Ejercicios-TemasPractica3

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Ecuaciones diferenciales A/B - 2020 (primer cuatrimestre)
Docentes: Nicolas Saintier y Andrea Ceretani
Universidad de Buenos Aires
ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS
TEMAS DE LA PRÁCTICA 3
Los siguientes ejercicios resueltos pueden servir de ejemplo para abordar los ejer-
cicios de la Práctica 3. Antes de cada ejercicio se recuerdan algunas definiciones o
resultados que se utilizan en la resolución.
Definición 1 (Transformada de Fourier, ver [1]). La transformada de Fourier
f̂ de una función f ∈ L1(Rn) se define por
Ff(y) = f̂(y) :=
∫
Rn
f(x)e−2iπx·y dx para y ∈ Rn.
Aqúı i es la unidad imaginaria y eiz := cos(z) + i sin(z) para z ∈ R.
Teorema 1 (Ver [1] y [2]). Para cada t > 0 se define
Gt(x) = t
−n/2e−π|x|
2/t para x ∈ Rn. (3.1)
Esta función satisface la siguientes propiedades:
1.
∫
Rn Gt(x) dx = 1 para cualquier t > 0.
2.
∫
|x|≥δ Gt(x) dx→ 0 cuando t→ 0
+, para cualquier δ > 0.
3. Gt(y − α) = F(x 7→ e2iπx·αe−tπ|x|
2
)(y) para cualquier α ∈ Rn.
Kt(x) := G4πt(x) se conoce como núcleo del calor.
Ejercicio 1. Se dice que una función f : R → C tiene crecimiento moderado si es
continua y existe una constante A > 0 tal que
|f(x)| ≤ A
1 + |x|2
para todo x ∈ R.
Notar que si f tiene crecimiento moderado entonces f ∈ L1(R) y por lo tanto tiene
sentido considerar su transformada de Fourier. Notar, además, que cualquier función
en S(Rn) (ver Definición (2) más abajo) tiene crecimiento moderado.
1. (Fórmula de multiplicación). Si f y g tienen crecimiento moderado entonces∫
R
f(x)ĝ(x) dx =
∫
R
f̂(x)g(x) dx.
2. (Fórmula de inversión). Si f tiene crecimiento moderado y su transformada
de Fourier f̂ también, entonces
f(x) =
∫
R
f̂(y)e2iπxy dy
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Ecuaciones diferenciales A/B - 2020 (primer cuatrimestre)
Nota. La fórmula de inversión caracteriza f como una integral donde intervienen senos
y cosenos acompañados de coeficientes que dependen de f . Para el caso más general,
en dimensión n, la fórmula de inversión establece:
f(x) =
∫
Rn
f̂(y)e2iπxy dy =
∫
Rn
f̂(y) cos(2πxy) dy + i
∫
Rn
f̂(y) sin(2πxy) dy.
Notar la analoǵıa entre esta caracterización y la representación en serie de Fourier de
de una función periódica. En particular, notar la analoǵıa entre el rol desempeñado
por la transformada de Fourier de f y los coeficientes de Fourier en el desarrollo en
serie. Más detalles acerca de esta relación pueden consultarse en [2, 3].
Resolución del Ejercicio 1.
1. Sean f y g funciones con crecimiento moderado. Entonces,∫
R
f(x)ĝ(x) dx =
∫
R
f(x)
(∫
R
g(y)e−2iπxy dy
)
dx
=
∫
R
∫
R
f(x)g(y)e−2iπxy dy dx =
∫
R
∫
R
f(x)g(y)e−2iπxy dx dy
=
∫
R
g(y)
(∫
R
f(x)e−2iπxy dx
)
dy =
∫
R
f̂(y)g(y) dy.
Para intercambiar el orden de integración en la tercera igualdad hemos tenido
en cuenta lo siguiente: Si F (x, y) := f(x)g(y)e−2iπxy entonces:∫
R
|F (x, y)| dx ≤ |g(y)|
∫
R
|f(x)| dx = |g(y)|‖f‖1 para cada y ∈ R,∫
R
(∫
R
|F (x, y)| dx
)
dy ≤‖f‖1
∫
R
|g(y)| dy = ‖f‖1‖g‖1.
Luego, F ∈ L1(Rn × Rn) (teorema de Tonelli) y por lo tanto es posible
intercambiar el orden de integración (teorema de Fubini).
2. Sea f una función de crecimiento moderado tal que f̂ también tiene creci-
miento moderado.
Paso 1. Vamos a probar primero que, para cada x ∈ R, se tiene:
(f ∗Gt)(x)→ f(x) cuando t→ 0+, (3.2)
donde Gt esta definido por (3.1).
Para ello, fijamos un x ∈ R y comenzamos por observar que
|(f ∗Gt)(x)− f(x)| =
∣∣∣∣∫
R
f(x− y)Gt(y) dy − f(x)
∫
R
Gt(y) dy
∣∣∣∣
≤
∫
R
|f(x− y)− f(x)|Gt(y) dy
Como f es continua en x, dado ε > 0 existe δ = δ(x) tal que
|f(x− y)− f(x)| < ε si |y| < δ.
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Entonces,
|(f ∗Gt)(x)− f(x)|
≤
∫
|y|<δ
|f(x− y)− f(x)|Gt(y) dy +
∫
|y|>δ
|f(x− y)− f(x)|Gt(y) dy
≤ ε
∫
R
Gt(y) dy + 2‖f‖∞
∫
|y|>δ
Gt(y) dy
= ε+ 2‖f‖∞
∫
|y|>δ
Gt(y) dy.
Haciendo t→ 0+ obtenemos
ĺım sup
t→0+
|(f ∗Gt)(x)− f(x)| ≤ ε,
para cualquier ε > 0, de donde sigue (3.2).
Paso 2. Sea x ∈ R y consideremos t > 0. Por comodidad en lo que sigue,
anotamos v(z) := e2iπxze−tπz
2
para z ∈ R. Notar que Gt(y − x) = v̂(y).
Usando la convergencia probada en el paso anterior y la fórmula de multipli-
cación, vemos que
f(x) = ĺım
t→0+
(f ∗Gt)(x) = ĺım
t→0+
∫
R
f(y)Gt(x− y) dy
= ĺım
t→0+
∫
R
f(y)Gt(y − x) dy = ĺım
t→0+
∫
R
f(y)v̂(y) dy
= ĺım
t→0+
∫
R
f̂(y)v(y) dy = ĺım
t→0+
∫
R
f̂(y)e2iπxye−tπy
2
dy
=
∫
R
f̂(y)e2iπxy ĺım
t→0+
e−tπy
2
dy =
∫
R
f̂(y)e2iπxy dy.
El intercambio del ĺımite con la integral sigue del teorema de la convergencia
dominada, ya que:
f̂(y)e2iπxye−tπy
2
→ f̂(y)e2iπxy cuando t→ 0+,
para todo y ∈ R y
|f̂(y)e2iπxye−tπy
2
| ≤ |f̂(y)|,
para todo y ∈ R, siendo |f̂ | integrable en R.
Ejercicio 2.
1. Verificar que la función f definida por f(x) = e−a|x| para x ∈ R, donde a > 0
está dado, tiene crecimiento moderado y hallar su transformada de Fourier.
2. Usar el ı́tem anterior para demostrar que∫ ∞
−∞
cos(zx)
a2 + z2
dz =
π
a
e−a|x|. (3.3)
Resolución.
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1. Para ver que f tiene crecimiento moderado basta observar que
(1 + x2)e−a|x| → 0 cuando |x| → ∞.
Calculemos ahora su transformada de Fourier. Para y ∈ R, se tiene:
f̂(y) =
∫
R
e−a|x|e−2iπxy dx =
∫ 0
−∞
e(−2iπy+a)x dx+
∫ +∞
0
e(−2iπy−a)x dx
=
e(−2iπy+a)x
−2iπy + a
∣∣∣∣0
−∞
+
e(−2iπy−a)x
−2iπy − a
∣∣∣∣+∞
0
=
1
−2iπy + a
+
1
2iπy + a
=
2a
a2 + (2πy)2
.
2. Como f y f̂ tienen crecimiento moderado, vale la fórmula de inversión (ver
Ejercicio 1-2). Entonces, se tiene que
f(x) =
∫
f̂(y)e2iπxy dy =
∫
R
(
2a
a2 + (2πy)2
)
e2iπxy dy
=
∫
R
2a cos(2πxy)
a2 + (2πy)2
dy + i
∫
R
2a sin(2πxy)
a2 + (2πy)2
dy.
Observando que f es una función a valores reales, resulta:∫
R
2a cos(2πxy)
a2 + (2πy)2
dy = e−a|x|.
Haciendo el cambio de variables 2πy = z se obtiene (3.3).
Nota. Observar que f no pertenece a la clase de Schwartz (ver la Definición 2 a
continuación).
Definición 2 (Clase de Schwartz: Funciones de decrecimiento rápido, ver
[1]). Se define la clase de Schwartz S como el conjunto de todas las funciones
f ∈ C∞(Rn;C) tales que
sup
x∈Rn
(1 + |x|k)|Dαf(x)| <∞ para todo k ∈ N0 y todo multi-́ındice α ∈ Nn0 .
Teorema 2 (Identidad de Plancherel, ver [1]). Si f ∈ S entonces ‖f‖2 = ‖f̂‖2.
Ejercicio 3. Demostrar que para f, g ∈ S se tiene (f, g)L2(Rn) = (f̂ , ĝ)L2(Rn), es decir:∫
Rn
f(x)g(x) dx =
∫
Rn
f̂(y)ĝ(y) dy. (3.4)
Resolución. Sean f, g ∈ S. Notar que f + g ∈ S y f − g ∈ S. Usando la identidad de
Plancherel para f + g y f − g, obtenemos:∫
Rn
(f2 + 2fg + g2) dx =
∫
Rn
(f̂2 + 2f̂ ĝ + ĝ2) dx,∫
Rn
(f2 − 2fg + g2) dx =
∫
Rn
(f̂2 − 2f̂ ĝ + ĝ2) dx.
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Saintier, Ceretani
Restando miembro a miembro estas igualdades se obtiene que (3.4).
Teorema 3 (Ver [1]). La clase de Schwartz S está contenida en Lp(Rn) para
todo 1 ≤ p ≤ ∞.
Teorema 4 (Ver [1]). Para f, g ∈ L1(Rn) se tiene que
F(f ∗ g) = f̂ ĝ.
Definición 3 (Antitransformada de Fourier, ver [1]). La antitransformada de
Fourier f̌ de una función f ∈ L1(Rn) se define por
F−1f(x) = f̌(x) :=
∫
Rn
f(y)e2iπx·y dx para x ∈ Rn.
Notar que si f y f̂ tienen crecimiento moderado entonces f = F−1f̂ (ver
Ejercicio 1). Más generalmente, vale el siguiente teorema.
Teorema 5 (La transformada de Fourier en la clase de Schwartz, ver [1]).
1. Si f ∈ S entonces f̂ ∈ S.
2. Si f ∈ S entonces f = F−1f̂ .
Más generalmente, vale que si f, f̂ ∈ L1(Rn) entonces f = F−1f̂ (ver slides de
teoŕıa).
Ejercicio 4. Demostrar que la clase de Schwartz S es cerrada con respecto al producto
y la convolución, es decir, si f, g ∈ S, entonces fg ∈ S y f ∗ g ∈ S.
Resolución. Sean f, g ∈ S. Vamos a ver primero que fg ∈ S. Como f y g son infinita-
mente diferenciables en Rn, fg también lo es. Consideremos ahora j ∈ N0 y α ∈ Nn0 .
Usando la fórmula de Leibniz:
Dαfg =
∑
β:β≤α
(
α
β
)
DβfDα−βg,
donde β ≤ α se entiende componente a componente y(
α
β
)
:=
α!
β!(α− β)!
donde γ! := γ1! . . . γn! para γ := (γ1, . . . , γn),
vemos que
sup
x∈Rn
(1 + |x|j)|Dαfg(x)| ≤
∑
β:β≤α
(
α
β
)
sup
x∈Rn
(1 + |x|j)|Dβf(x)||Dα−βg(x)|.5
Ecuaciones diferenciales A/B - 2020 (primer cuatrimestre)
Usando ahora que Dα−βg ∈ S ⊂ L∞(Rn) para cada β, obtenemos (notar que la suma
es finita):
sup
x∈Rn
(1 + |x|j)|Dαfg(x)| ≤
∑
β:β≤α
(
α
β
)
‖Dα−βg‖∞ sup
x∈Rn
(1 + |x|j)|Dβf(x)| <∞.
Entonces fg ∈ S.
Veamos ahora que f ∗ g ∈ S. Usando que F es una biyección de S en S, se tiene
que existen F,G ∈ S tales que F̂ = f y Ĝ = g. Luego,
S 3 F−1(fg) = F−1(F̂ Ĝ) = F−1(F(F ∗G)) = F ∗G.
En el último paso hemos usado la fórmula de inversión en L1(Rn). Notar que F ∗G ∈
L1(Rn) y F(F ∗G) = fg ∈ S ⊂ L1(Rn).
Teorema 6 (Ver [1]). Sean f ∈ C1(Rn) y j ∈ {1, . . . , n}. Si ∂f∂xj ∈ L
1(Rn),
entonces
F
(
∂f
∂xj
)
(y) = 2iπyj f̂(y) para y ∈ Rn.
Notar que si f ∈ C2(Rn) es tal que f, ∂f∂xj ,
∂2f
∂x2j
∈ L1(Rn) entonces
F
(
∂2f
∂x2j
)
(y) = (2iπyj)
2f̂(y) = −4π2y2j f̂(y) para y ∈ Rn.
Teorema 7 (Ver [1]). Sea α > 0. Si f(x) := e−α|x|
2
para x ∈ Rn, entonces
f̂(y) =
(π
α
)n/2
e−π
2|y|2/α para y ∈ Rn.
Ejercicio 5. (ver Ejercicio 5.4.1 en [1]). Usar la transformada de Fourier para hallar
una solución expĺıcita del siguiente problema de valores iniciales para la ecuación del
calor:
∂u
∂t
(x, t) = ∆u(x, t) (x, t) ∈ Rn × (0,∞), u(x, 0) = f(x) x ∈ Rn, (3.5)
donde f ∈ S.
Resolución. La estrategia que seguiremos consiste en determinar una solución formal
de (3.5) y luego verificar que la misma define una solución clásica.
Solución formal. Supongamos que (3.5) admite una solución u. A continuación de-
terminaremos una fórmula expĺıcita para u a partir de realizar una serie de cálculos
formales.
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Saintier, Ceretani
Sea t > 0. Aplicando la transformada de Fourier con respecto a x miembro a
miembro de la ecuación del calor, obtenemos:
∂û
∂t
(ξ, t) = −4π2|ξ|2û(ξ, t) para ξ ∈ Rn. (3.6)
Ahora consideramos ξ ∈ Rn (fijo) y observamos que (3.6) es una ecuación di-
ferencial ordinaria primer orden con coeficientes constantes para û(ξ, ·). La solución
general de esta ecuación está dada por
û(ξ, t) = C(ξ)e−4π
2t|ξ|2 para t > 0.
Aplicando ahora la transformada de Fourier miembro a miembro de la condición
inicial, obtenemos:
û(ξ, 0) = f̂(ξ) para ξ ∈ Rn.
Entonces, debe ser
û(ξ, t) = f̂(ξ)e−4π
2t|ξ|2 para (ξ, t) ∈ Rn × [0,∞). (3.7)
Teniendo en cuenta ahora que
e−4π
2t|ξ|2 = K̂t(ξ) donde Kt(x) := (4πt)
−n/2e−|x|
2/4t,
vemos que
û(ξ, t) = F(f ∗Kt)(ξ) para (ξ, t) ∈ Rn × (0,∞).
Aplicando la antitransformada de Fourier, siempre con respecto a la variable x,
miembro a miembro de la última expresión, obtenemos:
u(x, t) = (f ∗Kt)(x) =
1
(4πt)n/2
∫
Rn
f(z)e−|x−z|
2/4t dz para (x, t) ∈ Rn×(0,∞).
(3.8)
Análisis de la solución formal. Supongamos que f ∈ S. Vamos a ver ahora que la
función u dada por (3.8) cuando t > 0 y u(x, 0) = f(x) para t = 0, es decir u dada
por (3.7), está bien definida y que define una solución del problema (3.5).
Primero observamos que para todo t > 0 resulta u(·, t) ∈ S por ser la convolución
de dos funciones en S. En particular, esto implica que u está bien definida en Rn ×
(0,∞). Además, la fórmula de inversión permite escribir:
u(x, t) =
∫
Rn
f̂(ξ)K̂t(ξ)e
2iπξ·x dξ para (x, t) ∈ Rn × [0,∞). (3.9)
Veamos ahora que u ∈ C∞(Rn×[0,+∞)) y que sus derivadas se obtienen derivan-
do debajo de la integral. Para esto aplicamos el teorema de convergencia mayorada,
como siempre. Anotando F (x, t, ξ) := f̂(ξ)K̂t(ξ)e
2iπξ·x el integrando en (3.9), obser-
vamos que F (., ξ) ∈ C∞(Rn× [0,+∞)) para todo ξ ∈ Rn, que F (x, t, .) es medible en
ξ y que para todo k ∈ N0 y todo multi-́ındice α,
Dαx∂
k
t F (t, x, ξ) = (2iπξ)
α(−4π2|ξ|2)kf̂(ξ)e−4π
2|ξ|2te2iπξ·x.
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Acotamos directamente Dαx∂
k
t F (t, x, ξ) por
|Dαx∂kt F (t, x, ξ)| ≤ (2π|ξ|)|α|+2k|f̂(ξ)|.
Como f ∈ S(Rn), tenemos f̂ ∈ S(Rn) por lo que la función ξ → |ξ||α|+2k|f̂(ξ) es
integrable en Rn. Podemos entonces aplicar el teorema de convergencia mayorada.
Como ĺımt→0 K̂t(ξ) = 1, obtenemos que
ĺım
t→0
u(x, t) =
∫
Rn
f̂(ξ) ĺım
t→0
K̂t(ξ)e
2iπξ·x dξ =
∫
Rn
f̂(ξ)e2iπξ·x dξ = f(x),
donde hemos usado la fórmula de inversión en la última desigualdad. También obte-
nemos que
∂tu(x, t) =
∫
Rn
f̂(ξ)(∂tK̂t(ξ))e
2iπξ·x dξ
=
∫
Rn
f̂(ξ)K̂t(ξ)
(
− 4π2|ξ|2e2iπξ·x
)
dξ
=
∫
Rn
f̂(ξ)K̂t(ξ)
(
∆xe
2iπξ·x
)
dξ
= ∆u(x, t),
aśı que u es solución de la ecuación del calor con condición inicial f .
Nota. Se puede probar que la función u dada por (3.9) es la única solución de (3.5)
en C∞((0,+∞),S) (ver slides de teoŕıa).
Referencias
[1] J. Fernández Bonder. Ecuaciones Diferenciales Parciales. Departamento de Matemática, FCEN-
UBA, 2015.
[2] R. Shakarchi E. Stein. Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press - Princeton
and Oxford, 2002.
[3] L. Ward M. C. Pereyra. Harmonic Analysis. From Fourier to Wavelets. American Mathematical
Society. Institute for Advances Studies., 2012.
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