Função inversa: condições e exemplos

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10. Función inversa
“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”
Wang Zhenyi (1768-1797)
10.1 Introducción
Pensamos en una función numérica f como proceso que a cada elemento x de un conjunto
A le hace corresponder exactamente un elemento y de un conjunto B.
x g(x) f (x)
f
Pensaremos a la función inversa como el proceso que permita volver para atrás a la f .
x g(x) f (x)
g
Utilizando la composición de funciones, ambos procesos quedan coordinados como sigue
x f (x) x
f g
g ◦ f
¿Siempre podremos encontrar un proceso inverso? Es decir, ¿existirá un proceso g que
deshaga lo que hizo f ? En tal caso, debería cumplirse que
g( f (x)) = x.
� Ejemplo 10.1 En el caso de la función lineal f (x) = a x + b podemos razonar de la siguiente
manera:
“El proceso f consiste en tomar a x, multiplicarlo por a y luego, a ese número sumarle
b. Por lo tanto, el proceso inverso g deberá ser tomar al número, restarle b y al resultado
dividirlo por a”.
En símbolos,
g(x) =
x − b
a
.
Comprobamos que g es el proceso inverso de f .
g( f (x)) = g(ax + b) =
(ax + b) − b
a
=
ax
a
= x.
�
2 Capítulo 10. Función inversa
� Ejemplo 10.2 Con la función f (x) = x2, podemos decir que f es el proceso de tomar un
número y elevarlo al cuadrado. Entonces el proceso inverso g debería ser tomar ese
número y extraerle la raíz cuadrada. Pero en este caso nada no impide (o nos obliga) a
tomar la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa.
Por ejemplo, si tomamos x = 3 calculamos f (3) = 9. Lo mismo si tomamos x = −3
y calculamos f (−3) = 9. El proceso inverso debería arrancar con 9 y devolver alguno
de los valores iniciales: 3 o −3. No puede devolver los dos valores a la vez porque en
ese caso no cumpliría la definición de función.
No es posible encontrar un proceso inverso de f que sirva para todos los x.
�
Si una función f tiene un proceso inverso (o como se dice propiamente, una función
inversa) g, entonces para todos los x deberá cumplirse que
g( f (x)) = x.
Y considerando dos números a y b tales que f (a) = f (b), y aplicando g a ambos miembros
tendremos
g( f (a)) = g( f (b))
y, por lo tanto, a = b. Esto nos dice que si f tiene una función inversa, entonces f no puede
tomar el mismo valor en números distintos.
Definición 10.1.1 Las funciones que a cada par de números distintos en su dominio les
asignan valores distintos se denominan inyectivas o uno a uno.
O sea, una función f es inyectiva o uno a uno si dados x1 , x2 en su dominio entonces
f (x1) , f (x2).
Gráficamente, una función es inyectiva, si cada recta horizontal corta a la gráfica de f en a
lo sumo un punto.
x
y f (x) = x3
x
y
g(x)) = x2
Figura 10.1: La función f (x) = x3 es uno a uno pero la función g(x) = x2 no lo es.
C Entonces, si una función tiene una función inversa, es inyectiva. Recíprocamente, si una
función f es inyectiva, tiene una función inversa g, cuyo dominio es exactamente la
imagen de f . Dado un y en la imagen de f , la función inversa g le asigna el único x del
dominio de f tal que f (x) = y.
Recordemos que la imagen de f está formada por
Im( f ) = {y : y = f (x) para algún x en el dominio de f }.
10.1 Introducción 3
Todo va bien si f es uno a uno en su dominio. ¿Pero qué pasa si no lo es? Por lo que vimos,
no tendrá una función inversa que sirva para todos los valores x de su dominio. Sin embargo,
si podemos restringir el dominio de f a un conjunto más pequeño, donde f sí sea uno a uno,
entonces podremos obtener allí una inversa para f .
� Ejemplo 10.3 Volviendo a la función f (x) = x2, vemos que f tiene inversa en el intervalo
[0,+∞). Concretamente, g(x) =
√
x es su función inversa. También tiene una inversa
en el intervalo (−∞, 0] cuya expresión es h(x) = −
√
x. �
La última cuestión que mencionaremos es la siguiente: si una función tiene una inversa en
cierto subconjunto A de su dominio, entonces esa inversa es única (¿por qué?). De manera que
es legal ponerle un nombre asociado a f . Se acostumbra designar a la función inversa de f
como f −1.
Vamos a resumir lo que hemos dicho acerca de las funciones inversas:
Lamentablemente se utiliza una
simbolización ambigua que pue-
de llevar a confusión. Tendremos
que tener en cuenta que
f −1 ,
1
f
.
Definición 10.1.2 Sea f una función numérica. Sea A un subconjunto del dominio de f .
Diremos que f tiene una inversa en A (o que f es invertible en A) si existe una función
f −1 tal que
f −1( f (x)) = x para todo x perteneciente a A.
Teorema 10.1.1 — Condición para la existencia de inversa. La función f es invertible en A sí
y sólo sí es uno a uno en A.
Hacemos las siguientes observaciones:
En la práctica, si la función tiene una expresión y = f (x), encontrar la inversa implica
despejar la variable x en función de la variable y. En el Ejemplo 10.1 de la función
lineal tenemos que
y = ax + b
y − b = ax
y − b
a
= x.
Que determina la expresión de la función inversa:
f −1(y) =
y − b
a
.
Muy pocas veces podremos hacer este procedimiento tan sencillo cuando estén involu-
cradas funciones más complejas. Por lo tanto, nos dedicaremos a estudiar existencia de
la función inversa y conocer sus propiedades de continuidad, derivabilidad, gráfica, etc.
a partir de las propiedades de la función f .
De la misma forma, es bastante complicado mostrar que una función f es uno a uno
en cierto conjunto. Puesto que eso es lo mismo que mostrar que cada valor de x está
determinado unívocamente por f (x), lo cual tendría que hacerlo otra vez expresando x
en función de y. Daremos entonces otras condiciones más sencillas de comprobar, que
nos permitan asegurar que nuestra función es uno a uno en cierto conjunto A.
Actividad 10.1 En cada uno de los casos siguientes, las funciones f y g están dadas por una
tabla de valores. Determinen si alguna de ellas es una función uno a uno.
�
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9
4 Capítulo 10. Función inversa
Actividad 10.2 Analicen cada una de las funciones f cuyas gráficas se encuentran en la
Figura 10.2 y determinen, en cada caso, si se trata o no de funciones uno a uno. �
x
y
Gráfica I
x
y
Gráfica II
x
y
Gráfica III
x
y
Gráfica IV
Figura 10.2: Gráficas para la Activi-
dad 10.2.
Actividad 10.3 Indiquen cuáles de las siguientes funciones son uno a uno en sus dominios.
Justifiquen en cada caso (la justificación puede ser gráfica o analítica). En caso que no sea
uno a uno en su dominio, determinen al menos dos subconjuntos del dominio donde la
función sí lo sea y en esos subconjuntos den una expresión para la función inversa.
a) f (x) = 7x + 1 b) f (x) =
1
x
c) f (x) = x2 − x + 1 d) f (x) =
1
x2
e) f (x) = x2 f ) f (x) =
x − 1
x + 1
�
Como habrán sospechado a partir de las actividades anteriores, puede concluirse que una
función es uno a uno en in intervalo si comprobamos que es creciente o decreciente en ese
intervalo. Y esa comprobación puede hacerse estudiando el signo de la derivada. Podemos
enunciar entonces el siguiente resultado:
Teorema 10.1.2 Sea f una función derivable en un intervalo I (de cualquier forma). Entonces
a) si f ′(x) > 0 en I, entonces f es invertible en I
b) si f ′(x) < 0 en I, entonces f es invertible en I.
Actividad 10.4 Analicen los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones de
la Actividad 10.3 y comparen con las respuestas que dieron en cada caso. �
10.2 Propiedades de la función inversa
10.2.1 Gráficas
Supongamos que tenemos una función f que es invertible en un intervalo I. Sea f −1 su
función inversa.
La gráfica de f −1 es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son de la forma
(x, f −1(x)). Pero si y = f −1(x), entonces x = f (y). Por lo tanto los puntos de la gráfica de f −1
son de la forma ( f (y), y). Esto es, cada punto de la gráfica de f −1 proviene de un punto de la
gráfica de f con las coordenadas permutadas. En forma gráfica:
x
y Recta y = x
x
x
y
y
Figura 10.3: El punto (x, y) es simétrico del punto (y, x) respecto de la recta y = x.10.2 Propiedades de la función inversa 5
Por lo tanto, la gráfica de f −1 es la simétrica de la gráfica de f respecto de la recta y = x.
� Ejemplo 10.4 A continuación presentamos tres funciones con sus respectivas inversas en
los dominios correspondientes.
x
y Recta y = x
f (x) =
1
x2
f −1(x) =
1
√
x
.5 1 1.5 2 2.5
.5
1
1.5
2
2.5
x
y Recta y = xf (x) = x2
f −1(x) =
√
x
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
La función f (x) =
1
x2
y su inversa f −1(x) =
1
√
x
en (0, 3). La función f (x) = x2 y su inversa f −1(x) =
√
x en [0, 6].
x
y
Recta y = x
f (x) =
x − 1
x + 1
f (x) = −
x + 1
x − 1
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−9
−8
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
La función f (x) =
x − 1
x + 1
en [−10,−1) y su inversa f −1(x) = −
x + 1
x − 1
.
�
6 Capítulo 10. Función inversa
Actividad 10.5 Utilicen el gráfico de f para hacer el gráfico de f −1 en la Figura 10.4
�
x
y
x
y
Figura 10.4: Gráficas para la Activi-
dad 10.5.
10.2.2 Continuidad
A continuación enunciaremos un resultado que nos da información, bajo ciertas condiciones,
sobre la continuidad de f −1.
Teorema 10.2.1 Sea f una función uno a uno y continua en un intervalo cerrado I, y sea J el
intervalo imagen de I por f . Entonces su función inversa f −1 es continua en J.
10.2.3 Derivabilidad
Supongamos que f es una función derivable en un intervalo abierto I, y supongamos que
f ′ > 0 en I. Sea f −1 su función inversa y sea a un número cualquiera de I. Queremos calcular
la derivada de f −1 en el valor f (a).
La secante a la gráfica de f −1 por los puntos ( f (a), a) y ( f (x), x) es:
x − a
f (x) − f (a)
=
1
f (x)− f (a)
x−a
.
Sobre esta base consideramos que
Teorema 10.2.2 — Teorema de la Función Inversa. Si f es una función derivable en un
intervalo abierto I tal que f ′(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces f −1 es derivable
en todo b tal que b = f (a), con a ∈ I. Además se cumple(
f −1
) ′
(b) =
1
f ′(a)
El teorema es válido también en
el caso que f ′(x) < 0 en el inter-
valo. La fórmula para calcular la
derivada de la función inversa es
igual.
Demostración Para determinar si la función inversa f −1 es derivable en algún valor b de
la forma b = f (a) estudiamos el límite del cociente incremental
lı́m
y→b
f −1(y) − f −1(b)
y − b
=
Considerando que f es continua en el intervalo podemos considerar y = f (x) y tomar
x → a sustituyendo
= lı́m
x→a
x − a
f (x) − f (a)
= lı́m
x→a
1
f (x)− f (a)
x−a
=
1
f ′(a)
.
Por lo tanto (
f −1
) ′
(b) =
1
f ′(a)
C Usando la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir, bajo las hipótesis
del teorema
df −1
dy
=
1
d f
dx
,
o, con la convención de y = f (x) versus x = f −1(y) entonces
dx
dy
=
1
dy
dx
Notemos que ahora podemos calcular la derivada de la inversa de una función en un valor
dado cualquiera, sin la necesidad de conocer explícitamente a esa inversa.
10.2 Propiedades de la función inversa 7
� Ejemplo 10.5 Consideremos la función f (x) = −x3 − x2 + 1. Cuando derivamos obtenemos
f ′(x) = −3x2−2x = −x(3x+2). Estudiando los intervalos de positividad y negatividad
de la función f ′(x) podemos afirmar que f ′(x) es negativa en el intervalo (0,+∞).
La función f es invertible en ese intervalo.
Dado que f (0) = 1, su inversa estará definida en el intervalo (−∞, 1). Además,
f ( 12 ) =
5
8 y f
′( 12 ) = −
7
4 . Podemos calcular entonces, sin conocer la fórmula de la
función inversa
( f −1)′( 58 ) =
1
f ′( 12 )
=
1
− 74
= −
4
7
.
x
yf (x) = −x3 − x2 + 1
1
2
5
8
m = − 74
y
x
f −1(y)
5
8
1
2
m = − 47
�
	10 Función inversa
	10.1 Introducción
	10.2 Propiedades de la función inversa
	10.2.1 Gráficas
	10.2.2 Continuidad
	10.2.3 Derivabilidad