Análisis Matemático I - Repaso General

Vista previa del material en texto

ANALISIS MATEMATICO I, 2012
Trabajo Práctico - Repaso general: Primera parte
Actividad 1
1. Resolver para x y graficar. Expresar la solución como un conjunto.
(a) |x| = 12 (b) |3x| = 3 (c) |x − 1| = 3 (d) |3x − 4| = 0
(e) |2x − 3| = 7 (f) |x|x = 1 (g)
|x|
x = −1 (h) |1 + 5x| > 1
(i) |x − 1| < |x − 2| (j) 4|2x−1| >
1
x+10
2. Calcular los siguientes ĺımites:
ĺım
x→1
x2 + x − 2
x2 − 3x + 2 ĺımx→1
x2 + x + 1
x + 1
ĺım
x→0
x√
1 + x2 − 1
ĺım
x→0
(x + sen(1/x)) ĺım
x→∞
x sen(1/x) ĺım
x→0
(
1
2
)
1
x2
ĺım
x→∞
ln
(
2 +
1
x
)
ĺım
x→∞
(
√
x2 + 1 − |x|) ĺım
x→0+
|x| − x
|x| + x
ĺım
x→∞
(x2 − 2x) ĺım
x→∞
x(x −
√
2x2 + 3) ĺım
x→∞
(
x + 1
x + 2
)2x
ĺım
x→−∞
3
√
x − 5√x
3
√
x + 5
√
x
ĺım
x→∞
2x5 + 3
−x2 + x ĺımx→∞
x + 1
x2 + 3
ĺım
x→∞
1 − 12x2
4x2 + 12
ĺım
x→∞
2x
5
3 − x 13 + 7
x
8
5 + 3x +
√
x
ĺım
x→0
tg x − sen x
sen2 x
ĺım
x→0
lnx
cotg x
ĺım
x→π
2
ln(senx)
π − 2x ĺımx→0
x2 sen( 1x)
sen x
ĺım
x→0
ln(1 + x)
x
ĺım
x→1
ex−1 − 1
1 − x ĺımx→π/2
cos(x)
x − π2
ĺım
x→0
sen(x) − x
x
ĺım
x→0
e−x
2 − 1
x2
ĺım
x→0
1 − cos(x)
x
3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función
f(x) =



−x2 − 3x − 1 si x < −1
|x| si − 1 ≤ x < 2
x − 2 si x ≥ 2
Actividad 2
1. Encontrar la derivada de cada una de las siguientes funciones.
f(x) =
5ln
2 x
x3
g(x) =
1 + e2x
1 − e2x h(x) =
√
1 + cos(2x)e3x
i(x) = x4 + 2x2 +
√
x4 + 2x2 + 4 j(x) = 5x3 sen(x2)
1
2. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos los
números reales. Graficar f .
f(x) =
{
1
x si x < −1
a + bx2 si x ≥ −1
3. Dadas f(x) = ln(x3 − 1) y g(x) = sen(x), determinar el dominio y la imagen de cada una
de ellas. Explicar por qué está bien definida g ◦ f y encontrar (g ◦ f)′.
4. Encontrar el valor de c en el teorema del valor medio para [a, b] = [0, 1] y f dada por:
(a) f(x) = 2x2 (b) f(x) = 3
√
x (c) f(x) = 3x.
5. Probar que la función f(x) = 3
√
(x − 3)2 satisface f(1) = f(5) pero que no existe c ∈ (1, 5)
tal que f ′(c) = 0. ¿Por qué no contradice esto el teorema de Rolle?
6. Sea f(x) = (x − 1)x(x + 2)(x + 5). Sin hacer cálculos, demostrar que f ′ tiene tres ráıces
reales distintas.
7. Encontrar la derivada de cada una de las siguientes funciones:
(a) y = xx+1 (b) y = xsen x (c) y = xln x (d) y = (lnx)x (e) y = x
√
x.
8. Estudiar el comportamiento de las funciones del ejercicio anterior cuando x → 0+ y cuando
x → +∞.
9. Suponer en cada caso que la ecuación dada define a y impĺıcitamente como una función
de x. Hallar y′.
(a) ln y = ey sen x (b) e2x = sen(x + 3y).
10. Mostrar que f(x) = e
x−1
x puede definirse en x = 0 de manera que resulte continua.
Demostrar que, aśı definida, f es derivable y que su derivada es una función continua.
11. Se definen cosh t = e
t+e−t
2 y senh t =
et−e−t
2 .
Demostrar que para todo t ∈ R el punto (cosh t, senh t) está sobre la hipérbola x2−y2 = 1.
Mostrar además que:
(a) senh 0 = 0 y cosh 0 = 1.
(b) cosh2 t − senh2 t = 1, ∀t ∈ R.
(c) (senh x)′ = cosh x y (coshx)′ = senh x, ∀x ∈ R.
(d) senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y, ∀x, y ∈ R.
(e) cosh (x + y) = senh x senh y + cosh x cosh y, ∀x, y ∈ R.
12. Realizar un estudio anaĺıtico de las funciones hiperbólicas senh y cosh. Graficarlas. En
intervalos donde admitan inversa, calcular (senh−1)′ y (cosh−1)′.
2
Actividad 3
1. Estudiar ĺım
x→1
f(x) y ĺım
x→3
f(x) para cada uno de los siguientes casos.
(a) f(x) =
x3 − x2 − 2x + 2
x2 − 4x + 3 (b) f(x) =
x3 − 4x2 + 3x
x3 − 5x2 + 7x − 3 .
2. Realizar un estudio anaĺıtico completo de cada una de las funciones dadas en el ejercicio
anterior y graficar.
3. Realizar un estudio anaĺıtico completo de cada una de las siguientes funciones. Graficar.
(a) f(x) =
x2√
4 − x2
(b) f(x) =
1
x2 + 2x + 2
.
4. Considerar f(x) = e−
1
x2 para x 6= 0 y f(0) = 0. Hacer un estudio anaĺıtico completo de f
y graficar.
5. Realizar un estudio anaĺıtico completo de la función f(x) = 1√
2π
e−
1
2
x2 . Graficar.
6. Las siguientes son las gráficas de las funciones
h(x) =
−x2 + 1
x
f(x) = −x
2 + 1
x
g(x) =
−x3 + 1
x2
k(x) = −x
3 + 1
x2
Indicar qué gráfica corresponde a cada una de las funciones. Justificar.
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
3
7. Sea f : R → R dada por
f(x) =







x
1 + x
, x ≥ 0
x
1 − x, x < 0
Mostrar que f es continua en R. Graficar f .
Actividad 4
1. Para cada una de las siguientes funciones, hallar el máximo y el mı́nimo en el intervalo
indicado y graficar.
a) f(x) = x5 + x + 1 sobre [−1, 1]
b) f(x) = x+1
x2+1
sobre [−1, 12 ].
2. Determinar dos números cuya suma sea 100 y cuyo producto sea máximo.
3. Determinar dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea mı́nimo.
4. Encontrar el punto de la recta de ecuación y = 2x − 3 que está más cerca del origen de
coordenadas.
5. Demostrar que de todos los rectángulos de igual peŕımetro el de mayor área es el cuadrado.
¿Cuál es el de menor área?
6. Expresar el número 4 como la suma de dos números positivos de manera que la suma del
cuadrado del primero con el cubo del segundo sea lo más pequeño posible.
7. Encontrar el(los) punto(s) de la gráfica de f(x) = 3 lnx donde la recta tangente es paralela
a la recta 8x − 2y + 1 = 0. Graficar.
8. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x lnx − x + 3 que es
perpendicular a la recta x + 2y = 1.
9. ¿Existe algún punto de la gráfica de f(x) = x3 − sen x donde la recta tangente sea per-
pendicular a la recta de ecuación x = 3?
10. ¿Existe algún punto de la gráfica de f(x) = senh x+1 donde la recta tangente sea paralela
a la recta tangente a g(x) = ex
2
en (0, 1)? Graficar f .
11. Encontrar el punto sobre la gráfica de f(x) = −2x4 + 8x3 − 9x2 + 5x + 1, x ∈ [1, 2], que
tiene la recta tangente con mayor pendiente.
12. ¿Existe algún punto sobre la gráfica de f(x) = x3 − 2x2 + x − 2, x ∈ [0, 3], donde la
pendiente de la recta tangente sea mayor que 10?
13. La ecuación x2−xy +y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes
no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encontrar los puntos en que esta elipse cruza
el eje x y demostrar que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.
14. ¿Dónde la recta normal a la elipse del ejercicio anterior en el punto (−1, 1) la cruza por
segunda vez? Graficar.
15. Encontrar todos los puntos de la curva x2y2 + xy = 2 donde la pendiente de la recta
tangente es −1.
4
Actividad 5
1. (Verdadero o falso). Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justificar
la respuesta.
a) 1x(x − 1) − 12x2 (x − 1)2 es el polinomio de Taylor de orden 2 para la función ln(x)
centrado en 1.
b) La función f : [0, 2π] → R dada por f(x) = sen(x)
x2+1
alcanza su máximo absoluto.
c) y−1 = sec2(x)(x− π4 ) es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = tg(x)
en (π4 , 1).
2. Sean f, g : R → R y c ∈ R. ¿Qué condiciones alcanzan para garantizar que existe
ĺım
x→c
f(x)g(x)? Justifique:
(i) ĺım
x→c
f(x) existe.
(ii) Existe ĺım
x→c
f(x) y g está acotada en algún entorno de c.
(iii) ĺım
x→c
f(x) = 0 y g está acotada en algún entorno de c.
(iv) Existen ĺım
x→c
f(x) y ĺım
x→c
g(x).
3. Demostrar que la ecuación ex = ax tiene al menos una solución para cualquier valor de a
excepto si 0 ≤ a < e.
4. Dada la función
f(x) =
{
x2 x > 0
x2 − 1 x ≤ 0
Calcular ĺım
x→0+
f ′(x) y ĺım
x→0−
f ′(x). ¿Es f derivable en x = 0?
5. Considere la función
f(x) =
{
x2 sen(1/x2) x 6= 0
0 x = 0
Mostrar que f es derivable en R, pero que f ′ no está acotada en ningún entorno de 0.
Actividad 6
1. Al apostar, un jugador inexperto pierde dinero a una razón igual a la cantidad que tiene
en cada instante. ¿En qué instante t habrá perdido la mitad de su capital inicial?
2.Una cierta substancia se descompone a razón proporcional de la cantidad de substancia
presente. Despues de 3 minutos se ha descompuesto el 10 % de la substancia original.
¿Cuándo se descompondrá la mitad de la substancia?
3. Un aeroplano vuela horizontalmente a una altura de 1400 m, alejándose directamente de
un observador. Cuando el ángulo de elevación observado es π4 , el ángulo está decreciendo
a razón de 0,05 radianes por segundo. ¿Con qué rapidez está volando el aeroplano en ese
instante?
4. En un instante dado, en un rectángulo la longitud de la base b está disminuyendo a razón
de 2cm/s, y la altura h está aumentando a razón de 2cm/s. Si en ese instante se tiene
que la base mide 12cm y la altura 5cm, determinar la razón de cambio de las siguientes
magnitudes:
5
a) El área del rectángulo.
b) El peŕımetro del rectángulo.
c) La longitud de la diagonal del rectángulo.
¿Cuáles de estas magnitudes están aumentando y cuáles disminuyendo?
5. Una pieza de alambre de longitud L se va a cortar en dos partes. Una de ellas se va a doblar
en forma de triángulo equilátero y la otra en forma de ćırculo. ¿Cómo deberá cortarse el
alambre de modo que las sumas de las áreas comprendidas sea (a) máxima (b) mı́nima?
6. El costo diario de producir x unidades de un producto está dado por la fórmula
f(x) = 2002 + 120x − 5x2 + 1
3
x3.
Cada unidad se vende por $230. ¿Cuantas unidades deberá producirse por d́ıa para maxi-
mizar las ganacias? ¿Cual será la ganancia diaria para este número de unidades producidas?
Actividad 7
El siguiente resultado es útil en algunos casos para saber si una función es derivable:
Proposición. Sea f una función continua en x0 y derivable en un entorno de x0 excepto posi-
blemente en x0. Si ĺım
x→x0
f ′(x) existe entonces f es derivable en x0 y f ′(x0) = ĺım
x→x0
f ′(x).
1. Demostrar que la hipótesis de que f sea continua en x0 en el resultado anterior es necesaria.
Para esto, es suficiente exhibir una función f que sea discontinua en un punto x0 y derivable
alrededor de x0 (y no en x0!) de modo que exista ĺım
x→x0
f ′(x).
2. Sea 0 < β < 1. Demostrar que si f satisface que |f(x)| ≥ |x|β para todo x y f(0) = 0
entonces f no es derivable en 0.
6