Ejercicio9_TP3

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Matemática
P
S
D
d
E
t
S
n
P
a
9. Calculá la función inversa, graficá y da su dominio.
a. f:  f(x) = -x + 2
b. f: [0; +)  [0; +) f(x) = x2
c. f: -{1} -{1}
1-x
1x
)x(f


ráctico 3 - ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCIÓN RACIONAL- EJERCICIO 9 1
OLUCIÓN Y COMENTARIOS
ada una función f: A B para hallar la función inversa f-1: B  A
ebemos tener en cuenta:
 Imf = B
 Para todo y que pertenece al conjunto de imágenes, la
ecuación f(x) = y tiene solución única.
stas dos condiciones hacen de f una función biyectiva y por lo tanto
iene inversa.
i alguna de estas condiciones no se cumplen debemos hacer restricciones en el dominio de f que
os permitan buscar la inversa.
ara resolver este ejercicio, procederemos así:
 Igualamos la fórmula de la función a y.
 Despejamos x de la ecuación resultante.
 Si al despejar ponemos restricciones sobre y para que exista solución, las mismas
caracterizan al conjunto de imágenes.
 Las restricciones que ponemos sobre x para tener una única solución irán conformando el
conjunto A.
. f: ; f(x) = -x + 2
Siendo f(x) = -x + 2, escribimos y = -x + 2.
Despejamos x.
y = -x + 2  y – 2 = - x
 -(y - 2) = x
 - y + 2 = x.
No pusimos ninguna restricción sobre las y.
Luego Imf = 
No pusimos ninguna restricción sobre las x.
Luego, para todo y que pertenece al conjunto de imágenes, la ecuación f(x) = y tiene
solución única.
Entonces el dominio de la función inversa son los números reales, y en consecuencia la
función inversa de f es f -1: ; f -1(x) = -x + 2. Su gráfica es la siguiente:
 CAPITULO V
INTRODUCCION
AL ESTUDIO DE
FUNCIONES
Función inversa
Págs. 69 a 78
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Práctico 3 - ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCIÓN RACIONAL- EJERCICIO 9 2
b. f: [0; +)  [0; +); f(x) = x2
Procedemos de manera análoga. Igualamos la fórmula a y para despejar x.
y = x2 Los y que nos interesan son aquellos mayores
o iguales que cero, esto es pertenecen al
intervalo [0; +)
|x|y
xy 2


Recordando que |x| = x si x 0 y |x|= -x si x< 0, podemos escribir:
0xsi;xy0xsi;xy 
Pero la función dada está definida en el intervalo [0; +).
Luego sólo nos interesa considerar los números reales que pertenecen a él (esto es los x 0)
Tomamos entonces: 0xsi;xy 
Entonces la función f: [0; +)  [0; +); f(x) = x2 es una función biyectiva y por lo tanto tiene
inversa.
El dominio de f-1 es la imagen de f. Por lo tanto, Dom f-1 = [0; +).
Y es f-1: [0; +) [0; +); f-1(x) = x . Su gráfica es:
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Práctico 3 - ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCIÓN RACIONAL- EJERCICIO 9 3
c. f: -{1} -{1};
1-x
1x)x(f 
Hacemos
1-x
1xy  y despejamos x.
y1)1y(x
y1xyx
1xyyx
1x)1x(y
1x
1xy






Como quiero dividir miembro a miembro por y – 1 debo condicionar que este número sea distinto de
cero.
Esto es y – 1 0 ó lo que es lo mismo y 1.
Entonces puedo dividir miembro a miembro por y – 1 si es y  1. (Ya sabemos que y = 1 no
pertenece a la imagen de f)
Resulta:
1y;
1y
y1
x 



Luego, Imf =  - {1}. Además para todo y que pertenece al conjunto de imágenes, la ecuación f(x) = y
tiene solución única, siendo x un elemento del dominio de f.
Entonces existe la función inversa.
El dominio de f-1 es la imagen de f. Por lo tanto es Domf-1 = - {1}.
Y resulta:
1x
x1)x(f/}1{}1{:f 11

 
Su gráfica es: