Problemas de calculo vectorial-47

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4.3 Cambios de variable 139
631 Calcular el valor de la integral:
I =
∫
D
1
x2 + y2 + z2
dV
donde D es el recinto limitado por las desigualdades:
x2 + y2 + z2 ≤ z + y, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Solución 631:
Nótese cómo la desigualdad x2 + y2 + z2 ≤ y + z se puede reescribir
completando cuadrados como
x2 +
(
y − 1
2
)2
+
(
z − 1
2
)2
≤ 1
2
.
En consecuencia, vemos claramente que la región de integración D
corresponde a la intersección de la esfera sólida centrada en (0, 12 ,
1
2 )
con radio
√
2
2 con el primer octante x, y, z ≥ 0.
−0.5
0
0.5 0
0.5
10
0.5
1
Figura 43: Ejercicio 631: esfera desplazada en el primer octante
El boceto de esta región (Figura 43) nos permite ver que al cambiar a
coordenadas esféricas los ángulos θ y φ deben moverse en el rango (0, π2 )
mientras que el radio ρ debe limitarse precisamente por la ecuación
de la cáscara de la esfera anterior. La ecuación x2 + y2 + z2 = y + z
en coordenadas esféricas es ρ = sen θ senφ + cosφ. En consecuencia la
región de integración D en coordenadas esféricas es
0 ≤ θ ≤ π
2
, 0 ≤ φ ≤ π
2
, 0 ≤ ρ ≤ sen θ senφ+ cosφ,
140 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple140 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple140 Capı́tulo 4 Funciones de varias variables: Integración Múltiple
y la integral solicitada será∫ π
2
0
∫ π
2
0
∫ sen θ senφ+cosφ
0
1
ρ2
ρ2 senφdρ dφ dθ.
La integración respecto a ρ conduce a∫ π
2
0
∫ π
2
0
(
sen θ sen2 φ+ senφ cosφ
)
dφ dθ.
Mediante las fórmulas del ángulo doble
sen2 φ =
1− cos(2φ)
2
, senφ cosφ =
sen(2φ)
2
,
las integraciones anteriores son inmediatas. Después de unos cuantos
cálculos cuidadosos se obtiene el valor final de la integral π2 .
632 Encontrar el volumen encerrado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = 1 y
x2 + (y − 1)2 + z2 = 1.
Solución 632:
La región cuyo volumen se solicita es la intersección de las esferas de
radio unitario centradas en el origen y el punto (0, 1, 0), respectivamente.
Si tenemos en cuenta que el corte de tales esferas tiene lugar en el plano
y = 12 y su proyección sobre el plano XZ tiene por ecuación x
2 +z2 = 34 ,
debido a la simetŕıa, el volumen que buscamos será el doble del volumen
del casquete
x2 + y2 + z2 ≤ 1, 1
2
≤ y ≤ 1.
Debido de nuevo a la simetŕıa, y por comodidad, podemos cambiar el
nombre de las variables y calcular el volumen del casquete
x2 + y2 + z2 ≤ 1, 1
2
≤ z ≤ 1.
En coordenadas ciĺındricas, este volumen se calcula cómodamente∫ 2π
0
∫ √3
2
0
∫ √1−r2
1
2
r dz dr dθ.
Las primitivas involucradas son inmediatas mediante cambios de varia-
ble apropiados. El valor final del volumen es 5π12 .
633 Encontrar el volumen de la región del primer octante limitada por la esfera
ρ = α, el cilindro r = α y el plano z = α.
4.3 Cambios de variable 141
634 Calcular la integral ∫∫∫
V
z dx dy dz
donde V es el volumen del sólido limitado por la superficie de ecuación(
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
)2
=
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
.
que queda encima del plano XY .
Solución 634:
La forma de la ecuación de la superficie proporcionada sugiere el cambio
de coordenadas esféricas modificado por los factores a, b y c, del siguiente
modo
x = aρ cos θ senφ, y = bρ sen θ senφ, z = cρ cosφ.
De esta manera, la superficie se convierte, después de algunas simplifi-
caciones, en
ρ2 = − cos(2φ).
Esta ecuación nos obliga a tomar el ángulo φ entre los ĺımites π4 y
3π
4
que es el rango en que cos(2φ) es negativo, pero puesto que nos referimos
sólo a la parte que queda encima del plano XY , los ĺımites han de ser
π
4 y
π
2 .
Nótese que ahora el jacobiano del cambio es el de las coordenadas
esféricas ρ2 senφ modificado por el factor abc. La integral que debemos
calcular es∫ 2π
0
∫ π
2
π
4
∫ √− cos(2φ)
0
abcρ3 senφ cosφdρ dφ dθ = abc
π
24
.
� Calcular el volumen determinado por la expresiones siguientes:
635 z =
√
x2 + y2 y z = 1− 2
√
x2 + y2.
636 x2 + 2(y2 + z2) ≤ 10 y z2 + y2 ≤ 1.
637 x2 + y2 ≤ 1 y x2 + y2 + z2 = 4.
638 x2 + y2 ≤ 15z2 y 0 ≤ z ≤ 5 +
√
5− x2 − y2.
639 x2 + y2 + z2 = 1 y 2x2 ≥ z2 + y2.
640 y2 + 4z2 = 4, x = 0 y x = y + 2.
Solución: