Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

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B. Integrales triples
Cambios de coordenadas ciĺındricas y esféricas
Los dos cambios más comunes en el espacio son los cambios a coordenadas ciĺındricas y esféricas. Los recordaremos ahora,
definiendo las transformaciones asociadas.
En el marco de la integración de sólidos, necesitaremos además sus jacobianos. Como ocurre en el plano, estas transforma-
ciones pueden llegar a tener problemas de inyectividad o de anulación de sus jacobianos en una porción de su frontera, lo
que no altera la validez del Teorema de cambio de variables por ser conjuntos de medida nula.
• Coordenadas ciĺındricas
La transformación de cambio de variables ciĺındricas es (x, y, z) = T (r, θ, z) = (r cos θ, rsen θ, z), donde el par (r, θ)
corresponde a la descripción, en coordenadas polares, de las dos primeras coordenadas y la variable z permanece
independiente.
DT (r, θ, z) =
 cos θ −rsen θ 0sen θ r cos θ 0
0 0 1
 y su jacobiano es det(DT ) = r.
Al igual que con las coordenadas polares del plano, para r = 0 se pierde la inyectividad, ya que T (0, θ, z) = (0, 0, z)
para todo θ. Además, por ser el seno y el coseno funciones periódicas, habrá que restringir el dominio de θ.
De manera similar se pueden utilizar coordenadas ciĺındricas manteniendo libre la variable x (o y) y describiendo en
polares las otras dos.
Las coordenadas ciĺındricas son útiles cuando la región es proyectable sobre alguno de los planos coordenados y dicha
proyección se describe fácilmente en coordenadas polares. Hagamos algunos ejemplos para ver cómo se trabaja.
1. Supongamos que queremos calcular el volumen del sólido D interior al cilindro x2 + z2 = 1 limitado por los
paraboloides y = x2 + z2 y y = 9− x2 − z2.
Convendrá utilizar coordenadas ciĺındricas “de eje y”, es decir x = r cos θ, y = y, z = r sen θ. El jacobiano de la
transformación también es r (compruébenlo por lo menos esta vez).
Los paraboloides quedan expresados como y = r2 e y = 9 − r2, respectivamente, mientras que el cilindro es
simplemente r = 1. Luego, la región en las nuevas coordenadas es
D? =
{
(r, θ, y) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π; r2 ≤ y ≤ 9− r2
}
.
El volumen entonces estará dado por
V =
∫∫∫
D
dV =
∫∫∫
D?
r dydrdθ =
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ 9−r2
r2
r dydrdθ.
2. Quitemos ahora el cilindro y consideremos el sólido D interior a ambos paraboloides.
Los ĺımites para y siguen siendo los mismos: x2 + y2 ≤ y ≤ 9− x2 − y2. En cambio la proyección en el plano xz
ahora estará determinada por la región interior a la curva intersección entre las superficies: x2 + z2 = 9−x2− z2;
que en este caso es x2 + z2 = 9/2.
Usemos una vez más coordenadas ciĺındricas de eje y: x = r cos θ, y = y, z = rsen θ. La nueva región es
D? =
{
(r, θ, y) : 0 ≤ r ≤ 3/
√
2, 0 ≤ θ ≤ 2π; r2 ≤ y ≤ 9− r2
}
.
3. Calculemos la integral de f(x, y, z) = x en el sólido interior al cono z =
√
2x2 + (y − 2)2 que se encuentra debajo
del plano z = 2.
La intersección entre el cono y el plano determina una elipse (sobre el plano z = 2) de ecuación: 2x2+(y−2)2 = 4.
Parece conveniente utilizar coordenadas ciĺındricas adaptadas: pensemos por un momento en variables auxiliares
x′ =
√
2x e y′ = y − 2; la ecuación queda escrita como (x′)2 + (y′)2 = 4. Describimos en coordenadas polares a
las variables x′y′ y luego volvemos a las variables originales xy. Entonces la transformación T adopta la forma
x = 1√
2
r cos θ, y = 2 + rsen θ, z = z.
Comprueben que det(DT ) = 1√
2
r y que los ĺımites de las nuevas variables son r ≤ z ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ r ≤ 2.
La integral a calcular será∫∫∫
D
x dV =
∫∫∫
D?
1√
2
r cos θ
1√
2
r dzdrdθ =
1
2
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
r
r2 cos θ dzdrdθ.
4. En caso de duda, puede ser adecuado describir primero la variable libre, por ejemplo z, y la proyección en el plano
xy. De acuerdo a dicha proyección se decidirá qué tipo de coordenadas polares son las adecuadas.
Por ejemplo, supongamos que la región fuera el interior del paraboloide z = x2+y2 que se encuentra por debajo del
plano z+2y = 1 con x ≥ 0. Como es proyectable en el plano xy, consideramos en primer lugar x2+y2 ≤ z ≤ 1−2y.
Para encontrar la proyección, hagamos la intersección entre las superficies; es decir x2 +y2 = 1−2y. Completando
cuadrados, llegaremos a x2 + (y + 1)2 = 2.
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Entonces, parece adecuado utilizar polares adaptadas a la traslación, es decir x = r cos θ, y = −1 + rsen θ, z = z,
con jacobiano igual a r. Observen que la condición x ≥ 0 nos indica que los puntos están en el primer y cuarto
cuadrante; para describir el ángulo en forma continua elegimos −π/2 ≤ θ ≤ π/2; además claramente 0 ≤ r ≤
√
2 .
Para z, debemos escribir las superficies en términos de r y θ. El plano queda escrito como z = 3 − 2rsen θ
(compruébenlo); y una vez escritas las variables x e y de acuerdo a la transformación, la expresión x2 + y2 (= z)
queda como r2 − 2rsen θ + 1.
Entonces la nueva región es D? =
{
(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤
√
2, −π/2 ≤ θ ≤ π/2; r2 − 2rsen θ + 1 ≤ z ≤ 3− 2rsen θ
}
.
Finalmente, hay que analizar no solamente la región sino también el integrando; hay ocasiones en que es preferible
obtener un integrando manejable, aún a costa de que la región no quede tan bien descripta.
• Coordenadas esféricas
La transformación de cambio de variables esféricas, si P = (x, y, z) es un punto del espacio, es
(x, y, z) = T (ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θsenϕ, ρsen θsenϕ, ρ cosϕ), donde ρ representa el módulo del vector
−−→
OP , θ es el ángulo
correspondiente a la descripción en coordenadas polares de las dos primeras coordenadas, y ϕ es el ángulo que forma
el vector con el eje z.
DT (ρ, θ, ϕ) =
 cos θ senϕ −ρ sen θ senϕ ρ cos θ cosϕsen θ senϕ ρ cos θ senϕ ρ sen θ cosϕ
cosϕ 0 −ρ senϕ
 y su jacobiano es det(DT ) = −ρ2 senϕ.
Al igual que con las coordenadas polares del plano, para ρ = 0 se pierde la inyectividad, ya que T (0, θ, ϕ) = (0, 0, 0)
para todo θ, ϕ. También sabemos que, al ser el seno y el coseno funciones periódicas, habrá que restringir el dominio
de ambos ángulos. En general, se utiliza θ ∈ [0, 2π] y ϕ ∈ [0, π].
Las coordenadas esféricas son especialmente útiles en regiones limitadas por esferas concéntricas, sectores limitados por
ángulos fijos (como ”gajos de pelotas”), conos con vértice en el origen. Por ejemplo,
– esferas del tipo x2 + y2 + z2 = a2 (de radio a) en estas coordenadas simplemente son ρ = a
– conos de eje z: z = a
√
x2 + y2
Gráficamente vemos que un cono de eje z se caracteriza por el ángulo que determina con el eje z, que es la variable
ϕ. Veámoslo anaĺıticamnte:
Como x2 + y2 = ρ2 sen2ϕ y z = ρ cosϕ, la ecuación queda escrita como cosϕ = a senϕ, es decir tg(ϕ) = 1/a.
Por ejemplo, si a = 1 (cono recto) la ecuación es simplemente ϕ = π/4.
– un plano horizontal z = a, en coordenadas esféricas tiene la forma ρ cosϕ = a
Las coordenadas esféricas se pueden adaptar como lo hicimos con las coordenadas ciĺındricas para describir superficies
con centro en un punto P0 diferente del origen de coordenadas (traslaciones), para describir elipsoides (dilataciones) o
para describir superficies de eje x o de eje y. Sin embargo, si las regiones contienen otro tipo de superficies, suele ser
recomendable utilizar coordenadas ciĺındricas.
Veamos algunos ejemplos.
1. Comencemos calculando el volumen de una esfera de radio a.
La región que la define en coordenadas esféricas es: D? = {(ρ, θ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ a; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ ϕ ≤ π}. El
volumen entonces es
V =
∫∫∫
D
dV =
∫∫∫
D?
ρ2|senϕ |dρ dϕdθ =
∫ 2π
0
∫ π
0
∫ a
0
ρ2senϕdρ dϕdθ = 2π
a3
3
2 =
4
3
πa3
2. El volumen del sólido determinado por el interior del cono z2 = 3(x2 + y2) con z ≥ 0, limitado por la esfera
x2 + y2 + z2 = 16.
El cono queda descripto como tgϕ = 1/
√
3, es decir ϕ = π/6 y la esfera como ρ = 4. Entonces la región en
coordenadas esféricas es D? = {(ρ, θ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ 4; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ ϕ ≤ π/6} y su volumen se calcula como
V =
∫∫∫
D
dV =
∫ 2π
0
∫ π/6
0
∫ 4
0
ρ2senϕdρ dϕdθ.
Completen el cálculo.
3. Calculemos el volumen del sólido interior a laesfera x2 + y2 + z2 = 36 que se encuentra por encima del plano
z = 3.
En primer lugar, θ realiza un giro completo, de modo que 0 ≤ θ ≤ 2π.
En segundo lugar, observemos que ρ, que mide la distancia al origen de coordenadas, inicia su movimiento en el
plano y lo termina en la esfera. Entonces 3cosϕ ≤ ρ ≤ 6.
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Por último, para determinar el movimiento de ϕ, consideremos la intersección entre ambas superficies. Los puntos
verifican ρ = 6 (por pertenecer a la esfera) y z = 3. Luego, cosϕ = 3/6 = 1/2, y por lo tanto ϕ = π/3.
La región en coordenadas esféricas es D? =
{
(ρ, θ, ϕ) : 3cosϕ ≤ ρ ≤ 6; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ ϕ ≤ π/3
}
y su volumen se
calcula como
V =
∫∫∫
D
dV =
∫ 2π
0
∫ π/3
0
∫ 6
3
cosϕ
ρ2senϕdρ dϕdθ.
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Ejercitación adicional: Integrales triples por cambio de variables
1. Completar los cálculos de los diferentes ejemplos. Plantear por coordenadas ciĺıindricas las integrales planteadas en los
ejemplos de coordenadas esféricas y analizar cuál es más conveniente en cada caso.
2. Calcular el volumen del sólido formado por los puntos interiores al cilindro x2 + y2 = 2x que están situados sobre el
plano z = 0 y bajo el paraboloide z = x2 + y2.
3. Calcular la integral triple de la función f(x, y, z) = xyz sobre el sólido formado por los puntos exteriores al cono
z2 = x2 + y2 e interiores al cilindro x2 + y2 = 1.
4. Calcular la integral triple de la función f(x, y, z) = e(x
2+y2+z2)3/2 sobre la bola unitaria.
5. Desaf́ıo: Hallar el volumen del sólido encerrado entre los dos cilindros x2 + y2 = a2 y x2 + z2 = a2 (en el sistema de
coordenadas que les resulte adecuado).
Para entregar
Elegir dos ejercicios de integrales dobles y dos de integrales triples.
En cada caso, una de las integrales debe ser resuelta por cambio de variables.
Indicar cuál es la transformación usada, su dominio e imagen, y el valor de su
jacobiano.
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