Apunte-rodadura-2019

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Mecanismos y Elementos de 
Máquinas 
 
Mecanismos y Sistemas de 
Aeronaves 
 
 
Apunte Rodadura 
 
 
 
 
 
 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pablo L Ringegni 
Andrés Martinez del Pezzo 
 
 
 
 
 
Apunte Rodadura 
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Pérdida de potencia por el efecto de la rodadura 
 
Sea un rodillo cilíndrico homogéneo de radio r y peso P que rueda sin deslizar 
sobre un apoyo plano horizontal. Durante la rodadura toda posición es posible de 
equilibrio. Sin embargo, para que el movimiento de rodadura sea posible a velocidad 
constante, se debe aplicar un momento M en el sentido de la rotación, esto demuestra 
que esta forma de vínculo presenta resistencia pasiva llamada resistencia a la 
rodadura. Así la potencia quedará definida como el producto de M.ω (ω = velocidad de 
rotación del rodillo) 
Se puede decir que la acción que el apoyo transmite al cilindro está formada no 
solo por una reacción Ry capaz de equilibrar a P sino también por un momento Ry.u 
capaz de oponerse u obstaculizar el movimiento de la rodadura alrededor del eje con 
centro en O. 
 
 
 
Figura 1 
 
De esta manera se tiene una fuerza Ry equivalente a P, desplazada en el 
sentido del movimiento por la cantidad: 
 
𝑢 =
𝑀
𝑅𝑦
 
 
que da una apreciación del roce de rodadura y tiene dimensiones de longitud. 
 
El parámetro de rodadura u, según las leyes de Coulomb-Morin cumple en 
forma aproximada que: 
 
1) Es independiente de la magnitud de P y de la velocidad angular ωr de la 
rotación relativa. 
2) Depende de la naturaleza de los materiales en contacto y del estado de sus 
superficies. 
El parámetro u es una función compleja que tiene en cuenta las causas que 
producen el roce de rodadura y que son esencialmente la deformación de los cuerpos, 
los escurrimientos relativos entre las superficies en contacto y la irregularidad de las 
superficies en contacto. 
 
 
 
 
Apunte Rodadura 
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Cálculo de un sistema rodante 
 
El primer paso para analizar un sistema rodante es determinar si el cuerpo está 
animado de movimiento por una fuerza o por una cupla (momento). En el primer caso 
se dice que el sistema esta traccionado y en el segundo que el sistema es tractor, ya 
que probablemente además arrastre otro sistema. 
En este apunte solo se tienen en cuenta dos posibilidades del movimiento: que 
el sistema ruede sin deslizar y que deslice sin rodar. 
 
 
1- Sistema (Rodillo) Traccionado 
 
Sea un rodillo de radio r y peso P que rueda con velocidad angular w con una 
velocidad lineal V y aceleración a. El movimiento del rodillo es producido por la fuerza 
T, paralela al plano de apoyo, aplicada en su centro (figura 2). 
 
 
Figura 2 
En este caso la reacción del plano de apoyo sobre el cilindro R debe hacer 
equilibrio con la resultante de T y la carga P. Luego R tendrá un ángulo  con respecto 
a la normal al apoyo, es decir: 
 
𝑅𝑥
𝑅𝑦
⁄ = 𝑡𝑔𝛼 (1) 
 
1.1 Para velocidad cte: 
 
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al rodillo con velocidad constante, se tiene: 
 
∑ 𝐹𝑣 = 0 
 
𝑅𝑦 − 𝑃 = 0 
 
 
∑ 𝐹ℎ = 0 
 
𝑅𝑥 − 𝑇 = 0 
 
 
∑ 𝑀𝐻 = 0 
 
−𝑇 ∙ 𝑟 + 𝑃 ∙ 𝑢 = 0 
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O planteando la sumatoria de momentos respecto a O: 
 
∑ 𝑀𝑂 = 0 
 
𝑅𝑦 ∙ 𝑢 − 𝑅𝑥 ∙ 𝑟 = 0 
 
 
Reemplazando (1) en las ecuaciones de equilibrio: 
 
 𝑡𝑔𝛼 = 𝑇 𝑃⁄ 
 
y 
 
𝑇
𝑃⁄ =
𝑢
𝑟⁄ (2) 
 
De (2) se tiene: 
 
𝑇 = 𝑢 ∙ 𝑃
𝑟⁄ = 𝑓𝑣 ∙ 𝑃 = 𝑓𝑣 ∙ 𝑅𝑦 = 𝑅𝑥 
 
Donde 𝑓𝑣 =
𝑢
𝑟⁄ es el coeficiente de roce de rodadura. 
 
Para que no haya deslizamiento deberá verificarse que Rx sea menor que la fuerza de 
roce ( f . 𝑃 ) 
 
𝑅𝑥 < 𝑓 ∙ 𝑃 
 
Siendo f el coeficiente de roce por deslizamiento. 
 
Luego, reemplazando Rx queda: 
 
𝑢
𝑟⁄ < 𝑓 o fv < f 
 
 
Si se evalúa la potencia asociada para mover el cilindro se tiene que: 
 
 𝑃𝑜𝑡 = 𝑇 ∙ 𝑉 =
𝑢∙𝑃
𝑟
 ∙ 𝑉 = 𝑢 ∙ 𝑃 ∙ 𝑤 
 
ó 
 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑀 ∙ 𝑤 = 𝑅𝑦 ∙ 𝑢 ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑃 ∙ 𝑤 
 
siendo M el torque 
 
 
1.2 Para velocidad ǂ cte: 
 
Se analizará ahora como calcular la fuerza T necesaria para mover al rodillo con una 
dada aceleración a. Se estudiarán las siguientes situaciones: 
 
1.2.1 Con fv = 0 (Desliza sin rodar, deslizamiento puro) 
1.2.2 Con fv ≠ 0 (Rueda sin deslizar, rodadura pura) 
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Sea m y J0 la masa y el momento de inercia másico baricentral del rodillo. 
 
1.2.1 Para fv = 0 deberá cumplirse: 
 
 
 
Figura 3 
 
 
 
∑ 𝐹ℎ = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
𝑇 − 𝑅𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
∑ 𝐹𝑣 = 0 
 
𝑃 − 𝑅𝑦 = 0 
 
∑ 𝑀0 = 0 
 
 
 
𝑅𝑥 < 𝑓 ∙ 𝑃 que reemplazando queda: 𝑇 − 𝑚 ∙ 𝑎 < 𝑓 ∙ 𝑃 
 
1.2.2 Para fv ≠ 0, se tiene: 
 
 
 
 
Figura 4 
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∑ 𝐹ℎ = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
 
𝑇 − 𝑅𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
𝑇 − 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑅𝑥 
∑ 𝐹𝑣 = 0 
 
−𝑃 + 𝑅𝑦 = 0 
 
∑ 𝑀0 = 
𝑑𝐾0
𝑑𝑡
 
 
Donde: Ko = Io w 
 
Luego: 
 
−𝑅𝑥 ∙ 𝑟 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑢 = 𝐼0 ∙ (−�̇�) 
 
−𝑅𝑥 ∙ 𝑟 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑢 = 𝐼0 ∙ (−
𝑎
𝑟⁄ ) 
 
 
Reemplazando Rx: 
 
−(𝑇 − 𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑟 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑢 = 𝐼0 ∙ (−
𝑎
𝑟⁄ ) 
 
𝑇 = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑅𝑦 ∙
𝑢
𝑟
+ 𝐼0 ∙
𝑎
𝑟2⁄
 
 
La potencia perdida por rodadura queda: 
 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑇 ∙ 𝑉 = 𝑇 ∙ 𝑤 ∙ 𝑟 = (𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑅𝑦 ∙
𝑢
𝑟
+ 𝐼0 ∙
𝑎
𝑟2⁄
) ∙ 𝑤 ∙ 𝑟 
 
 
𝑃𝑜𝑡 = 𝑚 ∙ 𝑎 ∙ 𝑤 ∙ 𝑟 + 𝑅𝑦 ∙ 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝐼0 ∙ 𝑤 ∙
𝑎
𝑟⁄ 
 
 
La condición de rodadura y no deslizamiento para este caso queda: 
 
𝑅𝑥 < 𝑓 ∙ 𝑅𝑦 
 
ó 
 
𝑅𝑥 < 𝑓 ∙ 𝑃 
 
 
Deberá tenerse en cuenta que la Rx siempre es calculada con los equilibrios 
dinámicos y para la verificación del deslizamiento deben compararse la Rx así 
calculada con el producto f.Ry = f.P, donde f es el coeficiente de roce estático. 
 
 
 
 
 
 
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2- Sistema (Rodillo) Tractor 
 
 
Figura 5 
Este caso tiene lugar cuando sobre el rodillo de peso P esta aplicada 
una resistencia T1 (tensión de tiro o remolque) que es paralela al plano del 
apoyo y un momento motor M que anima de movimiento al rodillo (figura 5). 
 
2.1 Si v = cte: 
 
∑ 𝐹ℎ = 0 
𝑅𝑥 − 𝑇1 = 0 
 
 
∑ 𝐹𝑣 = 0 
 
𝑅𝑦 − 𝑃 = 0 
 
La resultante S, de T1 y P, inclinada el ángulo  se compone con el momento M 
desplazándose paralelamente hacia el sentido de avance del rodillo, de manera de 
encontrar el plano de apoyo a una distancia u del contacto ideal, tal que: 
 
∑ 𝑀𝐻 = 0 
 
𝑇1 ∙ 𝑟 + 𝑃 ∙ 𝑢 − 𝑀 = 0 (3) 
 
Por lo que el momento tractor vale: 
 
𝑀 = 𝑇1 ∙ 𝑟 + 𝑃 ∙ 𝑢 
 
 Para esta situación de rodillo tractor puede entonces verificarse la 
rodadura pura si se satisfacen que Rx < f P 
 
Y como Rx = T1 
 
Entonces: 
 
(𝑀 − 𝑃 ∙ 𝑢) 𝑟 < 𝑓 ∙ 𝑃⁄ 
ó 
 
𝑀 < 𝑓 ∙ 𝑃 ∙ 𝑟 + 𝑃 ∙ 𝑢 
 
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2.2 Si v ≠ cte 
 
 
Figura 6 
En este caso por estar acelerado no todas las ecuaciones de equilibrio son igualdades 
a cero. 
 
∑ 𝐹ℎ = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
−𝑇1 + 𝑅𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑎 
 
 
∑ 𝐹𝑣 = 0 
 
𝑃 − 𝑅𝑦 = 0 
 
 
∑ 𝑀𝐻 =
𝑑𝐾𝐻
𝑑𝑡
=
𝑑(𝐾𝑂 + 𝑂𝐻̅̅ ̅̅ ^𝑄)
𝑑𝑡
 
 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑇1 ∙ 𝑟 =
𝑑(𝐼𝑂 ∙ 𝑤 + 𝑟^𝑚 ∙ 𝑤 ∙ 𝑟)
𝑑𝑡
 
 
 
Con lo cual la sumatoria de momentos queda: 
 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑇1 ∙ 𝑟 = 𝐼𝑂 ∙ (−�̇�) + 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ (−�̇�) 
Reemplazando I0: 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑇1 ∙ 𝑟 =
1
2⁄ ∙ 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ (−�̇�) + 𝑚 ∙ 𝑟2 ∙ (−�̇�) 
 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑇1 ∙ 𝑟 = −
3
2⁄ ∙ 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ �̇� (4) 
 
Si se plantea la sumatoria de momentos en O: 
 
∑ 𝑀𝑂 =
𝑑(𝐾𝑂)
𝑑𝑡
 
 
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9 
 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑅𝑥 ∙ 𝑟 =
1
2⁄ ∙ 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ (−�̇�) 
 
Reemplazando Rx 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + (𝑇1 + 𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑟 =
1
2⁄ ∙ 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ (−�̇�) 
 
Reemplazando la aceleración lineal: 
 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑇1 ∙ 𝑟 =
1
2⁄ ∙ 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ (−�̇�) − 𝑚 ∙ 𝑟2 ∙ �̇� 
 
Se obtiene la misma expresión que la (4) 
 
−𝑀 + 𝑃 ∙ 𝑢 + 𝑇1 ∙ 𝑟 = −
3
2⁄ ∙ 𝑚 ∙ 𝑟
2 ∙ �̇�