Suma de Variables Aleatórias e Teorema Central do Limite

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Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 103 
6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA 
 CENTRAL DEL LÍMITE 
 
6.1 – Suma de variables aleatorias independientes 
 
Cuando se estudiaron las variables aleatorias bidimensionales se habló de una función de variable 
aleatoria bidimensional. En particular se nombró la suma de n variables aleatorias, pero no se dijo 
nada sobre la distribución de esa v.a. suma. 
Es a menudo importante saber cuál es la distribución de una suma de variables aleatorias indepen-
dientes. 
Consideramos algunos ejemplos en el caso discreto 
 
1- Suma de variables aleatorias independientes con distribución Poisson 
 
 )(~ ntesindependie Yy ; )(~ ; )(~ 2121 λλλλ ++⇒ PYXXPYPX 
Dem.) 
Consideramos el evento { }nYX =+ como unión de eventos excluyentes 
{ } nkknYkX ≤≤−== 0 , , entonces 
( )
=
−
=−===−====+
−
−
=
−
==
∑∑∑
!!
)()(),()( 2
0
1
00
21
kn
e
k
eknYPkXPknYkXPnYXP
knn
k
kn
k
n
k
λλ λλ 
 
 X e Y independientes 
 
( ) ( )
( )nkn
n
k
k
n
k
knk
n
e
knk
n
n
e
knk
e 21
)(
2
0
1
)(
0
21)(
!!!
!
!!!
2121
21 λλλλ
λλ λλλλλλ +=
−
=
−
=
+−
−
=
+−
=
−
+− ∑∑ 
 
 Binomio de Newton 
 
 O sea X+Y tiene distribución Poisson con parámetro 21 λλ + 
 
2- Suma de variables aleatorias binomiales independientes 
 
 ),(~ ntesindependie Yy ; ),(~ ; ),(~ 2121 pnnBYXXpnBYpnBX ++⇒ 
 
Dem.) 
Nuevamente consideramos el evento { }kYX =+ como unión de eventos excluyentes 
{ } 10 , niikYiX ≤≤−== , entonces 
=−





−
−





=−===−====+ +−−−
===
∑∑∑ iknikini
n
k
n
i
n
i
pp
ik
n
pp
i
n
ikYPiXPikYiXPkYXP 21
111
)1()1()()(),()(
2
0
1
00
 X e Y independientes 






−






−= ∑
=
−+
ik
n
i
n
pp
n
i
knnk 2
0
1
1
21)1( 
 
 
En la expresión anterior si rj > entonces 0=





j
r
 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 104 
Por último usamos la siguiente identidad combinatoria ∑
=





 +
=





−





1
0
2121
n
i k
nn
ik
n
i
n
 
Y entonces 
 
knnk
pp
k
nn
kYXP
−+−




 +
==+ 21)1()( 21 
O sea X+Y tiene distribución binomial con parámetros 21 nn + y p 
 
Observación: en los dos casos anteriores se puede generalizar el resultado a n variables aleatorias 
independientes, usando el principio de inducción completa, es decir 
1- Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde )(~ ii PX λ para todo 
 ni ,...,2,1= entonces )(~
00
∑∑
==
n
i
i
n
i
i PX λ 
2- Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~ pnBX ii para todo 
 ni ,...,2,1= entonces ),(~
00
pnBX
n
i
i
n
i
i ∑∑
==
 
 
 
Suma de variables aleatorias normales independientes 
 
Si X e Y son dos variables aleatorias continuas independientes con densidades g(x) y h(y) respecti-
vamente se puede probar (no lo demostraremos aquí) que la v.a. YXZ += tiene densidad dada 
por ∫
∞
∞−
+ −= dyyhyzgzf YX )()()( 
Usando esto se puede demostrar el siguiente importante resultado: 
 
 
Por inducción completa se puede generalizar este resultado a n variables: 
 
De lo anterior y del hecho que ( ) ),~ ,~ 222 σµσµ abN(abaXNX ++⇒ tenemos: 
 
 
Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~
2
iii NX σµ para todo 
ni ,...,2,1= entonces ),(~
1
2
00
∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX σµ 
Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~
2
iii NX σµ para todo 
ni ,...,2,1= entonces ),(~
1
22
00
∑∑∑
===
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa σµ donde naaa ,...,, 21 son números reales 
Si X e Y son variables aleatorias independientes donde ( ) ,~ 211 σµNX y ( ) ,~ 222 σµNY enton-
ces ( ) ,~ 222121 σσµµ +++ NYX 
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 105 
 
Se dice que ∑
=
n
i
iiXa
0
 es una combinación lineal de variables aleatorias. 
 
Ejemplos: 
1- La envoltura de plástico para un disco magnético está formada por dos hojas. El espesor de cada 
 una tiene una distribución normal con media 1.5 milímetros y desviación estándar de 0.1 milí- 
 metros. Las hojas son independientes. 
 a) Determine la media y la desviación estándar del espesor total de las dos hojas. 
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el espesor total sea mayor que 3.3 milímetros? 
 
 Solución: Sean las variables aleatorias 
 X: “espesor de la hoja 1” e Y: “espesor de la hoja 2” 
 Entonces )1.0,5.1~ 2N(X ; )1.0,5.1~ 2N(Y y X e Y independientes 
 a) Si definimos la v.a. Z: “espesor total de las dos hojas” , entonces YXZ += 
 Por lo tanto )1.01.0 ,5.15.1~ 22 ++N(Z es decir )02.0 ,3~ N(Z 
 En consecuencia 3)( =ZE , 02.0)( == ZVZσ 
 b) Se pide calcular )3.3( >ZP 
 ( ) 017.0983.0112132.21
02.0
33.3
1
02.0
33.3
02.0
3
)3.3( =−=Φ−=




 −
Φ−=




 −
>
−
=>
Z
PZP 
 
2-Tengo tres mensajes que atender en el edificio administrativo. Sea Xi : “ el tiempo que toma el i- 
 ésimo mensaje” (i = 1, 2 ,3), y sea X4 : “ el tiempo total que utilizo para caminar hacia y desde el 
 edificio y entre cada mensaje”. Suponga que las Xi son independientes, normalmente distribui- 
 das, con las siguientes medias y desviaciones estándar: 
 3 ,12 ,2 ,8 ,1 ,5 ,4 min,15 44332211 ======== σµσµσµσµ 
 Pienso salir de mi oficina precisamente a las 10.00 a.m. y deseo pegar una nota en mi puerta que 
 dice “regreso a las t a.m.” ¿A qué hora t debo escribir si deseo que la probabilidad de mi llegada 
 después de t sea 0.01? 
 
 Solución: Definimos la v.a. Z: “tiempo transcurrido desde que salgo de mi oficina hasta que re- 
 greso”, entonces 4321 XXXXT +++= 
 Por lo tanto 




 ∑∑
==
4
1
2
4
1
 ,~
i
i
i
iNT σµ , y se pide hallar t tal que 01.0)( => tTP 
 50128515
4
1
=+++=∑
=i
iµ y 303214
222
4
1
22 =+++=∑
=i
iσ 
 
 Entonces 01.0
30
50
1)( =




 −
Φ−=>
t
tTP , es decir 99.0
30
50
=




 −
Φ
t
 
 Buscando en la tabla de la normal 7619.62503033.2 33.2
30
50
=+×=⇒=
−
t
t
 
 
3- El ancho del marco de una puerta tiene una distribución normal con media 24 pulgadas y des- 
 viación estándar de 1/8 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribución normal con me- 
 dia 23.875 de pulgadas y desviación estándar de 1/16 de pulgadas. Suponer independencia. 
 a) Determine la distribución, la media y la desviación estándar de la diferencia entre el ancho 
 del marco y de la puerta. 
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 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y de la puerta sea ma- 
 yor que ¼ de pulgada?. 
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco?. 
 
 Solución: Sean las variables aleatorias 
 X: “ancho del marco de la puerta en pulgadas” 
 Y: “ancho de la puerta en pulgadas”Entonces )1/8)( ,24~ 2N(X , )1/16)( ,875.23~ 2N(Y , X e Y independientes 
 a) Se pide la distribución de X-Y , )( YXE − , )( YXVYX −=−σ 
 125.0875.2324)()()( =−=−=− YEXEYXE 
 
16
5
 
256
5
16
1
8
1
)()()(
22
=∴=




+




=+=− −YXYVXVYXV σ 
 Por lo tanto 















−
2
16
5
 ,125.0~ NYX 
 b) Se pide la probabilidad )4/1( >−YXP 
 1867.08133.01)8944.0(1
5
52
1
16
5
125.025.0
1)4/1( =−=Φ−=







Φ−=












−
Φ−=>−YXP 
 c) Si la puerta no entra en el marco entonces se da el evento { }YX < o equivalentemente 
 { }0<−YX , por lo tanto 
 1867.0
5
52
1
5
52
16
5
125.00
)0( =







Φ−=







−Φ=












−
Φ=<−YXP 
 
4- Supongamos que las variables aleatorias X e Y denotan la longitud y el ancho en cm, respecti- 
 vamente, de una pieza. 
 Supongamos además que X e Y son independientes y que X ~ N(2 , 0.1
2
 ) , Y ~ N(5 , 0.2
2
 ). 
 Entonces Z = 2X + 2Y es una v.a. que representa el perímetro de la pieza. 
 Calcular la probabilidad de que el perímetro sea mayor que 14.5 cm. 
 
 Solución: tenemos que ( )2222 2.021.02 ,5222 ~ ×+××+×NZ , o sea ( )0.2 ,14 ~ NZ 
 La probabilidad pedida es )5.14( >ZP , entonces 
 ( ) 119.08810.011180.11
2
5
1
2.0
145.14
1)5.14( =−=Φ−=







Φ−=




 −
Φ−=>ZP 
 
5- Si se aplican dos cargas aleatorias 21 y XX a una viga voladiza como se muestra en la figura si- 
 guiente, el momento de flexión en 0 debido a las cargas es 2211 XaXa + . 
a) Suponga que 21 y XX son v.a. independientes con medias 2 
 y 4 KLbs respectivamente, y desviaciones estándar 0.5 y 
 1.0 KLbs, respectivamente. 
 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 107 
 Si 51 =a pies y 102 =a pies, ¿cuál es el momento de flexión esperado y cuál es la desviación 
 estándar del momento de flexión? 
 b) Si 21 y XX están normalmente distribuidas, ¿cuál es la probabilidad de que el momento de 
 flexión supere 75 KLbs? 
 
 Solución: Sea la v.a. Z: “momento de flexión en 0”, entonces 21 105 XXZ += 
 Por lo tanto 
 a) 5041025)(10)(5)( 21 =×+×=+= XEXEZE 
 
4
65
 
4
65
11025.0251105.05)( 2222 =∴=×+×=×+×= ZZV σ 
 b) Si 21 y XX están normalmente distribuidas, entonces 





4
65
 ,50 ~ NZ 
 Por lo tanto 
 ( ) 01120.61
13
6510
1
4
65
5075
1)75( =−≈Φ−=







Φ−=












−
Φ−=>ZP 
 
 
Promedio de variables aleatorias normales independientes 
 
Dem.) Notar que 
n
X
X
n
i
i∑
== 1 es un caso particular de combinación lineal de variables aleatorias 
donde 
n
ai
1
= para todo ni ,...,2,1= 
Además en este caso µµ =i y 
22 σσ =i para todo ni ,...,2,1= 
Por lo tanto, X tiene distribución normal con esperanza µµµµ ===∑∑
==
n
i
n
i
i n
nnn 11
111
 y varian-
za 
n
n
nnn
n
i
i
n
i
2
2
2
2
2
1
2
2
1
111 σ
σσσ =




=




=




 ∑∑
==
 
Es decir, 





n
NX
2
,~
σ
µ 
Observación: a X se lo llama promedio muestral o media muestral 
 
Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~
2σµNX i para todo 
ni ,...,2,1= entonces la v.a. 
n
X
X
n
i
i∑
== 1 tiene distribución normal con 
 media µ y varianza 
n
2σ
 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 108 
 
 
Ejemplos: 
1) El diámetro interno de un anillo de pistón seleccionado al azar es una v.a. con distribución nor-
mal con media 12 cm y desviación estándar de 0.04 cm. 
a) Si X es el diámetro promedio en una muestra de 16=n anillos, calcule )01.1299.11( ≤≤ XP 
b) ¿Qué tan probable es que el diámetro promedio exceda de 12.01 cuando 25=n ? 
 
Solución: 
a) Sean las variables aleatorias :iX “diámetro del anillo i” 16,...,2,1=i 
 Entonces ( )04.0 ,12~ 2NX i para cada i. 
 Por lo tanto 







16
04.0,12~
2
NX . Entonces 
 
( ) ( )
6826.018413.02 
1)1(211
16
04.0 2
1299.11
16
04.0 2
1201.12
 
)
16
04.0 2
1201.12
16
04.0 2
12
16
04.0 2
1299.11
()01.1299.11(
=−×=
=−=−−=
















−−
















−=
=−≤−≤−=≤≤
φφφφφ
X
PXP
 
 
 
 
 
b) En este caso 







25
04.0,12~
2
NX , entonces 
 1056.08944.01)25.1(1
25
04.0
1201.12
1)01.12(
2
=−=−=














−−=> φφXP 
 
 
2) Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de µ onzas 
por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la máquina presenta una 
distribución normal con 1=σ onza. De la producción de la máquina un cierto día, se obtiene una 
muestra de 9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operati-
vo) y se miden las onzas del contenido de cada una. 
 a) Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo más a 0.3 onzas de la 
 media real µ para tales posiciones de control 
 b) ¿Cuántas observaciones deben incluirse en la muestra si se desea que la media muestral esté a 
 lo más a 0.3 onzas de µ con una probabilidad de 0.95? 
 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 109 
Solución: 
a) Sean las variables aleatorias :iX “contenido en onzas de la botella i” 9,...,2,1=i 
 Entonces ( )1,~ µNX i para cada i. 
 Por lo tanto 





9
1
,~ µNX . Se desea calcular 
 
6318.01)9.0(2
)9.0()9.0(9.09.0
3.03.0
3.03.0
)3.03.0()3.0(
=−Φ=
=−Φ−Φ=










≤
−
≤−=










≤
−
≤−=
=










≤
−
≤−=≤−≤−=≤−
n
X
P
nn
X
n
P
nn
X
n
PXPXP
σ
µ
σσ
µ
σ
σσ
µ
σ
µµ
 
 
 b) Ahora se pretende que 
 95.0)3.03.0()3.0( =≤−≤−=≤− µµ XPXP 
 Entonces 
 95.03.0
1
3.0
3.03.0
)3.0( =










≤
−
≤−=










≤
−
≤
−
=≤− n
n
X
nP
nn
X
n
PXP
µ
σσ
µ
σ
µ 
 Mediante la tabla de la acumulada de la normal estándar se tiene que 
 
 
( ) ( ) ( ) 96.13.0 0.9753.0 95.013.023.0
1
3.0 =⇒=Φ⇒=−Φ=










≤
−
≤− nnnn
n
X
nP
µ
 
 
 O sea 68.42
3.0
96.1
2
=




≈n 
 Si tomamos 43=n , entonces )3.0( ≤− µXP será un poco mayor que 0.95 
 
 
6.2 - Teorema central del límite 
 
Acabamos de ver que la suma de un número finito n de variables aleatorias independientes que 
están normalmente distribuidas es una variable aleatoria también normalmente distribuida. Esta 
propiedad reproductiva no es exclusiva de la distribución normal. En efecto, por ejemplo, ya vimos 
que existen variables aleatorias discretas que la cumplen, es el caso de la Poisson y la Binomial. 
En realidad, la propiedad que le da a la distribución normal el lugar privilegiado que ocupa entre 
todas las distribuciones es el hecho de que la suma de un número muy grande, rigurosamente un 
número infinito numerable, de variables aleatorias independientes con distribuciones arbitrarias 
(no necesariamente normales) es una variable aleatoria que tiene, aproximadamente, una distribu-
ción normal. Este es, esencialmente, el contenido del 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límiteProf. María B. Pintarelli 
 110 
 
Dem.) sin demostración 
 
Observaciones: 
1- Notar que ( ) ( ) µnXEXESE
n
i
i
n
i
in ==





= ∑∑
== 11
 y ( ) ( ) 2
11
σnXVXVSV
n
i
i
n
i
in ==





= ∑∑
==
 
 Por lo tanto 
2σ
µ
n
nS
Z nn
−
= es la v.a. nS estandarizada 
2- Notar que 










−
=












≤
−
=







≤
−
n
X
Pz
n
n
n
nS
Pz
n
nS
P
n
n
σ
µ
σ
µ
σ
µ
22
, por lo tanto también se puede 
enunciar el Teorema central del límite de la siguiente forma 
 
 Donde 
n
X
Z n σ
µ−
= es el promedio muestral estandarizado 
3- Aunque en muchos casos el T.C.L. funciona bien para valores de n pequeños , en particular 
donde la población es continua y simétrica, en otras situaciones se requieren valores de n mas 
grandes, dependiendo de la forma de la distribución de las iX . En muchos casos de interés prácti-
co, si 30≥n , la aproximación normal será satisfactoria sin importar cómo sea la forma de la dis-
tribución de las iX . Si 30<n , el T.C.L. funciona si la distribución de las iX no está muy alejada 
de una distribución normal 
 
4- Para interpretar el significado del T.C.L., se generan (por computadora) n valores de una v.a. 
exponencial con parámetro 5.0=λ , y se calcula el promedio de esos n valores. Esto se repite 1000 
veces, por lo tanto tenemos 1000 valores de la v.a. X . 
Teorema central del límite (T.C.L.): 
Sean nX,...,X,X 21 variables aleatorias independientes con ( ) µ=iXE y ( ) 2σ=iXV para todo 
n,...,,i 21= , es decir independientes idénticamente distribuidas 
 Sea la v.a. ∑
=
=
n
i
in XS
1
 y sea 
2σ
µ
n
nS
Z nn
−
= . 
Entonces ( ) ( )zzZPlim n
n
Φ=≤
∞→
 , esto es ∫
∞−
−
∞→
=







≤
− z xn
n
dxez
n
nS
P 2
2
2
2
1
lim
πσ
µ
 
Sean 
nX,...,X,X 21 variables aleatorias independientes con ( ) µ=iXE y ( ) 2σ=iXV para todo 
n,...,,i 21= , es decir independientes idénticamente distribuidas 
 Sea la v.a. promedio muestral ∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
 y sea 
n
X
Z n σ
µ−
= . 
 Entonces ( ) ( )zzZPlim n
n
Φ=≤
∞→
 , esto es ∫
∞−
−
∞→
=







≤
− z x
n
dxez
n
X
P 2
2
2
1
lim
πσ
µ
 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 111 
Hacemos un histograma de frecuencias de X , esto es, tomamos un intervalo ),( ba donde 
“caen” todos los valores de X , y lo subdividimos en intervalos mas chicos de igual longitud. La 
frecuencia de cada subintervalo es la cantidad de valores de X que caen en dicho subintervalo. 
Se grafican estas frecuencias obteniéndose los gráficos siguientes que se pueden considerar una 
aproximación a la verdadera distribución de X . 
Se observa que a medida que aumenta el valor de n los gráficos se van haciendo más simétricos, 
pareciéndose a la gráfica de una distribución normal. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1- Supóngase que 30 instrumentos electrónicos D1, D2, ......,D30, se usan de la manera siguiente: tan 
pronto como D1 falla empieza a actuar D2. Cuando D2 falla empieza a actuar D3, etc. Supóngase 
que el tiempo de falla de Di es una v.a. distribuida exponencialmente con parámetro λ = 0.1 por 
hora. Sea T el tiempo total de operación de los 30 instrumentos. ¿Cuál es la probabilidad de que T 
exceda 350 horas? 
 
Solución: 
Si iX : “tiempo de falla del instrumento iD ” 30,...,2,1=i 
Entonces )1.0(~ ExpX i para 30,...,2,1=i 
El tiempo total de operación de los 30 instrumentos es ∑
=
=
30
1i
iXT , donde 
300
1.0
1
30)(30)(
30
1
=×=×=





= ∑
=
i
i
i XEXETE 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
50
100
150
 12 34 567 891011121314151617181920212223242526272829303132
20
40
60
80
 
1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829
10
20
30
40
50
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122
10
20
30
40
 
 
n=2 
n = 5 
 n = 15 
n = 30 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 112 
 
3000
1.0
1
30)(30)(
2
30
1
=×=×=





= ∑
=
i
i
i XVXVTV 
Entonces por T.C.L. N(0,1)~
3000
300−T
 aproximadamente pues 30=n 
La probabilidad pedida es 
( ) 18141.081859.019128.01
3000
300350
1
3000
300350
3000
300
)350( =−=Φ−=




 −
Φ−≈




 −
>
−
=>
T
PTP
 
 T.C.L. 
 
2- Suponga que el consumo de calorías por día de una determinada persona es una v.a. con media 
3000 calorías y desviación estándar de 230 calorías. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio 
de consumo de calorías diario de dicha persona en el siguiente año (365 días) sea entre 2959 y 
3050? 
 
Solución: 
Definimos las variables aleatorias 
iX : “cantidad de calorías que una persona consume en el día i” 365,...,2,1=i 
Se sabe que 3000)( =iXE y 
2230)( =iXV 
Si ∑
=
=
365
1365
1
i
iXX entonces 3000)( =XE y 
365
230
)(
22
==
n
XV
σ
 
La probabilidad pedida es 
( )
( ) ( ) 10140.315.4
365
230
30002959
365
230
30003050
365
230
30003050
365
230
3000
365
230
30002959
30502959
=−≈−Φ−Φ=










−
Φ−










−
Φ≈
≈










−
≤
−
≤
−
=≤≤
X
PXP
T.C.L. 
 
 
Aplicaciones del Teorema central del límite 
 
Aproximación normal a la distribución binomial 
El Teorema central del límite se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas varia-
bles aleatorias discretas cuando es difícil calcular las probabilidades exactas para valores grandes 
de los parámetros. 
Supongamos que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Para calcular )( kXP ≤ 
debemos hacer la suma ∑
=
==≤
k
i
iXPkXP
0
)()( o recurrir a las tablas de la F.d.a. , pero para valo-
res de n grandes no existen tablas, por lo tanto habría que hacer el cálculo en forma directa y mu-
chas veces es laborioso. 
Como una opción podemos considerar a X como suma de variables aleatorias más simples, especí-
ficamente, si definimos 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 113 



 −
=
contrariocaso
éxitoocurrederepeticiónésimaílaensi
X i 0
1 ε
 ni ,...,2,1= 
entonces cada 
iX se la puede considerar ),1( pB , y además nXXX ,...,, 21 son independientes 
Podemos escribir ∑
=
=+++=
n
i
in XXXXX
1
21 ... y si n es grande entonces X tendrá aproxima-
damente una distribución normal con parámetros np y )1( pnp − , es decir 
( )
( )1,0
1.
.
2
N
ppn
pnX
n
nX
Z n ≈
−
−
=
−
=
σ
µ
 si n es lo suficientemente grande 
 
Observaciones: 
1- La aproximación normal a la distribución binomial funciona bien aun cuando n no sea muy 
grande si p no está demasiado cerca de cero o de uno. En particular la aproximación normal a la 
binomial es buena si n es grande , 5>np y 5)1( >− pn , pero es más efectivo aplicar esta aproxi-
mación cuando 10>np y 10)1( >− pn 
 
2- Corrección por continuidad. 
Acabamos de ver que si X∼B(n,p) entonces, para n suficientemente grande, podemos considerar 
que aproximadamente es X∼ ( )[ ]pp.n,p.nN −1 . El problema que surge de inmediato si deseo cal-
cular, por ejemplo, la probabilidad de que kX = (con k alguno de los valores posibles 0,1,2,…,n) 
es que la binomial es una distribución discreta y tiene sentido calcular probabilidades como 
( )kXP = mientras que la normal es una distribución continua y, en consecuencia, ( ) 0== kXP 
puesto que para una variable aleatoria continua la probabilidad de que éstatome un valor aislado 
es cero. Esto se resuelve si se considera ( ) 




 +≤≤−≈=
2
1
2
1
kXkPkXP 
También se puede usar esta corrección para mejorar la aproximación en otros casos, específica-
mente en lugar de )( kXP ≤ calculamos 





 +≤≈≤
2
1
)( kXPkXP 
Y en lugar de 




 −≥≈≥
2
1
)( kXPkXP 
En los gráficos siguientes se muestra para diferentes valores de n y p cómo aproxima la distribu-
ción ))1( ,( pnpnpN − a la distribución ) ,( pnB 
 
 
 
 5 10 15 20 25
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.175
2 4 6 8 10 12 14
0.05
0.1
0.15
0.2
 
 
n = 25 
p = 0.7 n = 15 
p = 0.5 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 114 
 
5 10 15 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
50 60 70 80 90 100
0.02
0.04
0.06
0.08
 
 
 
 
 
20 40 60 80 100 120 140
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
 
 
 
 
Ejemplos: 
1- Sea X∼ B(25,0.4). Hallar las probabilidades exactas de que 8≤X y 8=X y comparar estos 
resultados con los valores correspondientes encontrados por la aproximación normal. 
 
Solución: 
De la tabla de la F.d.a. de la binomial encontramos 274.0)8( =≤XP 
Y 120.0154.0274.0)7()8()8( =−=≤−≤== XPXPXP 
Ahora usamos la aproximación normal 
( ) 2709.061.0
6.04.025
105.8
)1(
)5.8()8( =−Φ≈







××
−
≤
−
−
=≤≈≤
pnp
npX
PXPXP 
 corrección por continuidad 
 
Observar que el valor aproximado está muy cercano al valor exacto para 274.0)8( =≤XP 
 
( )
1170.01593.02709.0
61.0
6
10
02.1
6
105.8
6
10
6
105.7
5.85.7)8(
=−=
=





−≤
−
≤−=




 −
≤
−
≤
−
=≤≤≈=
X
P
X
PXPXP
 
 
Nuevamente este valor aproximado está muy cerca del valor real de 120.0)8( ==XP 
 
n =15 
p = 0.9 
n = 100 
p = 0.7 
n = 150 
p = 0.1 
n = 10 
p = 0.1 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 115 
2- Suponga que el 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso están fuera de 
especificaciones, pero se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra). 
Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y denote por X el número entre ellos que estén fuera 
de especificaciones y se puedan volver a trabajar. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que X 
sea 
a) a lo sumo 30? 
b) menos de 30? 
c) entre 15 y 25 (inclusive)? 
 
Solución: 
Sea la v.a. X: “número de ejes fuera de especificaciones” 
Entonces )1.0,200(~ BX , además 5201.0200 >=×=np y 5180)1.01(200)1( >=−×=− pn 
Por lo tanto podemos aplicar la aproximación normal a la binomial 
a) la probabilidad pedida es )30( ≤XP 
 ( ) 993244.0474.2
18
205.30
18
205.30
)1(
)5.30()30( =Φ=




 −
Φ≈






 −
≤
−
−
=≤≈≤
pnp
npX
PXPXP 
b) La probabilidad pedida es )30( <XP 
 Al ser X una v.a. discreta con distribución binomial )29()30( ≤=< XPXP 
 ( ) 98745.02391.2
18
205.29
)5.29()29( =Φ=




 −
Φ≈≤≈≤ XPXP 
c) 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 80294.0190147.0212963.122963.12963.1
18
205.14
18
205.25
5.255.142515
=−×=−Φ=−Φ−Φ=
=




 −
Φ−




 −
Φ≈≤≤≈≤≤ XPXP
 
 
3- El gerente de un supermercado desea recabar información sobre la proporción de clientes a los 
que no les agrada una nueva política respecto de la aceptación de cheques. ¿Cuántos clientes ten-
dría que incluir en una muestra si desea que la fracción de la muestra se desvíe a lo mas en 0.15 de 
la verdadera fracción, con probabilidad de 0.98?. 
 
Solución: 
Sea X: “número de clientes a los que no les agrada la nueva política de aceptación de cheques” 
Entonces ),(~ pnBX donde p es desconocido y es la verdadera proporción de clientes a los que 
no les agrada la nueva política de aceptación de cheques. El gerente tomará una muestra de n clien-
tes para “estimar” p con 
n
X
X = ya que 
n
X
X = es la proporción de clientes a los que no les 
agrada la nueva política de aceptación de cheques en la muestra de n clientes. Si no se toman a 
todos los clientes, entonces 
n
X
X = no será igual a p. 
La pregunta es cuál debe ser n para que 
n
X
X = se aleje del verdadero p en menos de 0.15 con 
probabilidad 0.98 por lo menos, o sea para que ( ) 98.015.0 ≥≤− pXP 
Entonces planteamos 
( ) ( ) ≈






−
≤
−
−
≤
−
−
=≤−≤−=≤−
)1(
15.0
)1()1(
15.0
15.015.015.0
pnp
n
pnp
npX
pnp
n
PpXPpXP 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 116 
 T.C.L. 
98.01
)1(
15.0
2
)1(
15.0
)1(
15.0
≥−







−
Φ=







−
−
Φ−







−
Φ≈
pnp
n
pnp
n
pnp
n
 
 
Por lo tanto 99.0
2
198.0
)1(
15.0
=
+
≥







−
Φ
pnp
n
 
 
Además n
n
pp
n
pnp
n
3.0
)5.01(5.0
15.0
)1(
15.0
)1(
15.0
=
−
≥
−
=
−
 
 
Entonces debe cumplirse que 33.23.0 ≥n o sea 3211.60
3.0
33.2
2
=




≥n 
 
O sea se debe tomar una muestra de al menos 61 clientes 
 
 
Aproximación normal a la distribución Poisson 
 
Se puede probar aplicando Teorema central del límite que 
 
 
Es decir para λ suficientemente grande )1,0(N
X
≈
−
λ
λ
 
En la práctica si 30≥λ la aproximación es buena. 
 
Observación: la demostración es sencilla si λ es igual a un número natural n pues, si considera-
mos las variables aleatorias )1(~ PX i con ni ,...,2,1= independientes, entonces ya sabemos que 





∑∑
==
n
i
n
i
i PX
11
1~ , es decir )(~
1
nPX
n
i
i∑
=
 
Pero además por T.C.L. si n es grande ∑
=
n
i
iX
1
tiene aproximadamente distribución normal con pa-
rámetros nnn =×= 1µ y nnn =×= 12σ 
O sea la distribución de ∑
=
n
i
iX
1
 que es exactamente Poisson con parámetro n, se puede aproximar 
con una ),( nnN , por lo tanto )1,0(N
n
nX
≈
−
 aproximadamente para valores de n suficientemente 
grandes 
En los gráficos siguientes se muestra para diferentes valores de λ cómo aproxima la distribución 
) ,( λλN a la distribución )(λP 
 
Si )(~ λPX entonces para λ suficientemente grande 
λ
λ−X
 tiene aproximadamente distribu-
ción )1,0(N 
Parte 1 – Suma de variables aleatorias y 
 Teorema central del límite Prof. María B. Pintarelli 
 117 
20 40 60 80 100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
 5 10 15 20 25 30
0.05
0.1
0.15
0.2
 
 
Ejemplo: 
El número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier día hábil tiene una 
distribución de Poisson con parámetro λ = 50. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que: 
a) entre 35 y 70 infracciones se expidan en un día en particular? 
b) el número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días sea entre 225 y 275? 
 
Solución: 
Sea X: “número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier día hábil” 
Entonces )(~ λPX donde 50=λ 
Como 50=λ entonces )1,0(
50
50
N
X
≈
−
 (aproximadamente) 
a) la probabilidad pedida es 
 
( ) ( ) ( )
9805.0017.0997599.0
12132.28284.2
50
5035
50
5070
7035
=−=
=−Φ−Φ=




 −
Φ−




 −
Φ≈≤≤ XP
 
b) Sea Y: “número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días” 
 Entonces )(~ λPY donde 250550 =×=λ 
 La probabilidad pedida es 
 
( ) ( ) ( )
( ) 8859.0194295.0215811.12
5811.15811.1
250
250225
250
250275
275225
=−×=−Φ=
=−Φ−Φ=




 −
Φ−




−
Φ≈≤≤ YP
 
50=λ 
3=λ