14--Sobolev---Forastieri

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Introducción a los Espacios de
Sobolev
Mariana Forastieri
Análisis Funcional
Índice
1. Motivación 4
2. Preliminares 4
2.1. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Espacios Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Teorema de representación de Riesz-Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Los espacios Lp 7
3.1. Reflexibilidad, separabilidad y Dual de Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Soportes en la convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. Sucesiones regularizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 15
4.1. Definición de los espacios W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Propiedades fundamentales del espacio W 1,p(I) . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Los espacios Wm,p(I) y el espacio W 1,p0 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4. El espacio dual de W 1,p0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5. Un ejemplo de problema de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ÍNDICE 3
NOTACION
L(E,F ) operadores lineales y continuos de E en F
E∗ dual topológico de E, i.e. funcionales continuos de E
Ckc (Ω) funciones con derivadas continuas hasta orden k y soporte compacto en Ω, k ≥ 0
C∞c (Ω) =
⋂
k C
k
c (Ω)
IE operador identidad del espacio E
Lp = Lp(Ω,Σ, µ) =
{
u : Ω→ R/u medible en Ω y
∫
Ω
|u(t)|p dµ(t) <∞
}
1 ≤ p <∞
L∞ = L∞(Ω,Σ, µ)={u : Ω→ R/u es medible en Ω y existe C tal que |u(t)| ≤ C, c.t.p. en Ω}
1K función caracteŕıstica del conjunto K (toma el valor 1 en K y 0 en el resto de su
dominio )
|K| medida del conjunto K.
BE Bola cerrada y unitaria del espacio normado E.
B(0, r) Bola abierta centrada en 0 y de radio r.
Suppf Soporte de la función f.
Dkf = ∂
α1
∂x
α1
1
∂α2
∂x
α2
2
... ∂
αN
∂x
αN
N
f , para f definida en Ω ⊂ RN y α1 + α2 + ...+ αN = k
W 1,p, W 1,p0 , W
m,p, H1, H10 , H
m Espacios de Sobolev
∂A Frontera del conjunto A.
4 Preliminares
1. Motivación
Dada f ∈ C([a, b]), consideremos el problema de valores iniciales{
−u′′ + u = f en [a, b] (1)
u(a) = u(b) = 0
Una solución clásica (o solución fuerte) del mismo es una función u, de clase C2 en [a, b],
que lo verifica. Por supuesto, se lo puede resolver con un calculo sencillo, pero aqúı usaremos
esta ecuación ordinaria como ejemplo simple del método de resolución que sigue el enfoque
variacional de la teoŕıa de ecuaciones en derivadas parciales, cuya herramienta fundamental
son los espacios de Sobolev. Para nuestro problema bastara considerar dichos espacios para
funciones definidas en algún intervalo real.
Si se multiplica (1) por una función ϕ cualquiera, ϕ ∈ C1([a, b]) tal que ϕ(a) = ϕ(b) = 0, y
luego se integra por partes, obtenemos
−
∫ b
a
ϕu′′dx+
∫ b
a
ϕudx =
∫ b
a
ϕfdx
⇔
∫ b
a
ϕ′u′dx− ϕu′|ba +
∫ b
a
ϕudx =
∫ b
a
ϕfdx
⇔
∫ b
a
ϕ′u′dx+
∫ b
a
ϕudx =
∫ b
a
ϕfdx ∀ϕ (2)
Obsérvese que (2) tiene sentido si u ∈ C1([a, b])1, contrariamente a (1), que supone u deri-
vable dos veces. Digamos provisionalmente, que una función u de clase C1que verifica (2) es
una solución débil de (1).
En nuestro estudio precisaremos la noción de solución débil, estableceremos la existencia
y unicidad de una solución débil, demostraremos que es de clase C2 (por lo menos) y por
ultimo probaremos que toda solución débil de clase C2 es solución clásica.
2. Preliminares
2.1. Isomorfismos
Definición 2.1. Un isomorfismo entre dos espacios normados E y F es un operador T ∈
L(E,F ) biyectivo tal que T−1 ∈ L(F,E).
Un isomorfismo es entonces, una biyección que conserva la estructura algebraica y también,
como demuestra la siguiente proposición, la estructura topológica.
Proposición 2.2. Sean E y F dos espacios normados. Sea T ∈ L(E,F ) un isomorfismo
entre ellos y sean M = ‖T‖ y m = ‖T−1‖−1. Entonces :
m ‖x‖E ≤ ‖Tx‖F ≤M ‖x‖E ∀x ∈ E
Demostración. Dado cualquier x ∈ E
1En realidad bastaŕıa con tener u, u′ ∈ L1(a, b)
Preliminares 5
‖x‖E = ‖T−1(Tx)‖E ≤ ‖T−1 ‖‖Tx‖F
Lo que prueba la primera desigualdad. La segunda es inmediata por la continuidad de T.
Entonces podemos pensar que E y F son un mismo espacio vectorial con dos normas equi-
valentes que generan la misma topoloǵıa. Diremos que E y F son isomorfos.
Definición 2.3. Un isomorfismo isométrico entre dos espacios normados E y F es una
aplicación lineal T de E en F, sobreyectiva, tal que ‖Tx‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E.
Una tal aplicación es por su puesto un isomorfismo:
Por la definición T es continua de norma 1.
T (x1) = T (x2) =⇒ T (x1) − T (x2) = 0 =⇒ T (x1 − x2) = 0 =⇒ ‖T (x1 − x2)‖ = 0 =⇒
‖x1 − x2‖ = 0 =⇒ x1 = x2 ∀x1, x2 ∈ E (inyectividad de T)
‖T−1(Tx)‖ = ‖x‖ = ‖Tx‖ ∀Tx ∈ F (continuidad de T−1)
El isomorfismo isométrico es la identificación total entre dos espacios normados.
Diremos que E y F son isométricos (o iguales) y lo anotaremos E ∼= F
Observación 2.4. Notemos que un isomorfismo entre E y F que cumpla ‖T‖ = ‖T−1‖ = 1
es claramente isométrico.
Observación 2.5. Llamaremos isometŕıa a secas, a una aplicación lineal T de E en F tal
que ‖Tx‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E. En cuyo caso E será isométrico al subespacio T (E) ⊆ F .
2.2. Espacios Reflexivos
Sea E un K-espacio vectorial normado2. Notaremos E∗ a su dual topológico, que como
sabemos es un espacio de Banach, con la norma dual usual. A los elementos de E∗ como es
habitual los llamaremos funcionales y a veces usaremos la notación de producto punto 〈x, ϕ〉
en vez de ϕ(x), para x ∈ E y ϕ ∈ E∗.
Consideremos ahora, el dual topológico del dual (E∗)∗ = E∗∗
Definición 2.6. Llamaremos inmersión canónica de E a la aplicación J = JE : E → E∗∗,
dada por
JEx = Jx ∈ E∗∗, donde Jx(ϕ) = ϕ(x), ∀ϕ ∈ E∗
Es inmediato que para cada x ∈ E, Jx ∈ E∗∗:
Jx(cϕ+ φ) = (cϕ+ φ)(x) = c ϕ(x) + φ(x) = c Jx(ϕ) + Jx(φ) ∀ϕ, φ ∈ E∗ y ∀c ∈ K
|Jx(ϕ)− Jx(φ)| = |ϕ(x)− φ(x)| = |(ϕ− φ)(x)| ≤ ‖x‖ ‖ϕ− φ‖ ∀ϕ, φ ∈ E∗
Por como fue definida JE es claramente lineal. Además JE es una isometŕıa, es decir E ∼=
J(E) ⊆ E∗∗. Para verlo tomemos cualquier x ∈ E y recordemos que podemos calcular su
norma en forma dual (consecuencia del teorema de Hahn-Banach). Entonces
2Aqúı el cuerpo K es R o C
6 Preliminares
‖x‖E = supϕ∈BE∗ |ϕ(x)| = supϕ∈BE∗ |Jx(ϕ)| = ‖Jx‖E∗∗ = ‖JE(x)‖E∗∗
Definición 2.7. Un espacio normado E es reflexivo si la isometŕıa JE es sobreyectiva. Con
lo cual E resulta isométrico a su bidual.
Mencionamos dos resultados sobre espacios reflexivos, se puede encontrar una prueba de los
mismos en R[1].
Teorema 2.8. Sea E un espacio de Banach. E es reflexivo si y solo si BE es compacta en la
topoloǵıa débil σ(E,E∗) (topoloǵıa menos fina sobre E que hace continua cada elemento de
E∗).
Proposición 2.9. Sea E un espacio de Banach reflexivo y sea M ⊂ E un subespacio
vectorial cerrado. Entonces M , dotado de la norma inducida por E, es reflexivo.
2.3. El operador adjunto
Definición 2.10. Sean E y F dos espacios normados y T ∈ L(E,F ). Definimos el operador
T ∗, que llamaremos operador adjunto de T, de la siguiente forma:
T ∗ : F ∗ → E∗ y T ∗(ϕ) = ϕ ◦ T ∀ϕ ∈ F ∗
Claramente este operador esta bien definido y es lineal. Para ver que es continuo tomemos
ϕ ∈ F ∗ fijo, tenemos entonces:
|(T ∗ϕ)(x)| = |ϕ(Tx)| ≤ ‖ϕ‖ ‖Tx‖ ≤ ‖ϕ‖ ‖T‖ ‖x‖ ∀x ∈ E
Luego
‖T ∗ϕ‖ ≤ ‖T‖ ‖ϕ‖ ∀ϕ ∈ F ∗ entonces T ∗ ∈ L(F ∗, E∗) y ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖
Mas aun, calculando la norma de los vectores T (x) ∈ F en forma dual, tenemos que:
‖T‖L(E,F ) = sup
x∈BE
‖Tx‖F = sup
x∈BE
sup
ϕ∈BF∗
|ϕ(Tx)| = sup
ϕ∈BF∗
sup
x∈BE
|(ϕ ◦ T )(x)|
= sup
ϕ∈BF∗
‖ϕ ◦ T‖E∗ = sup
ϕ∈BF∗
‖T ∗ϕ‖E∗ = ‖T ∗‖L(F ∗,E∗)
Por lo tanto
‖T‖ = ‖T ∗‖ (1)
Otra consecuencia inmediata de la definición es que si E, F y G son espacios normados y siT ∈ L(E,F ) y S ∈ L(F,G) entonces
(S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
Proposición 2.11. Dados dos espacios normados E y F, E ∼= F =⇒ E∗ ∼= F ∗
Demostración. Primero observemos que para cualquier funcional ϕ de E, ϕ ◦ IE = ϕ, con
lo que (IE)
∗ = IE∗ . Sea T el isomorfismo isométrico de E sobre F, como
IE∗ = (IE)
∗ = (T−1 ◦ T )∗ = T ∗ ◦ (T−1)∗
Los espacios Lp 7
aśı mismo IF ∗ = (T
−1)∗◦T ∗, con lo que hemos probado que T ∗ es biyectivo y (T ∗)−1 = (T−1)∗
que es continuo, luego T ∗ es un isomorfismo de F ∗ sobre E∗. Como T es isométrico, de
la igualdad ‖T‖ = ‖T−1‖ = 1 deducimos por (1) que ‖T ∗‖ = ‖(T ∗)−1‖ = 1, de donde
se concluye rápidamente que T ∗ también es un isomorfismo isométrico. Resultando E∗ ∼=
F ∗.
Proposición 2.12. Dados dos espacios normados E y F y la aplicación T ∈ L(E,F ).
T ∗ ∈ L(F ∗, E∗) es el único operador que cumple
〈x, T ∗ϕ〉 = 〈Tx, ϕ〉 ∀x ∈ E,∀ϕ ∈ F ∗
Demostración. Dados x ∈ E y ϕ ∈ F ∗
〈x, T ∗ϕ〉 = (T ∗ϕ)(x) = (ϕ ◦ T )(x) = ϕ(Tx) = 〈Tx, ϕ〉
Si H ∈ L(F ∗, E∗) es otro operador cumpliendo lo mismo, entonces dado ϕ ∈ F ∗
〈x,Hϕ〉 = 〈Tx, ϕ〉 = 〈x, T ∗ϕ〉 ∀x ∈ E
Con lo que Hϕ = T ∗ϕ, pero ϕ era un funcional cualquiera en F ∗, entonces H = T ∗.
2.4. Teorema de representación de Riesz-Fréchet
Recordemos que un R-espacio vectorial, H, es un espacio de Hilbert si esta dotado de un
producto interno 〈., .〉 : HXH → R y es completo con la norma inducida por el mismo
(‖u‖ = 〈u, u〉1/2).
Dado y ∈ H (H espacio de Hilbert), definamos ϕy ∈ H∗ por
ϕy(x) = 〈x, y〉 , ∀x ∈ H
es inmediato que dicho funcional esta bien definido.
Teorema 2.13. (de Riesz-Fréchet) La aplicación H 3 y 7→ ϕy ∈ H∗ produce un isomorfismo
isométrico3 de H sobre H∗. Es decir, para toda ϕ ∈ H∗ existe un único y ∈ H tal que
ϕ = 〈., y〉, que además cumple ‖ϕ‖ = ‖y‖.
Este teorema nos dice que todo espacio de Hilbert se puede identificar con su dual, se puede
encontrar una prueba del mismo en R[2].
3. Los espacios Lp
3.1. Reflexibilidad, separabilidad y Dual de Lp
En esta sección y en las siguientes las funciones se consideran a valores reales, Ω designa un
abierto de RN con medida de Lebesgue µ positiva y los espacios Lp(Ω,Σ, µ) son los espacios
de Banach usuales con la norma p usual , donde se han identificado como iguales las funciones
que coinciden c.t.p.
3Si H es un C-espacio de Hilbert es en realidad un anti-isomorfismo isométrico.
8 Los espacios Lp
Además, cuando el dominio de integración se deduzca del contexto escribiremos
∫
f para
denotar
∫
Ω
f(t)dµ(t) y pondremos Lp en vez de Lp(Ω,Σ, µ).
Como es habitual, si p y q son números reales tales que 1
p
+ 1
q
= 1, con 1 < p < ∞,
diremos que p y q son exponentes conjugados entre śı. Por otro lado, diremos que 1 y ∞
son exponentes conjugados. Usuremos la letra q, a veces sin previo aviso, para referirnos al
exponente conjugado p en ambos casos.
A continuación recordamos un teorema de Teoŕıa de la Medida, que es consecuencia directa
del teorema de Radon–Nikodym, para una prueba consultar [R3], pagina 92.
Teorema 3.1. (de Representación de Riesz) Sea ϕ ∈ Lp(Ω,Σ, µ)∗, 1 < p < ∞, entonces
existe g ∈ Lq(Ω,Σ, µ) (q exponente conjugado de p) tal que
ϕ(f) =
∫
Ω
fg dµ ∀f ∈ Lp (2)
Por otro lado, para ϕ en L1(Ω,Σ, µ)∗ existe g ∈ L∞(Ω,Σ, µ) cumpliendo (2) para toda
función f en L1.4
Observación 3.2. L2 dotado del producto interno 〈f, g〉 =
∫
fg dµ, es un espacio de Hilbert.
El teorema anterior aplicado a L2 es en realidad el teorema de representación 2.13.
Teorema 3.3. Sean p y q exponentes conjugados, 1 < p <∞. Entonces
Lq(Ω,Σ, µ) ∼= Lp(Ω,Σ, µ)∗
Demostración. Definimos la función Φ : Lq → (Lp)∗ por
Φ(g) = ϕg ∈ (Lp)∗ , donde ϕg(f) :=
∫
Ω
fg dµ =
∫
fg ∀f ∈ Lp (3)
1) Φ esta bien definida: La desigualdad de Hölder asegura que si f ∈ Lp y g ∈ Lq, entonces
fg ∈ L1. Por lo tanto fijado g ∈ Lq, ϕg(f) es efectivamente un número real para todo f en
Lp, además por estar definida por una integral ϕg es una aplicación lineal y su continuidad
también la tenemos gracias a la desigualdad de Hölder:
|ϕg(f)| ≤
∫
|fg| = ‖fg‖1 ≤ ‖g‖q ‖f‖p para toda f ∈ L
p (4)
Por lo tanto ϕg es un elemento de (L
p)∗
2) Φ es lineal: Sean g, g′ ∈ Lq y λ ∈ R
ϕλg+g′(f) =
∫
f(λg + g′) = λ
∫
fg +
∫
fg′ = λϕg(f) + ϕg′(f) = (λϕg + ϕg′)(f) ∀f ∈ Lp
Por lo tanto ϕλg+g′ = λϕg + ϕg′ , o lo que es lo mismo Φ(λg + g
′) = λΦ(g) + Φ(g′)
3)Φ es sobreyectiva: Esto esta garantizado por el teorema de Representación de Riesz.
4Para este segundo caso necesitamos que el espacio de medida (Ω,Σ, µ) sea σ-finito
Los espacios Lp 9
4)Φ es una isometŕıa: Primero observemos que toda función medible g : Ω → R puede
escribirse en la forma g = α|g|, donde α es también una función medible sobre Ω que toma
solo los valores +1 y -1. Fijada entonces g = α|g| ∈ Lq, tomamos f = α|g|q−1, con lo que
|f |p = |g|pq−p = |g|q, como esta última es una función integrable sabemos que f ∈ Lp y
tenemos ∫
|g|q =
∫
fg = ϕg(f) ≤ ‖ϕg‖ ‖f‖p = ‖ϕg‖ (
∫
|g|q)1/p
Dividiendo ambos miembros por (
∫
|g|q)1/p se ve que ‖g‖Lq ≤ ‖ϕg‖(Lp)∗ .
Por otro lado en (4) se puede ver que ‖ϕg‖(Lp)∗ ≤ ‖g‖Lq . Aśı concluimos que para todo
g ∈ Lq, ‖Φ(g)‖ = ‖ϕg‖ = ‖g‖.
Por lo tanto, Φ un isomorfismo isométrico entre Lq y (Lp)∗
De manera análoga se puede probar que
L1(Ω,Σ, µ)∗ ∼= L∞(Ω,Σ, µ)
Proposición 3.4. Los espacios Lp, 1 < p <∞, son reflexivos.
Demostración. Como acabamos de ver (Lp)∗ ∼= Lq entonces por 2.11 (Lp)∗∗ ∼= (Lq)∗ v́ıa el
operador adjunto Φ∗(Φ∗ : (Lp)∗∗ → (Lq)∗). A su vez (Lq)∗ de nuevo, como en la proposición
anterior, se identifica con Lp,mediante el operador isométrico
Γ : Lp → (Lq)∗ Γ(f) = φf , donde φf (g) :=
∫
fg para toda g ∈ Lq (5)
Entonces, la composición (Φ∗)−1◦Γ es un isomorfismo isométrico (y por lo tanto sobreyectivo)
de Lp sobre (Lp)∗∗. Comprobemos que (Φ∗)−1 ◦Γ es precisamente la inmersión canónica J de
Lp en su bidual; equivalentemente, es más directo probar que Γ = Φ∗ ◦ J . Tomemos f ∈ Lp,
y recordemos 2.12 y 2.6
〈g, (Φ∗ ◦ J)f〉 = 〈g,Φ∗(J(f))〉 = 〈Φ(g), J(f)〉 = 〈f,Φ(g)〉 ∀g ∈ Lq
y por las definiciones de Φ (3) y Γ tenemos
〈g, (Φ∗ ◦ J)f〉 = 〈f,Φ(g)〉 = 〈g,Γf〉 ∀g ∈ Lq
de donde (Φ∗ ◦ J)f = Γf para todo f en Lp resultando Γ = Φ∗ ◦ J como queŕıamos.
Por lo tanto, hemos probado que J es sobreyectiva, es decir, que para 1 < p <∞, Lp es un
espacio de Banach reflexivo.
Teorema 3.5. El espacio Cc(Ω) es denso en L
p(Ω) para 1 ≤ p <∞
Antes de demostrarlo recordemos una definición y dos lemas. Se puede encontrar una de-
mostración del segundo lema en [R1]
Definición 3.6. Sea 1 ≤ p ≤ ∞, se dice que una función f : Ω→ R pertenece a Lploc(Ω) si
f1K ∈ Lp(Ω) para todo compacto K ⊂ Ω.
Lema 3.7. Si f ∈ Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces f ∈ L1loc(Ω).
10 Los espacios Lp
Demostración. Es trivial cuando p = 1. Sea f ∈ Lp, 1 < p ≤ ∞, sea q el exp. conjugado
de p y K ⊆ Ω un compacto cualquiera. Usando la desigualdad de Hölder tenemos∫
Ω
|f1K | ≤ ‖f‖Lp ‖1K‖Lq = ‖f‖Lp |K|
1/q <∞
Por lo tanto, f ∈ L1loc(Ω).
Lema 3.8. Sea f ∈ L1loc(Ω) tal que∫
Ω
fu = 0 ∀u ∈ C∞c (Ω)
Entonces f = 0 c.t.p. en Ω.
Demostración. (del teorema). Sabemos que Cc(Ω) es denso en L
1(Ω). Supongamos entonces
que 1 < p < ∞. Para demostrar que Cc(Ω) es denso en Lp(Ω) es suficiente con ver que si
h ∈ Lq verifica
∫
hu = 0 para todo u ∈ Cc(Ω), entonces h = 0. Por 3.7 h ∈ L1loc(Ω) y entonces
se puede aplicar 3.8 para concluir que h = 0 c.t.p.
Teorema 3.9. Lp(Ω) es separable (i.e. contiene un denso numerable) para 1 ≤ p <∞
Demostración. Se designa por (Ri)i∈I a la familia numerable de rectángulos R ⊂ Ω ⊂ RN
de la forma
R = Πnk=1(ak, bk), con ak, bk ∈ Q
Y sea E el espacio vectorial sobre Q generado por las funciones 1Ri (c.l. finitas con coeficientes
racionales de las mismas), de modo que E es numerable. Veamos que es denso en Lp(Ω). Sean
f ∈ Lp(Ω) y � < 0 fijos. Sea f1 ∈ Cc(Ω) tal que ‖f − f1‖Lp < � (sabemos que existe por el
teorema anterior). Sea Ω′ un abierto acotado tal que suppf1 ⊂ Ω′ ⊂ Ω. Como f1 ∈ Cc(Ω′), se
construye fácilmente una función f2 ∈ E tal que suppf2 ⊂ Ω′ y que |f2(x)− f1(x)| ≤ �|Ω′|1/pc. t. p. en Ω′ (se comienza recubriendo suppf1 con un número finito de rectángulos Ri sobre
los cuales la oscilación de f1 es inferior a
�
|Ω′|1/p
). Resulta entonces que ‖f2 − f1‖Lp ≤ � y por
ende ‖f − f2‖Lp < 2�.
3.2. Convolucion
Definición 3.10. Dada f ∈ L1(RN) y g ∈ Lp(RN), con 1 ≤ p ≤ ∞. Definimos la convolu-
ción de f y g, que denotamos f ∗ g , por
(f ∗ g)(x) =
∫
RN
f(x− y)g(y)dy, x ∈ RN
Teorema 3.11. Para casi todo x ∈ RN , la función y 7→ f(x−y)g(y) es integrable sobre RN ,
por lo que la aplicación anterior esta bien definida. Además f ∗ g ∈ Lp(RN) y ‖f ∗ g‖Lp ≤
‖f‖L1 ‖g‖Lp .
Demostración. Si g ∈ L∞(RN), como además f es integrable, la convolucion queda definida
para todo x
Los espacios Lp 11
(f ∗ g)(x) =
∫
RN f(x− y)g(y)dy ≤ ‖g‖∞
∫
RN f(x− y)dy ≤ ∞
y además para todo x ∈ RN
|(f ∗ g)(x)| =
∣∣∫
RN f(x− y)g(y)dy
∣∣ ≤ ∫RN |f(x− y)| |g(y)| dy ≤ ‖g‖∞ ∫RN |f(x− y)| dy =
‖g‖L∞ ‖f‖L1
con lo que tenemos la desigualdad
‖f ∗ g‖L∞ ≤ ‖f‖L1 ‖g‖L∞ .
Sea p = 1 y llamemos F (x, y) = f(x− y)g(y). Para casi todo y ∈ RN se tiene∫
RN |F (x, y)| dx = |g(y)|
∫
RN |f(x− y)| dx = ‖f‖L1 |g(y)| <∞
y
∫
RN dy
∫
RN |F (x, y)| dx = ‖f‖L1 ‖g‖L1 <∞
Aplicando el teorema de Tonelli se ve que F ∈ L1(RNXRN). Y por el teorema de Fubini∫
RN |F (x, y)| dy <∞ c.t.x ∈ R
N∫
RN dx
∫
RN |F (x, y)| dy ≤ ‖f‖L1 ‖g‖L1
Como queŕıamos.
Si 1 < p < ∞. Por lo anterior, se sabe que para casi todo x ∈ RN fijo, la función y 7→
|f(x− y)| |g(y)|p es integrable sobre RN , esto es
|f(x− y)|1/p |g(y)| ∈ Lp(RN)
Como |f(x− y)|1/q ∈ Lq, siendo q el exponente conjugado de p, se deduce de la desigualdad
de Hölder que
|f(x− y)| |g(y)| = |f(x− y)|1/p |g(y)| |f(x− y)|1/q ∈ L1 y∫
|f(x− y)| |g(y)| dy ≤ (
∫
|f(x− y)| |g(y)|p dy)1/p ‖f‖1/qL1
⇒ |(f ∗ g)(x)|p ≤ (|f | ∗ |g|p)(x) ‖f‖p/qL1
Aplicando el resultado del caso p = 1, se ve que
f ∗ g ∈ Lp y ‖f ∗ g‖pLp ≤ ‖f‖L1 ‖g‖
p
Lp ‖f‖
p/q
L1
⇒ ‖f ∗ g‖Lp ≤ ‖f‖L1 ‖g‖Lp .
En lo que sigue, dada una función f notaremos f̆(x) = f(−x)
Proposición 3.12. Sean f ∈ L1(RN), g ∈ Lp(RN) y h ∈ Lq(RN). Entonces∫
RN
(f ∗ g)h =
∫
RN
g(f̆ ∗ h). (6)
Demostración. La función F (x, y) = f(x− y)g(y)h(x) pertenece a L1(RNXRN) ya que∫
|h(x)|
(∫
|f(x− y)| |g(y)| dy
)
dx <∞
gracias al teorema 3.11 y a la desigualdad de Hölder.
Por consiguiente∫
(f ∗ g)(x)h(x)dx =
∫ ∫
F (x, y)dydx =
∫ ∫
F (x, y)dxdy =
∫
g(y)(f̆ ∗ h)(y)dy.
12 Los espacios Lp
3.3. Soportes en la convolucion
La noción de soporte de una función continua, complemento del mayor abierto sobre el que
es nula o equivalentemente clausura del conjunto donde es no nula, ya no es adecuada cuando
se trabaja con funciones medibles (que suelen estar definidas solo para casi todo punto) como
se ve considerando la función 1Q.
Proposición 3.13. Sea f : Ω → R. Se considera la familia de todos los abiertos (ωi)i∈I ,
ωi ⊂ Ω, tales que para todo i, f = 0 c.t.p. en ωi. Se define ω =
⋃
i∈I ωi.
Entonces f = 0 c.t.p. en ω.
Demostración. No es evidente que f = 0 c.t.p. en ω ya que la familia I no es numerable.
Sea (Kn) una sucesión de compactos tales que ω =
⋃∞
n=1Kn, por ejemplo
Kn =
{
x ∈ ω; d(x,RN − ω) ≥ 1/n ∧ |x| ≤ n
}
∀n
Para cada n, Kn esta recubierto por un numero finito de ωi. Sea Kn ⊂
⋃
i∈In ωi con In ∩ I
finito. Poniendo J =
⋃
n In (J es numerable) se tiene ω =
⋃
i∈J ωi y podemos afirmar que
f = 0 c.t.p. en ω.
Definición 3.14. Dada f como en la proposición, definimos Suppf = Ω− ω.
Observación 3.15. Si f1 y f2 son dos funciones iguales en c.t.p. de Ω entonces tienen el
mismo soporte y hablaremos del soporte de la función f ∈ Lp.
Si f es continua en Ω se comprueba fácilmente que esta definición coincide con la usual.
Observación 3.16. Se puede probar (ver [R1]) que si f ∈ L1(RN) y g ∈ Lp(RN) entonces
Supp(f ∗ g) ⊂ Suppf + Suppg. Si ambas tienen soporte compacto entonces la convolucion
tiene soporte compacto.
Proposición 3.17. Sean f ∈ Cc(RN) y g ∈ L1loc(RN). Entonces
f ∗ g ∈ C(RN)
Demostración. Para todo x ∈ RN la función y 7→ f(x − y)g(y) es integrable, por lo que
(f ∗ g)(x) esta definida para todo x ∈ RN .
Sea xn → x y pongamos
Fn(y) = f(xn − y)g(y) y F (y) = f(x− y)g(y)
entonces Fn(y)→ F (y) c.t.p. en RN . Por otro lado, sea K un compacto tal que (xn−Suppf) ⊂
K para todo n. Aśı f(xn − y) = 0 para y /∈ K y por tanto |Fn(y)| ≤ ‖f‖L∞ 1K(y)g(y) y por
el teorema de la convergencia dominada
(f ∗ g)(xn) =
∫
Fn(y)dy →
∫
F (y)dy = (f ∗ g)(x).
Proposición 3.18. Sean f ∈ Ckc (RN) y g ∈ L1loc(RN)(k natural). Entonces
f ∗ g ∈ Ck(RN) y Dk(f ∗ g) = (Dkf) ∗ g
Los espacios Lp 13
En particular, si f ∈ Cc(RN) y g ∈ L1loc(RN), entonces f ∗ g ∈ C∞(RN).
Demostración. Por recurrencia se reduce al caso k = 1.
Sea x ∈ RN fijo y sea h ∈ RN con |h| < 1. Se tiene
|f(x+ h− y)− f(x− y)− h∇f(x− y)|
=
∣∣∣∣∫ 1
0
[h∇f(x+ sh− y)− h∇f(x− y)] ds
∣∣∣∣ ≤ |h| �(|h|) ∀y ∈ RN
donde �(|h|)→ 0 cuando |h| → 0 (pues ∇f es uniformemente continuo sobre RN).
Sea K un compacto suficientemente grande para que x ∪B(0, 1)− Suppf ⊂ K. Entonces
|f(x+ h− y)− f(x− y)− h∇f(x− y)| = 0 ∀y /∈ K, ∀h ∈ B(0, 1)
y
|f(x+ h− y)− f(x− y)− h∇f(x− y)| ≤ |h| �(|h|)1K(y) ∀y ∈ RN , ∀h ∈ B(0, 1)
Por consiguiente
|(f ∗ g)(x+ h)− (f ∗ g)(x)− h(∇f ∗ g)(x)| ≤ |h| �(|h|)
∫
K
|g(y)| dy.
De donde f ∗ g es diferenciable en x y ∇(f ∗ g)(x) = (∇f ∗ g)(x)
3.4. Sucesiones regularizantes
Definición 3.19. Se llama sucesión regularizante a toda sucesión de funciones (ρn)n≥1 tal
que
ρn ∈ C∞c (RN), Suppρn ⊂ B(0, 1/n),
∫
RN
ρn = 1, ρn ≥ 0, ∀n
Ejemplo 3.20. Si fijamos una función ρ ∈ C∞c (RN) con Suppρ ⊂ B(0, 1),
∫
ρ > 0 y ρ ≥ 0
en RN ; por ejemplo
ρ(x) =
{
e
1
|x|2−1 si |x| < 1
0 si |x| ≥ 1
Y consideramos para cada n ∈ N a la función ρn(x) = CnNρ(nx) con C = (
∫
ρ)−1, obtenemos
una sucesión regularizante.
Proposición 3.21. Sea f ∈ C(RN); entonces ρn∗f → f uniformemente sobre todo compacto
de RN .
Demostración. Fijemos un compacto K de RN . Para todo � > 0 existe δ > 0 tal que
|f(x− y)− f(x)| < � ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ).
14 Los espacios Lp
Se tiene
(ρn ∗ f)(x)− f(x) =
∫
[f(x− y)− f(x)] ρn(y)dy =
∫
B(0,1/n)
[f(x− y)− f(x)] ρn(y)dy
Entonces, para n > 1/δ y x ∈ K, se tiene
|(ρn ∗ f)(x)− f(x)| ≤ �
∫
ρn = �.
Teorema 3.22. Sea f ∈ Lp(RN) con 1 ≤ p <∞. Entonces ρn ∗ f → f en Lp(RN).
Demostración. Dado � > 0 como Cc es denso en L
p (3.5) podemos tomar f1 ∈ Cc(RN) fija
tal que ‖f − f1‖Lp < �. Por la proposición anterior sabemos que ρn ∗ f1 → f1 uniformemente
sobre todo compacto. Y por 3.16
Supp(ρn ∗ f1) ⊂ B(0, 1/n) + Suppf1 ⊂ K, K compacto fijo
Se deduce que
‖ρn ∗ f1 − f1‖Lp → 0 cuando n→∞
Finalmente se escribe
ρn ∗ f − f = [ρn ∗ (f − f1)] + [ρn ∗ f1 − f1] + [f1 − f ]
de donde resulta por 3.11 que
‖ρn ∗ f − f‖Lp ≤ 2 ‖f − f1‖Lp + ‖ρn ∗ f1 − f1‖Lp
Concluimos que
limn→∞ ‖ρn ∗ f − f‖Lp = 0
Corolario 3.23. C∞c (Ω) es denso en L
p(Ω) para 1 ≤ p < ∞, donde Ω como siempre es un
abierto arbitrario de RN .
Demostración. Sean f ∈ Lp(Ω), � > 0 y f1 ∈ Cc(Ω) tales que
‖f − f1‖Lp(Ω) < �
Consideremos f̄1
f̄1(x) =
{
f1(x) si x ∈ Ω
0 c.c
entonces f̄1 ∈ Lp(RN) y por el teorema
∥∥ρn ∗ f̄1 − f̄1∥∥→ 0. Por otro lado
Supp(ρn ∗ f̄1) ⊂ B(0, 1/n) + Suppf1 ⊂ Ω, para n suficientemente grande
Sea un = (ρn ∗ f̄1)|Ω. Entonces para n grande, un ∈ Cc(Ω) y ‖un − f1‖Lp(Ω) → 0, resultando
‖un − f‖Lp(Ω) < 2�.
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 15
4. Espacios de Sobolev y problemas de contorno en
dimensión uno
4.1. Definición de los espacios W 1,p(I)
Definición 4.1. Sea I ⊆ R un intervalo abierto y sea p ∈ R con 1 ≤ p ≤ ∞, definimos el
espacio de Sobolev W 1,p(I) por
W 1,p(I) :=
{
u ∈ Lp(I); ∃g ∈ Lp(I) tal que
∫
I
uϕ′ = −
∫
I
gϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)
}
En particular, notaremos H1(I) := W 1,2(I).
Dado u ∈ W 1,p(I) a la función g en las condiciones de la definición, la llamaremos derivada
débil de u y anotaremos g = u′. A las funciones ϕ se las suele llamar funciones test.
Observación 4.2. Para cada u ∈ W 1,p(I) g es única, por ende la notación u′ tiene sentido.
Si suponemos que existe h en las condiciones de g, entonces∫I
gϕ =
∫
I
hϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)
⇒
∫
I
(g − h)ϕ = 0 ∀ϕ ∈ C1c (I)
Como g− h pertenece Lp(I), por 3.7 g− h pertenece a L1loc(I), y aplicando 3.8 tenemos que
g − h = 0 c.t.p o bien g = h c.t.p. de I.
Observación 4.3. Si u ∈ C1(I) ∩ Lp(I), u′ ∈ Lp(I) (aqúı u′ es las derivada usual) y ϕ es
una función test con suppϕ ⊆ [a, b] ⊆ I entonces por la fórmula de partes∫
I
uϕ′ =
∫ b
a
uϕ′ = uϕ|ba −
∫ b
a
u′ϕ = −
∫
I
u′ϕ
como ϕ era genérica, u ∈ W 1,p(I) y la derivada débil coincide con la derivada habitual. En
particular si I esta acotado, entonces C1(Ī) ⊂ W 1,p(I) para todo 1 ≤ p ≤ ∞.
Ejemplo 4.4. Consideremos la función u(x) = |x| definida en I = (−1, 1). Dada ϕ ∈ C1c (I)
se tiene que ∫
I
uϕ′ = −
∫ 0
−1
xϕ′ +
∫ 1
0
xϕ′ =
∫ 0
−1
ϕ+
∫ 1
0
ϕ
donde la última igualdad proviene de integrar por partes teniendo en cuenta que ϕ(−1) =
ϕ(1) = 0. Por lo tanto, ∫
I
uϕ′ = −
∫
I
gϕ
con
g(x) =
{
−1 si −1 < x < 0
1 si 0 < x < 1
Claramente g ∈ Lp(I) para todo 1 ≤ p ≤ ∞. Aśı u ∈ W 1,p(I) para todo p y su derivada
débil es u′ = g, a pesar de que u no es derivable en el sentido usual y por tanto u /∈ C1(I)
16 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
Observación 4.5. De la misma forma que en el ejemplo se puede probar que si el intervalo
I esta acotado, entonces toda función continua en Ī y derivable con continuidad a trozos en
Ī pertenece a W 1,p(I) para todo p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Es inmediato a partir de la definición que W 1,p es en realidad un subespacio vectorial de Lp,
por ende si u, v ∈ W 1,p y c es un numero real, entonces u+cv ∈ W 1,p. Mas aun, la propiedad
de linealidad de la integral también nos da el siguiente lema cuya demostración es trivial.
Lema 4.6. (Linealidad de la derivada débil) Sean u, v ∈ W 1,p(I) y c ∈ R, entonces
(u+ cv)′ = cu′ + v′.
W 1,p esta dotado de la norma
‖u‖W 1,p = ‖u‖Lp + ‖u′‖Lp (∗)
o a veces, si 1 < p < ∞, con la norma equivalente (‖u‖pLp + ‖u′‖
p
Lp)
1/p. El espacio H1 esta
dotado del producto escalar
〈u, v〉H1 = 〈u, v〉L2 + 〈u′, v′〉L2 =
∫
I
(uv + u′v′)
con la norma asociada
‖u‖H1 = (〈u, u〉L2 + 〈u′, u′〉L2)1/2 = (‖u‖
2
L2 + ‖u′‖
2
L2)
1/2
que como dijimos es equivalente a la norma (∗) con p = 2.
4.2. Propiedades fundamentales del espacio W 1,p(I)
Proposición 4.7. W 1,p es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞. Es reflexivo para 1 <
p <∞ y separable para 1 ≤ p <∞. H1 es un espacio de Hilbert separable.
Demostración. 1)Sea (un) una sucesión de Cauchy en W
1,p, por como fue definida la norma
en el espacio de Sobolev, (un) y (u
′
n) resultan sucesiones de Cauchy en L
p (para (u′n) ver
lema 4.6), y como Lp es completo, un → u ∈ Lp y u′n → g ∈ Lp. Entonces∫
I
unϕ
′ = −
∫
I
u′nϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)
y en el ĺımite ∫
I
uϕ′ = −
∫
I
gϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)
Por lo tanto, u ∈ W 1,p, u′ = g y ‖un − u‖W 1,p = ‖un − u‖Lp + ‖u′n − u′‖Lp → 0, resultando
W 1,p completo.
2) Veamos que es reflexivo:
Si 1 < p < ∞ por 3.4 Lp es reflexivo y en consecuencia el espacio producto E = LpXLp es
reflexivo. El operador T : W 1,p → E dado por Tu = (u, u′) es una isometŕıa de W 1,p en E,
por tanto T (W 1,p) es un subespacio cerrado de E. Resulta entonces por 2.9 que T (W 1,p) es
reflexivo, y por consiguiente también lo es W 1,p.
3) Es separable para 1 ≤ p <∞:
Por 3.9 el espacio producto E = LpXLp resulta separable, y como cualquier subconjunto de
un separable es separable, T (W 1,p) también es separable. Por ende W 1,p es separable.
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 17
Observación 4.8. Destaquemos que si (un) es una sucesión en W
1,p que converge a u en Lp
y (u′n) también es convergente en L
p, entonces u ∈ W 1,p y (un) converge a u con la norma
de W 1,p.
El siguiente teorema afirma que toda función de W 1,p admite un representante continuo
Teorema 4.9. Sea u ∈ W 1,p(I), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces existe ũ ∈ C(Ī) tal que u = ũ c.t.p
en I y
ũ(x)− ũ(y) =
∫ x
y
u′(t)dt ∀x, y ∈ Ī (7)
Para demostrarlo necesitaremos dos lemas
Lema 4.10. Sea f ∈ L1loc(I) tal que∫
I
fϕ′ = 0 ∀ϕ ∈ C1c (I) (8)
Entonces existe una constante C tal que f = C c.t.p.
Demostración. Tomemos φ ∈ Cc(I) tal que
∫
I
φ = 1. Para toda otra función w en Cc(I)
existe ϕ ∈ C1c (I) tal que
ϕ′ = w − (
∫
I
w)φ
En efecto, h = w − (
∫
I
w)φ ∈ Cc(I) y
∫
I
h = 0, entonces h tiene una primitiva (única) con
soporte compacto, o sea h = ϕ′ para alguna ϕ ∈ C1c (I). Aplicándole entonces la hipótesis a
h tenemos que ∫
I
f
[
w − (
∫
I
w)φ
]
dµ = 0 ∀w ∈ Cc(I)
⇒
∫
I
[
f − (
∫
I
fφ)
]
wdµ = 0 ∀w ∈ Cc(I)
y por 3.8 f − (
∫
I
fφ) = 0 c.t.p , o sea f =
∫
I
fφ c.t.p, siendo el segundo miembro claramente
una constante.
Lema 4.11. Sea g ∈ L1loc(I) y sea y0 ∈ I fijo, consideremos la función integral
v(x) =
∫ x
y0
g(t)dt, x ∈ I (9)
Entonces v es continua y ∫
I
vϕ′ = −
∫
I
gϕ, ∀ϕ ∈ C1c (I) (10)
Demostración. Dada cualquier ϕ ∈ C1c (I), notemos que aunque I = (a, b) no fuese acotado,
i.e. a = −∞ y/o b =∞, de todas formas las integrales de (10) son finitas gracias a que ϕ y
ϕ′ tienen soporte compacto. Entonces∫
I
v(x)ϕ′(x)dx =
∫
I
[∫ x
y0
g(t)dt
]
ϕ′(x)dx =
∫
I
∫ x
y0
g(t)ϕ′(x)dtdx
18 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
= −
∫ y0
a
∫ y0
x
g(t)ϕ′(x)dtdx+
∫ b
y0
∫ x
y0
g(t)ϕ′(x)dtdx
Aplicando el teorema de Fubini y la regla de Barrow, se tiene∫
I
v(x)ϕ′(x)dx = −
∫ y0
a
∫ t
a
g(t)ϕ′(x)dxdt+
∫ b
y0
∫ b
t
g(t)ϕ′(x)dxdt
= −
∫ y0
a
g(t)
[∫ t
a
ϕ′(x)dx
]
dt+
∫ b
y0
g(t)
[∫ b
t
ϕ′(x)dx
]
dt = −
∫
I
g(t)ϕ(t)dt
Demostración. (del Teorema) Se fija y0 ∈ I y se pone ū(x) =
∫ x
y0
u′(t)dt. Entonces por 4.11
tenemos ∫
I
ūϕ′ = −
∫
I
u′ϕ, ∀ϕ ∈ C1c (I)
Por lo tanto
∫
(u− ū)ϕ′ = 0 ∀ϕ ∈ C1c (I). Entonces por 4.10 u− ū = C c.t.p. Aśı la función
ũ(x) = ū(x) + C tiene las propiedades deseadas.
Observación 4.12. Cuando sea necesario consideraremos el representante continuo de u
sin hacerlo explicito con la notación ũ.
Proposición 4.13. Sea u ∈ Lp, 1 < p ≤ ∞, y sea q el exp. conjugado de p. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes
1. u ∈ W 1,p.
2. Existe una constante C tal que∣∣∣∣∫
I
uϕ′
∣∣∣∣ ≤ C ‖ϕ‖Lq(I) ∀ϕ ∈ C1c (I) (11)
Además, se puede tomar C = ‖u′‖Lp(I) en 2.
Demostración. 1.⇒ 2. Es trivial.
2.⇒ 1. El funcional lineal
ϕ ∈ C1c (I) 7−→
∫
I
uϕ′ (12)
esta definido en un subespacio denso de Lq (ya que q < ∞) y es continuo para la norma
de Lq. Por el teorema de Hahn-Banach se puede extender a un funcional continuo F en Lq.
Según el teorema de representación de Riesz (3.1) existe g ∈ Lp tal que
〈F, ϕ〉 =
∫
I
gϕ ∀ϕ ∈ Lq (13)
En particular ∫
I
uϕ′ =
∫
I
gϕ ∀ϕ ∈ C1c (14)
y aśı u ∈ W 1,p.
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 19
Observación 4.14. Es claro, por la desigualdad de Hölder, que cuando p = 1 permanece
valido 1.⇒ 2.
Corolario 4.15. Una función u de L∞(I) pertenece a W 1,∞(I) si y solo si existe una cons-
tante C tal que
|u(x)− u(y)| ≤ C |x− y| para c.t. x, y ∈ I.
Demostración. =⇒) Por 4.9 deducimos que
|u(x)− u(y)| ≤ ‖u′‖L∞ |x− y| para c.t. x, y ∈ I.
⇐=) Sea ϕ ∈ C1c (I). Para h ∈ R, con |h| suficientemente pequeño, tenemos∣∣∣∣∫
I
u(x) [ϕ(x− h)− ϕ(x)] dx
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫
I
[u(x+ h)− u(x)]ϕ(x)dx
∣∣∣∣
(gracias a que ϕ tiene soporte compacto en I). Ahora usando la hipótesis∣∣∣∣∫
I
u(x) [ϕ(x− h)− ϕ(x)] dx
∣∣∣∣ ≤ C |h| ‖ϕ‖L1
Dividiendo por |h| y tomando limite cuando h tiende a 0 obtenemos∣∣∣∣∫
I
uϕ′
∣∣∣∣ ≤ C ‖ϕ‖L1 ∀ϕ ∈ C1c (I).
Y por la proposición 4.13 u ∈ W 1,∞(I).
Algunas operaciones fundamentales, como la convolucion, tienen sentido solo para las fun-
ciones definidas en todo R. Veamos como se puede prolongar una función u ∈ W 1,p(I) a una
función ū ∈ W 1,p(R)5.
Teorema 4.16. (Operador de prolongación) Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Existe un operador de prolon-
gación P : W 1,p(I)→ W 1,p(R) lineal y continuo tal que
1. Pu|I = u ∀u ∈ W 1,p(I)
2. ‖Pu‖Lp(R) ≤ C ‖u‖Lp(I) ∀u ∈ W 1,p(I)
3. ‖Pu‖W 1,p(R) ≤ C ‖u‖W 1,p(I) ∀u ∈ W 1,p(I)
(donde C solo depende de |I|).
Demostración. Si I = (0,∞) la reflexión respecto del eje Y resuelvela cuestión
(Pu)(x) = ũ(x) =
{
u(x) si x ≥ 0
u(−x) si x < 0
Primeramente se tiene que ‖ũ‖Lp(R) ≤ 2 ‖u‖Lp(I). Pongamos
v(x) =
{
u′(x) si x > 0
−u′(−x) si x < 0
5Si se prolonga u por 0 fuera de I la función obtenida no pertenece, en general, a W 1,p(R).
20 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
Se comprueba fácilmente que v ∈ Lp(R) y que
ũ(x)− ũ(0) =
∫ x
0
v(t)dt ∀x ∈ R (15)
Por 4.11 ũ ∈ W 1,p(R) y ‖ũ‖W 1,p(R) ≤ 2 ‖u‖W 1,p(I)
El caso de un intervalo acotado I siempre se puede reducir al caso en que I = (0, 1), por
ende lo probaremos para este último. Fijemos η ∈ C1(R), con valores entre cero y uno, tal
que
η(x) =
{
1 si x < 1/4
0 si x > 3/4
Por otro lado dada u ∈ W 1,p(I), consideremos
ũ(x) =
{
u(x) si 0 < x < 1
0 si x ≥ 1
y veamos que
ηũ ∈ W 1,p(0,∞) y (ηũ)′ = η′ũ+ ηũ′
En efecto, sea ϕ ∈ C1c (0,∞), se tiene∫ ∞
0
ηũϕ′ =
∫ 1
0
ηuϕ′ =
∫ 1
0
u [(ηϕ)′ − η′ϕ] (16)
= −
∫ 1
0
u′ηϕ−
∫ 1
0
uη′ϕ ya que ηϕ ∈ C1c (0, 1) (17)
= −
∫ ∞
0
(ũ′η + ũη′)ϕ. (18)
Ahora, dada u ∈ W 1,p(I) se escribe
u = ηu+ (1− η)u
ηu se prolonga primero a (0,∞) por ηũ y después se prolonga a R por reflexión. Se obtiene
aśı una función v1 ∈ W 1,p(R) que prolonga a ηu y tal que
‖v1‖Lp(R) ≤ 2 ‖u‖Lp(I), ‖v1‖W 1,p(R) ≤ C ‖u‖W 1,p(I)
(donde C depende de ‖η′‖L∞).
Por otro lado se prolonga (1−η)u primero a (−∞, 1] por 0 en (−∞, 0] y después se prolonga
a R por una reflexión (respecto del 1). Se obtiene aśı una función v2 ∈ W 1,p(R) que prolonga
a (1− η)u y tal que
‖v2‖Lp(R) ≤ 2 ‖u‖Lp(I), ‖v2‖W 1,p(R) ≤ C ‖u‖W 1,p(I)
Entonces Pu = v1 + v2 resuelve la cuestión.
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 21
Teorema 4.17. (Densidad) Sea u ∈ W 1,p(I) con 1 ≤ p <∞. Entonces existe una sucesión
(un)n≥1 en C
∞
c (R) tal que la sucesión (un|I)n≥1 converge a u en W 1,p(I).
Demostración. Supongamos I = R, caso contrario se comienza prolongando u a una fun-
ción de W 1,p(R). Demostraremos el teorema en tres etapas.
1)Convolucion
Lema 4.18. Sea ρ ∈ L1(R) y v ∈ W 1,p(R) con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces
ρ ∗ v ∈ W 1,p(R) y (ρ ∗ v)′ = ρ ∗ v′.
Demostración. Tomemos una sucesión (ρn) de Cc(R) tal que ρn → ρ en L1. Sabemos por
3.11 que ρ ∗ v ∈ Lp(R) y también para cada n, ρn ∗ v ∈ Lp(R). Sea ϕ ∈ C1c (R), por 3.12 y
3.18 se tiene que∫
(ρn ∗ v)ϕ′ =
∫
v(ρ̆n ∗ ϕ′) =
∫
v(ρ̆n ∗ ϕ)′ = −
∫
v′(ρ̆n ∗ ϕ) = −
∫
(ρn ∗ v′)ϕ.
=⇒ ρn ∗ v ∈ W 1,p(R) y (ρn ∗ v)′ = ρ ∗ v′
Por el teorema 3.22, ρn ∗ v → ρ ∗ v en Lp y ρn ∗ v′ → ρ ∗ v′ en Lp, de donde se concluye la
tesis.
2)Truncamiento
Se fija ξ ∈ Cc(R) tal que 0 ≤ ξ ≤ 1 y
ξ(x) =
{
1 si |x| ≤ 1
0 si |x| ≥ 2
Se define la sucesión (ξn)n≥1, con ξn(x) = ξ(x/n) para todo n.
Y se comprueba , gracias al teorema de la convergencia dominada, que si una función f ∈ Lp
con 1 ≤ p <∞ entonces ξnf → f en Lp.
3)Conclusión
Se toma una sucesión regularizarte (ρn). La sucesión (un), con un = ξn(ρn ∗ u) converge a u
en W 1,p. En efecto, si escribimos
un − u = ξn [(ρn ∗ u)− u] + [ξnu− u]
Entonces
‖un − u‖Lp ≤ ‖(ρn ∗ u)− u‖Lp + ‖ξnu− u‖Lp → 0
Por el lema anterior se tiene
u′n = ξ
′
n(ρn ∗ u) + ξn(ρn ∗ u′)
Por consiguiente
‖u′n − u′‖Lp ≤ ‖ξ′n(ρn ∗ u)‖Lp + ‖ξn(ρn ∗ u′)− u′‖Lp ≤
C
n
‖u‖Lp + ‖(ρn ∗ u′)− u′‖Lp + ‖ξnu′ − u′‖Lp → 0
22 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
donde C = ‖ξ′‖L∞ .
Teorema 4.19. Existe una constante C, dependiendo solo de |I|, tal que
‖u‖L∞(I) ≤ C ‖u‖W 1,p(I) , ∀u ∈ W 1,p(I), ∀ 1 ≤ p ≤ ∞
Con lo que W 1,p(I) ⊂ L∞(I) para todo 1 ≤ p ≤ ∞.
Demostración. De nuevo lo demostramos para I = R, ya que el caso general se reduce a
este gracias al teorema de Prolongación.
Sea v ∈ C1c (R), si 1 ≤ p <∞ tomamos G(s) = |s|
p−1 s. La composición w = G(v) pertenece
a C1c (R) y
w′ = G′(v)v′ = p |v|p−1 v′
Entonces, para x real se tiene
G(v(x)) =
∫ x
−∞
p |v(t)|p−1 v′(t)dt
y por la desigualdad de Hölder
|v(x)|p ≤ p ‖v‖p−1Lp ‖v′‖Lp
⇒ |v(x)| ≤ p1/p ‖v‖1−1/pLp ‖v′‖
1/p
Lp ⇒ |v(x)| ≤ e1/e ‖v‖
1/q
Lp ‖v′‖
1/p
Lp , ∀x
(ya que p1/p ≤ e1/e, ∀p ≥ 1)
Recordemos la desigualdad de Young que afirma que ∀a, b ≥ 0; ab ≤ 1
p
ap+1
q
bq. Aplicándola
y sacando factor común el mı́nimo entre 1/p y 1/q obtenemos el resultado deseado para
funciones en C1c (R)
|v(x)| ≤ e1/e
(
1
q
‖v‖Lp +
1
p
‖v′‖Lp
)
, ∀x =⇒ ‖v‖L∞ ≤ C ‖v‖W 1,p , ∀v ∈ C
1
c (R) (19)
Ahora, por el teorema anterior, dada u ∈ W 1,p sabemos que existe una sucesión (un) ∈ C1c (R)
tal que un → u en W 1,p(R). Por (19) (un) es de Cauchy en L∞. Entonces un → u en L∞ y
‖u‖L∞ ≤ C ‖u‖W 1,p .
Corolario 4.20. Si I no es acotado y u ∈ W 1,p(I) con 1 ≤ p <∞. Entonces
lim|x|→∞u(x) = 0 (20)
Demostración. Por 4.17 existe (un) ∈ C1c (R) tal que un|I → u en W 1,p(I) y por 4.19
‖un − u‖L∞(I) → 0, y de aqúı (20). En efecto, dado � > 0, se elige n suficientemente grande
para que ‖un − u‖L∞(I) < �, y para |x| suficientemente grande se tiene un(x) = 0 y por tanto
|u(x)| < �.
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 23
Corolario 4.21. (Derivación del producto) Sean u, v ∈ W 1,p(I), con 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces
uv ∈ W 1,p(I) y
(uv)′ = u′v + uv′ (21)
Además se verifica la formula de integración por partes∫ x
y
u′v = uv|xy −
∫ x
y
uv′ ∀x, y ∈ Ī (22)
Demostración. Como u ∈ L∞ (4.19), luego uv ∈ Lp. Comencemos suponiendo p < ∞;
tomemos dos sucesiones (un) y (vn) en C
1
c (R) tales que un|I → u y vn|I → v en W 1,p(I).
Entonces un → u y vn → v en L∞(I), luego unvn → uv en L∞(I) y en Lp(I). Entonces
(unvn)
′ = u′nvn + unv
′
n → u′v + uv′ en Lp(I)
De donde uv ∈ W 1,p(I) y (uv)′ = u′v + uv′ (ver 4.8), e integrando se obtiene la formula de
partes.
Si u, v ∈ W 1,∞(I) entonces
uv ∈ L∞(I) y u′v + uv′ ∈ L∞(I)
Para ver que en efecto ∫
I
uvϕ′ = −
∫
I
(u′v + uv′)ϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)
dada ϕ ∈ C1c (I) se fija un intervalo abierto y acotado J ⊂ I que contenga al soporte de ϕ.
Entonces u, v ∈ W 1,p(I) para todo p <∞ y por lo anterior∫
J
uvϕ′ = −
∫
J
(u′v + uv′)ϕ
o sea
∫
I
uvϕ′ = −
∫
I
(u′v + uv′)ϕ
Otro resultado importante que se puede demostrar usando el teorema anterior (ver [R1]) es
el de derivación de una composición de funciones.
Corolario 4.22. Sea G ∈ C1(R) tal que G(0) = 0 6 y sea u ∈ W 1,p(I). Entonces
G ◦ u ∈ W 1,p(I) y (G ◦ u)′ = (G′ ◦ u)u′.
6Esta restricción es necesaria cuando I es no acotado y 1 ≤ p <∞.
24 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
4.3. Los espacios Wm,p(I) y el espacio W 1,p0 (I)
Definición 4.23. Dado un entero m ≥ 2 y 1 ≤ p ≤ ∞, definimos por recurrencia el espacio
Wm,p(I) = {u ∈ Wm−1,p(I), u′ ∈ Wm−1,p(I)}
Notaremos Hm(I) = Wm,2(I).
Se comprueba fácilmente que u ∈ Wm,p(I) si y solo si existen g1, ..., gm ∈ Lp(I) cumpliendo∫
uDjϕ = (−1)j
∫
gjϕ ∀ϕ ∈ C∞c (I),∀j = 1, ...,m
Y se anota nuevamente gj = D
ju.
Dotamos a este espacio de la norma
‖u‖Wm,p = ‖u‖Lp +
∑m
j=1 ‖Dju‖.
Se pueden extender a estos espacios todas las propiedades demostradas para W 1,p.
Definición 4.24. Dado 1 ≤ p < ∞, se designa por W 1,p0 (I) a la clausura de C1c (I) en
W 1,p(I). Usaremos H10 (I) para W
1,2
0 (I).
Observación 4.25. W 1,p0 con la norma inducida por W
1,p, es un espacio de Banach separable
y es reflexivo cuando p 6= 1. H10 es un espacio de Hilbert separable.
Observación 4.26. Hemos visto que cuando I = R, C1c es denso en W 1,p (teorema 4.17),
es decir W 1,p0 (R) = W 1,p(R).
Usando sucesiones regularizantes se puede ver que C∞c (I) es denso en W
1,p
0 (I) y que si
u ∈ W 1,p(I) ∩ Cc(I), entonces u ∈ W 1,p0 (I).
Teorema 4.27. Sea u ∈ W 1,p(I), entonces u ∈ W 1,p0 (I) si y solo si u = 0 sobre ∂I.
Demostración. ⇒) Si u ∈ W 1,p0 (I), existe una sucesión en C1c (I) que tiende a u en W 1,p(I),
dicha sucesión converge uniformemente a u sobre Ī y por ende u = 0 en los extremos de I.
⇐)Sea u ∈ W 1,p, con u = 0 en ∂I. Se fija G ∈ C1(R) tal que
G(t) =
{
0 si |t| ≤ 1
t si |t| ≥ 2
y
|G(t)| ≤ |t| ∀t ∈ R
Se pone un =
1
n
G(nu) que por 4.22 pertenece a W 1,p(I) para todo n. Además
Supp un ⊂
{
x ∈ I; |u(x)| ≥ 1
n
}
entonces Supp un es un compacto incluido enI (u = 0 sobre ∂I y tiende a 0 cuando |x| → ∞,
x ∈ I). Por 4.26 un ∈ W 1,p0 . Usando el teorema de la convergencia dominada se ve que un → u
en W 1,p(I). Entonces u ∈ W 1,p0 (I).
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 25
Proposición 4.28. (Desigualdad de Poincaré) Si I es acotado, existe una constante C,
dependiendo de |I| tal que
‖u‖W 1,p ≤ C ‖u′‖Lp ∀u ∈ W
1,p
0 (I).
Demostración. Dada u ∈ W 1,p0 (I) (con I = (a, b)). Como u(a) = 0, tenemos
|u(x)| = |u(x)− u(a)| =
∣∣∣∣∫ x
a
u′(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ‖u′‖L1
Entonces ‖u‖L∞(I) ≤ ‖u′‖L1(I), y por la desigualdad de Hölder se deduce la tesis.
Observación 4.29. La desigualdad nos dice que en W 1,p0 (I) la cantidad ‖u‖∗ = ‖u′‖Lp es
una norma equivalente a la norma que induce W 1,p en este espacio.
Si I es acotado, la expresión 〈u′, v′〉L2 =
∫
u′v′ define sobre H10 un producto escalar, y la
norma asociada (‖u′‖L2) es equivalente a la norma que antes definimos en H10 , es decir la
inducida por H1.
Observación 4.30. Se definen también los espacios Wm,p0 (I) como la clausura de C
m
c (I) en
Wm,p(I) para m = 2, 3, ... y 1 ≤ p <∞.
4.4. El espacio dual de W 1,p0
Notación: El espacio dual de W 1,p0 (I) (1 ≤ p <∞) será notado W−1,q(I) y el dual de H10 (I)
se anotara H−1(I).
Sabemos que L2 se identifica con su dual, pero no se identifican H10 y su dual. Si se tienen
las inclusiones
H10 ⊂ L2 ⊂ H−1
con inyecciones continuas y de imagen densa (identidades de los respectivos subconjuntos).
Si I es acotado, se tiene
W 1,p0 ⊂ L2 ⊂ W−1,q ∀1 ≤ p <∞
con inyecciones continuas y de imagen densa.
Los elementos de W−1,q se pueden representar por medio de funcione de Lq
Proposición 4.31. Sea F ∈ W−1,q. Entonces existen f0, f1 ∈ Lq tales que
〈F, v〉 =
∫
f0v +
∫
f1v
′ ∀v ∈ W 1,p0
y
‖F‖ = max {‖f0‖Lq , ‖f1‖Lq}
Cuando I es acotado, se puede tomar f0 = 0.
Demostración. Consideremos el espacio E = LpXLp con la norma
‖(h0, h1)‖ = ‖h0‖Lp + ‖h1‖Lp
26 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
La aplicación T : W 1,p0 → E dada por T (u) = (u, u′), como ya hemos dicho, es una isometŕıa
entre estos espacios. Consideremos el subespacio G = T (W 1,p0 ), con la norma inducida por E,
y llamemos S = T−1 : G → W 1,p0 . La aplicación h ∈ G 7→ 〈F, Sh〉 es un funcional continuo
sobre G. Por el teorema de Hahn-Banach lo podemos extender a un funcional continuo sobre
E, Φ, con ‖Φ‖E∗ = ‖F‖. Por el teorema de representación de Riesz (3.1) existen f0, f1 ∈ Lq
tales que
〈Φ, h〉 =
∫
f0h0 +
∫
f1h1 ∀h ∈ E
Es fácil comprobar que ‖Φ‖E∗ = max {‖f0‖Lq , ‖f1‖Lq}
Cuando I es acotado se dota a W 1,p0 de la norma equivalente ‖u′‖Lp (4.28) y se razona igual
tomando E = Lp y T (u) = u′.
4.5. Un ejemplo de problema de contorno
Ya estamos en condiciones de resolver por el método variacional el problema propuesto en
la primer sección. Este método es en realidad, muy versátil y se adapta a una gran cantidad
de problemas. En cada problema es fundamental precisar bien el espacio funcional sobre el
cual se trabaja. Recordemos nuestro P.V.I{
−u′′ + u = f en I = (0, 1) , f ∈ L2(I)
u(0) = u(1) = 0
(23)
Definición 4.32. Una solución débil de (23) es una función u ∈ H10 (I) que verifica∫
I
u′v′ +
∫
I
uv =
∫
I
fv ∀v ∈ H10 (I) (24)
Completemos los pasos descriptos en la sección 1.
1) Toda solución clásica es solución débil. Esto es evidente gracias a la formula de
integración por partes del corolario 4.21.
2)Existencia y unicidad de una solución débil
Proposición 4.33. Para toda f ∈ L2, existe u ∈ H10 única solución de (24). Además u viene
dada por
Minv∈H10
{
1
2
∫
I
(v′2 + v2)−
∫
I
fv
}
que es el llamado principio de Dirichlet.
Demostración. Se aplica el teorema de Riesz Fréchet en el espacio de Hilbert H10 (I) con
la forma bilineal
a(u, v) =
∫
u′v′ +
∫
uv = 〈u, v〉H1
y con la forma lineal v 7→
∫
fv.
Observación 4.34. Dada F ∈ H−1, se sabe por el teorema 2.13 que existe u ∈ H10 tal que
Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno 27
〈u, v〉H1 = 〈v, F 〉 ∀v ∈ H10
El operador F 7→ u es el isomorfismo de Riesz-Fréchet de H−1 sobre H10 . Se puede considerar
u como solución de la ecuación −u′′ + u = F .
3) Regularidad Notemos que si f ∈ L2 y u es solución débil, entonces u ∈ H2:∫
u′v′ =
∫
(f − u)v ∀v ∈ C1c
y u′ ∈ H1 (ya que f − u ∈ L2), i.e u ∈ H2. Si además f ∈ C(Ī), la solución u esta en C2(Ī).
En efecto (u′)′ ∈ C(Ī) y entonces u′ ∈ C1(Ī) y por ende u ∈ C2(Ī) (ver 4.9).
4)Recuperación de la solución clásica Hemos visto que una función u cumpliendo (24)
es C2 y además por el teorema 4.27 cumple las condiciones de contorno (u(0) = u(1) = 0).
Solo resta ver que efectivamente cumple la ecuación del problema (23). Integrando por partes
(24) y observando que las funciones test v también son nulas en los extremos de I (tamb.
por 4.27) obtenemos ∫ 1
0
(−u′′ + u− f)v = 0 ∀v ∈ H10 (I)
y en particular para todo v ∈ C1c (I). Como C1c (I) es denso en L2(I) (3.23), −u′′ + u = f ,
como queŕıamos.
28 Espacios de Sobolev y problemas de contorno en dimensión uno
REFERENCIAS
[R1] Brezis H - Análisis Funcional, Teoŕıa Y Aplicaciones. Versión española de Juan Ramón
Esteban. Editorial alianza 1984.
[R2] Demetrio Stojanoff. Un Curso de Análisis Funcional. 2011.
[R3] Bartle - The Elements Of Intregration and Lebesge Mesure.