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Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II
Nicolás Manuel Hernández Rodríguez
5 de junio de 2017
nherrodj@gmail.com
1
ÍNDICE ÍNDICE
Índice
I Contenidos 4
II Límites y continuidad 6
1. Contenidos previos y contenidos a desarrollar 7
2. Grá�cas de funciones sencillas 7
3. Límites de una función 13
3.1. Cálculo de límites y resolución de indeterminaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Funciones discontinuas y funciones continuas 16
5. Problemas aplicados utilizando funciones y límites 17
6. Ficha 1 de ejercicios 18
7. Ficha 2 de ejercicios 20
III La derivada y sus aplicaciones 23
8. La derivada 24
9. Reglas y operaciones para obtener las derivadas de algunas funciones 24
10.Derivadas laterales 26
11.Estudio de la monotonía de una función 27
12.Representación de funciones como aplicaciones de las derivadas 28
13.Optimización: La resolución de problemas 32
14.Ficha 1 34
15.Ficha 2 37
IV La integral y sus aplicaciones 40
16.La integral inde�nida 41
16.1. Integrales de funciones elementales (denominadas integrales inmediatas): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
17.La integral de�nida 42
17.1. Propiedades de la integral de�nida (e inde�nida): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
18.Áreas 43
18.1. Área limitada por una función positiva en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
18.2. Área limitada por una función negativa en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
18.3. Área limitada por una función que cambia de signo en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
18.4. Área limitada por dos funciones en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
19.Ficha 1 46
V Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 47
20.Sistemas con Gauss 49
20.1. Resolución de sistemas por el método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
20.2. Discusión de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
20.3. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
21.Ficha 1: Problemas 52
2
ÍNDICE ÍNDICE
22.Matrices 54
22.1. Utilidad de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
22.2. Tipos de matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
22.3. Operaciones con matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
22.4. Grafos y matrices de adyacencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
22.5. Matriz inversa, rango de una matriz y determinantes hasta de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
23.Ficha 2: Matrices. 60
VI Programación lineal 64
24.Resumen teórico 65
25.Ficha de ejercicios 69
VII Profundizamos en la probabilidad 71
25.1. Experimentos aleatorios y deterministas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
25.2. Tipos de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
25.3. De�nición axiomática (no necesita demostración) de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
25.4. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
25.5. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
26.Ficha de ejercicios (2016) 77
VIII La binomial y normal 79
27.Distribución binomial 82
28.Distribución normal 83
29.Aproximación de la distribución binomial mediante la normal 85
30.Ficha de actividades 2016 88
IX Muestreo e intervalos de con�anza 90
31.Plani�cación estudio estadístico 90
31.1. Muestreo aleatorio simple (MAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
31.2. Muestreo aleatorio sistemático (MASis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
31.3. Muestreo aleatorio estrati�cado proporcional (MAEP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
32.Distribución de probabilidad de las medias muestrales 92
33.Distribución de probabilidad de las proporciones muestrales 93
34.Intervalos de con�anza 93
34.1. Intervalo de con�anza para la media. Tamaño de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
34.2. Intervalo de con�anza para la proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
35.Ficha Muestreo 2016 97
36.Ficha Intervalos 2016 97
3
Parte I
Contenidos
Tema 1: Límites y continuidad Tema 4: Matrices y sistemas de
ecuaciones lineales.
Tema 7: La binomial y la normal.
Rectas (pendiente y ordenada en el
origen).
Parábolas (Vértices, puntos de corte con
los ejes).
Funciones racionales de exponente uno.
Funciones exponenciales (Número e).
Funciones radicales.
Funciones a trozos (rectas, parábolas,
exponenciales y radicales).
Límite de una función en un punto.
Límites en el in�nito. Límites laterales
(asíntotas horizontales y verticales).
Resolución de indeterminaciones(∞
∞
,
0
0
)
Continuidad de una función.
Tipos de discontinuidades (Evitable, de
salto �nito y de salto in�nito)
Sistemas de ecuaciones y matrices.
Solución de un sistema (compatible
determinado, indeterminado e
incompatible)
Método de Gauss utilizando matrices.
Resolución de problemas aplicados
Matrices. Tipos y operaciones.
Matriz identidad
Matriz inversa
Calcular el rango de una matriz.
Calcular del determinante hasta orden 3
Números combinatorios:
factorial, calculadora y propiedades.
Distribución binomial:
Función de probabilidad.
Esperanza, varianza y desviación típica.
Distribución normal:
Función de densidad.
Uso de la tabla de la normal N(0,1).
Tipi�cación de una variable.
Aproximación de la binomial a la normal
Tema 2: La derivada y sus aplicaciones. Tema 5: Programación lineal. Tema 8: Muestreo e intervalos de
con�anza
Derivada de una función en un punto
(de�nición).
Función derivada y función continua.
Derivadas de funciones a trozos
(Derivadas laterales).
Aplicaciones:
Representación de funciones Dominio,
continuidad y asíntotas. Puntos de corte
con los ejes. Máximos y mínimos
relativos. Monotonía,Crecimiento y
decrecimiento. Puntos de in�exión
Curvatura (Cóncava y convexa). Estudio
conjunto de dos funciones. Dos rectas.
Recta y parábola. Parábola y parábola
(en intervalos).
Problemas de optimización: Rectángulos y
triángulos.
Sistemas de inecuaciones. Soluciones.
Región factible (acotada y no acotada).
Puntos óptimos (máximos o mínimos) de
un problema. Vértices de la región
factible. Función objetivo.
Solución de un problema de
programación lineal:
� Solución única.
� Solución múltiple (puntos de un
segmento).
� Sin solución (problema no factible).
Uso de software para resolver.
Población, muestra y muestreo.
Tipos de muestreo: simple, sistemático y
estrati�cado proporcional.
Distribución de las medias muestrales.
Distribución de las proporciones
muestrales.
Intervalo característico.
Nivel de con�anza y nivel de
signi�cación. Error muestral. Valor
crítico asociado al nivel de con�anza.
Tamaño de la muestra.
Intervalos de con�anza de la media.
Intervalos de con�anza de la proporción.
Tema 3: La integral y sus aplicaciones Tema 6: Repaso de probabilidad.
Cálculo de primitivas de funciones
elementales inmediatas y uso de sus
propiedades básicas.
Aplicación de la regla de Barrow y el
cálculo de integrales de�nidas al cálculo
de áreas de regiones planas.
Experimentos aleatorios y deterministas.
Espacio muestral, sucesos (seguro,
imposible, contrarios)
De�nición axiomáticade probabilidad →
Regla de Laplace.
Unión e intersección de sucesos.
Probabilidad condicionada.
Diagramas de árbol ↔Tablas de
contingencia.
Cambio en el orden de los diagramas de
árbol.
4
CALENDARIO DE EXÁMENES Y CALIFICACIONES
PRIMERA EVALUACIÓN FECHAS DE EXÁMENES
Tema 1: Límites y continuidad EXA 1 7 de octubre
Tema 1: Límites y continuidad
Tema 2: La derivada y sus aplicaciones
Examen de cálculo de derivadas (10%)
EXA 2 4 de noviembre
Tema 1: Límites y continuidad
Tema 2: La derivada y sus aplicaciones.
Tema 3: La integral y sus aplicaciones
Examen de cálculo de integrales (10%)
EXA 3 16 de diciembre
EVAL1 = 0.15 · EXA1 + 0.30 · EXA2 + 0.45 · EXA3+ 0.1 · ACT
Recuperación/subir nota de la 1ª evaluación: 20 de enero
SEGUNDA EVALUACIÓN FECHAS DE EXÁMENES
Tema 4: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales EXA4 27 de enero
Tema 4: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Tema 5: Programación lineal
EXA5 17 de febrero
Tema 4: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Tema 5: Programación lineal
Tema 6: Repaso de probabilidad.
EXA6 17 de marzo
EVAL2 = 0.15 · EXA4 +0.30 · EXA4 + 0.45 ·EXA6 + 0.1· ACT
Recuperación/subir nota de la 2ª evaluación: 6 de abril
TERCERA EVALUACIÓN FECHAS DE EXÁMENES
Tema 7: La binomial y la normal. EXA7 6 de abril
Tema 7: La binomial y la normal.
Tema 8: Muestreo e intervalos de con�anza
EXA8 5 de mayo
EVAL3 = 0.45 · EX7 + 0.45 · EXA8 + 0.1 · ACT
Recuperación/subir nota de la 3ª evaluación: 12 de Mayo
Recuperación/subir nota de alguna evaluación: A determinar por jefatura de estudios
NOTA FINAL = 0.35 · EVAL1 + 0.35 · EVAL2 + 0.30 · EVAL3
La nota del último examen debe ser superior al 3. Si sacas menos de un tres, debes recuperar la evaluación entera.
Cada evaluación tendrá su correspondiente recuperación aunque también es posible presentarse a subir (o bajar) nota
en dichas recuperaciones. Si se recupera, sube o baja nota, dicha nota es la de la evaluación (90%), salvo la de actitud
(10%) que no se cambia.
Si la nota �nal es menor que un 4.5, se puede recuperar por EVALUACIONES. En dicha recuperación se puede también
subir (o bajar) nota, siempre por evaluaciones. Si se recupera, sube o baja nota, dicha nota es la de la evaluación o
evaluaciones, salvo la de actitud que no se cambia.
La nota �nal se calcula teniendo en cuenta la fórmula anterior, siempre y cuando estén las tres evaluaciones aprobadas.
La evaluación de los alumnos/as con pérdida del derecho a la evaluación continua (con un número elevado de faltas
injusti�cadas) se tendrán que presentar al examen de recuperación ordinario o extraordinario de Mayo. En caso de que
dicha pérdida sea debida a circunstancias especiales, el alumnado podrá realizar los exámenes de uno en uno, como
establece la programación del departamento.
Si un alumno se incorpora empezado el curso, deberá realizar los mismos exámenes que han realizado el resto de
compañeros y entregar las actividades o trabajos solicitados hasta ese momento.
5
Parte II
Límites y continuidad
4.Analizar e interpretar fenómenos habituales de las ciencias sociales de manera objetiva mediante la
traducción de la información al lenguaje de las funciones y realizar un estudio cualitativo y
cuantitativo de sus propiedades.
Este criterio pretende evaluar si el alumnado resuelve problemas de las ciencias sociales a través de la modelización
de funciones (polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas sencillas), el estudio de su
continuidad, tendencias, ramas in�nitas, corte con los ejes, cálculo de las asíntotas de funciones racionales,
exponenciales y logarítmicas sencillas, el estudio de la continuidad en un punto de una función elemental o de�nida a
trozos utilizando el concepto de límite, y su representación grá�ca.
Competencias: CMCT, AA
Contenidos:
1. Estudio de la continuidad y de las discontinuidades en funciones elementales y de�nidas a trozos.
2. Estudio y representación grá�ca de funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas
sencillas a partir de sus propiedades locales y globales.
Estándares de aprendizaje evaluables relacionados: 41, 42, 43, 44.
Cuadro 1: Criterio de evaluación
Representación de funciones sencillas ( Dominio y recorrido, rectas, parábolas, funciones a trozos, de grado 3, funciones
racionales y funciones exponenciales)
Límites de una función.
� Límite en un punto.
� Límites laterales y asíntotas verticales.
� Límites en el in�nito y asíntotas horizontales.
� Asíntotas oblicuas (no son contenidos de este curso).
� Cálculo de límites y resolución de indeterminaciones. Casos
∞
∞
y
0
0
.
Funciones continuas y discontinuas (Evitable, de salto �nito, de salto in�nito)
Problemas aplicados.
6
2 GRÁFICAS DE FUNCIONES SENCILLAS
1. Contenidos previos y contenidos a desarrollar
Tipos de intervalos: (Desigualdades, intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos, representación grá�ca)
Resolución de ecuaciones: De primer grado, segundo grado (incompletas y completas), tercer grado (Sacar factor común
y la regla de Ru�ni) y de grado superior a 3.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5(x+ 2) = x− 10
b)
3(x+ 1)
2
− x = x− 4
3
c)
2
5
+
x2
10
=
x(x+ 1)
10
d) 2x2 − 18 = 0
e) x2 − 3x = 0
f ) 2x2 − 7x+ 3 = 0
g) 6x3 + 7x2 − x− 2 = 0
h)
(
x2 − 2x+ 1
)
(x+ 1) = 0
i) x4 − x3 − 4x2 + 4x = 0
2. Grá�cas de funciones sencillas
Dominio y recorrido. El dominio de una función son los valores que introducimos en nuestra calculadora y el recorrido
son los posibles valores que nos devuelve la calculadora.
Representación de rectas. Las funciones polinómicas de primer grado (cuya grá�ca es una recta) son
funciones del tipo f(x) = mx+ n
Su grá�ca es una recta con pendiente m.
� Si m > 0, la función es creciente. Si m < 0, la función es decreciente. Si m = 0, la función constante.
� Pasa por el punto (0, n), donde n es la ordenada en el origen.
� El dominio son todos los números reales.
� Si realizamos una tabla de valores únicamente es necesario poner dos valores.
2. Realiza la grá�ca de las siguientes rectas:
a) f(x) = −2x+ 3
x f(x) = −2x+ 3 Puntos
0 −2 · 0 + 3 = 3 99K A = (0, 3)
1 −2 · 1 + 3 = 1 99K B = (1, 1)
b) g(x) = 4x− 1
x f(x) = 4x− 1 Puntos
1 4 · 1− 1 = 3 99K A = (1, 3)
0 4 · 0− 1 = −1 99K B = (0,−1)
Representación de parábolas. Las funciones polinómicas de segundo grado se denominan funciones
cuadráticas, y son funciones del tipo f(x) = ax2 + bx + c, con a 6= 0. Su grá�ca es una parábola. Para
representar una parábola, es necesario conocer al menos los siguientes elementos:
El dominio de una función cuadrática son todos los números reales (R).
El vértice de la parábola es: V =
(
−b
2 · a
, f
(
−b
2 · a
))
Los puntos de corte con el eje X (f(x) = y = 0) se calculan resolviendo la ecuación ax2 + bx+ c = 0 utilizando la
expresión de la solución de la ecuación de 2º grado: x = −b±
√
b2 − 4 · a · c
2 · a
Si aún no somos capaces de realizar la grá�ca de la parábola, podemos utilizar:
Los puntos de corte con el eje Y(x = 0) sustituyendo x = 0 en la función 99K Punto(0, c)
Si aún no se sabe como es la parábola, se debe realizar una tabla de valores.
7
2 GRÁFICAS DE FUNCIONES SENCILLAS
a) a > 0
La parábola (abierta hacia arriba) es cóncava y el
vértice es un mínimo.
b) a < 0
La parábola (abierta hacia abajo) es convexa y el vér-
tice es un máximo.
3. Representa las siguientes parábolas:
a) f(x) = −2x2 + x+ 1
Vértice: xv =
−b
2 · a
=
−1
2 · (−2)
= 0,25, yv = f(0,25) =
−2 · (0,25)2 + (0,25) + 1 ' 1,13 ⇒ V = (xv , yv) =
(−0,25, 1,13)
Puntos de corte con el eje X: x ==
−1±
√
12 − 4 · (−2) · 1
2 · (−2)
=
−1±
√
9
−4
=
−1± 3
−4
⇒
C = (1, 0), D = (−0,5, 0)
b) f(x) = x2 + 2x− 2
Vértice: xv =
−b
2 · a
=
−2
2 · 1
= −1, yv = f(−1) = (−1)2 + 2 ·
(−1)− 2 = −3 99K V = (xv , yv) = (−1,−3)
Puntos de corte con el eje X: x ==
−2±
√
22 − 4 · 1 · (−2)
2 · 1
=
−2±
√
12
2
= −1±
√
3 ⇒C = (0,73, 0), D = (−2,73, 0)
4. Representa la parábola cuya expresión analítica es: f(x) = x2 + x+ 1
Vértice: xv =
−b
2 ·a
=
−1
2 · 1
= −05, yv = f(−0,5) = 0,75 99K V = (xv , yv) = (−0,5, 0,75)
Puntos de corte con el eje X (y = 0): x ==
−1±
√
12 − 4 · 1 · 1
2 · 1
=
−1±
√
−3
2
No hay puntos de corte con el eje X.
Punto de corte con el eje Y (x=0): f(x = 0) = 02 + 0 + 1 = 1 99K A = (0, 1)
Tabla de valores: Como únicamente tenemos dos puntos, no podemos representar la parábola bien, por tanto, debemos realizar una
tabla de valores tomando valores del eje X a la izquierda y derecha del valor calculado del vértice:
x f(x) = x2 + x+ 1 Puntos
-2 (−2)2 + (−2) + 1 = 3 99K B = (−2, 3)
-1 (−1)2 + (−1) + 1 = 1 99K C = (−1, 1)
0 1 99K A = (0, 1) Punto de corte con el eje Y
-0.5 0.75 99K V = (−0,5, 0,75) Vértice
1 12 + 1 + 1 = 3 99K D = (1, 3)
8
2 GRÁFICAS DE FUNCIONES SENCILLAS
5. Ejemplo resuelto: La temperatura T de una reacción química viene dada por T (t) = 2t− t2 en función del tiempo t
en horas (0 ≤ t ≤ 3)
a) Realiza la grá�ca de la función cuadrática (parábola)
b) ¾Qué temperatura habría a los 15 minutos (
15
60
= 0,25 horas)?
c) ¾En qué momento volverá a alcanzarse esta misma temperatura?
d) Hallar las temperaturas máxima y mínima y los momentos en los que se producen.
Solución:
a) Como es una parábola, hacemos la grá�ca de la función porque así podemos entender mejor el problema:
a) Como la temperatura viene dada en función del tiempo en horas, debemos pasar los minutos a horas:
15
60
= 0,25 horas. Luego, T (t = 0,25) = 2 · 0,25− 0,252 = 0,44OC.
b) Para calcular cuándo se volverá a alcanzar la misma temperatura, igualamos la expresión de la temperatura al valor calculado:
2t − t2 = 0,44 y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos t ' 0,25 y t ' 1,75 horas, es decir a la hora y tres cuarto volverá a
alcanzarse la misma temperatura.
c) Observando la grá�ca (y teniendo en cuenta los cálculos realizados para representar dicha función):
La temperatura máxima se alcanza en el vértice de la parábola (porque es convexa), es decir, se alcanza a la hora con una
temperatura de 1ºC.
La temperatura mínima se alcanza a las tres horas con una temperatura de -3ºC. Hay que tener en cuenta que desde las 2 horas
hasta las 3 horas la temperatura es negativa.
6. Tarea: La función B(x) =
1
90
(
−x2 + 100x− 1600
)
representa el bene�cio, expresado en miles de euros donde x son
las unidades.
a) Represente grá�camente dicha función.
b) ¾Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcan pérdidas ni ganancias?
c) ¾Cuántas unidades deben fabricarse para obtener el bene�cio máximo?
d) ¾Cuál es el máximo bene�cio posible?
Funciones a trozos. Una función de�nida a trozos es una función con distintas expresiones algebraicas
dependiendo del intervalo de su dominio.
Para realizar la grá�ca de una función a trozos, debemos realizar un estudio por separado de cada uno
de los trozos de�nidos.
9
2 GRÁFICAS DE FUNCIONES SENCILLAS
7. Realiza la grá�ca de la siguiente función a trozos:f(x) =

x2 − 3x x < 3
6 x = 3
−x+ 3 x > 3
En este caso tenemos tres trozos, una parábola, un punto y una recta. Para representar la parábola necesitamos conocer el vértice y puntos
de corte con el eje horizontal. Para la recta únicamente tomamos dos puntos. Siempre ponemos en las diferentes tablas de valores el punto
de cambio de función (en este caso es en x = 3):
x f(x) = x2 − 3x x f(x) = 6 x f(x) = −x+ 3
0 0 Punto de corte con el eje horizontal 3 6 3 0
1.5 -2.25 Vértice 4 -1
3 0 Punto de corte con el eje horizontal
8. Ejemplo resuelto: La tasa de producción anual, en miles de toneladas, de una cantera de piedra, sigue la función
T (a) =
{
50 + 3a 0 ≤ a ≤ 10
−2a+ 100 a > 10
siendo a el número de años desde su apertura.
a) Realiza la grá�ca correspondiente a la función.
b) ¾En qué momento es máxima la tasa de producción?
c) ¾Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas?
d) ¾Al cabo de cuántos años se extingue la cantera?
Solución:
Para realizar la grá�ca, realizamos las dos tablas de valores para las dos rectas:
a T (a) = 50 + 3a a T (a) = −2a+ 100
0 50 10 80
10 80 20 60
a) La grá�ca de la función nos quedaría:
b) La tasa de producción es máxima a los 10 años con un valor de 80 000 toneladas.
c) Para calcula cuando la tasa de producción es igual a 62 000 toneladas, igualamos en la expresión de la tasa en las dos expresiones
para calcular el valor de a.
50 + 3a = 62=⇒a = 4 años después de la apertura de la cantera.
10
2 GRÁFICAS DE FUNCIONES SENCILLAS
−2a+ 100 = 62=⇒a = 19 años después de la apertura de la cantera.
La tasa de producción es igual a sesenta y dos mil toneladas a los 4 y a los 19 años de la apertura de la cantera.
d) La cantera se extinguirá cuando la tasa de producción sea nula, es decir:
−2a+ 100 = 0=⇒a = 50 años después de la apertura de la cantera.
9. Tarea: El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un determinado mes,
varía con el tiempo (en días) según la expresión:
P (t) =
{
0,25t+ 8 0 ≤ t ≤ 4
−0,25t2 + 2t+ 5 4 < t ≤ 10
a) ¾Cuál es el precio inicial del artículo?
b) Dibujar la grá�ca de P(t) entre el día 1 y el 10.
c) ¾En qué periodo de tiempo aumenta el precio?
d) ¾Cuándo decrece el precio?
e) ¾Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?
Funciones exponenciales: Para representa funciones exponenciales (cuando la variable se encuentra en
el exponente) debemos realizar una tabla de valores. También hay que tener en cuenta que debemos
poner un valor muy pequeño ( -999 999 999) y un valor muy grande (999 999 999).
x f(x) = 3x x f(x) = 10x
-999 999 999 0 -999 999 999 0
-1 ' 0,33 -1 ' 0,1
0 1 0 1
1 3 1 10
999 999 999 0 999 999 999 0
10. •Ejemplo resuelto: Algunos expertos estimaron, a �nales de los años 90, que el número de enfermos de sida crecía a
un ritmo dado por la fórmula: E(t) = 1000 (1 + 0,20)t siendo t el número de años que transcurren desde 2000.
a) Calcula el número aproximado de enfermos en 2003, 2005 y 2007.
b) ¾Cuánto tardaría en duplicarse el ritmo de crecimiento?
Solución:
a) Si el año 2000 se corresponde cont = 0, habría E(t = 0) = 1000 (1 + 0,20)0 = 1000 entonces:
2003 99Kt = 3 luegoE(t = 3) = 1000 (1 + 0,20)3 = 1728 enfermos nuevos durante el año 2003.
2005 99Kt = 5 luegoE(t = 5) = 1000 (1 + 0,20)5 ' 2489 enfermos nuevos durante el año 2005.
2007 99Kt = 7 luegoE(t = 7) = 1000 (1 + 0,20)7 ' 3584 enfermos nuevos durante el año 2007.
b) Para averiguar cuánto tardaría en duplicarse, teniendo en cuenta que en el 2000 había 1000 nuevos casos de sida con respecto al año
anterior, entonces para calcular cuándo se duplicaría el crecimiento:
1000 (1 + 0,20)t = 2000 y dividiendo entre 1000:
1.20t = 2 y ahora aplicando logaritmos para despejar la t:
t · ln(1.20) = ln(2)y despejando la t:
t =
ln(2)
ln(1.20)
' 3.80, es decir, pasarán casi 4 años para que el ritmo de crecimiento se duplique.
11
2 GRÁFICAS DE FUNCIONES SENCILLAS
11. Tarea: La población de un estado viene dada por la expresión P (t) =
20
4e
−t
100 + 1
en millones de habitantes, donde t es
el tiempo en años.
a) Calcula la población actual (instante 0).
b) Además calcula el límite de la población con el tiempo.
Funciones racionales: Para representar una función racional tenemos que analizar los puntos donde se
anula el denominador. Hay que saber representar los siguientes tipos de funciones racionales calculando
las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
función lineal
función lineal
función cuadrática
función lineal
12. Realiza la grá�ca correspondiente a la función racional f(x) =
x− 8
x+ 4
.
Lo primero que debemos analizar es para qué valores se anula el denominador. En nuestro caso, x + 4 = 0 para x = −4. Esto quiere decir
que la función tiene una asíntota vertical en x = −4, es decir, dicho valor no se encuentra en el dominio. Realizando una tabla de valores,
podemos encontrar también la asíntota horizontal (que veremos con los límites en los próximos días):
x f(x) =
x− 8
x+ 4
-999 999 999 ' 1 y = 1 es una asíntota horizontal
-7 5
-6 7-5 13
-4 @ x = −4 no está en el dominio
-3 -11
-2 -5
0 -2
999 999 999 ' 1 y = 1 es una asíntota horizontal
13. Ejemplo resuelto: Tras un estudio demográ�co se ha determinado que el número de habitantes de cierta población,
en los próximos años, vendrá dado por la función: P (t) =
14500t+ 7000
2t+ 1
donde t son los años transcurridos.
a) ¾Cuántos habitantes tiene la población actualmente?
b) ¾Cuántos tendrá dentro de un año?
c) ¾Y dentro de dos años?
d) Si supone que la función fuese válida hasta el �n de los tiempos, ¾Crees que la población crecería
inde�nidamente o se estabilizaría en torno a un determinado nº de habitantes? Razona tu respuesta.
Solución:
a) Si la expresión nos da el número de habitantes donde t son los años transcurridos, entonces calculamos la población cuándo t = 0:
P (t = 0) =
14500 · 0 + 7000
2 · 0 + 1
= 7000 habitantes que hay actualmente.
b) Dentro de un año: t = 1: P (t = 1) = 14500 · 1 + 7000
2 · 1 + 1
= 7166 habitantes son los que habrá dentro de un año.
c) Dentro de 2 años: t = 2: P (t = 2) = 14500 · 2 + 7000
2 · 2 + 1
= 7200 habitantes son los que habrá dentro de dos años.
d) Si la función fuese válida, la manera de analizar que ocurriría en el futuro sería calculando el límite de la expresión cuando el tiempo
es su�cientemente grande:
lim
t→∞
P (t) = lim
t→∞
14500 · t+ 7000
2 · t+ 1
=
{∞
∞
}
= lim
t→∞
14500 · t
2 · t
= 7250 será la población que como máximo habrá dentro de muchos años.
14. Tarea: Los bene�cios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa pequeña durante los próximos 5 años,
vienen dados por la función: B(t) =
t2 − 6
t+ 4
, si 0 ≤ t ≤ 20 siendo t el tiempo en años:
a) Realizando una tabla de valores, indica aproximadamente cuando la empresa deja de tener pérdidas.
b) ¾Cuánto tiempo tiene que pasar para que los bene�cios sean iguales a 12500¿?
12
3 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
3. Límites de una función
El concepto de límite se utiliza en el campo de las ciencias sociales y humanidades para estudiar la tendencia de una
inversión o los bene�cios de una empresa con el paso del tiempo, así como para predecir su comportamiento en el futuro.
Por tanto, es importe, saber calcular límites en el in�nito así como saber utilizar software para representar funciones,
entre los que te recomendamos:
Geogebra: Gratuito. Se puede descargar en pendrive e instalarlo en cualquier ordenador. Quizás
sea el mejor programa, pero requiere un poco de trabajo para saberlo utilizar. Puedes descargarte
la APP para android.
Google, Wiris, ...
a) Límites de una función en un punto. Límites laterales.
Veamos la de�nición intuitiva de forma visual:
Analizar los límites en valores que no presentan di�cultad e ir señalando en la grá�ca anterior:
1) lim
x→−4
f(x) =
2) lim
x→−3
f(x) =
3) lim
x→−2
f(x) =
4) lim
x→−1
f(x) =
5) lim
x→1
f(x) =
6) lim
x→2
f(x) =
7) lim
x→2,5
f(x) =
8) lim
x→10
f(x) =
Si observamos el valor donde cambiamos de trozo de función, nos damos cuenta que no se unen. Por tanto, el límite de
dicha función en x = 0 no existe y no se puede decir cuál es. Para demostrarlo analíticamente, tenemos que calcular
los denominados límites laterales:
Límite por la izquierda: lim
x→0−
f(x) =
Límite por la derecha: lim
x→0+
f(x) =
Como son diferentes los límites laterales, entonces no existe: @ lim
x→0
f(x)
Notas aclaratorias:
Analíticamente calculamos los límites sustituyendo el valor numérico en la expresión dada.
Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que los dos límites laterales existan y sean
iguales.
Los límites laterales los vamos a utilizar cuando tengamos funciones de�nidas a trozos.
También nos pueden pedir límites en el in�nito.
15. Ejemplo a realizar: Calcula los límites utilizando la grá�ca y luego de forma analítica de la siguiente función:
f(x) =
{
x3 x < 2
−x+ 4 x ≥ 2
a) lim
x→−9
f(x) = b) lim
x→0
f(x) = c) lim
x→4
f(x) = d) lim
x→2−
f(x) = e) lim
x→2+
f(x) = f ) lim
x→2
f(x) =
16. Ejemplo a realizar:
13
3 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
f(x) =

2 x < −2
−x2 + 4 −2 ≤ x ≤ 2
−1 x > 2
a) lim
x→−5
f(x) =
b) lim
x→−3
f(x) =
c) lim
x→0
f(x) =
d) lim
x→3
f(x) =
e) lim
x→−100
f(x) =
f ) lim
x→100
f(x) =
g) lim
x→−2−
f(x) =
h) lim
x→−2+
f(x) =
i) lim
x→−2
f(x) =
j ) lim
x→2−
f(x) =
k) lim
x→2+
f(x) =
l) lim
x→2
f(x) =
Límites laterales de una función. Asíntotas verticales: Si observas la siguiente �gura, a medida que nos aproxi-
mamos a -2 por la izquierda (valores menores que -2) toma valores mayores que cualquier número positivo. Fíjate que
sucede algo similar cuando x se aproxima al -2 por la derecha (valores mayores que -2).
a) lim
x→−2−
f(x) =
b) lim
x→−2+
f(x) =
c) lim
x→−2
f(x) =
d) lim
x→2−
f(x) =
e) lim
x→2+
f(x) =
f ) lim
x→2
f(x) =
Cuando la x se acerca al valor -2 (por la izquierda), la grá�ca de la función se acerca hacia +∞ , aproximándose
a la recta x = −2. Por este motivo, se dice que dicha recta es una asíntota vertical de f(x).
En este caso, cuando la x se acerca al valor 2 (por la derecha), la grá�ca de la función se acerca hacia −∞ ,
aproximándose a la recta x = 2. Por ello, se dice que dicha recta es una asíntota vertical de f(x).
Diremos por tanto que dicha función tiene dos asíntotas verticales (AV) en x = −2 y x = 2
Límites de una función en el in�nito. Asíntotas horizontales (AH): Si x toma valores muy grandes(x→∞),
la función f(x) puede tomar valores grandes, pequeños o cada vez más próximos a un número real L. En ese caso,
diremos que una función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = L si se cumple que alguno de los dos límites en el
in�nito nos da un número real L. Matemáticamente se expresaría así: lim
x→±∞
f(x) = L
a)
lim
x→−∞
f(x) = 3
lim
x→∞
f(x) = 3
entonces y = 3 es una AH
b)
lim
x→−∞
f(x) = 5
lim
x→−∞
f(x) = 5
entonces y = 5 es una AH
c)
lim
x→−∞
f(x) = 1
lim
x→∞
f(x) = 1
entonces y = 1 es una AH
17. Tarea: Analiza sobre las grá�cas (realizadas a ordenador) las asíntotas horizontales y verticales.
14
3.1 Cálculo de límites y resolución de indeterminaciones 3 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
a) f(x) =
1
x
b) f(x) =
1
x− 5
c) f(x) =
1
x2 − 16
d) f(x) =
1
x3 − 9x
e) f(x) =
x
x2 + 2
f ) f(x) =
x2
x2 − 5
g) f(x) =
x3
x2 + 16
3.1. Cálculo de límites y resolución de indeterminaciones
Para calcular cualquier límite debemos sustituir el valor de x por el valor que me diga el límite. Podemos obtener un
valor (límite de la función en el punto dado) o una indeterminación que hay que resolver. Según sea el tipo de
indeterminación se va a resolver de una manera u otra. (Nosotros solo vamos a ver las indeterminaciones∞/∞ y 0/0)
En las operaciones con números y ±∞, teniendo en cuenta la regla de los signos, podemos comparar un nº con el ±∞es
como comparar una gota de agua (el número) con el mar (in�nito). Se supone que el in�nito es lo más grande o lo
más pequeño que hay pero nunca podemos alcanzarlo. En realidad el in�nito se ha establecido para poder poner �n.
Observa los siguientes ejemplos numéricos prácticos (por ejemplo, L = 3 ) e intenta dar un valor a los cálculos que se
solicitan:
a) L+∞ =
b) L · ∞ =
c)
L
∞
=
d) −L+∞ =
e) L− (−∞) =
f ) −L · ∞ =
g) L · (−∞) =
h) −L · (−∞) =
i)
L
−∞
=
Resolución de indeterminaciones: Según sea el tipo de indeterminación que aparezca, actuaremos de una forma u
otra. En los siguientes ejemplos, podrás observar las indeterminaciones más usuales. Date cuenta que si la indetermi-
nación persiste, debes volver a aplicar el proceso descrito en el apartado correspondiente:
18. Indeterminación
0
0
: Aparece cuando calculamos el límite en un punto si el denominador y el numerador tienen una
raíz común (parte común). Se resuelve factorizando el numerador y denominador y luego simpli�cando:
a) lim
x→1
8 · (x− 1)
(x+ 3) · (x− 1)
=
[
0
0
]
= lim
x→1
8
(x+ 3)
=
8
1 + 3
=
8
4
= 2
b) lim
x→−2
x+ 2
x2 + x− 2
=
[
0
0
]
= lim
x→−2
x+ 2
(x+ 2) · (x− 1)
= lim
x→−2
1
(x− 1)
=
1
−2− 1
=
1
−3
donde hemos descompuestoel denominador utilizando las soluciones de la ecuación de segundo grado:
x ==
−1±
√
12 − 4 · 1·(−2)
2 · 1
=
−1±
√
9
2
=
−1± 3
2
=⇒x1 =
−1 + 3
2
= 1 , x2 =
−1− 3
2
= −2
19. Indeterminación
∞
∞
: Aparece al calcular el límite cuando x→∞ y se resuelve dividiendo el numerador y denominador
por la variable elevada al mayor grado de la fracción y luego simpli�cando la expresión:
a) lim
x→∞
x2
x
=
[∞
∞
]
= lim
x→∞
x =∞ 99K Da ±∞, siempre que el grado del numerador (en este caso 2) sea mayor que
el grado del denominador (en este caso 1).
b) lim
x→∞
x+ 3
x2
=
[∞
∞
]
= lim
x→∞
x
x2
= lim
x→∞
1
x
=
1
∞
= 0 99K Da 0 siempre que el grado del numerador (en este caso 1)
sea menor que el grado del denominador (en este caso 2).
c) lim
x→∞
9x2 + 3x− 1
3x2 − 5x
=
[∞
∞
]
= lim
x→∞
9x2
3x2
=
9
3
= 3 99K siempre que el grado del numerador sea igual al grado del
denominador (en este caso 2).
20. Tarea: Resuelve los siguientes límites teniendo en cuenta que debes resolver las indeterminaciones utilizando los
métodos anteriores:
a) lim
t→4
− t
2
4
+ 2t+ 5
b) lim
t→0
− t
2
4
+ 2t+ 5
c) lim
x→∞
80000 + 24·x
x
d) lim
t→∞
14500 · t+ 7000
2 · t+ 1
e) lim
t→∞
50 +
70t
t+ 30
f ) • lim
t→∞
1600
6 + 22−t
g) •lim
t→∞
15 + t2
(1 + t)
2
h) lim
x→∞
30x
2x+ 2300
i) lim
t→∞
15000 · t+ 1000
2 · t2 + 2
j ) lim
t→∞
2t− 4
t+ 2
k) • lim
t→∞
20
4e
−t
100 + 1
l) lim
x→∞
5x+45
x+2
m) lim
t→∞
t+ 3
t+ 1
n) lim
t→∞
150 + 400t
2t+ 2
15
4 FUNCIONES DISCONTINUAS Y FUNCIONES CONTINUAS
4. Funciones discontinuas y funciones continuas
Una función es continua cuando la podemos representar sin levantar el lápiz del papel. Analíticamente
una función es continua en un punto cuando
lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = L y además f (a) = L
Notas prácticas:
Una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos de ese intervalo.
Cuando una función no es continua en un punto, se dice que la función es discontinua en x = a
Toda función polinómica es continua.
Las funciones racionales no son continuas en los puntos donde se anulan el denominador.
Las funciones a trozos hay que analizar sobre todo los puntos donde cambiamos de una expresión a otra.
Tipos de discontinuidad (Evitable, de salto �nito, de salto in�nito)
Discontinuidad evitable: Ocurre cuándo existe el valor del límite lim
x→a
f(x) pero no coincide con el valor de la
función f(a), es decir, cuando lim
x→a
f(x) 6= f(a).
Discontinuidad de salto �nito: Se produce cuando no existe @lim
x→a
f(x) porque los límites laterales no coinciden.
Se dice que es una discontinuidad de salto h = 7.
Discontinuidad de salto in�nito: Uno o los dos límites laterales son in�nito.
21. Ejemplo resuelto: Determina si la función a trozos es continua o es discontinua. Clasi�ca el posible punto de discon-
tinuidad.
f(x) =
{
x− 5 x < 2
4 x ≥ 2
Sol.:
16
5 PROBLEMAS APLICADOS UTILIZANDO FUNCIONES Y LÍMITES
Estudiamos la continuidad de las distintas expresiones de la función en los intervalos en los que están de�nidas:
Si x < 2 99Kf(x) = x− 5 que es una función continua en todoR y por tanto en (−∞, 2)
Si x ≥ 2 99Kf(x) = 4 que es una función continua en todoR y por tanto en (2,+∞).
Estudiamos la continuidad en los puntos en los que la función pasa de una expresión algebraica a otra ( en x = 2):
f (2) = 4
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(x− 5) = −3
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(4) = 4
Como los límites laterales no son iguales, entonces la función no es continua en x = 2. Dicha función es discontinua de
salto �nito ya que existe f(2) pero no existe lim
x→2
f(x) y los límites son �nitos.
22. Tarea: Estudia la continuidad y clasi�ca el tipo de discontinuidad (en caso de serlo) de las siguientes funciones:
a) f(x) =
x+ 3
x− 2 b) B(x) =

x+ 4 x < 1
5 1 ≤ x < 4
−2x+ 13 x ≥ 4
c) B(x) =

x+ 4 x < 1
5 1 ≤ x < 4
−2x+ 10 x > 6
5. Problemas aplicados utilizando funciones y límites
Lo realmente importante dentro del tema de 2º de bachillerato de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II es
entender los contenidos anteriores para aplicarlos a los problemas aplicados a las ciencias sociales. Para ello, hay que
tener en cuenta las siguientes consideraciones:
a) Normalmente se utilizan en las funciones las letras que tengan relación con el enunciado, por ejemplo:
t 99K se utiliza normalmente para la variable tiempo.
B 99K se utiliza normalmente para la función bene�cio o pérdidas.
P 99K se utiliza normalmente para la función población.
...
b) Hay que tener mucho cuidado con las unidades de medida utilizadas. No es lo mismo que me digan que los datos
vienen dados en cientos de euros (en este caso 399K300¿) que me digan que son miles de euros (en este caso
399K3000¿) que en cientos de miles de euros (en este caso 399K30 000¿)
c) La mayoría de los problemas nos dan una función. En este caso, si es fácil se representa pero en la mayoría de los
casos la representación (a mano) es casi imposible por lo que hay que realizar el estudio analítico y sin la grá�ca.
d) En los pocos casos donde no tengamos función hay que obtenerla. Este tipo de problemas, aunque no es habitual,
requiere de una paciencia que a veces no tenemos. Por ello, debemos utilizar las tablas de valores para poder así
generalizar y obtener la expresión analítica buscada.
17
6 FICHA 1 DE EJERCICIOS
6. Ficha 1 de ejercicios
23. •En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en
la función:
A(x) =
{
e0,02x 1 ≤ x ≤ 100
−1
50 x+ 8 100 < x ≤ 390
donde x es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y A es el número de miles de hojas ahorradas.
a) ¾Es continua la función?
b) Estudiar si la función es creciente o decreciente.
c) ¾Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el inicio de la campaña?
d) ¾En qué momento el ahorro es de cinco mil hojas?
24. •Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas, según las funciones:
f(x) = −x2 + 10x+ 600 y g(x) = x
2
+ 615 si 0 ≤ x ≤ 10
a) ¾En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes?
b) ¾En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente?
c) ¾En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes?
25. La función siguiente, en cientos de miles de euros, da las ganancias de una empresa en función del tiempo transcurrido,
t en años, desde su creación:
B(t) =

t
2
0 ≤ t ≤ 3
t+ 3
t+ 1
t > 3
a) ¾Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación?
b) ¾Y al cuarto año?
c) Realiza una tabla de valores para poder analizar aproximadamente cuando crecen y decrecen las ganancias.
d) ¾Qué crees que sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.
26. La tasa de producción anual, en miles de toneladas, de una cantera de piedra, sigue la función
T (a) =
{
50 + 3a 0 ≤ a ≤ 10
−2a+ 100 a > 10
siendo a el número de años desde su apertura.
a) Representa dicha función.
b) ¾En qué momento es máxima la tasa de producción?
c) ¾Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas?
d) ¾Al cabo de cuántos años se extingue la cantera?
27. •Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 120 km/hora, el consumo en litros de gasolina de
un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/horas, se puede aproximar por la función
C(x) = 0,00025x2 − 0,05x+ 7,5.
a) Realiza la representación grá�ca del consumo de gasolina.
b) ¾A qué velocidad se obtiene el consumo mínimo?, ¾cuál es dicho consumo?
c) ¾Entre que velocidades el consumo de gasolina es creciente? , ¾y decreciente?
28. El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho producto se puso
en venta. La función que relaciona x y P es: P (x) = −x
2
3
+ 20x+ 375.
a) Realiza la representación grá�ca.
b) Determinar si la función tiene máximo. Razona la respuesta.
c) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¾cuándo ocurreesto?
d) Realiza una tabla de valores para analizar cuando el precio aumenta y cuando disminuye.
18
6 FICHA 1 DE EJERCICIOS
29. La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 100 metros, viene dada en función
de los metros recorridos, x, por v(x) = 0,00055x(300− x).
a) Realiza la representación grá�ca de dicha expresión analítica.
b) ¾Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?, ¾cuál es esa velocidad máxima?
c) ¾Entre que distancia su velocidad va aumentando?, ¾y disminuyendo?
30. ••Una empresa quiere producir C(t) = 200 + 10t unidades de un producto que quiere vender a P (t) = 200− 2t euros
cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción:
a) Hallar, dependiendo de t, la función bene�cio B(t).
b) Realiza la representación de la función bene�cio.
c) Determinar el intervalo de crecimiento para el bene�cio cuando t ≤ 100.
d) ¾Cuándo son máximos los bene�cios?
31. Los bene�cios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa pequeña durante los próximos 5 años, vienen
dados por la función: B(t) =
t2 − 6
t+ 4
, si 0 ≤ t ≤ 20 siendo t el tiempo en años:
a) Realizando una tabla de valores, indica aproximadamente cuando la empresa deja de tener pérdidas.
b) ¾Cuánto tiempo tiene que pasar para que los bene�cios sean iguales a 12500¿?
32. •Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520¿ la unidad. Los costes de producción que tiene
la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados por la expresión C(x) = x2 + 20x + 40000, en donde x
representa las unidades producidas. Sabiendo que el bene�cio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia
de los ingresos menos el coste, te pido:
a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el bene�cio que obtiene la empresa con dicho articulo.
b) Representa grá�camente dicho bene�cio.
c) ¾Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el bene�cio sea máximo?
19
7 FICHA 2 DE EJERCICIOS
7. Ficha 2 de ejercicios
33. •En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en
la función:
A(x) =
{
e0,02x 1 ≤ x ≤ 100
−1
50 x+ 8 100 < x ≤ 390
donde x es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y A es el número de miles de hojas ahorradas.
a) ¾Es continua la función?
b) Estudiar si la función es creciente o decreciente.
c) ¾Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el inicio de la campaña?
d) ¾En qué momento el ahorro es de cinco mil hojas?
34. •Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas, según las funciones:
f(x) = −x2 + 10x+ 600 y g(x) = x
2
+ 615 si 0 ≤ x ≤ 10
a) ¾En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes?
b) ¾En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente?
c) ¾En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes?
35. El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un determinado mes, varía con
el tiempo (en días) según la expresión:
P (t) =

t
4
+ 8 0 ≤ t ≤ 4
− t
2
4
+ 2t+ 5 4 < t ≤ 10
a) ¾Cuál es el precio inicial del artículo?
b) Dibujar la grá�ca de P(t) entre el día 1 y el 10.
c) ¾En qué periodo de tiempo aumenta el precio?
d) ¾Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué días se obtiene?
36. •Se estima que las ganancias semanales de una empresa (en miles de euros) para los próximos años, sigue la función:
g(t) =

2t− 2
t+ 1
t ≤ 4
t+ 2
t+ 1
4 < t ≤ 10
a) ¾Cuándo es creciente la ganancia?
b) ¾Cuándo es máxima la ganancia? Justi�ca la respuesta.
c) Si en la función anterior se cambia 4 < t ≤ 10 por 4 < t, ¾a qué valor se aproxima la ganancia cuando t crece
inde�nidamente? Justi�ca la respuesta.
37. La picadura de un insecto produce una hinchazón en la piel, cuya altura en milímetros viene dada por la función
h (t) =
t
10
(20− 2t) , siendo t los días que se tiene la piel hinchada.
a) ¾Qué altura tiene la hinchazón a los 2 días?
b) ¾Cuánto dura el periodo de hinchazón, desde que pica el insecto hasta que desaparece la hinchazón?
c) ¾Cuál es la altura máxima de la hinchazón?
38. • El número de personas que acuden a una exposición en un día viene dado por la función n(t) = −2t2 + 12t siendo la
t el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Si el horario de exposición es desde las tres de la tarde hasta las 9
de la noche:
a) Realiza la representación de dicha función.
b) ¾A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición? ¾Cuál es ese número máximo de
personas?
c) ¾Cuántas personas visitan la exposición durante todo el día?
20
7 FICHA 2 DE EJERCICIOS
d) Si cada entrada cuesta 1.25¿, ¾Cuánto se recaudará durante ese día?
39. Se espera que, en los próximos diez años, las ganancias (en miles de euros) de una empresa, vengan dadas por la función
P (t) = −2t2 + 20t+ 5.
a) Realiza la representación grá�ca.
b) Determina cuándo las ganancias sean de 5 mil euros.
c) Determinar en qué años decrecerán las ganancias.
d) ¾Cuándo son máximas?
40. ••El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es x
2
4
+ 5x + 25 y el precio de venta de
una de ellas está en función de la producción total es
(
50− x
4
)
euros por cada unidad.
a) Halla el precio de venta si se producen 12 unidades
b) Determinar los ingresos al producir 12 unidades.
c) Determinar los bene�cios al producir 12 unidades.
d) Establecer el número de unidades que deben venderse diariamente para que el bene�cio sea máximo.
41. Se sabe que el número de del�nes que existirán en los próximos años en una reserva natural marítima, viene dado por
la función N(t) =
15000t+ 4000
2t+ 2
siendo t el número de años transcurridos. Se pide:
a) Determina el número de del�nes que habrá dentro de 9 años.
b) ¾Cuántos años han de pasar hasta que hayan 7250 del�nes?
c) Determinar el valor hacia el que tenderá en el futuro el número de del�nes de la reserva.
42. •Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520¿ la unidad. Los costes de producción que tiene
la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados por la expresión C(x) = x2 + 20x + 40000, en donde x
representa las unidades producidas. Sabiendo que el bene�cio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia
de los ingresos menos el coste, te pido:
a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el bene�cio que obtiene la empresa con dicho articulo.
b) Representa grá�camente dicho bene�cio.
c) ¾Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el bene�cio sea máximo?
21
7 FICHA 2 DE EJERCICIOS
Soluciones a la Ficha 1: Límites y continuidad
23. a) NO
b) Creciente de 1 a 100 y
decreciente después.
c) Que la producción pasa de
7390 hojas ahorradas a 6000.
d) En el día 80 y en el día
150.
24. a) A las dos y a las 7.5
horas
b) De la 5 hora hasta el �nal c) A las 5.25 horas
25. a) 75000¿ b) 140 000¿ d) Las ganancias se aproximan a 100 000¿
26. b) A los 10 años de la
apertura.
c) A las 4 y a los 19 años de la apertura. d) A los 50 años.
27. b) A los 100 km/h con 5 litros de consumo. c) Crece después de los 100 km/h y decrece antes.
28. b) Se alcanza en el día
30 con un precio de 675¿.
c) A los 75 días.
d) Aumenta los primeros 30
días y disminuye después.
29. b) Habrá recorrido 50 metros cuya velocidad máximas es de 4.125 m/sg.
c) Aumenta durante los
primeros 150 metros y
disminuye los últimos 150 m.
30. a)
B (t) = 40000 + 1600t− 20t2
c) El bene�cio crece durante
los primeros 40 días.
d) A los 40 días con un bene�cio de 72 000¿
31. a) Aproximadamente
el año 2.4
b) Casi 15 años y medio.
32. c) Debe fabricar 250 para obtener el bene�cio máximo de 22 500¿
Cuadro 2: Soluciones a la �cha 1 de Límites y continuidad
Soluciones a la Ficha 2: Límites y continuidad
33. a) NO
b) Creciente de 1 a 100 y
decreciente después.
c) Que la producción pasa de
7390 hojasahorradas a 6000.
d) En el día 80 y en el día
150.
34. a) A las dos y a las 7.5
horas
b) De la 5 hora hasta el �nal c) A las 5.25 horas
35. a) 8¿
c) Durante los primeros 4
días.
d) Se alcanza el 4º día con 9¿
36. a) Durante los primeros
4 años.
b) Al 4º año con 1200¿ a la
semana
c) Se aproximan a 1000¿ a la
semana.
37. a) 3.2 milímetros b) 10 días
c) Se alcanza a los 5 días con
una altura de 5 mm.
38. b) A las 6 de la tarde con 18 personas. c) 70 personas d) 87.5¿ fue la recaudación
39. b) Al comienzo.
c) Crecerán durante los 10
años.
d) A los 10 años con 125 000¿ de ganancias anuales.
40. a) 47¿ b) 564¿ c) 443¿
d) Se deben vender 45
unidades para un bene�cio
máximo de 987.5¿
41. a) Habrá 6950 del�nes b) 21 años c) Hacia 7500 del�nes
42. c) Debe fabricar 250 para obtener el bene�cio máximo de 22 500¿
Cuadro 3: Soluciones a la �cha 2 de Límites y continuidad
22
Parte III
La derivada y sus aplicaciones
5. Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una
función, resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o
social y extraer conclusiones del resultado obtenido.
Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado utiliza las técnicas de derivación para calcular la derivada de
una función y utilizarla para obtener su expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o
globales, representar funciones (polinómicas, racionales e irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas) y
extraer conclusiones en problemas derivados de situaciones reales. Además, plantea problemas de optimización sobre
fenómenos relacionados con las ciencias sociales y la economía, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro
del contexto ayudándose de calculadoras grá�cas y programas informáticos cuando sea necesario.
Competencias: CMCT, CD, AA
Contenidos:
1. Aplicaciones de las derivadas al estudio de funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas, exponenciales
y logarítmicas.
2. Planteamiento y resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.
Estándares de aprendizaje evaluables relacionados: 44, 45
Cuadro 4: Criterio de evaluación 5
23
9 REGLAS Y OPERACIONES PARA OBTENER LAS DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES
8. La derivada
La tasa de variación instantánea en un punto cuyo valor coincide con la:
Derivada de la función f(x) en el punto x = a:
TV Ia = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= f´(a) (1)
Función derivada de f(x):
f´(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
(2)
1. Ejemplo: Dada la función f(x) = x2, observa como calculamos la función derivada:
f(x) = x2
f(h) = h2
f(x+ h) = (x+ h)2 = x2 + 2xh+ h2
f´(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
= lim
h→0
x2 + 2xh+ h2 − x2
h
= lim
h→0
2xh+ h2
h
= lim
h→0
h(2x+ h)
h
= lim
h→0
(2x+ h) = 2x
f(x) = x2 → f´(x) = 2x
Si queremos calcular la derivada en ciertos puntos, únicamente sustituimos en la expresión anterior.
Función Función derivada
x f(x) = x2 f ´(x) = 2x
-3 9 -6
Derivada
negativa
-2 4 -4
-1 1 -2
0 0 Vértice 0
1 9 2
Derivada
positiva
2 4 4
3 1 6
2. Tarea: Dada la función f(x) = 4x, calcula, utilizando la de�nición, la derivada.
9. Reglas y operaciones para obtener las derivadas de algunas funciones
En los ejemplos anteriores hemos calculado la derivada de algunas funciones aplicando la de�nición de derivada. El
proceso es largo y por ello, existen unas sencillas reglas prácticas con las que se puede generalizar y calcular la derivada
de cualquier función elemental. Todas las reglas siguientes se pueden demostrar, pero no interesa para este curso. Es
importante saber que la derivada es la pendiente de la recta tangente.
Regla de la potencia: D(xn) = n · xn−1 , D (k · x) = k·
a) D(k) = 0
b) D(x) = 1
c) D (7x) = 7
d) D (−6x) = −6
e) D
(
−3
2
x
)
=
−3
2
f ) D(x7) = 7 · x7−1 = 7x6
g) D(2x3) = 2 · 3·x3−1 = 6x2
h) D( 1
x
) = D(x−1) = −1·x−1−1 =
−1
x2
i) D
(√
x
)
= D(x
1
2 ) = 1
2
·x
1
2
−1 =
1
2
x
−1
2 =
1
2
√
x
Regla de la suma y resta de funciones: D (f ± g) = f ´± g´
a) D(2x3 − 1) = 6x2
b) D(7 +−3x4) = −12x3
c) D(x− 4) = 1
d) D(x3 + x2) = 3x2 + 2x
e) D(4x− 2x7) = 4− 14x6
f ) D(4x2 − 5x4) = 8x− 20x3
g) D(−2x−3 − 4x) = 6x−4 + 4
h) D( 2
3
x4 − 4x3) = 8
3
x3 − 12x2
i) D(−5z−3 − 4z2) = 15z−2 − 8z
Regla del producto de funciones: D (f · g) = f ´ · g + f · g´
a) D(
(
3x·x2
)
) = 3x2 + 3x·2x
24
9 REGLAS Y OPERACIONES PARA OBTENER LAS DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES
b) D(300t (1− t)) = 300(1− t) + 300t(−1) = 300− 300t− 300t = 300− 600t
Regla de la división de funciones: D
(
f
g
)
=
f ´ · g − f · g´
g2
a) D( 500x
x+ 4
) =
500(x+ 4)− 500x·1
(x+ 4)2
=
500x+ 2000− 500x
(x+ 4)2
=
2000
(x+ 4)2
b) D´( 5x− 2
−x+ 1
) =
5(−x+ 1)− (5x− 2)·(−1)
(−x+ 1)2
=
−5x+ 5 + 5x− 2
(−x+ 1)2
=
3
(−x+ 1)2
c) D( 5x
2 − 1
3x− 1
) =
10x(3x− 1)− (5x2 − 1)·3
(3x− 1)2
=
30x2 − 10x− 15x2 + 3
(3x− 1)2
=
15x2 − 10x+ 3
(3x− 1)2
Derivada de las funciones exponenciales: D(ax) = ax · ln(a),
a) D(5x) = 5x·ln(5)
b) D(5x + 3) = 5x·ln(5)
c) D(−4 + ex) = ex·ln(e) = ex
d) D(−4ex) = −4ex
Utilizando la regla de la cadena D (f ◦ g) = Df(g) = f¨(g) · g´ podemos obtener las siguientes derivadas
compuestas:
D (fn) = n·fn−1·D(f) D(af ) = f´·af · ln(a)
a) D((3x+ 5)2) = 2·(3x− 5)2·3 = 6·(3x− 5)2
b) D
((
3z2 − 5z
)3)
= 3·
(
3z2 − 5z
)2
·(6z − 5)
c) D(
(
−5v−2 − 4v
)4
) = 4·
(
−5v−2 − 4v
)3 (
10v−3 − 4
)
d) D
((
3z5 − 7z4
)−3)
= −3·
(
3z5 − 7z4
)−4
·
(
15z4 − 28z3
)
e) D
(
3x
2+4x
)
= (2x+ 4) ·
(
3x
2+4x
)
·ln(3)
f ) D
(
e3x
2−4x3
)
=
(
6x− 12x2
)
·
(
e3x
2−4x3
)
·ln(e)︸ ︷︷ ︸
=1
Notas aclaratorias:
Al llegar a este lugar, se deben realizar las actividades de las �chas hasta las aplicaciones.
En este momento hay que realizar el listado de derivadas sencillas y aplicar las fórmulas de las derivadas a las
funciones aplicadas.
A partir de este momento, realizamos un resumen de las aplicaciones de las derivadas, aspectos que son los más
importantes para PAU.
3. Tarea: Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la regla: (xn)´ = n·xn−1
a) f(x) = 3x2
b) y = 3x4
c) f(x) = −2x5
d) y = 4x3 − 5x
e) y = −3x−4
f ) y = −2x4 + 3x2 − x+ 1
g) f(x) = 23x
4 − 4x3
h) b(x) = 13x
3 − 4x2
i) f(x) = 2x−3 − 3x2
j ) G(z) = −5z2 − 4z2
k) G(v) = −5v2 + 4v
l) I(r) = 5r2 − 4r3 − 4r−2
4. Tarea: Calcula las derivadas de las siguientes funciones compuestas: (fn)´ = n·fn−1·f´
a) (3x+ 5)2
b)
(
4z − 5z2
)3
c) -
√
5x3 − 4x
d)
√
−5z2 − 4
e)
(
−5v3 + 4v
)3
f )
(
3z5 − 7z4
)2
g) y = (2x− 5) · (4− 3x)
h) y =
(
x2 − 1
)
·
(
2− 3x2
)
i) y =
(
x2 − 3x+ 2
)
·
(
2x+ 4x2
)
j ) -y =
(
1 + 5x3
)
·
(
1 + 3x2
)
k) y =
(
2x5 − 3
)
·
(
x4 − x2
)
l) y = (2x+ 5)4
m) y =
(
2x3 − 3
)4
n) y =
x2 + 1
x2 − 1
ñ) f(x) =
5x2 − x
3x4 − 2
o) f(x) =
x3 + 3x2 − 5x+ 3
x
p) -y =
2x3 − 3x2
6− 2x2
q) y =
2x3 − 3x2 − 2x− 4
2x2 − 3x+ 6
r) g(x) =
x2 − 3x
2x− 5
s) -y =
(
3x4 + 4
)3
5x3 − x
t) -y =
1− 3x
x
+ (5x− 2)3
5. Tarea: Calcula las derivadas de las siguientes funciones: (ax)´ = ax·ln(a),
(
af
)
´
= af ·ln(a)·f´
a) 3x
b) ez
c) 3ez
d) 3x
2−4x
e) 4z+5
f ) e4z
2−3z
g) 3e0,001z+5
h) f(x) = e2x+5
i) f(x) = 35x
2−4x
25
10 DERIVADAS LATERALES
j ) g(x) = e(3x
4−5x)
2
k) g(x) = 35x + ex l) g(x) = 35x − 3ex + 4x2−7x
6. Tarea: Calcula la primera y segunda derivada de las siguientes funciones:
a) p(x) = 9− 0,05x
b) C(x) = 0,2x2 + 4x+ 57
c) r(t) = 30t− 10,5t2 + t3
d) C(x) = x2 + 20x+ 40000
e) C(x) = 2x2 + 3x+ 200
f ) R(x) = 0,001x2 + 0,4x+ 3,5
g) f(x) = 3x2 + 2x3 − x
h) B(x) = −54x2 + 3780x+ 11250
i) d(x) = 700− 3x2
j ) C(x) = 0,0006x3 + 96
k) f(x) = x2 + ax+ b
l) -f(x) = x3 + ax2 + bx+ c
m) S (u) = −0,2
(
2t3 − 45t2 − 4200t− 60
)
n) -r(t) = 300t (1− t)
ñ) g(z) = z
4
4 +
3z2
2 − 2
o) h(x) = (3x·
√
x)
p) p(x) = 7,2− 3x
5000
q) G(t) =
√
144 + 2t+ 4t2
r) I(x) =
500x
x+ 4
s) B(x) =
5x− 2
x− 1
t) I(x) =
5x− 2
4x− 1
u) -n(t) =
1500t− 4000
2t+ 2
v) -b(t) =
t2 − 6
t+ 4
w) D(x) =
5x2 − 2
4x2 −2x
7. Tarea: Calcula la primera derivada y obtén los valores que hacen que dicha derivada sea nula (sea cero).
a) h(t) = 40t− 5t2
b) y (x) = 2400− 3x
c) P (x) = 580− x
2
16
d) f(x) = 2x2 − 12x+ 23
e) C(t) = 2,5 + 0,24t− 0,02t2
f ) C (x) = 0,1x2 − 3x+ 100
g) D (x) = 0,02x3 − 0,9x2 + 7,5x+ 100
h) I(t) = 3 +
t2 − 8t
40
i) R(x) = −0,001x2 + 0,4x+ 3,5
j ) n(t) =
1500t− 4000
2t+ 2
k) I(x) =
500x
x+ 4
l) b(t) =
t2 − 6
t+ 4
m) f(x) = 2− 8
x+ 2
n) g(x) =
2x− 4
x+ 2
ñ) f(x) =
12x2 + 360x+ 4800
x
o) f(x) =
60x
x2 + 9
p) v(z) = e0,05z
q) f(x) =
3e0,001x
x
r) b(z) =
380z
z2 + 4
10. Derivadas laterales
Si utilizamos funciones a trozos, para comprobar que una función es derivable debemos demostrar que las dos derivadas
laterales coinciden.
Ejemplos de funciones a trozos y sus derivadas:
26
11 ESTUDIO DE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Función Grá�ca de la función Derivada / Derivadas
laterales
Explicación
f(x) =
{
3x+ 1 si x ≤ 1
3 si x > 1
f ´(x) =
{
3 si x < 1
0 si x > 1
f ´(1−) = 3
f ´(1+) = 0
No es derivable en x = 1
porque las derivadas laterales
no coinciden. Por tanto, en la
expresión de la derivada no se
pone el igual en x ≤ 1
f(x) =
{
x2 − 2x si x ≤ 3
3 si x > 3
f ´(x) =
{
2x− 2 si x < 3
0 si x > 3
f ´(3−) = 4
f ´(3+) = 0
No es derivable en x = 3
porque las derivadas laterales
no coinciden.Por tanto, en la
expresión de la derivada no se
pone el igual en x ≤ 3
f(x) =
{
x2 si x ≤ 0
−x2 si x > 0
f ´(x) =
{
2x si x ≤ 0
−2x si x > 0
f ´(0−) = 0
f ´(0+) = 0
Es derivable en x = 0 porque
las derivadas laterales
coinciden. Por tanto, en la
expresión de la derivada se
pone el igual en x ≤ 0.
Notas aclaratorias:
Realmente diremos que una función a trozos es derivable en un punto de cambio de función si las dos derivadas
laterales coinciden. Grá�camente, si los trozos no se unen en un punto anguloso.
Toda función que sea derivable en un punto también será continua en dicho punto.
Sin embargo, si una función es continua no tiene porqué ser derivable.
Ejemplos grá�cos:
Función no continua, por tanto
no derivable.
Función continua pero no
derivable. Se unen en un punto
anguloso.
Función continua y como se
unen de una forma suave es
derivable.
8. Tarea: Representa las siguientes funciones, comprueba si con continuas y luego demuestra si son funciones derivables
en los puntos de cambio.
a) T (x) =
{
50 + 3x si 0 ≤ x ≤ 10
−2x+ 100 si x > 10
b) P (t) =
{
9 + t2 si 0 ≤ t < 2
9 + t si 2 ≤ t ≤ 10 c) P (t) =
4t
2 + 4 si 0 ≤ t ≤ 2
−5
2
t+ 25 si 2 < t ≤ 8
Las aplicaciones de las derivadas son muchas y muy variadas, sin embargo en este curso nos vamos a centrar en el
estudio de:
11. Estudio de la monotonía de una función
Información extraída de la primera derivada: El estudio de la primera derivada nos proporciona los posibles
extremos de la función así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de una función. Para
ello seguiremos los siguientes pasos:
27
12 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
a) Resolvemos la ecuación f ´(x) = 0. Sus soluciones y los puntos donde la función no es derivable son los posibles
máximos y mínimos relativos de la función. Realizamos una tabla para estudiar el signo de la derivada en los
intervalos que de�nen los siguientes tres tipos de puntos:
1) Los que anulan la primera derivada.
2) En los que la función no es derivable.
3) Aquellos en los que no está de�nida la función.
b) A partir de ahí podemos de�nir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función así como los
extremos relativos.
c) En la mayoría de los casos no será necesario calcular la segunda derivada para la determinación de los extremos,
bastará comproba que en la función derivada se produce un cambio de signo en cada uno de ellos.
Información extraída de la segunda derivada: El estudio de la segunda derivada (siempre que consideremos
necesario realizarlo) nos proporciona los posibles puntos de in�exión de la función, así como los intervalos de
concavidad y convexidad, para ello procederemos del siguiente modo:
a) Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0. Sus soluciones son los posibles puntos de in�exión (puntos donde la
función cambia de curvatura).
b) Realizamos un esquema para estudiar el signo de la segunda derivada en los intervalos que de�nen los puntos
que anulan la segunda derivada y aquellos puntos en los que no está de�nida la función.
c) A partir de ahí podemos determinar los intervalos de concavidad y convexidad así como los puntos de in�exión.
12. Representación de funciones como aplicaciones de las derivadas
9. Funciones de grado 3. Imagínate que queremos representar la función f(x) = x3 − 6x2 + 9x. Para ello, debemos
realizar el siguiente estudio.
a) Puntos de corte con el eje horizontal: f(x) = 0 �> x3 − 6x2 + 9x = 0 Sacando factor común y resolviendo la ecuación de segundo
grado resultante obtenemos: x = 0, x = 3
b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y posibles máximos y mínimos. Para ello, se debe analizar cuando la primera derivada da 0.
f ´(x) = 0 �> 3x2 − 12x+ 9 = 0 y resolviendo x = 1,x = 3 Realizamos la tabla de estudio de la derivada:
(−∞, 1) x = 1 (1, 3) x = 3 (3,+∞)
Signo de la primera derivada f(0) > 0 f´(2) < 0 f´(4) > 0
f(x)es... ↗ f(1) = 4 ↘ f(3) = 0 ↗
Creciente Máximo relativo Decreciente Mínimo relativo Creciente
c) Concavidad, convexidad y puntos de in�exión: Para ello se debe realizar la tabla de estudio de la segunda derivada:
Derivamos nuevamente e igualamos a cero: f ´´(x) = 6x − 12 = 0 y resolviendo obtenemos: x = 2. Nos contruimos nuestro esquema
de estudio para estudiar la curvatura y el posible punto de in�exión.
(−∞, 2) x = 2 (2,+∞)
Signo de la segunda derivada f´´(0) < 0 f´´(23) > 0
f(x)es... _ f(2) = 2 ^
Convexa Punto de in�exión Cóncava
La representación grá�ca de dicha función teniendo en cuenta la información anterior sería:
10. Tarea: Representa la siguiente función de grado 3: f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 1
28
12 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
11. Ejemplo de funciones racionales: Representa la función racional f(x) =
x2
x− 2
.
a) Cálculo de las asíntotas verticales: En x = 2 tenemos una asíntota vertical porque es donde se anula el denominador.
b) Cálculo de las asíntotas horizontales: lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
x2
x− 2
= lim
x→∞
x2
x
=∞ Como no obtenemos un número, dicha función no tiene
asíntotas horizontales.
c) Cálculo de las asíntoas oblicuas:
d) Puntos de corte con el eje horizontal: f(x) = 0 �> x
2
x− 2
= 0 y resolviendo: x = 0
e) Intervalos de crecimiento, decrecimiento y posibles máximos y mínimos. Para ello, se debe analizar cuando la primera derivada da 0.
f ´(x) = 0 �>
2x(x− 2)− x2
(x− 2)2
=
x2 − 4x
(x− 2)2
= 0 y resolviendo x = 0,x = 4 Realizamos la tabla de estudio de la derivada:
f ) Concavidad, convexidad y puntos de in�exión: Para ello se debe realizar la tabla de estudio de la segunda derivada. En este caso la
segunda derivada es �complicada� obtener, así que intentamos representar sin tener en cuenta dicho estudio.
La representación grá�ca de dicha función teniendo en cuenta la información anterior sería:
(−∞, 0) x = 0 (0, 4) x = 4 (4,∞)
f ´(x) =
x2 − 4x
(x− 2)2
f ´(−1) > 0 f´(1) < 0 f´(5) > 0
f(x)es... ↗ f(0) = 0 ↘ f(4) = 8 ↗
Creciente Máximo
relativo
Decreciente Mínimo relativo Creciente
12. Tarea de estudio conjunto de una parábola y una recta. Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez
durante 10 horas, según las funciones:
f(x) = −x2 + 10x+ 600 y g(x) = x
2
+ 615 si 0 ≤ x ≤ 10
a) Realiza la grá�ca de las dos funciones en los mismos ejes.
b) ¾En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes?
c) ¾En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente?
d) ¾En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes?
13. Ejemplo de función a trozos de recta con función racional: Para realizar la representación de las funciones a
trozos de la función f(x) =

2
5x+ 3 0 ≤ x ≤ 105x+27
x+1 x > 10
debemos primero analizar los siguientes apartados:
a) ¾Es continua?
b) ¾Es derivable?
c) Estudio de los extremos con la 1ª derivada.
d) Estudio de la concavidad, convexidad y puntos de in�exión con la 2ª derivada.
29
12 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Solución:
a) ¾Es continua? Sobre todo en los puntos de cambio de función y en las funciones racionales (si las hubiera)
Como el segundo trozo es una racional, vemos que en x = −1 es donde se anula el denominador pero como dicho trozo es válido
parala x > 10.
Estudiamos la continuidad en los puntos en los que la función pasa de una expresión algebraica a otra ( en x = 10):
lim
x→10−
f(x) = lim
x→10−
2
5
x + 3 = 7 y lim
x→10+
f(x) = lim
x→10+
5x+27
x+1
= 7. Como los límites laterales son iguales, entonces la función
es continua en x = 10.
Únicamente hay que darse cuenta que al ser una función racional el 2º trozo, hay que calcular si tiene asíntotas verticales (x = −1)
y asíntotas horizontales.
Asíntotas horizontales: lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
5x+ 27
x+ 1
= lim
x→∞
5x
x
= lim
x→∞
5 = 5 en y = 5 la función tiene una AH.
b) ¾Es derivable? Calcula su derivada. Esto se haría para analizar donde es creciente y decreciente la función:
f ´(x) =
{
2
5
0 ≤ x < 10
−22
(x+1)2
x > 10
f ´(10−) = 2
5
6= f ´(10+) = −22
(10+1)2
= −2
11
, por tanto, como las dos derivadas laterales no son iguales , la función no es derivable en
x = 10 y por tanto, no ponemos el igual en x = 10.
c) Para analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, debemos ver donde se anula la derivada en cada uno de los dos trozos
y realizar la tabla de estudio del signo de la derivada. Como podemos ver, las derivadas de cada uno de los dos trozos no se puede
anular. Por tanto, dichos trozos de función o siempre son crecientes siempre decrecientes. Al ser en intervalos, debemos poner dichos
valores calculados en los extremos para ver a donde llegan dichas funciones.
(0, 10) x = 10 (10,+∞)
Signo de la 1ª derivada f ´(−1) > 0 No es derivable f´(11) > 0
f(x)es... ↗ f(10) = 7 ↗
f(0) = 3, es creciente Es continua en x = 10 Creciente. Recuerda que tiene una AH en y = 5
d) Concavidad, convexidad y puntos de in�exión: Para ello se debe realizar la tabla de estudio de la segunda derivada. Como el primer
trozo es una recta, no hago nada. Pero el segundo trozo en una racional:
f ´´(x) =
−22·(x+1)2−22·2·(x+1)
(x+1)4
=
44(x+1)
(x+1)4
= 0 y resolviendo obtenemos:x = −1 que se encuentra fuera del intervalo. Por tanto, dicho
trozo de función es cóncavo o convexo.
(0, 10) x = 10 (10,+∞)
Signo de la 2ª derivada f´´(11) > 0
f(x)es... f(10) = 7 ^
La función es una recta Cóncava
La representación grá�ca de dicha función teniendo en cuenta la información anterior sería:
14. Tarea de estudio de una función a trozos de una parábola y una función racional: El rendimiento de un
plan de pensiones, en función del tiempo en años, viene dado en% por la función:
r(t) =

t2
5 0 ≤ t ≤ 5
10t
t+5 t > 5
a) ¾Es continua esta función? ¾Es siempre creciente? Justi�car la respuesta.
b) ¾Es derivable esta función? Calcula la derivada.
c) ¾Cuándo el rendimiento es del 8%? Justi�car la respuesta.
d) ¾Qué pasa cuando el tiempo crece inde�nidamente? Justi�car la respuesta.
30
12 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
15. Ejemplo de función exponencial: A un niño, que nació a comienzos del 2010, su padrino le ingresó en el banco
3000¿ que van a convertirse en una cantidad que varía con el tiempo, t (en años desde el nacimiento), según la función
C (t) = 3000 · 1,2t
a) Demostrar razonadamente que la función es creciente.
b) ¾Cuánto dinero habrá a comienzos de 2020?
c) ¾Y cuando el recién nacido cumpla 18 años?
d) ¾Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6000 euros?
Solución:
a) Para demostrar que la función es creciente, realizamos el estudio de la primera derivada.
C (t) = 3000 · 1,2t⇒C´ (t) = 3000 · 1,2t
(0,∞)
Signo de la 1ª derivada C´ (10) = 3000 · 1,210 > 0
f(x)es... ↗ Creciente
b) A comienzos de año 2020 habrán pasado 10 años (t = 10):
C (t = 10) = 3000 · 1,210 = 18575,21¿ tendrá en el año 2020.
c) Cuando cumpla 18 años (t = 18)
C (t = 18) = 3000 · 1,218 = 79870¿ tendrá cuando cumpla 18 años.
d) Los 6000¿ los tendrá a los 3.8 años. Para obtener dicho valor, despejamos de la expresión de la función:
6000 = 3000 · 1,2t=⇒2 = 1,2t=⇒ln(2) = t·ln(1,2)=⇒t =
ln(2)
ln(1,2)
=⇒t ' 3,8 años.
16. Ejemplo de aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas:
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad
de un sismo. La magnitud R de un terremoto esta de�nida como R = Log
(
A
AO
)
en la escala de Ritcher, donde
A es la intensidad y AO es una constante. Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella
o planeta utilican ciertos cálcuilos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la
brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del
volumen �L� de un sólido, par el cual se emplea la siguiente ecuación: L = 10 ·Log
(
I
IO
)
, donde I es la intensidad
del sonido, I= es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír. Una consversación en voz alta
tiene un ruido de fonde de 65 decibelios.
En medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente
sigue una ley exponencial de disminución.
31
13 OPTIMIZACIÓN: LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Cuadro 5: Aplicaciones
13. Optimización: La resolución de problemas
En dichos problemas, se trata de encontrar la solución óptima, la que da mayor (bene�cio,...) o la que (cuesta,...) menos.
Para resolver este tipo de problemas se suelen seguir las siguientes pautas:
a) Saber que objetivo hay que hacer máximo o mínimo.
b) Expresar en forma de función el objetivo buscado.
c) Generalmente la función anterior dependerá de varias variables. Por tanto, debemos buscar en el enunciado la
relación entre esas variables y así poder expresar una variable en términos de la otra y sustituir la función a
optimizar.
d) Debemos coger la función y calcular los puntos críticos resolviendof´(x) = 0.
e) Determinar en cuál de los puntos hallados se da el máximo o el mínimo buscado.
f ) Discutir la solución hallada y responder a las preguntas que nos realizan.
17. Ejemplo: Queremos vallar un campo rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta
5¿/metro y la de los otros tres lados, 0.625¿/metro. Halla el área del campo de mayor super�cie que podamos cercar
con 1800¿.
Solución:
Si realizamos un pequeño dibujo podemos entender mejor el problema:
Tenemos tres lados a un precio de 0.625¿/metro y el otro lado a 5 ¿/metro. Tenemos en total 1800¿. por tanto:
P (x, y) = 5x+ 0,625(x+ 2y) = 1800 99K y =
1800− 5,625x
2 · 0,625
99K y = 144− 4,5x
Área máxima:A(x, y) = x · y y utilizando la relación anterior:A(x) = x(144− 4,5x) = 144x− 4,5x2
Ahora para calcular el valor máximo derivamos: A´(x) = 144− 9x e igualando a cero:
144− 9x = 099K x = 16 metros debe medir un lado.
Para demostrar que es un máximo de área, utilizamos la segunda derivada:
A´´ (x = 16) = −9 < 0, por tanto, es un máximo.
El otro lado debe medir: y = 144− 4,5 · 16 = 72 metros el otro lado.
Por tanto el área máxima sería: A(x, y) = x · y 99KA = 16 · 72 = 112m2 son los metros cuadrados que podremos vallar con 1800¿.
18. Tarea: Se dispone de una tabla de 4 metros de larga para hacer los tres lados del bastidor de una puerta rectangular
de ventilación.
32
13 OPTIMIZACIÓN: LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
a) ¾Qué medidas debemos darle a los lados del bastidor para que la ventilación sea máxima?
b) ¾Qué super�cie de ventilación se ha conseguido?
19. Tarea: Se quiere fabricar una caja con tapa, que tenga el máximo volumen y que sea el doble de larga que de ancha.
Se dispone de 30m2de chapa.
a) Plantear la función a maximizar.
b) Plantear la condición a la que está sujeta la función a maximizar.
c) ¾Qué medidas de ancho, largo y alto debe tener la caja?
33
14 FICHA 1
14. Ficha 1
20. Se quiere abrir un tragaluz de forma rectangular en el techo de un recinto cuya super�cie sea de 162 metros cuadrados
y rematar la obra con un marco, de per�l de aluminio, de sólo tres lados ya que uno de los lados del tragaluz da hacia
el exterior y no necesita marco.
a) ¾Qué dimensiones debe tener el rectángulo para emplear el mínimo de metros posible de per�l de aluminio?
b) ¾Cuántos metros de per�l de aluminio son necesarios?
21. En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en la
función:
A(x) =
{
e0,02x 1 ≤ x ≤ 100
−1
50 x+ 8 100 < x ≤ 390
donde x es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y A es el número de miles de hojas ahorradas.
a) Estudiar si la función es creciente o decreciente.
b) ¾Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el inicio de la campaña?
c) ¾En qué momento el ahorro es de cinco mil hojas?
22. La picadura de un insecto produce una hinchazón en la piel, cuya altura en milímetros viene dada por la función
h(t) =
t
10
(20− 2t) siendo t los días que se tiene la piel hinchada.
a) ¾Qué altura tiene la hinchazón a los 2 días?
b) ¾Cuánto dura el periodo de hinchazón, desde que pica el insecto hasta que desaparece la hinchazón?
c) ¾Cuál es la altura máxima de la hinchazón?
23. Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas (0 ≤ x ≤ 10), según las funciones:
f(x) = −x2 + 10x+ 600 y g(x) = x
2
+ 615
a) ¾En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes?
b) ¾En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente?
c) ¾En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes?
Nota: Ser recomienda realizar la grá�ca de las dos funciones en los mismos ejes.
24. La ganancia, en miles de euros, que, para una empresa, produce un determinado puesto de trabajo, viene dada por la
función:
y = g(x)

0,4x+ 3 si 0 ≤ x ≤ 10
5x+27
x+1 si x > 10
donde x es el tiempo transcurrido, en años, desde la creación de dicho puesto.
a) ¾Es continua la función al llegar el décimo año? ¾Cuál es la ganancia en este año?
b) ¾Qué sucede con las ganancias a medida que transcurre el tiempo?
c) ¾Dónde es creciente y donde es decreciente la función?
25. -El número de miles de a�liados a un partido político, A(x), en función de los años, x, transcurridos desde su creación
en el año 2008, viene dada por: A(x) = x3 − 8x2 + 13x+ 294
34
14 FICHA 1
a) ¾Cuántos a�liados había en el año 2008?
b) Calcular los máximos y mínimos de la función.
c) ¾En qué años decrece el número de a�liados?
26. El número de �exiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio,
viene dado por la función f(x) =
36x+ 8
x+ 2
siendo x los días de entrenamiento y f(x) el número de �exiones.
a) ¾Es f(x) una función creciente? , ¾por qué?
b) ¾Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 �exiones por minuto?
c) ¾Hacia que valor se aproxima el número de �exiones cuando crece el número de días de entrenamiento?
27. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es
1
4
x2 + 5x+ 25 y el precio de venta de una
de ellas está en función de la producción total es
(
50− x
4
)
euros por cada unidad.
a) Hallar el precio de venta si se producen 12 unidades.
b) Determinar los ingresos al producir 12 unidades.
c) Determinar los bene�cios al producir 12 unidades.
d) Establecer el número de unidades que deben venderse diariamente para que el bene�cio sea máximo.
28. Las pérdidas o ganancias de una empresa vienen dados en cientos de miles de euros y siguen la expresión
G(x) =
2x− 4
x+ 2
, en la cual x representa los años de vida de la empresa.
a) Determina el año en que la empresa deja de tener pérdidas.
b) ¾Están sus bene�cios limitados? Si lo están, ¾cuál es su límite?
29. Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región rectangular. ¾Cuáles son los valores
de x e y , dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios
de los lados, sea máxima?
30. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima
super�cie interior posible.
a) ¾Qué longitud deben tener los postes y el larguero?
b) ¾Qué super�cie máxima interior tiene la portería?
31. -Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos materiales distintos. Los dos materiales tienen precios respectivamente
de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¾Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste
total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro?
35
14 FICHA 1
7. a) h´(t) = 40− 10t t = 4 b) y´ = −3 /∈
c) P´(x) = −2x
16
x = 0 d) f´(x) = 4x− 12 x = 3
e)C´(t) = 0,24− 0,04t, t = 6 f)C´ (x) = 0,2x− 3, t = 15
g)D´ (x) =
0,06x2 − 0,18x+ 7,5
x =
1,8± 1,2
0,12
h)I´(t) = 2t− 8
40
t = 4
i)R´(x) = −0,002x+ 0,4 x = 200 j)n´(t) =
11000
(2t+ 2)2
/∈
k)I´(x) = 2000
(x+ 4)2
/∈ l)b´(t) =
t2 + 8t+ 6
(t+ 4)2
t =
−8±
√
40
2
m)f´(x) = 8
(x+ 2)2
/∈ n)g´(x) =
8
(x+ 2)2
/∈
o)f´(x) = 12x
2 − 4800
x2
x = ±20 p)f´(x) =
−60x2 + 540
(x2 + 9)2
x = ±3
q)v´(z) = 0,05e0,05z /∈
r)f´(x) =
(0,003x− 3)e0,001x
x2
x = 1000
s)b´(z) = −380z
2 + 1520
(z2 + 4)2
z = ±4
10.
(−∞,−1) x = −1 (−1, 3) x = 3 (3,+∞)
Signo de la primera
derivada
f´(−2) > 0 f´(0) < 0 f´(4) > 0
f(x)es... ↗ f(−1) = 6 ↘ f(3) = −26 ↗
Creciente Máximo relativo Decreciente Mínimo relativo Creciente
17. a) 1 m el lado que se
hace dos veces y 2 m el
otro.
b) Se habrá conseguido
2m2
18. c) El largo de 3.16 m, el ancho 1.58 m y el alto de 2.11. El volumen máximo es Vmáx = 10,54 cm
3
19. a) Debe tener 9 metros por un lado y 18 metros del otro lado. b) En total son necesarios 36 metros de alumnio
20. a) 9 metros de alto y de 18 metros de ancho. b) 36 metros de per�l de aluminio.
21. a) Creciente los 100 primeros días y decreciente a continuación.
b) Qué se produce un
descenso brusco de
ahorro.
c) Durante el dia 80 y
durante el día 150
22. a) 3.2 mm. b) Dura 10 días.
b) La altura máxima es de
5 mm y se alcanza el 5º
día.
23. a) A las 2 y 7.5 horas b) A partir de la 5ª hora
c) A las 5.25 horas con
1243 kw
24. a) Es continua con
7000¿ de ganancias.
b) Que se aproximan a
5000¿.
c) Es creciente durante los primeros 10 años y decreciente después.
25. a) 294 a�liados b) Máximo se alcanza al año con 300 a�liados y el mínimo en el 4.33 con 281.
26. a) Es creciente
b) 6 días de
entrenamiento
c) Hacia 36 �exiones.
27. a) 47¿ b) 564¿ de ingresos
c) Los bene�cios serán de
443¿
d) Se deben vender 45
unidades diarias para obtener
un bene�cio de 987.5¿.
28. a) En el 2º año deja de tener pérdidas. b) 200 000¿ de bene�cios a largo plazo.
29. Deben ser iguales a 25 metros
30. a) Los postes deben medir 2.5 metros y el largero 5 metros. b) La super�cie encerrada seá de 12.5 m2
31. El cuadrado de 2¿ debe medir 15 cm y el cuadrado de 3¿ debe medir 10 cm
Cuadro 6: Soluciones de la �cha 1
36
15 FICHA 2
15. Ficha 2
32. Se quiere abrir un tragaluz de forma rectangular en el techo de un recinto cuya super�cie sea de 162 metros cuadrados
y rematar la obra con un marco, de per�l de aluminio, de sólo tres lados ya que uno de los lados del tragaluz da hacia
el exterior y no necesita marco.
a) ¾Qué dimensiones debe tener el rectángulo para emplear el mínimo de metros posible de per�l de aluminio?
b) ¾Cuántos metros de per�l de aluminio son necesarios?
33. En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en la
función:
A(x) =
{
e0,02x 1 ≤ x ≤ 100
−1
50 x+ 8 100 < x ≤ 390
donde x es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y