Resolução de Sistemas Lineares

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 Sistemas de ecuaciones lineales. 
 
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, es el ejemplo de lo que atañe al Álgebra Lineal. Para resaltar 
la importancia de esta parte del capítulo, citaremos a un matemático argentino. 
(Enzo Gentile, 1981 “…está bien claro que la matemática de las aplicaciones es fundamentalmente el Álgebra 
lineal, la resolución de sistemas lineales,…Sin hablar de la importancia misma dentro de la matemática 
pura…. Todo es Álgebra líneal, en definitiva… 
Un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es lineal cuando puede llevarse a forma: 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 +
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + …… +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
Donde: 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 son las indeterminadas que representan a las incógnitas del sistema. 
𝑎11 , 𝑎12, . , 𝑎𝑚𝑛 son números reales que representan los coeficientes del sistema y 
𝑏1, 𝑏2, … . . , 𝑏𝑚 también son números reales y se llaman términos independientes del sistema. 
Por ejemplo, un sistema de 2x2, es decir de dos ecuaciones y dos incógnitas es:{
3𝑥 − 2𝑦 = 0
5𝑥 + 𝑦 = 3
 
 o el de 2x3, es decir de dos ecuaciones y tres incógnitas: {
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 3
 
En el primer sistema, se han llamado a las incógnitas x e y porque el sistema puede estar representando la 
búsqueda de la intersección entre dos rectas del plano y el otro, x,y,z por la intersección de dos planos en el 
espacio. 
 
 
 
 
 
También suele considerarse a una solución de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas: 𝑥1
∗, 𝑥2
∗, … . 𝑥𝑛
∗ como 
una n-upla: (𝒙𝟏
∗ , 𝒙𝟐
∗ ,… . , 𝒙𝒏
∗ ). Así una solución del primer sistema sería una 2-upla (o par ordenado) (𝑥∗, 𝑦∗) y 
una solución del segundo sistema una 3-upla (𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗). 
Si pensamos la solución del primer sistema, como la intersección de dos rectas del plano, sabemos que pueden 
ocurrir tres situaciones. 
- La primera, que las rectas se corten en un único punto, en ese caso el sistema tendría una única 
solución. 
- La segunda, que las rectas sean coincidentes y en ese caso la solución serían los infinitos puntos de 
la recta. 
Solucionar un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es 
hallar n números reales 𝒙𝟏
∗ , 𝒙𝟐
∗ , … . 𝒙𝒏
∗ tales que, al 
sustituirlos en el sistema por cada una de las incógnitas 
correspondientes, hace que se verifiquen cada una de las 
igualdades numéricas que representan las ecuaciones. 
 
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- La tercera, que las rectas sean paralelas y en este caso no habría ningún punto del plano en la 
intersección, es decir que el sistema no tendría solución. 
Usando el estudio de las matrices de la primera parte de este capítulo, desarrollaremos un método eficiente 
para resolver sistemas de ecuaciones lineales, conocido como: Método de eliminación de Gauss. 
Algo que va a ser de mucha ayuda es recordar un método sencillo para resolver sistemas de dos ecuaciones y 
dos incógnitas. El método de sumas y restas. O método de eliminación. 
Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. 
{
2𝑥 + 5𝑦 = 1
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 
 Si lo resolvemos, la única solución, en este caso es un valor para x y otro para y. Esos valores son 
𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1. Podemos verificar que es solución. 
En la primera ecuación, reemplazamos las indeterminadas x e y por 3 y -1 respectivamente y se obtiene: 
2.3+5.(-1)=6-5=1, cumple. 
Y en la segunda ecuación: 3.3+2.(-1)=9-2=7, también cumple. 
 
Haremos tres observaciones muy importantes para nuestro propósito de resolver sistemas lineales de m 
ecuaciones y n incógnitas. Pretendemos estudiar el método de resolución de sistemas lineales que 
mencionamos anteriormente. 
 
OBSERVACIÓN 1: Si multiplicamos por un número real no nulo una ecuación, al reemplazarla por la 
original, el sistema que se obtiene tiene la misma solución que el sistema dado. 
¿Porqué ocurrirá esto? 
Por ejemplo, si elegimos multiplicar por 4 a la primera ecuación del sistema del ejemplo, sabemos que la 
igualdad numérica se mantiene: por la propiedad de monotonía del producto 4. ( 2𝑥 + 5𝑦) = 4. 1 
Tenemos una nueva ecuación, 8𝑥 + 20𝑦 = 4. Reemplazando las incógnitas por 𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1 se obtiene una 
igualdad numérica 8.3+20.(-1) = 4, es decir que siguen siendo solución de la nueva ecuación. 
OBSERVACIÓN 2: Si le sumamos a una ecuación de un sistema dado otra ecuación, se obtiene una nueva, 
que al reemplazarla por la original, el nuevo sistema tiene las mismas soluciones que el dado. 
Observemos en el ejemplo {
2𝑥 + 5𝑦 = 1
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 sumando ambas ecuaciones y reemplazando la primera por la 
suma (2 + 3)𝑥 + (5 + 2)𝑦 = 1 + 7, el nuevo sistema que se obtiene 
es: {
5𝑥 + 7𝑦 = 8
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 . Es fácil comprobar que 𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1 son las únicas soluciones de este nuevo sistema. 
 
OBSERVACIÓN 3: (es una combinación de las dos observaciones anteriores) 
Si a una ecuación de un sistema dado, se la reemplaza por la que se obtiene así: a una de las ecuaciones se 
le suma otra, multiplicada por un número real no nulo. 
 Al reemplazarla en el sistema por ésta última, el nuevo sistema tiene la misma solución que el dado. 
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Las operaciones sobre las ecuaciones que indicamos en las observaciones, aplicadas convenientemente, 
permiten resolver el sistema. La idea es operar sobre las ecuaciones del sistema, para obtener otros, que 
conservan las soluciones del sistema original pero es más fácil de resolver. Este método de resolución de 
sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas, es el que se conoce como método de sumas y restas o de 
eliminación 
{
2𝑥 + 5𝑦 = 1
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 
Podemos por ejemplo, multiplicar la segunda ecuación por 
−2
3
 y luego sumarle a esa ecuación, la primera y 
reemplazarla por la nueva en el sistema. 
−
2
3
. (3𝑥 + 2𝑦) = −
2
3
. 7 
 −2𝑥 −
4
3
𝑦 = −
14
3
 
 + 
 2𝑥 + 5𝑦 = 1 
 
 
11
3
𝑦 = −
11
3
 
En este paso hemos eliminado “x” de la primera ecuación. 
 
El nuevo sistema que se obtiene es: {
11
3
𝑦 = −
11
3
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 
 
Si multiplicamos la primera ecuación por −
6
11
, obtenemos el sistema: {
−2𝑦 = 2
3𝑥 + 2𝑦 = 7
 
Si a la segunda le sumamos la primera obtenemos el sistema: {
−2𝑦 = 2
3𝑥 = 9
 
En este paso hemos eliminado “y” de la segunda ecuación. 
Si ahora multiplicamos la primera por - 
1
2
 y la segunda por 
1
3
 el sistema que se obtiene {
𝑦 = −1
𝑥 = 3
 este sistema 
nos muestra la solución!!!! 
 
Otro ejemplo: 
Resolver por el método de sumas y restas (o eliminación) el siguiente sistema: 
{
3𝑥 − 2𝑦 = 1
7𝑥 + 14𝑦 = 8
 
Hay muchas maneras de operar sobre las ecuaciones, teniendo en cuenta las observaciones anteriores. Con el 
propósito de eliminar incógnitas. 
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Por ejemplo, si multiplicamos la primera ecuación por 7 y la segunda por -3, logramos que el coeficiente de x 
en la primera, sea el opuesto del de la segunda y así al sumar las ecuaciones, eliminamos x de la primera. 
Obteniendo un sistema, que tendrá las mismas soluciones que el anterior. (o pudimos haber multiplicado la 
primera por 7 y al sumarla a la segunda, eliminar y) 
 
{
21𝑥 − 14𝑦 = 7
−21𝑥 − 42𝑦 = −24
 
 
A la primera ecuación le sumamos la segunda y reemplazamos la primera. 
 
{
−56𝑦 = −17
−21𝑥 − 42𝑦 = −24
 Eliminamos la incógnita x de la primera ecuación. 
 
Multiplicamos la primera ecuación por −
42
56
 
{
42𝑦 =
51
4
−21𝑥 − 42𝑦 = −24
 
A la segunda la reemplazamos por la suma entre ella y la primera ecuación. Se obtiene el siguiente sistema 
que tendrá las mismas soluciones que el anterior: 
 
{
42𝑦 =
51
4
−21𝑥 = −
45
4
 Eliminamos la incógnita y de la segunda ecuación.Multiplicamos la primera por 
1
42
 y la segunda por 
−1
21
 y las reemplazamos por las ecuaciones anteriores. 
 
{
𝑦 =
17
56
𝑥 =
15
28
 o lo que es exactamente lo mismo {
𝑥 =
15
28
𝑦 =
17
56
 y hemos resuelto el sistema. 
 
Se ha encontrado nuevamente la solución de este sistema “eliminando incógnitas”, esto es multiplicando las 
ecuaciones por un número y sumándolas para producir ecuaciones en las cuales, alguna de las incógnitas no 
está presente. 
Deseamos formalizar ligeramente este proceso, de modo que se pueda entender porqué opera y así poder llevar 
a cabo los cálculos necesarios, para resolver un sistema de manera sistemática. 
 
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. 
 
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Forma matricial de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas. 
 
En un sistema de m ecuaciones y n incógnitas hay involucradas tres matrices. 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 +
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + …… +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
1. La matriz de los coeficientes que llamaremos matriz A. 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 
 
A= 
(
 
𝑎11 𝑎12……
𝑎21 𝑎22…... .
…
𝑎𝑚1
. .
. .
𝑎𝑚2
 
 𝑎1𝑛
 𝑎2𝑛
… .
. .
.
 𝑎𝑚𝑛
 
)
 
 
 
 
2. La matriz de las incógnitas que llamaremos matriz 𝑋. 𝑋 ∈ ℝ𝑛𝑥1 
 
𝑋 =
(
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛)
 
 
 
 
 
3. La matriz de los términos independientes que llamaremos B. 𝐵 ∈ ℝ𝒎𝒙𝟏 
 
B = 
(
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑚)
 
 
. 
 
 
El sistema: 
 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 +
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + …… +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
Queda representado como la igualdad matricial: 𝐴. 𝑋 = 𝐵 
 el primer término de esta igualdad es un producto de matrices. 
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(
 
𝑎11 𝑎12……
𝑎21 𝑎22…... .
…
𝑎𝑚1
. .
. .
𝑎𝑚2
 
 𝑎1𝑛
 𝑎2𝑛
… .
. .
.
 𝑎𝑚𝑛
 
)
 .
(
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
𝑥𝑛)
 
 
=
(
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑚)
 
 
 
Veamos un ejemplo: 
Represente el siguiente sistema en forma matricial: 
{
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
4𝑥 − 𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3
 
𝐴 = (
2 3 −1
4 −1 0
1 −2 1
) , 𝑋 = (
𝑥
𝑦
𝑧
) y 𝐵 = (
1
4
3
). (
2 3 −1
4 −1 0
1 −2 1
). (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
1
4
3
) y quedó representado el sistema. 
Observemos: 
Efectuando el producto A.X = (
2 3 −1
4 −1 0
1 −2 1
) . (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧
4𝑥 − 𝑦
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
) Se tiene una matriz columna, de 3 
filas en ambos miembros . 
Si planteamos la igualdad matricial A.X = B 
(
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧
4𝑥 − 𝑦
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
) = (
1
4
3
) 
Y aplicamos la definición de igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si son del mismo conjunto (o 
tienen la misma dimensión) y tienen todos sus elementos correspondientes iguales. 
Ambas matrices tienen la misma dimensión u orden: porque ambas tienen tres filas y una columna. Y sus 
elementos correspondientes deben ser iguales: 
 
 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 
 4𝑥 − 𝑦 = 4 
 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3 
 (y quedó representado el sistema!) 
Otro ejemplo: Represente el siguiente sistema en forma matricial: 
{
−𝑥 + 8𝑦 − 4𝑧 − 2𝑤 = 1
−5𝑥 − 𝑦 +𝑤 = 4
𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 − 3𝑤 = 3
 
𝐴. 𝑋 = 𝐵 
(
−1 8 −4 −2
−5 −1 0 1
1 6 1 −3
) . (
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
) = (
1
4
3
) 
 
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Podemos abstraernos un poco más, en el siguiente sentido: 
Dado por ejemplo el sistema: {
3𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 0
−3𝑥2 + 𝑥3 + 7𝑥4 = −1
𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = −2
 podemos advertir que no 
hay necesidad de escribir las incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 y 𝑥4 ya que realmente solo operaremos con sus coeficientes 
y con los términos independientes. 
Podemos expresar este sistema matricialmente de la forma [𝐴|𝐵] agregando a la matriz A de los coeficientes, 
la matriz B de los términos independientes. En este caso, el sistema quedaría representado matricialmente y en 
forma abreviada como: 
[𝐴|𝐵] = [
3 −2 2 −1
0 −3 1 7
1 −1 4 1
|
0
−1
−2
] 
La matriz [𝐴|𝐵] es la matriz ampliada del sistema. Es la matriz de los coeficientes a la que se le agrega la 
columna de los términos independientes. 
Entonces todo sistema puede escribirse matricialmente de esa forma. 
Veamos más ejemplos: 
Dada la siguiente matriz, reescribir el sistema que ella puede estar representando: (
2 5 −2
0 3 12
2 −1 9
) 
(
2 5 −2
0 3 12
2 −1 9
) =[
2 5
0 3
2 −1
|
−2
12
9
] (este ejemplo nos induce a pensar que cualquier matriz puede ser considerada 
como la representación de un sistema, basta con considerar a la última columna de la matriz, como la matriz 
columna de los términos independientes del sistema) 
 
 
 Si llamamos a las incógnitas x e y, el sistema en este caso es: {
2𝑥 + 5𝑦 = −2
3𝑦 = 12
2𝑥 − 𝑦 = 9
 
Otro ejemplo: Sabiendo que la siguiente matriz representa a un sistema, reescriba el 
sistema: [
1 0 0
0 0 1
0 1 0
|
−8
3
0
] 
Interpretemos las ecuaciones como antes, elijamos las incógnitas que son 3, como el número de columnas. 
Podemos elegirlas: x, y, z 
 
{
1. 𝑥 + 0. 𝑦 + 0. 𝑧 = −8
0. 𝑥 + 0. 𝑦 + 1. 𝑧 = 3
0. 𝑥 + 1. 𝑦 + 0. 𝑧 = 0
 y queda: {
𝑥 = −8
𝑧 = 3
𝑦 = 0
 es la matriz de un sistema “solucionado”! 
 
(Comentario nada formal sobre lo sigue: 
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Dado un sistema, sabemos representarlo en forma matricial. Entonces podemos conjeturar lo siguiente: 
Si logramos “operar” sobre la matriz del sistema, procurando obtener matricialmente sistemas con las mismas 
soluciones que el dado y logramos después de sucesivas “operaciones” obtener una matriz del estilo de la del 
ejemplo anterior: [
1 0 0
0 0 1
0 1 0
|
−8
3
0
], 
habremos solucionado el sistema.) 
Seguidamente nos ocuparemos de lo más importante. Definir las “operaciones” sobre las filas de una matriz. 
Que estarán inspiradas en las operaciones sobre las ecuaciones de un sistema, de modo que después de aplicar 
cada una de ellas, se obtengan sistemas equivalentes. 
 
Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. 
Hay tres tipos de operaciones elementales y solo tres. 
Sea A, una matriz de m filas y n columnas. 
 
 𝐴 =
(
 
𝑎11 𝑎12……
𝑎21 𝑎22…... .
…
𝑎𝑚1
. .
. .
𝑎𝑚2
 
 𝑎1𝑛
 𝑎2𝑛
… .
. .
.
 𝑎𝑚𝑛
 
)
 . 
 Definiremos las operaciones elementales sobre las filas de A: 
Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. 
(acá entre nosotros, parecen estar pensadas en operaciones sobre las ecuaciones de un sistema, para obtener en cada operación, sistemas que tengan las 
mismas soluciones, es decir, los que llamamos equivalentes) 
 
1. Multiplicar una fila de A, por una constante c, no nula. 
Para fijar ideas podemos multiplicar la fila i de A por c, c≠0. 
Esta operación se indica así: 𝑴𝒊(𝒄)(𝑨). 
 
 Solo se modifica la fila i de 𝐴: (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2…… 𝑎𝑖𝑚). 
 
𝑀𝑖(𝑐)(𝐴) es una matriz que tendrá todas sus filas iguales a las de A, excepto que la fila i que será de 
la forma (𝑐. 𝑎𝑖1 𝑐. 𝑎𝑖2…… 𝑐. 𝑎𝑖𝑚). 
 
Ejemplo. Sea 𝐴 = (
2 −3
1 4
12 7
) 
 
Multipliquemos la fila 1 de A, por 
1
2
 
 
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𝑀1 (
1
2
) (𝐴) = (
1
2
. 2
1
2
. (−3)
1 4
12 7
) = (
1 −
3
2
.
1 4
12 7
) 
 
Observemos que el subíndice de la notación, indica la fila a la que se le realiza la operación. 
 
 
2. Sumarle a una fila de A, otra fila otra multiplicada por un número. 
Para fijar ideas, elegimos la fila i de A (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2…… 𝑎𝑖𝑛), para modificar. 
 La reemplazaremos por la suma entre ella misma y la fila j (𝑎𝑗1 𝑎𝑗2…… 𝑎𝑗𝑛), multiplicada por la 
constante c. 
Esta operación se indica como 𝑺𝒋
𝒊(𝒄)(𝑨). 
 La S, significa suma. 
El superíndice i (el que aparece arriba) indica cuál es la fila que se modificará. 
 El subíndice j (el que aparece abajo) indica la fila que se utilizarápara multiplicar por c y sumarla a la fila i. 
Entonces en la matriz 𝑆𝑗
𝑖(𝑐)(𝐴) todas las filas de A quedaron iguales, excepto la i que aparece así: 
(𝑎𝑖1 + 𝑐. 𝑎𝑗1 𝑎𝑖2 + 𝑐. 𝑎𝑗2 …… 𝑎𝑖𝑛 + 𝑐. 𝑎𝑗𝑛 ). 
Ejemplo 1. 
Sea A la matriz 𝐴 = (
1 5 −2 4
3 2 2 −5
4 −3 9 10
). Pretendemos modificar la fila 2. 
A la fila 2 le sumaremos la fila 1, multiplicada por -3: 
𝑆1
2(−3)(𝐴) = (
1 5 −2 4
3 + (−3). 1 2 + (−3). 5 2 + (−3). (−2) −5 + (−3). 4
4 −3 9 10
) = 
= (
1 5 −2 4
0 −13 8 −17
4 −3 9 10
) 
 
 
Ejemplo 2. 
 𝐴 = (
−2 3 −1
4 −1 0
1 −2 1
). 
Sumarle a la fila 1 de A, la fila 3 multiplicada por 2: 
 𝑺𝟑
𝟏(𝟐)(𝑨) = (
−2 + 2.1 3 + 2(−2) −1 + 2.1
4 −1 0
1 −2 1
) = (
0 −1 1
4 −1 0
1 −2 1
) 
 
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3. Permutar una fila por otra. (o intercambiar filas) 
 
Para fijar ideas, intercambiemos la fila i de A por la fila j. En el lugar de la fila i aparecerá la j y en el lugar de 
la fila j, la fila i. 
Notación: 𝑷𝒊 𝒋(A). Observar que 𝑷𝒊 𝒋(A)= 𝑷𝒋 𝒊(A). 
 
Ejemplo 1: Si 𝐴 = (
1 5 −2 4
0 −13 −4 −17
4 −3 9 10
) Hallar 𝑃32(A). 
𝑃32(A)= (
1 5 −2 4
4 −3 9 10
0 −13 −4 −17
) . 
Ejercicio: (si no hace este ejercicio ahora, mañana puede ser tarde) 
Dada la matriz 𝐴 = (
−3 7 13
1 0 4
18
2
−4
−1
0
1
) Realizar las siguientes operaciones elementales sobre sus filas: 
𝑀3 (
1
2
) (𝐴), 𝑆2
4(−2)(𝐴), 𝑆1
2(−3)(𝐴), 𝑆2
1(1)(𝐴), 𝑃12(A). 
 
(Lo que sigue es de interés teórico, para aquellos que deseen saber más) 
Matrices Elementales. 
Las matrices Elementales son muy útiles para demostrar resultados teóricos, en este contexto no vamos a ser 
muy formales con ellas, vamos a definirlas y entender cómo operan. 
Consideremos la matriz identidad de n por n. La hemos llamado 𝐼𝑛 y hemos dicho, entre otras cosas sobre ella, 
que es una matriz que tiene unos en la diagonal principal y el resto de sus elementos son todos nulos. 
Como a toda matriz, a 𝐼𝑛 también podemos aplicarle una operación elemental sobre sus filas. Entonces: 
 
Una matriz elemental es la que se obtiene por la aplicación de una ÚNICA operación elemental a la matriz 
identidad 𝑰𝒏. (si le hace a la matriz identidad dos operaciones elemtales, ya no tendrá una matriz elemental) 
Entonces tenemos sólo tres matrices elementales para cada n. Una por cada tipo de operación elemental. 
 
1. 𝑴𝒊(𝒄)( 𝑰𝒏). (como ya aprendimos, esta matriz se lee así: a la matriz identidad de orden n, le 
multiplicamos la fila i, por una constante c, no nula) 
 
2. 𝑺𝒋
𝒊(𝒄)(𝑰𝒏) . (lo sabemos, esta matriz se lee así: a la matriz identidad de orden n, le sumamos a la fila i, 
la j multiplicada por la constante c) 
 
3. 𝑷𝒊 𝒋(𝑰𝒏). (esta matriz también la conocemos porque es la más fácil: a la matriz 𝐼𝑛 le intercambiamos 
la fila i por la j) 
 
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Practiquemos: 
Ejemplo: Calcular las matrices elementales indicadas en cada caso: 
 
𝑴𝟐(𝟐)( 𝑰𝟑), 𝑆2
3(−2)(𝐼4), 𝑆1
2(4)(𝐼2), 𝑆2
1(1)(𝐼2), 𝑃2 3(𝐼5). 
Consideremos las matrices identidad que se mencionan: 𝐼3 =
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
), 𝐼4 = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
) 
𝐼2 = (
1 0
0 1
), 𝐼5 =
(
 
 
1
0
0
0
1
0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1)
 
 
. Calculemos las matrices pedidas: 
𝑴𝟐(𝟐)( 𝑰𝟑)=(
1 0 0
0 2 0
0 0 1
) , 𝑆2
3(−2)(𝐼4) = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
−2
0
1
0
0
1
), 𝑆1
2(4)(𝐼2) = (
1 0
4 1
), 𝑆2
1(1)(𝐼2) = (
1 1
0 1
), 𝑃2 3(𝐼5) =
 
(
 
 
1
0
0
0
0
1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1)
 
 
. 
 
Algo importante y no menos interesante es lo siguiente: 
Ejemplo: 
Sea 𝐴 = (
−5 1 2
3 1 0
0 2 1
), hagamos sobre una fila de A, una operación elemental cualquiera, por ejemplo: 𝑆2
3(−2)(𝐴) =
(
−5 1 2
3 1 0
0 − 2.3 2 − 2.1 1 − 2.0
) = 𝑆2
3(−2)(𝐴) = (
−5 1 2
3 1 0
−6 0 1
) 
Ahora calculemos la matriz elemental asociada a esa operación y que sea de orden 3 
𝑆2
3(−2)(𝐼3) = (
1 0 0
0 1 0
0 −2 1
) , llamemos E a esta matriz (E, de elemental) 
Si pre multiplicamos a la matriz A por E (significa que ponemos E a la izquierda de A y multiplicamos) se obtiene la 
misma matriz 𝑆2
3(−2)(𝐴) 
 
𝐸.𝐴 = (
1 0 0
0 1 0
0 −2 1
) . (
−5 1 2
3 1 0
0 2 1
) = (
−5 1 2
3 1 0
−6 0 1
) = 𝑆2
3(−2)(𝐴) 
 
Lo que ocurrió en este ejemplo ocurre en general: hacer una operación elemental es lo mismo que pre multiplicar, 
por la matriz elemental correspondiente a dicha operación. 
Recordemos esta última afirmación porque será útil más adelante. 
Esto no es una demostración, aunque puede hacerse sin demasiada dificultad pero podemos obviarla y mirar otro ejemplo. 
 Página 12 
 
Ahora elijamos la matriz, que también llamaremos A, por costumbre pero nos damos cuenta que no es la misma… 
𝐴 = (
2 18 14
3 −2 4
) 
 
Calculemos la matriz: 𝑴𝟏 (
𝟏
𝟐
) (𝑨) = (
1 9 7
3 −2 4
). Ahora queremos pre multiplicar por la elemental correspondiente, 
pensemos que si vamos a multiplicar a izquierda el orden de la elemental, tiene que ser 2. 
Luego 𝑬 = 𝑴𝟏 (
𝟏
𝟐
) (𝑰𝟐) = (
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏
) 
Pre multipliquemos a la matriz A por E: 
 𝐸. 𝐴 = (
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏
) . (
2 18 14
3 −2 4
) = (
1 9 7
3 −2 4
) ocurrió otra vez y no es casualidad: 
𝐸.𝐴 = 𝑴𝟏 (
𝟏
𝟐
) (𝑨) 
Podemos aceptar que una operación elemental sobre la fila de una matriz A, puede interpretarse como producto de 
una matriz elemental E por A, en ese orden. 
Es decir, que cuando escribimos E.A, sabemos que este producto equivale a la matriz que resulta de A, luego de 
aplicarle una única operación elemental. 
Entonces aplicar sucesivas operaciones, digamos k operaciones elementales, a una matriz A, equivale al producto: 
𝑬𝒌. (𝑬𝒌−𝟏…(𝑬𝟐. (𝑬𝟏𝑨… ) 
(observar el orden del producto de elementales) 
Y sacamos los paréntesis porque el producto de matrices, pese a sus rarezas, es asociativo: 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏…𝑬𝟐. 𝑬𝟏𝑨 
 
Ejemplo: 
 Dada la matriz 𝐴 = (
2 −4 8
3 11 −6
) hacer las siguientes operaciones sucesivas y después expresarlas como producto de 
elementales: 
𝑆1
2(−3)(𝑀1 (−
1
2
)𝐴) 
Primero, la primera operación, hacemos 𝑀1 (−
1
2
) (𝐴) y al resultado le hacemos la otra operación: 
𝑀1 (
1
2
) (𝐴) = (
1 −2 4
3 11 −6
)
𝑆1
2(−3)
→ (
1 −2 4
3 + (−3). 1 11 + (−3). (−2) −6 + (−3). 4
) = 
 
= (
𝟏 −𝟐 𝟒
𝟎 𝟏𝟕 −𝟏𝟖
) 
Ahora preparemos las elementales que tienen que tener orden 2 para poder pre multiplicar. 
𝐸1 = (
1
2
0
0 1
) , 𝐸2 = (
1 0
−3 1
) 
 Página 13 
 
Hagamos el producto 𝐸2. (𝐸1.𝐴) = 𝐸2 (
1
2
0
0 1
) . (
2 −4 8
3 11 −6
) =𝐸2. (
1 −2 4
3 11 −6
) = (
1 0
−3 1
) . (
1 −2 4
3 11 −6
) =
 (
𝟏 −𝟐 𝟒
𝟎 𝟏𝟕 −𝟏𝟖
) y se obtiene la misma matriz. 
 
 
 
Ejercicio: 
 Dada la matriz 𝐴 = (
3 −12
5 −1
2 1
) aplique sobre las filas de A, las sucesivas operaciones indicadas, luego halle las 
elementales correspondientes y escriba de forma equivalente como producto de elementales, dichas operaciones: 
(𝑆1
3(−2)(𝑆1
2(−5)(𝑀1 (
1
3
))(𝐴). 
 Como se ve, 3 operaciones elementales. Necesitará 3 matrices elementales, una por cada operación y tenga cuidado con 
el orden… 
 
Las matrices elementales son invertibles. 
Recordemos que una matriz cuadrada A es invertible si existe otra matriz, que llamamos 𝐴−1, que cumple que 𝐴.𝐴−1 =
𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 
Que las matrices elementales sean invertibles, es demostrable en general pero podemos entenderlo de manera informal. 
Trabajemos con las elementales de orden 3. 
Sabemos que son tres tipos de matrices: 
𝑬𝟏 = 𝑴𝒊(𝒄)( 𝑰𝟑). 𝑬𝟐 = 𝑺𝒋
𝒊(𝒄)(𝑰𝟑). 𝑬𝟑 = 𝑷𝒊 𝒋(𝑰𝟑). 
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
Podemos elegir las siguientes matrices elementales: 
 𝑬𝟏 = 𝑴𝟐(𝟒)( 𝑰𝟑)= (
1 0 0
0 4 0
0 0 1
) entonces 𝑬𝟏
−𝟏 = 𝑴𝟐 (
𝟏
𝟒
) ( 𝑰𝟑)=(
1 0 0
0
1
4
0
0 0 1
) (observar que es también una matriz 
elemental) y cumple que:𝑬𝟏. 𝑬𝟏
−𝟏 = (
1 0 0
0 4 0
0 0 1
). (
1 0 0
0
1
4
0
0 0 1
) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
), con lo cual 
una es la inversa de la otra. (no verificamos la otra igualdad porque habíamos tomado un resultado que aceptamos sin 
probar, que nos ahorra el trabajo.) 
 
𝑬𝟐 = 𝑺𝟐
𝟑(𝟓)(𝑰𝟑) = (
1 0 0
0 1 0
0 5 1
) entonces 𝑬𝟐
−𝟏 = 𝑺𝟐
𝟑(−𝟓)(𝑰𝟑) = (
1 0 0
0 1 0
0 −5 1
) 
(observar que es también una matriz elemental) y cumple que: 
𝑬𝟐. 𝑬𝟐
−𝟏 = (
1 0 0
0 1 0
0 5 1
). (
1 0 0
0 1 0
0 −5 1
) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
), con lo cual una es la inversa de la otra. 
 Página 14 
 
 
𝑬𝟑 = 𝑷𝟐 𝟑(𝑰𝟑) = (
1 0 0
0 0 1
0 1 0
) entonces en este caso 𝑬𝟑
−𝟏 = 𝑬𝟑 porque 
𝑬𝟑. 𝑬𝟑 = (
1 0 0
0 0 1
0 1 0
) . (
1 0 0
0 0 1
0 1 0
) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
Observación: Aunque todavía no hemos aprendido a determinar si una matriz cuadrada es invertible o no. Y en el caso 
en que lo sea, calcular su inversa. Para las elementales podemos hacerlo, porque pudimos aceptar que son invertibles. 
(acá entre nosotros: ¿No le parece que la inversa de una matriz elemental, deshace la operación que la otra hizo?) 
Ejercicio: Dadas las siguientes matrices elementales: 
Justifique porqué son elementales y halle sus inversas, comprobando lo que afirma: 
𝐸1 = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
3
0
0
1
) , 𝐸2 = (
1 0 0
4 1 0
0 0 1
) ,𝐸3 = (
0 1
1 0
) 
 
Que tenemos hasta ahora? 
 Hagamos un pequeño resumen: 
 
1) A toda matriz de cualquier orden, se le puede aplicar un número finito de operaciones elementales. 
2) Cada operación elemental tiene asociada una matriz elemental, correspondiente a la operación. 
3) Hacer una operación elemental a una matriz, equivale a pre multiplicar por la matriz elemental 
correspondiente a dicha operación. 
4) Operaciones elementales tienen el mismo resultado en una matriz, que el producto por matrices elementales 
correspondientes. 
5) Las matrices elementales son invertibles y sus inversas son también matrices elementales. 
 
Definición: 
Dadas dos matrices A y B se dice que A es equivalente por filas con B si: B se obtiene de A, luego de aplicar 
sobre las filas de A, un número finito de operaciones elementales. 
Notación: 𝑨 ∼𝒇 𝑩 
Como vimos que operaciones elementales, pueden interpretarse como producto de matrices elementales, la 
definición anterior pude entenderse de la siguiente forma: 
𝑨 ∼𝒇 𝑩⟷ 𝑩 = 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏𝑨 
Observaciones. 
Una matriz A es equivalente a si misma porque que la identidad es una matriz elemental, luego 𝐴 ∼𝑓 𝐵 porque 
A = I.A 
Si 𝐴 ∼𝑓 𝐵 entonces 𝐵 ∼𝑓 𝐴 porque las elementales son invertibles. (Demuéstrelo como ejercicio…). (use las 
inversas de las elementales) 
Si 𝐴 ∼𝑓 𝐵 y 𝐵 ∼𝑓 𝐶 entonces 𝐴 ∼𝑓 𝐶. También lo puede demostrar… 
 
 Página 15 
 
 
 
 
(Lo que sigue es muy importante, para todos) 
Prestemos mucha atención a la siguiente definición: 
 (porque acá entre nosotros, le comento que tiene mucho que ver con la resolución de sistemas) 
 
Una matriz 𝐴 𝜖 ℝ𝑚𝑥𝑛 se dice escalonada y reducida por filas si cumple las siguientes condiciones: 
1. Si tiene, digamos r filas no nulas, son las primeras. (o dicho de otra forma, si tiene filas nulas, 
tienen que ser las últimas). 
 
2. Llamamos elemento principal de una fila de una matriz, al primer elemento no nulo de la fila. 
En esta matriz los principales de cada fila son todos unos. 
 
3. Los elementos principales aparecen de forma escalonada descendente de izquierda a derecha. 
(la identidad es un caso de este tipo de escalonamiento de elementos principales, pero esto es 
más general). 
 
 
4. En la columna del elemento principal de cada fila, el resto de los elementos de esa columna, 
son todos ceros 
 
Son ejemplos de matrices escalonadas y reducidas por filas: TODAS LAS MATRICES NULAS DE 
CUALQUIER TIPO y TODAS LAS MATRICES IDENTIDADES DE CUALQUIER ORDEN. 
Ejercicio: Justifique la afirmación anterior usando los 4 puntos de la definición anterior. 
 
Ejercicio: 
Explique porqué las siguientes matrices son reducidas por filas y escalonadas, usando los 4 puntos de 
la definición anterior: 
𝐴 = (
0 1
0 0
) , 𝐵 = (
0 1 2
0 0 0
0 0 0
) , 𝐶 = (
1 4 0
0 0 0
) ,𝐷 = (
1 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
) 
E = 
(
 
 
1 0
0
0
0
0
1
0
0
0)
 
 
 F = 
(
 
 
1 3 5 0
0 0 0 1
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0)
 
 
 
 
 Página 16 
 
 
 
Ejercicio: 
a) Escribir 3 matrices escalonadas y reducidas por filas no cuadradas de distinto tipo. 
b) Escribir todas las matrices escalonadas y reducidas por filas de 2 x 2. ¿Cuántas de ellas tienen dos filas 
no nulas? 
c) Escribir matrices escalonadas y reducidas por filas de 3 x 3. ¿Cuántas de ellas tienen tres filas no 
nulas? 
d) Escribir todas las matrices escalonadas y reducidas por filas de 4 x 4, con 4 filas no nulas. 
 
Dada una matriz cualquiera A, una matriz equivalente por filas con A, dijimos que era una matriz que 
se obtiene de A, por aplicación de un número finito de operaciones elementales. (También por 
producto de elementales, pero eso no resulta eficiente en la práctica) 
 
Entonces si dada una matriz A, se desea encontrar una matriz reducida por filas y escalonada, 
equivalente a A, que llamaremos 𝑨𝑹 , bastará con realizar sucesivas operaciones elementales, 
teniendo en cuenta que las operaciones que realicemos estarán guiadas por los 4 puntos de la 
definición, que está en la página 15. 
 
 
 
Ejemplo 1: 
 
 Hallar la matriz reducida por filas y escalonada, equivalente con A, es decir, hallar 𝑨𝑹, teniendo en 
cuenta, los 4 puntos de la definición anterior, porque la definen. 
 
Algunos autores llaman a la matriz reducida por filas y escalonada, equivalente con A, AR, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 REF de A, ya se imagina porqué…) 
 
(prestar atención al procedimiento para encontrar 𝑨𝑹. No es el único pero es el más 
eficiente. Al principio conviene ir despacio y seguro, teniendo siempre en cuenta la 
definición de la página 15, las cuatro propiedades). 
 
 Sea A = (
2 2 2 4
2 −1 −1 1
1 2 −1 −3
) hallemos su equivalente por filas, 𝑨𝑹. 
Necesitamos en el lugar: fila 1, columna 1, el principal de la primera fila y tiene que ser1. 
La operación elemental para crear unos en una matriz es 𝑴𝒊(𝒄), en este caso aplicaremos 
𝑴𝟏(
𝟏
𝟐
)(𝑨) 
 
(
1
2
. 2
1
2
. 2
1
2
. 2
1
2
. 4
2 −1 −1 1
1 2 −1 −3
) = (
1 1 1 2
2 −1 −1 1
1 2 −1 −3
) 
 
 
Seguidamente necesitamos los ceros en la columna del elemento principal que acabamos de crear. 
En general, la operación indicada para crear ceros es 𝑺𝒋
𝒊(𝒄). 
En nuestro caso necesitamos un cero en el lugar: fila 2, columna 1. Para conseguirlo, aplicamos a la 
matriz obtenida en el paso anterior, la operación indicada como 𝑺𝟏
𝟐(−𝟐). 
 Página 17 
 
 
(
1 1 1 2
2 − 2.1 −1 − 2.1 −1 − 2.1 1 − 2.2
1 2 −1 −3
) = (
1 1 1 2
0 −3 −3 −3
1 2 −1 −3
) 
 
 
Haremos un cero en el lugar: fila tres, columna 1de la última matriz obtenida: 
 
𝑺𝟏
𝟑(−𝟏)
→ (
1 1 1 2
0 −3 −3 −3
1 − 1.1 2 − 1.1 −1 − 1.1 −3 − 1.2
) = (
1 1 1 2
0 −3 −3 −3
0 1 −2 −5
) 
 
Es el turno del principal de la segunda fila, necesitamos un 1 en el lugar: fila 2, columna 2. 
 
(
1 1 1 2
0 −3 −3 −3
0 1 −2 −5
) 
𝑀2(− 
1
3
)
→ (
1 1 1 2
0 1 1 1
0 1 −2 −5
) 
 
 
Hacemos ceros toda la columna del principal, obtenido en el paso anterior. Primero el cero del lugar: fila 1, 
columna 2 y seguidamente el cero del lugar: fila 3, columna 2. 
(
1 1 1 2
0 1 1 1
0 1 −2 −5
)
𝑆2
1(−1)
→ (
1 − 0 1 − 1 1 − 1 2 − 1
0 1 1 1
0 1 −2 −5
) = (
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 −2 −5
) 
 
𝑆2
3 (−1)
→ (
1 0 0 1
0 1 1 1
0 − 0 1 − 1 −2 − 1 −5 − 1
) = (
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 −3 −6
) 
 
 Necesitamos el principal de la fila 3, el 1 en el lugar: fila 3, columna 3. Seguidamente los ceros de la columna 
de dicho principal, solo falta el cero del lugar: fila 2, columna 3. 
(
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 −3 −6
) 
𝑀 3(− 
1
3
)
→ (
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 2
) 
 
𝑆3
2(−1)
→ (
1 0 0 1
0 − 0 1 − 0 1 − 1 1 − 2
0 0 1 2
)= 
 
=(
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 2
) esta matriz es la 𝑨𝑹 que buscábamos y cumple las 4 propiedades requeridas porque así 
la construimos. (no hay mas filas, no hay más principales) 
 
Ejemplo 2: 
 Página 18 
 
Dada la matriz 𝐴 = (
1 1 −2 4 5
2 2 −3 1 3
3 3 −4 −2 1
) Hallar su matriz equivalente por filas, reducida y escalonada que 
llamamos AR. 
El principal de la fila 1, lugar: fila 1, columna 1ya lo tenemos. Hcemos los ceros de la columna de esprincipal: 
 
 (
1 1 −2 4 5
2 2 −3 1 3
3 3 −4 −2 1
) 
𝑆1
2(−2)
→ 
𝑆1
3(−3)
→ 
 (
1 1 −2 4 5
2 − 2.1 2 − 21 −3 − 2. (−2) 1 − 2.4 3 − 2.5
3 − 3.1 3 − 3.1 −4 − 3. (−2) −2 − 3.4 1 − 3.5
) = 
 
= (
1 1 −2 4 5
0 0 1 −7 −7
0 0 2 −14 −14
) El principal de la fila 2 está en el lugar: fila 2, columna 3. Ahora hay que hacer 
ceros en la columna de ese principal: 
 
(
1 1 −2 4 5
0 0 1 −7 −7
0 0 2 −14 −14
) 
𝑆2
1(2)
→ 
𝑆2
3(−2)
→ 
 (
1 + 2.0 1 + 2.0 −2 + 2.1 4 + 2. (−7) 5 + 2. (−7)
0 0 1 −7 −7
0 − 2.0 0 − 2.0 2 − 2.1 −14 − 2(−7) −14 − 2(−7)
)
= (
1 1 0 −10 −9
0 0 1 −7 −7
0 0 0 0 0
) 
Encontramos AR, es esta última matriz que cumple las 4 condiciones de la definición. 
 
 
Teorema: Toda matriz es equivalente por filas a una matriz reducida por filas y escalonada. 
Este teorema afirma que a cualquier matriz A, mediante la aplicación de operaciones elementales sucesivas, 
se le puede construir una AR equivalente por filas, como indica la definición, es decir, que cumpla las 4 
condiciones, paso a paso, como en los dos ejemplos anteriores. Se puede demostrar este teorema, por inducción 
sobre el número de filas de A. Además se cumple que esa matriz es única aunque se pueda llegar a ella a través 
de distintas matrices elementales. 
 No lo demostraremos pero entenderemos bien lo que afirma. 
 
Si en vez de pensar en operaciones elementales, pensamos en sucesivos productos de matrices elementales 
correspondientes a cada una de las operaciones, tenemos que: 
𝐴 ∼𝑓 AR si y sólo si 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1. . . 𝐸2. 𝐸1. 𝐴 = AR donde 
𝐸𝑖 es la matriz elemental correspondiente a la i_ésima operación elemental, 
 para todo i, desde 1 hasta k. 
 
Definición: Dada una matriz cualquiera 𝑨 ∈ ℝ𝒎𝒙𝒏 el rango de A, es el número de filas no nulas de 𝑨𝑹 . 
Observaciones: El rango de A es un número natural asociado a la matriz que no puede superar a m, que es el 
número de filas de A. 
 Página 19 
 
Para calcular el rango de una matriz A, debemos hallar su matriz reducida por filas y escalonada, 
equivalente por filas a la matriz A, es decir 𝑨𝑹 para saber cuántas filas no nulas tiene. 
Toda matriz A tiene rango. Porque a toda matriz se le puede calcular su 𝐀𝐑. 
 
Ejercicio: Hallar el rango de las siguientes matrices: 
 
𝐴 = (
1 −3 4
5 1 0
−2 6 −8
) , 𝐵 = (
2 1
5 1
1 0
) , 𝐶 = (
0 2 1 0
0 0 2 5
7
1
7
0
14
0
28
1
) 
 
 Como ha entendido como calcular para cualquier matriz A, su correspondiente AR 
Le resultará entendible lo siguiente: 
Si A es una matriz cuadrada 𝒏𝒙𝒏, su equivalente por filas 𝐴𝑅 , tiene sólo dos posibilidades. 
 1. 𝐀𝐑 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑰𝒏
𝒐
2. 𝐀𝐑 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒂𝒍𝒈𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒍𝒂 𝒏𝒖𝒍𝒂.
 
(Recuerde que estamos hablando de matrices cuadradas) 
En el caso 1. Se tiene que: 𝐴 ∼𝑓 AR = 𝐼𝑛 eso significa que: 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1𝐴 = 𝐼𝑛 
Si llamamos B = 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1, B es una matriz que es producto finito de matrices elementales y al ser 
todas ellas invertibles y sabiendo que el producto de matrices invertibles, da como resultado una matriz 
invertible, B es invertible. Además, vimos que:(𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1)
−1 = 𝐸1
−1. 𝐸2
−1 . . . 𝐸𝑘−1
−1 . 𝐸𝑘
−1 = 𝐵−1 (con 
lo que resulta ser también 𝐵−1producto finito de matrices elementales) 
Entonces tenemos que, como (𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1)𝐴 = 𝐼𝑛 entonces B.A = 𝐼𝑛 (parece que A tiene inversa) 
Si multiplicamos a ambos miembros de la igualdad a izquierda (ya que el producto no es conmutativo en 
general) la igualdad se mantiene, con lo cual 
 𝐵−1 . (B.A) = 𝐵−1. 𝐼𝑛 y como el producto de matrices es asociativo e 𝐼𝑛 , es el elemento neutro del producto 
de matrices cuadradas nxn y B es invertible, se tiene: 
 
(𝐵−1. B). A = 𝐵−1. 𝐼𝑛
𝐼𝑛 . 𝐴 = 𝐵
−1
𝐴 = 𝐵−1
 
¡Entonces resulta que A, es la inversa de una matriz invertible! 
Como la inversa de una matriz es única, A resulta invertible y su inversa es B. 
Además si dos matrices son iguales 𝐴 = 𝐵−1 sus inversas también son iguales 
 𝐴−1 = (𝐵−1)−1 entonces 𝑨−𝟏 = 𝑩 (parece que estamos excedidos de argumentos!!) 
 Página 20 
 
Podemos concluir: en el caso 1 que: si 𝑨 ∼𝒇 𝑰𝒏, A resulta invertible y A tiene rango n. (porque la identidad 
es reducida por filas y escalonada y tiene n filas no nulas) 
 y en el caso 2, como 𝐴 ∼𝑓 𝐴𝑅 y 𝐴𝑅 tiene alguna fila nula, sabemos que A no puede tener rango n. Se puede 
probar que A no será invertible en el caso 2. 
Lo que nos interesa realmente es: 
i) Dada una matriz cuadrada cualquiera, determinar si es invertible. 
ii) Si es invertible, hallar su inversa. 
 
 
Si tenemos una matriz cuadrada A y sólo queremos saber si es invertible, bastará con encontrar 𝐴𝑅. 
Si 𝑨𝑹 tiene una fila nula entonces A no es invertible. 
Si 𝑨𝑹 = 𝑰𝒏 entonces A es invertible. 
¿Cómo hallamos la inversa cuando sabemos que existe? 
Sea A una matriz cuadrada tal que 𝐴 ∼𝑓 𝐼𝑛 , entonces sabemos que es invertible y que se cumple: 
( 𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1)𝐴 = 𝐼𝑛 , y como vimos más arriba que 𝑬𝒌 . 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏= 𝑨
−𝟏 
Consideremos la matriz del siguiente esquema: 
 
 (𝐴 | 𝐼𝑛 ) 
Hacemos operaciones elementales como si fuera una sola matriz de 2n columnas y n filas. 
Las operaciones las elegimos como las que le aplicamos a la matriz A para llegar a 𝐼𝑛 . 
Como realizar operaciones elementales sobre las filas de una matriz es lo mismo que premultiplicar por 
matrices elementales correspondientes, se tendrá el siguiente esquema que resulta de hacer simultáneamente 
operaciones sobre las dos matrices, como si fuesen una única matriz, lo indicamos en el esquema: 
(𝐸1.A |𝐸1. 𝐼𝑛 ) →( 𝐸2. 𝐸1. 𝐴| 𝐸2. 𝐸1. 𝐼𝑛 ) 
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠....
→ 
(𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏 . 𝑨| 𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏. 𝐼𝑛 ) → (𝐼𝑛 |𝑬𝒌. 𝑬𝒌−𝟏… .𝑬𝟐. 𝑬𝟏 ) = 
 =(𝐼𝑛 |𝐴
−1) 
Encontramos un camino para hallar la inversa de una matriz, si dicha matriz es invertible! 
 En la práctica no usaremos matrices elementales. Lo haremos con operaciones elementales, que proporcionan 
resultados idénticos. 
(recuerde que habíamos dicho que las matrices elementales tienen interés teórico) 
Ejemplos: 
Hallar la inversa de 𝐴 = (
2 6 −4
1 4 1
2 6 1
). 
 Página 21 
 
Procedemos así, armamos la matriz (𝐴 | 𝐼3 ): (
2 6 −4
1 4 1
2 6 1
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) y realizamos operaciones sobre las filas 
de esta matriz, teniendo en cuenta que buscamos obtener la matriz identidad, en el lugar que colocamos la 
matriz A: 
 
(
2 6 −4
1 4 1
2 6 1
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
𝑀2 (
1
2 
)
→ 
 
(
1 3 −2
1 4 1
2 6 1
|
1
2
0 0
0 1 0
0 0 1
) 
𝑆1 
2 (−1)
→ 
𝑆1 
3 (−2)
→ 
(
 
1 3 −2
0 1 3
0 0 5
||
1
2
0 0
−1
2
1 0
−1 0 1)
 
 
𝑆2 
1(−3)
→ (
1 0 −11
0 1 3
0 0 5
|
2 −3 0
−1
2
1 0
−1 0 1
) 
𝑀3 (
1
5 
)
→ (
1 0 −11
0 1 3
0 0 1
|
2 −3 0
−1
2
1 0
−
1
5
0
1
5
) 
 
 
𝑆2 
1 (11)
→ 
𝑆3 
1 (−3)
→ 
(
 
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
−
1
5 −3
11
5
1
10 1 −
3
5
−
1
5
0
1
5 )
 
 
 
Hallamos la matriz inversa de A, 𝑨−𝟏 = 
(
 
 
−
𝟏
𝟓
−𝟑
𝟏𝟏
𝟓
𝟏
𝟏𝟎
𝟏 −
𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟓
𝟎
𝟏
𝟓
 
)Ejercicio: Comprobar que la matriz hallada es la inversa de A. 
 
Ejercicio: 
Hallar el rango y las inversas de las siguientes matrices. 
(
2 1
5 −3
), (
5 0 0
0 −2 0
0 0 1
) y (
2 0 0 0
3 1 5 7
2
0
4
1
−3
0
0
2
) 
 
 
Resolución de sistemas lineales de m ecuaciones y n incógnitas. 
 
 Página 22 
 
Habíamos dicho que: 
Todo sistema 
 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1𝑥1 +
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + …… +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 de m ecuaciones y n incógnitas puede 
expresarse matricialmente como: 
A.X = B y dijimos también, que podíamos prescindir de las incógnitas y pensarlo 
 
matricialmente de la forma:
(
 
 
𝑎11 𝑎12……
𝑎21 𝑎22…... .
⋮
𝑎𝑚1
. .
⋮
𝑎𝑚2
 
 𝑎1𝑛
 𝑎2𝑛. .
⋮
 𝑎𝑚𝑛
|
|
𝑏1
𝑏2
⋮
⋮
𝑏𝑚)
 
 
 donde A𝜖ℝ𝑚𝑥𝑛 es la 
matriz de los coeficientes A=
(
 
𝑎11 𝑎12……
𝑎21 𝑎22…... .
⋮
𝑎𝑚1
. .
⋮
𝑎𝑚2
 
 𝑎1𝑛
 𝑎2𝑛. .
⋮
 𝑎𝑚𝑛 )
 y B∈ ℝ𝑚𝑥1, es la matriz de los términos 
independientes 𝐵 =
(
 
 
𝑏1
𝑏2
⋮
⋮
𝑏𝑚)
 
 
 
 
Resolver un sistema es hallar una matriz 𝑿∗ ∈ ℝ𝑛𝑥1, tal que 𝑨.𝑿∗ = 𝑩. 
Cuando resolvimos aquellos ejemplos del principio del apunte, se partió de un sistema y luego de un 
determinado número de operaciones, se resolvió un sistema que formalmente no es el mismo (en cuanto a su 
apariencia) pero habíamos comprobado que las soluciones del último sistema eran exactamente las mismas 
que el original. 
Vamos a tratar de justificar un poco este hecho, sin excesiva rigurosidad sólo para entender porqué podremos 
resolver los sistemas, de la forma que lo haremos. 
 
Definición: Dados dos sistemas, 𝑨𝟏. 𝑿 = 𝑩𝟏 y 𝑨𝟐. 𝑿 = 𝑩𝟐 son equivalentes si tienen exactamente el 
mismo conjunto solución. 
 
Esto significa que toda solución de 𝐴1. 𝑋 = 𝐵1 es solución de 𝐴2. 𝑋 = 𝐵2 y además, toda solución de 𝐴2𝑋 =
𝐵2 es solución de 𝐴1𝑋 = 𝐵1 . 
Notación: Dos sistemas 𝐴1. 𝑋 = 𝐵1 y 𝐴2. 𝑋 = 𝐵2 equivalentes se indicarán por: 
 𝐴1. 𝑋 = 𝐵1 ~ 𝐴2. 𝑋 = 𝐵2 
 
 Página 23 
 
Es sencillo ver que: 
 . Todo sistema es equivalente a si mismo. 
 . Si se tienen dos sistemas equivalentes, digamos que el primero es equivalente al segundo, entonces el 
segundo es equivalente al primero. (esto tiene que ver con que las matrices elementales son invertibles) 
 . Si se tienen tres sistemas tales que, el primero es equivalente al segundo y el segundo al tercero entonces 
resulta que, el primero es equivalente al último. 
Puede demostrar lo siguiente, usando matrices elementales: 
 
Teorema de equivalencia de sistemas: 
Sean 𝑨𝟏. 𝑿 = 𝑩𝟏 𝐲 𝑨𝟐. 𝑿 = 𝑩𝟐 dos sistemas de m ecuaciones y n incógnitas tales que 𝑨𝟐 y 𝑩𝟐 se 
obtuvieron de aplicar respectivamente sobre 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏 la misma operación elemental, entonces ambos 
sistemas son equivalentes. 
 
 
Y lo que enunciaremos a continuación en forma de corolario del teorema anterior (sería la forma matricial del 
teorema), será lo que justifique el método de resolución de sistemas que aplicaremos. Este método se 
conoce como: 
Método de eliminación Gaussiana o método de Gauss- Jordan. 
 
Antes recordemos qué significa que dos matrices sean equivalentes por filas: 
 𝐴1 ∼f 𝐴2⟷ 𝐴2 = Ek. Ek−1… . E2 . E1. 𝐴1 
(esto significa que una se obtiene de la otra, por aplicación de un número finito de operaciones elementales, es 
decir por producto finito de matrices elementales, correspondientes a dichas operaciones) 
 
También puede demostrar el siguiente … 
 
 
Corolario: 
Sean 𝑨𝟏. 𝑿 = 𝑩𝟏 𝐲 𝑨𝟐. 𝑿 = 𝑩𝟐 dos sistemas de m ecuaciones y n incógnitas tales que 𝑨𝟏 ∼𝐟 𝑨𝟐 y 
 𝑩𝟏 ∼𝐟 𝑩𝟐 . 
 Si 𝑨𝟐 y 𝑩𝟐 se obtienen de 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏 luego de aplicar las mismas operaciones sobre las filas de 𝑨𝟏 y 𝑩𝟏, 
respectivamente. Entonces ambos sistemas son equivalentes. 
 
 
Ahora sí, vamos a hacer lo que vinimos a hacer!!: resolver cualquier tipo de sistemas, interpretando los distintos 
tipos de solución, que estos puedan tener. 
 Página 24 
 
 
Ejemplos: 
 
Resolver los siguientes sistemas: 
 
1. {
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 4
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3
⇔ (
2 2 2
2 −1 −1
1 2 −1
|
4
1
−3
) 
 
Se aplicarán operaciones elementales para llevar a la matriz A de los coeficientes a su reducida por 
filas y escalonada, equivalente por filas, 𝐴𝑅. Como se mencionó antes, si esas mismas operaciones se 
realizan sobre la matriz B de los términos independientes, en cada paso se obtendrán sistemas 
equivalentes. 
 
(
2 2 2
2 −1 −1
1 2 −1
|
4
1
−3
) 
𝑀1(
1 
2
)
→ (
1 1 1
2 −1 −1
1 2 −1
|
2
1
−3
) 
𝑆1
2(−2)
→ 
𝑆1
3(−3)
→ 
 (
1 1 1
0 −3 −3
0 1 −2
|
2
−3
−5
) 
 
 
𝑀2(− 
1 
3
)
→ (
1 1 1
0 1 1
0 1 −2
|
2
1
−5
)
𝑆2
1(−1)
→ 
𝑆2
3(−1)
→ 
 (
1 0 0
0 1 1
0 0 1
|
1
1
2
)
𝑆3
2(−1)
→ (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
1
−1
2
) 
Este sistema es equivalente al dado. 
La solución es única y es (
𝑥∗
𝑦∗
𝑧∗
) = (
1
−1
2
) o si prefiere por igualdad de matrices: 
 
𝑥∗ = 1, 𝑦∗ = −1, 𝑧∗ = 2 (puede comprobar que es cierto) 
 
 
2. {
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 2
2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 1
3𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = − 1
3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 5
 
este sistema se lo dejamos para que lo resuelva de la misma forma que el anterior pero le damos la 
solución única que encontramos: 𝑥∗1 = −
45
11
 , 𝑥∗2 = 
16
11
 , 𝑥∗3 = − 
37
11
, 𝑥4
∗ = 8 (hágalo ya 
porque mañana podría ser demasiado tarde) 
 
3. {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 4𝑡 = 5
2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 𝑡 = 3
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 − 2𝑡 = 1
 
 
Como siempre construimos la matriz ampliada (𝐴|𝐵) y aplicamos operaciones elementales sobre las 
filas de la ampliada hasta obtener la matriz (𝐴𝑅|�̃�). 
 
 (𝐴|𝐵) == (
1 1 −2 4
2 2 − 3 1
3 3 − 4 − 2
|
5
3
1
) 
𝑆1
2(−2)
→ 
𝑆1
3(−3)
→ 
(
1 1 −2 4
0 0 1 − 7
0 0 2 − 14
|
5
− 7
− 14
)
𝑆2
3(−2)
→ (
1 1 −2 4
0 0 1 − 7
0 0 0 0
|
5
− 7
0
) 
 Página 25 
 
 
𝑆2
1(2)
→ (
1 1 0 − 10
0 0 1 − 7
0 0 0 0
|
−9
− 7
0
) 
 
La última matriz obtenida corresponde a un sistema equivalente al dado. Cualquier sucesión de 
operaciones elementales elegidas, no necesariamente estas, dan como resultado la misma matriz, 
porque 𝐴𝑅 es única. 
 
Escribiendo el sistema equivalente correspondiente: 
 
(
1 1 0 − 10
0 0 1 − 7
0 0 0 0
) . (
𝑥
𝑦
𝑧
𝑡
) = (
− 9
−7
0
) que puede verse como {
𝑥 + 𝑦 − 10𝑡 = − 9
𝑧 − 7𝑡 = − 7
 
 
Del que se obtiene {
𝑥 = − 9 − 𝑦 + 10𝑡
𝑧 = − 7 + 7𝑡
 
 
 las letras y, t son variables digamos “libres”, (en el sentido, libres porque pueden tomar cualquier 
valor real) esto se indica como: 
 
 𝑦 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ. En cambio x , z son dependientes porque dependen de los valores elegidos para para y 
y para t. 
El hecho de que tengamos al menos una variable libre, produce que las soluciones sean infinitas. 
Es decir, el conjunto solución del sistema será un conjunto infinito. Vamos a expresar el conjunto solución 
por comprensión. Tengamos en cuenta para ello, que como es un sistema de 4 incógnitas, las soluciones tendrán 
forma de un vector de 4 componentes. Resulta entonces el siguiente conjunto solución: 
𝑆 = {(− 9 − 𝑦 + 10𝑡, 𝑦, − 7 + 7𝑡, 𝑡 ): 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ }. 
Si uno va entendiendo que este sistema tiene infinitas soluciones, tendría que ser capaz de mostrar al menos, 
una solución particular. Se lo dejamos como ejercicio muy importante, para que usted lo resuelva, encontrando 
un valor de x, uno de y, otro de z y otro de t. O, si le parece, una 4-upla o vector de 4 componentes, pero que 
sea solución! 
 
4. {
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 5
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
 lo llevamos a la forma (𝐴 | 𝐵) y aplicando sucesivas operaciones elementales 
adecuadaslo llevamos a la forma (𝐴𝑅| �̃�). 
(
1 1 2
3 2 1
2 1 − 1
|
1
5
3
)
𝑆1
2(−3)
→ 
𝑆1
3(−2)
→ 
 (
1 1 2
0 − 1 − 5
0 − 1 − 5
|
1
2
1
)
𝑆2
3(−1)
→ (
1 1 2
0 − 1 − 5
0 0 0
|
1
2
− 1
) 
 
 
En el sistema equivalente que se obtiene, la última ecuación se interpreta así: 
0.x + 0.y + 0.z = - 1 equivale, cualesquiera sean x, y, z, a la igualdad FALSA: 
 0 = 1 
Esto prueba que el sistema NO TIENE SOLUCIÓN. 
 
 
 Página 26 
 
Sistemas homogéneos. 
 
Definición: Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas es homogéneo si todos los términos 
independientes son cero. 
Su forma matricial es A.X = 0, donde 0 indica la matriz columna nula, de m filas. 
Todo sistema homogéneo tiene solución. Porque si se reemplazan todas las incógnitas por cero, se 
obtiene una igualdad en todas las ecuaciones. 
 Esta situación ocurre en cualquier sistema homogéneo, por eso se conoce a la solución “nula” como 
la solución trivial de todo sistema homogéneo. 
Un sistema homogéneo puede tener infinitas soluciones y entre ellas siempre se tendrá a la 
solución trivial. 
 
 (entonces nunca, pero nunca! ocurrirá que un sistema homogéneo no tenga solución, por la 
solución trivial, vió?)