Análisis Matemático II - Integrales sobre Superfícies

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2019
Práctica 10 - Integrales sobre superficies. Flujos
A. Superficies en el espacio
1. Identificar las siguientes superficies y encontrar un vector unitario normal a la superficie en los puntos en que exista.
(a) x = cosu, y = senu, z = v con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1
(b) x = v cosu, y = vsenu, z = v con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1
(c) x = v cosu, y = vsenu, z = v2 con 0 ≤ u ≤ 2π, 0 < v ≤ 1
2. La siguiente es una parametrización del hiperboloide de una hoja, x = a cosu cosh v −π < u ≤ πy = bsenu cosh v v ∈ R
z = csenhv a, b, c ∈ R son constantes
(a) Encontrar una ecuación cartesiana que describa esta superficie.
(b) Esbozar su gráfico.
3. Parametrizar las porciones de superficies indicadas.
(a) La porción del primer octante de la esfera centrada en el origen de radio 3.
(b) El triángulo de vértices (0, 0, 3/2), (0, 3/2, 0) y (1, 0, 0).
(c) La porción del plano 3x+ 2y + 2z = 3 en el interior del cilindro x2 + y2 = 4.
(d) La porción del paraboloide z = 4− x2 − y2 interior al cilindro x2 + y2 = 4.
(e) La porción del cilindro x2 + y2 = 5 comprendido entre los planos z = x y z = x+ 4.
4. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen, hallar la ecuación para el plano tangente a la esfera en el punto(
1, 1,
√
2
)
considerando la parametrización dada por Φ (θ, φ) = (2 cos θ senφ, 2 sen θ senφ, 2 cosφ), con θ ∈ [0, 2π] y
φ ∈ [0, π].
B. Integrales de superficie de funciones escalares
1. Calcular el área de la porción de superficie de la esfera unitaria contenida dentro de,
(a) El cono x2 + y2 = z2 para z ≥ 0 (b) El cilindro x2 + y2 = 1
2
2. Evaluar en cada caso
∫∫
S
f (x, y, z) dS.
(a) f (x, y, z) = z y S es la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 9.
(b) f (x, y, z) =
√
1 + 4x2 + 4y2 y S es la porción del paraboloide z = 4− x2 − y2 sobre el rectángulo [0, 2]× [−1, 3].
(c) f (x, y, z) = −xyz y S está formada por las cuatro caras del tetraedro delimitado por z = 0, y = 0, x = 0 y
x+ y + z = 1.
3. Una superficie S tiene la forma de una porción de cilindro parabólico z = 4−x2 como se muestra en la figura. Calcular
su masa considerando que la densidad en cada punto está dada por ρ (x, y, z) =
z + x2√
4x2 + 1
.
1
C. Integrales de superficie de campos vectoriales
1. Sea
−→
F (x, y, z) = x
−→
i + xy
−→
j + (z + 1)
−→
k . Calcular
∫∫
S
−→
F · d
−→
S en cada caso.
(a) S es la superficie del ejercicio A.3c orientada con el normal hacia abajo.
(b) S es la superficie del ejercicio B.2b orientada con el normal exterior.
(c) S es la porción del plano x+ y = 1 en el interior del cilindro y2 + z2 = 1 orientada con el normal apuntando hacia
el origen.
2. Sea S la superficie determinada por la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1 con z ≥ 0 y su base x2 + y2 ≤ 1 con z = 0. Calcular
el flujo saliente del campo
−→
E (x, y, z) = (2x, 2y, 2) a través de S.
3. Sea
−→
F (x, y, z) =
√
y
−→
j (medido en metros por segundo) el campo de velocidades de un flúıdo. Calcular cuántos metros
cúbicos de flúıdo atraviesan por segundo la superficie x2 + z2 = y con 0 ≤ y ≤ 1, en la dirección en que y crece.
4. Sin hacer cuentas indicar en cada caso si el flujo
∫∫
S
−→
F · d
−→
S es nulo o no.
5. Chequear las respuestas anteriores haciendo las cuentas según el siguiente detalle,
(a)
−→
F (x, y, z) =
−→
j + 2
−→
k a través de la esfera x2 + y2 + z2 = 1.
(b)
−→
G (x, y, z) = y
−→
k a través del rectángulo z = 0, 1 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1.
(c)
−→
H (x, y, z) = (−x,−y,−z) a través del cilindro y2 + z2 = 1 con −2 ≤ x ≤ 2.
(d)
−→
L (x, y, z) = (y,−x, 0) a través del cono x2 + y2 = z2 con −2 ≤ z ≤ 2.
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En ”Comentarios y ejemplos - Páctica 10” encontrarán ejercitación adicional.
2
ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2018
Comentarios y ejemplos - Práctica 10
A. Parametrizaciones de superficies
El concepto de parametrización de una superficie es análogo al de parametrización de una curva; y de la misma manera que
distinguimos entre curva parametrizada y su imagen, también en este caso es importante la distinción entre la aplicación
(que define la parametrización) y su imagen (que es la superficie como objeto geométrico de R3). Recordemos la definición
de superficie parametrizada y algunas de sus propiedades.
Una parametrización Φ(u, v) de una superficie en R3 es una función Φ : D → R3, donde D es un dominio
de R2.
La imagen (en R3) de la parametrización es una superficie S = Φ(D).
Si Φ es diferenciable (o de clase C1) en D diremos que la superficie S es diferenciable (o de clase C1).
Cuando Φ es diferenciable en (u0, v0), los vectores Tu(u0, v0) =
∂Φ
∂u
(u0, v0) y Tv(u0, v0) =
∂Φ
∂v
(u0, v0) son
tangentes a la superficie S en el punto Φ(u0, v0).
Cuando el producto vectorial Tu(u0, v0) × Tv(u0, v0) 6= 0 se dice que la superficie es suave o regular
en Φ(u0, v0). A este vector (que es normal a la superficie S), lo llamaremos el normal asociado a la
parametrización Φ.
Cuando Φ es regular en todo su dominio, diremos simplemente que la superficie es regular.
Hagamos algunas observaciones y ejemplos.
1. Muchas parametrizaciones pueden tener la misma superficie imagen. Por esa razón, la suavidad de una superficie estará
garantizada por la existencia de al menos una parametrización suave.
Por ejemplo: El trozo de paraboloide z = x2 + y2 + 2 limitado por el plano z = 6 puede ser pensada como la imagen
de las siguientes parametrizaciones:
- Φ1(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, r
2 + 2), con D = [0, 2]× [0, 2π].
- Φ2(x, y) = (x, y, x
2 + y2 + 2), con D =
{
(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 4
}
.
Ambas parametrizaciones son de clase C1(al menos).
Calculemos los normales a cada parametrización (si es que existen).
- Φ1 r = (cos θ, sen θ, 2r), Φ1 θ = (−r sen θ, r cos θ, 0); Tr(r0, θ0)×Tθ(r0, θ0) = (−2r2 cos θ,−2r2 sen θ, r).
Como Tr × Tθ = 0 solamente si r = 0, podemos decir que Φ describe una superficie S regular salvo en (0, 0, 2)
(correspondiente a Φ1(0, θ)). En el origen no podemos describir un plano tangente asociado a esta parametrización.
- Φ2 x = (1, 0, 2x), Φ2 y = (0, 1, 2y); Tx(x0, y0)×Ty(x0, y0) = (−2x,−2y, 1) 6= 0 para todo (x, y).
Es decir que Φ2 describe una superficie S que resulta regular en todos los puntos. En particular, podemos construir
el plano tangente en (0, 0, 2) (correspondiente a Φ2(0, 0)). Como N(0, 0) = (0, 0, 1), la ecuación del plano tangente
es z − 2 = 0.
Con la segunda parametrización pudimos mostrar la suavidad del paraboloide en todos sus puntos; lo que corrobora
el comentario del comienzo: cuando hablemos de una “superficie regular”, nos referiremos a que posee al menos una
parametrización regular.
2. Si bien los parámetros suelen ser variables nuevas, hay casos en los que son dos de las variables cartesianas:
- toda función z = f(x, y) permite parametrizar la gráfica de la función con parámetros x e y, es decir
Φ(x, y) = (x, y, f(x, y)), con (x, y) ∈ Dom(f). Por ejemplo,
• f(x, y) = x − 2y, cuya gráfica es un plano, puede parametrizarse como Φ(x, y) = (x, y, x − 2y), con x e y
números reales.
• el casquete superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 puede parametrizarse como Φ(x, y) = (x, y,
√
x2 + y2), con
0 ≤ x2 + y2 ≤ 4.
• por supuesto, también se puede tener x = f(y, z) o bien y = f(x, z). Por ejemplo, la porción del cono de eje y
de ecuación y2 = x2+2z2 limitado entre y = 1 e y = 2 puede parametrizarse como Φ(x, z) = (x,
√
x2 + 2z2, z),
con 1 ≤ x2 + 2z2 ≤ 4.
1
- en el contexto de funciones impĺıcitas. Por ejemplo,
puede mostrarse fácilmente que la relación y4 + z4 − (y + z)2 + 2x3 + x = 2 permite encontrar (idealmente) una
parametrización local de la superficie dada como Φ(y, z) = (x(y, z), y, z) en un entorno de cualquier punto (y0, z0).
3. Un beneficio de utilizar coordenadas cartesianas es la forma que adopta el vector normal asociado a la parametrización:
por ejemplo, si z = f(x, y), tenemos Tx = (1, 0, fx), Ty = (0, 1, fy), y, por lo tanto, N = (−fx(x, y),−fy(x, y), 1).
Observemos que si escribimos z − f(x,y) = 0, la expresión del normal asociado a la parametrización cartesiana es el
mismo que obtenemos derivando la función de tres variables G(x, y, z) = z − f(x, y).
4. Los cambios de coordenadas estudiados en el espacio se pueden aprovechar para obtener parametrizaciones de superficies
que mantienen fija alguna de las variables. Por ejemplo,
el casquete superior de la esfera de radio 2 puede parametrizarse como Φ(θ, ϕ) = (2 cos θ senϕ, 2 sen θ senϕ, 2 cosϕ),
con (θ, ϕ) ∈ [0, 2π]× [0, π/2] (esféricas, ρ fija)
la porción del cilindro x2 + y2 = 9, con z entre −1 y 2 puede parametrizarse como Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z)),
con (θ, z) ∈ [0, 2π]× [−1, 2] (ciĺındricas, r fija).
5. Observación importante: Al parametrizar una superficie dada S, salvo indicación contraria siempre supondremos Φ
inyectiva, salvo eventualmente en el borde de la parametrización. Esto es a los efectos de no “superponer”la imagen
obtenida.
En el último ejemplo, al tomar Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z)), con (θ, z) ∈ [0, 4π]× [−1, 2], obtendremos como imagen a
la misma porción de cilindro, pero cada punto se toma dos veces.
6. Puede ser conveniente parametrizar la superficie dada mediante variables cartesianas, y posteriormente, si es necesa-
rio (por ejemplo para integrar), utiizar algún cambio de coordenadas para describir la región correspondiente a los
parámetros. Por ejemplo,
la porción del plano 2x+ 2y + z = 4 interior al paraboloide z = x2 + y2 puede parametrizarse en variables cartesianas
como Φ(x, y) = (x, y, 4−2x−2y). Los ĺımites para los parámetros se encuentran haciendo la intersección entre el plano
y el paraboloide: 4− 2x− 2y = x2 + y2, es decir (x+ 1)2 + (y + 1)2 = 2.
Entonces el dominio de la parametrización está dado por D = {(x, y) : 0 ≤ (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2}.
Además, ya sea calculando el producto vectorial entre Tx = (1, 0,−2) y Ty = (0, 1,−2), o bien escribiendo z − 4 +
2x+ 2y = 0, el normal asociado a la parametrización es N = (2, 2, 1).
Posteriormente, en caso de ser necesario, se puede utilizar un cambio de coordenadas en la región D para describirla
de modo más simple; por ejemplo en coordenadas polares trasladadas. Volveremos sobre este ejemplo en la siguiente
sección.
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Ejercitación adicional: Parametrización de superficies
1. Hallar la ecuación cartesiana de las siguientes superficies y graficarlas.
(a) Φ(u, v) = (u, v, v/2); en R× R y en [0, 2]× [0, 4]
(b) Φ(θ, v) = (2 cos θ, v, 2 sen θ); en [0, 2π]× [0, 2] y en [0, π/2]× [0, 4]
(c) Φ(θ, v) = (v2, v cos θ, v sen θ)
2. Encontrar parametrizaciones cuyas imágenes sean las siguientes superficies. Indicar el dominio de parametrización.
(a) el plano x = y;
(b) la porción del plano anterior limitada por el cilindro x2 + z2 = 4
(c) el cilindro y2 + 4z2 = 4 que se encuentra en el primer octante limitado por x = 16− y2 − z2.
3. Para las parametrizaciones anteriores, indicar si son suaves y calcular el vector normal asociado en los puntos en los
que existe.
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2
B. Integrales de superficies de funciones escalares
Consideremos una superficie S que admite una parametrización Φ sobre un dominio D tal que
Φ es C1 e inyectiva, salvo posiblemente en la frontera de D
la imagen de Φ es suave, salvo posiblemente en un número finito de puntos.
Sea f una función continua definida sobre S. La integral de f sobre la superficie S se defne como∫∫
S
f dS =
∫∫
D
f(Φ(u, v))‖N‖du dv =
∫∫
D
f(Φ(u, v))‖Tu ×Tv‖du dv
Observaciones
1. Una vez hallada la parametrización, el dominio y el normal asociado, la integral de superficie se convierte en una
integral doble que se calcula con las técnicas ya estudiadas. En particular, puede necesitarse una transformación de
cambio de coordenadas. No olvidar, en ese caso, el jacobiano correspondiente.
De modo alternativo, se podŕıa plantear desde el comienzo una parametrización de la superficie que tenga en cuenta
ese cambio; por ejemplo, plantear una parametrización utilizando coordenadas ciĺındricas o esféricas.
Cuando la superficie es la gráfica de una función, suele ser más directo plantear la parametrización en cartesianas, ya
que el dominio es la proyección sobre el plano de las variables y el normal es muy simple de calcular, y luego, si la
región o el integrando lo necesitan, plantear un cambio de variables.
2. Podemos definir la integral de f sobre una superficie que sea unión finita de superficies como las definidas (en el
recuadro anterior) y que no se intersecan más que a lo largo de curvas que definen sus fronteras. Simplemente se suman
las integrales sobre cada superficie.
Por ejemplo, la integral de una función sobre la superficie de un cubo se calcula como la suma de las integrales sobre
todas sus caras.
Ejemplos:
Sea la porción del cilindro parametrizado como Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z)), con D = [0, 2π] × [−1, 2] (presentado en
la observación 4 de la Sección A) y la función f(x, y, z) = x+ z.
Tθ = (−3 sen θ, cos θ, 0); Tz = (0, 0, 1). El normal asociado a la parametrización es N = (3 cos θ, 3 sen θ, 0) 6= 0 para
todo (θ, z). Es decir, la parametrización es suave.
Vemos además que Φ es inyectiva salvo en los puntos (0, z) y (2π, z), que se corresponden con dos segmentos de la
frontera de D. Como f es continua en D, se cumplen todos los requisitos para poder calcular:∫∫
S
f dS =
∫∫
D
f(Φ(θ, z))‖N‖dθ dz =
∫∫
D
(3 cos θ + z)3 dθ dz
Calculemos el área de la porción del plano 2x+2y−z = 4 interior al paraboloide z = x2+y2 (último ejemplo mencionado
en la Sección A). Su parametrización en cartesianas es Φ(x, y) = (x, y, 4− 2x− 2y), el dominio de la parametrización
está dado por D = {(x, y) : 0 ≤ (x + 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2}, y el normal asociado a la parametrización tiene módulo:
‖N‖ = ‖(2, 2, 1)‖ = 3.
El área entonces se puede calcular como
área de S =
∫∫
S
1 dS =
∫∫
D
‖N‖dx dy =
∫∫
D
3 dx dy.
Para completar el cálculo de la integral doble, conviene proponer el cambio de variables dado por las coordenadas
polares modificadas x = −1 + r cos θ; y = −1 + sen θ, cuyo jacobiano es r. De modo que
área de S =
∫ 2π
0
∫ 2
0
3r dr dθ = 12π.
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3
C. Integrales de superficies de campos vectoriales (flujos)
También consideraremos integrales de superficie para campos vectoriales. Aśı como las integrales de ĺınea pueden interpretarse
como la integral de trayectoria de la componente tangencial del campo, las integrales de superficie de campos se definen como
la integral de superficie de la componente normal del campo vectorial.
Para que esta operación tenga sentido, la superficie S tiene que cumplir con la propiedad de poder elegir de modo continuo
el vector normal (asociado a la parametrización Φ considerada). Estas superficies se llaman orientables.
Se dice que una superficie S es orientable cuando es posible definir un campo vectorial continuo sobre S que a
cada punto de S asigne uno de los vectores unitarios normales en dicho punto.
Cuando dicho campo vectorial existe se lo llama una orientación de S.
Consideremos una superficie S orientable que admite una parametrización Φ sobre un dominio D que es suave e inyectiva
(salvo posiblemente sobre curvas de la frontera de D). El normal asociado a la parametrización determina una de las dos
posibles orientaciones de la superficie.
Recordemos ahora la definición de la integral de superficie de un campo vectorial
Consideremos una superficie S orientable que admite una parametrización Φ sobre un dominio D tal que
Φ es C1 e inyectiva, salvo posiblemente en la frontera de D
la imagen de Φ es suave, salvo posiblemente en un número finito de puntos.
Sea ~F un campo vectorial continuo definida sobre S. La integral de ~F sobre la superficie S se defne como∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
D
~F (Φ(u, v)) ·N du dv =
∫∫
D
~F (Φ(u, v)) · (Tu ×Tv) du dv
Observaciones y ejemplos
1. El signo de la integral de superficie de un campo vectorial depende de la orientación de lasuperficie, es decir, del normal
elegido para el cálculo.
Dada una parametrización Φ(u, v), si intercambiáramos el orden de los parámetros y consideráramos Ξ(v, u) = Φ(u, v),
el normal asociado cambiará de sentido (ya que en el producto vectorial se intercambian las dos filas). Obtendŕıamos
aśı la otra orientación posible de la superficie y, en particular, el cálculo de la integral de superficie cambiará de signo.
Por eso, una vez construida la parametrización y calculado el normal N asociado, si éste no tiene la orientación
adecuada, en lugar de cambiar la parametrización simplemente se toma −N para el cálculo.
Por ejemplo:
Consideremos la porción del cilindro parametrizado como Φ(θ, z) = (3 cos θ, 3 sen θ, z), con D = [0, 2π] × [−1, 2]
(del primer ejemplo de la sección B) con normal apuntando hacia afuera de la superficie y el campo ~F (x, y, z) =
(x,−y, z).
El cilindro es una superficie orientable. Hab́ıamos obtenido que N = (3 cos θ, 3 sen θ, 0). Este normal apunta hacia
afuera del cilindro (por ser continuo, basta comprobarlo en un solo punto); por ejemplo, N(0, 1) = (3, 0, 0) es el
normal correspondiente a Φ(0, 1) = (3, 0, 1) y claramente apunta hacia afuera de la superficie.
~F (Φ(θ, z)) ·N = (3 cos θ,−3 sen θ, z) · (3 cos θ, 3 sen θ, 0) = 9 cos2 θ − 9 sen2θ = 9 cos(2θ).
Luego ∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
D
~F (Φ(u, v)) ·N du dv =
∫ 2
−1
∫ 2π
0
9 cos(2θ) dθ dz.
Sea ~F (x, y, z) = zĭ+ 5xyj̆− 16k̆ (medido en metros por segundo) el campo de velocidades de un fluido. Queremos
calcular cuántos metros cúbicos de fluido atraviesan por segundo la superficie dada por la porción del plano S
de ecuación 2x + 2y − z = 4 interior al paraboloide z = x2 + y2 en la dirección que apunta hacia el origen de
coordenadas.
El plano es una superficie orientable. En el segundo ejemplo mencionado en la Sección B, propusimos la para-
metrización Φ(x, y) = (x, y, 4 − 2x − 2y), con dominio en D =
{
(x, y) : 0 ≤ (x+ 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2
}
, y normal
(constante) asociado: N = (2, 2, 1).
Ubicados sobre cualquier punto del plano, es claro que el normal no apunta hacia (0, 0, 0). A los efectos de calcular
el flujo, deberemos tomar Ñ = −N = (−2,−2,−1).
4
~F (Φ(x, y)) · Ñ = (4− 2x− 2y, 5xy,−16) · (−2,−2,−1) = −8 + 4x+ 4y − 10xy + 16 = 8 + 4x+ 4y − 10xy.
Luego ∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
D
(8 + 4x+ 4y − 10xy) dx dy.
Dado que la región D es un disco desplazado, aprovechemos el cambio de variables que propusimos en la sección
anterior. La integral a calcular será (escribiendo 8 + 4x+ 4y = 4(x+ 1) + 4(y + 1))∫∫
S
~F · d~S =
∫ 2π
0
∫ 2
0
(
4r cos θ + 4r sen θ − 10(−1 + r cos θ)(−1 + r sen θ)
)
r dr dθ.
2. Con frecuencia es preciso calcular integrales sobre superficies que tienen aristas y no son suaves ni orientables en el
sentido que acabamos de definir pero que son suaves y orientables a trozos esto es, que se obtienen “pegando” varias
superficies suaves y orientables; por ejemplo, la superficie formada por las caras de un poliedro. En tal caso, la integral
de un campo vectorial sobre una superficie suave y orientable a trozos se define como la suma de las integrales sobre
cada una de las superficies suaves y orientables que la forman.
3. Para una superficie cerrada, esto es una superficie que es la frontera de un dominio acotado en R3, se llama orientación
positiva a aquella en la que el vector normal apunta siempre hacia el exterior de la superficie.
Cuando la superficie no es cerrada, es necesario aclarar cuál de las dos orientaciones del normal es la adecuada al
problema.
Aclaración
Cuando nos referimos a la frontera (o el borde) de cierta superficie S no estamos hablando del aspecto topológico
(puntos tales que todo entorno contiene puntos del conjunto y de su complemento), ya que en ese caso toda la
superficie formaŕıa parte de la frontera.
Por ejemplo, consideremos la superficie S dada por el paraboloide z = 9−x2−y2 limitado por z = 2. La frontera
(o borde) de S es la circunferencia ∂S =
{
(x, y, z) : x2 + y2 = 7; z = 2
}
.
Para comprender por qué los llamamos de la misma forma, consideremos una superficie S parametrizada mediante la apli-
cación Φ con dominio D ⊂ R2. Entonces, la frontera de la superficie es la imagen de la frontera (topológica) de D.
En el ejemplo anterior, Φ(x, y) = (x, y, 9− x2 − y2) con dominio D =
{
(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 7
}
.
La frontera (topológica) de D es el conjunto fr(D) =
{
(x, y) : x2 + y2 = 7
}
.
Calculemos la imagen de fr(D): si (x, y) ∈ fr(D), entonces x2 + y2 = 7.
Φ(x, y) = (x, y, 9 − x2 − y2) = (x, y, 9 − 7) = (x, y, 2). Pero entonces se cumple que x2 + y2 = 7 y que z = 2, es decir,
Φ(x, y) ∈ ∂S.
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Ejercitación adicional
1. (a) Calcular el área del cilindro x2 + y2 = 2y que se encuentra limitado por z = 0 y el plano y + z = 2.
(b) Calcular el área del plano y + z = 2 interior al cilindro x2 + y2 = 2y.
2. Calcular el flujo del campo ~B(x, y, z) = − y
x2 + y2
ĭ+
x
x2 + y2
j̆ a través de las siguientes superficies:
(a) el cuadrado S que une los puntos (1, 0, 0), (3, 0, 0), ,(1, 0, 2), y (3, 0, 2), cuyo normal apunta al primer octante.
(b) la porción del plano z = 0 encerrada por el paraboloide z + 4 = x2 + 2y2.
(c) cualquier superficie contenida en el plano z = 0.
3. Sea S la parte del cono z2 = x2 + y2 con z entre −2 y −1 orientada con la normal apuntando hacia afuera del cono.
Calcular
∫∫
S
~F · d~S con ~F (x, y, z) = (x2, y2, z2)
5