Ecuaciones Diferenciales - Análisis I (2017)

Vista previa del material en texto

Análisis I (2017)Práctica 6: Ecuaciones Diferenciales 1
Práctica 6: Ecuaciones Diferenciales
Comentario general: Leer atentamente los enunciados y justificar debidamente todas las
respuestas.
Ejercicios Iniciales
Ej. 1: Demostrar que las siguientes funciones, dependientes de la constante
arbitraria C, satisfacen las ecuaciones diferenciales indicadas:
Funciones Ecuaciones diferenciales
1-a)
y = sin (x)− 1 + Ce− sin (x) dy
dx
+ y cos (x) =
1
2
sin (2x)
1-b)
y = Cx+ C − C2
(
dy
dx
)2
− dy
dx
− xdy
dx
+ y = 0
Ej. 2: Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales
y graficar algunas curvas representativas de las familias de soluciones:
2-a)
dy
dx
= −x
y
2-b)
dy
dx
=
y
x
2-c)
dy
dx
= 2
y
x
Ej. 3: Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales
de variables separables:
3-a)
dy
dx
= f(x)
3-b)
dy
dx
= xy
3-c)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
Ej. 4: Hallar las soluciones particulares de las siguientes ecuaciones diferen-
ciales que pasen por los puntos especificados:
4-a)
dy
dx
= −x
y
y(1) = 3
Análisis I (2017)- F́ısica Médica
Análisis I (2017)Práctica 6: Ecuaciones Diferenciales 2
4-b)
dy
dx
= −5y y(0) = 15
4-c)
dy
dx
= 3yx y(1) = −4
Ej. 5: Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones diferenciales
lineales:
5-a)
y′ − 2y
x+ 1
= (x+ 1)3
5-b)
y′ − ay
x
=
x+ 1
x
5-c)
y′ cos (x) + y sin (x) = 1
5-d)
y′ + y =
1
ex
5-e)
y′ − n
x
y = exxn
Ej. 6: Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones:
6-a)
y′′ + 9y = 0
6-b)
y′′ = 3y
6-c)
y′′ + ω2y = 0
6-d)
y′′ − ω2y = 0
6-e)
y′′ − y′ = 0
6-f)
y′′ − 4y′ + 4y = 0
6-g)
y′′ + 2y′ + 10y = 0
Análisis I (2017)- F́ısica Médica
Análisis I (2017)Práctica 6: Ecuaciones Diferenciales 3
Ejercicios Complementarios
Ej. 7: Hallar la solución general de las siguiente ecuación diferencial (suge-
rencia: dividir la ecuación por y3 y luego hacer la sustitución y−2 = u):
y′ + xy = x3y3 .
Ej. 8: Si a tiempo t tenemos una masa m(t) de material radiactivo, t́ıpica-
mente este se desintegrará de acuerdo a la ley del decaimiento radiactivo
dm
dt
= −km ,
donde la constante de desintegración k es caracteŕıstica del material del que se
trate. Hallar la solución general de esta ecuación. Mostrar que
∀t, ∃τ tal que m(t+ τ) = m(t)
2
.
A la constante τ se la conoce como vida media del elemento radioactivo.
Ej. 9: El Carbono 14 (utilizado para la datación de restos arqueológicos,
es decir para saber cuanto tiempo ha transcurrido desde la muerte de un dado
organismo) tiene una vida media de 5730 años. Si a tiempo t = 0 se tiene 1
gramo de Carbono 14, que cantidad se tendrá transcurridos 20 años?
Ej. 10: Se determinó que la fracción de Carbono 14 de un resto fósil es un
10 % de la que corresponde a un organismo vivo: cuanto hace que murió?
Ej. 11: De acuerdo a la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad con
que se enfŕıa un cuerpo (a temperatura T ) en un medio externo (a temperatura
Ta) es proporcional a la diferencia de temperaturas, es decir:
dT
dt
= −k(T − Ta) .
Hallar la solución general de esta ecuación.
Ej. 12: Se apaga una olla con agua en ebullición y a los 20 minutos su tem-
peratura es de 85◦. La temperatura ambiente es de 25◦. Cuanto tiempo debe
transcurrir para que la olla llegue a 40◦?
Ej. 13: Si se desplaza un resorte de su posición de equilibrio en una canti-
dad x, la fuerza elástica restitutiva está dada por F = −Kx (Ley de Hooke),
donde K es la constante elástica del resorte. Suponiendo que esta fuerza actúa
sobre una masa m, partiendo de la 2da Ley de Newton hallar la ecuación del
movimiento. Hallar la solución general de dicha ecuación. Como depende la fre-
cuencia de las oscilaciones con la constante K del resorte?
Análisis I (2017)- F́ısica Médica
Análisis I (2017)Práctica 6: Ecuaciones Diferenciales 4
Ej. 14: En el caso de oscilaciones de pequeña amplitud (ĺımite de pequeñas
oscilaciones), una gran cantidad de sistemas mecánicos pueden describirse con
una ecuación de la forma
d2s
dt2
+ ω2s = 0 ,
donde s es la amplitud de la oscilación y ω se denomina frecuencia angular de
la oscilación. El peŕıodo de la oscilación es τ = 2πω . Un ejemplo de sistema f́ısico
cuyo movimiento puede describirse en estos términos es el péndulo (siempre en
el caso de pequeñas amplitudes de oscilación), es decir una cierta masa suspen-
dida de un hilo inextensible impulsada por acción de la gravedad. El peŕıodo de
oscilación de tal péndulo está dado por τ =
√
l
g , siendo l la longitud del hilo y
g la aceleración de la gravedad g = 9, 81 ms2 . Si se aparta en 5 cm de su posición
de equilibrio un péndulo de 6 m de largo y se lo suelta, hallar la dependencia
temporal de la desviación s(t) medida desde la posición de equilibrio.
Ej. 15: Discutir el caso en que un péndulo (o resorte) es sometido a la acción
de una fuerza impulsora externa periódica, de tal manera que la ecuación del
movimiento resulta
d2s
dt2
+ ω2s = F0 sin (ω0t) .
Discutir el fenómeno de resonancia, que ocurre cuando ω ' ω0.
Ej. 16: Un objeto de masa m se deja caer desde una altura h. El roce con
el aire genera una fuerza de frenado que se puede considerar proporcional a la
velocidad, por lo que la ecuación del movimiento (en 1D) resulta
m
d2y
dt2
− γ dy
dt
+mg = 0 ,
donde y(t) representa la altura respecto del suelo a tiempo t, g es la aceleración
de la gravedad y γ un coeficiente de amortiguamiento. Hallar la solución a esta
ecuación en términos de los parámetros m y γ. Mostrar la existencia de una
velocidad ĺımite y discutir como ésta depende de los parámetros m y γ.
Ej. 17: En virtud de los resultados del Ej. 16, discutir las siguientes situacio-
nes (relacionadas a las famosas experiencias de Galileo lanzando objetos desde
lo alto de la Torre de Pisa...)
i) Dos esferas del mismo radio se sueltan a la vez desde una misma altura. Una
es de plomo y la otra de tergopol. Cual llega primero al suelo?
ii) Se repite la experiencia de i) pero esta vez la experiencia se hace dentro de
una campana en donde se ha practicado vacio. Cambia la respuesta?
Análisis I (2017)- F́ısica Médica