Copia de SESION 10 1 - Patricia Torres

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TEMA
FUNCION INVERSA
2021-2
10.1
PREUNIVERSITARIO
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CONTENIDOS
• Definición.
• Dominio y rango de la inversa.
• Condición necesaria y suficiente.
• Propiedades.
• Determinación gráfica de la inversa
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FUNCIÓN INVERSA
Definición. Dada la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 
decimos que esta es invertible si existe 
una función 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que
𝑔 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 y 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐼𝐵 ,
donde 𝐼𝐴: 𝐴 → 𝐴 es la función identidad en 
𝐴, e 𝐼𝐵: 𝐵 → 𝐵 es la función identidad en 𝐵.
En caso la función 𝑓 sea invertible,La
función 𝑔 es llamada función inversa de 𝑓,
esta es única y será denotada por 𝑓∗ o por
𝑓−1.
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FUNCIÓN INVERSA
Ejemplo. Verifique que la inversa de la función
𝑓: 0;+∞ → −∞, 0 , 𝑓 𝑥 = −𝑥2 es dada por 
𝑔: −∞; 0 → [0;+∞⟩, 𝑔 𝑥 = −𝑥.
Solución.
Em efecto, tenemos que para cada 𝑥 ∈ 0;+∞ ,
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 −𝑥2 = − −𝑥2 = 𝑥
Y además, para cada 𝑥 ∈ ⟨−∞; 0],
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 −𝑥 = − −𝑥
2
= 𝑥
Entonces 𝐼[ ⟩0,+∞ = 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝐼⟨ ]−∞,0 = 𝑓 ∘ 𝑔
Por lo tanto, 𝑔 es la función inversa de 𝑓. 
Así, 𝑔 = 𝑓∗.
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De la definición de función inversa, tenemos que
𝑦 = 𝑓 𝑥 ↔ 𝑓∗ 𝑓(𝑥) = 𝑓∗(𝑦) = 𝑥
Ejemplo. Determine la función inversa de
𝑓 = { 1; 2 ; 2,4 ; 3; 7 ; (4; 9)}
Solución.
Tenemos que 
2 = 𝑓 1 ↔ 𝑓∗ 2 = 1
4 = 𝑓 2 ↔ 𝑓∗ 4 = 2
7 = 𝑓 3 ↔ 𝑓∗ 7 = 3
9 = 𝑓 4 ↔ 𝑓∗ 9 = 4
Por lo tanto,
𝑓∗ = { 2; 1 ; 4,2 ; 7; 3 ; (9; 4)}
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Condicion necesaria y suficiente para la existencia de la 
función inversa.
Teorema. Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 admite inversa si,
y solo si 𝑓 es biyectiva.
(⟹) Suponga que 𝑓 tiene inversa 𝑓∗. Así, 𝑓 ∘ 𝑓∗ = 𝐼𝐵 y 𝑓
∗ ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴.
• Veamos que 𝒇: 𝑨 → 𝑩 es sobreyectiva.
Dado 𝑦 ∈ 𝐵 se tiene que 𝑦 = 𝐼𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑓
∗(𝑦)). Como 𝑓∗: 𝐵 → 𝐴, entonces
𝑓∗ 𝑦 ∈ 𝐴, concluimos que ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑓∗ 𝑦 = 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓∗ 𝑦 = 𝑦
Esto último nos dice que la función 𝑓 es sobreyectiva.
• Veamos que 𝒇: 𝑨 → 𝑩 es inyectiva 
Dados 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 tales que 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 , luego
𝑓∗ 𝑓 𝑥1 = 𝑓
∗ 𝑓 𝑥2 y entonces 𝐼𝐴 𝑥1 = 𝐼𝐴 𝑥2
Así, 𝑥1 = 𝑥2. Por tanto, 𝑓 es inyectiva
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(⟸) Suponga que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es biyectiva. Como 𝑓 es sobreyectiva
e inyectiva, para cada y ∈ 𝐵, existe un único 𝑥𝑦 ∈ 𝐴 tal que 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑦.
Defina 𝑔: 𝐵 → 𝐴 por 𝑔 𝑦 = 𝑥𝑦. 
Sea 𝑥𝑦 ∈ 𝐴 entonces 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑔 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑔 𝑦 = 𝑥𝑦 , además
Sea 𝑦 ∈ 𝐵 entonces 𝑓 ∘ 𝑔 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑦
Por lo tanto,
𝑔 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 y 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐼𝐵.
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Ejercicio: Sea Una función 𝑓: −2, 1 → 1, 14 con regla de correspondencia
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 7 , determine si la función 𝑓 posee inversa
A continuación se muestra la gráfica de 
una función con la misma regla de 
correspondencia que 𝑓 pero con Dominio 
en ℝ.
Del gráfico se observa que nuestra función
𝑓: −2, 1 → 1, 14 con 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 7 es 
Creciente, entonces 𝑓 es inyectiva, además 
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑓 −2 , 𝑓(1) = 1, 14
entonces 𝑓 es sobreyectiva.
Entonces 𝑓 es biyectiva del teorema anterior se concluye 
que 𝑓 posee inversa.
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Ejercicio. Sea 𝑓: 𝑎; 𝑏 → 14; 23 una función invertible, dada 
por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 7, donde 𝑎 < 𝑏 < 0. Determine 𝑎 + 𝑏.
Solución. Tenemos que 𝑓 es biyectiva. 
Además, como el vértice de la gráfica de la función 
cuadrática tiene abscisa Igual a ℎ = −
−6
2 1
= 3
entonces 𝑓 es decreciente en 𝑎; 𝑏 (pues 𝑎 < 𝑏 < 0 < 3).
Tenemos que 𝑓 𝑎 = 23 y 𝑓 𝑏 = 14. 
Así, 𝑎 = −2 y 𝑏 = −1. Por tanto, 𝑎 + 𝑏 = −3.
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Observacion: Toda función inyectiva con conjunto de 
llegada igual a su Rango es invertible.
Por ejemplo:
• 𝑓: −3, 5 → 2, 10 con 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5.
• 𝑓:ℝ → ℝ con 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, donde 𝑛 ∈ ℕ y es impar
• ℎ: ൻ ]−∞, 0 → [ ⟩0, +∞ con ℎ 𝑥 = 𝑥𝑛, donde 𝑛 ∈ ℕ y es par
• 𝑓: [ ⟩𝑎, +∞ → [ ⟩𝑏, +∞ con 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 + 𝑏.
• 𝑔:ℝ −
1
2
→ℝ−
5
2
con 𝑔 𝑥 =
5𝑥+1
2𝑥−1
• ℎ: ℝ −
𝑐
𝑑
→ℝ−
𝑎
𝑐
con ℎ 𝑥 =
𝑎𝑥−𝑏
𝑑𝑥−𝑐
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Dominio y rango de la función inversa
Dada la función invertible 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cuya inversa es
𝑓∗: 𝐵 → 𝐴. Tenemos que
𝐷𝑜𝑚 𝑓∗ = 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝐵
𝑅𝑎𝑛 𝑓∗ = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴
Propiedades de la función inversa
Dadas las funciones invertibles 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶,
• 𝑔 ∘ 𝑓 ∗ = 𝑓∗ ∘ 𝑔∗
• 𝑓∗ ∗ = 𝑓
• 𝑓 es creciente ⇒ 𝑓∗ es creciente.
• 𝑓 es decreciente ⇒ 𝑓∗ es decreciente.
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Gráfica de la función inversa
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ. Dada la función invertible 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cuya 
inversa es 𝑓∗: 𝐵 → 𝐴. Tenemos que
𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓 ↔ 𝑦, 𝑥 ∈ 𝑓∗
Es decir, y = 𝑓 𝑥 ↔ 𝑓∗ 𝑦 = 𝑥.
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Ejemplo. Dadas las siguientes funciones invertibles: 𝑓: −3, 2 → −4, 6
𝑔: −4, 6 → −17, 13 donde 𝑔 𝑥 = −3𝑥 + 1 y 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2. Determinar 𝑓∗ y 𝑔∗: 
Solución:
Como 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅𝑎𝑛𝑓∗ y 𝐷𝑜𝑚𝑔 = 𝑅𝑎𝑛𝑔∗ entonces
𝑓∗: −4, 6 → −3, 2 y 𝑔∗: −17, 13 → −4, 6
Determinamos 𝑓∗(𝑥) y 𝑔∗ 𝑥 :
𝑓 𝑥 = 𝑦 = 2𝑥 + 2
𝑦 − 2
2
= 𝑥
𝑦 − 2
2
= 𝑓∗ 𝑦
Cambiamos 𝑦 por 𝑥
𝑓∗ 𝑥 =
𝑥 − 2
2
𝑔 𝑥 = 𝑦 = −3𝑥 + 1
−𝑦 + 1
3
= 𝑥
−𝑦 + 1
3
= 𝑔∗ 𝑦
Cambiamos 𝑦 por 𝑥
𝑔∗ 𝑥 =
−𝑥 + 1
3
14
De este ejemplo se observa que:
• Al ser 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2 una función creciente su inversa 𝑓∗ 𝑥 =
𝑥−2
2
también 
es creciente al ser una función afín de pendiente positiva.
• Al ser 𝑔 𝑥 = −3𝑥 + 1 una función decreciente su inversa 𝑔∗ 𝑥 =
−𝑥+1
3
también es decreciente al ser una función afín de pendiente 
negativa.
• 𝑓∗ ∘ 𝑔∗: −17, 13 → −3,2 y 𝑓∗ ∘ 𝑔∗ 𝑥 = 𝑓∗ 𝑔∗ 𝑥 =
−𝑥+1
3
−2
2
=
−𝑥−5
6
además se tiene que 𝑔 ∘ 𝑓: −3,2 ⟶ −17, 13 y 
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = −3 2𝑥 + 2 + 1 = −6𝑥 − 5
Donde 𝑅𝑎𝑛𝑔 ∘ 𝑓 = −17, 13 además 𝑔 ∘ 𝑓 es inyectiva entonces existe
(𝑔 ∘ 𝑓)∗: −17, 13 → −4, 6 además 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑦 = −6𝑥 − 5 luego 
−𝑦−5
6
= 𝑥
Entonces (𝑔 ∘ 𝑓)∗ 𝑦 =
−𝑦−5
6
, cambiando 𝑦 por el 𝑥 se tiene
(𝑔 ∘ 𝑓)∗ 𝑥 =
−𝑥−5
6
Por lo tanto (𝑔 ∘ 𝑓)∗ = 𝑓∗ ∘ 𝑔∗
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Ejercicio: Dada la función 𝑓 definida como
𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥 − 2 2 + 1, 𝑥 ∈ 0, 2
−𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ⟨ ]2, 4
Determine 𝑓∗ si existe y grafíquelo
Solución:
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Ejemplo. Dada la función 𝑓 definida por:
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟏 − 𝟏, 𝒙𝝐 𝟏; 𝟐
Determine 𝒇∗.
Solución. Tenemos que
𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 + 𝟔 𝒙 − 𝟏 + 𝟗 − 𝟗
𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏 + 𝟑 𝟐 − 𝟗
1. 𝑫𝒐𝒎 𝒇∗
𝑺𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 ⟶ 𝟎 ≤ 𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟏 ⟶ 𝟎 ≤ 𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟏
⟶ 𝟑 ≤ 𝒙 − 𝟏 + 𝟑 ≤ 𝟒 ⟶ 𝟗 ≤ 𝒙 − 𝟏 + 𝟑
𝟐
≤ 𝟏𝟔
⟶ 𝟎 ≤ 𝒙 − 𝟏 + 𝟑
𝟐
− 𝟗 ≤ 𝟕
𝟎 ≤ 𝒇 𝒙 ≤ 𝟕
𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝟎; 𝟕 = 𝑫𝒐𝒎 𝒇∗
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2.- 𝒇∗ 𝒙
Sea 
𝒚 = 𝒙 − 𝟏 + 𝟑
𝟐
− 𝟗
𝒚 + 𝟗 = 𝒙 − 𝟏 + 𝟑
𝟐
𝒙 − 𝟏 = 𝒚 + 𝟗 − 𝟑
Despejando 𝑥, tenemos que
𝒙 = 𝒚 + 𝟗 − 𝟑
𝟐
+ 𝟏
Finalmente, intercambiando 𝑥 por 𝑦,
𝒇∗ 𝒙 = 𝒙 + 𝟗 − 𝟑
𝟐
+ 𝟏
∴ 𝒇∗ 𝒙 = 𝒙 + 𝟏𝟗 − 𝟔 𝒙 + 𝟗; 𝒙𝝐 𝟎; 𝟕
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Ejemplo. Dada la función 𝑓: 1;+∞ → B biyectiva, 
definida por 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝒙 − 𝟏, Determine 𝒇∗.
Solución. 
1.- 𝒇∗(𝒙)
Tenemos que 𝑦 = 𝑓 𝑥 ↔ 𝑓∗ 𝑦 = 𝑥.
𝒚 = 𝒇 𝒙 ↔ 𝒚 = 𝒙 + 𝒙 − 𝟏
↔ 𝒚 − 𝒙 = 𝒙 − 𝟏
↔ 𝒚− 𝒙 𝟐 = 𝒙 − 𝟏
↔ 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝒙 − 𝟏
↔ 𝒙𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏 𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟏 = 𝟎.
Por lo tanto, 𝒙 = 𝟐𝒚 + 𝟏 ± 𝟐𝒚 + 𝟏 𝟐 − 𝟒(𝒚𝟐 + 𝟏) /𝟐
𝒇∗(𝒚) = 𝟐𝒚 + 𝟏 ± 𝟒𝒚 − 𝟑 /𝟐
Como 𝑓 1 = 1 → 𝑓∗ 1 = 1. Por lo tanto,
.
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Solución (continuación). 
𝒇∗ 𝒚 =
𝟐𝒚 + 𝟏 − 𝟒𝒚 − 𝟑
𝟐
Cambiando 𝒚 por 𝒙, tenemos que
𝒇∗ 𝒙 =
𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟑
𝟐
.
2.-𝑫𝒐𝒎 𝒇∗
Determinemos el rango de 𝒇. Como 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝒙 − 𝟏, con 𝒙 ≥ 𝟏,
Es uma suma de dos funciones crecientes, tenemos que 𝒇 es 
creciente. Por lo tanto, como 𝒇 𝟏 = 𝟏, tenemos que
𝑩 = 𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝟏;+∞ = 𝑫𝒐𝒎 𝒇∗ .
Así, 𝒇∗: 𝟏;+∞ → 𝟏;+∞ , es dada por
𝒇∗ 𝒙 =
𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟑
𝟐
.
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Ejemplo. Dada la función 𝑓: [−4; 4] → B biyectiva, 
definida por 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟗, Determine 𝒇∗.
Solución. 
21
Ejemplo. Dada una función afín 𝒇, tal que 𝒇 𝟏 = 𝟒
y 𝒇∗ 𝟏 = 𝟎. Determine 𝒇∗ 𝟕 . Determine 𝒇∗.
Solución.