Estudo da Velocidade em Diferentes Contextos

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4. Derivadas.
“En la medida que las teorías matemáticas se refieran a la realidad perderán certeza;
y en la medida que adquieran certeza se alejarán de la realidad.”
Albert Einstein (1879 - 1955)
En el presente módulo nos dedicaremos a estudiar la velocidad: la velocidad a la que se
mueve un objeto, la velocidad de las reacciones químicas, la velocidad de crecimiento de un
cultivo bacteriano, la velocidad de propagación de una enfermedad, etc.
Los ejemplos anteriores son todos ejemplos que hacen referencia a situaciones donde la
variable independiente es el tiempo.
El movimiento de un objeto está representado por su posición que varía en función del
tiempo; la velocidad del objeto nos permite saber si el objeto se mueve rápido, despacio,
si avanza o retrocede.
En las reacciones químicas, se estudia la cantidad de sustancia que reacciona en función
del tiempo. Hay reacciones lentas que pueden durar años y otras muy rápidas que
suceden en una fracción de segundo.
La concentración de un medicamento en el cuerpo es variable en función del tiempo.
Los estudios farmacológicos y fisiológicos permiten estudiar cómo controlar la velocidad
a la que el cuerpo “absorbe” el medicamento.
En cuanto al crecimiento de un cultivo, de manera similar, se estudia el tamaño de un
cultivo como función del tiempo. El crecimiento de un cultivo generalmente se mide
según la densidad óptica o el área ocupada. Se estudian generalmente los factores que
influyen en la velocidad de crecimiento de las poblaciones; que pueden ser la temperatura
ambiente, el tipo de nutriente, la presencia de luz, etc.
Las velocidad de propagación de las enfermedades también se refiere al modo en que
una infección se expande en un territorio en función de tiempo medido en días, meses,
años, siglos, etc. En este contexto, las velocidades negativas representan procesos donde
la cantidad de infectados disminuye.
Sin embargo, las relaciones funcionales en los sistemas reales no siempre refieren exclusi-
vamente al tiempo como variable independiente. También se estudia la relación que existe
entre variables diversas y nos interesará comprender qué representa la velocidad en esos
contextos. Por ejemplo,
Figura 4.1: Temperatura en función de la
altura.
Figura 4.2: Erlenmeyer y vasos de precipi-
tado.
La temperatura ambiente cambia de forma diferente según la altura respecto al nivel del
mar en la que nos encontremos. Figura 4.1.
La actividad de una enzima en una reacción mejora cuando se varía la temperatura hasta
una cierta temperatura crítica a partir de la cual la variación de la temperatura empeora
la actividad de la enzima.
Al volcar un líquido en un recipiente, la altura del líquido varía según el volumen del
líquido que volcamos. En el caso de un vaso de precipitado la variación de la altura
se produce de manera constante; mientras que en un Erlenmeyer la altura del líquido
aumenta más rápido cuanto más lleno está. Ver Figura 4.2. La forma de los recipientes y elmodo
en que varía (su sensibilidad) la altu-
ra del líquido respecto a su volumen
juega un papel importante en la pro-
pagación de errores experimentales
en los trabajos de laboratorio.
4.1 Estudio de la velocidad.
4.1.1 Velocidad promedio.
Comenzaremos estudiando la velocidad con la que se mueve un objeto. Lo que nos interesa
es estudiar el cambio de su posición con respecto al tiempo. Por simplicidad y para usar un
ejemplo muy conocido que sirva de base para las futuras definiciones consideraremos un
automóvil que se mueve por una ruta. Esto quiere decir que nos enfocaremos en el movimiento
del auto en una única dirección: la dirección de la ruta. El auto no se mueve hacia los costados
ni hacia arriba ni hacia abajo; sólo nos interesa como avanza o retrocede.
2 Capítulo 4. Derivadas.
La descripción del movimiento unidimensinal se realizará de la siguiente manera:
Se elige un punto de referencia sobre la ruta que represente el valor de la posición 0.
Usualmente se decide ubicar el 0 en el lugar donde el auto inicia el recorrido.
Se elige un sentido de la ruta para que represente los valores positivos de la posición.
Se eligen unidades adecuadas para medir la distancia y el tiempo.
Con estas premisas se establece que la posición p del auto en el instante de tiempo t está
dada por la función
p(t) = ±la distancia (en unidades) a la ubicación del 0 en el instante t (en unidades)
C La presencia de ± en la expresión anterior se refiere a que la posición del auto se
considera positiva si el auto se encuentra del lado positivo elegido para la ruta y se
considera negativa si el auto se encuentra del lado contrario.
t (min) p (km)
0 0
1 0.35
2 1,2
3 9
4 9,2
5 9.35
6 13
7 18
8 16
9 13
Tabla 4.1: Posición del auto (en km) en
función del tiempo (en minutos).
Por ejemplo, en la Tabla 4.1 se representa la posición p del auto, en kilómetros, desde el
punto de partida y el tiempo t en minutos.
Actividad 4.1 Discutan con sus compañeros/as y con los docentes las siguientes proposicio-
nes. Decidan si son verdaderas o falsas. En todos los casos, expliquen sus respuestas.
a) La primera fila de la tabla representa la distancia cero y el tiempo cero.
b) Después de un minuto llegó a estar 0,35 km del punto de partida.
c) Luego, a los dos minutos ya se encontraba a 1,2 km del punto de partida.
d) Entre los minutos 3 y 5 el auto no avanzó.
e) Luego acelera para lograr a los 6 minutos estar a 13 km del punto de partida.
f ) Un minuto más tarde avanzó 5 km más.
g) A los 8 minutos, el auto retrocedió porque la distancia al punto de partida fue de 16
km.
h) El último dato que se tiene es que a los 9 minutos el auto se encuentra en la misma
posición que se encontraba a los 6 minutos de haber partido.
�
En la Figura 4.3 se representan los datos de la posición (en km) del auto sobre la ruta en
función del tiempo (en minutos).
0 2 4 6 8
0
5
10
15
t (minutos)
p
(k
m
)
Figura 4.3: La posición (en km) del auto sobre la ruta en función del tiempo (en minutos).
4.1 Estudio de la velocidad. 3
Calcularemos la velocidad promedio del auto entre cada par de instantes de la siguiente
manera:
Definición 4.1.1 — Velocidad promedio - Recta secante.
La velocidad promedio del auto entre dos instantes t1 y t2 (debemos considerar que
t1 y t2 son dos números distintos) es el cociente entre la variación de la posición y la
variación del tiempo
Vprom[t1, t2] =
p(t2) − p(t1)
t2 − t1
=
∆p
∆t︸︷︷︸
forma abreviada
(4.1)
El símbolo ∆ (letra griega Delta) simboliza la variación de la variable a la que acompaña.
La velocidad promedio es un valor numérico que coincide con la pendiente de la
recta que pasa por los puntos (t1, p(t1)) y (t2, p(t2)). Esa recta se denomina recta secante a
la gráfica de la función p en esos puntos.
Figura 4.4: La velocidad prome-
dio como la pendiente de la recta
que pasa por los puntos (t1, p(t1)) y
(t2, p(t2)).
t (min)
p(t) (km)
pendiente=
∆p
∆t
p(t1)
t1
p(t2)
t2
∆p = p(t2) − p(t1)
∆t = t2 − t1
∆t
C La variación promedio entre dos instantes tiene la unidad de medida correspondiente a
las que se eligieron para la posición y el tiempo. En nuestro caso corresponde.
Vprom[t1, t2] =
km
min
Actividad 4.2 Discutan las siguientes proposiciones (respecto a la Tabla 4.1). Decidan si
son verdaderas o falsas. En todos los casos, expliquen sus respuesta.
a) La velocidad promedio del auto fue menor entre los instantes 0 y 2 que entre los
instantes 3 y 5.
b) La mayor velocidad promedio entre los datos registrados es la Vprom[6, 7].
c) Todas las velocidades promedio registradas son positivas.
d) Entre los instantes 0 y 1 y entre los instantes 3 y 5 el auto recorrió la misma cantidad
de km. Por lo tanto, la
Vprom[0, 1] = Vprom[3, 5]
e) La Vprom[0, 9] se puede calcular como el promedio de las velocidades promedio
entre 0 y 1, entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc. hasta 8 y 9.
�
4 Capítulo 4. Derivadas.
4.1.2 Velocidad instantánea.
La velocidad promedio determina cómo varía la posición de un objeto entre dos instantes
de tiempo. En los movimientos unifomes, la velocidad promediodel objeto es la misma
para cualquier par de instantes que elijamos. En los movimientos no uniformes, la velocidad
promedio puede variar según el intervalo que tomemos.
Cuando decimos que la velocidad promedio entre los 6 y los 7 minutos es de 3,65 km/min
no tenemos información precisa sobre la velocidad del auto en los instantes intermedios.
Tenemos que recurrir al velocímetro interno del auto que nos indica con la aguja la velocidad
en cada instante variando la inclinación de la aguja cuando aceleramos o frenamos.
Consideremos ahora otro auto en las condiciones mencionadas previamente para la
descripción del movimiento unidimensional. También en este caso consideraremos que
p(0) = 0.
Pero en esta oportunidad, la posición p (en metros) del auto en cada instante t (en segundos)
está dada por la fórmula
p(t) = 3t2 para t ≥ 0
La gráfica de la función p se presenta en la Figura 4.5.
t (seg)
1 2 3
p (en metros)
10
20
30
0
Figura 4.5: Gráfica de la función posición
p(t) = 3t2.
Intervalo Vprom
[1, 3]
[1, 2]
[1, 1.5]
[1, 1.2]
Tabla 4.2: Varios valores para la variación
promedio de la función posición p(t).
Actividad 4.3
a) Calculen la Vprom[1, 3].
b) Para un valor t > 1, redondeen la expresion correcta de Vprom[1, t]
3t2 − 3
3t2 − 3
t − 1
3t2
t
c) Usen la fórmula señalada anteriormente para confirmar el valor de Vprom[1, 3].
d) Completen la Tabla 4.2 y grafiquen las rectas secantes correspondientes en la
Figura 4.5.
e) ¿Cuál de los valores: 12 m/s o 6.6 m/s es una mejor aproximación de la velocidad
que marca el velocímetro del auto en t = 1 segundo? Explicar la respuesta.
f ) ¿Se obtiene un resultado mejor si se calcula Vprom[1, 1.1]?
g) Elijan un valor de t que mejor la precisión.
h) ¿La respuesta del item g) es la mejor de todas las aproximaciones? ¿Se puede
mejorar? Si la respuesta es sí, expliquen cómo correspondería realizar esa mejora. Si
la respuesta es no, explicar el razonamiento.
i) ¿Cuál es el valor de Vprom[1, t] en el caso que t = 1 segundo?
j) ¿Cuál es el valor que consideran que representa la velocidad instantánea del auto
en el instante t = 1 segundo?
�
4.2 Rectas secantes y recta tangente. 5
4.2 Rectas secantes y recta tangente.
Como mencionamos previamente el valor
Vprom[1, t] =
∆p
∆t
representa la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función p que pasa por los puntos
(1, p(1)) (t, p(t))
En la Figura 4.6 se representan las rectas secantes asociadas a los puntos de la Tabla 4.2.
t (seg)
11.11.2 1.5 2 3
p (m)
10
20
30
0
(2, p(2))
(1.5, p(1.5))
(3, p(3))
(1, p(1))
Valores de t que se aproximan a 1.
Figura 4.6: Gráfica de la función posición p(t) = 3t2 y varias rectas secantes asociadas a los
puntos de la Tabla 4.2.
Intervalo Vprom
[1, 3] 12
[1, 2] 9
[1, 1.5] 7.5
[1, 1.2] 6.6
[1, 1.1] 6.3
[1, 1.01] 6.03
[1, 1.001] 6.003
[1, 1.0001] 6.0003
Tabla 4.3: Varios valores para la variación
promedio de la función posición p(t).
Definición 4.2.1 — Recta tangente - velocidad en un instante. Se denomina recta tangente
en el punto (1, p(1)) a la gráfica de una función p a la recta que pasa precisamente por el
punto (1, p(1)) y cuya pendiente coincide con el valor de la velocidad en el instante t = 1.
Vprom[1, t]︸ ︷︷ ︸
Pendiente de la recta secante para
los puntos (1, p(1)) y (t, p(t)).
 6︸︷︷︸
Pendiente de la recta tangente en el
punto (1, p(1)).
La definición requiere determinar el valor de la pendiente de la recta tangente mediante
un proceso de aproximación usando las pendientes de las rectas secantes.
6 Capítulo 4. Derivadas.
t (seg)
1 3
p (en metros)
10
20
30
0
∆p
∆t t (seg)
1 2
p (en metros)
10
20
30
0
∆p
∆t t (seg)
1 1.5
p (en metros)
10
20
30
0
∆p
∆t
t (seg)
11.2
p (en metros)
10
20
30
0
∆p
∆t t (seg)
11.1
p (en metros)
10
20
30
0
∆p
∆t t (seg)
11.01
p (en metros)
10
20
30
0
∆p
∆t
Figura 4.7: Recurso Geogebra.
En el siguiente link pueden trabajar con un recurso simple que visualiza cómo
determinar la velocidad instantánea del auto en el instante t = 1 aproximando el
valor por las correspondientes velocidades promedio.
https://ggbm.at/R7maabHt
Al mover el punto magenta podemos dinamizar el proceso de aproximación al punto
(1, p(1)) que nos permite ir calculando los valores de las pendientes de las rectas
secantes
∆p
∆t
[1, t]
para poder determinar el valor de la pendiente de la recta tangente.
En la Figura 4.8 se presenta otras tres gráficas de funciones con situación similar de recta
tangente en un punto de su gráfica. En el caso del gráfico C la recta graficada no es la recta
tangente.
Figura 4.8: Tres casos que aceptan recta tangente en el punto (2, 4) perteciente a la gráfica.
https://ggbm.at/R7maabHt
4.2 Rectas secantes y recta tangente. 7
En la Figura 4.9 vemos tres situaciones en donde no hay recta tangente en el punto (3, 2)
(perteneciente a la gráfica de la función). Las situaciones A y B seguramente no presenten
dudas a los lectores pero la última (situación C) suele llevar a muchas discusiones.
Figura 4.9: En ninguna de estas situaciones la curva posee recta tangente en el punto (3, 2).
Actividad 4.4 ¿Qué argumento pueden dar para explicar por qué no hay recta tangente en el
punto (3, 2) en ninguno de los casos de la Figura 4.9?
�
4.2.1 Recta tangente.
En esta sección generalizaremos las nociones anteriores para el caso de funciones numéricas
de la forma y = f (x).
Definición 4.2.2 — Recta tangente al gráfico de una función. Supongamos que el dominio de
la función f contiene un intervalo abierto que contiene al número a.
Supongamos además que existe un número ma tal que para puntos b , a en el intervalo,
cuando b se aproxima a a entonces
f (b) − f (a)
b − a
se aproxima a ma .
Entonces ma es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a, f (a)).
El gráfico de y = ma (x − a) + f (a) es la recta tangente a la gráfica de f en (a, f (a)).
Usaremos la notación de lı́m de la siguiente forma
cuando b −→ a entonces
f (b) − f (a)
b − a
−→ ma .
Se escribe de manera compacta
lı́m
b→a
f (b) − f (a)
b − a
= ma
8 Capítulo 4. Derivadas.
Figura 4.10: Recta tangente en el
punto (a, f (a)) a la gráfica de la fun-
ción f .
x
f Recta tangente
y = ma(x − a) + f (a)
a
f (a)
(a, f (a))
C La frase
cuando b se aproxima a a entonces
f (b) − f (a)
b − a
se aproxima a ma .
permite conectar la geometría y el cálculo asociado al problema de determinar la
velocidad instantánea de un móvil. Por ahora la usaremos como idea intuitiva; en
ocasiones diremos “está cerca de” en vez de “se aproxima a” pero estaremos refiriendo
a lo mismo.
� Ejemplo 4.1 Consideremos la función f (x) = x2 y el punto (1, f (1)) perteneciente a su
gráfica. Para hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1, 1)
debemos encontrar el valor de ma (la pendiente) para escribir la ecuación
y = ma (x − 1) + f (1).
Comenzamos calculando la pendiente de una recta secante que pase por el punto
(1, f (1)) y por un punto de la forma (x, f (x)) con x , 1
Vprom[1, x] =
∆ f
∆x
[1, x] =
f (x) − f (1)
x − 1
=
x2 − 1
x − 1
=
(x − 1)(x + 1)
x − 1
=
= x + 1 ¿Se aproxima a algún valor cuandox se aproxima a 1?
Por lo tanto,
ma = lı́m
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lı́m
x→1
x + 1 = 2
La pendiente de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1) es 2, por lo
que la ecuación de la recta tangente es y = 2(x − 1) + 1.
�
Actividad 4.5 Realicen la gráfica de la parábola y = x2 y la recta tangente en el punto (1, 1).
�
4.2 Rectas secantes y recta tangente. 9
Actividad 4.6 Para dar un poco de sentido a la expresión “aproximar” respondan las
siguientes preguntas usando la intuición sobre los valores que se piden.
a) Cuando b se aproxima a 4, ¿a qué número se aproxima 3b?
b) Cuando b está cerca de 5, ¿de qué número está cerca b3?
c) Cuando b está cerca de 5, ¿de qué número está cerca 3b + b3?
d) Cuando b se acerca a 0, ¿a qué número se acerca
b2
b
?
e) Cuando b está cerca de 3, ¿a qué número se aproxima
2
b
?
Nota: La respuesta no es0.66 ni 0.67.
�
¿Cómo respondieron a la pregunta del inciso c)? Una opción habrá sido quizás tomar
valores de b aproximados a 5 y cada vez más cercanos, para luego calcular 3b+b3. Por ejemplo:
si consideramos 4.99 entonces 3 4.99 + 4.993 = 139.22. Si tomamos 4.99999 (más cercano
a 5 que el anterior) entonces 3 4.99999 + 4.999993 = 139.99922. Es razonable pensar que
3b+ b3 se acerca a 140 si b se acerca a 5. En esta caso también es posible evaluar directamente
la expresión 3b + b3 por b = 5 y obtener 3 5 + 53 = 140.
2
.25
0
(2, 14 )
(x, 1
x2
)
Figura 4.11: Gráfica de la función f (x) =
1
x2
y la recta secante que pasa por los puntos(
2, 14
)
y
(
x, 1
x2
)
.
� Ejemplo 4.2 Determinaremos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
f (x) =
1
x2
(
2, 14
)
.
La Figura 4.11 presenta una parte (la correspondiente al cuadrante I) de la gráfica
de la función y la recta secante que pasa por los puntos
(
2, 14
)
y
(
x, 1
x2
)
para un x , 2.
Para determinar la pendiente de la recta secante escribimos
∆ f
∆x
[2, x] =
f (x) − f (2)
x − 2
=
1
x2
− 14
x − 2
=
4−x2
4x2
x − 2
=
4 − x2
4x2(x − 2)
=
(2 − x)(2 + x)
4x2(x − 2)
=
−1︷ ︸︸ ︷
���(2 − x)(2 + x)
4x2���(x − 2)︸ ︷︷ ︸
1
=
−(2 + x)
4x2
Entonces lı́m
x→2
∆ f
∆x
[2, x] =
−(2 + 2)
4 22
= −
1
4
.
La ecuación de la recta que estamos buscando es y = − 14 (x − 2) +
1
4 . �
Actividad 4.7 En los siguientes casos, determinen la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función f en el punto indicado. Realicen las gráficas de las funciones y las
rectas tangentes.
a) f (x) =
1
x
en el punto (1, 1). b) f (x) =
1
x
para x = −1.
c) f (x) =
2x − 4
x − 1
para x = 2. d) f (x) =
√
x en el punto (4, 2)
�
10 Capítulo 4. Derivadas.
4.3 Límites.
Nos proponemos trabajar con la frase que utilizamos en la sección anterior para definir la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (a, f (a)) como un límite.
Recordemos que tomamos un valor de b , a y escribimos:
cuando b se aproxima a a entonces
f (b) − f (a)
b − a
se aproxima a ma .
Que de manera compacta resulta
lı́m
b→a
f (b) − f (a)
b − a
= ma
Actividad 4.8 Discutan en el grupo con sus compañeros/as y con los docentes las siguientes
preguntas relacionadas con la expresión b→ a.
a) ¿Quién se aproxima a quién? ¿Quién se mueve y quién se queda quieto?
b) ¿Por que se debe considerar que b , a?
c) ¿Es importante que b > a? ¿Puede ser b < a?
�
La expresión b→ a expresa un proceso dinámico, de movimiento. No es estático. No es
evaluar f (2.1) y listo. Es considerar a la variable b como un número que se mueve hacia a,
aproximándose.
2b −→ ←− b
Sin embargo, vamos a tener que diferenciar lo siguiente:
Definición 4.3.1 — Límite b→ a b→ a+ b→ a−.
Decimos que la variable b tiende a a cuando podemos asegurar que la distancia entre b y
a puede hacerse tan pequeña como uno quiera. No hacemos diferencia aquí si b es más
grande o más chico que a.
Escribiremos b −→ a. También se dice que a es el límite de b.
Diremos que la variable b tiende por derecha a a cuando sabemos que b −→ a pero
además b es siempre mayor a a.
Escribiremos b −→ a+. También se dice que a es el límite por derecha de b.
Diremos que la variable b tiende por izquierda a a cuando sabemos que b −→ a pero
además b es siempre menor a a.
Escribiremos b −→ a−. También se dice que a es el límite por izquierda de b.
a
b<a︷ ︸︸ ︷
b −→ a−
b>a︷ ︸︸ ︷
a+ ←− b
C En las notaciones en las que usamos la flecha −→ hay que destacar/remarcar que
b︸︷︷︸
Se mueve
−→ a︸︷︷︸
Está quieto
4.3 Límites. 11
C La palabra límite tiene muchos significados en nuestro idioma castellano. En general
asociamos la palabra límite con las ideas de: frontera, límite geográfico, poner límites,
poner un tope, velocidad límite como velocidad máxima. Sin embargo, cuando decimos
“a es el límite de b” no estamos haciendo referencia a ninguno de los casos anteriores: a
no es la frontera de b, a no es el tope de b, etc.
En sentido matemático, el significado de la palabra límite está asociado más a la idea de
objetivo o a dónde queremos llegar.“Queremos que b llegue a a". “Nuestro objetivo
es que b alcance a a”.
Tendremos que acostumbranos a este nuevo significado de la palabra; que a menudo, si
no estamos atentos o atentas, causará confusión.
Definimos entonces el límite de una función numérica f para x → a.
x
c da
y
L
y = f (x)
x → a a← x
f
(x
)
→
L
f
(x
)
→
L
Figura 4.12: Esquema para representar que
f (x) → L cuando x → a.
Definición 4.3.2 — Límite de f (x) cuando x −→ a.
Dada una función f definida, al menos, en (c, d) − {a} decimos
lı́m
x→a
f (x) = L
si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de x
están suficientemente cerca de a.
Ver Figura 4.12.
En forma similar se definen los límites laterales:
x
da
y
L
y = f (x)
a+ ← x
Figura 4.13: Esquema para representar que
f (x) → L cuando x → a+ (por derecha).
x
c a
y
L
y = f (x)
x → a−
Figura 4.14: Esquema para representar que
f (x) → L cuando x → a− (por izquierda).
Definición 4.3.3 — Límite lateral por derecha de f (x) cuando x −→ a.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (a, d) decimos
lı́m
x→a+
f (x) = lı́m
x→a
x>a
f (x) = L
si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de x
están suficientemente cerca de a con la condición que x > a (los x están a la derecha de a).
Ver Figura 4.13.
Definición 4.3.4 — Límite lateral por izquierda de f (x) cuando x −→ a.
Dada una función f definida, al menos, en un intervalo (c, a) decimos
lı́m
x→a−
f (x) = lı́m
x→a
x<a
f (x) = L
si los valores f (x) están tan cerca como se quiera del valor L , siempre que los valores de x
están suficientemente cerca de a con la condición que x < a (los x están a la izquierda
de a).
Ver Figura 4.14.
El límite de una función f puede NO existir cuando x → a por varios motivos. El Teorema
4.3.1 establece un primer resultado teórico para determinar la existencia o no del límite de una
función.
Teorema 4.3.1 Dada una función f definida, al menos, en (c, d) − {a} entonces son equiva-
lentes las siguientes afirmaciones
Existe el límite lı́m
x→a
f (x) y es igual al valor L.
Existen ambos límites laterales lı́m
x→a+
f (x) y lı́m
x→a−
f (x) y son iguales al valor L.
12 Capítulo 4. Derivadas.
Nos parecemás importante que incorporen las nociones de límites, antes que las definiciones.
Es necesario que construyan su propia intuición acerca del manejo de límites, y luego logren
asociar esa intuición con las definiciones formales.
4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones.
En ocasiones es útil reconocer que una función está formada de varias partes o componentes.
Identificar, por ejemplo, a una función como la suma, diferencia, producto o cociente de
dos funciones puede ser relativamente simple y en ocasiones, el tratamiento de cada una de
estas partes por separado contribuye a la simplificación del análisis de interés. Por ejemplo,
investigadores que monitorean la producción anual de granos en cierta región del país,
descomponen la producción en el producto entre la cantidad de hectáreas plantadas y el
rendimiento por hectárea.
Producción total de maíz = Hectáreas plantadas con maíz × Rendimiento por hectárea
Los factores que influyen en la cantidad de hectáreas plantadas (programas gubernamentales,
precio proyectado del maíz, entre otros) son cualitativamente diferentes de los factores que
influyen en el rendimiento por hectárea (genética del maíz, prácticas de labranza y clima).
4.4.1 Combinaciones aritméticas de funciones o álgebra de funciones.
Dos funciones f y g pueden combinarse para construir nuevas funciones,
f + g f − g f g
f
g
,
de manera similar a la que sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números reales.
Definición 4.4.1 — Álgebra de funciones.
Dadas dos funciones f (x) y g(x), con Dom( f ) = A y Dom(g) = B, se define
( f + g)(x) = f (x) + g(x) ( f − g)(x) = f (x) − g(x).
Para que estas funcionesestén bien definidas, x debe estar tanto en el dominio de f
como en el dominio de g, es decir, Dom( f + g) = Dom( f − g) = A ∩ B.
Análogamente se define,
( f g)(x) = f (x)g(x)
(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
.
En el primer caso se tiene que Dom( f g) = A ∩ B, pero como no podemos dividir por
0, Dom
(
f
g
)
= {x ∈ A ∩ B : g(x) , 0}.
� Ejemplo 4.3 Si f (x) =
√
x − 2 y g(x) = x2 + 1 entonces
( f + g)(x) =
√
x − 2 + x2 + 1
Con Dom( f + g) =
Dom( f )︷ ︸︸ ︷
[2,+∞)∩ (−∞,+∞)︸ ︷︷ ︸
Dom(g)
= [2,+∞).
�
4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. 13
� Ejemplo 4.4 Si f (x) = x3 y g(x) = x − 3 entonces
( f g)(x) = x3(x − 3) y
(
f
g
)
(x) =
x3
x − 3
.
Con Dom( f g) = R ∩ R = R.
Y Dom
(
f
g
)
= R − {3} Porque g se anula en x = 3.
�
Actividad 4.9 Calculen, en cada caso, las funciones f + g, f − g, f g y f /g. Establezcan
sus dominios.
a) f (x) = x3 + 2x2 y g(x) = 3x2 − 1 b) f (x) =
√
3 − x y g(x) =
√
x2 − 1
�
4.4.2 Propiedades algebraicas de los límites.
A continuación presentaremos algunas propiedades de límites que usaremos en numerosas
ocasiones a lo largo del curso.
Las propiedades algebraicas se dicen
verbalmente como sigue:
El límite de la suma es la su-
ma de los límites.
El límite de la diferencia es
la diferencia de los límites.
El límite de una constante por
una función es la constante
por el límite de la función.
El límite de un producto es el
producto de los límites.
El límite de un cociente es el
cociente de los límites (siem-
pre que el límite del denomi-
nador no sea cero).
Propiedad 4.4.1 — Propiedades algebraicas de los límites.
Sean f y g dos funciones. Supongamos que c es una constante y que existen los límites
lı́m
x→a
f (x) lı́m
x→a
g(x)
Entonces
a) lı́m
x→a
[ f (x) + g(x)] = lı́m
x→a
f (x) + lı́m
x→a
g(x)
b) lı́m
x→a
[ f (x) − g(x)] = lı́m
x→a
f (x) − lı́m
x→a
g(x)
c) lı́m
x→a
[c f (x)] = c lı́m
x→a
f (x)
d) lı́m
x→a
[ f (x)g(x)] = lı́m
x→a
f (x) . lı́m
x→a
g(x)
e) Si lı́m
x→a
g(x) , 0 entonces lı́m
x→a
f (x)
g(x)
=
lı́mx→a f (x)
lı́mx→a g(x)
.
� Ejemplo 4.5 Si lı́m
x→3
f (x) = 2 y lı́m
x→3
g(x) = −3, se tiene que
lı́m
x→3
[ f (x) + g(x)] = lı́m
x→3
f (x) + lı́m
x→3
g(x) = 2 + (−3) = −1
lı́m
x→3
[ f (x)g(x)] = lı́m
x→3
f (x). lı́m
x→3
g(x) = 2.(−3) = −6
lı́m
x→3
f (x)
g(x)
=
lı́mx→3 f (x)
lı́mx→3 g(x)
=
2
−3
porque lı́m
x→3
g(x) , 0.
�
Figura 4.15: Gráfica de las funciones
f y g.
Actividad 4.10 Usando las propiedades de límites y los gráficos de las funciones f y g que
se encuentran en la Figura 4.15, calculen los siguientes límites (si es que existen).
a) lı́m
x→−2
[ f (x) + 5g(x)] b) lı́m
x→1
[ f (x)g(x)] c) lı́m
x→2
f (x)
g(x) + 1
�
14 Capítulo 4. Derivadas.
Si usamos la propiedad del producto repetidas veces se tiene la siguiente propiedad.
Propiedad 4.4.2 Para n un número entero positivo. Si existe lı́m
x→a
f (x) entonces
lı́m
x→a
[ f (x)]n =
[
lı́m
x→a
f (x)
]n
Otra propiedad, similar a la anterior, pero relacionada con las raíces es
Propiedad 4.4.3 Para n un número entero positivo. Si existe lı́m
x→a
f (x) entonces
lı́m
x→a
n
√
f (x) = n
√
lı́m
x→a
f (x)
En el caso que n sea par se necesita agregar las condidiones adicionales para que las
operaciones estén definidas. Debe ser f (x) ≥ 0 y lı́m
x→a
f (x) ≥ 0.
Por último, dos límites especiales
Propiedad 4.4.4
lı́m
x→a
c = c lı́m
x→a
x = a
Los límites de la proposición anterior resultan muy sencillos de analizar desde el punto de
vista intuitivo y usando el desarrollo del inicio de la sección. Pueden decirse en palabras o
realizar las gráficas de las funciones y = c e y = x.
� Ejemplo 4.6 Calculemos el lı́m
x→5
(2x2 − 3x + 4).
Desarrollamos aplicando las propiedades de la suma, resta potencias y multiplicación
por una constante dado que todos los límites involucrados existen según la Propiedad
4.4.4.
lı́m
x→5
(2x2 − 3x + 4) = lı́m
x→5
2x2 − lı́m
x→5
3x + lı́m
x→5
4
= 2 lı́m
x→5
x2 + 3 lı́m
x→5
x + lı́m
x→5
4 = 2 (5)2 + 3 (5) + 4 = 69.
�
� Ejemplo 4.7 Calculamos el lı́m
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5 − 3x
.
Dado que se trata de un cociente, y viendo que lı́m
x→−2
5 − 3x = 11 es distinto de 0
podemos usar la propiedad del cociente; y posteriormente las propiedades de suma,
resta, muliplicación por una constante y las potencias.
lı́m
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5 − 3x
=
lı́mx→−2(x3 + 2x2 − 1)
lı́mx→−2 5 − 3x
=
lı́mx→−2 x3 + lı́mx→−2 2x2 − lı́mx→−2 1
11
=
(−2)3 + 2 lı́mx→−2 x2 − lı́mx→−2 1)
11
=
−8 + 2(−2)2 − 1
11
= −
1
11
�
4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones. 15
� Ejemplo 4.8 Calculemos el lı́m
x→0
4
√
x2 + 4.
En este caso usaremos primero la Propiedad 4.4.3 correspondiente a las raíces dado
que x2 + 4 ≥ 0 y lı́m
x→0
x2 + 4 = lı́m
x→0
x2 + lı́m
x→0
4 = 4 ≥ 0.
lı́m
x→0
4
√
x2 + 4 = 4
√
lı́m
x→0
(x2 + 4) = 4
√
4
�
Actividad 4.11 Calculen los valores indicados según la información de la gráfica. Den una
explicación en los casos que no existan.
a) f (−1) b) lı́m
x→−1+
f (x) c) lı́m
x→−1−
f (x) d) lı́m
x→−1
f (x)
e) f (2) f ) lı́m
x→2
f (x) g) f (4) h) lı́m
x→4
f (x)
i) f (6) j) lı́m
x→6
f (x) k) f (7) l) lı́m
x→7+
f (x)
m) lı́m
x→7−
f (x) n) lı́m
x→7
f (x)
�
Actividad 4.12 A partir de la información suministrada en cada inciso calculen los límites
solicitados indicando las propiedades utilizadas.
a) Si lı́m
x→4
f (x) = −1 y lı́m
x→4
g(x) = 5, calculen lı́m
x→4
(
f (x) −
2
5
g(x)
)
.
b) Si lı́m
x→a
f (x) = 5 y lı́m
x→a
g(x) = −2, calculen lı́m
x→a
f (x)g(x) − 2
f (x) − g(x)
.
�
Propiedad 4.4.5 — Funciones polinomiales y funciones racionales. Si f es una función poli-
nomial o una función racional y a pertenece al dominio de f , entonces
lı́m
x→a
f (x) = f (a) (4.2)
16 Capítulo 4. Derivadas.
� Ejemplo 4.9 Podemos calcular
lı́m
x→1
(x3 − 3x + 2) = 13 − 3.1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0
lı́m
x→8
x − 3
x
=
8 − 3
8
=
5
8
dado que 8 pertenece al dominio de
x − 3
x
�
Por último, como ya hemos ejercitado en el Ejemplo 4.1 en el que trabajamos con la
función f (x) =
x2 − 1
x − 1
vemos que
lı́m
x→1
x2 − 1
x − 1
= lı́m
x→1
(x − 1)(x + 1)
x − 1
= lı́m
x→1
(x + 1) = 1 + 1 = 2.
Es decir, pudimos calcular el valor del límite usando una función más simple, g(x) = x + 1.
Esto es válido porque f (x) = g(x) para todo x , 1. Y para calcular el límite x −→ 1 no se
debe considerar x = 1. En general, tenemos el siguiente resultado:
Propiedad 4.4.6 Si f (x) = g(x) para x , a, entonces
lı́m
x→a
f (x) = lı́m
x→a
g(x), siempre que alguno de los dos límites exista.
� Ejemplo 4.10 Calculemos el lı́m
x→1
g(x) para g(x) =

x + 1 si x , 1
π si x = 1
.
Aquí vemos que g está definida en x = 1 y g(1) = π, pero el valor del límite cuando
x tiende a 1 se deben calcular con g(x) = x + 1 porque se considera x , 1,
lı́m
x→1
g(x) = lı́m
x→1
(x + 1) = 2.
�
� Ejemplo 4.11 Calculemos ahora lı́m
h→0
(3 + h)2 − 9
h
.
Si definimos f (h) =
(3 + h)2 − 9
h
no podemos calcular el lı́m
h→0
f (h) evaluando f (0)
porque la función no está definida en h = 0. Pero si trabajamos algebraicamente la
función, llegamos a que
f (h) =
(3 + h)2 − 9
h
=
9 + 6h + h2 − 9
h
=
6h + h2
h
=
h(6 + h)
h
= 6 + h,
si h , 0. (Recordemos que sólo consideramos h , 0 cuando h tiende a 0). Luego
lı́m
h→0
(3 + h)2 − 9
h
= lı́m
h→0
(6 + h) = 6.
�
Actividad 4.13 Trabajando algebraicamente, calculen los siguientes límites aplicando la
Propiedad 4.4.6.
a) lı́m
x→2
(x + 1)
x2 + x − 6
x2 − 4
b) lı́m
x→3
x3 − 27
x − 3
c) lı́m
x→1+
x − 1
√
x − 1
d) lı́m
y→−1
√
y2 + 8 − 3
y + 1
�
4.5 La derivada como un límite. 17
4.5 La derivada como un límite.
Usando la definición de límite podemos recordar la definición de pendiente de la recta
tangente a la gráfica de una función y de velocidad instantánea de una función de la siguiente
manera:
Definición 4.5.1 — Cociente incremental. Dada una función f definida en un intervalo
abierto (c, d). Dados a y x en (c, d), dos números reales distintos dentro del intervalo, se
denomina cociente incremental de f en el intervalo [a, x] al cociente
f (x) −f (a)
x − a
=
∆ f
∆x
= Vprom[a, x] (4.3)
El cociente incremental de f en el intervalo [a, x] representa la velocidad promedio
de f en el intervalo [a, x] o la pendiente de la recta secante entre los puntos de abscisa a
y x. También se denomina variación promedio de f en el intervalo [a, x].
Definición 4.5.2 — Pendiente de la recta tangente - Velocidad instántea. Dada una función f
definida en un intervalo abierto (c, d). Dado a ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo,
se define la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) como el
número real ma (en el caso que exista) determinado por el valor del siguiente límite
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= lı́m
x→a
∆ f
∆x
= lı́m
x→a
Vprom[a, x] = ma (4.4)
El número ma determina también la variación instantánea de la función f en x = a.
Para determinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2
en el punto (a, f (a)) = (a, a2 + 2) calculamos
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= lı́m
x→a
(x2 + 2) − (a2 + 2)
x − a
= lı́m
x→a
x2 − a2
x − a
= lı́m
x→a
(x − a)(x + a)
x − a
= lı́m
x→a
(x + a) = a + a = 2a (4.5)
a ma = 2a
1 2
0 0
-1 -2
2 4
...
...
Tabla 4.4: Valores de ma.
Por lo tanto ma = 2a. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) es
y = ma(x − a) + f (a)
y = 2a(x − a) + a2 + 2
En particular, si consideramos a = 1, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en
el punto (1, 3) es
y = 2(x − 1) + 3⇐⇒ y = 2x + 1
.
Podemos calcular distintos valores de ma como se muestra en la Tabla 4.4 y obtener las
ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos correspondientes como sigue:
a = 1 −→ m1 = 2 −→ y = 2(x − 1) + 3⇔ y = 2x + 1
a = 0 −→ m0 = 0 −→ y = 0(x − 0) + 2⇔ y = 2
a = −1 −→ m−1 = −2 −→ y = −2(x + 1) + 3⇔ y = −2x + 1
a = 2 −→ m2 = 4 −→ y = 4(x − 2) + 6⇔ y = 4x + 2

Ecuaciones de las rectas tangente a la
gráfica de f en los puntos (a, f (a)).
18 Capítulo 4. Derivadas.
En la Figura 4.16 se representan las cuatro rectas tangentes calculadas previamente.
x
y
f (x) = x2 + 2
y = 2x + 1
y = 2
y = −2x + 1
y = 4x + 2
Figura 4.16: Recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 en el punto (a, a2) para
a = −1, 0, 1 y 2.
Tengan presente que siempre se
cumple que
Dom( f ′) ⊆ Dom( f )
O sea, en cualquier caso, el dominio
de la función derivada es un
subconjunto del dominio de la
función. No puede ser más grande.
Definición 4.5.3 — Función derivada. Dada f una función cuyo dominio es algún intervalo
abierto (c, d). Se define como derivada de f a la función definida por la regla
a 7−→ ma
Existen varias formas de escribir a la función derivada. En este curso usaremos las
siguientes notaciones
f ′ =
df
dx
f ′(a) =
df
dx
(a) = ma
Si la variable independiente se denota por la letra x entonces se dice que es la derivada
de f respecto a x.
En este caso el dominio de la función f ′ está formado por todos los valores en el
dominio de f para los cuales existe el límite del cociente incremental 4.3.
Si la función f admite derivada en x0 se dice que f es una función derivable en x0.
En el caso de f (x) = x2 + 2 hemos calculado previamente en 4.5 que ma = 2a por lo tanto
f ′(a) = 2a.
El Dom( f ) y el Dom( f ′) son ambos iguales a R (el límite del cociente incremental existe
para cualquier valor de a).
C Hacemos algunos comentarios respecto a la notación que se usa y usaremos con las
derivadas.
Por un lado, en la notación
df
dx
la variable que figura en el denominador hace referencia
a la variable independiente de la función cuyo nombre está en el numerador.
df
dx
=
variable dependiente
variable independiente
4.5 La derivada como un límite. 19
Actividad 4.14 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionan
mediante la ecuación
P =
1 × 0.082 × 26
V
donde P se mide en atmósferas y V en litros.
a) Encuentren la derivada de P respecto a V .
b) ¿Cuánto vale P′(1)?
�
4.5.1 Sobre las unidades de f ′.
En general se tiene que si
lı́m
x→a
f (x) = L
entonces las unidades de L son las mismas que las de f (x).
Por lo tanto, las unidades de f ′ serán las mismas que tiene el cociente incremental al
cociente incremental
∆ f
∆x
=
unidades de f
unidades de x
.
Si f (t) es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos entonces las unidades de
f ′(t) (la velocidad) serán metros/segundo.
Si f (x) es la presión en atmósferas (atm) y x es la altitud en km entonces las unidades
de f ′(x) (usualmente llamado gradiente de presión) serán atm/km.
Si f (t) es el tamaño de una población en individuos y t es el tiempo en años entonces
las unidades de f ′(t) (tasa de crecimiento) serán individuos/año.
4.5.2 Definición equivalente para f ′(a).
La noción de derivada está asociada al valor del límite de las velocidades promedio
calculadas en el intervalo [a, x]. Usando la notación de ∆ f y ∆x los siguientes cocientes
incrementales son equivalentes considerando que ∆x = x − a.
eje x
a x
←−
∆x = x − a
eje x
ax
−→
∆x = x − a
f (x) − f (a)
x − a
=
f (a + ∆x) − f (a)
∆x
. (4.6)
De modo que la derivada, en el caso de que exista, queda determinada por
df
dx
(a) = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= lı́m
∆x→0
f (a + ∆x) − f (a)
∆x
La equivalencia x → a ⇐⇒ ∆x → 0 es
esencial en este desarrollo. Decir que x tiende
a a es equivalente a decir que la diferencia
x − a tiende a 0.
Donde hemos considerado la equivalencia: x → a⇐⇒ ∆x → 0.
20 Capítulo 4. Derivadas.
Actividad 4.15 Usando la expresión
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).
a) f (x) = 4x3 b) f (x) = 7x − 3 c) f (x) = 5 d) f (x) =
1
x2
�
Para resolver las Actividades 4.15 y
4.16 pueden ser útiles las siguientes
igualdades algebraicas
b2 − a2 = (b − a)(b + a)
b3 − a3 = (b − a)
(
b2 + ab + a2
)
b4−a4 = (b−a)
(
b3 + b2a + ba2 + a3
)
¿Cómo es la expresión equivalente
para (bn − an)?
Actividad 4.16 Usando la expresión
lı́m
∆x→0
f (a + ∆x) − f (a)
∆x
calculen f ′(a) para los valores de a ∈ Dom( f ).
a) f (x) = 1 − 5x b) f (x) =
1
x
c) f (x) = πx4 d) f (x) = π2
�
4.6 La función derivada.
El estudio de las funciones que intervienen en los modelos matemáticos se apoya muchas
veces, y en primera instancia, en construcciones gráficas. Ingenuamente, en ocasiones,
realizamos construcciones con tablas de valores con 5 o 6 datos (10 datos quizás) conectando
los puntos con una curva suave. Otra veces, mediante softwares graficadores podemos realizar
construcciones gráficas extremádamente sofisticadas. Sin embargo, estas dos metodologías
pueden ser insatisfactorias en algunas situaciones; por varias razones.
• Primero, ¿cómo sabemos que la unión de algunos puntos en un gráfico nos producirá la
forma real de la curva?
• En segundo lugar, ¿cómo podemos saber dónde están las características relevantes del
gráfico?
• Y tercero, ¿cómo podemos estar seguros de que no nos hemos perdido nada?
Actividad 4.17 Las gráficas de la Figura 4.17 fueron construidas en forma computacional.
Determinen, para cada caso: los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Además, los
valores de x en los que se alcanzan los máximos y los mínimos relativos.
�
−1 −.5 .5 1 1.5 2 2.5
−4
−2
2
4
6
−.4 −.2 .2 .4
.25
.3
.35
.4
.45
.5
Figura 4.17: Gráficas realizadas en forma computacional para la Actividad 4.17.
4.6 La función derivada. 21
Actividad 4.18 Si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x
(no hemos estudiado aún las funciones exponenciales pero los graficadores pueden hacer
su gráfica sin dificultad) y g(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamos
en la Figura 4.18.
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? �
x
y
1
2
−1 1
y = 2x
y = x10
Figura 4.18: Gráficas de las funcio-
nes f (x) = 2x y g(x) = x10.
Algunos comentarios respecto a las actividades anteriores.
• Las gráficas de la Actividad 4.17 corresponden a la misma función
f (x) = (x − 13 )
5 − 2x3 + 15
pero con distintas escalas gráficas.
• La ecuación 2x =x10 tiene 3 soluciones reales (y varias soluciones más que son
complejas) pero la tercer solución, que no se detecta en los gráficos usuales, se escapa a
las escalas tradicionales:
x ≈ 58.77 con el correspondiente y ≈ 258.77 ≈ 4.9 × 1017.
Lo que nos interesa entonces es poder obtener mejores respuestas a este tipo de activi-
dades usando análisis matemático. Específicamente, utilizando la función derivada como
herramienta esencial para encontrar todas las características que nos interesen de una función.
eje x
eje y
a
eje x
eje y
a
eje x
eje y
a
Figura 4.19: Ejes cartesianos para la
Actividad 4.19.
Actividad 4.19
a) Discutan con sus compañeros/as y docentes la validez de las siguientes proposiciones:
• Una recta tangente a la gráfica de una función corta la gráfica sólo en un punto.
• Si una recta corta la gráfica de una función en un único punto entonces se trata
de la recta tangente.
b) Utilicen los 3 sistemas de ejes coordenados de la Figura 4.19 para realizar las gráficas
que se piden a continuación:
• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que sólo se cortan una
vez.
• La gráfica de una función y una recta tangente en x = a que se cortan dos o
más veces.
• La gráfica de una función y una recta que NO sea tangente en x = a y que se
corten una única vez en x = a.
�
x mx
-2
0
4
7.5
11
16
20
Tabla 4.5: Valores de mx .
Actividad 4.20 Considerando la Figura 4.20,
a) Dibujen las rectas tangentes a la gráfica de la función g en los puntos de abscisa
x = −2, 0, 4, 7.5, 11, 16, 20.
b) Completen la Tabla 4.5 con las pendientes de las rectas tangentes.
c) Dibujen en la gráfica de la Figura 4.21 los puntos correspondientes a la Tabla 4.5.
d) Realicen un bosquejo para la gráfica de g′ como una curva suave que conecte los
puntos. Incorporen una escala adecuada a los ejes cartesianos.
e) ¿Cuántas veces corta al eje x la gráfica realizada en la Figura 4.21?
f ) Según la gráfica realizada en la Figura 4.21, cuál es el valor de g′(2)? ¿Cuál es el
valor de g′(10)?
g) Comparen los valores propuestos de g′(2) y g′(10) con las pendientes de las rectas
tangentes a la gráfica de g en la Figura 4.20. Usen la información para ajustar la
propuesta de gráfica de g′(x).
�
22 Capítulo 4. Derivadas.
eje x
eje y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 4.20: Gráfica de la función g.
eje x
eje y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 4.21: Puntos correspondientes a la Tabla 4.4 y propuesta de gráfica de la función g′.
x f ′(x)
-2
-1
0
1
2
Tabla 4.6: Valores de f ′(x).
Actividad 4.21 En la Figura 4.22a se presenta la gráfica de una función f .
a) Determinen, de manera aproximada, los valores f ′(−2), f ′(−1), f ′(0), f ′(1) y f ′(2).
Completen la Tabla 4.6.
b) En la Figura 4.22b se presenta un sistema de ejes coordenados para representar los
valores de f ′ en función de x. Representen los valores encontrados en el inciso a).
El gráfico no tiene escalas en el eje vertical para que se puedan ubicar los datos
encontrados de manera adecuada.
c) En la Figura 4.22b, utilicen los puntos marcados para realizar un bosquejo de la
función f ′.
�
4.7 Máximos y mínimos locales en una función. 23
−2 −1 0 1 2
−10
−5
0
5
10
x (variable independiente)
f
(v
ar
ia
bl
e
de
pe
nd
ie
nt
e)
(a) Gráfica de la función f .
−2 −1 0 1 2
0
x (variable independiente)
f′
(d
er
iv
ad
a)
(b) Propuesta de gráfica de la función f ′.
Figura 4.22: Gráficas de una función f y propuesta de gráfica de su función derivada f ′.
Actividad 4.22 En el sistema de ejes de la Figura 4.23 bosquejen una porción de la gráfica
de una función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:
• k ′(a) = 0
• k ′(x) es negativa para los valores de x < a.
• k ′(x) es positiva para los valores de x > a.
�
eje x
eje y
a
Figura 4.23: Ejes cartesianos.
Actividad 4.23 En el sistema de ejes de la Figura 4.24 bosquejen una porción de la gráfica
de una función k cerca de x = a basados en la siguiente información sobre su derivada:
• k ′(a) = 0
• k ′(x) es negativa en ambos lados de x = a.
�
eje x
eje y
a
Figura 4.24: Ejes cartesianos.
4.7 Máximos y mínimos locales en una función.
Lo primero que nos proponemos es determinar qué características tienen aquellos puntos
de la gráfica de una función derivable en la que se alcanzan los valores máximos locales y
los valores mínimos locales.
Figura 4.25: Gráfica de una fun-
ción f con intervalos de crecimiento,
intervalos de decrecimiento, valores
máximos locales y valores mínimos
locales.
c dx1
x0
x2
Mínimo local
¿?
Mínimo local
Máximo local
24 Capítulo 4. Derivadas.
Teorema 4.7.1 — Condición necesaria para la existencia de un máximo o mínimo local.
Dada una función f definida en un intervalo abierto (c, d) que es derivable en x0 ∈ (c, d)
y alcanza allí un máximo o un mínimo local, entonces (necesariamente) debe ser
f ′(x0) = 0.
Dicho de otra manera: La recta tangente en el punto de abscisa x0 debe ser horizontal.
Si comenzáramos nuestro análisis en un x0 perteneciente al intervalo (c, d) en el cual se
alcanza un valor mínimo local veremos cómo se comportan los cocientes incrementales.
c dx1
x0
x2
Mínimo local
Máximo local
∆x > 0
∆ f ≥ 0
∆x < 0
∆ f ≥ 0
Recordemos que:
∆x = x − x0
∆ f = f (x) − f (x0)
Dado que f (x0) es un valor mínimo local podemos afirmar que f (x0) ≤ f (x) para todos
los valores de x cercanos a x0. O sea, f (x) − f (x0) ≥ 0.
En cambio, x − x0 puede ser positivo o negativo según se tome x → x+0 o x → x
−
0 .
Por lo tanto, los cocientes incrementales quedan
f (x) − f (x0)
x − x0
=
∆ f
∆x
=

Si x → x+0 entonces
∆ f ≥ 0
∆x > 0
≥ 0 (1)
Si x → x−0 entonces
∆ f ≥ 0
∆x < 0
≤ 0 (2)
Como sabemos que f es derivable en x0 entonces las afirmaciones (1) y (2) implican cada una
lo siguiente
lı́m
x→x+0
f (x) − f (x0)
x − x0
≥ 0︸︷︷︸
Por (1)
lı́m
x→x−0
f (x) − f (x0)
x − x0
≤ 0︸︷︷︸
Por (2)
.
Para satisfacer ambas condiciones a la vez será f ′(x0) = 0 necesariamente.
C Un comentario importante respecto al razonamiento anterior. Utilizamos una propiedad
de los límites que no mencionamos previamente: si para todos los valores x cercanos a
x0 se cumple que G(x) ≤ M y además se sabe que existe el límite de G(x) para x → x0
entonces necesariamente
lı́m
x→x0
G(x) ≤ M .
4.7 Máximos y mínimos locales en una función. 25
Actividad 4.24 ¿Cómo debe modificarse el razonamiento anterior para el caso que x0 sea la
abscisa de un punto (x0, f (x0)) donde se alcance un valor máximo local?
�
El Teorema 4.7.1 nos brinda una condición necesaria que deben cumplir todos aquellos
puntos de la gráfica de una función f derivable en un intervalo abierto en el que se alcance
un valor máximo local o un valor mínimo local.
Corresponde ahora analizar las siguientes 3 situaciones: ¿por qué decimos condición
necesaria, ¿qué pasa si la función no es derivable? y ¿qué pasa si el intervalo no es un
intervalo abierto?
4.7.1 Valores estacionarios.
La condición f ′(x0) = 0 es una condición necesaria pero no es suficiente. Es posible que
existan puntos para los cuales se cumpla f ′(x0) = 0 pero que, sin embargo, no se alcancen allí
valores máximos locales ni valores mínimos locales.
En la Figura 4.22a y en la Actividad 4.23 aparecen ejemplos en los que la recta tangente en
un punto es horizontal pero sin embargo no se trata de un valor máximo ni mínimo local.
Definición 4.7.1 — Valores estacionarios. Los valores de x para los cuales f ′(x) = 0 se
denominan valores estacionarios de f .
Por lo tanto, los valores máximos locales y los valores mínimos locales de funciones
derivables en un intervalo abierto siempre se alcanzan en valores estacionarios. Aunque no
en todos los puntos estacionarios se alcanzarán siempre valores máximos locales o valores
mínimos locales.
4.7.2 Valores críticos.
La condición f ′(x0) = 0 conlleva la hipótesis de saber que la f ′(x0) existe;o sea, de saber
que la función es derivable en x0. Aquellos valores de x0 para los cuales no exista la derivada
no están incluidos entonces en el teorema de condición necesaria para los máximos o mínimos
locales. Como ejemplos presentamos las siguientes opciones.
Figura 4.26: En ninguna de estas
situaciones la curva posee recta tan-
gente en el punto (3, 2).
En ambos casos, para x = 3 se alcanzan máximos (Gráfica B) o mínimos (Gráfica C)
locales de la función; sin embargo, en ninguno de los casos existe f ′(3). De modo que los
valores máximos o mínimos locales de una función también pueden enocntrarse en aquellos
valores de x en los que la función no es derivable.
Definición 4.7.2 — Valores críticos. Aquellos valores de x en el dominio (pero no en el
borde) de una función f en los que la derivada no existe, o aquellos en los que la derivada
existe y vale f ′(x) = 0, se denominan valores críticos de f .
Remarcamos que los valores críticos de una función deben ser siempre valores en su
dominio.
26 Capítulo 4. Derivadas.
� Ejemplo 4.12 Mostraremos, analíticamente, que f (x) =
1
x
no tiene valores críticos.
Corresponde encontrar los valores del dominio (que no están en el borde) en los que la
derivada no existe, y los valores estacionarios.
Considerando que el Dom( f ) = R − {0} tenemos que el dominio no tiene bordes.
Según lo que realizaron ustedes en la Actividad 4.16b) se tiene que f ′(x) = −
1
x2
para
todos los valores de x , 0. O sea que la función es derivable en todo su dominio.
Por otro lado, los valores estacionarios de f deben cumplir la ecuación
f ′(x) = 0⇐⇒ −
1
x2
= 0⇐⇒ −1 = 0
que es absurdo porque −1 es distinto de 0. Por lo tanto la ecuación no tiene solución.
No hay valores críticos.
�
Conjuntos Intervalos:
Conjunto ∅
Conjunto vacío. Sin elementos.
Conjunto (a, b)
{x ∈ R : a < x < b }
Conjunto [a, b]
{x ∈ R : a ≤ x ≤ b }
Conjunto (a, b]
{x ∈ R : a < x ≤ b }
Conjunto [a, b)
{x ∈ R : a ≤ x < b }
Conjunto (a,+∞)
{x ∈ R : a < x }
Conjunto (−∞, b)
{x ∈ R : x < b }
Conjunto [a,+∞)
{x ∈ R : a ≤ x }
Conjunto (−∞, b]
{x ∈ R : x ≤ b }
Conjunto (−∞,+∞)
Todos los números reales. R.
Tabla 4.7: Los intervalos que forman
la base de otros conjuntos más com-
plejos que usaremos de dominio.
Actividad 4.25 ¿Cuántos y cuáles son los valores críticos de las siguientes funciones?
a) f (x) = πx4 b) f (x) = x3 − x
�
Actividad 4.26 Realicen la gráfica de una función que cumpla las siguientes condiciones:
tenga 2 máximos relativos, 4 valores estacionarios, 1 mínimo relativo y 5 valores críticos.
�
4.7.3 Bordes del intervalo.
Por último, ¿qué pasa si la función está definida en un conjunto que no es un intervalo
abierto? Los conjuntos que no son intervalos abiertos pueden tener diversas formas: pueden ser
intervalos cerrados sencillos como el intervalo [1, 5] pero también pueden ser conjuntos más
complejos como por ejemplo el conjunto de los números racionales Q. Nos concentraremos en
los conjuntos de la forma, que ya conocemos, de la Tabla 4.7, o que se pueden formar uniendo
una cantidad finita de ellos. Por ejemplo,
• La función f (x) =
√
x2 − 1 tiene como dominio natural Dom( f ) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).
• La función g(x) =
1
x − 3
tiene como dominio natural Dom(g) = (−∞, 3) ∪ (3,+∞).
En general, podrá pasar que los valores de x para los cuales las funciones tomen sus
valores máximos locales o valores mínimos locales también se encuentren en los bordes
de los conjuntos que estemos estudiando. Por ejemplo, una función creciente en el intervalo
[−1, 1] toma sus valores máximos y mínimos en los bordes del intervalo. Ver Figura 4.27.
x
y
−1 1
Mínimo local
Máximo local
Figura 4.27: Gráfica de una función
en un intervalo cerrado con valores
máximos y mínimos que se alcanzan
en los bordes del dominio.
Primeras conclusiones y reflexiones.
La exploración de los valores críticos (que incluye los valores estacionarios de una
función) y su comportamiento en los bordes del intervalo permiten tener una la lista
completa de valores en los la función con la que estemos trabajando tome sus valores máximos
o mínimos locales. Ninguno de estos valores máximos/mínimos se nos “escapará” siempre y
cuando seamos capaces de:
• Averiguar en qué valores de x una función es derivable y en qué puntos no. Requiere
mayor destreza en el cálculo de límites de los cocientes incrementales. Nos ocuparemos
de esto en la siguiente sección.
• Resolver la ecuación f ′(x) = 0. Requiere destreza algebraica para “despejar” la variable
x. Aunque puede suceder que la ecuación no sea resoluble en forma exacta por métodos
algebraicos y tengamos que recurrir a métodos de aproximación.
• Identificar correctamente el dominio de la función junto con sus bordes. Aquí se conjugan
varias cosas. Principalmente conocer las características de las funciones básicas.
4.8 Existencia de la derivada. 27
4.8 Existencia de la derivada.
Como mencionamos anteriormente, nos interesa saber cuándo existe y cuándo no existe el
límite correspondiente al cálculo de una derivada
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
(4.7)
Ya hemos mencionado en el Teorema 4.3.1 que la existencia de los łímites laterales y su
igualdad es suficiente para poder afirmar que el límite 4.7 existe.
Definición 4.8.1 — Derivadas laterales. Consideramos dos casos por separado.
• Si f es una función definida en un intervalo de la forma [a, d), entonces se denomina
derivada lateral por derecha de f en x = a al número, si es que existe,
f ′+(a) = lı́m
x→a+
f (x) − f (a)
x − a
• Si f es una función definida en un intervalo de la forma (c, a], entonces se denomina
derivada lateral por izquierda al número, si es que existe,
f ′−(a) = lı́m
x→a−
f (x) − f (a)
x − a
Actividad 4.27 Discutan entre compañeros/as y docentes, ¿qué representan geométricamente
las derivadas laterales de una función? Redacten la explicación que consideren adecuada y
realicen un gráfico que sirva como ayuda. �
Actividad 4.28 La Figura 4.28 presenta la gráfica del volumen ventricular del corazón
durante un latido normal de 0.8 segundos. Durante la sístole, el ventrículo se contrae y
expulsa la sangre hacia la aorta. La diástole, es el período en el que el ventrículo se relaja y
recibe sangre que proviene de la vena cava.
¿Cómo describirían el comportamiento ventricular a los 0.3 segundos? ¿El ventrículo se
contrae a la misma velocidad con la que se relaja? ¿Cuál es la velocidad del flujo de sangre
(en ml/segundos) que entra al ventrículo al comenzar la diástole?
�
Figura 4.28: Volumen ventricular (en ml) en función del tiempo (en segundos).
28 Capítulo 4. Derivadas.
Teorema 4.8.1 Considerando f una función definida en un intervalo abierto (c, d) que
contiene a x = a.
f es derivable en x = a ⇐⇒ f ′−(a) y f ′+(a) existen y son iguales.
En este caso se cumple: f ′(a) = f ′−(a) = f ′+(a).
Notar: si las derivadas laterales en un punto x = a de una función no existen, o existen
pero son distintas, entonces la función no es derivable en x = a. Ver Figura 4.29.
Figura 4.29: Porción de la gráfica
de una función cuyas derivadas la-
terales existen en x = 3 pero son
distintas.
Actividad 4.29 Estudien las derivadas laterales de las siguientes funciones en el valor de
x = a indicado y decidan si la función es derivable allí. En cada caso, realicen la gráfica de
la función.
a) f (x) =

x2 para x ≥ 0
x3 para x < 0
para a = 0.
b) g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1
r + 3 para r > 1
para a = 1.
�
Figura 4.30: Porción de la gráfica de
una función en la que no existe el
límite de f (x) para x → 3.
Teorema 4.8.2 Considerando f una función definida en un intervalo abierto (c, d) que
contiene a x = a.
Si f es derivable en x = a =⇒ lı́m
x→a
f (x) = f (a).
La existencia de la derivada en el valor x = a garantiza que el límite lı́m
x→a
f (x) también
existe y puede calcularse por simple evaluación.
Notar: si el lı́m
x→a
f (x) no existe o, existe pero es distinto a f (a), entonces la función no es
derivable en x = a. Ver Figura 4.30.
Las funciones que cumple que
lı́m
x→a
f (x) = f (a)(o sea, aquellas
para las cuales el límite se puede cal-
cular simplemente por evaluación)
se denominan continuas en x = a.
En el próximo módulo las estudiare-
mos con más detalles.
Trabajaremos a continuación una última situación en este módulo en relación a nuestro
problema de determinar la existencia del límite lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
.
x y Vprom[0, x]
1.5
1
.5
.1
.01
−.01
−.1
−.5
−1
−1.5
Tabla 4.8: Actividad 4.30.
Actividad 4.30 La Figura 4.32 presenta la gráfica de la función f (x) = 3
√
x (recordar las
funciones radicales del Módulo 3 en página 9).
Nos proponemos estudiar la existencia de la recta tangente a la gráfica en el punto (0, 0).
a) Completen la segunda columna de la Tabla 4.8 con los valores de y correspondientes
a los puntos de abscisa x. Grafiquen en la figura las rectas secantes entre los puntos
(0, 0) y (x, y).
b) Completen la Tabla 4.8 con los valores correspondientes de las pendientes de las
rectas secantes graficadas en el item a).
c) Se observa que para valores de x que se aproximan a 0 las rectas secantes se
“aproximan” a una recta de ecuación . . . ¿qué ecuación tiene la recta tangente a la
gráfica en el punto (0, 0)?
d) ¿Qué ocurre con los valores de Vprom[0, x] si agregamos más filas a la tabla tomando
valores de x cada vez más cercanos a 0?
�
4.8 Existencia de la derivada. 29
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
y = 3
√
x
x
y
Figura 4.31: Gráfica de la función radical f (x) = 3
√
x.
Para determinar si la función f (x) = 3
√
x es derivable en x = 0 debemos estudiar la
existencia del límite
lı́m
x→0
f (x) − f (0)
x − 0
= lı́m
x→0
3√x
x
= lı́m
x→0
1
x2/3︸ ︷︷ ︸
(∗)
El límite (∗) no puede calcularse evaluando porque el denominador se anula (no son
válidas las propiedades de cálculo de límites). La exploración numérica de la Actividad 4.30b)
y la exploración geométrica de la Actividad 4.30c) muestran que tomando x → 0 (tanto para
x → 0+ como x → 0−) los valores de Vprom[0, x] son cada vez más grandes y positivos a la
vez que la rectas secantes se “ponen” cada vez más verticales. Escribimos
cuando x se aproxima a 0 entonces
f (x) − f (0)
x − 0
aumentan ilimitadamente
Los números
f (x) − f (0)
x − 0
se comportan de tal manera que aumentan y crecen indefini-
damente tomando valores tan grandes como se quiera; no tienen ningún techo.
−2 −1 0 1 2
−1
0
1
Figura 4.32: Gráfica de la función
radical f (x) = 3
√
x.
Por lo tanto, el límite
lı́m
x→0
f (x) − f (0)
x − 0
= lı́m
x→0
3√x
x
= lı́m
x→0
1
x2/3
= +∞
no existe (no es ningún número real finito) y la función f (x) = 3
√
x no es derivable en
x = 0. Es necesario marcar aquí la diferencia con los casos anteriores porque la gráfica tiene
recta tangente en el punto (0, 0) pero es vertical por lo que no tiene pendiente o como a veces
se dice, tienen pendiente infinita.
	4 Derivadas.
	4.1 Estudio de la velocidad.
	4.1.1 Velocidad promedio.
	4.1.2 Velocidad instantánea.
	4.2 Rectas secantes y recta tangente.
	4.2.1 Recta tangente.
	4.3 Límites.
	4.4 Álgebra de límites y combinación de funciones.
	4.4.1 Combinaciones aritméticas de funciones o álgebra de funciones.
	4.4.2 Propiedades algebraicas de los límites.
	4.5 La derivada como un límite.
	4.5.1 Sobre las unidades de f'.
	4.5.2 Definición equivalente para f'(a).
	4.6 La función derivada.
	4.7 Máximos y mínimos locales en una función.
	4.7.1 Valores estacionarios.
	4.7.2 Valores críticos.
	4.7.3 Bordes del intervalo.
	4.8 Existencia de la derivada.