Integração: Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
Trabajo práctico 11
Integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas
Ejercicio 1. Hallar las funciones primitivas:
a)
∫
cos3 x dx (sug: escribir cos3 x = cosx cos2 x = cosx (1− sen2 x) )
b)
∫
cos3 x sen4 x dx (sug: escribir cos2 x en función del seno de x)
c)
∫
sen4 x dx (sug: escribir sen4 x = sen3 x senx e integrar por partes considerando
u(x) = sen3 x y v′(x) = sen x)
d)
∫
sen(3x) cos(2x) dx (sug: escribir sen(5x) y sen x en función del seno y del coseno de
2x y 3x)
e)
∫ √
1− cosx dx (sug: escribir x = 2t)
Ejercicio 2. Recordando las definiciones del seno y coseno hiperbólicos en términos de
exponenciales, calcular
a)
∫
senh2 x dx b)
∫
cosh2 x dx
Ejercicio 3. Resolver las siguientes integrales utilizando identidades trigonométricas e
hiperbólicas:
a)
∫
sen3 x dx
b)
∫
sen2 x cos3 x dx
c)
∫
cos4 x dx
d)
∫
sen2 x dx
e)
∫
sen2 x cos2 x dx
f)
∫
1
senx cosx
dx
g)
∫
sen(3x) cos(5x) dx
h)
∫ √
1 + cos x dx
i)
∫
senh3 x dx
j)
∫
cosh3 x senh2 x dx
k)
∫
cosh4 x dx
1
Sustituciones trigonométricas e hiperbólicas
Ejercicio 4. Hallar las fuciones primitivas:
a)
∫ √
1− x2 dx (sug: utilizar la sustitución x = sen t)
b)
∫ √
1 + x2 dx (sug: utilizar la sustitución x = senh t)
c)
∫ √
x2 − 1 dx (̇sug: utilizar la sustitución x = cosh t)
d)
∫ √
x2 − 2x dx (sug: completar cuadrados y utilizar una sustitución hiperbólica)
Ejercicio 5. Resolver utilizando sustituciones trigonométricas e hiperbólicas, cuando sea
necesario:
a)
∫ √
x2 − 16 dx
b)
∫ √
9− x2 dx
c)
∫ √
5 + x2dx
d)
∫
1√
1− 4x2
: dx
e)
∫
1
x3
√
x2 − 1
dx
f)
∫
4
x2 + 16
dx
g)
∫
4
x2 − 16
dx
h)
∫
1
x2 + 3
dx
i)
∫
2√
9x2 + 1
: dx
j)
∫ √
4x2 − 1 : dx
k)
∫ 1
−1
1√
x2 + 1
dx
l)
∫ 3
2
√
2
3
2
1
x2
√
9− x2
dx
Aplicaciones
Ejercicio 6. Hallar el área de un ćırculo de radio 3. (Sug: Notar que la porción del ćırculo
en el primer cuadrante se describe mediante la función f(x) =
√
9− x2).
Ejercicio 7. Hallar el área de la región encerrada por las curvas
a) x2 + y
2
9
= 1
b) x
2
4
+ y
2
16
= 1
2
Ejercicio 8. Calcular la longitud de las curvas
a) y = 1
2
cosh(2x) entre x = 0 y x = 2 ln(
√
5).
b) y = x2 entre x = 0 y x = 5.
Ejercicio 9. Calcular la superficie de un paraboloide de rotación, generado por rotación
de la parábola y = x2 alrededor de su eje de simetŕıa para x entre 0 y 10.
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
Trabajo Práctico 12
Integrales impropias
Ejercicio 1. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen, de ser aśı, cal-
cular a qué valor lo hacen.
a)
∫ ∞
2
1
x3/2
dx
b)
∫ ∞
1
1
x2/3
dx
c)
∫ 3
2
1
(x− 2)2
dx
d)
∫ 4
1
1
(x− 1)2/3
dx
e)
∫ 5
1
1
5− x
dx
f)
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx
g)
∫ 1
0
ln(x) dx
h)
∫ ∞
1
e−x dx
i)
∫ ∞
1
ex dx
Ejercicio 2. Estudiar para qué valores de s convergen y para cuales no, las siguientes
integrales impropias
a)
∫ 1
0
1
xs
dx b)
∫ ∞
1
1
xs
dx
Comparar con lo obtenido en los inciso a)− e) del ejercicio 1.
Ejercicio 3. Analizar por qué las siguientes integrales son impropias. Determinar si con-
vergen, y de ser aśı, calcular a que valor lo hacen.
a)
∫ ∞
0
x
1 + x2
dx
b)
∫ ∞
0
x
1 + x
dx
c)
∫ 1
−1
x√
1− x2
dx
d)
∫ 0
−∞
ex
√
ex + 1 dx
e)
∫ 1
0
√
x ln(x) dx
f)
∫ 2
0
2
x2 − 4x+ 3
dx
1
Ejercicio 4. Utilizando el criterio de comparación determinar si las siguientes integrales
impropias convergen
a)
∫ ∞
1
1
1 + x6
dx
b)
∫ 1
0
ln(u)
4
√
u
du
c)
∫ 1
0
e−x
1− x
dx
d)
∫ ∞
1
1√
x2 − 0,1
dx
e)
∫ ∞
10
√
x
ex
dx
f)
∫ 1
0
1
t− t4
dt
Ejercicio 5.
a) Mostrar que
∫ 1
0
| ln(x)|
1 + x2
dx es convergente.
b) Mostrar que
∫ +∞
0
e−x cos2(x) dx es convergente.
c) Mostrar que para cualquier n ∈ N ,
∫ 1
0
| ln(x)|n
x
dx es divergente.
Ejercicio 6. Analizar la convergencia de
a)
∫ ∞
1
x2 − x+ 4
x7/2 + 6x+ 1
dx
b)
∫ ∞
1
(
1
x
− 1
1 + x
)
dx
c)
∫ ∞
0
e−x sen(x) dx
d)
∫ ∞
1
x−x dx
e)
∫ 1
0
√
− ln(x) dx
f)
∫ ∞
0
e2xe−x
2
dx
g)
∫ +∞
e
t2 + 1
et + ln(t)
dt
h)
∫ π/2
0
tan θ dθ
i)
∫ ∞
1
1
x(1 + x)
dx
j)
∫ ∞
−∞
1
ex + e−x
dθ
k)
∫ 1
−1
1√
1− x2
dx
Ejercicio 7. Si f ′ es continua en [a, b], aplicar integración por partes para demostrar que
ĺım
λ→+∞
∫ b
a
f(t) sen(λt)dt = 0.
2
Ejercicio 8. Hay funciones que no tienden a cero en el infinito cuya integral impropia
resulta convergente. Por ejemplo, probar que la siguiente integral resulta convergente:∫ ∞
0
sen(x2) dx .
Ejercicio 9. Calcular el volumen de sólido de revolución generado por la gráfica de la
función f(x) = e−x con 0 ≤ x ≤ b para b > 0. ¿Existe el ĺımite cuando b → ∞ del
volumen del sólido? ¿Qué significado geométrico tiene ese ĺımite?.
Ejercicio 10.
a) Determinar para qué valores de c > 0 el volumen de revolución generado por la gráfica
de la función y = 1
xc
entre x = 1 y x = b es finito cuando b→∞.
b) Si ahora se considera el volumen entre x = a y x = 1, ¿qué valores de c daŕıan un
volumen finito cuando a→ 0+?
Ejercicio 11. Analizar si el área comprendida entre las funciones propuestas resulta
finita. En caso de ser finita, calcular su valor exacto.
1. g(x) = −x−6 y f(x) = xe−x2 para x ∈ [1,+∞)
2. g(x) = π
2
y f(x) = arctan(x) para x ∈ [0,+∞)
Ejercicio 12. Utilizando integrales, hallar la longitud de la curva y =
√
1− x2 en [−1, 1].
¿Qué representa geométricamente?
Teorema de Taylor e integrales.
Ejercicio 13. Usando desarrollos de Taylor adecuados, determinar cuáles de las siguientes
integrales impropias convergen.
1.
∫ 1
0
sen(x)
x3/2
dx
2.
∫ 1
0
ln(1 + x)
x2
dx
Ejercicio 14. Calcular las siguientes integrales con error menor que 10−3.
1.
∫ 1
0
cos(x)− 1
x
dx
2.
∫ 1
0
sen(x2) dx
3.
∫ 1/2
0
ln(1 + x)
x
dx
4.
∫ 1
0
ex − 1
x
dx
3
Criterios de convergencia para integrales impropias
Criterio de comparación
Teorema. Sean f y g funciones continuas en [a, b) tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo
x ∈ [a.b). Si la integral
∫ b
a
g(x) dx converge, entonces
∫ b
a
f(x) dx también converge.
Observación 15. Notar que si la integral
∫ b
a
f(x) dx diverge también lo hace la integral∫ b
a
g(x) dx.
Criterio de comparación por paso al ĺımite
Teorema. Sean f y g funciones continuas en [a, b) tales que 0 ≤ f(x) y 0 ≤ g(x), para
todo x ∈ [a, b). Si ĺım
x→b−
f(x)
g(x)
= λ se verifica:
a) Para 0 < λ <∞,∫ b
a
f(x) dx converge si y sólo si
∫ b
a
g(x) dx converge
b) Para λ = 0,
si
∫ b
a
g(x) dx converge entonces
∫ b
a
f(x) dx converge
c) Para λ =∞,
si
∫ b
a
g(x) dx diverge entonces
∫ b
a
f(x) dx diverge
Observación 16. Ambos criterios son válidos para b =∞.
Observación 17. De manera análoga pueden plantearse ambos criterios para funciones
positivas y continuas en (a.b]. En este caso, se puede considerar a = −∞.
4
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 1
1. Encontrar una expresión para las siguientes funciones indicando el dominio de las
mismas.
(a) El peŕımetro p de un cuadrado como función de la longitud l del lado.
(b) El costo p de l lámparas si cada una cuesta 4 pesos. ¿Que diferencia hay entre
esta función y la del inciso anterior?
(c) El área de un triángulo equilátero como la función de la longitud x de un lado.
Lo mismo para el peŕımetro.
(d) La longitud de un lado de un cuadrado como función de la longitud d de la
diagonal.
2. No toda curva del plano es el gráfico de una función. En vista de la definición de
función y de su gráfico, indique cuáles de los siguientes dibujos corresponden a la
gráfica de alguna función:
–2
–1
1
2
y
–1 1 2 3
x
,
–2
–1
0
1
2
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
,
–1
–0.5
0.5
1
1.5
2
y
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2
x
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2
x
,
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–4 –2 2 4 6
x
,
5
10
15
20
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
1
3. Determinar, justificando, si y es una función de x para cada uno de lossiguientes
casos:
(a) x2 + y2 = 9
(b) y2 = x2 − 1
(c) x2 + y = 3
(d) x2y − x2 + 4y = 0
4. Determinar los dominios de las siguientes funciones:
(a) k(x) = x4 + 5x−
√
x
(b) f(y) = 3
√
y+1
y3−1
(c) g(u) =
√
u3 − 3u
(d) f(x) = x
x2+x
5. Use las gráficas dadas de f y g para evaluar cada expresión, o bien, explique porqué
no está definida.
(a) f(g(2))
(b) g(f(0))
(c) (f ◦ g)(0)
(d) (g ◦ f)(6)
(e) (g ◦ g)(−2)
(f) (f ◦ f)(4)
6. Sean f(x) = 1
x
y g(x) =
√
x. Sabiendo que el dominio de f es IR−{0} y el dominio
de g es [0,+∞), hallar la expresión de las siguientes funciones y sus dominios:
(a) (g ◦ f)(x)
(b) f(g(x))
(c) g(g(x))
(d) (f ◦ f)(x).
2
7. Si la función h(x) tiene la gráfica de la figura, dibuje la gráfica de las siguientes
funciones:
(a) h(x + 4)
(b) h(x) + 4
(c) 2h(x)
(d) −1
3
h(x− 1)
8. Hacer una representación gráfica de las siguientes funciones lineales:
(a) f(x) = x
(b) f(x) = −1
2
x + 4
(c) f(x) = 3x + 1.
Definición: La variaćıón promedio de f(x) entre x1 y x2 se define como el cociente
f(x2)−f(x1)
x2−x1 y representa la razón de cambio promedio a la que cambió f(x) entre x1
y x2.
9. (a) ¿Cómo se interpreta geométricamente la variación promedio de f(x) entre x1
y x2?
(b) Probar que si f es una función lineal entonces para cada x1 y x2 la variación
promedio es la misma.
(c) Si para cada x1 y x2 la variación promedio de una función f es constante e
igual al número m, ¿cómo es f? (Sugerencia: considerar los casos m = 0 y
m 6= 0.)
(d) Si bien el gráfico de toda función lineal es una recta, no toda recta es el gráfico
de una función lineal (justifique esta observación).
(e) Halle una ecuación de la recta r, su pendiente y su ordenada al origen, sabiendo
que:
i. Pasa por los puntos (2, 1), (3, 4).
ii. Pasa por los puntos (−1,
√
3), (−1, 5).
iii. Pasa por el punto (1, 0) y tiene pendiente −2.
iv. Pasa por el punto (4,−3) y tiene pendiente
√
7.
10. Encontrar y graficar las funciones lineales que satisfacen las siguientes condiciones:
(a) f(−1) = 0 y f(1) = 2.
(b) Su gráfica pasa por el origen y su pendiente es igual a 3.
3
(c) Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta de ecuación 3x− 4y = 0.
11. Un escritor está por firmar un contrato que establece que ganará 400.000 pesos más
100 pesos por libro vendido. Graficar la función ganancia y establecer cuál es la
razón de cambio. Observar que todos los puntos de la gráfica de la función están en
una recta.
Una nueva editorial le ofrece al escritor un contrato de 300.000 pesos pero le pagará
120 pesos por cada libro vendido. ¿Qué decisión tomará el escritor? ¿Le conviene
cambiar de editorial?
(a) Analizar el problema haciendo una gráfica.
(b) Plantear la desigualdad que dará respuesta al problema.
12. Graficar el triángulo determinado por los puntos (−1, 2), (4, 0), (1,−5) y calcular su
peŕımetro y superficie.
13. Graficar las siguientes funciones e indicar el dominio e imagen de las mismas:
(a) f(x) =
{
2x + 3 si x > 2
−x− 2 si x ≤ 2
(b) f(x) =
{
1 si x ≤ 0
−2x + 1 si x > 0
(c) f(x) =

x si x ≤ 0
0 si 0 < x ≤ 1
x− 1 si x > 1
(d) f(x) =
{
−x + 2 si −3 < x ≤ 2
x− 2 si 2 < x ≤ 5
14. Dadas las siguientes funciones, calcular f ◦ g y g ◦ f . Indicar sus dominios.
(a) f(x) = x + 3 y g(x) = 1
4x−2
(b) f(x) = x2 − x− 6 y g(x) =
√
x
(c) f(x) = |3− x| y g(x) =
√
x
15. Analizar si las siguientes funciones admiten inversa y, en caso afirmativo, dar su
expresión e indicar su dominio.
(a) f(x) =
√
x
(b) f(x) = 1
x
(c) f(x) = 4− x2
(d) f(x) = 2− |x|
Observación: Algunas de las funciones anteriores pueden tener más de una función
inversa según el dominio que se considere. ¿Cuáles?
4
16. Demostrar:
(a) Toda función lineal no constante admite inversa. Además, la inversa es otra
función lineal.
(b) Toda función homográfica admite inversa en algún dominio adecuado. Dar
la expresión de dicha inversa indicando su dominio (Aclaración: Una función
homográfica es de la forma f(x) = ax+b
cx+d
, donde bc− da 6= 0)
17. Definimos g(x) = x
1
n , n ∈ IN como la inversa de f(x) = xn.
(a) Encontrar dominio e imagen de g para los distintos valores de n
(b) Graficar aproximadamente dichas funciones.
(c) ¿Cómo podŕıa definir xq para q ∈ IQ? ¿Cuándo esta función tiene inversa?
5
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 2
1. Resolver y representar gráficamente en la recta numérica los conjuntos de números
reales que cumplen cada una de las siguientes condiciones.
(a) |4x| = |4x+ 1|
(b) |x2 + 1| = |x2 − 1|
(c) −3|4
3
x− 1| ≤ 1
(d) |1 + x| ≥ 1 + |x|
2. Para cada ı́tem graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos cada uno de los
siguientes conjuntos de funciones a valores reales.
(a) f(x) = |x|, h(x) = |x− 3|, v(x) = |x| − 3
(b) f(x) = −|x|, g(x) = −|x+ 1|, u(x) = −|x|+ 1,
3. Reescribir las siguientes funciones como funciones a trozos utilizando la definición
de valor absoluto y a continuación graficarlas:
(a) f(x) = |3x− 1|+ 2
(b) g(x) = −|x− 1|+ x
(c) h(x) = |3x− 5|+ |2x+ 1|
4. (a) Graficar una función f : IR → IR que cumpla simultáneamente las siguientes
condiciones:
i. f(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (4, 6)
ii. f(x) > 0 si x ∈ (−1, 4) ∪ (6,∞)
iii. f(x) = 0 si x = −1, x = 4 y x = 6.
(b) A partir del gráfico de f realizado en el inciso anterior, graficar |f(x)|.
5. Hallar las ecuaciones de las parábolas que verifican:
(a) pasa por los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).
(b) su vértice está en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.
(c) pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mı́nimo que es −5.
(d) pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mı́nimo.
6. Graficar y señalar ráıces, vértice y eje de simetŕıa de las siguientes parábolas
(a) y = −x2 + 2x− 1
1
(b) y = 2x2 − 4x− 3
(c) y = −1/2 x2 − 3x+ 7/2
(d) y = x2 − 3x+ 2
7. Analizar el signo de las funciones del inciso anterior.
8. Determinar el o los valores de k tales que
(a) y = x2 + 7x+ k tiene una sola intersección con el eje x,
(b) y = x2 − 2kx+ k2 − 3k + 2 pasa por el origen.
9. Graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones a valores
reales: f(x) = 2x2 − 10x+ 8, g(x) = |2x2 − 10x+ 8|
Definición: Una función f se dice par si f(x) = f(−x) e impar si f(x) = −f(−x)
para todo x ∈ Dom(f).
Por ejemplo, la función f(x) = x2 es una función par (gráfica de la izquierda) ya
que
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x),
y la función f(x) = x3 es impar (gráfica de la derecha) porque
f(−x) = (−x)3 = [(−1)x]3 = (−1)3x3 = −x3 = −f(x).
0
10
20
30
40
50
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
10. Determinar anaĺıticamente si las siguientes funciones son pares o impares y cuando
sea posible verificarlo gráficamente: (a) f(x) = 2x2 + 1, (b) f(x) = 3x3, (c) f(x) =
x4 − x2.
11. Hay funciones que no son pares ni impares, verificar que f(x) = x7 − x2 es una de
ellas.
12. Mostrar que g(x) = f(x) + f(−x) es siempre una función par. ¿Cómo se podŕıa
construir una función impar a partir de otra función f dada?
2
Definición:
• Reflexiones respecto de los ejes: Dada una función conocida y = f(x),
consideremos la función compuesta g(x) = f(−x). Gráficamente vemos que la
gráfica se copia, como por un espejo, reflejada con respecto al eje y. Por esta
razón, g(x) se llama reflexión de f(x) con respecto al eje y. Si se considera la
función h(x) = −f(x) se obtiene la reflexión de f(x) con respecto al eje x.
• Traslaciones en el plano: Si conocemos la gráfica de una función f(x) pode-
mos construir una nueva función g(x) cuya gráfica sea como la de f(x), pero
trasladada horizontalmente a unidades mediante la composición g(x) = f(x−a)
donde a es un número real. Y si queremos construir una función que tenga la
misma gráfica que f(x) pero trasladada verticalmente b unidades, lo hacemos
mediante la suma h(x) = f(x) + b donde b es un número real.
• Dilataciones y compresiones: Cambio de escala vertical: si multiplicamos
el valor def(x) por un número c > 0, obtenemos la función cf(x). Cuando
c > 1 la gráfica de cf(x) es como la de f(x) pero extendida verticalmente.
Mientras que si 0 < c < 1 la gráfica se comprime verticalmente. Se conocen
con el nombre de dilatación o compresión vertical, respectivamente.
Cambio de escala horizontal: si utilizamos un número c > 0 para realizar la
composición f(x/c) generamos una transformación en el eje horizontal. Cuando
c > 1 , la función compuesta f(x/c) se representa con la gráfica dilatada hor-
izontalmente en un factor c. Cuando 0 < c < 1 la gráfica se contrae horizon-
3
talmente. Se denominan compresiones o dilataciones horizontales , respectiva-
mente.
13. (a) A partir de la gráfica de f(x) = 1
x
, usando traslaciones apropiadas, graficar las
siguientes funciones
i. g(x) = 1
x−2
ii. h(x) = 1
x+2
(b) Verificar que
i. x
x+2
= 1− 2
x+2
ii. −x+4
x−2 = −1 +
2
x−2
(c) A partir de lo realizado en los incisos previos graficar las siguientes funciones
(usando traslaciones, dilataciones y/o reflexiones) e indicar cuál es el dominio
de cada una de ellas.
i. w(x) = x
x+2
ii. z(x) = −x+4
x−2
(d) Determinar en base a las gráficas realizadas en el inciso anterior para qué
valores de x se satisfacen las siguientes condiciones:
i. w(x) = 0
ii. z(x) > 0
iii. w(x) < 1
iv. z(x) > −1
14. Indicar el dominio y hacer un gráfico aproximado de las siguientes funciones racionales:
(a) f(x) =
3x
−x+ 4
(b) f(x) =
x+ 4
−2x− 4
(c) f(x) =
4
3x+ 9
4
Algunas Cónicas
Algunas curvas que aparecen frecuentemente en distintos tipos de problemas no son el
gráfico de una función, pero son representadas por distintas ecuaciones. Analizaremos
las llamadas cónicas que, junto con la parábola se obtienen al seccionar un cono cirular
doble con un plano es distintas posiciones.
• Circunferencia
– Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de un
punto llamado centro de la circunferencia.
– La ecuación que la representa es
(x− α)2 + (y − β)2 = r2
y es claro que para determinar una circunferencia basta conocer su centro y su
radio.
– Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta pueden ser
∗ exterior: no existen puntos de intersección
∗ tangente: existe un solo punto de intersección
∗ secante: existen dos puntos de intersección
5
• Elipse
– Una elipse puede verse como una circunferencia “deformada”.
– La ecuación llamada canónica de la elipse centrada en el punto C = (α, β)
está dada por
(x− α)2
a2
+
(y − β)2
b2
= 1
• Hipérbola
– Si bien los gráficos de todas las funciones homográficas son curvas llamadas
hipérbolas cuyas aśıntotas son verticales y horizontales, éstas no son las
únicas.
6
– Las ecuaciones
x2
a2
− y
2
b2
= 1 (1)
y2
a2
− x
2
b2
= 1 (2)
corresponden a hipérbolas centradas en el origen. En el caso de la ecuación
(1), la hipérbola corta al eje x en los puntos (a, 0) y (−a, 0) y las ecuaciones
de las aśıntotas son
y =
b
a
x y y =
−b
a
x.
En el caso de la ecuación (2), la hipérbola corta al eje y en los puntos (0, a) y
(0,−a) y las ecuaciones de las aśıntotas son
y =
a
b
x y y =
−a
b
x.
Observar que los resultados mencionados para la ecuación (2) provienen de
intercambiar los roles de x e y en los resultados correspondientes a la ecuación
(1).
– De manera análoga toda ecuación de la forma
(x− α)2
a2
− (y − β)
2
b2
= 1 o
(y − β)2
a2
− (x− α)
2
b2
= 1
representa una hipérbola centrada en el punto C(α, β). En el caso de la primera
expresión, se tiene que las ecuaciones de las aśıntotas son
y − β = b
a
(x− α) y y − β = −b
a
(x− α).
Intercambiando los roles de (x−α) e (y− β) se pueden obtener las ecuaciones
análogas de las aśıntotas para la segunda expresión.
7
1. Dar la ecuación de la circunferencia que verifica las siguientes condiciones y graficar.
(a) Centro C(−1, 2) y radio 1
(b) Centro C(−2, 3) y tangente al eje x
(c) Pasa por los puntos (0, 3), (0,−1) y (2, 1)
2. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4, indicar para que valores de k la
recta de ecuación y + x = k es
(a) exterior
(b) secante
(c) tangente
3. Graficar las siguientes cónicas:
(a) 2x2 − 4x+ 2y2 − 8y − 2 = 0
(b) 4x2 + (2y + 2)2 = 1
(c)
x2
12
+
y2
9
= 1
(d) x2 +
y2
16
= 1
(e) 3(x− 1)2 + 5(y + 3)2 = 15
(f)
(x+ 2)2
9
− y
2
4
= 1
(g) −x2 + 4y2 = 4
4. Encontrar b para que la elipse de ecuación
x2
4
+
y2
b
= 1 sea tangente a la recta y = 1.
5. Determina los puntos de intersección de la hipérbola x2 − 2y2 = 1 con cada una de
las siguientes curvas (verificar los resultados gráficamente):
(a) x+ y − 1 = 0
(b) x2 + 4y2 = 25
(c) x2 + y2 = 10
(d) y2 − x
2
4
= 1
1 Problemas de aplicación
1. Encontrar las coordenadas de un punto cuya distancia al (0, 0) y al (4, 4) sea 2
√
2.
2. Un colectivo parte desde la terminal de un pueblo hacia otro a las 17 hs. a una
velocidad constante de 96km/h, por una carretera recta.
Un pasajero que no llegó a horario a tomar el colectivo decide alcanzarlo en un remı́s.
A las 17:20 hs comienza el viaje en remis a una velocidad constante de 120km/h.
8
• Consideren las funciones de posición del colectivo y el remı́s, teniendo en cuenta
que ambas miden la distancia que separa a cada veh́ıculo de la terminal del
pueblo de partida. si el instante t = 0 representa las 17hs y las funciones de
posición se consideran medidas en km, encuentren las expresiones de cada una
de ellas y realicen las gráficas.
• ¿A qué hora el pasajero alcanza al colectivo?
• ¿A qué distancia del pueblo de partida se produce el encuentro?
3. Se sabe que cierto gallinero rectangular tiene un peŕımetro de 30 m. Expresar la
superficie del gallinero en función de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 m
averiguar la superficie del gallinero. ¿Cuál es el ancho si se sabe que la superficie es
de 44 m2? ¿Puede ser el ancho de 18 m?
4. Una flecha se lanza hacia arriba en dirección al horizonte y viaja trazando un arco
parabólico dado por la ecuación y = ax2 +x+c. Utilizar el hecho de que la flecha se
lanza a una altura vertical de 1,5 m y que vuelve a alcanzar la misma altura luego
de recorrer una distancia horizontal de 60 m, para hallar a y c. ¿Cuál es la máxima
altura alcanzada por la flecha? ¿En qué intervalo sube la flecha? ¿En qué intervalo
baja?
5. Los gastos mensuales, en pesos, de una empresa por la fabricación de x relojes vienen
dados por la función G(x) = 2000+25x, y los ingresos que se obtienen por las ventas
son I(x) = 60x − 1
100
x2, también en pesos. ¿Cuántos relojes deben fabricarse para
que el beneficio (ingresos-gastos) sea máximo?
6. Con un cuadrado de cartón de 1 metro de lado se desea construir una caja de base
cuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas y doblando los lados hacia
arriba. Expresar el volumen de la caja en función de la altura.
9
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 3
Ejercicio 1. Dada la función determinada por la gráfica siguiente:
5
84
4
3
2
Calcular los ĺımites de la función en los puntos x = 2, x = 4 y x = 8.
Ejercicio 2. Grafique y use la gráfica para hallar lim
x→1
f(x) :
a) f(x) = x2 + 1,
b) f(x) =

x2 + 1 si x 6= 1
3 si x = 1
Ejercicio 3. Hallar los siguientes ĺımites
a) lim
x→1
3x3 − 2x2 + 4
b) lim
x→−3
2
x + 2
c) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
d) lim
x→1
|x− 1|
x− 1
e) lim
x→2
x2 + 3x− 1
x4 + 6x2 + 5
f) lim
x→3−
x− 2
x− 3
g) lim
x→3
x− 2
x− 3
h) lim
x→4
2−
√
x
x2 − 5x + 4
i) lim
x→1
(x− 1)2√
x + 3− 2
Ejercicio 4. Analizar si las siguientes afirmaciones son ciertas. Justificar.
a) Si no existen lim
x→a
f(x) y lim
x→a
g(x); ¿puede existir lim
x→a
(f(x) + g(x))?
1
b) Si existen lim
x→a
f(x) y lim
x→a
(f(x) + g(x)); ¿debe existir lim
x→a
g(x)?
c) Si existe lim
x→a
f(x) y no existe lim
x→a
g(x); ¿puede existir lim
x→a
(f(x) + g(x))?
d) Si existen lim
x→a
f(x) y lim
x→a
(f(x).g(x)); ¿se puede asegurar que existe lim
x→a
g(x)?
Ejercicio 5. Hallar los siguientes ĺımites utilizando losdatos.
a) Si lim
x→x0
f(x) = 5 y lim
x→x0
g(x) = −2, encontrar lim
x→x0
f(x)− 2
f(x)− g(x)
.
b) Si lim
x→−2
f(x)
x2
= 1, hallar lim
x→−2
f(x)
x
.
c) Si lim
x→0
f(x)
x
= 1, hallar lim
x→0
f (x2)
x
.
Funciones continuas.
Ejercicio 6. Determinar si las siguientes funciones son continuas
a) f(x) =
x− |x|
2
b) f(x) =
{
3x + 1 si x ≥ 0
x + |x| si x < 0
Ejercicio 7. Graficar f(x) =
x2 − 4
|x− 2|
. Hallar los ĺımites laterales de f(x) cuando x tiende
a 2. ¿Existe limx→2 f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua?
Ejercicio 8. Averiguar si f(x) =

x2 − 2x + 1
x− 1
si x 6= 1
2 si x = 1
es continua en x = 1. En
caso negativo, ¿puede redefinirse f(1) para que resulte continua?
Ejercicio 9. Dadas dos funciones continuas, probar que la suma, la diferencia, el producto
y el cociente son funciones continuas en su dominio.
Definición: La función parte entera está dada por [x] = m donde m es el mayor número
entero que satisface m ≤ x.
Ejercicio 10. Dada f(x) = [x] (la parte entera de x) , calcular lim
x→2+
f(x) y lim
x→2−
f(x).
En x = 2 la función salta de un valor finito a otro. ¿Podŕıa indicar una manera de medir
ese salto?
Ejercicio 11. Construya ejemplos de funciones f y puntos x0 tales que
a) f está definida en x0, existe lim
x→x0
f(x) y lim
x→x0
f(x) = f(x0)
2
b) f está definida en x0, existe lim
x→x0
f(x) y lim
x→x0
f(x) 6= f(x0)
c) f no está definida en x0 y existe lim
x→x0
f(x)
d) f está definida en x0 y no existe lim
x→x0
f(x)
Definición: La función signo está dada por sg(x) =

1 si x > 0
−1 si x < 0
.
Ejercicio 12. Calcular los ĺımites laterales de f(x) cuando x tiende a 0; decir si existe
lim
x→0
f(x) y si puede redefinirse f(0) de manera que resulte continua.
a) f(x) = sg(x)
b) f(x) = [x + 1]
Ejercicio 13. ¿Cómo extendeŕıa la definición de continuidad en un intervalo cerrado?
Ejercicio 14. Dada f(x) continua en [a,b], construir una función que sea continua en R
y que coincida con f en [a,b] (en realidad existe una infinidad de dichas funciones).
Ejercicio 15. Determinar el valor de c para el cual la función f es continua en R.
f(x) =
{
x + 3 si x ≤ 2
cx + 6 si x > 2
Ejercicio 16. Hallar los valores de b y c para los cuales la función f resulta continua en
R.
f(x) =
{
x + 1 si 1 < x < 3
x2 + bx + c si |x− 2| ≥ 1
Ejercicio 17. Sea f una función continua definida en [0, 48] tal que f(0) = f(48). Mostrar
que hay algún valor x ∈ [0, 48] para el cual f(x) = f(x + 24).
Ejercicio 18. Un docente sube y baja una montanã por el mismo camino en 48 hs (parte
a las 0 hs de un d́ıa y llega a las 24 hs del d́ıa siguiente. Mostrar que independientemente
de la velocidad a la que vaya en cada momento y de los descansos que pueda haber hecho,
hay un punto del camino por el cual pasó ambos d́ıas a la misma hora.
Ejercicio 19. Para cada uno de los siguientes polinomios, hallar un entero n tal que
p(x) = 0 para algún x entre n y n + 1.
a) p(x) = x3 − x + 3
b) p(x) = x5 + x + 1
c) p(x) = 4x2 − 4x + 1
Ejercicio 20. Sea f una función continua definida en [0, 1] tal que su imagen está con-
tenida en el intervalo [0, 1]. Demostrar que f(x) = x para algún número x. (Sugerencia:
Dibujar tal función)
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 4
Ejercicio 1. a) Calcular la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados:
i) f(x) = 2x2, en el punto de abscisa x = 1.
ii) g(x) =
1
x
, en el punto de abscisa x = 1.
iii) h(x) =
√
x, en el punto de abscisa x0 > 0.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las funciones del
inciso anterior en los puntos indicados. Graficar.
Definición: Una función f es estrictamente creciente si para cualquier par de puntos a,
b ∈ Dom(f) con a < b se verifica que f(a) < f(b).
Ejercicio 2. Dada f(x) = x3,
a) Mostrar por definición que f(x) es estrictamente creciente.
b) Hacer un gráfico aproximado de la función.
c) Hallar la pendiente de la curva en x = 0.
d) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en (1, 1). Observar que esa recta
tangente también corta a la gráfica en (−2,−8).
Ejercicio 3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) = x2 + 1
que pasan por el punto (2,1). Graficar la función y ambas rectas.
Ejercicio 4. ¿Cuántas rectas tangentes a la gráfica de y = x2 + 3 pasan por el punto
(1, 0)? Hallar la ecuación de cada una. Graficar.
Ejercicio 5. A partir de las gráficas de
a) f(x) = x+ |x|
b) g(x) = x.|x|
c) f(x) =
{
3x+ 1 si x ≥ 0
3 si x < 0
determinar en cada caso si existe la tangente a la gráfica en (0,0). Luego en cada caso
demostrarlo anaĺıticamente.
Ejercicio 6. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuación y = x
sea tangente a la gráfica de f(x) = x2 + c. Graficar.
1
Ejercicio 7. Calcular por definición la derivada de las siguientes funciones:
a) f(x) = k, con k constante.
b) f(x) = x
c) f(x) = x3
d) f(x) = x4
e) f(x) =
1
x
f) f(x) =
√
x
Ejercicio 8. Dadas las siguientes funciones, calcular su derivada:
a) f(x) =
1
3
x4 − (5x)3 + x2 − 2
b) f(x) = 1
2
x−
1
2
c) f(x) = πx7 − 8x5 + x+ 1
d) f(x) = (x3 + x).(x− 1)
e) f(x) = (x−
1
2 + x2).(x3 + 1
x
)
f) f(x) = 2x+1
x+5
Ejercicio 9. Calcular la derivada de las siguientes funciones. En cada caso indicar el
dominio de definición y el dominio de derivabilidad
a) (x−
√
x)(x2 + x−3)
b)
1
x
√
x
c)
x4(x+ 1)
x− 1
d)
1
1 + 1
x+1
Ejercicio 10. Utilizando la ecuación del ćırculo, realice un gráfico de f(x) =
√
4− x2.
Calcule f ′(0) y f ′(
√
2) sin derivar, sólo usando argumentos geométricos. Luego verifique
los resultados hallados calculando la derivada.
Ejercicio 11. En cada caso, hallar g◦f y f ◦g, su dominio natural y calcular su derivada.
a) f(x) =
1
x
g(x) = x2 + 1
b) f(x) =
x√
1− x3
g(x) = x2
Ejercicio 12. Calcular la función derivada de las siguientes funciones
a) f(x) = x−n con n ∈ N
b) f(x) = xq con q ∈ Q. (Observación importante: ¿Son derivables en x=0? Por ejemplo,
pensar en f(x) = x1/3)
Ejercicio 13. Calcular la derivada de las siguientes funciones. En cada caso indicar el
dominio de definición y el dominio de derivabilidad.
a) f(x) = x−
3
4 + 10x
b) f(x) = (x4 + x2 + π)−
3
4
2
c) f(x) = 3
√
2x4 + 4x3 − 1
2
x
d) f(x) = (3x+ 2
x
)4
e) f(x) = 5
√
(x+ 1)3
f) f(x) = x
3√
(1−x2)3
Ejercicio 14. a) Calcular las derivadas laterales de f(x) =
x− |x|
2
en x = 0 y determinar
si es derivable.
b) Determinar si g(x) =
(
f(x)
)2
es derivable en x = 0. Graficar la función.
Ejercicio 15. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable en
x = 0. ¿Cuánto vale f ′(0)?
Ejercicio 16. Sea la función
f(x) =
{
x2 − x+ 1 si x > 1
x3 si x ≤ 1
a) Graficar.
b) Probar que f es continua en x = 1.
c) Analizar si f es derivable en x = 1.
Ejercicio 17. Analizar la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en
sus respectivos dominios:
a) f(x) =
{
(x− 2)2 si x ≥ 2
−(x− 2)2 si x < 2
b) g(x) = |x− 2|
Graficar las funciones f y g.
Ejercicio 18. Sea la función
f(x) =
{
2x+ 1 si x < 1
x+ a si x ≥ 1
a) Determinar el valor de a para que la función sea continua en x = 1.
b) ¿Es f(x) derivable en x = 1?
Ejercicio 19. Sea la función
f(x) =
{
x2 si x < 1
ax+ b si x ≥ 1
Hallar el valor de a y b para que la función resulte continua y derivable en x = 1.
3
Ejercicio 20. Consideremos la siguiente situación: desde una altura de 40 metros se deja
caer un objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta, la
posición del objeto (medida en metros desde el suelo) está dada por la función h(t) =
40− 5t2.
a) En el contexto descripto, entre qué valores de t es válida la expresión h(t) = 40− 5t2.
b) Haga un gráfico que represente la posición del objeto en función del tiempo.
c) Estime en ese gráfico la velocidad del objeto después de 2 segundos.
d) Determine la velocidad del objeto a los t segundos. Entre qué valores es correcta la
expresiónencontrada?
e) Grafique la velocidad en función del tiempo.
f) Calcule la razón de cambio instantánea de la función velocidad ¿Qué representa?
Ejercicio 21. Se debe doblar un pedazo de alambre de 60 cm para formar un rectángulo.
Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima.
Ejercicio 22. La función f(x) = −x2 + bx + c tiene un valor máximo de 12 en x = −2.
Hallar las constantes b y c.
Ejercicio 23. Graficar las siguientes funciones. En cada caso determinar la región de
crecimiento y decrecimiento; máximos y mı́nimos locales y absolutos.
a) g(x) = −3x2 − 4x
b) h(x) = x|x|
c) g(x) = |1− |x||
d) f(x) =
|1 + x|+ |1− x|
2
e) Demostrar que f(x) ≥ 1,∀x ∈ R. Determinar para que valores de x, g(x) > 1.
4
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 5
Extremos y teorema del valor medio
Ejercicio 1. Decir si las siguientes afirmaciones son correctas. En caso contrario, justi-
ficar la respuesta.
a) El teorema del valor medio se puede aplicar a la función f(x) = x1/3 en [−1, 1].
b) Si la gráfica de una función tiene tres intersecciones con el eje x, debe haber al
menos dos puntos en los que su tangente sea horizontal.
c) Si la gráfica de un polinomio tiene tres ráıces, debe haber al menos dos puntos en
los que su tangente es horizontal.
Ejercicio 2. Utilizando el teorema del valor medio, demostrar que una función continua
en un intervalo [a, b] y derivable en (a, b) tal que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), resulta
ser creciente en [a, b].
Ejercicio 3. Determinar los máximos y mı́nimos absolutos de las siguientes funciones en
los intervalos indicados.
a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2, en [−1/2, 1/2]
b) f(x) = x3 − x2 − 8x + 1, en [−2, 2]
c) f(x) =
x
x− 2
, en [3, 5]
d) f(x) = 4− |x− 4|, en [1, 6]
e) f(x) = 2x− 3x2/3, en [−1, 3]
En cada ı́tem, ¿es posible afirmar que la función tiene al menos un máximo y un
mı́nimo absoluto sin hacer cálculos? ¿Por qué?
Ejercicio 4. Determinar los máximos y mı́nimos absolutos de las siguientes funciones en
los intervalos indicados.
a) f(x) = x4 − x2 en [−1,∞)
b) f(x) =
x3
1 + x2
en (−∞,∞)
c) f(x) =
{
3 + x si 0 ≤ x ≤ 1,
1
x−1 si 1 < x ≤ 2,
en [0, 2].
1
En cada ı́tem, sin realizar cálculos, ¿es posible afirmar que la función tiene al menos un
máximo y un mı́nimo absoluto?
Ejercicio 5. La altura de un objeto t segundos después de dejarlo caer desde una altura
de 500 metros es s(t) = −4.9t2 + 500.
a) ¿Para qué valores de t está definida la función s(t)?
b) Calcular la velocidad media del objeto durante los 3 primeros segundos.
c) Verificar que en algún momento de esos 3 primeros segundos estaba cayendo a una
velocidad igual a la velocidad media calculada antes. ¿En qué instante ocurre esto?
Ejercicio 6. Calcular la distancia del punto (1, 2) a la parábola de ecuación y =
x2
4
.
Ejercicio 7. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y
a) su suma sea mı́nima.
b) la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mı́nima.
Ejercicio 8. Se planea fabricar una caja rectangular sin tapa de una pieza de cartón de
80 cm por 1,5 mts cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba.
¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen que se pueda hacer de este
modo?
Ejercicio 9. Un trozo de alambre de 10 metros de longitud se corta en dos partes. Con
una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo
debe cortarse el alambre de modo que el área total de las dos figuras sea máxima?
Ejercicio 10. Determinar las dimensiones del triángulo de área máxima inscripto en la
circunferencia de radio 1 según la siguiente figura
Ejercicio 11. Un chacarero está engordando su ganado. El peso total del ganado es de
20 toneladas y el precio del ganado en pie es de $4,50 el kg. El precio está bajando a
razón de $0,10 por d́ıa y el ganado está engordando a razón de 100 kg. por d́ıa (entre
todos los animales). Graficar el precio total del ganado en función del tiempo. ¿Cuándo
conviene venderlo?
2
Ejercicio 12. Una ventana normanda tiene forma de rectángulo con un semićırculo en
su parte superior (ver figura). Si el peŕımetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las
dimensiones de la ventana de modo que admita la mayor cantidad de luz posible.
Ejercicio 13.Hallar sobre la recta y = x + 2 el punto que se encuentra más próximo al
(1/2, 2). Demostrar que la recta que pasa por el punto hallado y el (1/2, 2) es perpendic-
ular a y = x + 2.
Concavidad
Ejercicio 14. Encontrar los puntos de inflexión, y determinar la concavidad en los
intervalos que estos determinan, de las siguientes funciones:
a) f(x) = (x2 − 4)2
b) f(x) = x3 − 6x2 + 12x
c) f(x) = x(x + 1)
1
2
Ejercicio 15. Dada la función
f(x) =
{
−x2 si x < 0,
x3 si x ≥ 0.
Graficar. Mostrar que f ′′ no existe en x = 0. Analizar si en x = 0 hay un punto de
inflexión.
Ejercicio 16. Sea f : (a, b) → IR una función derivable tal que f ′(x) > 0 para todo
x ∈ (a, b).
a) Mostrar que f es cóncava hacia arriba si y sólo si f−1 es cóncava hacia abajo.
Interpretar gráficamente.
b) Si además f es derivable dos veces, dar otra pueba de (a) utilizando el criterio de
la segunda derivada para la concavidad.
3
Ejercicio 17. Sea f : (a, b) 7−→ IR una función dos veces derivable y sea x0 ∈ (a, b) tal
que f ′(x0) = 0. Demostrar que
a) si f ′′(x0) < 0, x0 es un máximo local de f ;
b) si f ′′(x0) > 0, x0 es un mı́nimo local de f .
Si f ′′(x0) = 0, dar ejemplos que muestren que en x0 puede haber un máximo, un mı́nimo o
un punto de inflexión. En tal caso habrá que clasificar el punto x0 mediante el crecimiento
o decrecimiento de la función o el signo de su derivada.
Ejercicio 18. Clasificar los extremos locales y absolutos de las funciones en el ejercicio
14 utilizando el criterio de la segunda derivada cuando sea posible.
Ejercicio 19. Proponer una gráfica para las siguientes funciones.
a) f(x) = x3 − x
b) f(x) = x4 − 2x3 + x2 + 3
c) h(x) = x5 + x + 1
d) g(x) = − 1
x2 − 9
e) f(x) =
x4 − 1
x2
f) f(x) =
x2 − 2x
x− 2
g) r(x) =
x
x2 + 1
h) k(x) =
x3
x2 − 4
4
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 6
Funciones trigonométricas
Ejercicio 1.
a) Utilizando la fórmula de la suma de ángulos para el seno probar que cos x = sen
(
x+ π
2
)
.
b) Utilizando la identidad probada en el punto 1, analizar dominio, periodicidad, continuidad
y derivabilidad de la función cos x y trazar su gráfica.
c) Encontrar (gráfica y anaĺıticamente) los valores de x en donde la función cosx
i) se anula,
ii) alcanza el máximo absoluto,
iii) alcanza el mı́nimo absoluto.
Pista: Usar la periodicidad de la función.
Ejercicio 2. Estudiar la función tan x =
sen x
cos x
en el intervalo (−π
2
, π
2
) analizando:
a) continuidad y derivabilidad,
b) intersecciones con los ejes coordenados,
c) comportamiento de la función a derecha de −π
2
y a izquierda de π
2
,
d) regiones de crecimiento.
Utilizando la periodicidad de la función tanx extender los resultados obtenidos a su dominio
natural.
Ejercicio 3. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, indicando en cada caso el
dominio de la función y de su derivada:
a) cosec x =
1
sen x
b) sec x =
1
cos x
c) ctg x =
1
tan x
1
Ejercicio 4. Hallar los ĺımites cuando x→ 0 de:
a)
sen (2x)
x
b)
sen (x2)
x
c)
sen(π − x)
x
d)
x sen x
sen (x2)
e)
1− cos x
sen x
f)
1− cos x
x2
g)
sen 9x
sen 7x
h)
sen x
3x2 + 2x
i)
x
sen 5x
Ejercicio 5. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) = sec (x2 + 1)
b) f(x) =
x+ cos(x)
cos(x) sen(x)
c) f(x) = tan(sen
√
x)
d) f(x) = cos((2x+ 3)2)
Ejercicio 6. Analizar la existencia local de funciones inversas de sen x, cos x y tan x.
Considerar los dominios en los que éstas existan y hallar la derivada en cada caso. Graficar.
Ejercicio 7. Demostrar que existe algún número x tal que sen x = x− 1.
Ejercicio 8. Dadas las funciones f(x) = x sen
(
1
x
)
, g(x) = x2 sen
(
1
x
)
.
a) Analizarla continuidad en x = 0.
b) En caso de ser posible, redefina estas funciones de manera que resulten continuas en x = 0,
y analice su derivabilidad.
c) Si alguna de las funciones resultara derivable, analizar la continuidad de su derivada.
Ejercicio 9. Calcular los siguientes limites, enunciando que propiedad usa:
a) lim
x→2
(x2 − 4) cos
(
1
x− 2
)
b) lim
x→5+
(x− 5)2 sen
(
1√
x− 5
)
Funciones exponenciales y logaŕıtmicas.
Ejercicio 10. La población de cierta ciudad se duplica cada 10 años y en 1940 teńıa 100.000
habitantes.
2
a) Determinar la población en 1980.
b) Expresar la población en función del tiempo (en años).
c) Dibujar la curva de población. ¿La población, crece o decrece con respecto al tiempo?
Ejercicio 11. Demostrar que si 0 < a < 1, ax es estrictamente decreciente. Puede definirse
la función exponencial si a < 0? Justifique.
Ejercicio 12. Probar las siguientes propiedades: Para a > 0,
• Dominio(loga x) = (0, +∞)
• Imagen(loga x) = R
• loga 1 = 0
• loga(xy) = loga x+ loga y
• loga(x−1) = − loga x
• loga xb = b loga x
Ejercicio 13. Analizar crecimiento y decrecimiento de f(x) = loga x de acuerdo a los distintos
valores de a.
Ejercicio 14. Calcular las derivadas de las siguientes funciones. Explicitar dominio de la
función y de su derivada:
a) f(x) = ln(x2 + 1)
b) f(x) =
ex
x
c) f(x) = x
√
x
d) f(x) = x lnx
e) f(x) =
x2
ln x
f) f(x) = 2x − x2
g) f(x) = eln(7)x
h) f(x) = cos(ex
2
)
Ejercicio 15. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) ex+7 = 1
e2
b) 4.3x+1 = 12
c) ln(x2 − 4x− 4) = 0
d) ln(x2 + x)− ln(x) = ln(5)
3
Crecimiento Exponencial.
Ejercicio 16. Una substancia radiactiva se desintegra proporcionalmente a la cantidad de
substancia presente en un instante dado, digamos f(t) = CeKt.
a) ¿En qué instante habrá exactamente la mitad de la cantidad original presente?
b) Suponer que K = −4. ¿En qué instante habrá un tercio de la substancia?
Ejercicio 17. En 1900, la población de una ciudad fue de 50000 habitantes. En 1950 fue de
100000. Si la razón de crecimiento de la población es proporcional a la población, ¿cuál será la
población en 1984? ¿En qué año será de 200000?
Ejercicio 18. Sean f una función definida en algún intervalo de la recta real, K una constante
y supongamos que f ′(t) = Kf(t) en el intervalo mencionado. Probar que existe una constante
C tal que f(t) = CeKt.
Sugerencia: considerar la función F (t) = f(t)
eKt
y mostrar que F ′(t) = 0. Luego podemos
asegurar que existe una constante C tal que F (t) = C. Por lo tanto se deduce que f(t) = CeKt.
4
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 7
Sobre ĺımites en el infinito
Ejercicio 1. Calcule los siguientes ĺımites
a) lim
x→+∞
x2
1
x
b) lim
x→+∞
x
1
x
c) lim
x→+∞
x
1
x2
d) Qué se puede decir del lim
x→+∞
f(x)g(x) cuando lim
x→+∞
f(x) = 0 y lim
x→+∞
g(x) = +∞?
Ejercicio 2.
a) Hallar
lim
x→∞
3x4 + 4x3
x6 − 7x4 + 1
lim
x→∞
14x5 − 12x2 + 4
2x4 − 13x+ 4
lim
x→∞
2x3 + 3x2 − 2
3x3 − 12x+ 2
b) Dados dos polinomios p(x) y q(x) de grados m y n respectivamente, analizar el compor-
tamiento de la función racional
p(x)
q(x)
cuando x→ +∞ si m > n, m = n y m < n.
Ejercicio 3.
a) Calcular lim
x→+∞
1
x
sen x
b) Demostrar que lim
x→+∞
f(x)g(x) = 0 si lim
x→+∞
f(x) = 0 y g(x) es una función acotada.
Ejercicio 4.
a) Probar que 1 + x < ex, para x > 0.
b) Utilizar (a) para mostrar que 1 + x
2
2
< ex, para x > 0
c) Utilizar (b) para demostrar que lim
x→∞
ex
x
=∞.
1
d) Calcular:
lim
x→∞
x4 + 2x+ 8
2x3 + 3xex
lim
x→−∞
ln(x4) + 3
√
x√
x2 + 2 ln(|x|)
lim
x→∞
xx
e
√
x
Ejercicio 5. Hallar los siguientes ĺımites:
(a) lim
x→0+
xn ln(x), n natural (b) lim
x→+∞
ln(1 + ex)− x (c) lim
x→∞
(
1 +
4
x
)−x
(d) lim
x→∞
(
1 +
1
x3
)x
(e) lim
x→∞
(
x+ 3
x+ 4
)x/2
(f) lim
x→∞
x( x
√
a− 1), a > 0
(g) lim
x→+∞
x3 + 2 ln(x)
2x +
√
x
(h) lim
x→0
ex − 1
tg(x)
.
Ejercicio 6. Sea f : (0,∞)→ R la función dada por: f(x) =
{
ln(x)
x−1 si x 6= 1,
1 si x = 1,
a) Probar que f es continua en todo su dominio.
b) Analizar la derivabilidad de f en todo su dominio.
Estudio y gráfico de funciones.
Ejercicio 7. Probar las siguientes desigualdades:
a) 1− x
2
2
≤ cos(x) si x ≥ 0.
b) tan(x) > x si 0 < x < π/2.
c) 2 ln(x) ≤ x
2 − 1
x
si x ≥ 1.
Ejercicio 8. Graficar las siguientes funciones explicitando en cada caso, si es posible:
• Dominio. Puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes coordenados.
• Puntos cŕıticos. Máximos y mı́nimos, locales y absolutos.
• Regiones de crecimiento y de decrecimiento.
• Comportamiento de la función cuando x→ +∞ y x→ −∞, indicando si tiene aśıntotas
horizontales.
• Valores de x en los cuales la función tiende a +∞ o a −∞, a izquierda o a derecha
(aśıntotas verticales).
• Regiones de concavidad. Puntos de inflexión.
2
a) f(x) = ln(x2 − 9)
b) f(x) =
x2 − 2x
x− 2
c) f(x) = ln(x2 + 1)
d) f(x) = xe−x
2
e) f(x) =
x2
(x+ 1)
1
2
f) f(x) = xe
1
x
g) f(x) =
x
ln(x)
h) f(x) = ln(4− x2)
i) f(x) = ex(x− 2)
j) f(x) = 2x+ x
2
3
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 8
Derivación impĺıcita
Ejercicio 1. Consideremos el folio de Descartes x3 + y3 = 3xy cuya gráfica es
a) Calcular la derivada de y con respecto a x.
b) Despejar y′(x). ¿Para qué valores de x e y esta expresión no está definida?. Interpretarlo
gráficamente.
c) Hallar en forma anaĺıtica el o los puntos donde y′(x) = 0. Indicarlo en el gráfico.
d) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3
2
, 3
2
).
Ejercicio 2. En los siguientes casos consideramos a y como una función de x. Hallar y′(x) e
indicar dónde la expresión encontrada es válida.
a) 2x3 − 3xy + 2y2 = 1
b) sen(2x) + cos(2y) = 2xy
c) ex sen(y) = e−y cos(x)
d) x ln(y) + y ln(x) = 3
Ejercicio 3. Hallar las rectas tangentes a la circunferencia de centro en el origen y radio 2 que
pasan por el punto P(4,5).
Ejercicio 4. Una escalera de 3 metros de longitud descansa contra una pared vertical. El
extremo inferior comienza a resbalar sobre el piso y se aleja de la pared a una velocidad
constante de 0,5 m/s. ¿A qué velocidad se desliza hacia abajo el extremo superior cuando
está a 1,8 m del suelo?
1
Polinomios de Taylor
Ejercicio 5. Hallar el polinomio de Taylor centrado en x = 0 de orden 3 para cada una de las
siguientes funciones.
a) f(x) = e−x b) f(x) = x2e−x c) f(x) =
1
x+ 1
d) f(x) = arctan(x)
Ejercicio 6. Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 alrededor de x = 1 para la función
f(x) = ln(x). Utilizar este polinomio para aproximar ln(9/10) y acotar el error cometido.
Ejercicio 7. Utilizar un polinomio de Taylor de la función f(x) = ex alrededor de x = 0 para
a) Calcular el valor del número e con 5 decimales exactos (¡Cuidado! no es lo mismo que
calcularlo con un error menor que 10−5).
b) Calcular el valor de 4
√
e con un error menor que 10−3.
Ejercicio 8. Considerar las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x).
a) Encontrar las expresiones de sus polinomios de Taylor de orden n de f alrededor de x = 0.
b) Para cada función, hallar una cota para el error de aproximación en el intervalo [0, π] en
términos de n.
Ejercicio 9. a) Reconstruir el polinomio f(x) de grado 3 del que sabemos que f(0) = 2 ,
f ′(0) = f ′′(0) = 6 y f ′′′(0) = −12.
b) Sea f(x) un polinomio de grado 2 tal que f(2) = −1, f ′(2) = 3 y f ′′(2) = 4. Expresar f(x)
en potencias de (x− 2) , y luego en la forma habitual, es decir en potencias de x .
c) Utilizando el desarrollo de Taylor, escribir p(x) = x4−x3 + 2x2− 3x+ 1 como un polinomio
en potencias de x− 1.
d) Si p es un polinomio de grado n. Para m ≥ 1, ¿cuál es el polinomio de Taylor de orden m
alrededor de x = 0?
Ejercicio 10. Calcular los siguientes ĺımites.
(a) lim
x→0
ln(1 + x)− x
x2
(b) lim
x→0
ex − cos(x)
x
(c) lim
x→0
√
ex − x− 1
x
2
Ejercicio 11. Sea f : (−1,+∞) → IR definida por f(x) = (1 + x)r, siendo r un número real
fijo.
a) Demostrar que cerca de x = 0, la función f puedeaproximarse con primer orden por 1 + rx,
y con segundo orden por 1 + rx+ r(r−1)
2
x2.
b) Estimar el valor de
√
1, 1 a orden 2, eligiendo valores adecuados de r y de x. Calcular una
cota para el error cometido y comparar con el valor de
√
1, 1 que arroja la calculadora.
Ejercicio 12. Utilizando un desarrollo de Taylor adecuado, averiguar para qué valores de a > 0
el siguiente ĺımite existe:
lim
x→0
sen(x)− x+ x3/6
xa
Ejercicio 13. Hallar los siguientes ĺımites:
a) lim
x→0
cos(sen(x))− cos(x)
x2
b) lim
x→1
ln(x)
x2 + x− 2
c) lim
x→π/4
cos(x)− sen(x) +
√
2(x− π/4)
(x− π/4)3
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
Trabajo práctico 10
Métodos de Integración
Ejercicio 1. Hallar las primitivas indicadas:
a)
∫
3
2
x
1
2 dx
b)
∫
5
2
(x
2
− 7
)4
dx
c)
∫
sen7(x) cos(x) dx
d)
∫
e5xdx
e)
∫
x sen(x) dx
f)
∫
x2 cos(x) dx
g)
∫
x sen(2x2) dx
h)
∫
ln(x) dx
i)
∫
x cos(2x2)dx
j)
∫
ln(x)
x2
dx
k)
∫
1
x
ln(x) dx
l)
∫
2x + 3
x2 + 3x− 1
dx
m)
∫
x
1 + x2
dx
n)
∫
x2 − 1
(x2 + 1)
dx
ñ)
∫
x2ex dx
o)
∫
cos (x) ex dx
p)
∫
arc sen(x) dx
q)
∫
x2 ln2(x)dx
r)
∫
arctan(x)
x2 + 1
dx
s)
∫
ln(ln(x))
x
dx
t)
∫ √
1− x2 dx
Ejercicio 2. Calcular:
a)
∫ π/2
π/4
cos(x)
sen3(x)
dx
b)
∫ 2
1
√
x ln(x) dx
c)
∫ 1
0
xe−
√
x dx
d)
∫ 0
−1
ex
√
1 + ex dx
e)
∫ 2
1
x ln2(x) dx
f)
∫ π/4
0
x
cos2(x)
dx
1
Ejercicio 3. Calcular las siguientes integrales de funciones racionales expresando el in-
tegrando como suma de fracciones simples.
a)
∫
1
x2 − x− 6
dx
b)
∫
x
x2 + x + 1
dx
c)
∫
x
(x + 1)(x + 2)2
dx
d)
∫
1
(x + 1)(x2 + 1)
dx
e)
∫ −1
−2
x + 2
x2 − x
dx
f)
∫
x + 2
x2 + x
dx
g)
∫ π
2
0
cos(x)
6− 5 sen(x) + sen2(x)
dx
Ejercicio 4. Sea f : (1,∞) → R una función tal que f ′(x) = 1
x ln3(x)
. Determinar f
sabiendo que f(e) = 1
2
.
Ejercicio 5. Utilizando la sustitución u = 4
√
1 + x3, calcular∫ 4√1 + x3
x
dx
Ejercicio 6. Dada f una función integrable en el intervalo [−a, a], demostrar:
a) Si f es par, entonces
∫ a
−a
f(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx.
b) Si f es impar, entonces
∫ a
−a
f(x) dx = 0.
Ejercicio 7. Demostrar que si f es periódica de peŕıodo a y continua, entonces∫ a
0
f(x)dx =
∫ b+a
b
f(x) dx para todo b ∈ R
Sugerencia: demostrar que
∫ t+a
t
f(x) dx no depende de t.
Algunas aplicaciones de la integral
Ejercicio 8. Calcular el área comprendida entre las gráficas de:
a) y = x, e y = x3.
b) y = xex e y = 2x.
c) x = 3− y2 y x = y + 1.
Ejercicio 9. Sean f(x) = x−x2 y g(x) = ax. Determinar a para que la región delimitada
por las funciones f y g tenga área 9/2.
2
Ejercicio 10. Calcular la longitud del arco de las siguientes curvas
a) y = x
3
2 desde el origen hasta el punto de coordenadas (4,8).
b) y = ex entre x = 1 y x = 2.
Ejercicio 11. Hallar la fórmula del volumen de un cono de altura h y radio de la base r.
Ejercicio 12. Calcular el volumen de
a) El sólido generado por la región acotada por f(x) =
√
x con x en el intervalo [0, 4] al
rotar alrededor del eje x.
b) Calcular el valor de x que divide al sólido generado en dos partes iguales
Ejercicio 13. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las
gráficas de y =
√
x e y = x2 al girar en torno al eje x.
Ejercicio 14. Calcular el volumen del sólido generado al girar en torno al eje y de la
región acotada por las ecuaciones y = 6− 3x e y = 0 y x = 0.
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 13
Supremo, ı́nfimos y sucesiones
Ejercicio 1.
Determinar cotas superiores e inferiores para los siguientes conjuntos y encontrar el
supremo y el ı́nfimo. Decir en qué casos existe el máximo y el mı́nimo del conjunto.
a) (0, 1] b) { t : 2t− 7 < 4 } c)
{
1
n
| n ∈ IN
}
d)
{
t ∈ [0,∞) : 1+t
1+t2
< 1
}
e)
{
1 + (−1)n + (−1)
n
n
| n ∈ IN
}
Ejercicio 2. Los siguientes números son los primeros términos de una sucesión. En cada
caso hallar el término general de la misma y demostrar que son monótonas y acotadas.
a) 1
2
, 2
3
, 3
4
, . . . b) 1, 1
2
, 1
4
, 1
8
, . . .
c) 1,
√
2, 3
√
3, 4
√
4, . . . d) 1, 2!
22
, 3!
33
, 4!
44
, . . .
Ejercicio 3. Dada la sucesión an =
10n
n!
.
a) Decidir si es monótona a partir de algún término.
b) Calcular lim
n→∞
an.
Ejercicio 4. Mostrar que lim
n→∞
(
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
+ · · ·+ 1√
n2 + n
)
= 1.
(Sugerencia: Comparar cada término de la suma con el primero y el último).
Ejercicio 5. Demostrar que la sucesión
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, ... converge y calcular su
ĺımite. (Sugerencia: Demostrar primero que si 0 < a < 2 entoncesa <
√
2a < 2).
Ejercicio 6. Dada an =
n
√
n
n
averiguar si es una sucesión convergente; y en caso afirmativo
calcular el valor ĺımite.
Ejercicio 7. Hallar el supremo del conjunto A = {
∫ n
1
xe−x
2
dx : n ∈ N }
Ejercicio 8. Utilizando el teorema que relaciona continuidad con sucesiones, probar:
f(x) = sen
(π
x
)
tiene una discontinuidad no evitable en x = 0
1
Definición 9. Una sucesión aritmética es una sucesión en la cual cada término se
puede obtener del anterior, sumando un mismo número, llamado diferencia. Si llamamos
a1, a2, a3 ... an, a los n primeros términos de una sucesión aritmética, siendo d la
diferencia; el n-ésimo término es:
an = a1 + (n− 1)d
Ejercicio 10. a) El tercer término de una sucesión aritmética es 85 y el decimocuarto
es 30, hallar el primer término y la diferencia.
b) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8cm. Calcula los otros dos, sabiendo
que los dos lados del triángulo forman una progresión aritmética.
Ejercicio 11. Determinar si las siguientes sucesiones son monótonas:
a) an = 3 + (−1)n
b) bn =
2n
1+n
c) cn =
n2
2n−1
Ejercicio 12. Calcular, si existen, los siguientes ĺımites:
a) limn→∞
n!
(−3n)n
b) limn→∞
n3+n!
3n+5n!
c) limn→∞
(
5n2−3n+1
3(n+3)n
)n+2
Ejercicio 13. Encontrar todos los valores de x ∈ R para los cuales la sucesión an = x
2n+1
n34n+1
es convergente. Para los valores encontrados, calcular limn→∞ an.
2
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 14
Ejercicio 1. Halle la suma de las series:
a) 1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ . . .
b)
∞∑
i=0
1
7i/2
c)
∞∑
j=0
1
5j−1
d)
∞∑
n=1000
(
13
15
)n
Ejercicio 2. Explicar porqué no vale la siguiente fórmula:
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0 .
Ejercicio 3. Analizar si es cierta la siguiente fórmula
1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 1 + 21 + 22 + 23 + . . . = 1/(1− 2) = −1.
Ejercicio 4. Una persona quiere extraer de su cuenta bancaria unos $10000, y luego
desea extraer cada año 3/4 de lo que extrajo el año anterior. Si asumimos que la cuenta
no da intereses ni posee gastos, ¿cuál es la menor cantidad de dinero que debe tener en
su cuenta antes de la primera extracción para contar con fondos por un peŕıodo ilimitado
de tiempo?
Ejercicio 5. Analizar para qué valores de s ∈ IR converge la serie
∞∑
n=1
1
ns
Ejercicio 6. Averiguar si las siguiente series convergen:
a)
∞∑
n=1
ln2(n)
n3
b)
∞∑
n=0
n2
n4 + 1
c)
∞∑
n=2
n2
n2 − 1
d)
∞∑
n=0
n4
n3 + 2
e)
∞∑
n=0
arctg(n)
n2 + 1
f)
∞∑
n=0
ne−n
g)
∞∑
n=0
n2e−n
h)
∞∑
n=2
1
ln(n)
1
i)
∞∑
n=2
1√
n2 − 1
j)
∞∑
n=1
n!
nn
Ejercicio 7. Dada la serie
∞∑
n=1
n
(n+ 1)!
a) Hallar una expresión general para la suma parcial N-ésima.
(Pista: Mostrar que n
(n+1)!
= 1
n!
− 1
(n+1)!
)
ii) Decidir si la serie converge, y en caso afirmativo calcular el valor de la serie.
Ejercicio 8. Calcular el valor exacto de
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
.
Ejercicio 9. Dada la serie
∞∑
n=2
1
n(lnn)α
a) Decidir para qué valores de α ∈ IR resulta convergente.
b) Para α = 2, hallar cuántos términos de la serie deben sumarse para aproximar el valor
ĺımite de la serie con un error menor que 10−3.
Ejercicio 10. Sea (un)n una sucesión de términos positivos.
a) Si
∑∞
n=1 un converge, mostrar que
∑∞
n=1 u
p
n también converge si p > 1.
b) Si
∑∞
n=1 un diverge, mostrar que
∑∞
n=1 u
p
n tambiéndiverge si p < 1.
c) Probar que
∑∞
n=1 un converge si y sólo si
∞∑
n=1
un
1 + un
converge.
Ejercicio 11. Averiguar si las siguientes series son convergentes y si son absolutamente
convergentes:
a)
∞∑
n=1
(−1)n
(
1 +
1
n
)−n
b)
∞∑
n=1
(−1)n
2n+ 1
c)
∞∑
n=2
(−1)n
ln(n)
d)
∞∑
n=1
sin(n)
n3 + n
e)
∞∑
n=0
(−1)n
(√
n+ 1−
√
n
)
f) 1− 1
22
+
1
33
− 1
42
+
1
53
...
g)
∞∑
n=1
(−1)n+1
√
n
n+ 1
h) 1− 1
3
+
1
3
− 1
32
+
1
5
− 1
33
+ . . .
2
Ejercicio 12. Mostrar que las siguientes integrales son convergentes, pero no absoluta-
mente convergentes:
a)
∫ ∞
0
sin(x)
x
dx
b)
∫ ∞
0
sin(x)√
x
dx
c)
∫ ∞
0
sin(x2)dx
Ejercicio 13. Calcular con error menor que 10−3:
a)
∞∑
n=1
(−1)n
n4
b)
∞∑
n=1
(−1)n n
2n
. ¿La serie converge absolutamente?
Sugerencia: Recordar que si {an} satisface las condiciones del Criterio de Leibniz, entonces
|
∑∞
n=1 an − sN | ≤ aN+1.
Ejercicio 14. Dada la serie
∞∑
n=1
1
n3n
, calcular con un error menor que 10−4
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 16
Ecuaciones Diferenciales
Ejercicio 1. Llevar las siguientes ecuaciones diferenciales a la forma de variables separa-
bles y resolverlas.
a) y′(y + ey) = x− e−x
b) y′ = 3x2(1 + y2)
c) x(y2 − 1) − y(x2 − 1)y′ = 0
d) xy + y′ = 0
Ejercicio 2. Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones lineales de primer orden
a) xy′ − 2y = x2
b) y′ + y/x = 3x + 4
c) y′ − y = cosx
d) y′ + 5y = e5x
Ejercicio 3. Hallar una serie de potencias que sea solución de las ecuaciones
a) y′′ − 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 6
b) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) = 10
c) y′′ + y′ = sin(x), y(0) = y′(0) = 0
1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 15
Ejercicio 1. Hallar el radio y dominio de convergencia de las siguientes series de potencias
a)
∞∑
n=0
nxn
b)
∞∑
n=1
(x
n
)n
c)
∞∑
n=1
nn
n!
xn
d)
∞∑
n=1
xn
ln(n)
e)
∞∑
n=1
(x− 5)n
n24n
Ejercicio 2. Dadas las series
∞∑
n=0
(1− x)xn y
∞∑
n=0
(−1)nxn(1− x).
1. Hallar el dominio de convergencia.
2. Hallar la función ĺımite y analizar su continuidad en [0,1].
Ejercicio 3. Dada f(x) =
∞∑
n=0
x2n
(2n)!
, calcular su radio y dominio de convergencia y de-
mostrar que f ′′(x) = f(x).
Ejercicio 4. Probar la siguientes identidades diferenciando o integrando (según convenga)
series de sumas conocidas.
a)
1
(1− x)2
=
∞∑
n=1
nxn−1 ∀x : |x| < 1
b) − ln(1− x) =
∞∑
n=0
xn+1
n + 1
∀x : |x| < 1
Ejercicio 5. Dada f(x) =
∞∑
n=0
xn
n!
.
a) Calcular su radio y dominio de convergencia.
b) Demostrar que f ′(x) = f(x).
c) Demostrar que f(x) = ex.
d) ¿Para qué valores de x esta es la serie de Taylor de ex alrededor de x = 0.
1
e) Verificar la siguiente igualdad
∞∑
n=0
2n
n!
= e2
Ejercicio 6. Dada la serie f(x) =
∞∑
n=1
xn
(n− 1)!
.
a) Hallar su intervalo de convergencia.
b) Mostrar que se satisface x(f ′(x)− f(x)) = f(x).
c) Encontrar la expresión de f .
Series de Taylor
Ejercicio 7. Encontrar la serie de Taylor alrededor de x = 0 de las siguientes funciones
indicando su radio de convergencia.
a) g(x) = cos x
b) h(x) = sen x
c) F (x) = ln(1 + x)
En cada caso, en qué intervalo converge la serie a la función dada?
Ejercicio 8. Calcular la región de convergencia y la función suma de
a) 1− x + x
2
2!
− x
3
3!
+ ...
b) 1− x3 + x6 − x9 + ....
c)
x2
2 · 1
− x
3
3 · 2
+
x4
4 · 3
− x
5
5 · 4
+ ...
d) 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...
Ejercicio 9. Calcular los siguientes ĺımites utilizando propiedades de las series de poten-
cias
a) ĺım
x→0
ex − (1− x)
x
b) ĺım
x→∞
x2
ex
c) ĺım
x→0
x− sinx
x3
2
Ejercicio 10. Sea f(x) =
{
e−1/x
2
si x 6= 0
0 si x = 0
. Demostrar que existe la serie formal
de Taylor alrededor de x0 = 0 , pero que no converge hacia la función dada para ningún
x 6= 0.
Ejercicio 11. Sea g(x) =

sen(x)
x
si x 6= 0
1 si x = 0
. Calcular gk(0) , k ∈ N .
Ejercicio 12. a) Muestre que g(x) =
1 + x
1− x
es una biyección entre los intervalos [−1, 1)
y [0,+∞)
b) Usando series de potencias apropiadas y la identidad
ln(g(x)) = ln(1 + x)− ln(1− x)
construir una serie de potencia absolutamente convergente para todo x : |x| < 1 que
permita hallar ln de cualquier número positivo.
Sugerencia: observar que si x = 2
3
entonces ln(5) = ln(g(2
3
)).
3
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
EJERCICIOS PRELIMINARES
Estos ejercicios preliminares son para realizar durante la primera semana de clases.
Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones
(a)
2x
x+ 1
=
2x− 1
x
(b) 2x2 + 4x+ 1 = 0
(c) x4 − 3x2 + 2 = 0
Ejercicio 2. Simplificar las siguientes expresiones indicando el conjunto de validez de las opera-
ciones
(a)
x
2 + 3x+ 2
x
2 − x− 2
(b)
2x2 − x− 1
x
2 − 9
·
x+ 3
2x+ 1
(c)
x
2
x
2 − 4
−
x− 1
x+ 2
Ejercicio 3. Reescribir las siguientes expresiones completando cuadrados
(a) x2 + x+ 1
(b) −
1
5
x
2 +
1
5
x−
1
20
Ejercicio 4. Encontrar los valores de x que verifiquen las siguientes desigualdades (analizar pre-
viamente para qué valores de x tienen sentido las expresiones dadas).
(a) x (x− 3) < 0.
(b)
x
2
x− 1
≤ 8.
(c) x3 < 8.
(d) x4 + x ≥ 0.
(e) x+
1
x
> 0.
(f)
x
2
x
2 + 1
> 1.
(g)
x
x
2 − 2x
> 2.
1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2018)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 9
Ejercicio 1. Determinar, usando fórmulas conocidas para calcular áreas, el área ence-
rrada por la gráfica de la función f y el eje x en el intervalo que se indica.
a) f(x) = 2− x en [0, 2].
b) f(x) =
{
3− 2x si − 2 ≤ x ≤ 0
3 si 0 < x ≤ 2 en [−2, 2].
c) f(x) =
√
1− x2 en [0, 1].
Ejercicio 2. Determinar, para todas las funciones del ejercicio anterior, una expresión
para la función integral Iaf(x) :=
∫ x
a
f(t) dt, indicando en cada caso el dominio obtenido.
Si la función integral Iaf resulta derivable, evaluar su derivada. ¿Qué observa?
Ejercicio 3. a) Verificar que
x|x|
2
es una primitiva de |x|.
b) Evaluar
∫ 4
−4
|x| dx. Comparar con
∣∣∣∣∫ 4
−4
x dx
∣∣∣∣.
c) Verificar geométricamente la respuesta del inciso (b).
Ejercicio 4. Calcular
a)
∫ 4
1
t6 − t2
t4
dt.
b)
∫ π
0
sen(x) + 2 cos(x) dx.
c)
∫ π
2
−π
2
| sen(x)| dx.
d)
∫ ln 6
ln 3
8ex dx.
Ejercicio 5. Mostrar que:
a)
2
e
≤
∫ 1
−1
e−x
2
dx ≤ 2.
b) 0 ≤
∫ 2
1
ln(x) dx ≤ 1.
1
Ejercicio 6. Sean
f(x) =

0 si x < 0
x si 0 ≤ x ≤ 1
2− x si 1 < x ≤ 2
0 si 2 < x
y g(x) =
∫ x
0
f(t) dt.
a) Determinar una expresión para g(x).
b) Graficar las funciones f(x) y g(x).
c) ¿Dónde son derivables estas funciones?
Ejercicio 7. Derivar las siguientes funciones:
a) g(x) =
∫ x
1
(t2 + 1)8 dt
b) g(x) =
∫ x3
0
sen4 (t) dt.
c) g(t) =
∫ 1
5t+3
1
1 + u2 + sen2(u)
du
Ejercicio 8. Demostrar que
∫ x
0
1
1 + t2
dt +
∫ 1/x
0
1
1 + t2
dt no depende de x.
Ejercicio 9. Para x ≥ 0, probar la siguiente desigualdad∫ x
0
e−t
2
dt ≥ x− x
3
3
.
Ejercicio 10. Sea C una constante positiva. Hallar una función continua que cumpla∫ x
0
f(t) dt = f(x)2 − C.
2
	P 11
	P 12
	P1
	P2
	P3
	P4
	P5
	P6
	P7
	P8
	P10
	P13
	p14
	P16
	p152018
	Practica Preliminar
	TP_9