Polinômios de Taylor - Exercícios de Matemática

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ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2019)
(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRÁCTICO 8
Polinomios de Taylor
Ejercicio 1. Hallar el polinomio de Taylor centrado en x = 0 de orden 3 para cada una de las
siguientes funciones:
a) f(x) = e−x b) f(x) = x2e−x c) f(x) =
1
x+ 1
d) f(x) = arctan(x)
Ejercicio 2. Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 alrededor de x = 1 para la función
f(x) = ln(x). Utilizar este polinomio para aproximar ln(9/10) y acotar el error cometido.
Ejercicio 3. Utilizar un polinomio de Taylor de la función f(x) = ex alrededor de x = 0 para:
a) Calcular el valor del número e con un error menor que 10−4
b) Calcular el valor de 4
√
e con un error menor que 10−3.
Ejercicio 4. Considerar las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x).
a) Encontrar las expresiones de sus polinomios de Taylor de orden n de f alrededor de x = 0.
b) Para cada función, hallar una cota para el error de aproximación en el intervalo [0, π] en
términos de n.
Ejercicio 5. a) Hallar la expresión del polinomio f de grado 3 del que sabemos que f(0) = 2,
f ′(0) = f ′′(0) = 6 y f ′′′(0) = −12.
b) Sea f un polinomio de grado 2 tal que f(2) = −1, f ′(2) = 3 y f ′′(2) = 4. Expresar f en
potencias de (x− 2) y luego en la forma habitual, es decir, en potencias de x.
c) Utilizando el desarrollo de Taylor, escribir p(x) = x4−x3 + 2x2− 3x+ 1 como un polinomio
en potencias de x− 1.
d) Sea p un polinomio de grado n. Para m ≥ 1, ¿cuál es el polinomio de Taylor de orden m de
p alrededor de x = 0?
Ejercicio 6. Utilizando desarrollos de Taylor adecuados, calcular los siguientes ĺımites:
(a) lim
x→0
ln(1 + x)− x
x2
(b) lim
x→0
cos(x)− 1
x2
(c) lim
x→0
ex − cos(x)
x
(d) lim
x→0
√
ex − x− 1
x
(e) lim
x→1
sen(x− 1)− x+ 1
(x− 1)2
(f) lim
x→1
arctan(x)− π/4
x− 1
1
Ejercicio 7. Sea f : (−1,+∞) → IR definida por f(x) = (1 + x)r, siendo r un número real
fijo.
a) Demostrar que cerca de x = 0, la función f puede aproximarse con primer orden por 1 + rx,
y con segundo orden por 1 + rx+ r(r−1)
2
x2.
b) Estimar el valor de
√
1, 1 a orden 2, eligiendo valores adecuados de r y de x. Calcular una
cota para el error cometido y comparar con el valor de
√
1, 1 que arroja la calculadora.
Ejercicio 8. Utilizando un desarrollo de Taylor adecuado, averiguar para qué valores de a > 0
el siguiente ĺımite existe:
lim
x→0
sen(x)− x+ x3/6
xa
Ejercicio 9. Si el polinomio de Taylor de orden 5 de f en x = 2 es
p(x) = (x− 2)5 + 3(x− 2)4 + 3(x− 2)2 − 8,
calcular f (4)(2) y f (3)(2). ¿Se puede conocer el valor de f (6)(2)? ¿Cuánto vale f (6)(2) si el
polinomio p es de orden 7?
Ejercicio 10. Hallar los valores de a y b de modo que el polinomio de Taylor de orden 2 de
f(x) = a ln(1 + bx) en x = 0 sea p(x) = 2x+
3
2
x2.
Ejercicio 11. Una función f satisface la ecuación (5x+ 1)f ′(x) + f(x) = 1. Supongamos que
f(0) = 2 y existe f (5)(0). Hallar el polinomio de Taylor de orden 5 en x = 0.
Ejercicio 12. Sea f(x) =
√
ax+ 1 y p(x) = 1 + 2x+ bx2. Determinar los valores de a y b para
que p(x) sea el polinomio de Taylor de f de orden 2 en x = 0.
Ejercicio 13. Sea f(x) = 3 + (x + 2)eax. Hallar a ∈ R sabiendo que la recta tangente en
(0, f(0)) tiene ecuación y = 5 + 10x. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 en x = 0 de f .
Ejercicio 14. Sea g(x) = 1− 3x +
√
f(x). Si el polinomio de Taylor de orden 2 en x = 0 de
g es p(x) = 2− x+ 3x2, hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de f en x = 0.
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