiente del asunto que estemos tratando…Sí me parece que uno podría construirse 
un marco para pensar esto, y analizar cada situación. Yo puedo plantear una ruptura pero 
tengo que cuidar cuáles son los elementos que se preservan para que los chicos puedan 
seguir trabajando. De otro modo, uno “dejaría afuera”; uno podría producir una gran ruptura 
pero inhabilitando a los chicos…Entonces, importa visualizar cuáles son las referencias que 
sí pueden seguir teniendo, y cómo se juegan los elementos de ruptura,para que esos 
mismos que son de ruptura también sean de apoyo. Que es lo que pasa con la aritmética… 
En este caso se está planteando una ruptura con la práctica aritmética, pero también es un 
punto de apoyo. 
Para contestarte de manera general, creo que uno tendría que pensar qué es lo que queda 
habilitado, y cómo puedo seguir sosteniendo a los chicos en una posición habilitada y 
autónoma. Porque muchas veces, si yo planteo cuestiones muy rupturistas pero los chicos 
dejan de tener herramientas, los dejo tan dependientes como cuando les planteo cosas con 
clave; es “por el otro lado” pero el efecto es parecido, porque dejo al alumno pendiente de lo 
que el maestro quiere; porque tiene que adivinar esta intención rupturista, pero finalmente es 
una adivinanza…Esto sería lo que te podría contestar de manera muy, muy genérica, y 
después la invitación a analizar cada caso… 
Otro participante: Antes hablaste de la diversidad, y pensando en nuestro postítulo– que es 
un espacio en el que nos la pasamos trabajando esta cuestión de cómo atender a la 
diversidad, cosa nada fácil – muchas veces nos confundimos pensando que atender la 
diversidad es el esfuerzo de buscar distintos contenidos para cada chico, y en tu ejemplo 
 
mostraste claramente cómo atender a la diversidad puede ser otra cosa; no tanto 
seleccionar distintos contenidos para cada chico, ni buscar cantidad de material 
diverso…Donde el desafío tiene que ver más con la práctica, con el hacer… 
P.S.: Sí; la intención era comunicar eso con un ejemplo… Y también la de comunicar que 
hacer eso no es nada fácil. No es nada fácil encontrar problemáticas que se puedan 
sostener en el tiempo, que sean potentes, que habiliten distintos posicionamientos, que 
puedan ser trabajadas desde distintos posicionamientos… 
Otro participante: A partir de estos registros de observaciones, me preguntaba cómo el 
observador puede definir hasta dónde las respuestas tienen que ver con el posicionamiento 
de los chicos, con la lógica con la que abordan los problemas, y hasta dónde no intervienen 
también cuestiones de relación entre ellos…Contradecir la respuesta que da un chico 
simplemente “porque no me lo banco”, y sin tomarme el trabajo de analizar cómo llegó a esa 
solución… 
 P.S.: Siempre intervienen en el aula cuestiones que son del orden de lo social; pero hay 
maneras de reasegurarse. Uno está bastante tiempo adentro de un aula y puede analizar el 
grado de compromiso que van teniendo los chicos, y los vínculos que se entablan; en todo 
caso no hubiera tomado como ejemplo, para interpretar el posicionamiento de los chicos, 
situaciones en las que estuvieran jugando cosas que fuesen más del orden de lo social. 
Pero es una dimensión que siempre está presente. Pero en los casos de los ejemplos que 
les traje, son situaciones donde los chicos tenían mucho compromiso con los problemas con 
los que trabajaron. Y la actitud entre ellos era de colaboración. Pero no descarto para nada 
que en el aula suceden cosas como las que vos traés…Y un docente, que tiene más tiempo 
de trabajo con los chicos, también tendría que poder hacer jugar ese costado de las 
relaciones que se establecen entre los chicos… 
Participante: Sería bueno aclarar también cuál es el contexto social del que provienen estos 
ejemplos… 
P.S.: Provienen de la escuela pública. El ejemplo del grupo de José María proviene de una 
escuela de la Capital, del barrio de Saavedra, a la que asisten chicos de clase media, y 
clase media baja. 
Otro participante: Pienso que estas estrategias son más fáciles de implementar en un ámbito 
en el que el alumno va predispuesto, con perspectivas de ir a una universidad, donde el 
chico va con “voluntad de”…Aunque les cueste, pero ponen voluntad. A mí me cuesta 
mucho trabajar con chicos que no tienen voluntad, que no tienen actitud, que no les 
interesa… 
P.S.: En principio es un problema que no tenemos que pensar en términos de culpa… Para 
nada. Yo quisiera ubicar este problema en un contexto de crisis, que es un contexto más 
amplio, que escapa completamente a la responsabilidad individual de los docentes. Dije al 
principio que este posicionamiento no viene dado, y que estamos analizando la posibilidad 
de la escuela de ayudar a construirlo. Que esto no se construye de manera individual; que 
no se trata del esfuerzo de un docente, más el de otro, más el de otro, y por eso ayer 
dedicábamos bastante tiempo a fundamentar la necesidad de espacios compartidos de 
trabajo. A fundamentarlos: porque una cosa es decir “necesitamos espacios compartidos de 
trabajo”, y otra cosa es decir por qué los necesitamos. Necesitamos un colectivo de 
docentes sosteniendo y validando las modificaciones que se van planteando. Pero lo único 
que se me ocurre decir es que pasa por el intento compartido con los colegas, y el análisis 
de lo que pasó con esos intentos; hayan sido interesantes o no. No es bueno para nosotros, 
como trabajadores, pensarlo como una cosa congelada. En tu planteo aparece como una 
cosa de mucho desasosiego, del tipo: “yo lucho, lucho, lucho y no sirve”. Y entiendo 
perfectamente de qué estás hablando; sé muy bien cuál es la escena, la escena de un 
docente “tironeando” de chicos que no están dispuestos… 
 
Sabemos que hay una deslegitimación social de la docencia, pero frente a esa 
deslegitimación social la convocatoria sería la de reinsertar el tema del conocimiento como 
una cuestión de amparo hacia los jóvenes. Y eso no se logra con cualquier conocimiento, y 
no se logra con cualquier práctica. Y hace falta también construir otras referencias; porque 
vos planteás como referencia la universidad, y por ahí no es tan buena referencia para los 
chicos; se trata de que los chicos entren en una práctica, en el juego del conocimiento, y una 
vez que entraron después veré cómo me las arreglo para aportarle todas esas técnicas que 
necesitan para entrar en la universidad. Pero si la universidad aparece como una referencia 
aislada, por ahí los estoy alejando de la posibilidad de… Pero hay mucho para revisar, y casi 
da como vergüenza apelar a que los docentes revisen, en el sentido de que en realidad 
están también muy solos y muy desamparados, mientras las políticas públicas se siguen 
ocupando de definir contenidos, sin convocar a revisar las prácticas en espacios colectivos, 
como éste. Este es un espacio de discusión en el que estamos buscando estrategias con las 
que sí podamos maniobrar… Por eso no me parece interesante que cada uno se lo plantee 
como algo individual, que le pasa a cada uno de nosotros, y tampoco que se piense que el 
posicionamiento de los chicos viene dado. 
Participante: …Porque de otro modo, la deslegitimación de afuera, sin darte cuenta la tenés 
adentro, naturalizando a los chicos… 
P.S.: Claro. Porque se confirman esas posiciones… 
Participante: Yo no me quisiera ir sin concretar cómo se salda la explicación, más allá de los 
ejemplos. Me refiero a la explicación del primer ejemplo. 
P.S.: Ese primer ejemplo queda en una zona semipendiente, en el sentido de que los chicos 
dicen cosas, pero quedan pendientes. Pero la secuencia sigue, y al final se toma con los 
chicos la secuencia como objeto de análisis, agrupando todos los problemas que los chicos 
estuvieron tratando en un problema, porque es un tipo de problema. Lo que se salda es la 
relación divisor por cociente más resto con resto menor que el divisor como característica de 
la división entera, y el análisis de las condiciones que hacen que haya infinitas soluciones, o 
una única solución, o varias, o ninguna. Esto permite una vuelta, problema por problema, 
una vez que se hizo todo el recorrido. En el camino hubo un montón de explicaciones, que 
tienen que ver con las relaciones intermedias que se hicieron para ir justificando cada caso. 
Si sumamos un elemento al dividendo – bajo ciertas condiciones, con cierta acotación – el 
cociente no cambia y el resto aumenta uno; si sumamos una cierta cantidad cambia el 
cociente. ¿Qué tenemos que hacerpara volver a sumar “uno más” al cociente y caer en el 
mismo resto? 
Por ejemplo, para esto último fue muy interesante confrontar para el primer problema a los 
chicos que parten del cociente (y hacen cociente por divisor más resto) con los chicos que 
parten del dividendo. Porque para los que parten del cociente, ese número es seguro, pero 
el dividendo no es seguro. Y los chicos dicen, por ejemplo, que acá (partiendo del dividendo) 
hay infinitas soluciones, pero que acá (partiendo del cociente) hay “menos infinitas”. 
Ahora, ¿qué relación hay entre estas dos soluciones? Cada 1 que aumento en el cociente, 
aumenta 32 en el dividendo. En el intento de acercar estos dos procedimientos se construye 
esta relación. Cuando uno suma al dividendo el divisor, el cociente aumenta uno. Entonces, 
ya no es solo la relación; es la relación con un conjunto de propiedades. Y ese conjunto de 
propiedades son las que sostienen las explicaciones que se van dando. 
Participante: Me pregunto cómo pesa el tiempo en este tipo de estrategias… 
P.S.: El tiempo: una de las contradicciones a las que nos enfrentamos; tiempo de 
aprendizaje o tiempo escolar. Lo pongo en términos extremos, pero no es “una u otra”. Uno 
va maniobrando… Pero ciertamente el tiempo escolar no es el tiempo de aprendizaje, y 
entonces, a la hora de desarrollar el proyecto, ¿qué es lo que prima? ¿Prima el programa?, 
¿prima la lógica? ¿Es el paso del tiempo lo que hace avanzar o las condiciones del propio 
proceso? Es un problema; no lo estoy simplificando… 
 
Participante: Trato de pensar cuánto tiempo me llevaría desarrollar todo esto… 
P.S.: ¿Y qué anticipás? 
Participante: Que no termino con el programa… Son las presiones con las cuales hay que 
confrontar… 
P.S.: Bueno; no conozco tu situación particular, pero ¿por qué no la probás? Así la 
discutimos en la próxima. 
Participante: Son muchas las presiones; el tiempo escolar, un maestro del grado siguiente 
que nos está esperando con ciertos contenidos trabajados…Hay que estar muy convencido, 
por otra parte. No me faltan elementos para convencerme de trabajar así, pero tengo otras 
presiones… 
P.S.: Ahí está la importancia de lo colectivo dentro de la escuela. No nos podemos seguir 
concibiendo como enseñantes que trabajan cada uno individualmente, y donde cada cosa 
que hacemos es una responsabilidad casi privada. Tenemos que empezar a pensar en 
términos institucionales, y pensar la enseñanza como hecho colectivo, y sostenida por el 
colectivo. 
Otro participante: También está el problema de la diversidad de los docentes… 
P.S.: Con más razón la necesidad de un colectivo para discutir. Yo creo que estamos 
confrontados a un montón de contradicciones. Quería dejarles, para que piensen, lo que 
propone un grupo de autores que trabajan en lo que en Buenos Aires se llama “zona de 
acción prioritaria”, o escuelas de riesgo. Es un programa que trabaja en escuelas a las que 
concurren chicos muy, muy pobres y desfavorecidos… 
Participante: Si me permitís, yo quisiera volver antes a una cuestión vinculada con esta 
secuencia. Los docentes trabajamos con la idea de que los chicos tienen que terminar más 
o menos con lo mismo. Me pregunto qué pasa con los que no, con los que no llegan al final 
de este recorrido… 
P.S.: Uno nunca puede controlar que los chicos aprenden todos lo mismo. La idea es ir 
definiendo aspiraciones: aspiro a que todos puedan modificar su significación de la división 
entera. Eso es bastante probable que vaya a pasar… Aspiro a que puedan maniobrar y 
entender la relación como productora de cuentas. Y el nivel de profundización de cada una 
de las relaciones que estuvimos mencionando seguramente va a ser diferente. Y seguimos 
trabajando… No pasa nada…No lo voy a controlar mediante una prueba escrita. Lo que 
puedo controlar mediante una prueba escrita es muy poquito respecto de lo que quiero, de 
lo que aspiro como espacio de trabajo en la escuela. 
Les contaba que quiero tomar la producción de un grupo de trabajo, un equipo que coordinó 
Aline Robert, y que produjeron un libro, “Duro de enseñar”. Ellos trabajan en medios muy 
desfavorecidos, en Francia, con población de inmigrantes, y estudiaron la enseñanza, y las 
decisiones que toman los maestros frente a esa realidad que es extremadamente compleja, 
y muy parecida por lo demás, con lo que ustedes cuentan de su realidad y lo que todos 
sabemos. Ellos plantean en sus conclusiones una cantidad de contradicciones a las que 
están sujetos los docentes, y me gusta la idea de cerrar esta conferencia planteando esas 
contradicciones, tensiones o conflictos, para que los sigan pensando. Son contradicciones 
que no se resuelven; hay una cuestión de énfasis o de matices con las que uno maniobra, 
está todo el tiempo con esas dicotomías, y el asunto no es optar por una u otra, sino ver 
cómo va llenando de contenido esas contradicciones: 
 
 Una contradicción entre una lógica de socialización de los alumnos y una lógica de 
aprender – o contengo a los chicos, o les enseño; lo que nosotros estaríamos 
planteando es “los contengo enseñándoles”; los contengo a través del conocimiento; 
socializo a través del conocimiento, les doy herramientas a través del conocimiento; 
 
 
 Una contradicción entre éxito y aprendizaje, o entre éxito y comprensión: ¿les 
aseguro un éxito para fortalecerlos, para fortalecer la comprensión que tienen de sí 
mismos, o apunto a un abordaje más profundo y más costoso desde el punto de vista 
de lo que se está planteando? De nuevo, no se trata de optar entre esos extremos, 
sino de maniobrar allí; 
 
 Una contradicción – para los chicos con muchas dificultades – entre una lógica de 
remediación (llenar los agujeros de lo que les falta), o aspiro a que planteando un 
proceso a largo plazo existe la posibilidad de retomar aquello que no se saldó 
acabadamente en un cierto momento; 
 
 Un conflicto entre la producción individual, singular y los espacios colectivos; entre lo 
que se comparte y lo que no se comparte; entre lo público y lo privado adentro de la 
clase; y de paso – no tuvimos tiempo de hablar de esto – pero sería interesante 
pensar, si pensamos el aula como un proceso de producción, pensar un aula donde 
existen muchísimos espacios compartidos de trabajo, pero donde también hay 
espacios para la producción privada; que no es interesante que sea compartida, ni 
para el que la produce ni para los otros, para los demás integrantes; 
 
 Un conflicto entre la lógica del control versus la lógica del intercambio intelectual. O 
sea: si la posición del docente es la del control de los aprendizajes, eso entra en 
contradicción con dar al alumno un espacio de libertad y autonomía como para que 
haya verdadero intercambio intelectual. Y entonces la idea es cómo se dirimen estas 
cuestiones. 
 
Y el modo en el que se pueden ir resolviendo estos conflictos y estas contradicciones tiene 
que ver con el sentido formativo que le estamos otorgando a la escuela en general, y en 
particular a la enseñanza de la matemática. No es lo mismo pensar el aula de matemática 
como un aula de realización de tareas donde un sujeto aprende a ser un alumno, que 
pensar el aula como un espacio de producción de conocimiento donde alguien aprende a 
ser un sujeto autónomo. Cuál es nuestro horizonte al respecto también marca las opciones 
que podemos ir haciendo. 
 
Versión autorizada por la autora, y revisada por los profesores del área de Matemática del IFDC de El Bolsón 
Transcripción: Oscar Dominguez Verri