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CIEEM 2020/2021 
Matemática 
Clase del 13 de junio de 2020 
 
 
Un número natural es primo si 
tiene exactamente dos divisores. 
 
 
Números primos y compuestos. Descomposición en factores primos. 
 
DIVISIÓN ENTERA (continuación) 
 
1. a) Completá la siguiente tabla: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ¿Qué números de la tabla tienen solamente dos divisores? 
Los números de la tabla que tienen dos divisores son 2, 19 y 43. 
 
c) ¿Qué números de la tabla tienen más de dos divisores? 
Los números de la tabla que tienen más de dos divisores son 24 y 15. 
 
 
 Según la cantidad de divisores que tienen los números naturales se clasifican en dos grupos. 
 
 
 
 
 
 
2. Completá en el correspondiente con V (verdadero) o F (falso) según corresponda. 
Justificá tu respuesta. 
a) Todos los números primos son impares. F Porque 2 es un número primo y no es 
impar. 
 
b) Hay números primos consecutivos. V Porque 2 y 3 son números primos consecutivos. 
 
c) El mayor número natural primo de una cifra es siete. V Porque 8 y 9 son números de 
una cifra mayores que 7 y no son números primos. 
 
d) El producto de dos números primos es primo. F Porque, por ejemplo, 2 y 3 son 
números primos, 2 . 3 = 6 y 6 no es un número primo. 
 
e) Todos los números pares son compuestos. F Porque 2 es un número par y no es 
compuesto. 
Número Divisores 
2 1 y 2. 
24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. 
19 1 y 19. 
15 1, 3, 5 y 15. 
43 1 y 43. 
Un número natural es 
compuesto si tiene 
más de dos divisores. 
 
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3. El cero y el uno no son primos ni compuestos. ¿Por qué? 
El 0 no es primo ni compuesto porque no es un número natural. Las definiciones de 
número primo y número compuesto se refieren a números naturales y el 0 no lo es. 
El 1 no es primo ni compuesto porque, aunque es un número natural, tiene solo un divisor. 
 
 
 ¿Cómo se puede escribir 24 como producto de factores que sean números primos? 
Una manera de hacerlo es la siguiente: 
24 = 4 . 6 24 = 3 . 8 24 = 2 . 12 
 
24 = 2 . 2 . 2 . 3 = 23 . 3 24 = 3 . 2 . 2 . 2 = 3 . 23 24 = 2 . 2 . 2 . 3 = 23 . 3 
 
En los tres casos obtuvimos la misma forma de expresar el número 24 y los factores primos que 
se utilizan son el 2 y el 3. 
Otra forma de hallar los factores primos de un número es dividirlo por un número primo que sea 
divisor de él; luego, hacer lo mismo con el cociente, y así sucesivamente hasta llegar al 1, que 
no tiene divisores primos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
1 
 
 
24 = 2 . 2 . 2. 3 = 23 . 3 
 
Todo número compuesto puede escribirse 
como producto de factores primos 
y estos factores son únicos. 
24 2 
 
 
 
 
 
 
 
24 2 
12 
 
 
 
 
24 2 
12 2 
 
 
 
 
24 2 
12 2 
6 
 
 
 
24 2 
12 2 
6 2 
 
 
 
24 2 
12 2 
6 2 
3 
 
 
24 2 
12 2 
6 2 
3 3 
 
 
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4. Para expresar el número 90 como producto de números naturales, Ignacio escribió lo 
siguiente: 
 90 = 6 . 3 . 5 
 90 = 90 . 1 
 
a) Escribí tres expresiones, diferentes de las anteriores, en las que 90 figure como producto de 
números naturales y donde una de ellas tenga la mayor cantidad de factores posibles. 
Algunas opciones son: 
90 = 2 . 9 . 5 
90 = 2 . 3 . 15 
90 = 2 . 3 . 3 . 5 
 
b) ¿Cuál de las expresiones del ítem a) está formada solo por factores primos? Escribila. 
90 = 2 . 3 . 3 . 5, o sea que 90 = 2 . 32 . 5 
 
 
 
 
c) Descomponé en factores primos los siguientes números y escribí la descomposición sobre la 
línea de puntos. 
 
i. 630 = …..32 . 7 . 2 . 5….. porque 630 = 63 . 10 = 9 . 7 . 2 . 5 = 3 . 3 . 7 . 2 . 5 = 32 . 7 . 2 . 5 
 
ii. 44 = …..22 . 11….. porque 44 = 4 . 11 = 2 . 2 . 11 = 22 . 11 
 
iii. 345 = …..5 . 3 . 23….. porque 345 = 5 . 69 = 5 . 3 . 23 
 
 
 Para que lo resuelvas solo… 
 
Páginas 31 y 32. 
 
56. Uní con flechas cada número de la columna central con la cantidad de divisores que tiene y 
con la correspondiente clasificación: 
 
Un único divisor 11 Primo 
Solo dos divisores 1 Compuesto 
Exactamente tres divisores 10 Ni primo, ni compuesto 
Más de tres divisores 0 
 121 
 
Los divisores de 11 son 1 y 11. 
El divisor de 1 es 1. 
Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10. 
Los divisores de 0 son todos los números naturales. 
Los divisores de 121 son 1, 11 y 121. 
Esta descomposición se denomina descomposición en factores primos. 
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57. Marcá con una X en el correspondiente, cuál es el único número primo e indicá cómo 
pudiste obtenerlo. 
 
 3564 X 331 3822 4525 
 
El número 3564 es un número par, es decir que es divisible por 2, con lo cual además de 
tener como divisores a 1 y 3564, también tiene a 2. Por lo tanto, como 3564 tiene más de dos 
divisores, entonces es compuesto. 
El número 3822 es un número par, es decir que es divisible por 2, con lo cual además de 
tener como divisores a 1 y 3822, también tiene a 2. Por lo tanto, como 3822 tiene más de dos 
divisores, entonces es compuesto. 
El número 4525 termina en 5, es decir que es divisible por 5, con lo cual además de tener 
como divisores a 1 y 4525, también tiene a 5. Por lo tanto, como 4525 tiene más de dos 
divisores, entonces es compuesto. 
Luego, como según el enunciado solo uno de los números dados es primo, entonces ese 
número es 331. 
 
58. Escribí un número que cumpla las condiciones indicadas: 
a) que tenga tres cifras y que su único divisor primo sea 7. 
El número de tres cifras y que tiene como único divisor primo al número 7, es 343. 
 
Para poder encontrar este número, realizamos el siguiente procedimiento: 
 
Llamamos n al número que debe cumplir las condiciones indicadas. 
 
n = 7 . 1 = 7 Si n es el número 7 (no es de tres cifras) y tiene como único divisor 
 primo al número 7. 
 
n = 7 . 7 = 49 Si n es el número 49 (no es de tres cifras) y tiene como único divisor 
 primo al número 7. 
 
n = 7 . 7 . 7 = 343 Si n es el número 343, es de tres cifras y tiene como único divisor 
 primo al número 7. 
 
b) que tenga cuatro cifras, que tenga como único divisor primo al 5 y que al dividirlo por 3, el 
resto sea 2. 
El número de cuatro cifras, que cumple con las condiciones indicadas es 3125. 
 
5 . 5 . 5 . 5 = 625 en este caso el único divisor primoes el 5, pero el número que se 
 obtiene es de tres cifras. 
 
 
 
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5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3125 Este número que se obtiene es de cuatro cifras y el único divisor 
 primo es 5. 
 
 También se verifica que si lo dividimos por 3, el resto es 2. 
 
 
c) que sea el menor número que tenga solamente 3 divisores primos distintos. 
El menor número que tiene sólo tres divisores primos distintos, es el 30. 
Este número, lo podemos encontrar multiplicando los tres primeros números primos. 
2 . 3 . 5 = 30 
 
59. En la siguiente tabla, indicá los números primos que existen entre el 1 y el 36, pintando el 
recuadro en el que se encuentran dichos números. Para aquellos que no lo sean, anotá todos sus 
divisores primos en el recuadro que tienen al lado de cada número. 
 
 
 
60. ¿Es cierto que un número de tres cifras iguales nunca puede ser primo? ¿Por qué? 
Un número de tres cifras iguales nunca puede ser primo, porque siempre va a tener como 
divisor al número 3. 
Veamos algunos ejemplos: 
777, la suma de sus tres cifras es: 7 + 7 + 7 = 3 . 7 = 21, por lo tanto 777 es divisible por 3. 
 
555, la suma de sus tres cifras es: 5 + 5 + 5 = 3 . 5 = 15, por lo tanto 555 es divisible por 3. 
 
La suma de las tres cifras siempre va a dar por resultado un número múltiplo de 3, por lo 
tanto el número de tres cifras va a ser divisible por 3. 
 
61. ¿Podrías encontrar un número primo que sea el producto de dos números primos distintos? 
Si es posible, escribí un ejemplo. Si no lo es, explicá por qué. 
No es posible, porque al multiplicar dos números primos se obtiene un número compuesto 
ya que el nuevo número tiene como divisores: los dos números primos y el número que 
resulta de la multiplicación. Por ejemplo: 2 . 7 = 14, en este caso 2 , 7 y 14 son divisores del 
número 14. 
1 - 2 3 4 2 5 6 2 y 3 
7 8 2 9 3 10 2 y 5 11 12 2 y 3 
13 14 2 y 7 15 3 y 5 16 2 17 18 2 y 3 
19 20 2 y 5 21 3 y 7 22 
2 y 
11 23 
 24 2 y 3 
25 5 26 
2 y 
13 
 27 3 28 2 y 7 29 30 
2, 3 y 
5 
31 32 2 33 
3 y 
11 34 
2 y 
17 35 
5 y 7 36 2 y 3 
 
 3125 3 
 2 1041 
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 MÁS PROBLEMAS… 
 
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90. a) Proponé una división que cumpla con la condición indicada en cada caso. 
i. El divisor es 6 y el cociente es 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii. El cociente es 9 y el resto es 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii. El dividendo es 85, el cociente es 3 y el resto es 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ¿Cuántas soluciones hay en cada uno de los casos anteriores? 
 
i. Las opciones en este caso son seis: 
 
 
 
 
 
 
 
 … 6 
 … 8 
…. = 6 . 8 + …. 
 
Por lo tanto una posible respuesta es: 53 = 6 . 8 + 5 
 
 53 6 
 5 8 
 
 … … 
 5 9 
…. = … . 9 + 5 
 
En este caso hay que tener en cuenta que el divisor tiene 
que ser mayor que 5. 
Por lo tanto una posible respuesta es: 68 = 7 . 9 + 5 
 
 68 7 
 5 9 
 
 85 … 
 4 3 
85 = … . 3 + 4 
 
Por lo tanto el divisor es 27. 
85 = 27 . 3 + 4 
 
 85 27 
 4 3 
48 = 6 . 8 + 0 
49 = 6 . 8 + 1 
50 = 6 . 8 + 2 
51 = 6 . 8 + 3 
52 = 6 . 8 + 4 
53 = 6 . 8 + 5 
 
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ii. Infinitas soluciones, tiene que cumplirse que el divisor sea mayor que 5. 
 
iii. Hay una única solución. 
 
91. Considerá la siguiente división donde a  0: 
 
 
 
 
a) ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Marcá con una X en el 
correspondiente. 
 
 a es múltiplo de 11. a es múltiplo de12. 
 a es par. a es impar. 
 
 a = 11 . r + r por lo tanto a = 11r + r , es decir a = 12r 
 Al expresar que a = 12 r, podemos asegurar que a es múltiplo de 12 y si a = 12r 
 entonces a = 2 . 6 . r, por lo tanto si en la descomposición de factores primos de a 
 está el número dos, entonces a es un número par. 
 
b) ¿Cuál o cuáles son los posibles valores de a si se sabe, además, que es múltiplo de 5? 
 Si a = 12r y teniendo en cuenta que r no puede ser mayor que 11 podemos 
 expresar que: a = 12 . 5 . 1 o a = 12 . 5 . 2 
 Por lo tanto, los posibles valores de a son 60 o 120. 
 
Página 42 
 
93. * Para cada una de las siguientes afirmaciones, escribí en el correspondiente, 
V (verdadera) o F (falsa) según corresponda, sabiendo que n es un número natural. 
Si m = 12 . n . 5 + 45, entonces: 
 
 F el resto de dividir m por 2 es cero. V m es divisible por 15. 
 
 F m es múltiplo de 30. 
 
El resto de dividir m por 2 no es cero ya que 12 . n . 5 termina en 0, por lo tanto es un 
múltiplo de 2 pero al sumarle 45, ya no lo es. 
 
m es divisible por 15 ya que 12 . n . 5 + 45 = 3 . 4 . n . 5 + 3. 15 = 15 . n. 4 + 3. 15 , es decir 
que ambos términos de la suma son múltiplos de 15. 
 
m no es múltiplo de 30 ya que 12. n . 5 es múltiplo de 30 pero al sumarle 45, ya no lo es. 
a 11 
r r 
X 
X 
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95. Facundo no recuerda cuántas galletitas cocinó, aunque sabe que horneó entre 60 y 120. 
Cuando las tenía empaquetadas en bolsitas de 2 o 3, siempre le sobraba una, pero cuando las 
empaquetaba en bolsitas de 5, no le sobraba ninguna. 
¿Cuántas galletitas pudo haber cocinado Facundo? Escribí todas las posibilidades. 
 
Si empaquetaba las galletitas en bolsitas de 5 y no le sobraba ninguna significa que la 
cantidad de galletitas tiene que ser un múltiplo de 5 pero si al empaquetarlas en bolsitas de 
2 o 3, siempre le sobraba 1, significa que esa cantidad no es múltiplo de 2 y tampoco de 3. 
 
Buscamos múltiplos de 5 mayores que 60 y menores que 120 (65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 
105, 110, 115) que no sean múltiplos de 2 y de 3. Entonces se descartan todos los 
terminados en 0 por ser múltiplos de 2 y los números 75 y 105 por ser múltiplos de 3. 
Además tenemos que descartar a 65 y 95 ya que al dividirlos por 3, el resto no es 1. 
Por lo tanto las únicas posibilidades son: 85 y 115. 
 
96. * Encontrá un número natural, entre 620 y 680, que al ser dividido por 5, 7 o 9, en los tres 
casos, se obtenga resto 2. 
 
Entre 620 y 680 se busca un número que sea simultáneamente múltiplo de 5, 7 y 9. Ese 
número es 630. Pero como al dividirlo por esos números el resto tiene que ser 2, entonces 
630 + 2 = 632. 
El número que cumple con las condiciones pedidas es 632. 
 
 
97. a) * Marcá con una X en el correspondienteel o los números que sean divisores de 5000. 
 
 20000 X 8 10000 12,5 X 125 
 
Como 5000 = 2.2.2.5.5.5.5 = 23 . 54 entonces solamente el 8 y el 125 son divisores de 5000. 
 
b) *Se quiere descomponer el número 5000 en tres factores naturales distintos. Ningún 
factor debe terminar en cero. Da una descomposición posible. 
Teniendo en cuenta que ningún factor puede terminar en 0, una descomposición posible 
puede ser 8 . 5 . 125 
 
99.a) Obtené el mayor número natural menor que 100 que tenga solo dos factores 
primos distintos, sea par y múltiplo de 11. 
El mayor número par menor que 100, múltiplo de 11, que tenga solo dos factores primos 
distintos (en este caso 2 y 11) es el 88. 
b) *Encontrá el menor número natural mayor que cero que tenga tres divisores primos 
 distintos, sea par y múltiplo de 25. 
El menor número natural mayor que 0, par, múltiplo de 25 y que tenga tres divisores 
primos distintos es 150 ya que su descomposición en factores primos es 2 . 3. 52 . 
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101. a) ¿Cuál es el menor número múltiplo de 5 tal que al dividirlo por 11 el resto es 2? 
b) ¿Cuáles son los múltiplos de 3 tal que al dividirlos por 8 el cociente es 19? 
 
a) 35 = 5 . 7 es múltiplo de 5 y al dividirlo por 11 el resto es 2 (35= 11 . 3 + 2) 
 
b) Si se indica con m a los números múltiplos de 3 que se pide, se puede escribir lo 
siguiente: m = 8 . 19 + r y r puede ser= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. 
 
Entonces: 
Si r = 0 entonces m = 8 . 19 + 0 = 152 pero no es múltiplo de 3. 
Si r = 1 entonces m = 8 . 19 + 1 = 153 
Si r = 2 entonces m = 8 . 19 + 2 = 154 pero no es múltiplo de 3. 
Si r = 3 entonces m = 8 . 19 + 3 = 155 pero no es múltiplo de 3. 
Si r = 4 entonces m = 8 . 19 + 4 = 156 
Si r = 5 entonces m = 8 . 19 + 5 = 157 pero no es múltiplo de 3. 
Si r = 6 entonces m = 8 . 19 + 6 = 158 pero no es múltiplo de 3. 
Si r = 7 entonces m = 8 . 19 + 7 = 159 
Los números pedidos son 153, 156 y 159. 
 
 
102. Si d es un número impar, ¿cuáles de los siguientes números son pares? 
Marcá con una X en el correspondiente. 
 
 5d X 7d – 3 d2 + 2 X d2 + d 
 
5d no es par ya que si se multiplica al número d, que es impar, por 5, da impar. 
 
7d – 3 es par ya que si a un número impar d se lo multiplica por 7, se obtiene otro número 
impar pero al restarle 3, se obtiene un número par. 
 
d2 + 2 no es par ya que un número impar d elevado al cuadrado (es decir, multiplicado por 
sí mismo) da impar y al sumarle 2 sigue siendo impar. 
 
d2 + d es par ya que un número impar d elevado al cuadrado (es decir, multiplicado por sí 
mismo) da impar y al sumarle ese mismo número da par.