Análise Matemática I - Trabalho Prático

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ANALISIS MATEMATICO I, 2011
TRABAJO PRÁCTICO 3
Crecimiento y decrecimiento de funciones. Máximos y mı́nimos,
locales y absolutos.
Actividad 1
1. Graficar f(x) =
|1 + x|+ |1− x|
2
y g(x) = |1 − |x||. En cada caso determinar la
región de crecimiento y decrecimiento; máximos y mı́nimos locales y absolutos.
Demostrar que f(x) ≥ 1, ∀x ∈ IR. Determinar para que valores de x, g(x) > 1.
2. Graficar y determinar regiones de crecimiento y decrecimiento , máximos y mı́nimos
locales y absolutos: g(x) = −3x2 − 4x y h(x) = x|x|.
3. Se debe doblar un pedazo de alambre de 60 cm para formar un rectángulo. Encontrar
las dimensiones del rectángulo de área máxima.
4. Un chacarero está engordando su ganado. El peso total del ganado es de 20 toneladas
y el precio del ganado en pie es de $4,50 el kg. El precio está bajando a razón de
$0,10 por d́ıa y el ganado está engordando a razón de 100 kg. por d́ıa (entre todos
los animales). Graficar el precio total del ganado en función del tiempo. Cuándo
conviene venderlo?
5. La función f(x) = −x2 + bx + c tiene un valor máximo de 12 en x = −2. Hallar las
constantes b y c.
6. Hallar para qué valores de x se satisface: (|2x + 3|+ 2x)2 ≤ −2x
7. Hallar sobre la recta y = x + 2 el punto que se encuentra más próximo al (1/2, 2).
Demostrar que la recta que pasa por el punto hallado y el (1/2, 2) es perpendicular
a y = x + 2.
Ĺımite.
Actividad 2
1. Dada la función determinada por la gráfica siguiente:
1
5
84
4
3
2
Calcular los ĺımites de la función en los puntos x = 2, x = 4 y x = 8.
2. Grafique y use la gráfica para hallar lim
x→1
f(x) :
(a) f(x) = x2 + 1,
(b) f(x) =



x2 + 1 si x 6= 1
3 si x = 1
Que puede observar comparando estos dos ĺımites?
3. (a) Si no existen lim
x→a f(x) y limx→a g(x); puede existir limx→a(f(x) + g(x))?
(b) Si existen y son finitos lim
x→a f(x) y limx→a(f(x) + g(x)); debe existir limx→a g(x)?
(c) Si existe y es finito lim
x→a f(x) y no existe limx→a g(x); puede existir limx→a(f(x) + g(x))?
(d) Si existen y son finitos lim
x→a f(x) y limx→a(f(x).g(x)); se puede asegurar que existe
lim
x→a g(x)?
En cada caso justificar la respuesta.
4. Hallar los siguientes ĺımites
(a) lim
x→1
3x3 − 2x2 + 4
(b) lim
x→−3
2
x + 2
(c) lim
x→0
x2√
x3 +
√
x + 5
5. Si lim
x→0
f(x)
x
= 1,¿ cuánto vale lim
x→0
f (x2)
x
?
2
Composición de funciones. Función inversa
Actividad 3
1. Analizar si la composición de funciones es una operación conmutativa. Justificar.
2. Dadas las siguientes funciones, calcular f ◦ g y g ◦ f indicando sus dominios.
(a) f(x) = −x2 + x + 12 y g(x) = √x
(b) f(x) = x + 3 y g(x) = 1
x
(c) f(x) = x2 y g(x) = x3
3. Demostrar que
(a) toda función lineal (no constante) admite inversa que es otra función lineal,
(b) toda función homográfica admite inversa en algún dominio adecuado. Dar la
expresión de dicha inversa indicando su dominio.
4. Analizar si las siguientes funciones admiten inversa y, en caso afirmativo, dar su
expresión e indicar su dominio.
(a) f(x) =
√
x
(b) f(x) = 1
x
(c) f(x) = 4− x2
(d) f(x) = 2− |x|
5. Definiendo g(x) = x
1
n , n ∈ IN como la inversa de f(x) = xn,
(a) encontrar dominio e imagen de g para los distintos valores de n
(b) graficar aproximadamente dichas funciones.
(c) Cómo podŕıa definir xq, q ∈ IQ?; esta función, tiene inversa?
Funciones Continuas
Actividad 4
1. Graficar f(x) =
(1 + x2)− 1
x
x 6= 0. Hallar el ĺımite de esa función cuando x tiende
a 0. ¿Cómo debe definirse f(x) en x = 0 para que resulte continua ?
2. Graficar f(x) =
x2 − 4
|x− 2| . Hallar los ĺımites laterales de f(x) cuando x tiende a 2.
Existe limx→2 f(x)? Puede definirse f(2) para que f sea continua?
3
3. Averiguar si f(x) =



x2 − 2x + 1
x− 1 si x 6= 1
2 si x = 1
es continua en x = 1. En caso
negativo, ¿puede redefinirse f(1) para que resulte continua?
4. Dadas dos funciones continuas , probar que la suma, la diferencia, el producto, el
cociente y la composición son funciones continuas donde corresponda.
5. Determinar si las siguientes funciones son continuas
(a) f(x) =
x− |x|
2
(b) f(x) =
{
3x + 1 si x ≥ 0
x + |x| si x < 0
6. Dada f(x) = [x] (la parte entera de x) , calcular lim
x→2+
f(x) y lim
x→2−
f(x). En x = 2
la función salta de un valor finito a otro. Podŕıa indicar una manera de medir ese
salto?
7. Construya ejemplos de funciones f y puntos x0 tales que
(a) f está definida en x0, existe lim
x→x0
f(x) y lim
x→x0
f(x) = f(x0)
(b) f está definida en x0, existe lim
x→x0
f(x) y lim
x→x0
f(x) 6= f(x0)
(c) f no está definida en x0 y existe lim
x→x0
f(x)
(d) f está definida en x0 y no existe lim
x→x0
f(x)
8. Calcular los ĺımites laterales de f(x) cuando x tiende a 0; decir si existe lim
x→0
f(x) y
si puede redefinirse f(0) de manera que resulte continua.
(a) f(x) = sg(x)
(b) f(x) = [x + 1]
9. Cómo extendeŕıa la definición de continuidad en un intervalo cerrado?
10. Dada f(x) continua en [a,b], construir una función que sea continua en IR y que
coincida con f en [a,b]. (en realidad existe una infinidad de dichas funciones)
11. Determinar el valor de c para el cual la función f es continua en IR.
f(x) =
{
x + 3 si x ≤ 2
cx + 6 si x > 2
4
12. Hallar los valores de b y c para los cuales la función f resulta continua en IR.
f(x) =
{
x + 1 si 1 < x < 3
x2 + bx + c si |x− 2| ≥ 1
13. Si f tiene una discontinuidad evitable en a, demostrar que existe una función g
continua en a y que coincide con f , salvo en a.
Propiedades de las funciones continuas.
Actividad 5
1. Sea f una función continua definida en [0, 48] tal que f(0) = f(48). Mostrar que
hay algún valor x ∈ [0, 48] para el cual f(x) = f(x + 24).
2. Un docente sube y baja una montanã por el mismo camino en 48 hs (parte a las
0 hs de un d́ıa y llega a las 24 hs del d́ıa siguiente. Mostrar que independiente de
la velocidad a la que vaya en cada momento y de los descansos que pueda haber
hecho, hay un punto del camino por el cual pasó ambos d́ıas a la misma hora.
3. Para cada uno de los siguientes polinomios, hallar un entero n tal que p(x) = 0 para
algún x entre n y n + 1.
(a) p(x) = x3 − x + 3
(b) p(x) = x5 + x + 1
(c) p(x) = 4x2 − 4x + 1
4. Sea f una función continua definida en [0, 1] cuyos valores f(x) caen todos en [0, 1].
Demostrar que f(x) = x para algún número x. (Sugerencia: Dibujar tal función)
Derivada de una función en un punto. Función derivada.
Actividad 6
1. Hallar las pendientes de las gráficas de las funciones siguientes en los puntos indi-
cados. Graficar.
(a) f(x) = 2x2 en (1,2)
(b) g(x) =
1
x
en (1,1)
(c) h(x) =
1√
x
en (x0, y0), x0 > 0
5
2. Dada f(x) = x3,
(a) Mostrar que f(x) es estrictamente creciente.
(b) Hallar la pendiente de la curva en x = 0.
(c) Hacer un gráfico aproximado de la función.
(d) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en (1, 1). Observar que esa
recta tangente también corta a la gráfica en (−2,−8).
3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) = x2 +1 que pasan
por el punto (2,1). Graficar la función y ambas rectas.
4. A partir de las gráficas de
(a) f(x) = x + |x|
(b) g(x) = x.|x|
(c) f(x) =
{
3x + 1 si x ≥ 0
3 si x < 0
determinar en cada caso si existe la tangente a la gráfica en (0,0). Luego en cada
caso demostrarlo anaĺıticamente.
5. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuación y = x sea
tangente a la gráfica de f(x) = x2 + c. Graficar.
6. Calcular por definición las derivadas de las siguientes funciones:
(a) f(x) = k, con k constante.
(b) f(x) = x
(c) f(x) = xn con n ∈ IN
(d) f(x) =
1
x
(e) f(x) =
√
x
7. Usando las reglas de derivación :
(a) qué puede decir acerca de la derivada de la función inversa de una función
derivable? Justifique su respuesta.
(b) calcule la función derivada de las siguientes funciones
i. f(x) = x−n con n ∈ IN
ii. f(x) = xq con q ∈ IQ
8. Calcular las derivadas de las siguientes funciones e indicar los dominios de cada
funcióny su derivada.
(a) (x−√x)(x2 + 3√x)
6
(b)
1
x
√
x
(c)
x4(x + 1)
x− 1
(d)
1
1 + 1
x+1
9. En cada caso, hallar g ◦ f y f ◦ g, su dominio natural y calcular su derivada.
(a) f(x) =
1
x
g(x) = x2 + 1
(b) f(x) =
x√
1− x3 g(x) = x
2
10. Si |f(x)| ≤ |x|, probar que f es continua en x = 0. ¿Es derivable?
11. Sea f(x) definida en un entorno del origen. Mostrar que si |f(x)| ≤ x2 entonces f
es derivable en 0. Calcular f ′(0). Interpretar gráficamente.
12. (a) Calcular las derivadas laterales de f(x) =
x− |x|
2
en x = 0 y determinar si es
derivable.
(b) Determinar si g(x) =
(
f(x)
)2
es derivable en x = 0. Graficar la función.
13. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable en x = 0.
¿Cuánto vale f ′(0)?
14. Consideremos la siguiente situación: desde una altura de 40 metros se deja caer
un objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta,
la posición del objeto (medida en metros desde el suelo) está dada por la función
h(t) = 40− 5t2.
(a) En el contexto descripto, entre qué valores de t es válida la expresión h(t) =
40− 5t2.
(b) Haga un gráfico que represente la posición del objeto en función del tiempo.
(c) Estime en ese gráfico la velocidad del objeto después de 2 segundos.
(d) Determine la velocidad del objeto a los t segundos. Entre qué valores es correcta
la expresión encontrada?
(e) Grafique la velocidad en función del tiempo.
(f) Calcule la razón de cambio instantánea de la función velocidad. Qué repre-
senta?
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