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ÁLGEBRA I
SEGUNDO CUATRIMESTRE - AÑO 2019
PRÁCTICO 6
(1) Dar todas las funciones biyectivas f : {1, 2, 3} → {a, b, c} y determinar la inversa de cada
una.
(2) Sean a1, a2, a3, · · · , an números enteros. Probar que existen ı́ndices i, j con 1 ≤ i < j ≤
n tales que
∑j
k=i ak es divisible por n.
[Hint: Considerar los restos en la división por n de los números a1, a1 + a2, a1 + a2 +
a3, · · · , a1 + a2 + · · ·+ an.]
(3) Se tienen 900 tarjetas, numeradas de 100 a 999. Se van sacando tarjetas de a una, y se
anota en el pizarrón la suma de los dı́gitos del número de la tarjeta. ¿Cuántas tarjetas se
deben sacar para garantizar que haya un número que se repita 3 veces en el pizarrón?
(4) Sea p un primo y a ∈ Z no divisible por p. ¿ Cuántos pares (x, b) ∈ [0, p− 1]× [0, p− 1]
hay tales que ax ≡ b (p)? (Hint: Recordar el Ejercicio (18))
(5) La cantidad de dı́gitos o cifras de un número se cuenta a partir del primer dı́gito distinto
de cero. Por ejemplo, 0035010 es un número de 5 dı́gitos. Sea A el conjunto de todos los
números de 5 dı́gitos. Dar conjuntos A1, A2, A3, A4 y A5 tales que
A = A1 × A2 × A3 × A4 × A5.
¿Cuántos números de 5 dı́gitos hay?
(6) Calcular el cardinal de los siguientes conjuntos y describirlos utilizando uniones y produc-
tos cartesianos de conjuntos.
(a) El conjunto de los números pares de 5 dı́gitos.
(b) El conjunto de los números de 5 dı́gitos con sólo un 3.
(c) El conjunto de los números capicúas de exactamente 5 dı́gitos.
(d) El conjunto de los números capicúas de a lo sumo 5 dı́gitos.
(7) Calcular el cardinal de los conjuntos, que sean finitos, de los Ejercicios (9) y (10) del
Práctico 5.
Práctico 6 Álgebra I - 2016
(8) De una caja que contiene 122 bolillas numeradas del 1 al 122 se extraen 5 bolillas. Deter-
minar qué funciones f y conjuntos X e Y describen las siguientes situaciones:
(a) las bolillas se extraen una a la vez y cada bolilla que se extrae es restituida.
(b) las bolillas se extraen una a la vez pero no son restituidas en la caja.
(c) las bolillas se extraen todas al mismo tiempo.
En cada caso calcular la cantidad de funciones posibles.
(9) Calcular la cantidad de funciones inyectivas f : [1, 5] 7→ [1, 8] tales que f(5) = 6.
(10) Calcular la cantidad de funciones inyectivas f : [1, 5] 7→ [1, 5] tales que f(5) = 5. ¿Son
todas biyectivas?
(11) ¿Cuántos subconjuntos de {0, 1, 2, . . . , 8, 9} contienen al menos un número impar?
(12) Suponga que usted tiene 8 CD’s distintos de Rock, 7 CD’s distintos de Música Clásica y 5
CD’s distintos de Cuarteto.
(a) ¿De cuántas formas distintas puede seleccionar un CD?
(b) ¿De cuántas formas distintas puede seleccionar tres CD, uno de cada tipo?
(c) Si quiere escuchar 3 CD, uno a continuación de otro. ¿ De cuántas formas distintas
puede hacerlo si no quiere mezclar más de dos estilos?
(13) Las aerolı́neas Iberia (Ibe), Air France (AF), Lufthansa (Luf) y Aerolı́neas Argentinas (AA)
disponen cada una de un vuelo diario desde Córdoba a Buenos Aires, uno desde Buenos
Aires a Madrid y uno desde Madrid a Berlin. Usted quiere viajar de Córdoba a Berlin
utilizando algunos de estos vuelos.
¿De cuántas maneras distintas puede realizar su viaje si ...
(a) puede hacer cualquier conexión entre los vuelos ofrecidos?
(b) puede hacer cualquier conexión entre los vuelos ofrecidos pero quiere utilizar exacta-
mente 2 aerolı́neas distintas?
(c) puede hacer cualquier conexión entre los vuelos ofrecidos pero quiere utilizar una
aerolı́nea distinta en cada trayecto?
(d) los vuelos de AA y AF sólo pueden ser conectados con vuelos de AA y AF, mientras
que los vuelos de Ibe y Luf sólo pueden ser conectados con los vuelos de Ibe y Luf?
(14) ¿De cuántas formas puede formarse un comité de 5 personas tomadas de un grupo de 11
personas entre las cuales hay 4 docentes y 7 estudiantes, si:
(a) no hay restricciones en la selección?
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Práctico 6 Álgebra I - 2016
(b) el comité debe tener exactamente 2 docentes?
(c) el comité debe tener al menos 3 docentes?
(d) le docente X y le estudiante Y no pueden estar juntos en el comité?
(15) De cuántas maneras distintas se pueden ordenar en una fila n limoneros distintos y n naran-
jos distintos de modo que todos los naranjos estén juntos.
(16) ¿ De cuántas formas distintas pueden ordenarse las letras de la palabra MATEMATICA si
(a) ... no hay restricción?
(b) ... se pide que las consonantes y las vocales se alternen?
(17) ¿ De cuántas maneras distintas pueden sentarse 8 personas en una mesa circular?
(18) ¿ De cuántas maneras distintas puede armar un collar con 6 bolas rojas y 6 bolas azules si
(a) ... no hay restricción?
(b) ... las bolas rojas deben estar juntas?
(c) ... nunca deben quedar dos bolitas rojas juntas?
(19) ¿Cuántos caminos diferentes en R2 hay entre (0, 0) y (7, 7) si cada camino se construye
moviéndose una unidad a la derecha o una unidad hacia arriba en cada paso? [Hint: si
quiere saber la respuesta puede ver el Ejercicio (9) de más abajo]
Más ejercicios. Si ya hizo los ejercicios anteriores continue a la siguiente guı́a. Los ejercicios que
siguen son similares a los anteriores y le pueden servir para practicar antes de los exámenes.
(1) Sea X un conjunto arbitrario de 20 números naturales. Probar que hay al menos dos ele-
mentos de X cuya diferencia es divisible por 19.
(2) ¿ Cuantós divisores positivos tiene el número 5400000?
(3) Dar el cardinal del conjunto del Ejercicio (12) adicional del Práctico 5.
(4) Rehacer el Ejercicio (16) con las letras de la palabras: ALGEBRA y GEOMETRIA.
(5) Suponga que usted tiene que crear una contraseña de 8 caracteres para su cuenta de email
utilizando: letras minúsculas (27), letras mayúsculas (27), números (del 0 al 9) y los car-
acteres especiales {∗,+,%,−}. ¿Cuántas contraseñas distintas puede formar si ...
(a) ... no tiene ninguna restricción para elegir?
(b) ... no puede estar formada sólo por números?
(c) ... quiere que tenga las 4 letras de su nombre en minúscula intercaladas con 4 números
distintos?
(d) ... quiere que sea una permutación de los caracteres J j U u 4 4 % %?
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Práctico 6 Álgebra I - 2016
(6) Supongamos que para viajar de Córdoba a Buenos Aires se puede utilizar las rutas na-
cionales n◦1, n◦2, n◦3, n◦4, n◦5, n◦6, n◦7, n◦8 y n◦9, y que todas pasan por Villa Marı́a,
por Rosario y por Zárate. ¿De cuántas maneras distintas se puede combinar estas rutas
en un viaje de Córdoba a Buenos Aires haciendo paradas en Villa Marı́a, en Rosario y en
Zárate si ...
(a) ... no hay restricción para utilizar las rutas?
(b) ... queremos utilizar rutas distintas en cada trayecto?
(c) ... queremos utilizar al menos dos rutas distintas?
Supongamos ahora que el viaje lo hacen cuatro personas en un mismo auto. ¿De cuántas
maneras distintas se puede hacer el viaje si ...
(d) ... no hay restricción para utilizar las rutas y siempre conduce la misma persona?
(e) ... utilizan una única ruta pero en cada trayecto conduce una persona diferente?
(7) Demostrar de manera combinatoria la siguiente identidad(
n
k
)(
k
m
)
=
(
n
m
)(
n−m
k −m
)
.
para todos números naturales m ≤ k ≤ n.
(8) (a) En una clase de 30 estudiantes, ¿de cuántas maneras se puede formar un equipo de 6
integrantes donde une de elles es designade como lider?
(b) En una clase de n estudiantes, ¿de cuántas maneras se puede formar un equipo (sin
restricciones en la cantidad de integrantes) donde une de les integrantes es designade
como lider?
(c) Sea n ≥ 1 un número entero. Probar(
n
1
)
+ 2
(
n
2
)
+ 3
(
n
3
)
+ . . .+ n
(
n
n
)
= n2n−1
(9) Se tiene una cuadrı́cula de m × n, que tiene m + 1 lı́neas horizontales y n + 1 verticales.
Sea P el vértice inferior izquierdo y Q el vértice superior derecho. Se tiene que caminar
siempre sobre las lı́neas y siempre hacia la derecha ó hacia arriba. Probar que hay (m+n)
m!n!
caminos desde P hasta Q.
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