Algunas-propiedades-de-los-operadores-tauberianos-en-espacios-de-Banach

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS OPERADORES 
TAUBERIANOS EN ESPACIOS DE BANACH 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 MATEMÁTICA 
 P R E S E N T A : 
 
EVELYN YOCZIRA LIRA TORRES 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
DRA. CARMEN MARTÍNEZ ADAME ISAÍS 
 
 
 
Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2018 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
1. Datos de la alumna: 
Evelyn Yoczira 
Lira 
Torres 
5564850967 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Matemáticas 
309182070 
 
2. Datos del tutor: 
Dra. 
Carmen 
Martínez Adame 
Isais 
 
3. Datos del sinodal 1: 
Dr. 
Francisco Javier 
Torres 
Ayala 
 
4. Datos del sinodal 2: 
Dr. 
Pavel 
Ramos 
Martínez 
 
5. Datos del sinodal 3: 
Dr. 
Carlos 
García 
Azpeitia 
 
6. Datos del sinodal 4: 
M. en C. 
Fernando 
García 
Ruiz 
 
7. Datos del trabajado escrito: 
Algunas propiedades de operadores Tauberianos en espacios de Banach 
104p 
2018 
 
Dedicatoria
A mi madre, quien por su infinito amor y dedicación ha sido el ejemplo
que me ha impulsado a siempre buscar ser una mejor persona.
Gracias por siempre creer en mı́.
 
Agradecimientos
A mi asesora, la Dra. Carmen, quién confió en mi y accedió dirigir este trabajo de tesis sabiendo
el reto que significaba. Por su apoyo y consejos, muchas gracias.
A mi madre. Gracias por todo el esfuerzo que has hecho todo este tiempo, pues tú sola me hiciste
ser quien soy ahora. Mis palabras no bastan para agradecer el amor, apoyo y confianza que siempre
me has dado.
A Mario, quien me ha dado todo su amor y apoyo, siempre sacándome una sonrisa, aún en situa-
ciones dif́ıciles. Gracias por ayudarme a superarme en tantos aspectos y mostrarme que siempre
se puede mejorar. Te quiero mucho.
Un afectuoso agradecimiento a la fundación Alberto y Dolores Andrade. Confiaron en mi cuando
sólo teńıa 9 años, brindándome la oportunidad de tener un apoyo para sostener mis estudios
durante toda mi trayectoria escolar y motivándome siempre a ser una alumna de excelencia por
lo que les estoy muy agradecida. Espero que su gran labor social siga creciendo.
A mis t́ıos Pablo y Rodrigo, quienes a pesar de la distancia que nos separa me dieron su apoyo
para la creación de este trabajo y además me ayudaron en mi proceso de titulación.
A la Sra. Alicia y a el Sr. Mario por guiarme con su amistad y cariño. A Abril, por toda tu
inocencia y por hacerme una mejor persona. Y a Menta, por siempre darme tanto amor.
A mis profesores y compañeros de la universidad, en especial al Dr. José Lino Samaniego por
confiar en mi y permitirme ser su ayudante de profesor durante todos estos semestres.
Índice general
Introducción III
1. Preliminares 1
1.1. Elementos de topoloǵıa general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Bases y sub-bases de un espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Subespacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Propiedades topológicas de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Espacios normados y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4. Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1. Operadores lineales continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2. Equivalencia entre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3. Teorema de la gráfica cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4. Operadores acotados inferiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.5. Funcionales lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1. El segundo dual de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.1. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.2. El operador adjunto y la topoloǵıa débil∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2. Reflexividad y topoloǵıas débiles 49
2.1. Espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
i
2.1.1. Anuladores de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2. Topoloǵıa débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1. Conjuntos convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2. Conjuntos débilmente acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.3. Sucesiones en la topoloǵıa débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3. Topoloǵıa débil∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1. Operados lineales débil y débil∗ continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2. Convergencia débil y débil∗ en X∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3. Los teoremas de Banach-Alaoglu, de Goldstine y la compacidad en la topo-
loǵıa débil∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.4. Reflexividad en la topoloǵıa débil∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4. Operadores compactos y débilmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.2. Operadores débilmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.3. El teorema de Gantmache-Nakamura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3. Propiedades y Aplicaciones de Operadores Tauberianos 89
3.0.1. Propiedades de operadores Tauberianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.0.2. Los operadores Tauberianos y las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.0.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Introducción
La motivación fundamental del presente trabajo ha sido desarrollar profunda, formal y expĺıcita-
mente algunas de las propiedades más importantes de los operadores Tauberianos, definición 3.1, y
para ello, ha sido necesario hacer una revisión detallada de varios de los fundamentos del Análisis
Funcional en espacios de Banach. Los operadores Tauberianos surgieron casi simultáneamente co-
mo solución adiferentes problemas del análisis funcional. A. Wilansky y D.J.H. Garling en 1972 [1]
los introdujeron como solución a un problema de sumabilidad; tiempo después, en 1974, se encontró
que los operadores Tauberianos pueden ser aplicados en la factorización de operadores [2]; además,
también se obtuvieron resultados que muestran que estos operadores preservan propiedades de
los espacios de Banach bajo isomorfismos [3, 4]. Posteriormente en 1976, nuevamente Wilansky
pero ahora junto con N. Kalton introdujeron formalmente el concepto de operadores Tauberia-
nos y desarrollaron más espećıficamente algunas de sus propiedades [5]. Cabe mencionar que los
operadores Tauberianos también tienen aplicaciones en algunas generalizaciones de los operadores
de Fredholm; en [6] se muestra que un operador Tauberiano con rango cerrado es equivalente a
un operador semi-Fredholm. También, en el trabajo realizado por Neidinger y Rosenthal [7] se
caracterizó a los operadores distintos de cero que no alcanzan su norma; haciendo uso no sólo de
los operadores Tauberianos si no también de operadores que satisfacen N [T ] = N [T ∗∗].
Varios de los resultados presentados en este trabajo están relacionadas directamente con los teo-
remas de Eberlein-Smulian para conjuntos como el teorema 2.84 y para operadores débilmente
compactos con la proposición 2.89. Se puede decir que una de las propiedades más importantes re-
lacionadas con los operadores Tauberianos es la propiedad (N), definida en 3.1 en el tercer caṕıtulo
página 89, pues entre otras cosas ayuda a la caracterización de los operadores Tauberianos. Éste
resultado no es nada trivial y aunque es simple trae varias consecuencias importantes. Por ejemplo,
si T ∗ tiene la propiedad (N), entonces T es Tauberiano. Otra es que si T ∗ tiene la propiedad (N),
entonces T ∗ es Tauberiano. No se puede dejar de lado el rol tan importante que juegan los espacios
reflexivos en este trabajo, al que se le dedican dos breves secciones, a saber 2.1 y 2.3, de la sección
de Reflexividad y topoloǵıas débiles. Una razón es que en varias proposiciones el ser reflexivo forma
una parte importante en la prueba de la suficiencia y necesidad. Como muestra, si T es Tauberiano
iii
iv
entonces su núcleo es reflexivo; o también en una proposición pide que su rango sea cerrado y su
núcleo reflexivo para asegurar que el operador sea Tauberiano. Otro punto a destacar es la relación
que tiene con los operadores débilmente compactos, pues en cierta forma sus definiciones se com-
plementan la una de la otra. Ésta relación tan estrecha tendrá como consecuencia la caracterización
de operadores Tauberianos mediante sucesiones y operadores débilmente compactos.
El caṕıtulo Preliminares tiene como finalidad introducir los conceptos necesarios de Topoloǵıa Ge-
neral y de Análisis Matemático para poder definir un espacio dual y doble dual. Para la parte
de Topoloǵıa, entre los conceptos más relevantes desarrollados se encuentran los de bases y sub-
bases de espacios topológicos y además el de funciones continuas. Ahora bien, para la de Análisis
Matemático son de suma importancia los conceptos de sucesiones para la definición un espacio
de Banach. Por otro lado, se introducen las ideas de operadores lineales, espacios duales y ope-
radores adjuntos, los cuales son fundamentales para el desarrollo de la definición de operadores
Tauberianos. Todas estás propiedades son además necesarias para construir las bases de los teore-
mas fundamentales de Análisis Matemático, a saber, Teorema de Hanh-Banach 1.99, Teorema de
Banach-Steinhaus 1.83 y el Teorema de la Gráfica Cerrada 1.93. Estos tres teoremas fundamentales
pueden ser resumidos de la siguiente manera:
El teorema de Hanh-Banach para espacios normados establece que para cada funcional aco-
tada definida en un subespacio del espacio normado siempre existe una funcional que la
extiende tal que ambas funcionales tiene la misma norma.
El teorema de Banach-Steinhaus o también conocido como el principio de acotación uniforme
en resumen asegura que para cada conjunto de funcionales lineales acotadas puntualmente
también son uniformemente acotadas.
Finalmente el Teorema de la gráfica cerrada afirma que una funcional lineal es continua si y
sólo si su gráfica es un conjunto cerrado.
El segundo caṕıtulo, Reflexividad y topoloǵıas débiles, es esencial para poder entender las proposi-
ciones expuestas de los operadores Tauberianos en el siguiente caṕıtulo. Aqúı se introduce el criterio
para decir cuándo un espacio normado es reflexivo y se hace a partir del isomorfismo canónico Q.
Entre los conceptos y propiedades más relevantes está el de anulador de un subespacio, operadores
compactos y débilmente compactos. Finalmente, aqúı se introduce los importantes conceptos de
topoloǵıa débil y topoloǵıa débil∗. Con todo lo anterior se introducen teoremas importantes en
análisis como los son el teorema de Banach-Alaoglu 2.50, el teorema de Goldstine 2.59, el teorema
de Krein-Smulian 2.67 y posteriormente el teorema de Gantmacher-Nakamura 2.97. Los cuales
pueden ser resumidos de la siguiente forma:
El teorema de Banach-Alaoglu establece que la bola unitaria en el espacio dual de un espacio
normado siempre es compacta con la topoloǵıa débil∗.
v
El teorema de Goldstine enuncia que la imagen de la bola cerrada unitaria bajo el mapeo
canónico Q es un conjunto débil∗ denso en la bola unitaria cerrada en el doble dual.
El teorema de Krein-Smulian establece las condiciones suficientes para que un conjunto
convexo sea un conjunto cerrado débil∗; como condición suficiente se pide que la intersección
de este conjunto convexo con cada bola cerrada centrada centrada en el cero en la topoloǵıa
débil∗ sea un conjunto cerrado en la topoloǵıa débil∗.
Por último, el teorema de Gantmacher-Nakamura es uno de los más importantes pues esta-
blece una serie de equivalencias que caracterizan a los operadores débilmente compactos. Un
operador es débilmente compacto, si y sólo si su adjunto también lo es. Lo relaciona con el
mapeo canónico como sigue, un operador es débilmente compacto si y sólo si la imágen direc-
ta del doble dual del dominio del operador bajo el doble adjunto está contenida en el encaje
canónico del contradominio del operador lineal. También establece condiciones para que su
operador adjunto sea continuo y con cuáles topoloǵıas es continuo, un operador es débilmente
compacto si y sólo si su adjunto es débil∗ a débil∗, con la topoloǵıa del contradominio y con
la topoloǵıa del dominio respectivamente.
vi
Caṕıtulo 1
Preliminares
1.1. Elementos de topoloǵıa general
1.1.1. Espacios topológicos
La finalidad de introducir el concepto de espacios topológicos es el poder introducir naturalmente
el concepto de continuidad de una función en un espacio topológico [8]. Puesto que el concepto de
continuidad es fundamental en el Análisis Matemático es por ello que la relación que existe entre
los espacios topológicos y los espacios normados es fundamental en este trabajo, en especial en
espacios de Banach.
Definición 1.1. Una topoloǵıa en un conjunto X 6= ∅ es una colección τ de subconjuntos de X
que tienen las siguientes propiedades:
1. Los conjuntos ∅ y X están en τ .
2. La unión arbitraria de cualquier subcolección de τ está en τ .
3. La intersección de cualquier subcolección finita de τ está en τ .
A la pareja ordenada (X, τ) conformada por el conjunto X para el cual se define la topoloǵıa τ
junto con la colección τ se le llama espacio topológico. Se dirá entonces que τ es una topoloǵıa
sobre X.
Si esto no lleva a una confusión, se referirá a X como espacio topológico unicamente, omitiendo
especificar a su topoloǵıa τ .
1
2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Si X es un espacio topológico donde τ es su topoloǵıa, se dirá que un subconjunto U de X es
un conjunto abierto si U está en τ . De la definición que se dió de τ se obtiene que Xy ∅ son
conjuntos abiertos, además, la unión arbitraria de conjuntos abiertos y la intersección finita de
subcolecciones de τ son conjuntos abiertos.
Definición 1.2. Supóngase que τ y τ ′ son dos topoloǵıas dadas sobre un conjunto X. Si τ ⊆ τ ′,
se dirá que τ ′ es más fina que τ ; si τ está estrictamente contenida en τ ′, se dirá que τ ′ es
estrictamente más fina que τ . También, que τ es más gruesa que τ ′, o bien estrictamente
más gruesa que τ en su respectivo caso. Se dirá que τ es comparable con τ ′ siempre que suceda
τ ′ ⊆ τ o bien τ ⊆ τ ′.
Observe que dadas dos topoloǵıas en X estas no necesariamente deben ser comparables. En el
contexto anterior, si τ ⊆ τ ′ entonces se dirá que τ ′ es más grande que τ y que τ es más pequeña
que τ ′. Desde el punto de vista del análisis matemático se puede decir que τ ′ es más fuerte que
τ o bien se puede decir que τ es más débil que τ ′. En este trabajo se usará la terminoloǵıa de
topoloǵıa débil y fuerte.
1.1.2. Bases y sub-bases de un espacio topológico
Hasta ahora para hablar de τ se ha descrito a toda la colección de sus conjuntos abiertos, esto no
es siempre tan sencillo. Otra forma de describir una topoloǵıa por medio de una subcolección de
X es si ésta cumple la siguiente definición.
Definición 1.3. Si X es un conjunto, una base para una topoloǵıa en X es una colección B de
subconjuntos de X tales que:
1. Para cada x ∈ X, existe al menos un elemento de la base, B, tal que x está en B.
2. Si x está en la intersección de dos elementos de la base, B1∩B2, entonces existe un elemento
de la colección , B3, tal que B3 contiene a x y además queda contenida en la intersección,
B3 ⊆ B1 ∩B2.
Un conjunto U se dice abierto en X si para cada x ∈ U existe un elemento de la base B tal que x
está en B y además B ⊆ U . Por la definición de base se puede notar que cada elemento de la base
es por si mismo un elemento de τ .
Si B satisface las dos condiciones anteriores se dirá que τ es una topoloǵıa generada por B. Es
decir, dada una base esta genera una topoloǵıa.
Se mostrará ahora que la colección τ generada por B es una topoloǵıa sobre X. Si U es vaćıo
entonces por vacuidad satisface el ser un conjunto abierto. Ahora, por el primer inciso de la
1.1. ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA GENERAL 3
definición de base se tiene que para cada elemento de X existe un elemento de la base que lo
contiene, esto es justo lo que se pide para decir que un conjunto es abierto, luego X ∈ τ . Sea
{Uα}α∈I una familia de elementos de τ , se mostrará que su unión está en τ , a saber
U =
⋃
α∈I
Uα ∈ τ.
Sea x ∈ U , luego existe α ∈ I tal que x ∈ Uα. Como Uα es abierto entonces existe B en la base tal
que x ∈ B y B ⊆ Uα. Es decir, se encontró para cada elemento de U un elemento de la base que
se queda completamente contenido en U , aśı por definición U es un conjunto abierto.
Sean U1, U2 elementos de τ , hay que probar que U1 ∩U2 es abierto. Sea x ∈ U1 ∩U2, luego existen
B1 y B2 en la base tales que contienen a x y tales que B1 ⊆ U1 y B2 ⊆ U2. Por la definición de
base, existe B3 en la base tal que x ∈ B3 y además B3 ⊆ B1 ∩B2. Por tanto, B3 ⊆ U1 ∩ U2, aśı la
intersección estát en τ .
Se probará por inducción que cada para cada natural n, la intersección finita de elementos de τ ,
U1 ∩ · · · ∩ Un, está en τ . Sea n ∈ N fijo. El caso K = 1 es cierto pues se tomaron elementos de
τ ; en el párrafo anterior se mostró el caso k = 2. Supógase que es válido para k = n − 1, luego
U1 ∩ · · · ∩Un−1 está en τ . Se mostrará el caso k = n, como U1 ∩ · · · ∩Un−1 y Un están en τ , por el
caso k = 2 se tiene que
(U1 ∩ · · · ∩ Un−1) ∩ Un
está en τ . Por tanto U1 ∩ · · · ∩ Un−1 ∩ Un ∈ τ , luego se cumple el caso k = n. Por ello se cumple
para todo natural.
Por todo lo anterior, la colección τ generada por la base B es una topoloǵıa en X.
El siguiente Lema establece que todos los elementos de τ pueden ser vistos como la unión de
elementos de la base B.
Lema 1.4. Sea X un conjunto, sea B una base para una topoloǵıa τ en X. Entonces τ es igual a
la colección de todas las uniones de los elementos de B.
Demostración. Dada una colección de elementos de B, estos elementos también están en τ . Como
τ es una topoloǵıa, su unión está en τ . Para el regreso, dado U ∈ τ , sea para cada x ∈ U un
elemento de la base Bx que lo contenga y tal que Bx ⊆ U . Luego se puede escribir a U como
U =
⋃
x∈U
Bx.
Hay que notar que cada elemento de U tiene asignado un elemento en la base Bx, por ello U está
contenido en la unión. Por otro lado, sea y ∈ ∪x∈UBx, luego existe x ∈ U tal que y ∈ Bx, pero
4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Bx ⊆ U , por lo que y está en U , luego la igualdad propuesta es válida. Aśı U puede ser descrita
como la unión de elementos de la base, lo cual termina la prueba.
Hay que observar que en la prueba anterior no se establece que la unión de elementos de la base
sea única. Ya se ha visto como a partir de una base describir a una topoloǵıa, se analizará ahora
como ir de una topoloǵıa y generar una base para ella.
Lema 1.5. Sea X un espacio topológico. Supóngase que C es una colección de conjuntos abiertos
de X tales que para cada abierto U de X y para cada x ∈ U , existe un elemento C en C tal que
x ∈ C ⊆ U . Luego C es una base para una topoloǵıa en X.
Demostración. Es menester probar que C es una base. Sea x ∈ X, como X es por si mismo un
abierto por hipótesis existe un elemento C de C tal que x ∈ C y C ⊆ X lo cual satisface la primera
condición. Ahora, sea x ∈ C1 ∩C2 con C1, C2 elementos de C. Como C1 y C2 son abiertos entonces
su intersección es un conjunto abierto también, luego por hipótesis existe un elemento C tal que
C ⊆ C1 ∩ C2.
Sea τ la colección de todos los conjuntos abiertos de X, se mostrará que la colección τ ′ generada
por C genera la misma topoloǵıa que τ . Primero hay que notar que si U está en τ y x ∈ U , por
hipótesis existe C ∈ C tal que x ∈ C ⊆ U , luego por definición U está en τ ′. Ahora, si W está
en τ ′, entonces por el Lema 1.4, W puede ser visto como la unión de elementos de C. Como cada
elemento de C está en τ , luego W es la unión de elementos de τ , por lo cual W está en τ . Lo cual
termina la prueba.
Definición 1.6. Una sub-base S para una topoloǵıa en X es una colección en subconjuntos en
X cuya unión es igual a X. Se llamará como la topoloǵıa generada por la sub-base S a la
colección τ de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de S.
Hay que ver que τ generada por la sub-base S es una topoloǵıa en X. Sea B la colección de todas
las intersecciones finitas de elementos de S, por 1.4 es suficiente mostrar que B es una base pues
eso mostraŕıa que τ es una topoloǵıa.
Dado x ∈ X, existe un elemento S de S que lo contiene y también un elemento de B, esto muestra
el primer inciso de la definición de base. Para revisar la segunda condición sean
B1 = S1 ∩ · · · ∩ Sm y B2 = S ′1 ∩ · · · ∩ S ′n
dos elementos de la base B. Luego, su intersección
B1 ∩B2 = (S1 ∩ · · · ∩ Sm) ∩ (S ′1 ∩ · · · ∩ S ′n)
1.1. ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA GENERAL 5
es nuevamente una intersección finita de elementos de S, por lo cual está en B. Lo cual prueba que
B es una base y por ende S genera una topoloǵıa τ en X.
1.1.3. Subespacios topológicos
Dado un subconjunto Y de X se puede definir una topoloǵıa en Y como sigue:
Definición 1.7. Sea X un espacio topológico con la topoloǵıa τ . Si Y es un subconjunto de X, la
colección
τY = {U ∩ Y |U ∈ τ}
es una topoloǵıa en Y , llamada la topoloǵıa de subespacio. Con esta topoloǵıa Y es llamado
subespacio de X, donde sus abiertos son la intersección de todos los abiertos de X con Y .
Se mostrará que τY es una topoloǵıa. Para Y y ∅ nótese que
∅ ∩ Y = ∅ y X ∩ Y = Y
donde X y ∅ son elementos de τ . Para ver que las uniones e intersecciones finitas están en τY hay
que observar lo siguiente
(U1 ∩ Y ) ∩ · · · ∩ (Un ∩ Y ) = (U1 ∩ · · · ∩ Un) ∩ Y,⋃
α∈J
(Uα ∩ Y ) =
(⋃
α∈J
Uα
)
∩Y.
Lo cual demuestra que es una topoloǵıa.
Como consecuencia a esta definición se tiene el siguiente Lema que nos permite describir una base
de la topoloǵıa de subespacio.
Lema 1.8. Si B es una base para una topoloǵıa de X entonces la colección
BY = {B ∩ Y |B ∈ B}
es una base para es subespacio topológico Y .
Demostración. Sea U un abierto en X y sea y ∈ U ∩ Y , luego se puede elegir un elemento B de la
base B tal que B ⊆ U . Luego
y ∈ B ∩ Y ⊆ U ∩ Y,
por el Lema 1.5 se sigue que B es una base para el subespacio topológico en Y .
6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Seŕıa deseable conocer cuándo un abierto de la topoloǵıa de subespacio Y es también abierto en
X, el siguiente Lema nos da la condición necesaria.
Lema 1.9. Sea Y un subespacio de X. Si U es abierto en Y y si Y es abierto en X, entonces U
es abierto en X.
Demostración. Como U es abierto en Y , entonces existe un abierto V en X tal que U = Y ∩ V .
Como Y y V son abiertos de X entonces lo es su intersección, U .
1.1.4. Propiedades topológicas de los conjuntos
Conjuntos compactos
Definición 1.10. Sea X un espacio topológico y sea A = {Ui}i∈I una colección de subconjuntos
de X, se dice que A es una cubierta de X si se cumple que⋃
i∈I
Ui = X.
Si A es una familia de conjuntos abiertos que es cubierta, entonces se dirá que A es una cubierta
abierta de X.
Definición 1.11. Sea X un espacio topológico y sea {Ui}i∈I una cubierta abierta de A, un subcon-
junto de X. Se dirá que A es compacto si para cada cubierta abierta existe una colección finita
de ı́ndices {i1, . . . , in} ⊆ I tales que
A =
in⋃
j=i1
Uj.
Conjuntos cerrados
Definición 1.12. Se dice que un subconjunto A de un espacio topológico X es cerrado si X \A
es un conjunto abierto.
De manera análoga a la definición de conjuntos abiertos se tienen los siguientes resultados.
Lema 1.13. Sea X un espacio topológico. Luego, las siguientes condiciones se cumplen
1.1. ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA GENERAL 7
1. ∅ y X son conjuntos cerrados.
2. La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
3. Uniones finitas de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Demostración. Primero note que ∅ y X son cerrados pues son complementos de los abiertos X y
∅ respectivamente.
Dada una colección de conjuntos cerrados {Ai}i∈I , aplicando las leyes de De Morgan se tiene que
X \
⋂
i∈I
Ai =
⋃
i∈I
(X \ Ai).
Como cada Ai es cerrado, entonces cada X \ Ai es abierto, y por ende la unión del lado derecho
de la igualdad es abierto; aśı por definición ∩i∈IAi es un conjunto cerrado.
De manera similar para mostrar el tercer inciso, considere para cada colección finita de cerrados
{Ai}ni=1 a
X \
n⋃
i=1
Ai =
n⋂
i=1
(X \ Ai).
Del lado derecho de la igualdad está expresada la intersección finita de conjuntos abiertos y como la
intersección finita de conjuntos abiertos es abierto, luego el lado izquierdo de la igualdad es también
un conjunto abierto, lo cual muestra que la unión finita de conjuntos cerrados es cerrado.
Por tanto, en lugar de usar abiertos para definir una topoloǵıa se puede usar una colección de
conjuntos cerrados que cumplan el Lemma 1.13.
Cuando se trabaje con subespacios, para decir que A es un conjunto cerrado de Y , con Y subespacio
de X, es suficiente ver que Y \A es un abierto en Y . Al igual que con abiertos se tiene el siguiente
Lema.
Lema 1.14. Sea Y un subespacio de X. Luego, un conjunto A es cerrado en Y si y sólo si es igual
a la intersección de un conjunto cerrado de X con Y .
Demostración. Supóngase que A = C ∩ Y para algún cerrado C de X. Luego X \C es abierto en
X y por ende (X \ C) ∩ Y es abierto en Y . Pero (X \ C) ∩ Y = Y \ A, luego Y \ A es un abierto
en Y , por lo cual A es cerrado en Y . Para mostrar la ida, supóngase que A es cerrado en Y , aśı
Y \A es abierto en Y . Por definición existe U un abierto en X tal que Y \A = U ∩X, aśı X \ U
es un conjunto cerrado de X, luego A = Y ∩ (X \ U). Por lo tanto, A puede ser visto como la
intersección de un conjunto cerrado de X con Y .
8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Al igual que con los conjuntos abiertos, es deseable poder conocer un criterio para saber cuando
un conjunto cerrado del subespacio Y es también un cerrado de X. Se probará una condición
necesaria para que esto se cumpla.
Lema 1.15. Sea Y un subespacio de X. Si A es cerrado en Y y Y es cerrado en X, entonces A
es cerrado en X.
Demostración. Supóngase que A es cerrado en Y , luego existe un cerrado C enX tal que A = Y ∩C,
pero Y es también cerrado en X, por lo que A es igual a la intersección de dos cerrados en X,
luego A es cerrado en X.
Cerradura e interior de un conjunto
Dado un subconjunto A de un espacio topológico X, el interior de A es definido como la unión de
todos los conjuntos abiertos contenidos en A. Mientras que la cerradura de A es definida como
la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A.
El interior de A es denotado como IntA y su cerradura como ClA o bien por cl(A). Por su
definición, es claro que el interior de A es un conjunto abierto y su cerradura es un conjunto
cerrado; más aún, se cumple la siguiente relación
Int(A) ⊆ A ⊆ cl(A).
Si A es abierto, entonces IntA = A mientras que si A es cerrado entonces cl(A) = A.
Se dirá que x es un punto interior de un conjunto A si existe un abierto U que contiene a x y
tal que Ux ⊆ A. Con esta definición se puede caracterizar a un conjunto abierto.
Afirmación 1.16. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X. A es un conjunto abierto si
y sólo todos sus puntos son puntos interiores.
Demostración. Sea B una base para X. Como consecuencia de la definición de base 1.3, al ser A
abierto, A puede ser descrito como
A =
⋃
x∈A
Bx ,
con Bx un elemento de la base que contiene a x y que queda contenido en A. Como cada Bx es un
conjunto abierto, luego cada punto x de A es un punto interior.
1.1. ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA GENERAL 9
Para el regreso, como todos los puntos de A son puntos interiores entonces,
A =
⋃
x∈A
Ux,
con Ux abiertos que contienen a x y que quedan contenidos en A. La unión arbitraria de abiertos
es abierto, luego A es por definición un abierto. Lo cual demuestra la afirmación.
Cuando se trabaja sobre un subespacio Y de X se debe tener cuidado sobre qué conjunto se está
tomando la cerradura. En general el tomar la cerradura sobre Y no es lo mismo que tomarla sobre
X.
Teorema 1.17. Sea Y un subespacio de X; sea A un subconjunto de Y ; se denotará por cl(A) a
la cerradura de A en X. Luego la cerradura de A en Y es igual a cl(A) ∩ Y .
Demostración. Se denotará por B a la cerradura de A en Y . El conjunto cl(A) es cerrado en X,
luego cl(A) ∩ Y es cerrado en Y . Como cl(A) ∩ Y contiene a A, y como B es la intersección de
todos los cerrados de Y que contienen a A, entonces
B ⊆ (cl(A) ∩ Y ).
Por otro lado, se sabe que B es cerrado en Y . Luego existe un cerrado C en X tal que B = C ∩Y ,
luego C es un cerrado en X que contiene a A, luego cl(A) ⊆ C. Por lo tanto,
(cl(A) ∩ Y ) ⊆ (C ∩ Y ) = B.
Lo cual muestra las dos contenciones y termina la prueba.
Hasta ahora se ha visto la definición de cerradura, pero no un método para calcularla. El siguiente
Teorema muestra una manera para calcularla a traves de su base. De ahora en adelante se dirá
que A intersecta a B si su intersección es no vaćıa.
Teorema 1.18. Sea A un subconjunto de un espacio topológico X.
1. Entonces x ∈ cl(A) si y sólo si cada conjunto abierto U que contiene a x intersecta a A.
2. Supóngase que la topoloǵıa de X está dada por una base, entonces x ∈ cl(A) si y sólo si cada
elemento de la base que contiene a x intersecta a A.
10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Demostración. Para mostrar 1, se probará que x /∈ cl(A) si y sólo si existe un conjunto abierto U
tal que contiene a x pero no intersecta a A.
Si x /∈ cl(A), entonces U = X \ cl(A) es un conjunto abierto que contiene a x y que no inter-
secta a A que es lo que se ped́ıa. Para el regreso, si existe un conjuntoabierto U que contiene a
x pero que no intersecta a A, luego X \ U es un conjunto cerrado que contiene a A. Por defini-
ción de cerradura de cl(A), el conjunto X\U debe contener a cl(A), luego x no puede estar en cl(A).
Para el inciso 2, si a cada abierto que contiene a x intersecta a A entonces los elementos de la base
que contienen a x también intersecta a A, pues son abiertos. Para el regreso, si cada elemento de
la base que contiene a x intersecta a A, entonces lo hace cualquier abierto que contiene a x, pues
cada abierto U contiene un elemento de la base B que contiene a x y que B ⊆ U .
De ahora en adelante, en lugar de decir U es un conjunto abierto que contiene a x, se dirá U es
vecindad abierta de x.
Existe otra forma de describir a la cerradura de un conjunto y es con el concepto de punto de
acumulación.
Definición 1.19. Si A es un subconjunto del espacio topológico X y si x ∈ X, se dirá que x es
un punto de acumulación de A si cada vecindad abierta de x intersecta a A en algún punto
distinto de x. Dicho de otra forma, x es un punto de acumulación de A si está en la cerradura de
A \ {x}. Note que x puede o no estar en A.
Se denotará por A′ al conjunto de puntos de acumulación de A.
Teorema 1.20. Sea A un subconjunto del espacio topológico X. Entonces
cl(A) = A ∪ A′.
Demostración. Si x ∈ A′, cada vecindad abierta de x intersecta a A (en un punto distinto a x),
por el Teorema 1.18 x ∈ cl(A). Luego A′ ⊆ cl(A). Por definición se sab́ıa que A ⊆ cl(A), por ende
A ∪ A′ ⊆ cl(A).
Para probar la otra inclusión, sea x ∈ cl(A). Note que si x ∈ A entonces la inclusión buscada
se cumple, supóngase que x /∈ A. Ya que x ∈ cl(A), se sabe que cada vecindad abierta U de x
intersecta a A, como x no está en A, el conjunto U debe intersectar a A en un punto distinto de
x. Por tanto, x ∈ A′, lo cual muestra que x ∈ A ∪ A′.
1.1. ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA GENERAL 11
Corolario 1.21. Un subconjunto A de un espacio topológcio X es cerrado si y sólo si contiene
todos sus puntos de acumulación.
Demostración. A es un conjunto cerrado si y sólo si A = cl(A) y por el Teorema 1.20 esto último
se cumple si A′ ⊆ A, que es lo que se queŕıa mostrar.
1.1.5. Funciones continuas
El concepto de funciones continuas es muy importante en las matemáticas, en especial en el área
de análisis matemático. Se verá más adelante la relación que existe entre la siguiente definición de
continuidad y la dada en espacios normados.
Definición 1.22. Sean X y Y espacios topológicos. Se dirá que una función f : X → Y es
continua si para cada conjunto abierto V de Y , el conjunto f−1[V ] es un conjunto abierto de X.
Hay que recordar, que f−1[V ] es el conjunto de todos los puntos x en X tales que f(x) ∈ V , el
cual es vaćıo si V no intersecta a la imágen directa de f [X].
El que una función sea continua, no sólo depende de f si no también de las topoloǵıas definidas
en X y Y .
Observación 1.23. Si B es una base para una topoloǵıa en Y , entonces para probar la continuidad
de un función es suficiente mostrar que la imagen inversa de cada elemento de la base B es abierto
en X. Como cada abierto V de Y puede ser descrito como elementos de la base,
V =
⋃
α∈J
Bα.
Luego
f−1[V ] =
⋃
α∈J
f−1[Bα],
aśı f−1[V ] es abierto si para cada α en J el conjunto f−1[Bα] es abierto.
Si S es una sub-base para una topoloǵıa de Y , para probar la continuidad de f es suficiente mostar
que la imagen inversa de cada elemento S de la sub-base S es un abierto en X. Pues si B es un
elemento de la base de Y puede ser descrito como la intersección finita S1 ∩ · · · ∩ Sn de elementos
de la sub-base, de la siguiente ecuación
f−1[B] = f−1[S1] ∩ · · · ∩ f−1[Sn]
12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
se sigue que la imagen inversa de elementos de la base es abierta, por lo cual es suficiente verlos
para los elementos de la sub-base.
A partir del concepto de función continua se puede introducir el concepto de homeomorfismo, el
cual nos permitirá analizar la estructura de un espacio y relacionarla con la estructura de otros
espacios.
Definición 1.24. Sean X y Y espacios topológicos y sea f : X → Y una biyección. Si tanto f
como su inversa f−1 son funciones continuas, luego se dirá que f es un homeomorfismo.
El que f−1 sea continua hace que cada abierto de X sea un abierto de Y , se dirá que f−1 es un
mapeo abierto en Y . Es importante hacer notar que al ser f biyectiva la f−1[f [U ]] es lo mismo
que U , esto es f [U ] es abierto si y sólo si U es abierto. Lo cual significa que el homeomorfismo
f nos da una correspondencia biyectiva no sólo entre X y Y si no también entre sus respectivas
colecciones de abiertos. Se dirá que X y Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo f entre
ellos. Por lo anterior es importante notar que los homeomorfismos preservan conjuntos abiertos,
cerrados y compactos.
A continuación se darán las definiciones necesarias para poder definir una red [9].
Definición 1.25. Un conjunto dirigido es un conjunto preordenado Γ (i.e. con una relación
binaria reflexiva y transitiva) tal que cada dos elementos tienen cota superior.
Definición 1.26. Una red en un espacio topológico X es una función arbitraria de un conjunto
dirigido no vaćıo Γ al conjunto X. Se denotará a las redes por el śımbolo S = {xγ : γ ∈ Γ}, donde
xγ es un punto en X asignado por el elemento γ del conjunto dirigido Γ. La relación dirigida por
Γ se denotará por ≤.
El concepto de red generaliza la noción de sucesiones, es por ello que también existe el concepto
de ĺımite de la red, sin embargo con una variante significativa al concepto de punto ĺımite de una
sucesión.
Definición 1.27. Un punto x es llamado ĺımite de la red S si para cada vecindad abierta U de
x existe un γ0 ∈ Γ tal que xγ ∈ U para cada γ0 ≤ γ; se dirá entonces que la red S converge a x.
Una red puede converger a varios puntos, el conjunto de todos los puntos ĺımites de S se denotará
por ĺımS.
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 13
1.2. Espacios normados y de Banach
1.2.1. Espacios métricos
A continuación se introducirá el concepto de espacios métricos con la finalidad de desarrollar pro-
piedades importantes relacionadas con la continuidad de una función, también pondremos especial
atención en la convergencia y los tipos de convergencia de sucesiones en espacios normados [10].
Los conceptos de convergencia de una sucesión son importantes para construir la definición de
espacios de Banach los cuales serán la base para el caṕıtulo 2 2.1.
Definición 1.28. Sea X un conjunto no vaćıo. Se dirá que ρ : X × X → R es una métrica o
una distancia para X si es una función tal que:
1. Para toda x, y en X, ρ(x, y) = 0, si y sólo si x = y.
2. Para toda x, y en X se cumple que ρ(x, y) = ρ(y, x).
3. Para toda x, y, z en X se cumple que
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y).
En el contexto anterior, se denotará por espacio métrico a la pareja ordenada (X, ρ).
Observación 1.29. Sea (X, ρ) un espacio métrico. Note que para toda x, y en X se cumple que
ρ(x, y) ≥ 0. Pues si x, y ∈ X, como ρ es una métrica entonces:
0 = ρ(x, x) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, x) = 2ρ(x, y).
Por tanto ρ(x, y) ≥ 0.
Si X, Y son espacios métricos y f : X → Y una función, se dirá que f es continua en x0, con
x0 ∈ X, si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo elemento x de X tal que su distancia
con x0 sea menor que δ, ρ(x, x0) < δ se cumple que
ρ1(f(x), f(x0)) < ε;
donde ρ es la distancia en X y ρ1 la de Y .
Si f es continua en todos los puntos de X se dirá que f es continua sobre X. Al igual que en
los espacios topológicos, si f es biyectiva y tanto f como f−1 son funciones continuas, se dirá que
es un homeomorfismo y que los espacios métricos X y Y son homeomorfos.
14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Un caso particular del concepto de homeomorfismo es el siguiente:
Definición 1.30. Sean (X, ρ) y (Y, ρ′) espacios métricos. Una función biyectiva f : X → Y se
denomina isometŕıa, si para cualesquiera x1, x2 en X
ρ(x1, x2) = ρ
′(f(x1),f(x2)).
Se dirá que X y Y son isométricos.
La isometŕıa significa que entre dos espacios métricos X y Y las relaciones métricas entre sus
elementos son las mismas, desde el punto de vista de los espacios métricos X y Y son considerados
idénticos.
Se retomará el concepto de conjuntos abiertos de la sección 1.1 pero ahora para espacios métricos.
Definiciones 1.31. Sea X un espacio métrico.
1. Una bola abierta BX(x0, r) es
BX(x0, r) = {x ∈ X | ρ(x, x0) < r}.
Donde x0 es denominado centro y el número r ∈ R es denominado radio.
2. Una bola cerrada BX [x0, r] es
BX [x0, r] = {x ∈ X | ρ(x, x0) ≤ r}.
3. La esfera SX(x0, r) es
SX(x0, r) = {x ∈ X | ρ(x, x0) = r}.
Con lo anterior, una bola abierta de radio ε y centro en x0 se denominará también ε-vecindad
abierta del punto x0.
Observación 1.32. Sea B = {B(x, ε) |x ∈ X, ε > 0}. Se mostrará que B es una base en X.
Para el primer inciso, note que para cada x en X la bola B(x, 1) es un elemento de la base que lo
contiene. Para probar el segundo inciso sea y ∈ B(x0, ε0)∩B(x1, ε1), por definición se cumple que
ρ(y, x0) < ε0 y ρ(y, x1) < ε1. Sea ε = mı́n{ρ(y, x0), ε0 − ρ(y, x0), ρ(y, x1), ε1 − ρ(y, x1)}, note que
ε > 0. Se afirma que B(y, ε) ⊆ B(x0, ε0) ∩B(x1, ε1). Sea y1 un elemento en B(y, ε) diferente a y.
Por un lado,
ρ(y1, x0) ≤ ρ(y1, y) + ρ(y, x0)
< ε0 − ρ(y, x0) + ρ(y, x0)
= ε0.
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 15
Por otro lado,
ρ(y1, x1) ≤ ρ(y1, y) + ρ(y, x1)
< ε1 − ρ(y, x1) + ρ(y, x1)
= ε1.
Lo cual muestra que B(y, ε) se queda contenida en la intersección. Por tanto, B es una base y
genera una topoloǵıa para el espacio métrico.
Hasta ahora sólo se ha introducido la noción de continuidad en un espacio topológico, sin embargo
dicha noción existe también en espacios métricos cuya topoloǵıa fue inducida por la métrica, como
en la observación anterior. Se mostrará que estas nociones son equivalentes.
Teorema 1.33. Sean (X, ρ1), (Y, ρ2) espacios métricos, se dirá que una función f : X → Y es
continua en el punto x0 ∈ X si y sólo si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X tal
que ρ1(x0, x) < δ se cumple que ρ2(f(x0), f(x)) < ε.
Demostración. Para la ida supóngase que f es continua, sea entonces V ⊆ Y una vecindad abierta
de f(x0) y como V es abierto existe ε > 0 tal que B(f(x0), ε) ⊆ V . Como f es continua luego
f−1[B(f(x0), ε)] ⊆ X es un abierto y por ende existe un δ > 0 tal que de
B(x0, δ) ⊆ f−1[B(f(x0), ε)].
En otras palabras acabamos de notar que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo
ρ1(x0, x) < δ se cumple que ρ2(f(x0), f(x)) < ε.
Para mostar el regreso sea V una vecindad abierta de f(x0) ∈ Y , como es abierto existe
B(f(x0), ε) ⊆ V,
luego por hipótesis existe δ > 0 tal que para todo x ∈ X tal que ρ1(x0, x) < δ se cumple que
ρ2(f(x0), f(x)) < ε. Luego, si x ∈ B(x0, δ) se tiene que f(x) ∈ B(f(x0), ε) y por ende
B(x0, δ) ⊆ f−1[B(f(x0), ε)] ⊆ f−1[V ].
Es decir, la imagen inversa de cada vecindad abierta de f(x0) contiene una bola abierta centrada
en x0.
Definición 1.34. Sea X un espacio métrico.
1. Una sucesión es una función f : N→ X.
16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
2. Si f es una sucesión y, luego para cada n ∈ N, f(n) = xn, entonces (xn)n∈N denotará a la
sucesión f .
3. Se dirá que (xn)n∈N converge a x en X, y se escribirá xn → x, si para todo ε > 0 existe un
natural N tal que para n ≥ N se cumple que ρ(xn, x) < ε.
En otras palabras, se dirá que (xn)n∈N converge a x, cuando para cada vecindad abierta B(ε, x)
existe un natural Nε tal que para todo natural n ≥ Nε se cumple que {xn |n ≥ Nε} ⊆ B(ε, x). Y
se denotará como
ĺım
n→∞
ρ(xn, x) = 0, ĺım
n→∞
xn = x o bien xn → x.
Si (xn)n∈N no es convergente se dirá que es divergente. Note que por la definición de convergencia
x debe estar en X.
Definición 1.35. Sea X un espacio métrico. Se dirá que una sucesión (xn)n∈N en X es acotada
si existe ε > 0 y un y ∈ X tal que {xn |n ∈ N} ⊆ B(y, ε).
Lema 1.36. Sea X un espacio métrico. Entonces toda sucesión convergente en X es acotada y
además su ĺımite es único.
Ahora se definirá el concepto de sucesión de Cauchy la cual nos permitirá definir cuándo un espacio
métrico es completo.
Definición 1.37. Una sucesión (xn)n∈N en un espacio métrico X se dice sucesión de Cauchy
si para cada ε > 0 existe un natural Nε tal que para todo natural n,m tal que n,m > Nε la
ρ(xn, xm) < ε.
Se dice que el espacio X es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente.
El siguiente teorema es de gran utilidad cuando se quiere mostrar que una sucesión es de Cauchy.
Teorema 1.38. Cada sucesión convergente en un espacio métrico es una sucesión de Cauchy.
Mostrar que un conjunto es cerrado o bien que un elemento está en la cerradura de algún conjunto
puede resultar dif́ıcil si sólo se cuenta con la definición para mostrarlo. Es por eso que el siguiente
teorema muestra dos caracterizaciones de la cerradura de un conjunto que son de gran utilidad
al mostrar que un conjunto es cerrado o bien que un elemento pertenece a la cerradura de un
conjunto.
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 17
Teorema 1.39. Sea X un espacio métrico, sea M un subconjunto no vaćıo del espacio métrico y
sea cl(M) su cerradura en X. Entonces,
1. Un elemento x está en la cerradura de M si y sólo si existe una sucesión (xn)n∈N en M tal
que xn → x.
2. M es un conjunto cerrado si y sólo si cada sucesión (xn)n∈N ⊆ M convergente a x implica
que x ∈M .
Una razón por la cual los mapeos continuos son relevantes en el análisis matemático es porque
preservan la convergencia de las sucesiones, lo cual será de gran utilidad para el teorema de la
gráfica cerrada 1.93.
Teorema 1.40. Un mapeo T : X → Y entre los espacios métricos (X, ρ) y (Y, ρ′) es continuo en
un punto x0 ∈ X si y sólo si xn → x0 implica que T (xn)→ T (x0).
Demostración. Para la ida, supóngase que T es continuo y sea ε > 0. Luego existe δ > 0 tal que
para todo x ∈ X tal que ρ(x, x0) < δ se cumple que ρ′(T (x), T (x0)) < ε. Puesto que xn → x0
entonces para δ existe un natural Nδ tal que para todo m ≥ Nδ se cumple que ρ(xn, x0) < δ.
Como para todo natural m tal que m ≥ Nδ se cumple que ρ(xn, x0) < δ entonces por lo anterior
se cumple también que ρ′(T (xn), T (x0)) < ε. Por lo tanto para toda ε > 0 se encontró un natural
Nδ tal que para todo natural m mayor o igual a Nε se cumple que ρ
′(T (xn), T (x0)) < ε y aśı
T (xn)→ T (x0).
Para el regreso, supóngase que xn → x0 y eso implica que T (xn)→ T (x0). Supóngase, para generar
una contradicción, que T no es continua. Luego existe ε > 0 tal que para toda δ > 0 existe x 6= x0
se cumple que ρ(x, x0) < δ pero ρ
′(T (x), T (x0)) ≥ ε. En particular para δ = 1n se cumple que
ρ(x, x0) <
1
n
y ρ′(T (x), T (x0)) ≥ ε
esto es para todo natural n. Por lo anterior xn → x0 pero T (xn) no converge a T (x0) lo que
contradice la hipótesis.
Definición 1.41. Se dirá que un conjunto A ⊆ X es convexo si para toda λ ∈ [0, 1] el segmento
λx1 + (1− λ)x2 se queda contenido en A, para cada x1, x2 ∈ A.
Como consecuencia de la definición de convexidad note que la intersección arbitraria de una familia
de subconjuntos convexos de un espacio lineal X es convexa.
18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 1.42. Sean X, Y espacios vectoriales. Se dirá que un operador T : X → Y es lineal
si para todo x1, x2 ∈ X y para todo α ∈ F se cumple que
T (αx+ y) = αT (x) + T (y)
Lema 1.43. Si T : X → Y es un operador lineal y A ⊆ X un subconjunto convexo; entonces T [A]
es un conjunto convexo en Y .
Observe que la prueba de éste lemma se deriva de la definición de convexidad y la propiedad de
que un operador lineal abre sumas y saca escalares.
Definición 1.44. Sea X un espacio métrico. Un subconjunto D ⊆ X se dice que es denso si
cl(D) = X.
Lema 1.45. Sea X un espacio métrico. Un subconjunto D ⊆ X es denso si y sólo si para cada
conjunto abierto U 6= ∅ se cumple que U ∩D 6= ∅.
Demostración. Para mostrar el regreso, si se supone que D no es denso entonces por definicióncl(D) ( X, luego definiendo U = X \cl(D) se obtiene un abierto no vaćıo. Por hipótesis U∩D 6= ∅.
Por otro lado, por la definición de U , se tiene que U ∩ cl(D) = ∅, pero esto es una contradicción.
Luego D es denso en X.
Para mostrar la ida, suponga que existe un abierto U en X tal que U ∩ D = ∅, por tanto D ⊆
X \ U ( X. Como X \ U es cerrado, entonces cl(D) ⊆ X \ U ( X. Por tanto, D no es denso.
Definición 1.46. Un espacio métrico se dice que es separable si contiene un subconjunto denso
numerable.
1.2.2. Espacios normados
Definición 1.47. Sea X un espacio vectorial sobre F, con F igual a R ó C. Se dirá que ‖ · ‖:
X → R es una norma para X si:
1. Para todo elemento x ∈ X su ‖ x ‖≥ 0 y ‖ x ‖= 0⇔ x = 0.
2. Para todo x ∈ X y para toda λ ∈ F se cumple que
‖ λx ‖= |λ| ‖ x ‖ .
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 19
3. Para toda x, y en X se cumple que
‖ x+ y ‖≤‖ x ‖ + ‖ y ‖ .
Se dirá que la pareja ordenada (X, ‖ · ‖) es un espacio normado y también que ‖ · ‖ es una
norma en X.
De ahora en adelante si esto no lleva a alguna confusión, se referirá a X como espacio normado,
omitiendo mencionar a ‖ · ‖.
Definición 1.48. Sea X un espacio normado. La métrica inducida por la norma de X es ρ y
está dada por la fórmula ρ(x, y) =‖ x− y ‖.
Observación 1.49. Es importante notar que no toda métrica está inducida por una norma. Tóme-
se como ejemplo a X = R con la métrica discreta ρ : R× R→ R, a saber ∀x, y ∈ X : ρ(x, y) = 1
si x 6= y y ρ(x, y) = 0 si x = y. Supóngase para generar contradicción que es posible construir una
norma en R que genere a ρ. Para ello sea ‖ · ‖: R → R tal que ‖ x − y ‖= ρ(x, y). Ahora para
λ = 5 se obtiene que
‖ 5x ‖= ρ(5x, 0) = 1 y por otro lado |5| ‖ x ‖= |5| · ρ(x, 0) = |5| · 1 = 5
Por tanto |λ| ‖ x ‖6=‖ λx ‖ lo cual es una contradiccón. Por lo anterior no es posible definir una
norma en R a partir de la métrica discreta.
Proposición 1.50. Sea X un espacio normado. Entonces para todo x, y ∈ X se cumple que
| ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤‖ x− y ‖. Luego, la función que asigna x 7→‖ x ‖ es continua.
Teorema 1.51. Sea X un espacio normado.
1. La suma + : X ×X → X es una función continua.
2. La operación · : F×X → X es una función continua.
Demostración. Para mostrar 1, sean x0, y0 ∈ X fijos y sea ε > 0. Luego, para todo x, y ∈ X tales
que ‖ x− x0 ‖< ε2 y que ‖ y − y0 ‖<
ε
2
se tiene que
‖ (x+ y)− (x0 + y0) ‖≤‖ x+ y ‖ + ‖ x0 + y0 ‖< 2ε.
Aśı, la suma es una función continua.
20 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Para el inciso 2, sean α0 ∈ F, x0 ∈ X fijos y sea ε > 0. Para todo α ∈ F y para todo x ∈ X tales
que ‖ α− α0 ‖< ε2(‖x0‖+ε) y que ‖ x− x0 ‖<
ε
2
se cumple que
‖ αx− α0x0 ‖ ≤‖ αx− α0x ‖ + ‖ α0x− α0x0 ‖
≤ |α− α0| ‖ x ‖ +|α0| ‖ x− x0 ‖
< ε
2(‖x0‖+ε)(‖ x0 ‖ +ε) + |α0|
ε
2
= ε
2
+ ε
2
= ε.
Corolario 1.52. Sea x0 un elemento del espacio normado X y sea α0 un escalar en F distinto del
cero. Entonces los mapeos dados por x 7→ x+x0 y x 7→ α0x para todo x ∈ X son homeomorfismos
de X en śı mismo. En consecuencia, si A es un subconjunto de X abierto, cerrado o compacto,
entonces x0 + A y α0A es también abierto, cerrado o compacto. Si A y U son subconjuntos de X
con U abierto, luego A+ U es abierto.
Corolario 1.53. Sea S un espacio topológico y X un espacio normado. Luego la colección de todas
las funciones continuas de S en X forma un espacio vectorial sobre F donde sus suma y producto
por escalar están definidas de la forma usual :
(f + g)(s) = f(s) + g(s) y (α · f)(s) = αf(s),
para cada s ∈ S.
El siguiente teorema es un teorema de separación y será de utilidad en la prueba del teorema de
Krein-Smulian 2.67 en el siguiente caṕıtulo. Observe primero la siguiente definición.
Definición 1.54. Sea X es un espacio vectorial (X,+, ·) dotado de una topoloǵıa τ , si τ hace
continuas a las funciones del espacio vectorial X. Se dirá que X es un espacio vectorial o
lineal topológico. Si además τ tienen una base de conjuntos convexos se dirá que X es un
espacio localmente convexo.
Teorema 1.55. Sea X un espacio vectorial topológico sobre R con A, B ⊆ X convexos y donde
A es abierto y A ∩ B = ∅. Entonces existe una funcional lineal T : X → R y α ∈ R tales que
T (a) < α, para cada a ∈ A, y T (b) ≥ α, para cada b ∈ B. Si además B es abierto, entonces A y
B son estrictamente separados.
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 21
Proposición 1.56. Sean X un espacio vectorial localmente convexo complejo, sean A, B ⊆ X
conjuntos convexos cerrados y disjuntos. Si B es compacto, entonces existen una funcional lineal
continua f : X → C, α ∈ R y ε > 0 tales que para cada a ∈ A y cada b ∈ B,
Re(f(a)) ≤ α < α + ε ≤ Re(f(b)).
1.2.3. Espacios de Banach
Definición 1.57. Sea X un espacio normado. Se dirá que X es un espacio de Banach si es
completo con respecto a la métrica inducida por la norma.
A continuación se enuncian algunos resultados de series en espacios normados, lo que permite dar
otra caracterización de los espacios de Banach.
Proposición 1.58. Sean X y Y espacios normados.
1. Si
∑∞
n=1 xn converge en X, entonces xn → 0.
2. Si
∑∞
n=1 xn y
∑∞
n=1 yn convergen en X, entonces
∑∞
n=1(xn + yn) converge y∑∞
n=1(xn + yn) =
∑∞
n=1 xn +
∑∞
n=1 yn.
3. Si
∑∞
n=1 xn converge y α es un escalar, luego
∑∞
n=1 αxn converge y además∑∞
n=1 αxn = α
∑∞
n=1 xn.
4. Si
∑∞
n=1 xn converge en X, entonces
‖
∑∞
n=1 xn ‖≤
∑∞
n=1 ‖ xn ‖.
Definición 1.59. Sea X un espacio normado y (xn)n∈N una sucesión en X. Se dirá que la serie∑∞
n=1 xn es absolutamente convergente si
∑∞
n=1 ‖ xn ‖ es convergente.
Teorema 1.60. Un espacio normado X es un espacio de Banach si y sólo si cada serie absoluta-
mente convergente es convergente en X.
Demostración. Supóngase que X no es un espacio de Banach luego existe una sucesión de Cauchy
(xn)n∈N que no es convergente en X. Luego, para cada natural j existe un natural Nε tal que si
n,m ≥ Nj se cumple ‖ xn−xm ‖< 2−j. Se puede suponer que para cada j se cumple que nj+1 > nj.
Como el ĺımite de cada subsucesión de Cauchy coincide con el ĺımite de la sucesión, entonces el
22 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
ĺımite de (xnm)m∈N no existe. Luego la serie
∑∞
j=1(xnj+1 − xnj) no es convergente, pues cada suma
parcial
∑k
j=1(xnj+1 − xnj) = xnk+1 − xn1 . Por otro lado como
∞∑
j=1
‖ xnj+1 − xnj ‖≤
∞∑
j=1
2−j = 1,
lo cual prueba la ida.
Ahora, supóngase que X es un espacio de Banach y sea
∑∞
n=1 xn una serie absolutamente conver-
gente en X. Si m1,m2 son naturales con m2 > m1, entonces∥∥∥∥∥m2∑
n=1
xn −
m1∑
n=1
xn
∥∥∥∥∥ ≤ m2∑
n=m1+1
‖ xn ‖=
m2∑
n=1
‖ xn ‖ −
m1∑
n=1
‖ xn ‖,
por lo cual las sumas parciales de la serie absolutamente convergente (
∑m
n=1 xn)m∈N forman una
sucesión de Cauchy y como X es completo entonces (
∑m
n=1 xn)m∈N es convergente en X.
Definición 1.61. Sea X un espacio normado con la topoloǵıa inducida por la norma. Se dirá que
S ⊆ X es un conjunto relativamente compacto si cada sucesión (xn)n∈N tiene una subsucesión
(xnk)k∈N ⊆ S convergente en X.
Proposición 1.62. Sea X un espacio normado con la topoloǵıa inducida por la norma y sea
S ⊆ X. Son equivalentes que S sea un conjunto relativamente compacto y que cl(S) sea un conjunto
compacto.
Definición 1.63. Sea X un espacio métrico y sea S ⊆ X un subconjunto. Se dirá que S es
totalmente acotado si para cada ε > 0 existe un subconjunto finito de S, Fε, tal que
X ⊆
⋃
x∈Fε
BX(x, ε).
Las siguientes afirmaciones nos permiten entender la relevancia de los conjuntos relativamente
compactos en el estudio de los espacios normados.
1. Todo conjunto compacto es relativamente compacto.
2. Todo conjunto relativamente compacto y cerrado es compacto.
3. Todo conjunto relativamente compacto es acotado.
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 23
4. Todo conjunto relativamente compacto es totalmente acotado.
5. Todo subconjunto no vaćıo de un conjunto relativamente compacto es relativamente com-
pacto.
1.2.4. Espacios cociente
Definición 1.64. Sea M un subespacio del espacio vectorial X. El espacio cociente X/M es
un espaciovectorial y está descrito por {x + M : x ∈ X}, que son todas las traslaciones de M y
sus operaciones están dadas por
(x+M) + (y +M) = (x+ y) +M
y
α · (x+M) = (α · x) +M.
Para cada x, al conjunto x+M se le llamará el coset de M que contiene a x.
Se define la relación x ∼ x′ ⇔ x − x′ ∈ M ; aśı se dirá que x + M y x′ + M son iguales si y sólo
si x− x′ está en M . Hay que notar que el cero de X/M es M , o bien 0 + M ; además, la relación
X/M forma una clase de equivalencia.
Cabe notar que por definición un coset es el conjunto x+M = {x+m |m ∈M}.
Teorema 1.65. Sea M un subespacio cerrado del espacio normado X y sea ‖ · ‖: X/M → R dada
por la fórmula
‖ x+M ‖= ρ(x+M).
Donde ρ(x+M) = ı́nf{‖ x− w ‖: w ∈M} para cada x, y en X.
Se afirma que esta función es una norma en X/M y es llamada la norma cociente de X/M .
Demostración. Sean x, y ∈ X y sea α ∈ F. Como M es cerrado, luego ρ(x,M) = 0 si y sólo si
x ∈M , esto es, ‖ x+M ‖= 0 si y sólo si x+M = 0 +M . Si α 6= 0, entonces
‖ α(x+M) ‖= ρ(αx,M) = ρ(αx, αM) = |α|ρ(x,M) = |α| ‖ x+M ‖,
además
‖ 0(x+M) ‖=‖ 0 +M ‖= 0 =‖ 0 ‖‖ x+M ‖ .
24 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
La desigualdad del triángulo se muestra observando que si z1, z2 ∈M ,
‖ (x+M) + (y +M) ‖ =‖ (x+ y) +M ‖
≤‖ x+ y + z1 + z2 ‖
≤‖ x+ z1 ‖ + ‖ y + z2 ‖ .
Como ‖ · ‖ en el coset se definió como el ı́nfimo, entonces para cualquier z1, z2 ∈M se cumple que
‖ x+M ‖≤‖ x+ z2 ‖ y también que ‖ y+M ‖≤‖ y+ z2 ‖. Si se toma z1 y z2 tales que se cumpla
que ≤‖ x+ y + z1 + z2 ‖≤‖ x+M ‖‖ y +M ‖, entonces se obtiene que:
‖ (x+M) + (y +M) ‖≤‖ x+M ‖ + ‖ y +M ‖ .
Por lo tanto ‖ · ‖ es una norma.
Siendo M un subespacio cerrado del espacio normado X. Se puede interpretar a la norma cociente
del coset x + M como la distancia de un punto x a M , o como la distancia del origen de X al
conjunto x+M , pues ρ(x,M) = ρ(0, x+M). Luego para todo x ∈ X
‖ x+M ‖= ı́nf{‖ x− z ‖: z ∈M} = ı́nf{‖ x+ z ‖: z ∈M}.
Teorema 1.66. Sea M un subespacio cerrado del espacio normado X.
1. Si x ∈ X, entonces ‖ x ‖≥‖ x+M ‖.
2. Si x ∈ X y ε > 0, entonces existe x′ ∈ X tal que x+M = x′ +M y ‖ x′ ‖<‖ x+M ‖ +ε.
Demostración. Note que para cada x en X se tiene que ‖ x− 0 ‖≥ ρ(x,M) =‖ x + M ‖, luego 1
se cumple.
Para el segundo inciso, sean x ∈ X y ε > 0. Sea y ∈M tal que
‖ x− y ‖< ρ(x,M) + ε =‖ x+M ‖ +ε,
aśı x′ = x− y es el elemento buscado.
Observación 1.67. Sean X un espacio normado y M un subespacio cerrado. Supóngase que x, y
son elementos de X tales que ‖ (x− y) +M ‖< δ para algún δ > 0. Por 2 del Teorema 1.66 existe
y′ en X tal que (x− y) +M = (x− y′) +M y ‖ x− y′ ‖< δ.
1.2. ESPACIOS NORMADOS Y DE BANACH 25
Teorema 1.68. Si M es un subespacio cerrado del espacio de Banach X, entonces X/M es
también un espacio de Banach.
Demostración. Sea (xn + M)n∈N una sucesión de Cauchy en X/M . Es suficiente demostrar que
alguna subsucesión de (xn+M)n∈N tiene ĺımite , pues eso implicaŕıa que la sucesión entera converge
y converge al mismo ĺımite. Se construirá por recursión a dicha subsucesión.
Supóngase que ‖ (xn − xn+1) +M ‖< 2−n, para cada natural n. Por la observación 1.67 existe x′2
tal que
(x1 − x′2) +M = (x1 − x2) +M,
y por ende ‖ x1 − x′2 ‖< 2−1. Como x2 +M = x′2 +M , se supondrá que x′2 = x2. De nuevo por la
observación 1.67 existe x′3 tal que
(x2 − x′3) +M = (x2 − x3) +M,
y por ende ‖ x2 − x′3 ‖< 2−2. Podemos suponer que x3 = x′3. Supóngase que se tienen contruidos
k−1 elementos. Para construir el elemento k se aplicará de nuevo la observación 1.67, luego existe
x′k+1 tal que
(xk − x′k+1) +M = (xk − x′k+1) +M,
y por ende ‖ xk − x′k+1 ‖< 2−k.
Luego para cada natural n se tiene la siguiente relación ‖ xn−xn+1 ‖< 2−n. Note que la subsucesión
construida es convergente y por ende lo es (xn+M)n∈N a algún x ∈ X. Por lo visto anteriormente,
‖ (xn +M)− (x+M) ‖=‖ (xn − x) +M ‖≤‖ xn − x ‖,
por tanto xn +M → x+M .
Supóngase ahora que M es un subespacio cerrado en un espacio normado X, donde X no se
sabe si es un espacio completo. Se quiere saber cuándo el que X/M sea completo implica que X
es completo. Considérese como ejemplo a X un espacio no completo, sea M = X, observe que
aunque X/M es completo X no lo es.
Definición 1.69. Sea M un subespacio cerrado de un espacio normado X. Entonces el mapeo
cociente de X en X/M es la función π dada por la fórmula π(x) = x+M para todo x ∈ X.
Lema 1.70. Si M es un subespacio cerrado de un espacio normado X y π es el mapeo cociente
de X en X/M entonces la imagen de la bola abierta unitaria B(0X , 1) de X es la bola abierta
unitaria B(0X/M , 1).
26 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Demostración. Sean UX y UX/M bolas abiertas de X y X/M respectivamente. Si x ∈ UX , entonces
‖ π(x) ‖=‖ x + M ‖≤‖ x ‖< 1, lo cual muestra que π[UX ] ⊆ BX/M . Para ver la otra contención
sea y + M ∈ BX/M , luego existe y′ ∈ UX tal que π(y′) = y′ + M = y + M . Eso demuestra la otra
contención.
Por lo tanto π[UX ] = UX/M .
Proposición 1.71. Sea X un espacio normado y sea M ⊆ X un subespacio cerrado. Entonces el
mapeo cociente π : X → X/M es un operador lineal acotado abierto con núcleo M .
Demostración. Primero observe que por la definición de π se tiene que es un operador lineal; de
su definición se sigue también que N [π] = M . Para mostrar que es un operador acotado se usará
el lema 1.70, pues π[BX [0, 1]] = BX/M [0, 1] y como BX/M [0, 1] es acotado entonces la proyección
π lo es.
Para ver que es un mapeo abierto sea U ⊆ X un abierto y sea x ∈ U . Ahora, como BX [0, 1] es un
abierto, entonces existe un r > 0 tal que x+ rBX [0, 1] ⊆ U . Aśı,
π(x) + rπ[BX [0, 1]] ⊆ π[U ]⇒ π(x) + rBX/M [0, 1] ⊆ π[U ].
Como π(x) + rBX/M [0, 1] es abierto, entonces cada elemento x de U se queda contenido en un
abierto dentro de π[U ]. Por lo cual π es un mapeo abierto.
Proposición 1.72. Supongamos que X y Y son espacios normados y sea T : X → Y un operador
lineal no acotado. Además suponga que M ⊆ X un subespacio cerrado de X tal que M ⊆ N [π]
donde π : X → X/M es el mapeo cociente. Entonces existe una única función S : X/M → Y tal
que el siguiente diagrama conmuta
X Y
X/M
T
π
S
Es decir, T = S ◦ π.
Observación 1.73. Observe que una consecuencia de la proposición anterior es que R[T ] = R[S].
Además, S es un mapeo abierto si y sólo si T es un mapeo abierto. También si S es acotado si y
sólo si T es acotado y más aún si T es acotado entonces ‖ T ‖=‖ S ‖.
1.3. OPERADORES LINEALES 27
Demostración. Para ver que los rangos coinciden observe que
{S(x+M) : x+M ∈ X/M} = {S(π(x)) : x ∈ X}
= {T (x) : x ∈ X}.
Aśı, R[T ] = R[S].
Ahora, si S es un mapeo abierto como T = π(S) y π es un mapeo abierto, entonces T es un mapeo
abierto. Si T es un mapeo abierto, observe que si U ⊆ X/M es un abierto, luego
S(U) = S(π(π−1(U))) = T (π−1(U)),
es un abierto. Por tanto S es un mapeo abierto.
Suponga que T es acotado, como π[BX [0, 1]] = BX/M [0, 1] entonces
sup{‖ S(x+M) ‖: x+M ∈ X/M} = sup{‖ S(π(x)) ‖: x ∈ X}
= sup{‖ T (x) ‖: x ∈ X}.
De donde se tiene que T es acotado si y sólo si S lo es. Además, por las igualdades anteriores se
tiene que sus supremos coinciden y aśı ‖ T ‖=‖ S ‖.
1.3. Operadores lineales
Es relevante notar la importancia del concepto y propiedades de operadores lineales en la construc-
ción en el análisis funcional definido en la sub-sección anterior en 1.42. El concepto de operadores
lineales nos permitirá enunciar tres de los teoremas más importantes en el análisis funcional, a
saber, el teorema del mapeo abierto 1.90, el teorema de acotación uniforme 1.82 y el teorema de
la gráfica cerrada 1.93.
Recordando la definición 1.42, sean X y Y espacios vectoriales. Un operador lineal (o función
lineal o transformación lineal) de X en Y es una función T : X → Y tal que para todo
x, x1, x2 ∈ X y α ∈ F se cumple que
1. T (x1 + x2) = T (x1) + T (x2);
2. T (αx) = αT (x).
28 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Si F es un espacio vectorial de dimensión uno, entonces un operador lineal T : X → F es llamado
funcional lineal o forma lineal enX. Para mapeos lineales, es común denotar como Tx a
T (x). El núcleo (o espacio nulo) de un operador lineal T , denotado por N(T ), es el subespacio
T−1[{0}]. Es decir,
N(T ) = {x ∈ X | Tx = 0}.
Observe que un operador lineal T es inyectivo si N(T ) = {0}.
El rango de un operador lineal es la dimesión de la imagen. Entonces un operador lineal de rango
finito es aquel que tiene un rango de dimensión infinita. Además si T : X → Y y S : Y → Z son
operadores lineales, entonces su composición S(T (x)) para cada x ∈ X es lineal.
Definición 1.74. Sean X y Y espacios normados. Se dirá que un operador lineal T : X → Y
es acotado si para todo subconjunto acotado B de X se tiene que T [B] es un subconjunto acotado
de Y . La colección de todos los operadores lineales acotados de X en Y se denota como B(X, Y )
o por B(X) si X = Y .
1.3.1. Operadores lineales continuos
Recuerde que una función en un espacio métrico es acotada si la imagen de un conjunto acotado es
un conjunto acotado. También recuerde que una función T : X → Y es uniformemente continua
si para cada ε > 0 existe δ > 0 tales que para todo x1, x2 ∈ X si ‖ x1 − x2 ‖< δ se cumple que
‖ T (x1)− T (x2) ‖< ε.
Proposición 1.75. Sean X y Y espacios normados y sea T : X → Y un operador lineal. Son
equivalentes:
(a) El operador T es continuo.
(b) El operador T es continuo en el cero.
(c) El operador T es uniformemente continuo en X.
(d) El operador T es acotado.
(e) Para alguna vecindad abierta U del cero en X, el conjunto T (U) es acotado en Y .
(f) Existe un real M > 0 tal que ‖ T (x) ‖≤M ‖ x ‖ para cada x ∈ X.
(g) sup{‖ T (x) ‖ : x ∈ BX [0, 1]} es finito.
1.3. OPERADORES LINEALES 29
Proposición 1.76. Sean X y Y espacios normados y sea T : X → Y un operador lineal cotinuo,
entonces N(T ) ⊆ X es cerrado.
Demostración. Se sabe que
N(T ) = {x ∈ X : T (x) = 0} = T−1[{0}].
Como cada singulete en F es cerrado, entonces {0} es cerrado y como T es continua luego T−1[{0}]
es cerrado.
Sin embargo, no se puede afirmar que el rango de todo operador lineal continuo es cerrado.
Sea V la colección de todos los operadores lineales continuos del espacio normado X en el espacio
normado Y , entonces V es un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación por
escalar definidas de forma usual como se vió en el corolario 1.53 de la sección anterior. Por ello,
note que B(X, Y ) = V y por ende B(X, Y ) es un espacio vectorial, pues contiene a los operadores
0V y 1V y además la propiedad de ser un operador acotado lineal se preserva bajo la composición
y suma. Para poder ver al espacio vectorial B(X, Y ) como un espacio normado se necesita definir
la noción de norma como la del inciso (g) de la proposición anterior 1.75. A continuación se se
definirá esta y se mostrará que es una norma para B(X, Y ).
Proposición 1.77. Sean X y Y espacios normados. Para cada T ∈ B(X, Y ), se define la función
‖ · ‖: B(X, Y ) → R como ‖ T ‖= sup{‖ T (x) ‖: x ∈ BX [0, 1]} el cual es un número real no
negativo. Se afirma que B(X, Y ) es un espacio normado con la función ‖ · ‖ que se acaba de
definir; a dicha norma se le llamará el operador norma.
Demostración. Para la primer propiedad supóngase que T 6= 0, si y sólo si existe x ∈ BX [0, 1] tal
que T (x) 6= 0, si y sólo si ‖ T ‖> 0, esto es ‖ T ‖6= 0. Sea λ ∈ F, luego
‖ λT ‖ = sup{‖ λT (x) ‖: x ∈ BX [0, 1]}
= sup{|λ| ‖ T (x) ‖: x ∈ BX [0, 1]}
= |λ| sup{‖ T (x) ‖: x ∈ BX [0, 1]}
= |λ| ‖ T ‖ .
30 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Lo cual prueba la segunda propiedad. Para la tercer propiedad sean T1, T2 ∈ B(X, Y ), luego
‖ T1 + T2 ‖ = sup{‖ (T1 + T2)(x) ‖: x ∈ B[0, 1]}
= sup{‖ T1(x) + T2(x) ‖: x ∈ B[0, 1]}
≤ sup{‖ T1(x) ‖ + ‖ T2(x) ‖: x ∈ B[0, 1]}
= sup{‖ T1(x) ‖: x ∈ B[0, 1]}+ sup{‖ T2(x) ‖: x ∈ B[0, 1]}
=‖ T1 ‖ + ‖ T2 ‖ .
Por tanto es una norma en B(X, Y ).
Proposición 1.78. Sean X, Y espacios normados y sea T : X → Y un operador lineal acotado.
1. ‖ T ‖= sup{‖ T (x) ‖: x ∈ X, ‖ x ‖< 1}.
2. Si X 6= {0}, entonces ‖ T ‖= sup{‖ T (x) ‖: x ∈ SX}.
3. Si x ∈ X, entonces ‖ T (x) ‖≤‖ T ‖‖ x ‖. Más aún, el número ‖ T ‖ es el número real no
negativo más pequeño M tal que satisface ‖ T (x) ‖≤M ‖ x ‖ para cada x ∈ X.
Demostración. Para mostrar (1), se definirá f : X → R como f(x) =‖ T (x) ‖. Como f es continua,
su supremo en la bola B(0, 1) es el mismo que en su cerradura cl(B(0, 1)) lo cual muestra (1).
Si x ∈ B[0, 1] con x distinto de cero, entonces x‖x‖ ∈ S1(x) y además f(
x
‖x‖) =‖ x ‖
−1 f(x) ≥ f(x).
Luego, el supremo de f en S(0, 1) es el mismo que en B[0, 1] siempre que X 6= {0}, lo cual muestra
(2).
Para mostrar (3), si se supone que 0 ≤ M <‖ T ‖ con esa propiedad, es decir existe x ∈ BX [0, 1]
tal que ‖ T (x) ‖> M ≥M ‖ x ‖ lo cual no es posible pues contradice el inciso (f) de la proposición
1.75. Luego no existe M > 0 más pequeño que ‖ T ‖ y tal que ‖ T (x) ‖≤ M ‖ x ‖ para cada
x ∈ X. Si x ∈ X con x 6= 0 entonces
1
‖x‖ ‖ T (x) ‖=‖ T (
x
‖x‖) ‖≤‖ T ‖,
por ende ‖ T (x) ‖≤‖ T ‖‖ x ‖. Note que si x = 0 la desigualdad se satisface.
Teorema 1.79. Sean X y Y espacios normados. Se afirma que si Y es un espacio de Banach,
entonces B(X, Y ) lo es.
1.3. OPERADORES LINEALES 31
Demostración. Sea (Tn)n∈N ⊆ B(X, Y ) una sucesión de Cauchy. Para ε > 0 existe un natural
N > 0 tal que para todo n,m > N se cumple que ‖ Tn − Tm ‖< ε. Luego para toda x ∈ X y para
toda n,m > N se tiene que
‖ Tn(x)− Tm(x) ‖=‖ (Tn − Tm)(x) ‖≤‖ Tn − Tm ‖‖ x ‖< ε ‖ x ‖ .
Por ello, para cada x ∈ X se tiene que (Tn(x))n∈N ⊆ Y es una sucesión de Cauchy en Y . Como Y
es completo, entonces para cada x ∈ X existe un y ∈ Y tal que Tn(x) → y. Esta correspondecia
la podemos denotar como T (x) = y. Se mostrará que T definida aśı es un operador lineal, sean
x1, x2 ∈ X y sean α1, α2 ∈ F, luego
T (α1x1 + α2x2) = ĺım
n→∞
Tn(α1x1 + α2x2)
= ĺım
n→∞
(α1Tn(x1) + α2Tn(x2))
= α1 ĺım
n→∞
Tn(x1) + α2 ĺım
n→∞
Tn(x2)
= α1T (x1) + α2T (x2),
de donde se deduce que T es lineal. Se mostrará ahora que Tn → T . Observe que para todo x ∈ X
y cada n ∈ N:
T (x)− Tn(x) = ( ĺım
m→∞
Tm(x))− Tn(x) = ĺım
m→∞
(Tm(x)− Tn(x)).
Como la norma es una función continua se tiene que
‖ T (x)− Tn(x) ‖= ĺım
m→∞
‖ Tm(x)− Tn(x) ‖< � ‖ x ‖ ...(1)
Observe ahora que
‖ T (x) ‖≤‖ T (x)− TN(x) ‖ + ‖ TN(x) ‖≤ ε ‖ x ‖ + ‖ TN(x) ‖= (ε+ ‖ TN ‖) ‖ x ‖ .
Por lo tanto T es un operador lineal acotado y su norma está acotada superiormente por
‖ T ‖≤ ε+ ‖ TN ‖ .
Por otro lado, de la ecuación (1) se puede deducir que ‖ T − Tn ‖< ε para todo n ≥ N . Lo que
significa que Tn → T y que T ∈ B(X, Y ).
Proposición 1.80. Sean X, Y espacios normados. Si T ∈ B(X, Y ) y (Tn)n∈N es una sucesión en
B(X, Y ) tal que Tn → T , entonces para cada x ∈ X se cumple que Tn(x)→ T (x).
32 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Demostración. Sea ε > 0 y sea x ∈ X con x 6= 0. Como Tn → T entonces para δ = ε‖x‖ existe
N ∈ N tal que para todo m > N se cumple que ‖ Tm − T ‖< δ.
Note que para cada x ∈ X:
‖ Tn(x)− T (x) ‖=‖ (Tn − T )(x) ‖≤‖ Tn − T ‖‖ x ‖ .
Luego, para cada x ∈ X:
‖ Tn(x)− T (x) ‖ ≤‖ Tn − T ‖‖ x ‖
< δ ‖ x ‖
= ε‖x‖ ‖ x ‖
= ε.
Observe que si x = 0 como T y cada Tn son operadores lineales y se anulan en el cero, luego el
ĺımite se satisface. Por tanto Tn(x)→ T (x) para cada x ∈ X.
Ahora supóngase que X, Y y Z son espacios normados y sean S ∈ B(X, Y ) y T ∈ B(Y, Z). Luego
el producto TS ∈ B(X,Z), pues la composición de funciones continuas es continua. Sin embargo,
afirmar que ‖ TS ‖ es igual a ‖ T ‖‖ S ‖ es pedir demasiado al operador norma. Considere T ,
S ∈ B(R,R), luego para todo x ∈ R si T cumple que x 7→ −x y S cumple que x 7→ x + (−x).
Por ende T (S(x)) = (−x) + x = 0 donde T y S son inversas aditivas una de la otra. Aśı T y S no
son el operador cero pero su composición śı lo es. Por ende, aunque la igualdad no se satisface, se
satisface la siguiente proposición.
Proposición 1.81. Sea, X, Y y Z espacios normados. Si S ∈ B(X, Y ) y T ∈ B(Y, Z), entonces
TS ∈ B(X,Z) y ‖ TS ‖≤‖ T ‖‖ S ‖.
Demostración. Como para cada x ∈ X ycada y ∈ Y se cumple que ‖ S(x) ‖≤‖ S ‖‖ x ‖ y
‖ T (y) ‖≤‖ T ‖‖ y ‖, entonces para todo x ∈ X se cumple que
‖ T (S(x)) ‖≤‖ T ‖‖ S(x) ‖≤‖ T ‖‖ S ‖‖ x ‖ .
Por lo tanto ‖ TS ‖≤‖ T ‖‖ S ‖, además ‖ TS ‖ es el número real no negativo M más pequeño
que satisface ‖ TS(x) ‖≤M ‖ x ‖ para cada x ∈ X.
Los siguientes dos teoremas son fundamentales y aunque la prueba no está incluida ésta se puede
encontrar en [10].
1.3. OPERADORES LINEALES 33
Teorema 1.82. Principio de acotación uniforme. Sea X un espacio de Banach, sea Y un
espacio normado sobre el mismo campo que X y sea A ⊆ B(X, Y ) no vaćıo tal que para cada
x ∈ X el {Tx : T ∈ A} ⊆ Y es un conjunto acotado, es decir, sup{‖ Tx ‖: T ∈ A} < ∞ para
cada x ∈ X. Entonces A es un subconjunto acotado de B(X, Y ).
Corolario 1.83. Teorema de Banach-Steinhaus. Sea X un espacio de Banach y sea Y
un espacio normado sobre el mismo campo. Supóngase que una sucesión de operadores lineales
{Tn}n∈N ⊆ B(X, Y ) es tal que para cada x ∈ X la sucesión (Tn(x))n∈N converge a y = Tx ∈ Y .
Entonces T : X → Y es un operador lineal acotado.
Definiciones 1.84. Sean X, Y espacios normados y sea T ∈ B(X, Y ). Luego
1. T es un isomorfismo en Y si es inyectiva, continua y si su inversa T−1 es continua en el
rango de T .
2. T es un isometria lineal (o bien un isomorfismo isométrico) si además de ser un
isomorfismo cumple que ‖ Tx ‖=‖ x ‖ para cada x ∈ X.
3. El espacio X está encajado en Y si existe un isomorfismo de X en Y .
4. Se dirá que el espacio X está isométricamente encajado en Y si existe una isometŕıa
linear definida de X en Y .
5. Se dirá que X y Y son espacios isomorfos si existe un isomosrfismo entre ellos y se denotará
por X ∼= Y .
6. Se dirá que X y Y son espacios isométricamente isomorfos si existe una isometŕıa lineal
entre ellos.
1.3.2. Equivalencia entre espacios normados
Sean X, Y espacios normados definidos sobre el mismo campo. Se puede hablar de equivalencia
entre espacios normados en dos contextos; el primero es el algebraico, el cual involucra encontrar
un operador lineal H : X → Y que preserva las operaciones de suma y producto por escalares; y el
segundo es el topológico, en el se busca un homeomorfismo entre X y Y . Sin embargo dos espacios
topológicos pueden ser homeomorfos y sus métricas inducidas pueden tener propiedades distin-
tas. Se definirá una versión más fuerte que el concepto de homeomorfismo llamada equivalencia
uniforme, la cual preserva varias de las propiedades de la métrica [11].
34 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 1.85. Una función suprayectiva h : X → Y entre los espacios métricos (X, ρ1) y (Y, ρ2)
se dice equivalencia uniforme si y sólo si existen constantes m1, m2 tales que 0 < m1 ≤ m2,
m2 <∞ y tales que para todo x1, x2 ∈ X:
m1ρ1(x1, x2) ≤ ρ2(h(x1), h(x2)) ≤ m2ρ1(x1, x2). (1.1)
Si h existe se dirá que X y Y son uniformemente equivalentes.
Observe que de la definición se puede notar que si h es una equivalencia uniforme, entonces es
un isomorfismo. Más aún, si se supone que h(x1) = h(x2) se tiene la relación m1ρ1(x1, x2) ≤ 0 ≤
m2ρ1(x1, x2), de ah́ı si además se supone que ρ(x1, x2) 6= 0 se ontiene que m1 < 0 lo cual contradice
la definición de h, luego ρ1(x1, x2) = 0 y por ende x1 = x2 y por ello h es inyectiva. Como h es
biyectiva, existe h−1 : Y → X y por ende para cada elemento en X puede ser descrito como
x = h−1(y). Aśı, se puede describir la desigualdad 1.1 como
1
m2
ρ2(y1, y2) ≤ ρ1(h−1(y1), h−1(y2)) ≤ 1m1ρ2(y1, y2).
Por tanto, h−1 es una equivalencia uniforme de Y en X. De donde se puede concluir que la
equivalencia uniforme entre dos espacios métricos es mutua.
Esta definición puede ser vista en espacios normados, pidiendo un operador lineal suprayectivo
H : X → Y tal que cumpla
m1 ‖ x1 − x2 ‖X≤‖ Hx1 −Hx2 ‖Y =‖ H(x1 − x2) ‖Y≤ m2 ‖ x1 − x2 ‖X ,
donde 0 < m1 ≤ m2 < ∞ y x1, x2 ∈ X. Si además se renombra como x = x1 − x2 se obtiene la
relación:
m1 ‖ x ‖X≤‖ Hx ‖Y≤ m2 ‖ x ‖X .
Si existe un operador lineal H que satisfaga la desigualdad anterior se dirá que X y Y son equi-
valentes.
En el contexto anterior, si X = Y entonces se tiene la siguiente definición:
Definición 1.86. Sea X un espacio vectorial. Se dirá que dos normas ‖ · ‖ y ‖ · ‖′ definidas en
X son equivalentes si existen m,M ∈ R tales que
∀x ∈ X : m ‖ x ‖≤‖ x ‖′≤M ‖ x ‖ .
De donde se puede notar que la propiedad de ser una norma equivalente es transitiva.
1.3. OPERADORES LINEALES 35
1.3.3. Teorema de la gráfica cerrada
Proposición 1.87. Sean X y Y espacios normados, X × Y es un espacio vectorial con las ope-
raciones
·∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y : (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
·∀ (x1, y1) ∈ X × Y, ∀α ∈ F : α(x1, y1) = (αx1, αy1).
Proposición 1.88. Sean X y Y espacios normados. La función ‖ · ‖X×Y : X × Y → R definida
por
‖ (x, y) ‖X×Y = (‖ x ‖pX + ‖ y ‖
p
Y )
1
p , p ≥ 1
es una norma en X × Y .
De ahora en adelante no se especificará con sub́ındices la norma que se está trabajando a menos
que esto lleve a una confusión.
Demostración. Primero observe que
‖ (x, y) ‖= 0⇔‖ x ‖= 0 y ‖ y ‖= 0
⇔ x = 0 y y = 0
⇔ (x, y) = 0.
Para ver la segunda propiedad observe que
‖ α(x, y) ‖ =‖ (αx, αy) ‖
= (‖ αx ‖p + ‖ αy ‖p)
1
p
= (|α|p(‖ x ‖p + ‖ y ‖p))
1
p
= (|α|p)
1
p (‖ x ‖p + ‖ y ‖p)
1
p
= |α| ‖ (x, y) ‖ .
Para la desigualdad del triángulo se hará uso de la desigualdad del triángulo de las normas de X
36 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
y Y y la desigualdad de Minkowski,
‖ (x1, y1) + (x2, y2) ‖ =‖ (x1 + x2, y1 + y2) ‖
= (‖ x1 + x2 ‖p + ‖ y1 + y2 ‖p)
1
p
≤ ((‖ x1 ‖ + ‖ x2 ‖)p + (‖ y1 ‖ + ‖ y2 ‖)p)
1
p
≤ (‖ x1 ‖p + ‖ y1 ‖p)
1
p + (‖ x2 ‖p + ‖ y2 ‖p)
1
p
=‖ (x1, y1) ‖ + ‖ (x2, y2) ‖ .
Si ahora se considera X, Y como espacios de Banach, entonces ¿es X × Y también un espacio
completo con la norma que se acaba de definir? La respuesta es śı.
Proposición 1.89. Sean X, Y , espacios de Banach, entonces X × Y es un espacio de Banach.
El teorema del mapeo abierto es otro de los teoremas fundamentales, además que a partir de él es
posible mostrar el teorema de la aplicación inversa el cual es de gran utlidad ( [12], [10]).
Teorema 1.90. Teorema del mapeo abierto. Sean X, Y espacios de Banach y sea T : X → Y
un operador lineal acotado suprayectivo; entonces T es un mapeo abierto.
Corolario 1.91. Sean X, Y espacios de Banach y sea T : X → Y un operador lineal acotado. Si
T es un operador lineal inyectivo entonces T−1 es acotado. Es decir, T es un isomorfismo.
Teorema 1.92. Sean X un espacio vectorial y sean ‖ · ‖ , ‖ · ‖′ dos normas definidas en X. Si X
es completo respecto a las dos normas, entonces las normas serán equivalentes siempre que exista
una constante m > 0 tal que ‖ x ‖′≤ m ‖ x ‖ para cada x ∈ X.
El último teorema fundamental que faltaba de mencionar es el teorema de la gráfica cerrada, una
prueba se puede encontrar en [12]. El teorema de la gráfica cerrada es relevante pues establece una
caracterización para operadores lineales continuos de gran utilidad.
Proposición 1.93. Teorema de la gráfica cerrada. Sean X y Y espacios de Banach y sea
T : X → Y un operador lineal. T es continua si y sólo si su gráfica
Γ(T ) = {(x, T (x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y,
es cerrada.
1.3. OPERADORES LINEALES 37
1.3.4. Operadores acotados inferiormente
Aunque no es muy usado, el concepto de operadores acotados inferiormente nos será de utilidad
más adelante [11].
Definición 1.94. Sean X y Y espacios normados y sea T : X → Y un operador lineal. Si existe
una constante C > 0 tal que ‖ Tx ‖≥ C ‖ x ‖ para todo x ∈ X, entonces T será llamado operador
acotado inferiormente
Esta definición es importante, pues varios operadores lineales no son acotados pero śı son acotados
inferiormente. Un ejemplo claro de la importancia de esta propiedad está dada en el siguiente
teorema.
Teorema 1.95. Sean X y Y espacios normados y sea T : X → Y un operador lineal. El operador
inverso T−1 : R(T )→ X existe y es contiuo si y sólo si T es acotado inferiormente.
Demostración.