Regresión Lineal Simple

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Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 209
10 – REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 
 
10.1 – Introducción 
 
En muchos problemas existe una relación entre dos o más variables, y resulta de interés estudiar 
la naturaleza de esa relación. El análisis de regresión es la técnica estadística para el modelado y 
la investigación de la relación entre dos o más variables. Veamos un ejemplo. 
Los resortes se usan en aplicaciones por su capacidad para alargarse (contraerse) bajo carga. La 
rigidez de un resorte se mide con la constante del resorte, que es la longitud del resorte que se 
alargará por unidad de la fuerza o de la carga. Para asegurarse de que un resorte dado funciona 
adecuadamente es necesario calcular la constante de resorte con exactitud y precisión. 
En este experimento hipotético un resorte se cuelga verticalmente con un extremo fijo, y los 
pesos se cuelgan uno tras otro del otro extremo. Después de colgar cada peso se mide la longitud 
del resorte. Sean nxxx ,...,, 21 los pesos, y sea il la longitud del resorte bajo la carga ix . 
La ley de Hooke establece que 
 ii xl 10 ββ += 
donde 0β representa la longitud del resorte cuando no tiene carga y 1β es la constante del 
resorte. 
Sea 
iy la longitud medida del resorte bajo la carga ix . Debido al error de medición iy será 
diferente de la longitud verdadera 
il . Se escribe como 
 
 
iii ly ε+= 
donde 
iε es el error en la i-ésima medición. Al combinar ambas ecuaciones se obtiene 
 
 
iii xy εββ ++= 10 (10.1) 
 
En la ecuación (10.1), iy es la variable dependiente, ix es la variable independiente, 0β y 1β 
son los coeficientes de regresión, y iε se denomina error. A la ecuación (10.1) se la llama 
modelo de regresión lineal simple. 
La tabla siguiente presenta los resultados del experimento y la figura el diagrama de dispersión 
de y contra x. 
 
Peso (lb) Longitud medida (pulg) Peso (lb) Longitud medida (pulg) 
x y x y 
0,0 5,06 2,0 5,40 
0,2 5,01 2,2 5,57 
0,4 5,12 2,4 5,47 
0,6 5,13 2,6 5,53 
0,8 5,14 2,8 5,61 
1,0 5,16 3,0 5,59 
1,2 5,25 3,2 5,61 
1,4 5,19 3,4 5,75 
1,6 5,24 3,6 5,68 
1,8 5,46 3,8 5,80 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 210
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La idea es utilizar estos datos para estimar los coeficientes de regresión. Si no hubiese error en la 
medición, los puntos se encontrarían en una línea recta con pendiente 1β y ordenada al origen 
0β , y estas cantidades serían fáciles de determinar. La idea es entonces que los puntos están 
dispersos de manera aleatoria alrededor de una recta que es la recta de regresión lineal 
xl 10 ββ += . 
 
En general podemos decir que al fijar el valor de x observamos el valor de la variable Y. Si bien x 
es fijo, el valor de Y está afectado por el error aleatorio ε . Por lo tanto ε determina las 
propiedades de Y. Escribimos en general 
 
 εββ ++= xY 10 
 
donde x es, por ahora, una variable no aleatoria, ε es la v.a. del error y asumimos que 
 
 0)( =εE y 2)( σε =V 
 
Entonces Y es una variable aleatoria tal que 
 
 ( ) ( ) ( ) xExxExYE 101010 ββεββεββ +=++=++= 
 
 ( ) ( ) ( ) 210 σεεββ ==++= VxVxYV 
 
En consecuencia, el modelo de regresión verdadero ( ) xxYE 10 ββ += es una recta de valores 
promedio. 
Notar que lo anterior implica que existe una distribución de valores de Y para cada x, y que la 
varianza de esta distribución es la misma para cada x. La siguiente figura ilustra esta situación 
Notar que se utilizó una distribución normal para describir la variación aleatoria en ε . Por lo 
tanto la distribución de Y también será normal. La varianza 2σ determina la variabilidad en las 
observaciones Y. por lo tanto, cuando 2σ es pequeño, los valores observados de Y caen cerca de 
la línea, y cuando 2σ es grande, los valores observados de Y pueden desviarse 
considerablemente de la línea. Dado que 2σ es constante, la variabilidad en Y para cualquier 
valor de x es la misma. 
Peso(lb)
L
o
n
g
it
u
d
(p
u
lg
)
0 1 2 3 4
5
5,2
5,4
5,6
5,8
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 211
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2 – Regresión lineal simple- Estimación de parámetros 
 
Para estimar los coeficientes de regresión se utiliza el método de mínimos cuadrados. 
Supongamos que se tienen n pares de observaciones ),();....;,();,( 2211 nn yxyxyx . Realizamos 
una gráfica representativa de los datos y una recta como posible recta de regresión 
Anotamos a la recta de regresión estimada con xy 10
ˆˆˆ ββ += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
y 
110 xββ + 
210 xββ + 
1x 2x 
( ) xxYE 10 ββ += 
 
iy 
iŷ 
ix 
Recta de regresión 
estimada 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 212
 
Las estimaciones de 0β y 1β deben dar como resultado una línea que en algún sentido se “ajuste 
mejor” a los datos. El método de mínimos cuadrados consiste en estimar 0β y 1β de manera tal 
que se minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales mostradas en la figura 
anterior. 
La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con respecto a la recta de 
regresión es 
 
 ( )∑
=
−−=
n
i
ii xyL
1
2
10
ˆˆ ββ 
 
Los estimadores de mínimos cuadrados de 
0β y 1β , que anotamos 0β̂ y 1β̂ , deben satisfacer las 
siguientes ecuaciones 
 
 
( )
( )






=−−−=
∂
∂
=−−−=
∂
∂
∑
∑
=
=
n
i
iii
n
i
ii
xxy
L
xy
L
1
10
1
1
10
0
0ˆˆ2
0ˆˆ2
ββ
β
ββ
β
 (10.2) 
 
Después de simplificar las expresiones anteriores, se llega a 
 
 






=+
=+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = =
= =
n
i
n
i
n
i
iiii
n
i
n
i
ii
yxxx
yxn
1 1 1
2
10
1 1
10
ˆˆ
ˆˆ
ββ
ββ
 (10.3) 
 
Las ecuaciones (10.3) reciben el nombre de ecuaciones normales de mínimos cuadrados. 
La solución de estas ecuaciones dan como resultado las estimaciones de mínimos cuadrados 0β̂ 
y 1β̂ 
 
 xy 10
ˆˆ ββ −= (10.4) 
 
 
∑
∑
∑
∑∑
=
=
=
==






−












−
=
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i
ii
n
x
x
n
yx
xy
1
2
12
1
11
1β̂ (10.5) 
 
donde 
n
y
y
n
i
i∑
== 1 y 
n
x
x
n
i
i∑
== 1 
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 213
 
Las diferencias iii yye ˆ−= con ni ,...,1= se llaman residuos. El residuo ie describe el error 
en el ajuste del modelo en la i-ésima observación iy . 
Para agilizar la notación son útiles los siguientes símbolos 
 
 ( )
n
x
xxxS
n
i
in
i
n
i
iixx
2
1
1 1
22






−=−=
∑
∑ ∑ =
= =
 (10.6) 
 
 ( )
n
yx
yxxxyS
n
i
i
n
i
in
i
n
i
iiiixy












−=−=
∑∑
∑ ∑ ==
= =
11
1 1
 (10.7) 
 
Entonces conesta notación podemos escribir 
xx
xy
S
S
=1β̂ 
 
Ejemplo: 
Ajustamos un modelo de regresión lineal a los datos del ejemplo anterior. La estimación de la 
constante del resorte es 1β̂ y 0β̂ la estimación de la longitud sin carga. 
De la tabla obtenemos 
 
9.1=x 3885.5=y 
6.26=xxS 4430.5=xyS 
 
Entonces 2046.0
6.26
4430.5ˆ
1 ===
xx
xy
S
S
β y 9997.49.12046.03885.5ˆˆ 10 =×−=−= xy ββ 
 
La ecuación de la recta estimada es 
 
xyxy 2046.09997.4ˆˆˆˆ 10 −=⇒+= ββ 
 
La figura siguiente muestra el gráfico de dispersión con la recta de regresión estimada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
Y
0 1 2 3 4
5
5,2
5,4
5,6
5,8
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 214
 
Podemos utilizar la recta de regresión estimada para predecir la longitud del resorte bajo una 
carga determinada, por ejemplo con una carga de 1.3 lb: 
 
pulg.27.5)3.1(2046.09997.4ˆ =−=y 
 
Podemos también estimar la longitud del resorte bajo una carga de 1.4 lb: 
 
pulg.29.5)4.1(2046.09997.4ˆ =−=y 
Notar que la longitud medida para una carga de 1.4 lb es 5.19 pulg., pero la estimación de 
mínimos cuadrados de 5.29 pulg. Está basada en todos los datos y es más precisa (tiene menor 
incertidumbre). Mas adelante calcularemos la varianza de estos estimadores. 
 
Observaciones: 
1- Las estimaciones de mínimos cuadrados 1β̂ y 0β̂ son valores de variables aleatorias y dicho 
valor varía con las muestras. Los coeficientes de regresión 
0β y 1β son constantes desconocidas 
que estimamos con 1β̂ y 0β̂ . 
2- Los residuos 
ie no son lo mismo que los errores iε . Cada residuo es la diferencia iii yye ˆ−= 
entre el valor observado y el valor ajustado, y se pueden calcular a partir de los datos. Los errores 
iε representan la diferencia entre los valores medidos iy y los valores ix10 ββ + . Como los 
valores verdaderos de 
0β y 1β no se conocen entonces, los errores no se pueden calcular. 
3- ¿Qué sucede si se quisiera estimar la longitud del resorte bajo una carga de 100 lb? La 
estimación de mínimos cuadrados es pulg.46.25)100(2046.09997.4ˆ =−=y pero esta estimación 
no es confiable, pues ninguno de los pesos en el conjunto de datos es tan grande. Es probable que 
el resorte se deformara, por lo que la ley de Hooke no valdría. Para muchas variables las 
relaciones lineales valen dentro de cierto rango, pero no fuera de él. Si se quiere saber cómo 
respondería el resorte a una carga de 100 lb se deben incluir pesos de 100 lb o mayores en el 
conjunto de datos. 
Por lo tanto no hay que extrapolar una recta ajustada fuera del rango de los datos. La relación 
lineal puede no ser válida ahí. 
 
 
 
10.3 – Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados y estimación de 2σ 
 
Los estimadores de 1β y 0β los anotamos 
 xY 10
ˆˆ ββ −= 
( )
xx
n
i
ii
xx
xY
S
xxY
S
S
∑
=
−
== 11β̂ (10.8) 
Como 1β̂ y 0β̂ son estimadores de 1β y 0β respectivamente, son variables aleatorias, por lo 
tanto podemos calcular su esperanza y varianza. Como estamos asumiendo que x no es v.a. 
entonces 1β̂ y 0β̂ son funciones de la v.a. Y. 
Recordemos que el modelo es εββ ++= xY 10 , si medimos n veces la variable Y tenemos 
 
iii xY εββ ++= 10 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 215
donde asumimos ( ) 0=iE ε ; ( ) 2σε =iV ni ,...,2,1= y nεεε ,...,, 21 independientes 
 
Por lo tanto 
 
 ( ) ( ) ( ) iiii xExxExYE 101010 ββεββεββ +=++=++= 
 
 ( ) ( ) ( ) 210 σεεββ ==++= iiii VxVxYV 
 
Consideramos 
( )
xx
n
i
ii
xx
xY
S
xxY
S
S
∑
=
−
== 11β̂ . Podemos ver a 1β̂ como una combinación lineal de las 
variables iY , entonces 
 
( )
( )
( ) ( )( ) =−=





−=












−
=





= ∑∑
∑
==
=
n
i
ii
xx
n
i
ii
xxxx
n
i
ii
xx
xy
xxYE
S
xxYE
SS
xxY
E
S
S
EE
11
1
1
11
β̂ 
( )( ) ( ) ( ) 11
1 1
10
1
10
111
ββββββ ==






−+−=−+= ∑ ∑∑
= ==
xx
xx
n
i
n
i
iii
xx
n
i
ii
xx
S
S
xxxxx
S
xxx
S
 
 
Notar que ( ) 01
111
=












−=−=−
∑
∑∑∑ =
=== n
x
nxxnxxx
n
i
in
i
i
n
i
i
n
i
i 
 y ( ) ( )( ) xx
n
i
ii
n
i
ii Sxxxxxxx =−−=− ∑∑
== 11
 
 
Por lo tanto 
( )
xx
n
i
ii
xx
xy
S
xxY
S
S ∑
=
−
== 11β̂ es un estimador insesgados de 1β 
 
Veamos ahora la varianza de 1β̂ 
 
( )
( )
( ) ( )( ) =−=





−=












−
=





= ∑∑
∑
==
=
n
i
ii
xx
n
i
ii
xxxx
n
i
ii
xx
xy
xxYV
S
xxYV
SS
xxY
V
S
S
VV
1
2
2
1
2
1
1
11
β̂ 
( )
xx
xx
xx
n
i
i
xx
S
S
S
xx
S
2
2
2
1
22
2
11 σ
σσ ==−= ∑
=
 
 
 
Por lo tanto 
 (10.9) ( ) 11ˆ ββ =E y ( )
xxS
V
2
1
ˆ σβ = 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 216
 
Con un enfoque similar calculamos la esperanza y la varianza de 0β̂ 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=−












=−=−= ∑
∑
=
= xYE
n
x
n
Y
ExEyExYEE
n
i
i
n
i
i
1
1
1
1
110
1ˆˆˆ βββββ 
( ) 0110110
1
βββββββ =−+=−+= ∑
=
xxxx
n
n
i
i 
 
Calculamos la varianza de 0β̂ , para esto planteamos: 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xYCovxVYVxYVV 1110 ˆ,2ˆˆˆ ββββ −+=−= 
 
Tenemos que 
 
( ) ( )
nn
YV
n
Y
n
VYV
n
i
n
i
i
n
i
i
2
1
2
2
1
2
1
111 σ
σ ===





= ∑∑∑
===
r
 
Y ( ) 0, =ji YYCov por indep. 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 01,1
,
1
,
1ˆ,ˆ,
1
2
1
2
1
11 1
11
=−=−=−=
=−=




 −
==
∑∑∑
∑∑ ∑
===
== =
n
i
i
xx
n
i
i
xx
n
i
iii
xx
n
i
iii
xx
n
i
n
i xx
i
ii
xx
nS
xxx
nS
xYYCovxx
nS
x
xxYYCov
nS
x
S
xx
YY
n
CovxYCovxxYCov
σ
σ
ββ
 
 
Por lo tanto 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 






+=−+=−+=−=
xxxx S
x
nS
x
n
xYCovxVYVxYVV
2
2
2
2
2
1
2
110
1
0ˆ,2ˆˆˆ σ
σσ
ββββ 
Entonces 
 
 
 ( 10.10) 
 
 
 
Necesitamos estimar la varianza desconocida 2σ que aparece en las expresiones de ( )0β̂V y 
( )1β̂V . 
Los residuos iii yye ˆ−= se emplean para estimar 
2σ . La suma de los cuadrados de los residuos 
es 
 
 ( )∑
=
−=
n
i
iiR yySS
1
2
ˆ (10.11) 
 
( ) 00ˆ ββ =E y ( ) 






+=
xxS
x
n
V
2
2
0
1ˆ σβ 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 217
Puede demostrarse que 2
2
−=





n
SS
E R
σ
 , en consecuencia 2
2
σ=





−n
SS
E R . 
Entonces se toma como estimador de 2σ a 
 
 
2
ˆ 2
−
=
n
SSRσ (10.12) 
 
Puede obtenerse una fórmula más conveniente para el cálculo de RSS , para esto primero notar 
que las ecuaciones normales (10.2) se pueden escribir como 
 
 
( )
( )






=−−
=−−
∑
∑
=
=
n
i
iii
n
i
ii
xxy
xy
1
10
1
10
0ˆˆ
0ˆˆ
ββ
ββ
 ⇒ 






=
=
∑
∑
=
=
n
i
ii
n
i
i
xe
e
1
1
0
0
 
 
Entonces 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )yyexyyeyexeye
xyeyyeyyyyyySS
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iiii
n
i
i
ii
n
i
iii
n
i
i
n
i
iiii
n
i
iiR
−=−−=−=−−=
=−−=−=−−=−=
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
1
1
1
0
1
10
1
10
1111
2
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ββββ
ββ
 
 
Por lo tanto 
 
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) xyyyi
n
i
ii
n
i
i
i
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iR
SSyyxxyyyy
yyxxyyyyxyyyeSS
1
1
1
1
1
11
1
10
1
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ββ
ββββ
−=−−−−−=
=−−+−=−−−=−=
∑∑
∑∑∑
==
===
 
 
También se puede escribir 
 
xx
xy
yyxy
xx
xy
yyxyyyR
S
S
SS
S
S
SSSSS
2
1
ˆ −=−=−= β 
 
En resumen 
xx
xy
yyRxyyyR
S
S
SSSSSSS
2
1 ó 
ˆ −=−= β (10.13) 
 
Por lo tanto 
2
ˆ
2
2
−
−
=
n
S
S
S
xx
xy
yy
σ 
 
Y si anotamos a la desviación estándar estimada de 0β̂ y 1β̂ con 
0β̂
s y 
0β̂
s respectivamente 
entonces 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 218
 
 
xxS
s
2
ˆ
ˆ
1
σ
β
= y 







+=
xxS
x
n
s
2
2
ˆ
1
ˆ
0
σβ (10.14) 
 
 
Ejemplo: 
En el ejemplo anterior se calculó, 9.1=x , 3885.5=y , 6.26=xxS , 4430.5=xyS . 
Calculamos ahora ( ) 1733.1
20
1
2 =−=∑
=i
iyy yyS y entonces 
 
003307.0
18
6.26
4430.5
1733.1
2
ˆ
2
2
2 =
−
=
−
−
=
n
S
S
S
xx
xy
yy
σ 
 
0111.0000124.0
6.26
003307.0ˆ 2
ˆ
1
====
xxS
s
σ
β
 
 
02478219.0
6.26
9.1
20
1
003307.0
1
ˆ
22
2
ˆ
0
=







+=







+=
xxS
x
n
s σ
β 
 
Observación: 
La varianza de 0β̂ y 1β̂ se puede disminuir tomando valores ix muy dispersos con respecto a 
x pues de esta forma aumenta xxS 
 
 
Para construir intervalos de confianza para los coeficientes de regresión o para construir pruebas 
de hipótesis con respecto a 0β o 1β necesitamos asumir que los errores iε tienen distribución 
normal. Entonces ),0(~ 2σε Ni 
 
Observación: 
Si ),0(~ 2σε Ni entonces, como iii xY εββ ++= 10 , resulta que ),(~ 
2
10 σββ ii xNY + . Se 
pueden calcular entonces los EMV de los parámetros y llegaríamos a que son los mismos que 
los encontrados usando mínimos cuadrados. De modo que la función que cumple la 
suposición de normalidad de los iε no es otra que la de justificar el uso del método de 
mínimos cuadrados, que es el mas sencillo de calcular. 
 
Ya vimos que 0β̂ y 1β̂ pueden considerarse combinaciones lineales de las iY , por lo tanto 0β̂ y 
1β̂ son combinación lineal de variables aleatorias independientes con distribución normal y eso 
implica que 
 
 















+
xxS
x
n
N
2
2
00
1
,~ˆ σββ y 





xxS
N
2
11 ,~
ˆ σββ (10.15) 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 219
 
Y entonces 
 
 ( )1,0~
1
-ˆ
2
2
00
N
S
x
n xx








+σ
ββ
 y ( )1,0~
ˆ
2
11 N
S xx
σ
ββ −
 (10.16) 
 
Bajo la suposición que los errores tienen distribución normal, se puede probar que 
 
 
2
2-n2
~ χ
σ
RSS (10.17) 
Y también se puede probar que 
 
 2-n
2
2
00 ~
1
ˆ
-ˆ
t
S
x
n xx








+σ
ββ
 y 
2-n
2
11 ~
ˆ
ˆ
t
S xx
σ
ββ −
 (10.18) 
 
 
 
10.4 – Inferencias estadísticas sobre los parámetros de regresión 
 
Suponemos que los errores tiene distribución normal, con media cero, varianza 2σ y son 
independientes. 
 
Inferencias sobre 1β 
 
Tests de hipótesis sobre 1β 
Se desea probar la hipótesis de que la pendiente 1β es igual a una constante, por ejemplo 10β . 
Supongamos las hipótesis 
 
 1010 : ββ =H contra 1010 : ββ ≠H 
 
El estadístico de prueba es 
xxS
T
2
101
ˆ
ˆ
σ
ββ −
= que bajo 0H tiene distribución Student con n-2 
grados de libertad. 
Por lo tanto la regla de decisión es 





≤
>
−
−
2,
2
0
2,´
2
0
 
 
n
n
tTsiHaceptar
tTsiHrechazar
α
α
 
Si 1011 : ββ >H se rechaza 1010 : ββ =H si 2, −> ntT α 
Si 1011 : ββ <H se rechaza 1010 : ββ =H si 2, −−< ntT α 
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 220
Un caso especial importante es cuando 0: 10 =βH contra 0: 10 ≠βH 
Estas hipótesis están relacionadas con la significancia de la regresión. 
Aceptar 0: 10 =βH es equivalente a concluir que no hay ninguna relación lineal entre x e Y. 
Si 0: 10 =βH se rechaza implica que x tiene importancia al explicar la variabilidad en Y. 
También puede significar que el modelo lineal es adecuado, o que aunque existe efecto lineal 
pueden obtenerse mejores resultados agregando términos polinomiales de mayor grado en x. 
 
Ejemplos: 
1- El fabricante del resorte de los datos de la ley de Hooke afirma que la constante del resorte 1β 
es al menos 0.23 pulg/lb. Se ha calculado que la constante del resorte es 2046.0ˆ1 =β pulg/lb. ¿Se 
puede concluir que la afirmación del fabricante es falsa? 
 
Solución: 
Se requiere una prueba de hipótesis para contestar la pregunta. Las hipótesis serían 
 
 
 23.0: 10 =βH contra 23.0: 10 <βH 
 
El estadístico de prueba es 
xxxx SS
T
2
1
2
101
ˆ
23.0ˆ
ˆ
ˆ
σ
β
σ
ββ −
=
−
= 
Se calculó anteriormente 0111.0
ˆ 2
=
xxS
σ
, entonces el valor 
0t que toma el estadístico es 
28.2
0111.0
23.02046.0
0 −=
−
=t 
 
Calculamos el p-valor recordando que bajo 23.0: 10 =βH , 2-n~ tT : 
 
( )28.2−<=− TPvalorp 
 
Vemos en la tabla de la distribución Student que en la fila 18=ν grados de libertad 
 
( )
( )


=>
=>
01.0552.2
025.0101.2
TP
TP
 ⇒ 025.001.0 <−< valorp 
 
Por lo tanto se rechaza 23.0: 10 =βH 
 
2- La capacidad de una unión soldada de alongarse bajo tensión está afectada por el compuesto 
químico del metal de soldadura. En un experimento para determinar el efecto del contenido de 
carbono (x) sobre la elongación (y) se alongaron 39 soldaduras hasta la fractura, y se midió tanto 
el contenido de carbono (en partes por mil) como la elongación (en %). Se calcularon los 
siguientes resúmenes estadísticos: 
 
6561.0=xxS ; 9097.3−=xyS ; 3319.4ˆ =σ 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 221
 
Suponiendo que x e y siguen un modelo lineal, calcular el cambio estimado en la elongación 
debido a un aumento de una parte por mil en el contenido de carbono. ¿Se debe utilizar el 
modelo lineal para pronosticar la elongación del contenido de carbono? 
 
Solución: 
El modelo lineal es εββ ++= xy 10 , y el cambio de elongación debido a un aumento de una 
parte por mil en el contenido de carbono es 1β . 
Las hipótesis serían 0: 10 =βH contra 0: 10 ≠βH 
 
La hipótesi nula establece que incrementar el contenido de carbono no afecta la elongación, 
mientras que la hipótesis alternativa establece que sí afecta la elongación. 
 
El estadístico de prueba 
xxxx SS
T
2
1
2
101
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
σ
β
σ
ββ
=
−
= si 0: 10 =βH es verdadera tiene distribución 
Student con 2−n gados de libertad. 
 
Calculamos 
( )
959.5
6561.0
9097.3ˆ 1
1 −=
−
=
−
==
∑
=
xx
n
i
ii
xx
xy
S
xxy
S
S
β 
348.5
6561.0
3319.4ˆˆ 2
===
xxxx SS
σσ
 
 
El valor que toma el estadístico de prueba es 114.1
348.5
959.5
0 =
−
=t 
Y ( ) 20.010.02114.1 =×>>=− TPvalorp 
 
Por lo tanto no hay evidencia en contra de la hipótesis nula. No se puede concluirque el modelo 
lineal sea útil para pronosticar la elongación a partir del contenido de carbono. 
 
 
Intervalos de confianza para 1β 
Podemos construir intervalos de confianza para 1β de nivel α−1 utilizando el hecho que el 
estadístico 
2-n
2
11 ~
ˆ
ˆ
t
S xx
σ
ββ −
. El intervalo sería 
 








+−
−−
xx
n
xx
n S
t
S
t
2
2,
2
1
2
2,
2
1
ˆˆ ;
ˆˆ σβ
σ
β αα (10.19) 
 
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 222
 
Ejemplo: 
Determinar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la constante del resorte de los datos de la 
ley de Hooke. 
 
Solución: 
Se calculó antes 2046.0ˆ1 =β y 0111.0
ˆ 2
=
xxS
σ
 
El número de grados de libertad es 18220 =− , y 05.0=α por lo tanto 
101.218,025.0
2,
2
==
−
tt
n
α 
Por lo tanto el intervalo es 
 
( ) ( )[ ] [ ]228.0 ;181.00111.0101.22046.0 ;0111.0101.22046.0 =−− 
 
 
Inferencias sobre 0β 
 
De manera similar a lo visto sobre 1β , se pueden deducir intervalos de confianza y tests de 
hipótesis para 0β 
Específicamente, si tenemos las hipótesis 
 
 0000 : ββ =H contra 0000 : ββ ≠H 
 
El estadístico de prueba es 








+
xxS
x
n
T
2
2
000
1
ˆ
-ˆ
σ
ββ
 y bajo 
0000 : ββ =H tenemos que 2-n~ tT 
 
Por lo tanto la regla de decisión es 





≤
>
−
−
2,
2
0
2,´
2
0
 
 
n
n
tTsiHaceptar
tTsiHrechazar
α
α
 
Si 0001 : ββ >H se rechaza 0000 : ββ =H si 2, −> ntT α 
Si 
0001 : ββ <H se rechaza 0000 : ββ =H si 2, −−< ntT α 
 
 
Intervalos de confianza de nivel α−1 se deducen de manera análoga a lo visto anteriormente, 
donde usamos el hecho que el estadístico 2-n
2
2
00 ~
1
ˆ
-ˆ
t
S
x
n
T
xx








+σ
ββ
 
 
El intervalo es 
















++







+−
−−
 
1
ˆˆ ;
1
ˆˆ
2
2
2,
2
0
2
2
2,
2
0
xx
n
xx
n S
x
n
t
S
x
n
t σβσβ αα (10.20) 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 223
Ejemplo: 
En los datos de la ley de Hooke determine un intervalo de confianza de nivel 0.99 para la 
longitud del resorte no cargado. 
Solución: 
La longitud del resorte no cargado es 0β . Se ha calculado anteriormente 9997.4ˆ0 =β y 
02478219.0
1
ˆ
2
2
ˆ
0
=







+=
xxS
x
n
s σβ 
El número de gados de libertad es 18220 =− y como 01.0=α entonces 
878.218,005.0
2,
2
==
−
tt
n
α 
 
Por lo tanto el intervalo es 
( ) ( )[ ] [ ]071023.5 ;9283.4 02478219.0878.29997.4 ;024782193.0878.29997.4 =−− 
 
 
10.5 – Intervalo de confianza para la respuesta media 
 
A menudo es de interés estimar mediante un intervalo de confianza 
010 xββ + , es decir estimar 
la media ( )0xYE para un valor específico 0x . 
Un estimador puntual razonable para 010 xββ + es 010
ˆˆ xββ + . 
Sabemos que ( ) 010010 ˆˆ xxE ββββ +=+ . 
Como de costumbre necesitamos construir un estadístico a partir de 010
ˆˆ xββ + que contenga al 
parámetro de interés, (en este caso 010 xββ + ) y del cual conozcamos la distribución de 
probabilidad. 
Pensamos en el estadístico 
( )
( )010
010010
ˆˆ
ˆˆˆˆ
xV
xEx
ββ
ββββ
+
+−+
 
Nos falta calcular ( )010 ˆˆ xV ββ + . Para esto nuevamente observamos que 010 ˆˆ xββ + es una 
combinación lineal de las variables iY 
 
( ) ( ) =−+=−+=+−=+ ∑∑
==
xx
S
S
Y
n
xxY
n
xxYx
xx
xY
n
i
i
n
i
i 0
1
01
1
011010
1ˆ1ˆˆˆˆ βββββ 
( )
( ) ( ) ( )





−
−
+=−
−
+= ∑
∑
∑
=
=
=
xx
S
xx
n
Yxx
S
xxY
Y
n xx
i
n
i
i
xx
n
i
iin
i
i 0
1
0
1
1
11
 
 
Por lo tanto: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =








−
−
+−
−
+=





−
−
+=
=





−
−
+=













−
−
+=+
∑∑
∑∑
==
==
xx
nS
xx
xx
S
xx
n
xx
S
xx
n
xx
S
xx
n
YVxx
S
xx
n
YVxV
xx
i
xx
i
n
ixx
i
n
i
xx
i
n
i
i
xx
i
n
i
i
0
2
02
2
2
1
2
2
0
1
2
2
0
1
0
1
010
2
11
11ˆˆ
σσ
ββ
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 224
 
( ) ( ) ( ) ( ) =





−
−
+−
−
+= ∑ ∑
= =
n
i
n
i
i
xx
i
xx
xx
nS
xx
xx
S
xx
n
1 1
02
2
2
02 21σ 
 
Notar que ( ) 0
1
=−∑
=
n
i
i xx y ( ) xx
n
i
i Sxx =−∑
=1
2
 entonces 
 
( )





 −
+=
xxS
xx
n
2
02 1σ 
 
Por lo tanto 
 
( )















 −
+++
xxS
xx
n
xNx
2
02
010010
1
 ;~ˆˆ σββββ (10.21) 
 
Como 2σ es desconocido lo reemplazamos por 
2
ˆ 2
−
=
n
SSRσ , y puede probarse que 
 
( )
( )





 −
+
+−+
xxS
xx
n
xx
2
02
010010
1
ˆ
ˆˆ
σ
ββββ tiene distribución Student con 2−n grados de libertad 
 
Razonando como en casos anteriores, el intervalo de confianza para 010 xββ + de nivel α−1 es 
 
 
( ) ( )















 −
+++







 −
+−+
−−
 
1
ˆˆˆ ;
1
ˆˆˆ
2
02
2,
2
010
2
02
2,
2
010
xx
n
xx
n S
xx
n
tx
S
xx
n
tx σββσββ αα (10.22) 
 
 
Ejemplo: 
Mediante los datos de la ley de Hooke calcular un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la 
longitud media de un resorte bajo una carga de 1.4 lb 
 
Solución: 
Para aplicar (10.22) necesitamos calcular 010
ˆˆ xββ + ; 2σ̂ ; x ; xxS . 
En este caso 4.10 =x y 05.0=α , por lo tanto 101.218,025.0
2,
2
==
−
tt
n
α 
Ya tenemos calculado de ejemplos anteriores: 
0575.0ˆ =σ 
9.1=x 
6.26=xxS 
9997.4ˆ0 =β y 2046.0ˆ1 =β 
De aquí ya calculamos 286.54.12046.09997.4ˆˆ 010 =×+=+ xββ 
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 225
Entonces el intervalo es: 
( ) ( )
[ ]32.5 ;26.5
 
6.26
9.14.1
20
1
0575.0101.2286.5 ;
6.26
9.14.1
20
1
0575.0101.2286.5
2
2
2
2
=
=













 −
++




 −
+−
 
 
 
Observaciones: 
1- Notar que el ancho del intervalo de confianza para ( )0xYE depende del valor de 0x . El 
ancho del intervalo es mínimo cuando xx =0 y crece a medida que xx −0 aumenta. 
2- Al repetir los cálculos anteriores para varios valores diferentes de 0x pueden obtenerse 
intervalos de confianza para cada valor correspondiente de ( )0xYE . 
En la figura siguiente se presenta el diagrama de dispersión con la recta estimada y los 
correspondientes intervalos de confianza de nivel 0.95 graficados con las líneas inferior y 
superior referidos al ejemplo anterior. Se origina entonces una banda de confianza que envuelve 
a la recta estimada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.6 – Intervalos de predicción para futuras observaciones 
 
Una aplicación importante de un modelo de regresión es la predicción de observaciones nuevas o 
futuras de Y, correspondientes a un nivel especificado de la variable x. 
Si 0x es el valor de x de interés, entonces una estimación puntual de la observación 
00100 εββ ++= xY es 0100 ˆˆˆ xY ββ += . 
Para hallar un intervalo de predicción para 0100 xY ββ += de nivel α−1 debemos construir un 
estadístico a partir de 0100
ˆˆˆ xY ββ += . 
Primero notamos que si 0Y es una nueva observación, entonces 0Y es independiente de las 
observaciones utilizadas para desarrollar el modelo de regresión. 
Consideramos 00 ŶY − . Calculamos su esperanza y varianza: 
X
Y
0 1 2 3 4
5
5,2
5,4
5,6
5,8
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 226
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0ˆˆˆ 0100010010001000 =+−++=+−++=− xExxxEYYEββεββββεββ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )







 −
++=
=







 −
++=++++=+=−
xx
xx
S
xx
n
S
xx
n
xVxVYVYVYYV
2
02
2
022
01000100000
1
1
1ˆˆˆˆ
σ
σσββεββ
 
 
Por lo tanto 
 
 
( )















 −
++−
xxS
xx
n
NYY
2
02
00
1
1 ;0~ˆ σ (10.23) 
En consecuencia 
 
 
 
( )
( )1 ;0~
1
1
ˆ
2
02
00 N
S
xx
n
YY
xx 






 −
++
−
σ
 (10.24) 
 
Si reemplazamos 2σ por su estimación 2σ̂ se puede probar que 
 
 
( ) 2-n202
00 ~
1
1ˆ
ˆ
t
S
xx
n
YY
xx 






 −
++
−
σ
 (10.25) 
 
Por el argumento usual llegamos al siguiente intervalo de predicción de nivel α−1 para 0Y : 
 
 
( ) ( )















 −
+++







 −
++
xxxx S
xx
n
tY
S
xx
n
tY
2
02
2-n,
2
0
2
02
2-n,
2
0
1
1ˆˆ ;
1
1ˆ-ˆ σσ αα (10.26) 
 
Ejemplo: 
Calcular el intervalo de predicción con nivel 0.95 para la elongación de un resorte bajo una 
carga de 1.4 lb. 
 
Solución: 
El intervalo es 
 
( ) ( )
[ ]5.41034 ;16165.5
 
6.26
9.14.1
20
1
10575.0101.2286.5 ;
6.26
9.14.1
20
1
10575.0101.2286.5
2
2
2
2
=
=













 −
+++




 −
++−
 
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 227
 
 
Observaciones: 
1- Un intervalo de confianza es un intervalo que contiene, con un nivel de confianza fijado, un 
parámetro determinado de interés. Un intervalo de predicción es un intervalo que contiene, con 
un nivel de confianza fijado, una variable aleatoria de interés. 
2- El ancho del intervalo de predicción es mínimo cuando xx =0 y crece a medida que xx −0 
aumenta. 
Al comparar (10.25) con (10.21) se observa que el intervalo de predicción en el punto 
0x 
siempre es más grande que el intervalo de confianza en 
0x . Esto se debe a que el intervalo de 
predicción depende tanto del error del modelo ajustado como del error asociado con las 
observaciones futuras. 
3- Al repetir los cálculos anteriores para varios valores diferentes de 0x pueden obtenerse los 
intervalos de predicción. En la figura siguiente se presenta el diagrama de dispersión con la recta 
estimada y los correspondientes intervalos de confianza y de predicción de nivel 0.95 graficados 
con las líneas inferior y superior referidos al ejemplo anterior. Se originan entonces una banda 
de confianza (línea continua) y otra banda de predicción (línea entrecortada) que envuelven a la 
recta estimada. Esto ilustra que los intervalos de confianza son menos amplios que los intervalos 
de predicción. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.7 – Índice de ajuste 
 
Si consideramos el ajuste por mínimos cuadrados de los pares de datos ( )ii Yx , al modelo 
 εβ += 0Y 
Entonces es fácil verificar que el estimador de mínimos cuadrados de 0β es Y , y la suma de 
residuos al cuadrado es ( )∑
=
−=
n
i
iYY YYS
1
2
. Por otro lado si consideramos el modelo lineal 
 εββ ++= xY 10 
Entonces tenemos un valor de ( )∑
=
−=
n
i
iiR yySS
1
2
ˆ que será menor o igual a ( )∑
=
−=
n
i
iYY YYS
1
2
. 
X
Y
0 1 2 3 4
5
5,2
5,4
5,6
5,8
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 228
La cantidad 2R se define como 
 
 
YY
R
S
SS
R −= 12 (10.27) 
 
y es llamado coeficiente de determinación. Vemos que 2R será cero si 01 =β y será uno si 
( )∑
=
=−=
n
i
iiR yySS
1
2
0ˆ , lo que significa ajuste lineal perfecto. 
En general 10 2 ≤≤ R . El valor de 2R se interpreta como la proporción de variación de la 
respuesta Y que es explicada por el modelo. La cantidad 2R es llamada índice de ajuste, y es 
a menudo usada como un indicador de qué tan bien el modelo de regresión ajusta los datos. Pero 
un valor alto de R no significa necesariamente que el modelo de regresión sea correcto. 
 
Ejemplo: 
En el ejemplo de la ley de Hooke, tenemos ( ) 1733.1
20
1
2 =−=∑
=i
iyy yyS , y 
059526.0
6.26
4430.5
1733.1
2
=−=RSS 
 
Por lo tanto 949266.0
1733.1
059526.0
112 =−=−=
YY
R
S
SS
R 
 
 
El índice de ajuste R es a menudo llamado coeficiente de correlación muestral. Si la variable 
fijada x es una variable aleatoria, entonces tendríamos una v.a. bidimensional ( )YX , con una 
distribución de probabilidad conjunta, y tenemos una muestra de pares ( )ii YX , ni ,...,1= . 
Supongamos que estamos interesados en estimar ρ el coeficiente de correlación entre X e Y. Es 
decir 
 
 
( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )YVXV
YEYXEXE −−
=ρ 
 
Es razonable estimar 
( )( ) ( )( )[ ]YEYXEXE −− con ( )( )∑
=
−−
n
i
ii YYXX
n 1
1
 
( )XV con ( )∑
=
−
n
i
i XX
n 1
21
 y ( )YV con ( )∑
=
−
n
i
i YY
n 1
1
 
 
Por lo tanto un estimador natural de ρ es 
 
 
( )( )
( ) ( )
R
SS
S
YYXX
YYXX
YYXX
XY
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
==
−−
−−
=
∑∑
∑
==
=
1
2
1
2
1ρ̂ (10.28) 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 229
 
Es decir el índice de ajuste estima la correlación entre X e Y 
 
 
Si X es una variable aleatoria, entonces se observan pares independientes ( )ii YX , con ni ,...,1= 
que cumplen el modelo 
 
 
iii XY εββ ++= 10 
 
Si asumimos que 
iX y iε son independientes y que las iε tienen todas la misma distribución 
con ( ) 0=iE ε , entonces ( ) iii XXYE 10 ββ += 
Si además suponemos que ( )2,0~ σε Ni entonces se puede probar que los estimadores de 
máxima verosimilitud para los parámetros 0β y 1β son 
 
 XY 10
ˆˆ ββ −= 
y 
 
( )
( ) XX
XY
n
i
i
n
i
ii
S
S
XX
XXY
=
−
−
=
∑
∑
=
=
1
2
1
1β̂ 
 
Es decir son los mismos estimadores a los dados por el método de mínimos cuadrados en el caso 
de suponer que X es una variable matemática. 
 
También se puede probar que bajo las suposiciones hechas (10.17) y (10.18) siguen siendo 
válidas. 
Las distribuciones de los estimadores dependen ahora de las distribuciones de las iX . Puede 
probarse que siguen siendo insesgados, y que su distribución condicional en las iX es normal, 
pero en general su distribución no será normal. 
 
 
 
10.8 – Análisis de residuos 
 
 El ajuste de un modelo de regresión requiere varias suposiciones. La estimación de los 
parámetros del modelo requiere la suposición de que los errores son variables aleatorias 
independientes con media cero y varianza constante. Las pruebas de hipótesis y la estimación de 
intervalos requieren que los errores estén distribuidos de manera normal. Además se supone que 
el grado del modelo es correcto, es decir, si se ajusta un modelo de regresión lineal simple, 
entonces se supone que el fenómeno en realidad se comporta de una manera lineal. 
Se debe considerar la validez de estas suposiciones como dudosas y examinar cuán adecuado es 
el modelo que se propone. A continuación se estudian métodos que son útiles para este 
propósito. 
 
Los residuos de un modelo de regresión son iii yye ˆ−= ni ,...,2,1= . A menudo el análisis de 
los residuos es útil para verificar la hipótesis de que los errores tienen una distribución que es 
Parte2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 230
aproximadamente normal con varianza constante, y también para determinar la utilidad que tiene 
la adición de más términos al modelo. 
Es posible estandarizar los residuos mediante el cálculo de 
2σ̂
ie ni ,...,2,1= . 
También se puede probar que la varianza del i-ésimo residuo ie es igual a 
 
 ( ) ( )















 −
+−=
xx
i
i
S
xx
n
eV
2
2 11σ 
 
Y entonces podemos considerar al i-ésimo residuo estudentizado que se define como 
 
 
( )















 −
+−
=
xx
i
i
i
S
xx
n
e
r
2
2 11σ̂
 
 
y tiene desviación estándar unitaria. 
 
Si los errores tienen una distribución normal, entonces aproximadamente el 95% de los residuos 
estandarizados deben caer en el intervalo )2 ;2(− . Los residuos que se alejan mucho de este 
intervalo pueden indicar la presencia de un valor atípico, es decir, una observación que no es 
común con respecto a los demás datos. 
A menudo es útil hacer una gráfica de residuos contra la variable independiente x. En este caso la 
gráfica tendría que ser una nube de puntos sin ningún patrón en el intervalo )2 ;2(− ; pues 
iii yye ˆ−= sería lo que queda de iy al quitarle la influencia de ix . Si en la gráfica aparece 
algún patrón quiere decir que no estamos quitando de las y toda la influencia de las x. 
Patrones usuales para las gráficas de residuos suelen ser los de las siguientes figuras: en la figura 
a) se representa la situación ideal, una nube de puntos sin ningún patrón en el intervalo )2 ;2(− . 
Las figuras b) , c) y d) representan anomalías. Si los residuos aparecen como en b) o c) indican 
que el modelo es inadecuado. La figura d) muestra residuos que indican que la varianza de las 
observaciones varía con la magnitud de x. Comúnmente se utiliza una transformación de datos 
sobre la respuesta y para eliminar este problema. Las transformaciones más utilizadas para 
estabilizar la varianza son y , ( )yln o 
y
1 . 
En la figura d) la varianza de las observaciones disminuye con el aumento de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)
x
re
si
d
u
o
s
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
-1,7
-0,7
0,3
1,3
2,3
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 231
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Para los datos sobre la ley de Hooke la gráfica de residuos es 
 
b)
x
re
si
d
u
o
s
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
-3,3
-1,3
0,7
2,7
4,7
 
c)
x
re
si
d
u
o
s
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
-3,3
-1,3
0,7
2,7
4,7
 
d)
x
re
si
d
u
o
s
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
-3,3
-1,3
0,7
2,7
4,7
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 232
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el caso en que ( )YX , es una v.a. bidimensional, no siempre se está interesado en la relación 
lineal que defina ( )XYE / . Si no, únicamente saber si X e Y son variables aleatorias 
independientes. Si asumimos que la distribución conjunta de ( )YX , es una distribución llamada 
normal bivariada, entonces probar que 0=ρ es equivalente a probar que X e Y son 
independientes. 
Se puede probar que si la distribución conjunta de ( )YX , es normal bivariada, entonces R es el 
estimador de máxima verosimilitud de ρ . Pero es difícil obtener la distribución de probabilidad 
para R. Se puede superar esta dificultad en muestras bastante grandes al utilizar el hecho que el 
estadístico ( ) 





−
+
R
R
1
1
ln
2
1 tiene aproximadamente una distribución normal con media 
( ) 





−
+
=
ρ
ρ
µ
1
1
ln
2
1 y varianza 
3
12
−
=
n
σ . 
Por lo tanto para probar la hipótesis 
00 : ρρ =H podemos utilizar el estadístico de prueba 
 
 
 
( ) ( )
3
1
1
1
ln
2
1
1
1
ln
2
1
0
0
−






−
+
−





−
+
=
n
R
R
Z
ρ
ρ
 (10.29) 
 
Para construir intervalos de confianza de nivel α−1 para ρ , se despeja en ( ) 





−
+
=
ρ
ρ
µ
1
1
ln
2
1 
el coeficiente ρ y se llega a 
 
 
1
1
2
2
+
−
=
µ
µ
ρ
e
e
 (10.30) 
 
Ejemplo: 
X
re
si
d
u
o
s
0 1 2 3 4
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 233
En un estudio de los tiempos de reacción, el tiempo de respuesta a un estímulo visual (x) y el 
tiempo de respuesta a un estímulo auditivo (y) se registraron para cada una de 10 personas. 
Los tiempos se midieron en minutos. Se presentan en la siguiente tabla. 
 
x 161 203 235 176 201 188 228 211 191 178 
y 159 206 241 163 197 193 209 189 169 201 
 
a) Determinar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la correlación entre los tiempos de 
 reacción. 
b) Determinar el p-valor para 3.0:0 =ρH contra 3.0:1 >ρH 
 
Solución: 
a) Se calcula 
( )( )
( ) ( )
8159.0
1
2
1
2
1 ==
−−
−−
=
∑∑
∑
==
=
YYXX
XY
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
SS
S
YYXX
YYXX
R 
 
 Luego calcula ( ) ( ) 1444.1
8159.01
8159.01
ln
2
1
1
1
ln
2
1 =





−
+
=





−
+
R
R
 
 
 Como ( ) 





−
+
R
R
1
1
ln
2
1 está distribuido normalmente con varianza 
3
12
−
=
n
σ , el intervalo para 
 ( ) 





−
+
=
ρ
ρ
µ
1
1
ln
2
1 es 
 
 [ ]8852.1 ;4036.0 
310
1
96.11444.1 ;
310
1
96.11444.1 =











−
+





−
− 
 
 Para hallar el intervalo para ρ aplicamos la transformación (10.30) y se obtiene 
 
 
( )
( )
( )
( ) 1
1
1
1
8852.12
8852.12
4036.02
4036.02
+
−
<<
+
−
e
e
e
e
ρ ⇒ 955.0383.0 << ρ 
 
b) Si 3.0:0 =ρH es verdadera entonces el estadístico 
 
 
( ) ( )
310
1
3.01
3.01
ln
2
1
1
1
ln
2
1
−






−
+
−





−
+
=
R
R
Z tiene aproximadamente distribución )1,0(N 
 
 
 
 El valor observado de ( ) 





−
+
R
R
1
1
ln
2
1 es 1.1444, por lo tanto el estadístico toma el valor 
Parte 2 – Estadística Prof. María B. Pintarelli 
 234
 2088.20 =z 
 
 Entonces ( ) 0136.02088.2 =>=− ZPvalorp . Entonces se rechaza 3.0:0 =ρH y se con- 
 cluye que 3.0>ρ