Álgebra Lineal para Astronomía - Curso 2022

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Álgebra Lineal para Astronomía. Curso 2022.
Práctica 1B: Estructuras Algebraicas
1. Mostrar que todo magma tiene a lo sumo un elemento absorbente.
2. Sea (S, ·) un semi-retículo. Definamos sobre S una relación binaria à ⊆ S × S por  à b si y
sólo si  · b = .
(a) Mostrar que (S,Ã) es un poset.
(b) Mostrar que en el poset (S,Ã), se tiene que para todo , b ∈ S, inf{, b} =  · b.
(c) En caso de que el semi-retículo (S, ·) tenga identidad e, ¿qué elemento del poset (S,Ã)
es e?
3. Mostrar que si (P,≤) es un poset tal que para todo , b ∈ P existe el ínfimo de {, b}, al cual
notaremos ∧ b, entonces (S,∧) es un semi-retículo.
Sean (A,+A, ·A,−A,0A,1A) y (B,+B, ·B,−B,0B,1B) anillos con unidad. Definamos sobre el
conjunto A×B las operaciones + y · coordenada a coordenada; es decir, para (, b), (′, b′) ∈
A × B,
• (, b) + (′, b′) = ( +A ′, b +B b′),
• (, b) · (′, b′) = ( ·A ′, b ·B b′),
4. Mostrar que:
(a) (A × B,+) es un monoide con identidad (0,0).
(b) Que el monoide anterior es un grupo abeliano. ¿Cómo es el opuesto de (, b)?
(c) Que · distribuye en +; es decir, (A × B,+, ·, (0,0)) es un anillo.
(d) Que este anillo es conmutativo.
(e) ¿Cuál es su unidad?
A la estructura de anillo definida sobre A× B en el ejercicio anterior se la denomina el anillo
producto de los anillos A y B.
5. Determinar cuáles de los siguientes anillos producto son cuerpos:
(a) R× R.
(b) Z2 × Z3.
(c) Z2 × Z2.
Sea (A,+, ·,−,0,1) un anillo conmutativo con unidad. Para  ∈ A y n ∈ , definimos recursi-
vamente n como:
§
0, si n = 0,
 + (n − 1), si n ≥ 1
Definimos la característica del anillo A como char(A) := min{n ∈ N − {0} | n1 = 0}, si
{n ∈ N− {0} | n1 = 0} ̸= ∅, y como 0 si {n ∈ N− {0} | n1 = 0} = ∅.
6. Sea A un anillo conmutativo unitario. Mostrar que todo subanillo unitario de A tiene la misma
característica que A.
7. Calcular la característica de los siguientes anillos:
(a) Z, el cuerpo de los números complejos.
(b) C, el cuerpo de los números complejos.
(c) Zm, el anillo de los enteros módulo m.
(d) Z2 × Z3.
(e) Z3 × Z3.
8. Sean A y B dos anillos conmutativos con unidad. Sea ƒ : A → B un morfismo de anillos
unitarios. Mostrar que si ƒ es inyectivo, entonces char(A) = char(B).
9. Sea K un cuerpo. Mostrar que todo subanillo unitario de L de K es un cuerpo.
10. Definamos sobre el grupo abeliano producto (Z3 × Z3,+, (0,0)) el siguiente producto:
(, b) ◦ (c, d) := (c + 2bd, d + bc)
siendo la suma y el producto en cada coordenada el habitual en Z3.
(a) Mostrar que F9 = (Z3 × Z3,+, ◦, (0,0)) es un anillo conmutativo con unidad (1,0).
(b) ¿Cuál es la característica del anillo F9?
(c) Mostrar que si (, b) ̸= (0,0), entonces 2 + b2 ̸= 0.
(d) Para (, b) ̸= (0,0), definamos (, b)′ = ((2 + b2),2(2 + b2)b). Verificar que F9 es un
cuerpo.
(e) ¿Es F9 isomorfo a algún cuerpo Zp?