Análisis Matemático I - Derivadas e Retas Tangentes

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2014)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 4
Derivada de una función en un punto. Función derivada. Regla de la cadena
Ejercicio 1. Sea, f(x) = x2 − 2 y x0 = 2
1. Para h = 1, 1
2
, 1
3
,−1, calcular la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)). Graficar la función y las cuatro rectas secantes en un
mismo gráfico.
2. Encontrar la expresión de la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)) para h ̸= 0 (la expresión encontrada va a depender
de h).
3. Calcular la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto (x0, f(x0)) usando
las pendientes de las rectas secantes encontradas en el punto anterior.
4. Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto (x0, f(x0)).
Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes funciones hallar (usando la definición de derivada)
una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto indicado. Graficar.
a) f(x) = 2x2 en (1,2). b) g(x) =
1
x
en (1,1).
Ejercicio 3. Para cada una de las siguientes funciones calcular, por definición, su derivada
en los puntos indicados.
1. f(x) = k (constante), en un punto x0 ar-
bitrario,
2. f(x) = x en un punto x0 arbitrario,
3. f(x) = x2 en un punto x0 arbitrario,
4. f(x) =
1
x
en un punto x0 ̸= 0,
5. f(x) =
√
x en un punto x0 > 0,
6. f(x) =
1√
x
en un punto x0 > 0.
Ejercicio 4. Dada f(x) = x3,
1. Mostrar que f(x) es estrictamente creciente.
2. Hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.
3. Hacer un gráfico aproximado de la función. ¿Cómo interpreta graficamente el resultado
obtenido en 2.?
1
4. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1, 1). Observar que
esa recta tangente también corta a la gráfica de f en (−2,−8).
Ejercicio 5. Determinar en qué punto de la curva y = 3x2 + 2x la recta tangente es paralela
a la recta L que une los puntos (1, 0) y (0, 1). Graficar la situación.
Ejercicio 6. ¿Cuántas rectas tangentes a la gráfica de y = x2 + 1 pasan por el punto (2, 1)?
Hallar la ecuación de cada una. Graficar.
Ejercicio 7. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) = − 1
x
que
pasan por el punto (1,0). Graficar la situación. ¿Cuántas rectas tangentes a dicha gráfica pasan
por el punto (0, 1)?
Ejercicio 8. Determinar, gráfica y anaĺıticamente, si existe la recta tangente a la gráfica de
cada una de las siguientes funciones en (0,0).
1. f(x) = x+ |x|
2. g(x) = x.|x|
3. h(x) =
{
3x+ 1 si x > 0
0 si x ≤ 0.
Ejercicio 9. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuación y = x sea
tangente a la gráfica de f(x) = x2 + c. Graficar.
Ejercicio 10. Las funciones f y g y sus derivadas con respecto a x tienen los siguientes valores
en x = 2 y x = 3.
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)
2 8 2 1/3 -3
3 3 -4 2π 5
Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando la información de la tabla) en el
valor dado de x:
1. 9f(x)− g(x), x = 2
2. f(x).g(x), x = 3
3. f(x)/g(x), x = 2
4. f(x)
g(x)+1
, x = 3
Ejercicio 11. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando reglas de derivación)
e indicar los dominios de cada función y su derivada.
1. 2x−
√
x− 3x2
2. x3
1
x+ 1
3.
1
x
√
x
4.
x4(x+ 1)
x− 1
5.
(
t6 +
1
t
)
(t5 + 1)
6.
−5
u3 + 2u2
2
Ejercicio 12. Sea f : R → R tal que |f(x)| ≤ |x|. Probar que f es continua en x = 0. ¿Es
derivable?
Ejercicio 13. Sea f(x) definida en un entorno del origen. Mostrar que si |f(x)| ≤ x2 entonces
f es derivable en 0. Calcular f ′(0). Interpretar gráficamente.
Ejercicio 14. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable en
x = 0. ¿Cuánto vale f ′(0)?
Ejercicio 15. Si f es una función par y derivable en x = 0, demostrar que f ′(0) = 0.
Definición: Consideremos un objeto que se mueve a lo largo de una ĺınea recta, de acuerdo
con una ecuación del movimiento s = f(t), donde s es el desplazamiento (distancia directa) del
objeto respecto al origen, en el instante t. La función f que describe el movimiento se conoce
como función de posición del objeto. En el intervalo de t = c hasta t = c+ h, el cambio en
la posición es f(c+ h)− f(c). La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es
f(c+ h)− f(c)
h
que es lo mismo que la pendiente de la secante que pasa por (c, f(c)) y (c+ h, f(c+ h)).
Se define la velocidad (o velocidad instantánea) v(c) en el instante t = c como el ĺımite de
estas velocidades promedio cuando h tiende a 0:
v(c) = lim
h→0
f(c+ h)− f(c)
h
.
Esto significa que la velocidad en el instante t = c es igual a la pendiente de la recta tangente
en (c, f(c)).
A la relación de cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo se le llama
aceleración a(t) del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la
función velocidad y en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición:
a(t) = v′(t) = f ′′(t).
Ejercicio 16. Consideremos la siguiente situación: desde una altura de 40 metros se deja
caer un objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta, la posición
del objeto (medida en metros desde el suelo) está dada por la función h(t) = 40− 5t2.
1. En el contexto descripto, entre qué valores de t es válida la expresión h(t) = 40− 5t2.
2. Haga un gráfico que represente la posición del objeto en función del tiempo.
3. Estime en ese gráfico la velocidad del objeto en t = 2.
4. Determine la velocidad del objeto a los t segundos. ¿Entre qué valores es correcta la
expresión encontrada?
3
5. Grafique la velocidad en función del tiempo.
6. Calcule la razón de cambio instantánea de la función velocidad ¿Qué representa?
Regla de la cadena y derivadas de orden superior
Ejercicio 17. Calcule las derivadas segunda, tercera y 50-ésima de cada una de las siguientes
funciones:
1. f(x) = x3 + 3x2 − 2x 2. f(x) = (x2 + 1)3
Ejercicio 18. Utilizando la información de la tabla del Ejercicio 10, calcular la derivada de
las siguientes funciones en el valor dado de x:
1. (f ◦ g)(x), x = 2
2. g(f(x)), x = 3
3. 1/(g(x))2, x = 2
4.
√
f(x), x = 3
5.
√
f 2(x) + g2(x), x = 3
6. f(x).g3(x), x = 2.
Ejercicio 19. En cada caso, hallar g ◦ f y f ◦ g, su dominio natural y calcular su derivada.
1. f(x) =
1
x
g(x) = x2 + 1
2. f(x) =
x√
1− x3
g(x) = x2
Ejercicio 20. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando reglas de derivación)
e indicar los dominios de cada función y su derivada.
1. (x5/3 −
√
x)(x2 + 3
√
x)
2.
1
(x2 + 1)6
3.
√
(x2 − 1)
x−1
4.
1
2 + 1
x+1
Ejercicio 21. Sea f(x) =
x− |x|
2
1. Calcular las derivadas laterales de f en x = 0 y determinar si es derivable en todo su
dominio.
2. Determinar si g(x) =
(
f(x)
)2
es derivable en x = 0. Graficar la función g.
4
Ejercicio 22. Utilizando la ecuación del ćırculo, realice un gráfico de f(x) =
√
4− x2. Calcule
f ′(0) y f ′(
√
2) sin derivar, sólo usando argumentos gráficos. Luego verifique los resultados
hallados calculando la derivada.
Derivación Impĺıcita.
Consideremos la siguiente situación:
Queremos determinar la ecuación de la recta tangente a la curva x3 + y3 = 6xy en el punto
(3, 3).
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
Hasta ahora sabemos encontrar rectas tangentes al gráfico de una función. En este caso, si sólo
consideramos el gráfico de la curva “alrededor” del punto que nos interesa, podemos pensar que
este pedacito de la curva es el gráfico de cierta función y(x). Entonces, para los x cercanos a
3, tendremos
x3 + (y(x))3 = 6xy(x).
Si derivamos usando la regla de la cadena obtenemos la igualdad,
3x2 + 3y(x)2y′(x) = 6y(x) + 6xy′(x)
de donde podemos encontrar una expresión para y′ en función de x e y:
y′ =
6y − 3x2
3y2 − 6x
si 3y2 − 6x ̸= 0.
En el punto (3, 3), se tiene x = 3 y y = 3, de modo que
y′(3) =
6.3− 3.(3)2
3.(3)2 − 6.3
= −1
Por lo tanto, la ecuación buscada es y = −x+ 6.
Ejercicio23. Encuentre la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos
indicados.
1. 2y2 + (xy)
5
3 = 2x2 + 17 en (0,
√
17
2
).
5
2.
x2
16
− y
2
9
= 1 en (−5, 9
4
).
3. y2 = x3(2− x) en (1, 1).
4. 2(x2 + y2) = 2, 5(x2 − y2) en (3, 1).
Ejercicio 24. El siguiente gráfico corresponde a la curva de ecuación x2 + xy + y2 = 7.
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
1. Encuentre en el gráfico todos los puntos sobre la curva para los cuales la tangente tiene
pendiente 1.
2. Compruebe gráficamente que esos puntos se encuentran sobre la recta y = −x.
3. Use derivación impĺıcita para demostrar lo afirmado en el apartado anterior.
4. Encuentre las coordenadas de esos puntos.
Ejercicio 25. Una escalera de 3 metros de longitud descansa contra una pared vertical. Si el
extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 0.5m/s, ¿con qué velocidad
se desliza hacia abajo el extremo superior cuando está a 1.8m del suelo?
Ejercicio 26. Hallar el valor de y′′ en el punto (−1, 1) de la curva x2y + 3y2 = 4.
Ejercicio 27. Sean f, g : R → R tales que f(g(x2 + x)) + 3g(x) = 3x3 + 2 para todo x ∈ R,
y donde g cumple, además, que g(0) = 0 y g′(0) = 2.
1. Calcular f ′(0).
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
6