asymptotic-expansions

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Expansiones Asintóticas
Guillermo A Silva∗
Departamento de Física
Universidad Nacional de La Plata
December 21, 2020
—
Las expansiones asintóticas son expresiones que se obtienen mediante manip-
ulaciones formales y que dan origen a series que no convergen, en el sentido
usual, para ningún valor del parámetro de expansión1. De cualquier manera,
si truncamos una serie asintótica considerando sólo un número finito de térmi-
nos el resultado obtenido suele aproximar razonablemente el resultado exacto.
Sorprendentemente, la aproximación no mejora si consideramos los términos
sucesivos, de hecho empeora! La aproximación asintótica resulta óptima para
un número finito de términos.
Las siguientes técnicas de aproximación dan origen a series asintóticas:
. Integración por partes y desarrollos en potencias 1xn : erf(x), E1(x), x→∞.
. Método de Laplace (integrandos reales): Γ(x), x� 1.
. Método de la fase estacionaria (integrandos Oscilantes): Ai(x) para x� −1.
. Método de saddle point (integrandos holomorfos): funciones de Airy Ai y Bi.
. Integración por partes
erf(x): la función error se define como
erf(x) =
2√
π
∫ x
0
e−t
2
dt . (1) erf
El factor de normalización se elige para que erf(∞) = 1.
Supongamos que deseamos evaluar erf(x) para valores grandes de x. Dos posi-
bles estrategias son:
∗silva@fisica.unlp.edu.ar
1Por ejemplo S(x) =
∑
anxn donde an ∼ n!.
1
i. Expandir e−t
2
e integrar ; Serie de potencias xn:
erf(x) =
2√
π
∫ x
0
[
1− t2 + 1
2!
t4 − 1
3!
t6 + · · ·
]
dt
=
2√
π
[
x− 1
3
x3 +
1
5 · 2!x
5 − · · ·+ (−1)
n
2n+ 1
x2n+1
n!
+ · · ·
]
. (2)
el intercambio de suma e integración está permitido porque la serie a ser in-
tegrada converge absoluta y uniformemente para 0 ≤ t ≤ x. La serie resultante
converge para todo x: las sumas parciales aproximan el valor exacto para todo
valor de x con cualquier precisión deseada si tomamos un número suficiente de
términos. Sin embargo la convergencia es muy lenta y el método no resulta útil.
Por ejemplo, para obtener un error ε < 10−5 se deben sumar al menos
x = 1 → 8 terminos
x = 2 → 16 terminos
x = 3 → 75 terminos
. (3)
Asimismo, para x = 4 los primeros 16 términos de (2) suman S16(4) ≈ −5.75×
105, un valor un tanto alejado del valor exacto erf(4) = 0.9999999846.... Si
tomamos mas términos la aproximación mejora. Con 40 términos obtenemos
una aproximación con un error ε ∼ 3× 10−2 (ver fig. 1).
Figure 1: Aproximación de erf(4) mediante sumas parciales Sn(4) en (2). Recién
después de n ≥ 40 la suma parcial Sn ∼ 1. erf4
Conclusión: la expansión (2) resulta útil sólo para valores pequeños de x (x� 1).
ii. Integrar por partes ; Serie de potencias en 1xn : Reescribamos (1) como
erf(x) = 1− 2√
π
∫ ∞
x
e−t
2
dt . (4)
2
Integrando por partes sucesivamente obtenemos∫ ∞
x
e−t
2
dt =
∫ ∞
x
− 1
2t
d(e−t
2
) = −e
−t2
2t
∣∣∣∣∣
∞
x
−
∫ ∞
x
e−t
2
2t2
dt
=
e−x
2
2x
− e
−x2
4x3
+
∫ ∞
x
3
4
e−t
2
t4
dt
= e−x
2
[
1
2x
− 1
22x3
+
1 · 3
23x5
− · · ·+ (−1)
n−1
2n
1 · 3 · 5 · · · (2n− 3)
x2n−1
]
+(−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2n
∫ ∞
x
e−t
2
t2n
dt
≡
n∑
r=1
ar(x) +Rn(x), ar(x) ≡
(−1)r−1
2r
1 · 3 · 5 · · · (2r − 3)
x2r−1
.
donde Rn es el resto después de tomar n términos. La expansión obtenida en
potencias de 1/xn luce prometedora para x� 1.
La expansión asintótica de erf(x) se define ‘olvidándonos’ del resto Rn
erf(x) ∼ 1− 2√
π
e−x
2
(
1
2x
− 1
22x3
+
1 · 3
23x5
− 1 · 3 · 5
24x7
+ · · ·
)
. (5) asymp
Los dos primeros términos aproximan erf(4) con un error menor a 10−7.
Figure 2: Aproximación de erf(4) mediante sumas parciales Sn(4) en (5). Izq:
el error en la aproximación de erf(4) es mínimo para n = 15. Der: si sumamos
mas términos la aproximación empeora y eventualmente diverge. er4
Convergencia de series asintóticas:
(5) no converge para ningún valor de x
Radio de convergencia R = 0
La verificación es inmediata,
|an(x)| =
1 · 3 · 5 · · · (2n− 3)
2n|x|2n−1 = 4|x|
(
1
4x2
)n
(2n− 3)!
(n− 2)! (6) an
3
usando el criterio de D’Alembert obtenemos∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ ∼ nx2 . (7) dal
Para todo valor de x el cociente es mayor que 1 tomando n lo suficientemente
grande ⇒ la serie no converge para ningún valor de x y que el radio de conver-
gencia de la serie R = 0. Este resultado es consecuencia del comportamiento
an ∼ n! para n grande (cf. (7)).
Resto: contrariamente a lo que sucede con las series convergentes, el resto Rn
despreciado en (5) crece con n de manera exponencial
erf(x) = 1− 2√
π
e−x
2
(
1
2x
− 1
22x3
+
1 · 3
23x5
− 1 · 3 · 5
24x7
+R4
)
(8) sr
donde
R4 =
105
16
∫ ∞
x
te−t
2
t9
dt =
105
16
(
−1
2
)
e−t
2
t9
∣∣∣∣∣
∞
x
− 105
16
∫ ∞
x
9
2
e−t
2
t10
dt︸ ︷︷ ︸
>0
.
De manera que
R4 <
105
32︸︷︷︸
crece raápidamente
e−x
2
x9
A pesar de esto, para n fijo, R → 0 cuando x→∞2.
—
Tomando sólo un número finito de términos de la serie, es posible obtener una
aproximación para f(x) que para x suficientemente grande será razonable.
Pero, para x fijo, no será arbitrariamente precisa.
—
Conclusión: las series asintóticas tienen un error intrínseco. Para cada valor de
x existe un número óptimo de términos n∗ para el cual la suma parcial tiene
mínimo error respecto del valor exacto dado por f(x) (ver fig. 2 izq.). La
aproximación dada por una serie asintótica no mejora al incluir más términos,
de hecho empeora.
2Esta última condición conduce a una definición de serie asintótica.
Definición: Sn es una serie asintótica de f(x), denotándose Sn ∼ f(x) si se verifica que
Sn −→ f(x)
x→∞
para n finito
Es decir, una series es asintótica si la serie truncada aproxima a la función cuando el argumento
tiende a un punto particular.
4
Figure 3: Comportamiento de los coeficientes de una serie asintótica como fun-
ción de n. Observar el comportamiento cuando x > x′.
Las series asintóticas son fundamentalmente distintas de las expansiones en
potencias convencionales. Las series convencionales como el sinx
sinx = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · · (9)
convergen absolutamente para todo valor de x. De manera que para todo x,
el error asociado con la serie puede hacerse tan pequeño como deseemos si
incluimos un número suficiente de términos. Contrariamente a lo que sucede
con las series asintóticas, las series convergente no contienen un error intrínseco
asociado.
Conclusión: Para todo valor fijo de x la aproximación dada por una serie asin-
tótica tiene un error mínimo, obtenido tomando un número óptimo de términos.
El error mínimo de la expansión asintótica disminuye si evaluarmos la serie para
valores de x mas grandes. Sin embargo, el número de términos a ser sumados,
para obtener la aproximación óptima aumenta.
—
Integral exponencial E1(x): se define a partir de la integral
E1(z) =
∫ ∞
z
e−s
s
ds . (10)
Haciendo el cambio de variables s = z(t+ 1) tenemos
E1(z) = e
−z
∫ ∞
0
e−zt
t+ 1
dt
∼ e−z
∫ ∞
0
e−zt(1− t+ t2 − . . .)dt
∼ e
−z
z
(
1− 1
z
+ . . .+ (−)n n!
zn
+ . . .
)
(11)
5
Notar el crecimiento exponencial en los coeficientes de la serie obtenida y el uso
(indebido) de la serie geométrica fuera de su radio de convergencia.
—
A continuación discutiremos funciones definidas mediante integrales del tipo
I(x) =
∫
C
g(t) exh(t)dt (12) int
donde C será una curva en el plano complejo La técnica de aproximación para
x→∞, consiste en expandir el argumento de la exponencial a segundo orden en
t alrededor de los puntos críticos de h(t), i.e. h′(t0) = 0, e integrar la gaussiana
resultante. Dependiendo de las características que presenten h(t) y C se aplican
distintas técnicas.
—
. Método de Laplace - Exponencial real
Figure 4: t0 es el máximo de h(t): esto es h′(t0) = 0 y h′′(t0) < 0.
Se aplica a integrales reales del tipo (12) con funciones g, h reales integradas a lo
largo del eje real, C = R. La contribución dominante para x→∞ proviene de la
región donde la función h(t) alcanza su máximo. A orden dominante tenemos:
I(x) ≈ g(t0)exh(t0)∆t
donde ∆t ∼ 1/
√
h′′(t0) escala de la expansión cuadrática alrededor de t0 (ver
(16)).Dependiendo de la ubicación del máximo en el intervalo de integración
tenemos dos posibilidades:
6
i. Máximo de h(t) en alguno de los extremos del intervalo de integración: Sea
I(x) =
∫ b
a
g(t) exh(t)dt (13)
donde el máximo de h(t) está en el límite inferior de integración a3. Expandiendo
h(t) y g(t) en series de potencias en (t− a) se obtiene
I(x) = exh(a)
∫ b
a
(
g(a) + g′(a)(t− a) + . . .
)
ex[(t−a)h
′(a)+ 12 (t−a)
2h′′(a)+...] dt
∼ e
xh(a)
x
∫ “∞”
0
[
g(a) + g′(a)
w
x
+O
(
x−2
)]
ewh
′(a) e
w2
2x h
′′(a)+O(1/x2)︸ ︷︷ ︸
1+O(x−1)
dw
(14)
donde w = x(t− a). Impunemente hemos aproximado la expresión extendiendo
la integral ∫ x(b−a)
0
dw →
∫ ∞
0
dw cuando x→∞
La aproximación mas cruda de (14) corresponde a
. g(x) ∼ g(a) despreciando términos O(x−1)
. e
w2
2x h
′′(a)+... ∼ 1 despreciando términos O(x−1)
Puesto que h′(a) < 0 resulta
I(x) ∼ 1
xh′(a)
g(a)exh(a) +O(x−1) . (15)
La expresión obtenida resulta una serie en potencias en 1/xn.
—
Función de Bessel modificada IJ :
IJ(x) =
(x/2)J√
π Γ(J + 1/2)
∫ 1
−1
dy (1− y2)J− 12 exy .
El máximo de la exponencial se alcanza en el extremo superior del límite de
integración. Mediante el cambio de variables y = 1− t lo movemos al origen de
t, obteniendo
IJ(x) =
(x/2)Jex√
π Γ(J + 1/2)
∫ 2
0
dt e−xt(2t− t2)J− 12 ,
3Dado que nos interesa el límite x→∞, necesariamente h′(a) < 0.
7
Un nuevo cambio de variables r = xt reduce la expresión a
IJ(x) =
(x/2)Jex√
π Γ(J + 12 )
∫ 2x
0
dr
x
e−r
(
2r
x
)J−1/2 (
1− r
2x
)J−1/2
∼ e
x
√
2πxΓ(J + 1/2)
∫ ∞
0
dr e−rrJ−1/2
(
1− (J − 1/2) r
2x
+ . . .
)
, x→∞
∼ e
x
√
2πxΓ(J + 1/2)
(
Γ(J + 1/2) + (1/2− J)Γ(J + 3/2)
2x
+ . . .
)
, x→∞
∼ e
x
√
2πx
(
1 +
1/4− J2
2x
+ . . .
)
, x→∞
—
ii. Máximo de h(t) en el interior del intervalo de integración: Sea t0 ∈ (a, b) el
punto en el cual h(t) es máxima, expandiendo h(t) = h(t0) + 12h
′′(t0)(t− t0)2 +
O((t− t0)3) tenemos h′′(t0) < 0. Luego
I(x) = exh(t0)
×
∫ b
a
e
x
2 h
′′(t0)(t−t0)2 ex[
1
3!h
′′′(t0)(t−t0)3+...]︸ ︷︷ ︸
I
(g(t0) + g
′(t0)(t− t0) + ...)︸ ︷︷ ︸
II
dt
haciendo w2 = x(t− t0)2, al expandir I y II en potencias de 1/
√
x resulta
I(x) ∼ e
xh(t0)
√
x
∫ “∞”
−“∞”
e
1
2h
′′(t0)w
2
(
1 +O(x−1/2)
)
[g(t0) +O(x−1/2)]dw
Como en el ejemplo de mas arriba, la gaussiana e
x
2 h
′′(t0)w
2
se localiza en el
entorno de t0 para x→∞, esto nos permite extender los límites de integración
hasta infinito con un error muy pequeño. Integrando resulta4
I(x) ∼
√
2π
−h′′(t0)x
g(t0) e
xh(t0)
(
1 +O(x−1)
)
. (16)
—
Fórmula de Stirling: da una expresión para x! en el límite de x� 1. Recordando
que
x! =
∫ ∞
0
txe−tdt = Γ(x+ 1) ,
la idea es llevar x al exponente. Mediante t = xτ obtenemos∫ ∞
0
(xτ)xe−xτxdτ = xx+1
∫ ∞
0
ex(ln τ−τ)dτ .
4Los términos en potencias impares de w desaparecen al integrar contra la gaussiana,
resultando la aproximación en potencias enteras de 1/x. Analizando los términos sucesivos se
comprueba que la serie obtenida es asintótica.
8
Luego de las manipulaciones nos encontramos bajo las condiciones del caso
discutido mas arriba donde g(t) = 1 y h(t) = ln t − t. El máximo de h(t) se
encuentra en τ = 1, de (16) resulta
x! ∼
√
2π
x
xx+1e−x
x! ∼
√
2πx
(x
e
)x
, x→∞ . (17)
. Método de la fase estacionaria - Exponencial imaginaria
Se aplica a integrales oscilatorias, del tipo
I(x) =
∫
g(t) eixh(t)dt (18) statphase
con g, h reales integradas sobre el eje real t. La contribución dominante cuando
x→∞ proviene de los puntos estacionarios de h(t), donde la función varía mas
lentamente. Las regiones donde la fase no es estacionaria promedian a cero.
Figure 5: La contribución dominante en el caso oscilatorio proviene de los ex-
tremos h′(t0) = 0 donde la superposición es ‘coherente’.
La justificación es la siguiente: considerando h(t) estrictamente monótona (h′(t) 6=
0) en el intervalo [α, β], tenemos∫ β
α
g(t) eixh(t)dt =
∫ h(β)
h(α)
g(h−1(y)) eixy
dy
h′(h−1(y))
−→
x→∞
0, y = h(t) (19) rl
debido al lema de Riemann-Lebesgue. Este cálculo sugiere que la contribución
dominante a (18) viene dada por los puntos estacionarios de h(t), donde el
denominador de (19) se anula y compite con la oscilación. Expandiendo h
alrededor de dichos puntos h(t) = h(t0)+ 12h
′′(t0)(t−t0)2+O((t−t0)3) obtenemos
I(x) ∼
∫ “∞”
−“∞”
g(t0) e
ixh(t0) e
i
2xh
′′(t0)τ
2+... dτ, τ = t− t0
∼
√
2πi
xh′′(t0)
g(t0) e
ixh(t0) . (20)
9
Para pasar a la segunda línea integramos una gaussiana de argumento imag-
inario:
∫∞
−∞ e
iat2dt =
√
iπ
a , conocida como integral de Fresnel (ver apéndice
A).
—
Función de Airy Ai(x) para x negativo y grande
Las funciones de Airy Ai y Bi son las dos soluciones linealmente independientes
de la ecuación diferencial
−d
2ψ(x)
dx2
+ xψ(x) = 0 . (21) ai
Para analizar el comportamiento asintótico de las soluciones debemos dis-
tinguir las regiones x � 0 y x � 0. Las soluciones de (21) pueden ser inter-
pretadas como la solución de energía cero para un potencial lineal en mecánica
cuántica. La región x < 0 corresponde a la región clásicamente permitida, x > 0
corresponde a la región prohibida clásicamente. En este sentido, la solución físi-
camente relevante, denotada Ai(x), corresponde a la solución que decae para
x > 0, y oscila para x < 0. La segunda solución linealmente independiente se
denota como Bi(x) y se define de manera que diverge para x→∞ y no presenta
componente en la exponencial decreciente (ver apéndice B).
La función Ai(x) puede ser escrita como
Ai(x) =
1
π
∫ ∞
0
cos
(
1
3
ω3 + xω
)
dω
=
1
2π
∫ ∞
−∞
ei(xω+
1
3ω
3)dω . (22)
El método de la fase estacionaria nos permite hallar una expansión asintótica
para Ai en la región x � 0. Escribiendo x = −y nos interesa analizar y � 15.
Definiendo ω = √yt resulta
Ai(−y) =
√
y
2π
∫ ∞
−∞
eiy
3
2 (−t+ 13 t
3)dt ; h′(t0) = 0, t0 = ±1 (23)
Es importante resaltar que debemos tener en cuenta ambas contribuciones. Us-
ando (20) obtenemos a orden dominante
Ai(−y) ∼
√
y
2π
(√
πi
y
3
2
e−
2i
3 y
3
2 +
√
πi
−y 32
e
2i
3 y
3
2
)
∼ 1
2
√
πy
1
2
(
ei
π
4 e−
2i
3 y
3
2 + e−i
π
4 e
2i
3 y
3
2
)
, y → +∞
5Para x > 0 el método de fase estacionaria no puede ser usado pues los extremos del
exponente se encuentran en x + ω2 = 0 =⇒ ω = ±ix que no pertenecen al intervalo de
integración. Discutiremos esta afirmación en profundidad mas abajo
10
La expansión asintótica de la función de Airy para x grande y negativo es
entonces (cf. (35) y (36))
Ai(x) ∼ 1√
π(−x) 12
cos
[
2
3
(−x) 32 − π
4
]
, valida para x→ −∞ (24) aicos
Nota: El factor −π
4
dentro del coseno resulta de la prescripción obtenida para
√
±i
en el app. A.
. Método del Saddle point o Steepest descent
Integrandos holomorfos
Se aplica a integrales del tipo (12) con g, h holomorfas y C = Γ un camino en el
plano complejo
I(x) =
∫
Γ
g(z) exh(z)dz (25) saddle
La contribución dominante en el límite x → ±∞ se supone dominada por los
entornos de los extremos z0 de h(z). Puesto que h(z) es holomorfa (∂z̄h(z) = 0)
las partes real e imaginaria de h = hR + ihI resultan ser funciones armónicas
0 = ∂z∂z̄h = ∇2(hR + ihI). Esta última propiedad conduce a que los extremos
z0 de h(z) (h′(z0) = 0) sean puntos de ensilladura (saddle points) para hR, hI .
Puesto que el integrando presentará la forma
I(x) =
∫
Γ
g(z) exhR(z)eixhI(z)dz, (26) sp
el método de saddle point es una combinación de los dos anteriormante discu-
tidos. La contribución dominante se obtendrá deformando el camino Γ → Γ′
para hacerlo pasar por los extremos z0. Lo eligiremos de manera que :
11
(i) la parte real hR alcance un máximo en z0
(ii) la parte imaginaria hI sea estacionaria en el entorno de z0.
Estas condiciones corresponden a pasar por z0 a lo largo del camino de máximo
crecimiento (steepest descent).
Las condiciones (i) y (ii) se implementan facilmente para el caso de funciones
holomorfas. Las condiciones de Cauchy-Riemann implican que las superficies
de nivel de hR y hI son ortogonales6, esto significa que el camino de máximo
crecimiento para hR (dirigidosegún ∇hR) es el que corresponde a la superficie
de nivel hI = cte que pasa por z0. Eligiendo
Γ′ ≡ {Superficie de nivel : hI = cte que pasa por z0}
la integral en (26) se encuentra dominada por el entorno de z0 donde hR máx-
ima y hI estacionaria. De esta manera, no existen cancelaciones debidas a
oscilaciones en la fase.
Figure 6: Superficies de nivel de la parte real hR de h(t) en negro. En azul(rojo)
las curvas de máximo ascenso(descenso) que pasan por z0 correspondiente a la
parte imaginaria hI = cte de h(t). Cauchy-Riemann implica que las curvas de
nivel de las partes real e imaginaria son ortogonales.
Procedamos entonces desarrollando h(z) en un entorno de z0
h(z) = h(z0) +
1
2
h′′(z0)(z − z0)2 + . . . (27)
Escribiendo z − z0 = ρeiα, con ρ ∈ (0,∞) para el descenso, las condiciones de
steepest descent implican que la inclinación α con la cual nos alejamos de z0 se
fija de manera que el término cuadrático sea real y negativo
Steepest descent path : xh′′(z0)(z − z0)2 < 0 ; determina α
α se fija para cancelar la fase proveniente de xh′′(z0)
xh′′(z0)︸ ︷︷ ︸
−|xh′′(z0)|e−2iα
(z − z0)2 = −t2 ; t = ρ
√
|xh′′(z0)|
6Las condiciones de Cauchy-Riemann ∂̄h(z) = 0 implican que ∇hR · ∇hI = 0.
12
La integral (25) queda dominada entonces por
I(x) =
∫
highest saddle
g(z) exh(z)dz
∼ g(z0) exh(z0)
∫
s.d.p.
e−
1
2 |xh
′′(z0)|ρ2eiαdρ
∼
√
2π
|xh′′(z0)|
g(z0)e
xh(z0)eiα. (28)
—
Figure 7: Función de Airy Ai para x > 0: las figuras representan la parte real
de h̃(t) = xt − 13 t3 en la función de Airy (30): h̃R(tR, tI) = x tR − t3R/3 +
tRt
2
I como función de tR y tI . Se observan dos saddles ubicados, para x > 0,
sobre el eje real en t = (±√x, 0). El saddle de la derecha es mayor en valor
absoluto <[h̃(√x)] > <[h̃(−√x)], sin embargo no es posible deformar el contorno
originalmente ubicado sobre el eje imaginario para pasar por él (curva azul). La
contribución proveniente del saddle de la izquierda resulta ser la relevante para
la aproximación de saddle point (curva verde). airsadd
—
13
Ai(x):
Ai(x) =
1
2π
∫ ∞
−∞
ei(xω+
1
3ω
3)dω . (29)
haciendo el cambio de variable t = iω, obtenemos
Ai(x) =
1
2πi
∫
C
e(xt−
1
3 t
3)dt . (30) airy
La curva C se orienta según el eje imaginario en el plano complejo t (camino
Γ3 en (75)). Extremizando el exponente h̃(t) = xt− 13 t3, obtenemos los puntos
estacionarios t0 (saddle points) como función de x
h̃′(t0) = x− t20 = 0 =⇒ t0 = ±
√
x donde t0 ∈ C (31) +x
Fenómeno de Stokes: al variar x ∈ R de x� 1 a x� −1 los saddles se mueven
sobre el eje real acercándose al origen, colapsan para x = 0 y continúan, para
x < 0, moviéndose por el eje imaginario. Este cambio de posición de los mismos
en el plano complejo t resulta en el fenómeno de Stokes: un cambio en el número
de saddles que contribuyen en el límite |x| → ∞. Físicamente entedemos la razón
de este efecto en el caso de la función de Airy. Dado que estamos resolviendo
el movimiento de energía cero en un potencial lineal (21), la región x � −1 es
la región permitida donde esperamos dos ondas (saddles) una entrante y una
saliente (ver (36)). La región x� 1 es la región prohibida, debajo del potencial,
donde esperamos solo una exponencial decreciente (ver (35)).
Región prohibida x� 1: los puntos estacionarios se encuentran sobre el eje real
del plano complejo t en t0 = ±
√
x. En principio el saddle dominante debería
ser t0 =
√
x puesto que <[h̃(√x)] > <[h̃(−√x)] (ver fig. 7). Sin embargo,
puesto que la aproximación de saddle point exige que el camino debe termine
en el fondo de los valles, el camino inicialmente definido sobre el eje imaginario
solo puede ser deformado para pasar por el saddle de la izquierda, ubicado en
t0 = −
√
x. La figura 7 muestra que el camino azul no es una elección permitida.
Para determinar el camino de steepest descent que pasa por t0 = −
√
x
llevamos la integral a la forma canónica (25) mediante el cambio de variables
t =
√
xz. La expresión para Ai(x) toma la forma
Ai(x) =
√
x
2πi
∫
C
ex
3/2(z− 13 z
3)dz . (32) aic
donde ahora el saddle point que debemos considerar se encuentra en z0 = −1.
La idea, como se explicó arriba es entonces expandir el exponente alrededor
de z0 a orden cuadrático e integrar la gaussiana resultante en toda la recta
real despreciando el resto de los términos. Escribiendo z − z0 = t(a + ib),
determinamos a, b de manera que 12h
′′(z0)(z− z0)2 sea real y negativo, tenemos
h(z) = z − 1
3
z3 ≈ −2
3
+ t2(a2 − b2 + 2iab) +O(t3) , (33)
14
eligiendo a = 0 y b = 1 logramos el resultado deseado. El camino de steepest
descent en el entorno de z0 = −1 resulta entonces paralelo al eje imaginario. La
contribución dominante de (32) toma la forma
Ai(x) ∼
√
x
2πi
∫ −1+i�
−1−i�
ex
3/2(− 23−t
2) dz donde z + 1 = it
∼
√
x
2π
e−
2
3x
3/2
∫ “∞”
“−∞”
dt e−x
3/2t2
∼
√
x
2π
e−
2
3x
3/2
√
π
x3/2
. (34)
La expansión asintótica de la función Ai(x) para x grande y positivo resulta
Ai(x) ∼ e
− 23x
3/2
2
√
πx1/4
, x→ +∞ . (35) aix+
—
Figure 8: Función de Airy Ai para x < 0: los puntos críticos se ubican sobre el eje
imaginario en t = ±i
√
|x|. Ambos aparecen en la expansión asintótica puesto
que el contorno inicialmente en el eje imaginario puede ser deformado para pasar
por ambos saddles. Asimismo, contribuyen con el mismo peso <[h̃(i√−x)] =
<[h̃(−i√−x)]. fig
Región permitida x� −1: En este caso los puntos de ensilladura se encuentran
sobre el eje imaginario en t0 = ±i
√−x. Evaluando el exponente en estos puntos
15
observamos que <[h̃(t0)] = 0, de manera que ambos extremos contribuyen con
igual peso. Las curvas de nivel para hR y x < 0 se muestran en negro en la
figura 8.
Puesto que podemos deformar el contorno original de manera de pasar por
los dos puntos de ensilladura mediante un camino que atraviese valles, debemos
tener en cuenta ambas contribuciones (cf. sección Método de fase estacionaria).
El resultado es (cf. (24))
Ai(x) ∼ 1√
π(−x) 14
sin
[
2
3
(−x) 32 + π
4
]
, valida para x→ −∞ (36) aix-
—
Figure 9: Fenómeno de Stokes - Valles y saddles al variar x en el plano
complejo: Las curvas continuas corresponden a hI = cte. para h(t) =
xt − t3/3, siendo x = |x|eiθ. Los cuatro gráficos corresponden a θ =
(a) 7π/12, (b) 5π/8, (c) 2π/3, (d) 3π/4. Al alcanzar θ = 2π/3 (fig.(c)) un nuevo
saddle comienza a contribuir en el camino de integración, si bien es subleading.
Los dos saddle tienen igual contribución cuando θ = π, en concordancia con dos
exponenciales en (36). Para θ > π el saddle que apareció en la fig. (c) comienza
a dominar sobre el saddle original. Figura de Goldbart-Stone. stk
Líneas de Stokes: al variar x de x > 0 → x < 0 mencionamos la aparición de
nuevos saddles en la aproximación asintótica. La figura 9 muestra esquemáti-
camente la aparición de una nueva contribución al variar x en el plano com-
plejo. En particular para Ai la contribución del segundo saddle aparece cuando
16
Arg(x) ≥ 2π/3 y resulta ser subdominante respecto del saddle inicial. Cuando
x alcanza el eje real negativo los dos saddle contribuyen en igual magnitud, y
a partir de Arg(x) > π el saddle original que dominaba en el eje real posi-
tivo deja de dominar. Se llama línea de Stokes a la curva a partir de la cual
aparece/desaparece una contribución. Las rectas que separan regiones donde
dominan distintos saddle se denominan anti-stokes (ver fig. 10).
Figure 10: Lineas de Stokes: curvas que marcan la aparición de nuevos saddles en
la aproximación asintótica. Línea anti-stokes: curva donde cambia el saddle que
domina. Debajo del eje real negativo el saddle que apareció cuando Arg(x) ≥
2π/3 domina sobre el saddle original. stkpic
—
Teoría de perturbaciones, expansión asintótica y reconstrucción: consideremos la
integral definida por
Z(g) =
1√
π
∫ ∞
−∞
e−x
2−gx4 dx . (37) toy
Podemos imaginar a esta integral como un modelo de juguete para una integral
funcional de la forma
Z(g) = 1
Z(0)
∫
Dx e−S0(x)e−g
∫
V (x)
donde S0(x) = x2 y el potencial de interacción V (x) = x4
Supongamos que inocentemente realizamos una expansiónperturbativa de
17
(37) en potencias de g. La técnica estandar procede de la siguiente manera
Z(g) =
1√
π
∫ ∞
−∞
e−x
2−gx4 dx .
=
1√
π
∫ ∞
−∞
e−x
2
∞∑
n=0
(−)n g
nx4n
n!
dx
=
? 1√
π
∞∑
n=0
(−)n g
n
n!
∫ ∞
−∞
e−x
2
x4n dx
=
1√
π
∞∑
n=0
(−)n g
n
n!
Γ
(
2n+
1
2
)
.
= 1− 3g
4
+
105g2
32
− 3465g
3
128
+ ... (38)
Algo anduvo mal? Los coeficientes de gn crecen como n! Puesto que7
Γ(2n+
1
2
) ∼
√
2π
(
2n
e
)2n
y n! ∼
√
2πn
(n
e
)n
concluimos que
Z(g) =
∑
n
Zng
n where Zn ∼ (−)n4n
1√
n
(n
e
)n
∼ (−)
n
√
2π
4n(n− 1)!
El crecimiento factorial de los coeficientes implica que el radio de convergencia
de la serie es cero. La maniobra inválida, pero muy popular, de haber inter-
cambiado la integral con la suma, yendo de la segunda a la tercer línea, es la
responsable de este resultado. Las mismas no pueden ser intercambiadas puesto
que la suma dentro de la integral no converge uniformemente en el dominio de
integración. Podemos argumentar que el resultado es consecuencia de que el
número de diagramas crece factorialmente con n.
Por otra parte, (37) puede ser evaluada exactamente
Z(g) =
e
1
8g
2
√
πg
K1/4
(
1
8g
)
(39) exactZ
7Laplace: la integral en la tercera línea de (38) (función Gamma) puede ser evaluada
asintóticamente mediante el método de Laplace. Los mínimos del integrando se encuentran
en
h(x) = −x2 + 4n log x ; − 2x+
4n
x
= 0 ; x =
√
2n
luego ∫
e−x
2+4n log xdx ∼ e2n(log 2n−1) =
(
2n
e
)2n
︸ ︷︷ ︸
leading
×
√
2π︸︷︷︸
Gaussiana
El factor
√
2π resulta de la aproximación gaussiana alrededor del saddle x =
√
2n.
18
con Kν la función de Bessell modificada de segunda especie. Somos afortunados
y podemos entonces interpretar la aparición de una serie asintótica para Z(g) en
el origen como debida al corte de la función de Bessell. (39) es la solución exacta
no perturbativa del problema. Su expansión en distintos límites nos permitirá
entender distintas propiedades de las series.
Dyson y las series asintóticas: la razón física de este fenómeno la dio Freeman
Dyson en los 50’ en el contexto de QED: la teoría es inestable. Para g < 0 el
vacio (mínimo absoluto del potencial V (x) = x2 +gx4), se mueve a infinito pues
el potencial no está acotado inferiormente. La razón matemática es evidente en
este ejemplo: la integral (37) es divergente para g < 0, lo cual implica que no
podemos expandir en potencias de g alrededor del origen debido al corte de la
función de Bessell. Físicamente, el origen x = 0 es un mínimo local que decae
por efecto tunel hacia las regiones de x � 1. Concluimos que la divergencia
factorial en el número de diagramas an ∼ n! en QFT tiene su origen en la
expansión en torno a un punto de inestabilidad.
—
Dyson’s argument (from hep-th/0207046): a physical quantity in QED, computed
using the standard rules of renormalized QED perturbation theory, is expressed as a
perturbative series in powers of the fine structure constant α = e
2
4π
F (e2) = c0 + c2e
2 + c4e
4 + ... (†)
Now, suppose that this perturbative expression is convergent. This means that in
some small disc-like neighborhood of the origin, F (e2) has a well-defined convergent
approximation. In particular, this means that within this region, F (−e2) also has a
well-defined convergent expansion. Dyson then argued on physical grounds that this
cannot be the case, because if e2 < 0 the vacuum will be unstable. This, is so because
with e2 < 0 like charges attract and it will be energetically favorable for the vacuum
to produce e−e+ pairs which coalesce into like-charge blobs, a runaway process that
leads to an unstable state:
“ Thus every physical state is unstable against the spontaneous creation of large
numbers of particles. Further, a system once in a pathological state will not
remain steady; there will be a rapid creation of more and more particles,
an explosive disintegration of the vacuum by spontaneous polarization.”
F. J. Dyson, 1952
The standard QED perturbation theory formalism breaks down in such an unstable
vacuum, which Dyson argued means that F (−e2) cannot be well-defined, and so the
original perturbative expansion (†) cannot have been convergent.
—
Resumación de Borel: podemos darle sentido a las serie asintóticas? La técnica
de Borel da una respuesta afirmativa a esta pregunta cuando an ∼ n! para
ciertos casos. El truco es el siguiente: agregamos un n! en el denominador y
19
Figure 11: Potencial V (x) en (37) para g < 0. El mínimo local en el origen es
inestable frente a tunneling. Las contribuciones provenientes de los puntos de
equilibrio inestables x0 = ± 1√−2g en (43) representan los instantones del modelo
(ver (44),(47)). instanto
numerador y manipulamos
S(g2) =
∞∑
n=0
ang
2n (40) serie
=
∞∑
n=0
an
n!
n! g2n usando n! =
∫ ∞
0
dt e−ttn
=
∫ ∞
0
dt e−t
∞∑
n=0
an
n!
(tg2)n =
∫ ∞
0
dt e−tB[S](tg2)
=
1
g2
∫ ∞
0
ds e−s/g
2
B[S](s) ≡ S̃(g2)
De manera que podemos reescribir (40) como la transformada de Laplace de la
transformada de Borel de (40), definida como
Transformada de Borel : B[S](t) ≡
∞∑
n=0
an
n!
tn (41) borel
Una serie asintótica (40) se dice Borel sumable cuando S̃(g) es una función
analítica en g = 0. Si esto sucede habremos reconstruido el resultado no-
perturbativo exacto a partir de la serie asintótica. De esta manera hemos trans-
ferido la divergencia factorial de la serie original en las singularidades de la
transformada de Borel.
—
20
Para (38) obtenemos
B[S](t) =
∞∑
n=0
Γ( 12 )(4n− 1)!
24n−1(2n− 1)!(n!)2 (−t)
n
=
2
π
K
(
1
2 − 12√1+4t
)
(1 + 4t)1/4
(42)
donde K es la función elíptica de primera especie8. De manera que le damos
sentido a la serie divergente (38) definiéndola como
Z(g) =
2
π
∫ ∞
0
e−t
K
(
1
2 − 12√1+4tg
)
(1 + 4tg)1/4
dt
Esta expresión se encuentra bien definida para g > 0. Si expandimos el
integrando en potencias de g e integramos término a término recuperamos (38).
Para g < 0, aparece una singularidad (corte) en el camino de integración para
t = −1/4g, que deberemos evitar. Esto introduce una ambigüedad, ya que al
deformar el camino, lo podemos hacer por el semiplano superior o inferior del
plano complejo t. Esta singularidad manifiesta el corte de la función de Bessel
en (39). La ambigüedad conduce a la aparición de una parte imaginaria en Z(g)
(ver (45)) que podemos interpretar como debida a la aparición de instantones
(nuevos saddle) responsable del decaimiento del falso vacío en el origen (ver
fig. 11 y (47)). El desafío es ver si algún argumento físico puede remover esta
ambigüedad.
Contribuciones no perturbativas en g: veremos ahora cómo evaluar correcciones
no perturbativas a (37) cuando g < 0.
Analicemos la integral (37), inicialmente sobre el eje real, en el plano com-
plejo x. Existen tres potenciales saddles en el plano complejo,
h(x) = −x2 − gx4 ⇒ h′(x) = V ′(x) = 0 ; x0 = 0,±
1√−2g (43) sads
se encuentran sobre el eje imaginario en x0 = 0,±i/
√
2g para g > 0 y sobre el
eje real en x = ± 1√−2g para g < 0. La figura 12 muestra un gráfico de la parte
real hR para g > 0 y g < 0. Dado que la integral esta definida inicialmente
integrando sobre el eje real, los saddles sobre el eje imaginario no contribuyen
para g > 0 (ver fig. 12 izq). Para g < 0 los saddle se ubican sobre el eje real,
sin embargo, el camino de integración debe ser modificado ya que el integrando
resulta no-acotado si insistimos en integrar sobre el eje real. La necesidad de
modificar el camino de integración es análoga a lo que sucede cuando queremos
analizar el efecto tunel en mecánica cuántica, donde rotamos a tiempo euclídeo.
8La función elíptica de primera especia se define como
K(t) =
∫ π/2
0
dx√
1− t sin2 x
21
Físicamente, el potencial en (37), para g < 0, no está acotado inferiormente y
esperamos que el mínimo local en el origen sea inestable. Veremos a continuación
que, en efecto, al darle sentido a la integral para g < 0 obtenemos una parte
imaginaria que podemos asociar con la existencia de un instantón responsable
del tunneling9.
La contribución de los saddleresulta de evaluar h(0) = 0 y h(± 1√−2g ) =
1
4g ,
luego si halláramos un camino para el cual todos contribuyesen tendríamos
Z(g) ∼
∑
saddle
eh(xi)fi(g)
∼ e0(1 + a(0)1 g + ...)︸ ︷︷ ︸
Expansion perturbativa
+ e
1
4g (1 + a
(+)
1 g + ...)︸ ︷︷ ︸
saddle x0+
+ e
1
4g (1 + a
(−)
1 g + ...)︸ ︷︷ ︸
saddle x0−
, g < 0
(44) trans
Las contribuciones e
1
4g (g < 0) son imperceptibles perturbativamente. Esper-
amos que la expansión perturbativa falle cuando su contribución sea comparable
a los térmions no perturbativos que no consideramos. Una expansión del tipo
(44) se llama trans-serie.
Figure 12: (Izquierda) Saddles de (37) para g > 0: ubicados en el origen x = 0 y
sobre el eje imaginario en x0 = ±i/
√
2g. Solo el el origen contribuye a la aprox-
imación asintótica. (Derecha) Saddles para g < 0: los tres se encuentran sobre
el eje real x0 = 0,±1/
√−2g. Los saddles a ambos lados del origen contribuyen
a la parte imaginaria al rotar el camino de integración según (46). sL4
Decaimiento del vacío inestable en el origen por instantón. Z(g) es mutivaluada:
A continuación extenderemos la definición de Z(g) en (37) a valores negativos
g < 0. Como resultado veremos que la misma resulta multivaluada,
Z(g + i0)− Z(g − i0) = 2iImZ(g) ∼ e 14g , g < 0 (45) ima
9Para el caso g < 0, al invertir el potencial de fig. (11) obtenemos mínimos estables en
x0 = ±1/
√
−2g. Como es usual llamamos Instanton ≡ solución estable de la teoría con
potencial invertido.
22
La función de partición adquiere una parte imaginaria, manifestando el de-
caimiento del falso vacio en el origen debida a un instantón.
La expresión original (37) está bien definida para <(g) > 0. Para darle
sentido a la integral cuando g ∈ C, escribiremos g = eiκ|g|. Valores g < 0
en eje real negativo pueden entonces ser obtenidos de dos maneras: llevando
g al eje negativo por el semiplano superior (UHP) o por el semiplano inferior
(LHP). Esto involucra estudiar el comportamiento de Z(eiκ|g|) cuando κ : 0→ π
o κ : 0 → −π respectivamente. Para garantizar la convergencia de la integral,
compensaremos la fase eiκ de g rotando el contorno de integración en la variable
x en sentido opuesto, esto es:
C0 = {x ∈ R} → C+ = {x = e−
i
4κt} cuando κ : 0→ π
C− = {x = e−
i
4κt} cuando κ : 0→ −π
con t ∈ (−∞,∞). De esta manera <(gx4) > 0 para todo valor de κ garantizando
la convergencia de la integral. La figura 13 muestra la orientación de los caminos
en el límite κ = ±π.
;
Figure 13: Caminos de integración para calcular Z(g) con g < 0. en (46). Las
curvas en rojo de la figura del centro son a lo largo de las rectas e±i
π
4 . En la
derecha y abajo vemos la posición de los saddle. rota
La continuación analítica de Z(g) a valores de g negativos que hemos definido
23
presenta un corte. Para ver esto evaluemos
2iImZ(g) = Z(g + i0)− Z(g − i0)
=
1√
π
∫
C+−C−
e−x
2−gx4 dx donde g = −|g| (46) Npert
El límite |g| → 0 puede ser evaluado via saddle point10. La orientación de
los caminos C+ − C− nos permite deformarlos a hipérbolas para pasar por
s1,2 = ±1/
√−2g en la fig. 13. Las contribuciones de ambos saddle se suman y
a orden dominante para g < 0 resulta
ImZ(g) ∼ e 14g = e− 14|g| � 1 y no perturbativo! (47) NonAn
Este resultado es no perturbativo en g, luego invisible en una expansión en
potencias gn con n > 0! El resultado (47) proviene de que saddles x0± en (43):
máximos del potencial en la fig. 11, pero mínimos absolutos para el potencial
invertido. Dado que la acción S[x] = h(x0±) es finita, tenemos un instantón.
—
Nota:
1. A partir de los trabajos [11, 12] es habitual sugerir en el contexto QM/QFT que la am-
bigüedad en la integral de Borel no existe, que aparecen términos adicionales idénticos a (47)
que al agregarse explícitamente a la la serie cancelan la ambigüedad dando lugar a un resultado
analítico en el origen.
2. En el contexto QED al considerar la resumación de cadenas de burbujan corrigiendo el
propagador del fermión, el cálculo de
∫
d4xe−ikx〈jµ(x)jν(0)〉 = (kµkν − k22)Π(k2) presenta
singularidades para k → 0 y k →∞ , a.k.a renormalones IR/UV [14].
3. El fenómeno descripto mas arriba puede ser aplicado al potencial de sombrero mexicano en
QM. Clásicamente tenemos dos vacios degenerados. Al evaluar perturbativamente la correc-
ción a las energías de las funciones de onda localizadas en los mínimos obtenemos una serie
no oscilante (puros términos positivos), que resulta entonces no Borel sumable. [15]. Este
problema matemático manifiesta el hecho de que el análisis perturbativo alrededor de estos
mínimos es incorrecto, es necesario tener en cuenta el tunneling para resolver la degeneración
y obtener, como esperamos, un solo vacio! Moral: debemos incluir saddles no triviales en la
integral de caminos [16].
Matemáticamente, al incorporar las contribuciones de instantones (44), debemos intro-
ducir coeficientes relativos (indeterminados) Ci entre las distintas contribuciones
Z(g) ∼
∑
saddle
Cie
h(xi)fi(g)
Como veremos a continuación, imponer que el resultado sea real permitirá fijar los coeficientes.
Definiendo resumaciones de Borel laterales, modificando ligeramente por arriba y por abajo,
el camino original sobre el eje real, es posible darle sentido a las series fi(g). De esta manera
obtenemos resultados finitos, pero complejos (su diferencia, como vimos arriba (47), resulta
imaginaria pura y no-perturbativa). Finalmente, eligiendo apropiadamente los Ci la contribu-
ción imaginaria del origen, proveniente de la resumacion lateral de Borel, se cancelará con
las contribuciones perturbativas alrededor de los otros saddle (instantones), conduciendo a un
resultado real como esperamos.
—
10Para g < 0, redefinimos x = t/
√
−g y la exponencial en (46) toma la forma exp( 1
g
(t2−t4)).
Los saddle se ubican en t0 = ±1/
√
2.
24
Trans-series, Écalle and all that: podemos emplear la expresión asintótica (35)
para resolver la ecuación de Airy de manera perturbativa, el resultado es
Ai(x) =
1
2x1/4
√
π
e−2x
3/2/3
∞∑
n=0
anx
−3n/2
donde
an =
1
2π
(
−3
4
)n Γ(n+ 56 )Γ(n+ 16 )
n!
; an ∼ A−nn!, A = −
4
3
Transeries son sumas de expresiones asintóticas (44) pesadas con factores no
perturbativos que contemplan la aparición de nuevos saddles al cruzar las líneas
de stokes (ver secc 2.4 de [5]). La estructura analítica de las transeries implica
relaciones de consistencia entre los diferentes constituyentes de las series asin-
tóticas. En particular, los coeficientes de alto orden de una expansión dada se
relacionan con los coeficientes de bajo orden de expansiones vecinas [6].
—
Higher order terms, Transeries y Resurgence: El fenómeno de Stokes, donde distintos
puntos de ensilladura se intercambiar/adquieren importancia a medida que modifi-
camos la fase de z ∈ C nos motiva a escribir la expresión asintóticas de la función Airy
como
Ai(z) ∼ 1
2
√
πz1/4
e−
2
3
z3/2 + C(Arg(z))ei
π
4
1
2
√
πz1/4
e
2
3
z3/2 , (48) AiRes
Aquí C, llamado parámetro de Stokes, controla las contribuciones de los puntos de
ensilladura (fenómeno de Stokes) y es una función implícita de la fase de z. Por
ejemplo, para Arg(z) = π, el parámetro es simplemente la unidad, y para la Arg(z) =
0, es nulo. Esto reproduce las expresiones (36) y (35). Para valores arbitrarios en el
plano complejo debemos considerar ambas exponenciales> Esta idea es generalmente
válida para toda función que presente el fenómeno de Stokes.
Usando la técnica de steepest descent podemos calcular fluctuaciones en torno a los
puntos de ensilladura y mejorar la precisión de la expansión asintótica. Esto conduce
a una transerie para la función de Airy
Ai(z) ∼ 1
2
√
πz1/4
e−ζ
∞∑
n=0
(−)n an
ζn
+ Cei
π
4
1
2
√
πz1/4
eζ
∞∑
n=0
anζ
n
donde ζ = 2
3
z3/2. Los coeficientes an están dados por
an =
1
54n
Γ(3n+ 1
2
)
Γ(n+ 1)Γ(n+ 1
2
)
Es importante notar que la primer serie es alternante mientras que la segunda tiene
términos positivos. Esto tiene consecuencias importantes en la resumanción de Borel.
Los primeros términos de la primer serie son
∞∑
n=0
(−)n an
ζn
= 1− 5
721
ζ
+
385
10368
1
ζ2
− 85085
2239488
1
ζ3
+ ...
25
Por otra parte el comportamiento para n-grande de los coeficientes an es
an ∼
(n− 1)!
π2n+1
(
1− 5
72
2
n− 1 +
385
10368
22
(n− 1)(n− 2)
− 85085
2239488
23
(n− 1)(n− 2)(n− 3) + ...
)
Los coeficientes en negrita en estas dos últimas expresiones son idénticos!! Esta
relación entre coeficientes de alto y bajo orden de una misma expansión se llama auto-
resurgimiento (self-resurgence), y es un caso especial de resurgimiento (resurgence).
En general, el crecimiento de gran orden de los coeficientes de fluctuación alrededor de
un saddle están directamente relacionados con las correcciones perturbativas de otro
saddle.
Las primeras observaciones de este fenómeno se deben a Vainshtein [9], Bender
+ Wu [8] y Lipatov [10]. Estos trabajos conectaron el comportamiento de los coefi-
cientes perturbativos an a orden alto con los primeros términos de las contribuciones
de instantones. Posteriormente Bogomolny [11] y Zinn-Justin [12] mostraron que la
parte imaginaria que surge de la resumación de Borel de la expansión perturbativa en
el estado de vacio (ver (47)), en ciertos modelos de mecánica cuántica, se cancela ex-
actamente con la contribución de 1-instantón. En términos de la transerie (44) esto se
traduce en lo siguiente: si los coeficientes perturbativos a(0)n tienen un comportamiento
a n grande conocido, digamos A(0)n , luego, la parte imaginaria de la suma Borel de
la serie
∑
nA
(0)
n g
n será idéntica a la contribución leading de 1-instantón eS1/ga(1)0 ,
excepto que los signos serán opuestos. Como consecuencia se obtiene una cancelación
de la cantidad imaginaria no física. Esta cancelación (casi milagrosa) es una de las
características principales de la teoría de resurgence (ver [17]).
A partir de los trabajos de Ecalle, la teoría de resurgencia establece que las fluc-
tuaciones alrededor de diferentes saddles están relacionadas entre sí de manera precisa
y sistemática. En términos simples, la teoría del resurgimiento afirma que los coefi-
cientes a(i)n , no pueden ser arbitrarios, y que hay relaciones sistemáticas que conectan
los coeficientes en un sector, a(i)n con aquellos de otro sector a(j)n . Mencionamos arriba
un ejemplo de tal relación para la funcion de Airy (ver (48)).
—
Figure 14: Cualitativamente E,B dan origen a fluctuaciones del vacío muy distintas. pair
—
Creación de pares - Efecto Schwinger: este efecto representa el fenómeno no-
perturbativo por excelencia en teoría de campos. Corresponde al decaimiento
del vacio mediante la creación de pares en campos eléctricos intensos. Técnica-
mente se obtiene a partir del cálculo del determinante fermiónico en un fondo
electromagnético.
26
La acción efectiva para un campo magnético constante se puede expresar
como [7]
Leff (B) = −
e2B2
8π2
∫ ∞
0
dp
p2
(
coth p− 1
p
− p
3
)
e−
m2p
eB (49) EH
En el caso de campo débil resulta natural expandir el paréntesis en (49) en serie
de potencias en p e integrar término a término, de esta manera obtenemos
Leff (B) '
m4
4π2
∞∑
n=0
(−)n(2n+ 1)!ζ(2n+ 4)
(2π)2n+4
(
2eB
m2
)2n+4
(50) Bfield
Esta serie resulta asintótica y el hecho de ser alternante la hace Borel sumable.
Continuando analíticamente B → ±iE hallamos la expresión para el caso
puramente eléctrico
Leff (E) '
m4
4π2
∞∑
n=0
(2n+ 1)!
ζ(2n+ 4)
(2π)2n+4
(
2eE
m2
)2n+4
(51) Efield
En este caso, la serie resulta de términos positivos y no-sumable Borel. En ppio
esta expresión es real y no presenta parte imaginaria alguna.
Sin embargo, en el caso eléctrico al reemplazar B → iE obtenemos eim
2p
eE en
el integrando (49). Rotando la integral en p al eje imaginario la exponencial se
vuelve real e−
m2p
eE , pero aparecen ambigüedades debidas a los polos de coth p→
cotg p en p = nπ que inducen un partes imaginarias e−
m2nπ
eE invisibles a todo
orden perturbativamente.
27
A Cálculo de la integral de Fresnel:
∫∞
−∞ e
iat2dt
-10 -5 5 10
-1.0
-0.5
0.5
1.0
cost2
-10 -5 5 10
-1.0
-0.5
0.5
1.0
sint2
Figure 15: La integral de Fresnel es finita debido a interferencias destructivas
para t grande. pair2
Karl nos enseño que
I(a) =
∫ ∞
−∞
e−at
2
dt =
√
π
a
, a ∈ R+ . (52) gauss
El resultado anterior se extiende facilmente para el caso en que a tiene una
componente imaginaria pero se encuentra en el semiplano derecho a ∈ RHP
⊂ C. Tenemos entonces que para a = aR + iaI y aR > 0
I(a) =
∫ ∞
−∞
e−at
2
dt =
√
π
a
, aR > 0 (53) guss2
Mostraremos que la expresión (53) es válida también en el límite aR = 0. Reem-
plazando a→ −ia en (52) resulta∫ ∞
−∞
eiat
2
dt =
√
iπ
a
, a ∈ {R− 0} (54)
donde la prescripción para la raiz cuadrada es
√
±i ≡ e±iπ4 . (55)
En otras palabras∫ ∞
−∞
eiat
2
dt =
√
π
2|a| [1 + i sgn(a)] (56)
= ei
π
4 sgn(a)
√
π
|a| , a ∈ {R− 0} (57)
donde sgn(a) = a/|a|. Resumiendo,
I(z) =
∫ ∞
−∞
e−zt
2
dt =
√
π
z
, Re(z) ≥ 0 y z 6= 0 (58)
28
Pensando en el lado derecho como la continuación analítica de la expresión de
la izquierda, vemos que la integral define una función analítica en el plano z
con un corte en el eje real negativo. La definición de la Gaussiana con signo
incorrecto (<(z) < 0) depende de cómo alcanzamos al eje real negativo si lo
hacemos por el UHP o por el LHP.
————
Demostración: Consideremos
I(a) =
∫ ∞
−∞
eiat
2
dt, a > 0
eligiendo el siguiente contorno en el plano complejo z
El teorema de Cauchy implica que∮
Γ
eiaz
2
dz = 0, Γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3 ∪ γ4
donde
Γ =

γ1 : z = t , t ∈ [−Λ,Λ]
γ2 : z = Λ + it, t ∈ [0,Λ]
γ3 : z = e
iπ4 t, t ∈ [
√
2Λ,−
√
2Λ]
γ4 : z = −Λ + it, t ∈ [−Λ, 0]
(59)
Tenemos que ∫
γ1
=
∫ Λ
−Λ
eiat
2
dt∫
γ2
=
∫
γ4
=
∫ Λ
0
eia(Λ+it)
2
i dt (60) g2
∫
γ3
=
∫ −√2Λ
√
2Λ
eiait
2
ei
π
4 dt = −eiπ4
∫ √2Λ
−
√
2Λ
e−at
2
dt
De (60) tenemos
∫
γ2
= i
∫ Λ
0
eia(Λ
2−t2)e−2aΛt dt, luego∣∣∣∣ ∫
γ2
∣∣∣∣ ≤ ∫ Λ
0
∣∣∣ eia(Λ2−t2)∣∣∣ e−2aΛt dt
≤
∫ Λ
0
e−2aλt dt =
e−2aΛt
−2aΛ
∣∣∣∣Λ
0
=
1− e−2aΛ2
2aΛ
29
de donde concluimos que
lim
Λ→∞
∣∣∣∣ ∫
γ2
∣∣∣∣ = 0
Finalmente ∫
γ1
+
∫
γ3
= 0⇒ I(a) = −
∫
γ3
= ei
π
4
√
π
a
, a > 0
Alternativamente podemos regularizar la expresión a calcular∫ ∞
−∞
eiat
2
dt = lim
�→0+
∫ ∞
−∞
e−(�−ia)t
2
dt = lim
�→0+
√
π
�− ia a ∈ R
=
√
π
|a| exp
[
i
2
lim
�→0+
arctan
(a
�
)]
=
√
π
|a| exp
[
i
π
4
sgn(a)
]
=
√
π
|a|
[
1√
2
+ i
sgn(a)√
2
]
(61)
—
Del resultado de la integral de Fresnel, en el caso de variables x = {xi} con
i = 1, ...n tenemos que
I(A) =
∫
Rn
dx exp
(
ixTAx
)
=
∫ ∏
i
dxi exp(i
∑
j,k
xjAjkxk)
= ei(n+−n−)
π
4
√
πn
|det(A)| (62)
donde n+ y n− son el número de autovalores positivos y negativos de la matriz
A.
30
B Funciones especiales e Integrales de contorno
Para resolver
Lzu =
[
d2
dz2
+ p(z)
d
dz
+ q(z)
]
u(z) = 0
proponemos el ansatz
u(z) =
∫
C
F (z, t)dt.
Si podemos hallar una función F (z, t) tal que
LzF =
∂Q
∂t
⇒ Lzu =
∫
C
LzF dt =
∫
C
∂Q
∂t
dt
= Q|
∂C
Obtendremos entonces una solución si elegimos un contorno C que anule el
término de borde Q|
∂C . Esto se logra mediante alguna de las siguientes posibil-
idades:
. Q se anula en los extremos del contorno C
. Q toma el mismo valor en los extremos del contorno C
. C es un controno cerrado, ∂C = 0
⇒ F+ C: solución!
En la práctica escribimos
F (z, t) = K(z, t)f(t)
donde el núcleo (kernel) K es
K =

Laplace : K(z, t) = ezt
Fourier : K(z, t) = eizt
Euler : K(z, t) = (t− z)µ
Mellin : K(z, t) = t−z
C Ecuación de Legendre
Consideremos la ecuación de Legendre
Lzu = (1− z2)
d2u
dz2
− 2z du
dz
+ ν(ν + 1)u = 0 (63) leg
Podemos verificar que
Lz
[
(t2 − 1)ν
(t− z)ν+1
]
= (ν + 1)
d
dt
(
(t2 − 1)ν+1
(t− z)ν+2
)
Luego
Pν(z) =
1
2πi
∫
C
(t2 − 1)ν
2ν(t− z)ν+1 dt (64) lege
31
será una solución de (63) si anulamos el término de borde
Q|
∂C =
(t2 − 1)ν+1
(t− z)ν+2
∣∣∣∣
∂C
= 0 (65) bdy
El integrando presenta cortes en t = z,±1,∞. Si elegimos ubicarlos como se
muestra en la figura 16
−1 +1
z
t
C
Figure 16: Ubicación de los cortes y elección del camino C en (64).LeG
al encerrar los puntos t = 1, z, la función resultará univaluada11. Esta última
condición garantiza que se cancele el término de borde (65).
En particular, cuando ν ∈ N no existen cortes, el contorno puede ser defor-
mado hasta encerrar t = z y el teorema de Cauchy
f (n)(z0) =
n!
2πi
∮
f(z)
(z − z0)n+1
dz
reduce la integral
Pn(z) =
1
2n2πi
∮
C
(t2 − 1)n
(t− z)n+1 dt
a
Fórmula de Rodriguez : Pn(z) =
1
2nn!
dn
dzn
[
(z2 − 1)n
]
,
La segunda solución de la ecuación diferencial para ν 6= N puede ser hallada
modificando la ubicación de los cortes y eligiendo el camino en forma de ocho
que se observa en la figura 17. Entonces
Qν(z) =
1
4i sinπν
∫
Γ
(t2 − 1)ν
2ν(t− z)ν+1 dt (66) Q
11Las fases adquiridas por el numerador y denominador son e
(ν+1)2πi
e(ν+2)2πi
= 1.
32
−1
z
t
Γ
+1B
A
C
θ2 θ1
Figure 17: Ubicación de los cortes y elección del contorno Γ para la solución Qν
de Legendre en (66) (ν 6= N). L
Para verificar que esta expresión es una solución, siendo el camino abierto,
debemos verificar que se cancele el término de borde (65) al evaluarlo entre los
puntos A y C de la figura (17).
Veremos a continuación que los términos de borde se cancelan mutuamente,
la fase horaria obtenida al circular t = 1, A→B, se cancela con la fase antihoraria
proveniente de rodear t = −1, B→C. Definimos las fases respecto de los puntos
de corte t = ±1 de la siguiente manera
t+ 1 = ρ+e
iθ2 , , θ2 ∈ (0, 2π)
t− 1 = ρ−eiθ1 , θ1 ∈ (−π, π)
Con esta asignación de fases tenemos
θ1 θ2
A π 0
B −π 0
C −π 2π
Puesto que el denominador es univaluado al recorrer la curva Γ, solo debemos
analizar el numerador de Q en (65), definido como
N(t) = (t2 − 1)ν+1 = (t+ 1)ν+1(t− 1)ν+1
= ρ+ρ−e
iθ2(ν+1)eiθ1(ν+1) = ρ+ρ−e
i(ν+1)(θ1+iθ2) (67)
Evaluandolo en los extremos A y C teniendo en cuenta que ρ+ = ρ− = 1 resulta
N(C)−N(A) = 0
Para ν > 0 las contribuciones de los arcos rodeando los puntos t = ±1 son
despreciables y podemos llevar el colapsar al eje real. Mostrar que
Qν(z) =
1
2
∫ 1
1
(1− t2)ν
2ν(z − t)ν+1 dt, ν > 0
33
Esta fórmula vale aún para ν ∈ N y nos da una definición conveniente de la
segunda solución de Legendre.
D Funciones de Airy
Las funciones de Airy Ai y Bi son dos soluciones linealmente independientes de
w′′(z)− z w(z) = 0 . (68) airyeqn
Las representaciones integrales de las soluciones son (Abramowitz-Stegun 10 ed.
10.4.32)
Ai(x) =
1
π
∫ ∞
0
cos
(
1
3
t3 + xt
)
(69)
Bi(x) =
1
π
∫ ∞
0
[
e−
1
3 t
3+xt + sin
(
1
3
t3 + xt
)]
dt (70)
Las soluciones presentan exponenciales oscilantes para x < 0 y exponenciales
reales simples para para x > 0, Ai(x) decae y Bi(x) crece.
Mostremos cómo hallar las expresiones (69)-(70). La idea es proponer una
representación integral para la solución de (68) de la forma
w(z) =
∫
Γ
eztf(t) dt , (71) ansatz
y determinar f(t) y Γ de manera de satisfacer la ecuación diferencial. Intro-
duciendo (71) en (68) tenemos
0 =
∫
Γ
(t2 − z) eztf(t) dt . (72)
Escribiendo zezt = de
zt
dt , e integrando por partes obtenemos
0 =
∫
Γ
(t2f(t) + f ′(t)) ezt dt− eztf(t)c∂Γ . (73)
34
caminos
Figure 18: Posibles caminos para la expresión integral (75).
De manera que si
t2f + f ′ = 0
eztf(t)c∂Γ = 0 ; tenemos una solucion! (74) cond
De la primera condición obtenemos f(t) = Ae−
1
3 t
3
, de manera que
w(z) =
∫
Γ
ezt−
1
3 t
3
dt. (75) ansatz2
Debemos elegir ahora un contorno Γ en el plano complejo t de manera de garan-
tizar que ezte−
1
3 t
3c∂Γ = 0. Si elieramos para Γ un contorno cerrado, debido a
que ezte−
1
3 t
3
es analítica en t, el teorema de Cauchy implica que w(z) = 0. La
solución es entonces elegir un camino abierto de manera que ezte−
1
3 t
3
se anule
en sus extremos. Esto significa que el camino deberá ir hasta infinito en las
regiones del plano complejo donde
<(t3) > 0 . (76) con
Escribiendo t = ρeiθ, la condición (76) se transforma en
cos 3θ > 0 =⇒ −
π
2 + 2nπ < 3θ <
π
2 + 2nπ
−π6 + 2nπ3 < θ < π6 + 2nπ3
. (77)
Las regiones del plano donde puede empezar o terminar el contorno son entonces
n = 0 : |θ| < π
6
, n = 1 :
π
2
< θ <
5π
6
, n = 2 :
7π
6
< θ <
3π
2
(78)
El contorno debe entonces empezar y terminar en regiones distintas, de lo
contrario sería colapsable a cero. Tenemos tres posibles contornos, pero es
35
inmediato ver que solo existen dos soluciones independientes pues∫
Γ3
=
∫
Γ1
+
∫
Γ2
(79)
Ai(x): es la solución obtenida eligiendo el contorno tipo Γ3 (que une las regiones
n = 2 → n = 1). El contorno se toma pegado al eje imaginario en el plano
complejo t. Haciendo t = iu, la integral (75) para Γ3 queda
w3(z) =
∫ ∞
−∞
eizuei
1
3u
3
du =
∫ ∞
−∞
cos
(
zu+
1
3
u3
)
du = 2π Ai(z) (80) Ai
Bi(x): es la parte real de la solución obtenida eligiendo un contorno tipo Γ1
(que une las regiones n = 2 → n = 0). Eligiendo el contorno a lo largo del eje
imaginario (en la region n = 2) hasta el origen y luego a lo largo del eje real en
la region n = 0. La parametrización para t es
Γ1 =
{
t = −iρ ρ ∈ (∞, 0)
t = ρ ρ ∈ (0,∞) (81)
La expresión para (75) toma la forma
w1(z) =
∫ 0
∞
e−izρe
i
3ρ
3
(−i)dρ+
∫ ∞
0
ezρe−
1
3ρ
3
dρ
=
∫ ∞
0
ezρ−
1
3ρ
3
dρ+ i
∫ ∞
0
e−i(zρ+
1
3ρ
3) dρ , (82)
separando el segundo término en partes real e imaginaria llegamos a12
<(w1(z)) =
∫ ∞
0
[
ezρ−
1
3ρ
3
+ sin
(
zρ+
1
3
ρ3
)]
dρ = π Bi(z) (83) Bi
Los resultados obtenidos (80) y (83) pueden parecer poco útiles, sin embargo,
como se discute en el texto, las expresiones pueden ser evaluadas en los límites
asintóticos x→ ±∞ que resultan ser los casos de interés en muchas aplicaciones
físicas.
Comportamiento asintótico de las funciones de Airy: para x→∞ se tiene
Ai(x) ∼ e
− 23x
3
2
2
√
πx
1
4
(84)
Bi(x) ∼ e
2
3x
3
2
√
πx
1
4
(85)
12Es inmediato ver que =(w1(z)) coincide con la solución para Ai(x) ya encontrada.
36
y en el límite opuesto x→ −∞
Ai(x) ∼ 1√
π(−x) 14
sin
[
2
3
(−x) 32 + π
4
]
(86)
Bi(x) ∼ 1√
π(−x) 14
cos
[
2
3
(−x) 32 + π
4
]
. (87)
Asintóticamente los ceros −λn de la función de Airy Ai(−λn) = 0 toman la
forma
2
3
(λn)
3
2 +
π
4
= nπ =⇒ λn ∼
(
3nπ
2
) 2
3
. (88) zeros
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