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La medida del espacio: Jugando con vectores
Esta es la historia de Antonio, un chico de 15 años que viaja con sus padres de vacaciones a Torremolinos. Ellos viven en Écija, "la sartén de
Andalucía", y durante una semana en el año disfrutan de unos días de sol y playa en la bella localidad malagueña. Pero, a pesar de pasar unos días
felices, Antonio tiene todos los días un pequeño contratiempo cuando coloca la sombrilla.
 
"No hay forma de acertar, cada vez que clavo la sombrilla en la playa, mi padre me dice "Esa sombrilla no está derecha". Día tras día, escucho las
mismas palabras "Está doblada, enderézala", "Muévela un poco a la derecha", "Otra vez, mal colocada". Por mucho que lo intento, no lo consigo
nunca y mi padre insiste "¡Perpendicular al suelo!". Lo de perpendicular no lo entiendo muy bien, yo intento colocarla DERECHA, pero siempre queda
algo doblada."
 
"Por otro lado, mi padre también utilizó la palabra perpendicular cuando instaló un grifo de ducha en el patio, para quitarnos la arena cuando llegamos
de la playa, y ciertamente...estaba muy derecho."
 
"La idea de perpendicularidad en el plano la entiendo, pero ¿y en el espacio? ¿Significa lo mismo perpendicular que colocar derecho?"
 
 
1. Vector "recto". Multiplicando vectores.
El concepto de "Recto" o "Derecho" es demasiado ambigüo y no podemos utilizarlo en Matemáticas. Piensa en la Torre de Pisa: ¿Está
derecha?¿Es recta?. Obviamente, la torre no es curva. Ahora piensa en la Giralda. ¿Dirías que está derecha?
 
 
Giralda, Catedral de Sevilla. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITEbajo
CC
 
Torre de Pisa. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITEbajo
CC 
Piensa ahora en un globo de helio, uno de esos que venden en las ferias para los niños. Fíjate concretamente en la cuerda unida al globo. ¿Qué
posición tiene respecto al suelo? ¿Siempre se mantiene perpendicular al plano?
 
Imagen en Flickr de Slim Ficly bajo licencia CC. 
Seguro que conoces la expresión "salirse por la tangente". Si no la conoces, puedes ver su significado según la RAE "Valerse de un subterfugio o
evasiva para salir hábilmente de un apuro". Pero ¿nos podemos salir sólo por la tangente a una curva? ¿Nos podemos salir también por la
perpendicular?
Obviamente, en el plano nos podemos tambien salir por la perpendicular, como puedes ver en la imagen.
 
 
Recta tangente a una curva. En este caso nos podemos salir Recta normal a una curva. Ahora nos podemos salir de la
de la curva por la tangente. curva por la recta normal.
 
 
Sugerencia
 Verdadero Falso
Verdadero
Ahora nos hacemos la siguiente pregunta ¿nos podemos salir por la perpendicular al plano? Antes de contestar, observa la
ayuda.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
1.1. Un vector muy especial
Ya sabes que un plano queda determinado por un punto y dos vectores, por lo tanto, un vector perpendicular al plano será un vector que forme 90º
con cualquiera de los vectores situados en el plano, en particular con los dos que conforman el plano. Pero: ¿Cuántos vectores, con origen en el
punto A, hay que formen 90º con dos vectores?
Mueve el punto rojo y observa los nuevos vectores que obtenemos. Muévelo incluso a un nivel inferior al plano ¿Son todos perpendiculares a y
a ? ¿Qué diferencias aprecias?
De todos los vectores que has observado anteriormente, vamos a seleccionar uno, muy, muy especial, al que vamos a llamar PRODUCTO
VECTORIAL DE Y y que cumplirá una serie de características
El producto vectorial de dos vectores linealmente independiente, y , es un nuevo vector , que cumple las
siguientes condiciones:
Módulo: El módulo del nuevo vector, es el producto de los módulos de y por el seno del ángulo que forman, es decir,
 
 
Dirección: La dirección del vector resultante del producto vectorial de y es perpendicular al plano determinado por los
dos vectores.
 
Sentido: Avanza en el sentido de un tornillo que rota de a 
 
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
Calcula el módulo del producto vectorial de = (1,1,3) y = (0,3,3)
C o m o ya sabes . Si elevamos al cuadrado obtenemos 
Puedes comprobar que , y .
Visto lo anterior 
Solución
1. Correcto
2. Incorrecto
3. Incorrecto
4. Incorrecto
Determina el módulo del producto vectorial de y , donde = (1,2,-3) y = (2,-1,1)
7
-7
Barraquero. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE
 
En la definición de producto vectorial de dos vectores se ha indicado que el
sentido del vector resultante es el de un tornillo que avanza de a . ¿Un
tornillo? ¿Qué tiene que ver un tornillo con las matemáticas? Cuando hacemos
girar un tornillo en el sentido de las agujas del reloj, el tornillo avanza. Sin
embargo, si lo hacemos girar en sentido antihorario, el tornillo retrocede.
 
Debemos observar el orden del producto vectorial y si el giro desde 
hasta es horario o antihorario. En este enlace lo puedes ver gráficamente.
 
¿Tanto monta ó monta tanto? ¿Existe algún caso en el que el producto vectorial de y , ambos linealmente
independientes, coincida con el producto vectorial de y 
No, nunca.
Sí, si los módulos de y son iguales
Si, siempre
Efectivamente, no coinciden.
AV - Pregunta de Selección Múltiple
AV - Pregunta de Elección Múltiple
Solución
1. Opción correcta (Retroalimentación)
2. Incorrecto (Retroalimentación)
3. Incorrecto (Retroalimentación)
Analiza si el módulo de los vectores influye para que coincida el producto vectorial de ambos módulos
Observa de nuevo el video anterior y observarás como el sentido no coincide.
1.2. Colocando la sombrilla
Nuestro amigo Antonio, que se encontraba plácidamente tomando el Sol en tierras malagueñas, ya
sabe cómo debe colocar la sombrilla, gracias al producto vectorial de los vectores que forman el plano
de la arena ¿Pero cómo lo calculamos?
 
 
Para calcular el producto vectorial de y , dados por y , podemos utilizar la
siguiente regla nemotécnica :
 
 
ó lo que es igual
 
 
 
Dados los vectores =(-2,1,4) y = (2,1,-1), calcula el producto vectorial de y 
Si observamos la nota "Importante", comprobamos que el producto vectorial de y se puede determinar con la regla
indicada anteriormente.
Determina el producto vectorial de = (1,-2.-5) y = (-2,-2,1)
(-12,-9,-6)
(-12,9,-6)
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Pregunta de Selección Múltiple
Solución
1. Incorrecto
2. Correcto
3. Incorrecto
4. Incorrecto
(-6,9,-12)
(-6,-9,-12)
J. W. Gibbs - Éste es un archivo de Wikimedia Commons, un depósito de
contenido libre hospedado por la Fundación Wikimedia.
 
Josiah Willard Gibbs ,(11 de febrero, 1839 – 28 de abril, 1903) ha
sido uno de los más grandes teóricos de la física, la química y la
matemática norteamericana. Entre los grandes logros de Gibss,
podemos destacar la creación de gran parte de la teoría de la
termodinámica. Como a matemático, él inventó análisis vectorial, de
modo independientemente a Oliver Heaviside.
 
Gracias a Gibbs, los avances en física y química han sido
cuantiosos gracias al uso del análisis vectorial. Cabe destacar a
Gibss, como el primer norteamericano al que se le concedió un
doctorado en ingeniería.
 
En 1901, la obtención de Gibbs del honor más alto posible concedido
por la comunidad científica internacional de su día, concedida a
solamente un científico cada año: Medalla de Copley de Sociedad
real de Londres.
 
 
 
Para saber más:
 
Biografía J W Gibbs en wikipedia
 
 
Pre-conocimiento
1.3. Midiendo áreas con vectores
Desde hace mucho tiempo conoces ciertas expresiones ó fórmulas para calcular áreas. La expresión que determina el área de un cuadrado en
función de su lado, , es una de las primeras expresiones que se se suelen conocer en la escuela primaria. Asi mismo, para calcular el
area de un paralelogramo en función de su base y su altura podemos utilizar .
Si nos planteamos calcular el área de un paralelogramo, nos encontramos con que podemos averiguar el valor de h:
 
 
 
El área sombreada del paralelogramo formado por los vectores y esCalcula el área del paralelogramo determinado por los vectores = (-1,-1,8) y = (2,1,-1)
Para calcular el área del vector determinado por y , determinaremos el módulo del producto vectorial de 
Para ello, calcularemos , (-1,-1,8) (2,1,-1) = (-7,15,1)
Una vez determinado este vector, calculamos su módulo
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Reflexión
Determina el área del paralelogramo determinado por los vectores = (1,0,-1) y = (-2,3,1)
Calcularemos en primer lugar , (1,0,-1) (-2,3,1) = (3,1,3)
Determinemos ahora su módulo
En el siguiente applets de Descartes, puedes apreciar la representación gráfica de dos vectores y el cálculo del área del paralelogramo formados por
ellos.
 
El applet, creado por Consolación Ruiz Gil, se encuentra bajo una licencia Creative Commons.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
El área del triángulo formado por dos vectores y es la mitad del módulo del producto vectorial.
 
Como consecuencia, para hallar el área de un triángulo, conociendo sus tres vértices, basta construir dos vectores sobre esos
tres puntos y al área es la mitad del módulo del producto vectorial de esos dos vectores. En la parte de P.A.U. tienes algún
ejemplo.
Actividad
2. Fusión de vectores
Imagen del banco de imágenes del ITEbajo CC
La fusión está de moda en todos los ámbitos de la vida. Podemos encontrar
ejemplos en la música con el flamenco y el pop, en la gastronomía con el melón
con jamón, donde mezclamos sabores dulces y salados o incluso en el mundo del
motor, donde encontramos autos con aspecto retro y motores actuales.
 
En las matemáticas ya has visto diferentes tipos de mezclas ¿Recuerdas la
propiedad distributiva? Sí, aquella que nos indicaba .
También la mezcla de simetrías con giros en los movimientos geométricos.
 
Ya que nos hemos introducido en el mundo de los vectores, nos planteamos:
¿Podemos también mezclar las operaciones de los vectores? ¿Cuántas se han
desarrollado en el tema? ¿Cuántas operaciones diferentes de vectores conoces?
 
Solución
1. Correcto
2. Correcto
3. Correcto
4. Incorrecto
Marca las operaciones conocidas relacionadas con vectores.
Producto escalar 
Producto vectorial 
Suma de vectores 
División de vectores 
Sugerencia
 Verdadero Falso
Verdadero
El resultado del producto escalar d e y es un número real. Al multiplicar dicho número real por el vector 
,obtenemos un vector.
Sugerencia
 Verdadero Falso
Falso
El resultado es un número real, ya que al multiplicar vectorialmente y obtenemos un nuevo vector. Al multiplicar
escalarmente por el nuevo vector, obtenemos un número real.
¿Es posible multiplicar los vectores en el orden indicado? ¿Es el resultado un vector?
 
Si multiplicamos escalarmente un vector, por el producto vectorial de dos vectores, el resultado es un nuevo vector.
AV - Pregunta de Selección Múltiple
AV - Pregunta Verdadero-Falso
2.1. Con X de Mixto
En el chiringuito de la playa, donde Antonio almuerza con sus padres, "Casa Gauss" , no se para de trabajar a la hora del almuerzo. Tan sólo tienen
8 mesas para atender, pero es un no parar de recibir comandas. Los platos estrella son el sándwich mixto (jamón york con queso) y la ensalada
mixta (ensalada con atún). Definitivamente el menú mixto es el que funciona.
Podemos plantearnos mezclar los productos relacionados con los vectores, el producto escalar y el producto vectorial, pero ¿es esto posible?
En primer lugar realizamos el producto vectorial de y ¿Qué obtenemos? Un 
Seguidamente nos planteamos el producto escalar entre y el resultado de la operación anterior . ¿Que conseguimos
ahora? Un 
Así, hemos realizado dos operaciones, en primer lugar un producto vectorial y en segundo, el producto escalar de otro vector
con el resultante de éste.
Enviar
Lee el parrafo y completa las casillas.
El resultado de las operaciones puede ser un vector ó un escalar. Recuerda que los nombres de las operaciones son
producto escalar y producto vectorial.
Dados los vectores = (4,1,-1), = (1,1,-3) y = (2,-1,-1)
a) Calcula el producto vectorial de y 
b) Determina el producto escalar de con el vector calculado en el apartado anterior.
 
En primer lugar, determinamos el producto vectorial de los vectores y : 
 
Calculamos ahora el producto escalar 
 
Solución
Calcula el producto vectorial de los vectores = (2,-2,1) y = (1,2,-5). Tras determinarlo, realiza el producto escalar de 
= (3,0,-1) por el resultado anterior.
-18
0
18
-7
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Pregunta de Selección Múltiple
1. Incorrecto
2. Incorrecto
3. Correcto
4. Incorrecto
2.2. Preparando el sandwich
Sándwich - Imagen obtenida bajo licencia Creative Commons del
Banco de recursos del ITE
El orden es fundamental a la hora de cocinar. Cada ingrediente debe incorporarse a la
receta en su momento justo, ni antes ni después y por supuesto, se debe dejar cocinar el
tiempo justo y necesario.
 
Piensa en un sándwich mixto ¿cómo deben colocarse los ingredientes? Obviamente, el
orden adecuado es rebanada de pan, queso, jamón york, queso y rebanada de pan.
Imagina que ocurriría si lo ponemos en otro orden, por ejemplo, queso, queso, pan , pan y
jamón york. Obviamente sería un pastiche de productos, pero no un sándwich mixto.
 
Con el producto mixto nos ocurre exactamente lo mismo. Cada operación debe realizarse
en su momento, en primer lugar, el producto vectorial de dos vectores y finalmente el
producto escalar de otro vector con el resultante anterior, y ¡no en otro orden!
El producto mixto de tres vectores , , es el escalar ó número obtenido al calcular el producto escalar entre y
el vector resultante del producto vectorial de y , es decir 
 
 
 
Podemos concluir que
 
 
Calcula el producto mixto, donde los vectores vienen dados por = (1,2,0), = (2,-1,-1) y = (-1,0,1)
En primer lugar, calculamos el producto vectorial de .
Calcula el producto mixto de los vectores = (-1,-2,2), = (-1,4,0) y = (3,1,-2). Marca la opción correcta.
14
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Pregunta de Selección Múltiple
Solución
1. Incorrecto
2. Incorrecto
3. Correcto
4. Incorrecto
0
-14
-7
2.3. Midiendo volumenes con vectores
Ya hemos analizado como podemos calcular áreas de un paralelogramo, la pregunta que nos hacemos ahora es ¿podemos calcular volúmenes
ayudándonos de vectores? ¿Es posible calcular el volumen de un paralelepípedo gracias a los tres vectores que lo determinan?
Puedes observar que los paralelepípedos forman parte de nuestra vida diaria, desde una caja de zapatos, un mueble modular de un conocido
fabricante Sueco de mobiliario o en construcciones arquitectónicas.
Aquí puedes apreciar algunos ejemplos de paralelepípedos. 
 
Imagen en Flickr de Daniel Aguilar bajo licencia CC Imagen en Flickr de Whicker Paradise bajo licencia CC
En este video puedes conocer a Le Corbusier, un arquitecto frances que desarrolló su obra en la primera mitad del siglo XX y
que demostró un especial amor por las matemáticas y las formas geométricas.
 
Pre-conocimiento
Parallelepiped_volume.svg. Imagen obtenida de Wikipedia bajo licencia Creative
Commons
 
El área de la base formada por los vectores y es y el . Por lo tanto
 
 
 
Determina el volumen del paralelepípedo formado por los vectores = (-1,1,2), = (0,3,1) y = (1,-1,3)
Para determinar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores indicados, debemos calcular el valor absoluto del
producto mixto de los vectores indicados.
Dados los vectores = (1,-2,2), = (3,3,-1) y = (-3,-2,-3), calcula el volumen del paralelepípedo formado por ellos.
7
-7
0
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Pregunta de Selección Múltiple
Solución
1. Correcto
2. Incorrecto
3. Incorrecto
4. Incorrecto
No es posible calcular el volumen
En el siguiente applets, puedes apreciar como tres vectores forman un paralelogramo y calcular el volumen formado por ellos.
 
El applet ha sido creadopor Consolación Ruiz Gil, bajo licencia Creative Commons.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
El volumen del tetraedro es un sexto del volumen del paralelepípedo.
 
 
 
 
 
 
Para calcular el volumen de la "Pirámide Roja", de base triangular, se han tomado desde un satélite varias fotografias.
Determina dicho volumen, teniendo en cuenta los vértices indicados en la fotografía (los vértices se han calculado mediante
escala).
 
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
 Imagen en Flick de MrOmega bajo licencia CC.
En primer lugar, determinaremos los vectores formados por los puntos indicados.
, y 
Calculamos ahora el producto mixto de los tres vectores.
Por lo tanto el volumen de la pirámide será 
 
 
Solución
1. Incorrecto
2. Incorrecto
3. Correcto
4. Incorrecto
Calcula el valor del tetraedro formado por los puntos A = (1,1,2), B = (-1,1,3), C = (0,1,-1) y D = (-2,-2,1).
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Ninguna de las respuestas anteriores.
AV - Pregunta de Selección Múltiple
3. Especial PAU
En este apartado puedes encontrar ejercicios que han aparecido en los últimos años en las Pruebas de Acceso a la Universidad. Estos ejercicios,
aunque no formen parte de la preparación de tu prueba, son de gran ayuda por si te interesa preparar la selectividad. Puedes practicar con ellos, ya
que el método de resolución de estos ejercicios son análogos a los ejercicios desarrollados en el tema.
Halla el área del triángulo cuyos vértices son A= (2,3,-1) , P= (1,2,-1) y B(1, 0, 0).
Para calcular el área del triángulo descrito, debemos en primer lugar, calcular los vectores y 
 
 = (-1,-1,0) y = (-1,-3,-1)
 
Una vez determinados los vectores, procedemos a calcular el paralelogramo formado por ambos vectores.
 
 
Se ha calculado el área de un paralelogramo formado por los vectores indicados. El problema indica calcular el área del
triángulo asociado, pr lo tanto debemos determinar la mitad del área calculada.
 
Por lo tanto el resultado es 
Calcula el área del paralelogramo determinado por los puntos A = (1,2,3), B = (3,2,5), C=(2,4,5) y D = (0,4,3)
Para calcular el área de un paralelogramo podemos determinar el producto vectorial de los vectores que tienen por
extremos los puntos dados
 
 y 
Solución
Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 1, 2), B(1, 0, −1) y C(1, −3, 2).
5
12
0
6
Ejemplo o ejercicio resuelto
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Pregunta de Selección Múltiple
1. Incorrecto
2. Incorrecto
3. Incorrecto
4. Correcto
Solución
1. Incorrecto
2. Incorrecto
3. Correcto
4. Incorrecto
Los puntos A(1, 0, 2) y B(−1, 0, 4) son vértices consecutivos de un cuadrado.Calcula el área del cuadrado.
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8
1
Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 1, 2), B(1, 0, −1) y C(1, −3, 2)
En primer lugar, calculamos los vectores y 
 y y el módulo de su producto vectorial.
 
 
Como queremos calcular el área de un triángulo, tan solo nos queda determinar la mitad.
 
Área = 
AV - Pregunta de Selección Múltiple
Ejemplo o ejercicio resuelto